Uno de los métodos para resolver una ecuación cuadrática es la aplicación Fórmulas VIETA, que lleva el nombre de FRANCOIS VIETE.

Fue un abogado famoso y sirvió en el siglo XVI con el rey francés. En su tiempo libre estudiaba astronomía y matemáticas. Estableció una conexión entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática.

Ventajas de la fórmula:

1 . Al aplicar la fórmula, puede encontrar rápidamente la solución. Debido a que no necesita ingresar el segundo coeficiente en el cuadrado, luego restarle 4ac, encontrar el discriminante, sustituir su valor en la fórmula para encontrar las raíces.

2 . Sin una solución, puede determinar los signos de las raíces, recoger los valores de las raíces.

3 . Habiendo resuelto el sistema de dos registros, no es difícil encontrar las raíces mismas. En la ecuación cuadrática anterior, la suma de las raíces es igual al valor del segundo coeficiente con signo menos. El producto de las raíces en la ecuación cuadrática anterior es igual al valor del tercer coeficiente.

4 . De acuerdo con las raíces dadas, escribe una ecuación cuadrática, es decir, resuelve el problema inverso. Por ejemplo, este método se utiliza para resolver problemas de mecánica teórica.

5 . Es conveniente aplicar la fórmula cuando el coeficiente principal es igual a uno.

Defectos:

1 . La fórmula no es universal.

Teorema de Vieta Grado 8

Fórmula
Si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática dada x 2 + px + q \u003d 0, entonces:

Ejemplos
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - las raíces de la ecuación x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

teorema inverso

Fórmula
Si los números x 1 , x 2 , p, q están conectados por las condiciones:

Entonces x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación x 2 + px + q = 0.

Ejemplo
Hagamos una ecuación cuadrática por sus raíces:

X 1 \u003d 2 -? 3 y x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

La ecuación deseada tiene la forma: x 2 - 4x + 1 = 0.

El teorema de Vieta se usa a menudo para probar raíces ya encontradas. Si ha encontrado las raíces, puede usar las fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular los valores \(p\ ) y \(q\ ). Y si resultan ser las mismas que en la ecuación original, entonces las raíces se encuentran correctamente.

Por ejemplo, usemos , resolvamos la ecuación \(x^2+x-56=0\) y obtengamos las raíces: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Comprobemos si cometimos un error en el proceso de resolución. En nuestro caso, \(p=1\), y \(q=-56\). Por el teorema de Vieta tenemos:

\(\begin(casos)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)-1=-1\\-56=-56\end(casos)\ )

Ambas declaraciones convergieron, lo que significa que resolvimos la ecuación correctamente.

Esta prueba se puede hacer por vía oral. Tomará 5 segundos y te salvará de errores estúpidos.

Teorema de Vieta inversa

Si \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), entonces \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces de la ecuación cuadrática \ (x^2+px+q=0\).

O de forma sencilla: si tienes una ecuación de la forma \(x^2+px+q=0\), entonces resolviendo el sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1\ cdot x_2=q\ end(cases)\) encontrará sus raíces.

Gracias a este teorema, puedes encontrar rápidamente las raíces de una ecuación cuadrática, especialmente si estas raíces son . Esta habilidad es importante ya que ahorra mucho tiempo.

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(x^2-5x+6=0\).

Solución : Usando el teorema inverso de Vieta, obtenemos que las raíces satisfacen las condiciones: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Mira la segunda ecuación del sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). ¿En qué dos se puede descomponer el número \(6\)? En \(2\) y \(3\), \(6\) y \(1\) o \(-2\) y \(-3\), y \(-6\) y \(- 1\). Y qué par elegir, la primera ecuación del sistema lo dirá: \(x_1+x_2=5\). \(2\) y \(3\) son similares, porque \(2+3=5\).
Respuesta : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Ejemplos . Usando el inverso del teorema de Vieta, encuentre las raíces de la ecuación cuadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solución :
a) \(x^2-15x+14=0\) - ¿En qué factores se descompone \(14\)? \(2\) y \(7\), \(-2\) y \(-7\), \(-1\) y \(-14\), \(1\) y \(14\ ). ¿Qué pares de números suman \(15\)? Respuesta: \(1\) y \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - ¿En qué factores se descompone \(-4\)? \(-2\) y \(2\), \(4\) y \(-1\), \(1\) y \(-4\). ¿Qué pares de números suman \(-3\)? Respuesta: \(1\) y \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – ¿en qué factores se descompone \(20\)? \(4\) y \(5\), \(-4\) y \(-5\), \(2\) y \(10\), \(-2\) y \(-10\ ), \(-20\) y \(-1\), \(20\) y \(1\). ¿Qué pares de números suman \(-9\)? Respuesta: \(-4\) y \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - ¿En qué factores se descompone \(780\)? \(390\) y \(2\). ¿Suman \(88\)? No. ¿Qué otros multiplicadores tiene \(780\)? \(78\) y \(10\). ¿Suman \(88\)? Sí. Respuesta: \(78\) y \(10\).

No es necesario descomponer el último término en todos los factores posibles (como en el último ejemplo). Puede verificar inmediatamente si su suma da \(-p\).

¡Importante! El teorema de Vieta y el teorema inverso solo funcionan con , es decir, aquel cuyo coeficiente delante de \(x^2\) es igual a uno. Si inicialmente tenemos una ecuación no reducida, entonces podemos reducirla simplemente dividiendo por el coeficiente delante de \ (x ^ 2 \).

Por ejemplo, sea dada la ecuación \(2x^2-4x-6=0\) y queremos usar uno de los teoremas de Vieta. Pero no podemos, porque el coeficiente antes de \(x^2\) es igual a \(2\). Eliminémoslo dividiendo toda la ecuación por \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Listo. Ahora podemos usar ambos teoremas.

Respuestas a preguntas frecuentes

Pregunta: Por el teorema de Vieta, ¿puedes resolver cualquier ?
Respuesta: Lamentablemente no. Si no hay números enteros en la ecuación o la ecuación no tiene raíces, entonces el teorema de Vieta no ayudará. En este caso, debe utilizar discriminante . Afortunadamente, el 80% de las ecuaciones en el curso de matemáticas de la escuela tienen soluciones enteras.

En esta lección, nos familiarizaremos con las curiosas relaciones entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes. Estas relaciones fueron descubiertas por primera vez por el matemático francés Francois Viet (1540-1603).

Por ejemplo, para la ecuación Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, sin encontrar sus raíces, puede, usando el teorema de Vieta, decir inmediatamente que la suma de las raíces es , y el producto de las raíces es
es decir - 2. Y para la ecuación x 2 - 6x + 8 \u003d 0 concluimos: la suma de las raíces es 6, el producto de las raíces es 8; por cierto, no es difícil adivinar a qué equivalen las raíces: 4 y 2.
Demostración del teorema de Vieta. Las raíces x 1 y x 2 de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c \u003d 0 se encuentran mediante las fórmulas

Donde D \u003d b 2 - 4ac es el discriminante de la ecuación. Estableciendo estas raíces
obtenemos

Ahora calculamos el producto de las raíces x 1 y x 2 Tenemos

Se demuestra la segunda relación:
Comentario. El teorema de Vieta también es válido en el caso en que la ecuación cuadrática tiene una raíz (es decir, cuando D \u003d 0), solo que en este caso se considera que la ecuación tiene dos raíces idénticas, a las que se aplican las relaciones anteriores. .
Las relaciones probadas para la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0 toman una forma particularmente simple. En este caso, obtenemos:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
aquellos. la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Usando el teorema de Vieta, también se pueden obtener otras relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Sean, por ejemplo, x 1 y x 2 las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q = 0. Entonces

Sin embargo, el propósito principal del teorema de Vieta no es que exprese ciertas relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Mucho más importante es el hecho de que con la ayuda del teorema de Vieta se obtiene una fórmula para factorizar un trinomio cuadrado, sin la cual no lo haremos en el futuro.

Prueba. Tenemos

Ejemplo 1. Factoriza el trinomio cuadrado 3x 2 - 10x + 3.
Solución. Habiendo resuelto la ecuación Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, encontramos las raíces del trinomio cuadrado Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Usando el Teorema 2, obtenemos

En su lugar, tiene sentido escribir Zx - 1. Entonces finalmente obtenemos Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Tenga en cuenta que el trinomio cuadrado dado se puede factorizar sin usar el Teorema 2, usando el método de agrupación:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Pero, como puedes ver, con este método el éxito depende de si podemos encontrar una agrupación exitosa o no, mientras que con el primer método el éxito está garantizado.
Ejemplo 1. Reducir fracción

Solución. De la ecuación 2x ​​2 + 5x + 2 = 0 encontramos x 1 = - 2,

De la ecuación x2 - 4x - 12 = 0 encontramos x 1 = 6, x 2 = -2. Es por eso
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Ahora reduzcamos la fracción dada:

Ejemplo 3. Factorizar expresiones:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Solución a) Introducimos una nueva variable y = x 2 . Esto nos permitirá reescribir la expresión dada en forma de trinomio cuadrado con respecto a la variable y, es decir, en la forma y 2 + bу + 6.
Habiendo resuelto la ecuación y 2 + bу + 6 \u003d 0, encontramos las raíces del trinomio cuadrado y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Ahora usamos el Teorema 2; obtenemos

y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Queda por recordar que y \u003d x 2, es decir, volver a la expresión dada. Entonces,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Introduzcamos una nueva variable y = . Esto le permitirá reescribir la expresión dada en forma de trinomio cuadrado con respecto a la variable y, es decir, en la forma 2y 2 + y - 3. Habiendo resuelto la ecuación
2y 2 + y - 3 \u003d 0, encontramos las raíces del trinomio cuadrado 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Además, usando el Teorema 2, obtenemos:

Queda por recordar que y \u003d, es decir, volver a la expresión dada. Entonces,

La sección concluye con algunas consideraciones, nuevamente conectadas con el teorema de Vieta, o más bien, con la afirmación inversa:
si los números x 1, x 2 son tales que x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, entonces estos números son las raíces de la ecuación
Usando esta declaración, puede resolver muchas ecuaciones cuadráticas oralmente, sin usar fórmulas de raíz engorrosas, y también componer ecuaciones cuadráticas con raíces dadas. Demos ejemplos.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Aquí x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Es fácil adivinar que x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Aquí x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Es fácil adivinar que x 1 = -5, x 2 = -6.
Tenga en cuenta: si el término libre de la ecuación es un número positivo, entonces ambas raíces son positivas o negativas; esto es importante tenerlo en cuenta al seleccionar las raíces.

3) x 2 + x - 12 = 0. Aquí x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Es fácil adivinar que x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Tenga en cuenta: si el término libre de la ecuación es un número negativo, entonces las raíces tienen un signo diferente; esto es importante tenerlo en cuenta al seleccionar las raíces.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Es fácil ver que x = 1 satisface la ecuación, es decir x 1 \u003d 1 - la raíz de la ecuación. Dado que x 1 x 2 \u003d - y x 1 \u003d 1, obtenemos que x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Aquí x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Si presta atención al hecho de que 2830 = 283. 10 y 293 \u003d 283 + 10, entonces queda claro que x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (ahora imagine qué cálculos deberían realizarse para resolver esta ecuación cuadrática usando fórmulas estándar).

6) Compongamos una ecuación cuadrática para que los números x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 sirvan como sus raíces. Por lo general, en tales casos forman la ecuación cuadrática reducida x 2 + px + q \u003d 0.
Tenemos x 1 + x 2 \u003d -p, por lo tanto 8 - 4 \u003d -p, es decir, p \u003d -4. Además, x 1 x 2 = q, es decir 8"(-4) = q, de donde obtenemos q = -32. Entonces, p \u003d -4, q \u003d -32, lo que significa que la ecuación cuadrática deseada tiene la forma x 2 -4x-32 \u003d 0.

En octavo grado, los estudiantes aprenden ecuaciones cuadráticas y cómo resolverlas. Al mismo tiempo, como muestra la experiencia, la mayoría de los estudiantes usan solo un método cuando resuelven ecuaciones cuadráticas completas: la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática. Para estudiantes con buenas habilidades de conteo oral, este método es claramente irracional. Los estudiantes a menudo tienen que resolver ecuaciones cuadráticas en la escuela secundaria, y allí es simplemente una lástima perder el tiempo calculando el discriminante. En mi opinión, al estudiar ecuaciones cuadráticas, se debe dedicar más tiempo y atención a la aplicación del teorema de Vieta (según el programa de A.G. Mordkovich Álgebra-8, solo se planean dos horas para estudiar el tema "Teorema de Vieta. Descomposición de un trinomio cuadrado en factores lineales”).

En la mayoría de los libros de texto de álgebra, este teorema se formula para una ecuación cuadrática reducida y dice que si la ecuación tiene raíces y , entonces satisfacen las igualdades , . Luego se formula un enunciado inverso al teorema de Vieta y se ofrecen una serie de ejemplos para trabajar este tema.

Tomemos ejemplos específicos y tracemos la lógica de la solución en ellos usando el teorema de Vieta.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación.

Supongamos que esta ecuación tiene raíces, a saber, y . Entonces, por el teorema de Vieta, las igualdades

Tenga en cuenta que el producto de las raíces es un número positivo. Entonces, las raíces de la ecuación tienen el mismo signo. Y como la suma de las raíces también es un número positivo, concluimos que ambas raíces de la ecuación son positivas. Volvamos al producto de raíces. Suponga que las raíces de la ecuación son números enteros positivos. Entonces la primera igualdad correcta se puede obtener sólo de dos maneras (hasta el orden de los factores): o . Comprobemos para los pares de números propuestos la viabilidad de la segunda afirmación del teorema de Vieta: . Por lo tanto, los números 2 y 3 satisfacen ambas igualdades y, por lo tanto, son las raíces de la ecuación dada.

Respuesta: 2; 3.

Destacamos las principales etapas del razonamiento al resolver la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta:

Escribe la afirmación del teorema de Vieta.

(*)

• determinar los signos de las raíces de la ecuación (si el producto y la suma de las raíces son positivos, entonces ambas raíces son números positivos. Si el producto de las raíces es un número positivo y la suma de las raíces es negativa, entonces ambas raices son numeros negativos.Si el producto de las raices es un numero negativo, entonces las raices tienen signos diferentes.Ademas, si la suma de las raices es positiva, entonces la raiz con mayor modulo es un numero positivo, y si el suma de las raíces es menor que cero, entonces la raíz con un módulo mayor es un número negativo);
• seleccione pares de enteros cuyo producto dé la primera igualdad correcta en la notación (*);
• de los pares de números encontrados, elija el par que, al ser sustituido en la segunda igualdad en la notación (*), dará la igualdad correcta;
• indicar en la respuesta las raíces encontradas de la ecuación.

Pongamos algunos ejemplos más.

Ejemplo 2: resuelve la ecuación .

Solución.

Sean y las raíces de la ecuación dada. Entonces por el teorema de Vieta Note que el producto es positivo y la suma es negativa. Entonces ambas raíces son números negativos. Seleccionamos pares de factores que den el producto de 10 (-1 y -10; -2 y -5). El segundo par de números suma -7. Entonces los números -2 y -5 son las raíces de esta ecuación.

Respuesta: -2; -5.

Ejemplo 3. Resuelve la ecuación .

Solución.

Sean y las raíces de la ecuación dada. Entonces por el teorema de Vieta Note que el producto es negativo. Entonces las raíces son de diferente signo. La suma de las raíces también es un número negativo. Por lo tanto, la raíz con el mayor módulo es negativa. Seleccionamos pares de factores que dan el producto -10 (1 y -10; 2 y -5). El segundo par de números suma -3. Entonces los números 2 y -5 son las raíces de esta ecuación.

Respuesta: 2; -5.

Tenga en cuenta que, en principio, el teorema de Vieta se puede formular para la ecuación cuadrática completa: si la ecuación cuadrática tiene raíces y , entonces satisfacen las igualdades , . Sin embargo, la aplicación de este teorema es bastante problemática, ya que en la ecuación cuadrática completa al menos una de las raíces (si las hay, por supuesto) es un número fraccionario. Y trabajar con la selección de fracciones es largo y difícil. Pero todavía hay una salida.

Considere la ecuación cuadrática completa . Multiplica ambos lados de la ecuación por el primer coeficiente A y escribe la ecuación en la forma . Introducimos una nueva variable y obtenemos una ecuación cuadrática reducida, cuyas raíces y (si las hay) se pueden encontrar usando el teorema de Vieta. Entonces las raíces de la ecuación original serán . Tenga en cuenta que es muy fácil escribir la ecuación reducida auxiliar: el segundo coeficiente se conserva y el tercer coeficiente es igual al producto as. Con cierta habilidad, los estudiantes componen inmediatamente una ecuación auxiliar, encuentran sus raíces usando el teorema de Vieta e indican las raíces de la ecuación completa dada. Demos ejemplos.

Ejemplo 4. Resuelve la ecuación .

Hagamos una ecuación auxiliar y por el teorema de Vieta encontramos sus raíces. Entonces las raíces de la ecuación original .

Respuesta: .

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación .

La ecuación auxiliar tiene la forma . Por el teorema de Vieta, sus raíces son . Encontramos las raíces de la ecuación original. .

Respuesta: .

Y un caso más en el que la aplicación del teorema de Vieta te permite hallar verbalmente las raíces de una ecuación cuadrática completa. Es fácil probar que el numero 1 es la raiz de la ecuacion , si y solo si. La segunda raíz de la ecuación se encuentra por el teorema de Vieta y es igual a . Una declaración más: de modo que el número -1 es la raíz de la ecuación necesario y suficiente para. Entonces la segunda raíz de la ecuación según el teorema de Vieta es igual a . Se pueden formular afirmaciones similares para la ecuación cuadrática reducida.

Ejemplo 6. Resuelve la ecuación.

Tenga en cuenta que la suma de los coeficientes de la ecuación es cero. Entonces las raíces de la ecuación .

Respuesta: .

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación.

Los coeficientes de esta ecuación satisfacen la propiedad (de hecho, 1-(-999)+(-1000)=0). Entonces las raíces de la ecuación .

Respuesta: ..

Ejemplos de aplicación del teorema de Vieta

Tarea 1. Resuelve la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tarea 2. Resolver la ecuación cuadrática completa usando la transición a la ecuación cuadrática reducida auxiliar.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Tarea 3. Resuelve una ecuación cuadrática usando la propiedad.

Cuando estudie formas de resolver ecuaciones de segundo orden en un curso de álgebra escolar, considere las propiedades de las raíces obtenidas. Ahora se conocen como los teoremas de Vieta. En este artículo se dan ejemplos de su uso.

Ecuación cuadrática

La ecuación de segundo orden es una igualdad, que se muestra en la foto de abajo.

Aquí los símbolos a, b, c son algunos números que se llaman los coeficientes de la ecuación bajo consideración. Para resolver una igualdad, necesitas encontrar valores de x que la hagan verdadera.

Tenga en cuenta que dado que el valor máximo de la potencia a la que se eleva x es dos, entonces el número de raíces en el caso general también es dos.

Hay varias formas de resolver este tipo de igualdad. En este artículo, consideraremos uno de ellos, que implica el uso del llamado teorema de Vieta.

Declaración del teorema de Vieta

A finales del siglo XVI, el célebre matemático Francois Viet (francés) observó, analizando las propiedades de las raíces de varias ecuaciones cuadráticas, que ciertas combinaciones de ellas satisfacen relaciones específicas. En particular, estas combinaciones son su producto y su suma.

El teorema de Vieta establece lo siguiente: las raíces de una ecuación cuadrática, cuando se suman, dan la razón de los coeficientes lineales a los cuadráticos tomados con el signo opuesto, y cuando se multiplican, dan como resultado la razón del término libre al coeficiente cuadrático. .

Si la forma general de la ecuación se escribe como se muestra en la foto de la sección anterior del artículo, entonces matemáticamente este teorema se puede escribir como dos igualdades:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c / a.

Donde r 1 , r 2 es el valor de las raíces de la ecuación considerada.

Estas dos igualdades se pueden utilizar para resolver una serie de problemas matemáticos muy diferentes. El uso del teorema de Vieta en ejemplos con solución se da en las siguientes secciones del artículo.