Cuando se consideraron las tareas para resolver un triángulo rectángulo, prometí presentar una técnica para memorizar las definiciones de seno y coseno. Al usarlo, siempre recordará rápidamente qué cateto pertenece a la hipotenusa (adyacente u opuesto). Decidí no postergarlo indefinidamente, el material necesario está abajo, por favor léanlo 😉

El hecho es que he observado repetidamente cómo los estudiantes de los grados 10-11 tienen dificultad para recordar estas definiciones. Recuerdan muy bien que el cateto se refiere a la hipotenusa, pero cuál- olvidar y confundido. El precio de un error, como sabrás en el examen, es una puntuación perdida.

La información que voy a presentar directamente a las matemáticas no tiene nada que ver. Se asocia con el pensamiento figurativo y con los métodos de conexión verbal-lógica. Así es, yo mismo, de una vez por todas recordédatos de definicion Si aún los olvida, con la ayuda de las técnicas presentadas, siempre es fácil de recordar.

Déjame recordarte las definiciones de seno y coseno en un triángulo rectángulo:

Coseno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:

Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

Entonces, ¿qué asociaciones te evoca la palabra coseno?

Probablemente cada uno tiene el suyoRecuerda el enlace:

Por lo tanto, inmediatamente tendrá una expresión en su memoria:

«… razón del cateto ADYACENTE a la hipotenusa».

El problema con la definición de coseno está resuelto.

Si necesita recordar la definición del seno en un triángulo rectángulo, al recordar la definición del coseno, puede establecer fácilmente que el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Después de todo, solo hay dos patas, si la pierna adyacente está "ocupada" por el coseno, entonces solo queda el lado opuesto para el seno.

¿Qué pasa con la tangente y la cotangente? Misma confusión. Los estudiantes saben que esta es la proporción de piernas, pero el problema es recordar cuál se refiere a cuál, ya sea opuesto a adyacente o viceversa.

Definiciones:

Tangente un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente:

Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:

¿Cómo recordar? Hay dos maneras. Uno también usa una conexión verbal-lógica, el otro, una matemática.

MÉTODO MATEMÁTICO

Existe tal definición: la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de un ángulo y su coseno:

* Recordando la fórmula, siempre puedes determinar que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente.

Asimismo.La cotangente de un ángulo agudo es la razón del coseno de un ángulo a su seno:

¡Entonces! Recordando estas fórmulas, siempre puedes determinar que:

- la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al adyacente

- la cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto.

MÉTODO LÓGICO-VERBAL

Sobre la tangente. Recuerda el enlace:

Es decir, si necesita recordar la definición de la tangente, usando esta conexión lógica, puede recordar fácilmente qué es

"... la relación entre el cateto opuesto y el adyacente"

Si se trata de cotangente, al recordar la definición de tangente, puede expresar fácilmente la definición de cotangente:

"... la relación entre el cateto adyacente y el opuesto"

Hay una técnica interesante para memorizar tangente y cotangente en el sitio " Tándem matemático " , mirar.

MÉTODO UNIVERSAL

Puedes simplemente moler.Pero como muestra la práctica, gracias a las conexiones lógico-verbales, una persona recuerda información durante mucho tiempo, y no solo matemática.

Espero que el material te haya sido de utilidad.

Atentamente, Alexander Krutitskikh

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

La trigonometría, como ciencia, se originó en el Antiguo Oriente. Los astrónomos desarrollaron las primeras proporciones trigonométricas para crear un calendario preciso y orientarse según las estrellas. Estos cálculos se relacionan con la trigonometría esférica, mientras que en el curso escolar estudian la razón de los lados y el ángulo de un triángulo plano.

La trigonometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las funciones trigonométricas y la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos.

Durante el apogeo de la cultura y la ciencia en el primer milenio d. C., el conocimiento se extendió desde el Antiguo Oriente hasta Grecia. Pero los principales descubrimientos de la trigonometría son mérito de los hombres del califato árabe. En particular, el científico turcomano al-Marazvi introdujo funciones como tangente y cotangente, compiló las primeras tablas de valores para senos, tangentes y cotangentes. El concepto de seno y coseno fue introducido por científicos indios. Se dedica mucha atención a la trigonometría en las obras de grandes figuras de la antigüedad como Euclides, Arquímedes y Eratóstenes.

Cantidades básicas de trigonometría

Las funciones trigonométricas básicas de un argumento numérico son seno, coseno, tangente y cotangente. Cada uno de ellos tiene su propia gráfica: seno, coseno, tangente y cotangente.

Las fórmulas para calcular los valores de estas cantidades se basan en el teorema de Pitágoras. Los escolares lo conocen mejor en la formulación: "pantalones pitagóricos, iguales en todas las direcciones", ya que la prueba se da en el ejemplo de un triángulo rectángulo isósceles.

El seno, el coseno y otras dependencias establecen una relación entre los ángulos agudos y los lados de cualquier triángulo rectángulo. Damos fórmulas para calcular estas cantidades para el ángulo A y trazamos la relación de las funciones trigonométricas:

Como puede ver, tg y ctg son funciones inversas. Si representamos el cateto a como el producto del seno A y la hipotenusa c, y el cateto b como el coseno A * c, obtenemos las siguientes fórmulas para la tangente y la cotangente:

círculo trigonométrico

Gráficamente, la relación de las cantidades mencionadas se puede representar de la siguiente manera:

El círculo, en este caso, representa todos los valores posibles del ángulo α, de 0° a 360°. Como se puede ver en la figura, cada función toma un valor negativo o positivo dependiendo del ángulo. Por ejemplo, sen α estará con signo “+” si α pertenece a los cuartos I y II del círculo, es decir, está en el rango de 0° a 180°. Con α de 180° a 360° (III y IV cuartos), sen α solo puede ser un valor negativo.

Tratemos de construir tablas trigonométricas para ángulos específicos y descubramos el significado de las cantidades.

Los valores de α iguales a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° y así sucesivamente se denominan casos especiales. Los valores de las funciones trigonométricas para ellos se calculan y presentan en forma de tablas especiales.

Estos ángulos no fueron elegidos por casualidad. La designación π en las tablas es para radianes. Rad es el ángulo en el que la longitud de un arco circular corresponde a su radio. Este valor se introdujo para establecer una relación universal, cuando se calcula en radianes, no importa la longitud real del radio en cm.

Los ángulos en las tablas de funciones trigonométricas corresponden a valores en radianes:

Entonces, no es difícil adivinar que 2π es un círculo completo o 360°.

Propiedades de las funciones trigonométricas: seno y coseno

Para considerar y comparar las propiedades básicas de seno y coseno, tangente y cotangente, es necesario dibujar sus funciones. Esto se puede hacer en forma de una curva ubicada en un sistema de coordenadas bidimensional.

Considere una tabla comparativa de propiedades para una onda sinusoidal y una onda coseno:

sinusoide	onda coseno
y = sen x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sen x = 0, para x = πk, donde k ϵ Z	cos x = 0, para x = π/2 + πk, donde k ϵ Z
sen x = 1, para x = π/2 + 2πk, donde k ϵ Z	cos x = 1, para x = 2πk, donde k ϵ Z
sen x = - 1, en x = 3π/2 + 2πk, donde k ϵ Z	cos x = - 1, para x = π + 2πk, donde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, es decir, función impar	cos (-x) = cos x, es decir, la función es par
	la función es periódica, el período más pequeño es 2π
sin x › 0, con x perteneciente a los cuartos I y II o de 0° a 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, siendo x perteneciente a los cuartos I y IV o de 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, con x perteneciente a los cuartos III y IV o de 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, siendo x perteneciente a los cuartos II y III o de 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
aumenta en el intervalo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	aumenta en el intervalo [-π + 2πk, 2πk]
decrece en los intervalos [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	disminuciones en los intervalos
derivada (sen x)' = cos x	derivada (cos x)’ = - sen x

Determinar si una función es par o no es muy sencillo. Es suficiente imaginar un círculo trigonométrico con signos de cantidades trigonométricas y mentalmente "doblar" el gráfico en relación con el eje OX. Si los signos son iguales, la función es par; en caso contrario, es impar.

La introducción de radianes y la enumeración de las principales propiedades de la onda sinusoide y coseno nos permiten traer el siguiente patrón:

Es muy fácil verificar la exactitud de la fórmula. Por ejemplo, para x = π/2, el seno es igual a 1, al igual que el coseno de x = 0. La comprobación se puede realizar consultando tablas o trazando curvas de función para valores dados.

Propiedades de la tangente y la cotangente

Los gráficos de las funciones tangente y cotangente difieren significativamente de la onda sinusoide y coseno. Los valores tg y ctg son inversos entre sí.

1. Y = tgx.
2. La tangente tiende a los valores de y en x = π/2 + πk, pero nunca los alcanza.
3. El período positivo más pequeño de la tangente es π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, es decir, la función es impar.
5. Tg x = 0, para x = πk.
6. La función es creciente.
7. Tg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, para x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivada (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Considere la representación gráfica de la cotangentoide a continuación en el texto.

Las principales propiedades de la cotangentoide:

1. Y = ctgx.
2. A diferencia de las funciones seno y coseno, en la tangente Y puede tomar los valores del conjunto de todos los números reales.
3. La cotangentoide tiende a los valores de y en x = πk, pero nunca los alcanza.
4. El período positivo más pequeño de la cotangentoide es π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, es decir, la función es impar.
6. Ctg x = 0, para x = π/2 + πk.
7. La función es decreciente.
8. Ctg x › 0, para x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, para x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivada (ctg x)' = - 1/sen 2 ⁡x Fix

Tabla de valores de funciones trigonométricas

Nota. Esta tabla de valores para funciones trigonométricas usa el signo √ para denotar la raíz cuadrada. Para denotar una fracción - el símbolo "/".

ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntrelo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, un seno de 30 grados: estamos buscando una columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la línea "30 grados", en su intersección leemos el resultado: uno segundo. Del mismo modo, encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin (seno) y la fila de 60 grados, encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. De la misma forma se encuentran los valores de senos, cosenos y tangentes de otros ángulos "populares".

Seno de pi, coseno de pi, tangente de pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de las funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulo. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa de manera única la dependencia de la circunferencia de un círculo con respecto a la medida en grados del ángulo. Entonces pi radianes es igual a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando el número pi (π) con 180.

Ejemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
así, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
cos π = cos 180 = -1
así, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. tangente pi
tg π = tg 180 = 0
así, la tangente de pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno, tangente para ángulos de 0 - 360 grados (valores frecuentes)

ángulo (grados)	ángulo en radianes (a través de pi)	pecado (seno)	porque (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)	segundo (secante)	causa (cosecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas, en lugar del valor de la función, se indica un guión (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida de grado de el ángulo, la función no tiene un valor definido. Si no hay guión, la celda está vacía, por lo que aún no hemos ingresado el valor deseado. Estamos interesados ​​​​en las solicitudes que nos solicitan los usuarios y complementamos la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulo más comunes son suficientes para resolver la mayoría problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grados
(valores numéricos "según tablas de Bradis")

valor del ángulo α (grados)	valor del ángulo α en radianes	pecado (seno)	cos (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Los conceptos de seno, coseno, tangente y cotangente son las categorías principales de la trigonometría, una rama de las matemáticas, y están íntimamente relacionados con la definición de un ángulo. La posesión de esta ciencia matemática requiere la memorización y comprensión de fórmulas y teoremas, así como un pensamiento espacial desarrollado. Es por eso que los cálculos trigonométricos a menudo causan dificultades a escolares y estudiantes. Para superarlos, debes familiarizarte más con las funciones y fórmulas trigonométricas.

Conceptos en trigonometría

Para comprender los conceptos básicos de trigonometría, primero debe decidir qué son un triángulo rectángulo y un ángulo en un círculo, y por qué todos los cálculos trigonométricos básicos están asociados con ellos. Un triángulo en el que uno de los ángulos es de 90 grados es un triángulo rectángulo. Históricamente, esta figura fue utilizada a menudo por personas en arquitectura, navegación, arte, astronomía. En consecuencia, al estudiar y analizar las propiedades de esta figura, las personas llegaron al cálculo de las proporciones correspondientes de sus parámetros.

Las principales categorías asociadas con los triángulos rectángulos son la hipotenusa y los catetos. La hipotenusa es el lado de un triángulo opuesto al ángulo recto. Las piernas, respectivamente, son los otros dos lados. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 grados.

La trigonometría esférica es una sección de trigonometría que no se estudia en la escuela, pero en ciencias aplicadas como la astronomía y la geodesia, los científicos la usan. Una característica de un triángulo en trigonometría esférica es que siempre tiene una suma de ángulos mayor a 180 grados.

Ángulos de un triángulo

En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto al ángulo buscado y la hipotenusa del triángulo. En consecuencia, el coseno es la razón del cateto adyacente y la hipotenusa. Ambos valores siempre tienen un valor menor que uno, ya que la hipotenusa siempre es más larga que el cateto.

La tangente de un ángulo es un valor igual a la relación del cateto opuesto al cateto adyacente del ángulo deseado, o seno a coseno. La cotangente, a su vez, es la relación entre el cateto adyacente del ángulo deseado y el cacteto opuesto. La cotangente de un ángulo también se puede obtener dividiendo la unidad por el valor de la tangente.

circulo unitario

Un círculo unitario en geometría es un círculo cuyo radio es igual a uno. Dicho círculo se construye en el sistema de coordenadas cartesianas, con el centro del círculo coincidiendo con el punto de origen, y la posición inicial del radio vector está determinada por la dirección positiva del eje X (eje de abscisas). Cada punto del círculo tiene dos coordenadas: XX e YY, es decir, las coordenadas de la abscisa y la ordenada. Seleccionando cualquier punto del círculo en el plano XX, y soltando la perpendicular de este al eje de abscisas, obtenemos un triángulo rectángulo formado por un radio al punto seleccionado (lo denotaremos con la letra C), una perpendicular dibujada a el eje X (el punto de intersección se denota con la letra G), y un segmento el eje de abscisas entre el origen (el punto se denota con la letra A) y el punto de intersección G. El triángulo resultante ACG es un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, donde AG es la hipotenusa y AC y GC son los catetos. El ángulo entre el radio del círculo AC y el segmento del eje de abscisas con la designación AG, lo definimos como α (alfa). Entonces, cos α = AG/AC. Dado que AC es el radio del círculo unitario, y es igual a uno, resulta que cos α=AG. De manera similar, sen α=CG.

Además, conociendo estos datos, es posible determinar la coordenada del punto C sobre la circunferencia, ya que cos α=AG, y sen α=CG, lo que significa que el punto C tiene las coordenadas dadas (cos α; sen α). Sabiendo que la tangente es igual a la relación entre el seno y el coseno, podemos determinar que tg α \u003d y / x, y ctg α \u003d x / y. Considerando ángulos en un sistema de coordenadas negativo, se puede calcular que los valores de seno y coseno de algunos ángulos pueden ser negativos.

Cálculos y fórmulas básicas

Valores de funciones trigonométricas

Habiendo considerado la esencia de las funciones trigonométricas a través del círculo unitario, podemos derivar los valores de estas funciones para algunos ángulos. Los valores se enumeran en la siguiente tabla.

Las identidades trigonométricas más simples.

Las ecuaciones en las que existe un valor desconocido bajo el signo de la función trigonométrica se denominan trigonométricas. Identidades con el valor sin x = α, k es cualquier número entero:

1. sen x = 0, x = πk.
2. 2. sen x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sen x = a, |a| > 1, sin soluciones.
5. sen x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsen α + πk.

Identidades con el valor cos x = a, donde k es cualquier número entero:

1. porque x = 0, x = π/2 + πk.
2. porque x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. porque x = a, |a| > 1, sin soluciones.
5. porque x = a, |a| ≦ 1, х = ±arcos α + 2πk.

Identidades con el valor tg x = a, donde k es cualquier número entero:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identidades con valor ctg x = a, donde k es cualquier número entero:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Fórmulas de reparto

Esta categoría de fórmulas constantes denota métodos mediante los cuales puede pasar de funciones trigonométricas de la forma a funciones del argumento, es decir, convertir el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo de cualquier valor a los indicadores correspondientes del ángulo de el intervalo de 0 a 90 grados para mayor comodidad de los cálculos.

Las fórmulas para reducir funciones para el seno de un ángulo se ven así:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sen(1800 - α) = sen α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sen(3600 + α) = sen α.

Para el coseno de un ángulo:

• cos(900 - α) = sen α;
• cos(900 + α) = -sen α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sen α;
• cos(2700 + α) = sen α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

El uso de las fórmulas anteriores es posible sujeto a dos reglas. Primero, si el ángulo se puede representar como un valor (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), el valor de la función cambia:

• del pecado al cos;
• de cos a sin;
• de tg a ctg;
• de ctg a tg.

El valor de la función permanece sin cambios si el ángulo se puede representar como (π ± a) o (2π ± a).

En segundo lugar, el signo de la función reducida no cambia: si inicialmente era positivo, lo sigue siendo. Lo mismo es cierto para las funciones negativas.

fórmulas de adición

Estas fórmulas expresan los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos de rotación en términos de sus funciones trigonométricas. Los ángulos generalmente se denotan como α y β.

Las fórmulas se ven así:

1. sen(α ± β) = sen α * cos β ± cos α * sen.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sen α * sen.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Estas fórmulas son válidas para cualquier ángulo α y β.

Fórmulas de doble y triple ángulo

Las fórmulas trigonométricas de un ángulo doble y triple son fórmulas que relacionan las funciones de los ángulos 2α y 3α, respectivamente, con las funciones trigonométricas del ángulo α. Derivado de fórmulas de adición:

1. sen2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sen^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transición de suma a producto

Considerando que 2senx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificando esta fórmula, obtenemos la identidad sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. De manera similar, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + senα = √2sen(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transición del producto a la suma

Estas fórmulas se derivan de las identidades para la transición de la suma al producto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• senα * cosβ = 1/2*.

Fórmulas de reducción

En estas identidades, las potencias cuadrada y cúbica del seno y el coseno se pueden expresar en términos del seno y el coseno de la primera potencia de un ángulo múltiple:

• sen^2α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sen^4α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

sustitución universal

Las fórmulas trigonométricas universales de sustitución expresan funciones trigonométricas en términos de la tangente de un medio ángulo.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mientras que x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), donde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), donde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mientras que x \u003d π + 2πn.

Casos especiales

A continuación se dan casos particulares de las ecuaciones trigonométricas más simples (k es cualquier número entero).

Privado para seno:

valor de sen x	valor x
0	paquete
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk

Cocientes de coseno:

porque x valor	valor x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privado por tangente:

tg x valor	valor x
0	paquete
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Cocientes cotangentes:

ctg x valor	valor x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

teoremas

teorema del seno

Hay dos versiones del teorema: simple y extendida. Teorema del seno simple: a/sen α = b/sen β = c/sen γ. En este caso, a, b, c son los lados del triángulo y α, β, γ son los ángulos opuestos, respectivamente.

Teorema del seno extendido para un triángulo arbitrario: a/sen α = b/sen β = c/sen γ = 2R. En esta identidad, R denota el radio del círculo en el que está inscrito el triángulo dado.

teorema del coseno

La identidad se muestra de esta manera: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. En la fórmula, a, b, c son los lados del triángulo y α es el ángulo opuesto al lado a.

Teorema de la tangente

La fórmula expresa la relación entre las tangentes de dos ángulos y la longitud de los lados opuestos a ellos. Los lados están etiquetados como a, b, c, y los ángulos opuestos correspondientes son α, β, γ. La fórmula del teorema de la tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

teorema de la cotangente

Asocia el radio de un círculo inscrito en un triángulo con la longitud de sus lados. Si a, b, c son los lados de un triángulo, y A, B, C, respectivamente, son sus ángulos opuestos, r es el radio de la circunferencia inscrita y p es el semiperímetro del triángulo, las siguientes identidades sostener:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplicaciones

La trigonometría no es solo una ciencia teórica asociada con fórmulas matemáticas. Sus propiedades, teoremas y reglas son utilizados en la práctica por diversas ramas de la actividad humana: astronomía, navegación aérea y marítima, teoría musical, geodesia, química, acústica, óptica, electrónica, arquitectura, economía, ingeniería mecánica, trabajo de medición, gráficos por computadora, cartografía, oceanografía, y muchos otros.

Seno, coseno, tangente y cotangente son los conceptos básicos de la trigonometría, con los que puedes expresar matemáticamente la relación entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo, y encontrar las cantidades deseadas mediante identidades, teoremas y reglas.

Las fórmulas básicas de trigonometría son fórmulas que establecen relaciones entre funciones trigonométricas básicas. Seno, coseno, tangente y cotangente están interconectados por muchas relaciones. A continuación damos las principales fórmulas trigonométricas y, por conveniencia, las agrupamos según su propósito. Usando estas fórmulas, puede resolver casi cualquier problema del curso de trigonometría estándar. Notamos de inmediato que solo las fórmulas en sí se dan a continuación, y no su derivación, a las que se dedicarán artículos separados.

Identidades básicas de la trigonometría

Las identidades trigonométricas dan una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, lo que permite expresar una función en términos de otra.

Identidades trigonométricas

sen 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sen α cos α , c t g α = cos α sen α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sen 2α

Estas identidades se derivan directamente de las definiciones del círculo unitario, seno (sin), coseno (cos), tangente (tg) y cotangente (ctg).

Fórmulas de reparto

Las fórmulas de fundición le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios y arbitrariamente grandes a trabajar con ángulos que van de 0 a 90 grados.

Fórmulas de reparto

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t gramo - α + 2 π z = - t gramo α , c t gramo - α + 2 π z = - c t gramo α sen π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sen α t gramo π 2 + α + 2 π z = - c t gramo α , c t gramo π 2 + α + 2 π z = - t gramo α sen π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sen α t gramo π 2 - α + 2 π z = c t gramo α , c t gramo π 2 - α + 2 π z = t gramo α sen π + α + 2 π z = - sen α , cos π + α + 2 π z = - cos α t gramo π + α + 2 π z = t gramo α , c t gramo π + α + 2 π z = c t gramo α sen π - α + 2 π z = sen α , cos π - α + 2 π z = - cos α t gramo π - α + 2 π z = - t gramo α , c t gramo π - α + 2 π z = - c t gramo α sen 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = pecado α t gramo 3 π 2 + α + 2 π z = - c t gramo α , c t gramo 3 π 2 + α + 2 π z = - t gramo α pecado 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sen α t gramo 3 π 2 - α + 2 π z = c t gramo α , c t gramo 3 π 2 - α + 2 π z = t gramo α

Las fórmulas de reducción son consecuencia de la periodicidad de las funciones trigonométricas.

Fórmulas de suma trigonométrica

Las fórmulas de suma en trigonometría te permiten expresar la función trigonométrica de la suma o diferencia de ángulos en términos de las funciones trigonométricas de estos ángulos.

Fórmulas de suma trigonométrica

sen α ± β = sen α cos β ± cos α sen β cos α + β = cos α cos β - sen α sen β cos α - β = cos α cos β + sen α sen β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Con base en las fórmulas de suma, se derivan fórmulas trigonométricas para un ángulo múltiple.

Fórmulas de múltiples ángulos: doble, triple, etc.

Fórmulas de doble y triple ángulo

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α con t g 2 α \u003d con t g 2 α - 1 2 con t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sen 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sen 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t gramo 3 α - 3 c t gramo α 3 c t gramo 2 α - 1

Fórmulas de medio ángulo

Las fórmulas de medio ángulo en trigonometría son una consecuencia de las fórmulas de doble ángulo y expresan la relación entre las funciones básicas del medio ángulo y el coseno del ángulo entero.

Fórmulas de medio ángulo

sen 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Fórmulas de reducción

Fórmulas de reducción

sen 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sen 3 α = 3 sen α - sen 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sen 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

A menudo, en los cálculos, es inconveniente operar con poderes engorrosos. Las fórmulas de reducción de grados le permiten reducir el grado de una función trigonométrica de un tamaño arbitrariamente grande al primero. Aquí está su visión general:

Forma general de las fórmulas de reducción

incluso para n

pecado norte α = C norte 2 norte 2 norte + 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte 2 - 1 (- 1) norte 2 - k C k norte cos ((n - 2 k) α) cos norte α = C norte 2 norte 2 norte + 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte 2 - 1 C k norte porque ((n - 2 k) α)

para n impar

pecado norte α = 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte - 1 2 (- 1) norte - 1 2 - k C k norte pecado ((n - 2 k) α) porque norte α = 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte - 1 2 C k norte porque ((n - 2 k) α)

Suma y diferencia de funciones trigonométricas

La diferencia y la suma de funciones trigonométricas se pueden representar como un producto. Factorizar las diferencias de senos y cosenos es muy conveniente para resolver ecuaciones trigonométricas y simplificar expresiones.

Suma y diferencia de funciones trigonométricas

sen α + sen β = 2 sen α + β 2 cos α - β 2 sen α - sen β = 2 sen α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sen α + β 2 sen α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sen α + β 2 sen β - α 2

Producto de funciones trigonométricas

Si las fórmulas para la suma y la diferencia de funciones le permiten ir a su producto, entonces las fórmulas para el producto de funciones trigonométricas realizan la transición inversa: del producto a la suma. Se consideran fórmulas para el producto de senos, cosenos y seno por coseno.

Fórmulas para el producto de funciones trigonométricas

sen α sen β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sen α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Sustitución trigonométrica universal

Todas las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente y cotangente) se pueden expresar en términos de la tangente de un medio ángulo.

Sustitución trigonométrica universal

sen α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

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