Objetivos de la lección:

• educativo: formación en resolución de sistemas de ecuaciones que contengan una ecuación homogénea, sistemas de ecuaciones simétricos;
• desarrollando: desarrollo del pensamiento, la atención, la memoria, la capacidad de resaltar lo principal;
• educativo: desarrollo de habilidades comunicativas.

Tipo de lección: Lección de aprendizaje de material nuevo.

Tecnologías didácticas utilizadas:

• trabajo en grupos;
• método de diseño.

Equipo: computadora, proyector multimedia.

Una semana antes de la lección, los estudiantes reciben temas para tareas creativas (según opciones).
Yo opción. Sistemas simétricos de ecuaciones. Soluciones.
Opción II. Sistemas que contienen una ecuación homogénea. Soluciones.

Cada estudiante, utilizando literatura educativa adicional, debe encontrar el material educativo adecuado, seleccionar un sistema de ecuaciones y resolverlo.
Un estudiante de cada opción crea presentaciones multimedia sobre el tema de la tarea creativa. El profesor brinda consultas a los estudiantes si es necesario.

I. Motivación para las actividades de aprendizaje de los estudiantes

Discurso de apertura del profesor
En la lección anterior, vimos cómo resolver sistemas de ecuaciones reemplazando incógnitas. No existe una regla general para elegir nuevas variables. Sin embargo, se pueden distinguir dos tipos de sistemas de ecuaciones cuando existe una elección razonable de variables:

• sistemas simétricos de ecuaciones;
• sistemas de ecuaciones, uno de los cuales es homogéneo.

II. Aprendiendo nuevo material

Los estudiantes de la opción 2 informan sobre sus tareas.

1. Demostración de diapositivas de la presentación multimedia “Sistemas que contienen una ecuación homogénea” (presentación 1).

2. Trabajar en parejas de estudiantes sentados en el mismo escritorio: un estudiante de la opción 2 explica a su vecino de escritorio la solución de un sistema que contiene una ecuación homogénea.

Informe del estudiante de la opción 1.

1. Demostración de diapositivas de la presentación multimedia “Sistemas simétricos de ecuaciones” (presentación 2).

Los estudiantes escriben en sus cuadernos:

2. Trabajar en parejas de estudiantes sentados en el mismo escritorio: un estudiante de la opción 1 explica a su vecino de escritorio la solución de un sistema simétrico de ecuaciones.

III. Reforzar el material aprendido.

Trabajar en grupos (los estudiantes sentados en escritorios adyacentes se unen en un grupo de 4 estudiantes).
Cada uno de los 6 grupos completa la siguiente tarea.

Determina el tipo de sistema y resuélvelo:

Los estudiantes en grupos analizan sistemas, determinan su tipo y luego, durante el trabajo frontal, discuten soluciones a los sistemas.

un sistema

simétrico, introduzcamos nuevas variables x+y=u, xy=v

segundo) sistema

contiene una ecuación homogénea.

El par de números (0;0) no es una solución para el sistema.

IV. Seguimiento del conocimiento de los estudiantes

Trabajo independiente sobre opciones.

Resuelve el sistema de ecuaciones:

Los estudiantes entregan sus cuadernos al profesor para que los revise.

V. Tarea

1. Completado por todos los estudiantes.

Resuelve el sistema de ecuaciones:

2. Realizado por estudiantes "fuertes".

Resuelve el sistema de ecuaciones:

VI. Resumen de la lección

Preguntas:
¿Qué tipos de sistemas de ecuaciones aprendiste en clase?
¿Qué método de resolución de sistemas de ecuaciones se utiliza para resolverlos?

Informar las calificaciones recibidas por los estudiantes durante la lección.

Introducción El problema de mi proyecto es que aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado requiere la capacidad de resolver varios sistemas de ecuaciones, y en el curso de secundaria no tienen tiempo suficiente para comprender este tema más profundamente. Objeto del trabajo: prepararse para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado. Objetivos del trabajo: Ampliar tus conocimientos en el campo de las matemáticas relacionadas con el concepto de “simetría”. Mejora tu cultura matemática utilizando el concepto de “simetría” al resolver sistemas de ecuaciones llamados simétricos, así como otros problemas de matemáticas.

El concepto de simetría. Simetría - (griego antiguo συμμετρία), en un sentido amplio - inmutabilidad bajo cualquier transformación. Por ejemplo, la simetría esférica de un cuerpo significa que la apariencia del cuerpo no cambiará si se gira en el espacio en ángulos arbitrarios. La simetría bilateral significa que la derecha y la izquierda en relación con algún plano tienen el mismo aspecto.

Resolver problemas usando simetría. Tarea No. 1 Dos personas se turnan para colocar monedas idénticas en una mesa redonda, y las monedas no deben taparse entre sí. El que no puede hacer un movimiento pierde. ¿Quién gana cuando se juega correctamente? (En otras palabras, ¿qué jugador tiene una estrategia ganadora?)

Métodos para resolver sistemas simétricos. Los sistemas simétricos se pueden resolver cambiando las variables, que son desempeñadas por los polinomios simétricos básicos. Un sistema simétrico de dos ecuaciones con dos incógnitas xey se resuelve sustituyendo u = x + y, v = xy.

Ejemplo No. 2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 Usando polinomios simétricos básicos, el sistema se puede escribir en la siguiente forma 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 . Expresando u = de la segunda ecuación y sustituyéndola en la primera ecuación, obtenemos 9v2– 28v – 156 = 0. Las raíces de esta ecuación v 1 = 6 y v 2 = - nos permiten encontrar los valores correspondientes u1 = 5, u2= - de la expresión u = .

Resolvamos ahora el siguiente conjunto de sistemas Resolvamos ahora el siguiente conjunto de sistemas x + y = 5, y x + y = - , xy = 6 xy = - . x = 5 – y, y y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y, y y = -x - , y (5 – y) = 6 x (-x -) = - . x = 5 – y, y y = -x -, y 1 = 3, y 2 =2 x 1 =, x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3, y x 1 =, x 2 = - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = - , y 2= Respuesta: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Teoremas utilizados en la resolución de sistemas simétricos. Teorema 1. (sobre polinomios simétricos) Cualquier polinomio simétrico en dos variables se puede representar como una función de dos polinomios simétricos básicos. En otras palabras, para cualquier polinomio simétrico f (x, y) existe una función de dos variables φ (u , v) tal que

Teorema 2. (sobre polinomios simétricos) Teorema 2. (sobre polinomios simétricos) Cualquier polinomio simétrico en tres variables se puede representar como una función de tres polinomios simétricos principales: En otras palabras, para cualquier polinomio simétrico f (x, y) hay tal función de tres variables θ (u, v, w), que

Sistemas simétricos más complejos - sistemas que contienen el módulo: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. Consideremos este sistema por separado para x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) para x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) el sistema toma la forma - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2, o - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2, de donde encontramos x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. El segundo par de números pertenece al área considerada, es decir, es una solución a este sistema.

Si x ≥ 1, entonces: Si x ≥ 1, entonces: a) x > y e y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y e y ≥ 1 el sistema toma la forma x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, o x – y + y 2 = 3, x + y = 4, de donde encontramos x = 1, y = 3. Este par de números no pertenece al área considerada;

c) para x ≤ y (entonces y ≥ 1) el sistema toma la forma c) para x ≤ y (entonces y ≥ 1) el sistema toma la forma - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, o - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, de donde encontramos x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Estos pares de números no pertenecen a la región en cuestión. Por tanto, x 1 = - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Respuesta: (- 1; 1); (once).

Conclusión Las matemáticas desarrollan el pensamiento humano, nos enseñan a encontrar diferentes soluciones a través de la lógica. Entonces, después de aprender a resolver sistemas simétricos, me di cuenta de que pueden usarse no solo para completar ejemplos específicos, sino también para resolver varios tipos de problemas. Creo que el proyecto no sólo puede beneficiarme a mí. Para aquellos que también quieran familiarizarse con este tema, mi trabajo será de gran ayuda.

Lista de literatura utilizada: Bashmakov M.I., “Álgebra y los inicios del análisis”, 2ª edición, Moscú, “Prosveshchenie”, 1992, 350 págs. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., “Álgebra y funciones elementales", libro de referencia; tercera edición, revisada y ampliada; Kiev, Naukova, Dumka, 1987, 648 págs. Sharygin I.F., “Matemáticas para estudiantes de secundaria”, Moscú, editorial “Drofa”, 1995, 490 págs. Recursos de Internet: http://www.college.ru/

El trabajo se puede utilizar para lecciones e informes sobre el tema "Matemáticas".

Las presentaciones listas para usar en matemáticas se utilizan como ayudas visuales que permiten a un maestro o a un padre demostrar el tema que se está estudiando en un libro de texto utilizando diapositivas y tablas, mostrar ejemplos de resolución de problemas y ecuaciones, y también evaluar conocimientos. En esta sección del sitio puede encontrar y descargar muchas presentaciones preparadas sobre matemáticas para estudiantes de los grados 1, 2, 3, 4, 5, 6, así como presentaciones sobre matemáticas superiores para estudiantes universitarios.

Entonces, para u obtenemos la ecuación Recordemos el teorema de las raíces racionales de polinomios (§ 2.1.5). Las raíces racionales de nuestra ecuación hay que buscarlas entre los divisores del número –4. Pasando por todos los divisores, estamos convencidos de que la ecuación no tiene raíces racionales. Sin embargo, este teorema no era un teorema de la existencia de raíces. Este teorema establece sólo lo siguiente: si un polinomio con coeficientes enteros tiene raíces racionales (pero aún es posible que NO existan), entonces estas raíces tendrán alguna forma especial. Este teorema no describe el caso en el que no hay raíces racionales.

Intentemos encontrar las raíces de la ecuación del sistema original entre los números irracionales. Sin embargo, esto requerirá algo de creatividad: el reemplazo estándar de los sistemas simétricos obviamente no funciona aquí.

Al elevar la segunda ecuación a un cubo, obtenemos: Por lo tanto, según el teorema de Vieta, y son las raíces de la ecuación cuadrática Por lo tanto y Por lo tanto,

Mientras estudiaba literatura adicional sobre la resolución de sistemas de ecuaciones, me encontré con un nuevo tipo de sistema: el simétrico. Y me propuse una meta:

Resumir información científica sobre el tema “Sistemas de ecuaciones”.

Comprender y aprender a resolver introduciendo nuevas variables;

3) Considere las teorías básicas asociadas con los sistemas simétricos de ecuaciones.

4) Aprender a resolver sistemas simétricos de ecuaciones.

Historia de la resolución de sistemas de ecuaciones.

La eliminación de incógnitas de ecuaciones lineales se utiliza desde hace mucho tiempo. En los siglos XVII-XVIII. v. Las técnicas de exclusión fueron desarrolladas por Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

En notación moderna, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Las soluciones de este sistema se expresan mediante fórmulas.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Gracias al método de coordenadas creado en el siglo XVII. Fermat y Descartes, fue posible resolver gráficamente sistemas de ecuaciones.

En los antiguos textos babilónicos escritos en el tercer y segundo milenio antes de Cristo. mi. , contiene muchos problemas que pueden resolverse mediante la construcción de sistemas de ecuaciones, en los que también se introducen ecuaciones de segundo grado.

Ejemplo 1:

Sumé las áreas de mis dos cuadrados: 25. El lado del segundo cuadrado es igual al lado del primero y más 5. El sistema de ecuaciones correspondiente en la notación correspondiente se ve así: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Diofanto, que no tenía notaciones para muchas incógnitas, se esforzó mucho en seleccionar la incógnita de tal manera que redujera la solución del sistema a la solución de una sola ecuación.

Ejemplo #2:

"Encuentra dos números naturales, sabiendo que su suma es 20 y la suma de sus cuadrados es 208".

El problema también se resolvió elaborando un sistema de ecuaciones, x + y = 20, pero se resolvió x2 + y2 = 208

Diofanto, eligiendo como incógnita la mitad de la diferencia de los números requeridos, es decir

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- no satisface las condiciones del problema, por lo tanto, si z = 2x = 12, y y = 8

Conceptos de un sistema de ecuaciones algebraicas.

En muchos problemas, es necesario encontrar varias cantidades desconocidas, sabiendo que otras cantidades formadas con su ayuda (funciones de las incógnitas) son iguales entre sí o con algunas cantidades dadas. Veamos un ejemplo sencillo.

Un terreno rectangular con una superficie de 2400 m2 está vallado con una valla de 200 m de largo. Encuentre el largo y el ancho de la parcela. De hecho, el “modelo algebraico” de este problema es un sistema de dos ecuaciones y una desigualdad.

Siempre se deben tener en cuenta las posibles desigualdades. Cuando resuelves problemas que involucran la composición de sistemas de ecuaciones. Pero lo principal es resolver las ecuaciones por sí mismas. Te contaré sobre los métodos que se utilizan.

Comencemos con las definiciones.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias (más de una) ecuaciones conectadas por una llave.

La llave significa que todas las ecuaciones del sistema deben ejecutarse simultáneamente y muestra que es necesario encontrar un par de números (x; y) que convierta cada ecuación en una verdadera igualdad.

Una solución a un sistema es un par de números xey que, cuando se sustituyen en este sistema, convierten cada una de sus ecuaciones en una igualdad numérica correcta.

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar todas sus soluciones o establecer que no las hay.

Método de sustitución.

El método de sustitución consiste en que en una de las ecuaciones una variable se expresa en términos de otra. La expresión resultante se sustituye en otra ecuación, que luego se convierte en una ecuación con una variable y luego se resuelve. Los valores resultantes de esta variable se sustituyen en cualquier ecuación del sistema original y se encuentra la segunda variable.

Algoritmo.

1. Exprese y en términos de x de una ecuación del sistema.

2. Sustituye la expresión resultante en lugar de y en otra ecuación del sistema.

3. Resuelve la ecuación resultante para x.

4. Sustituye sucesivamente cada una de las raíces de la ecuación encontrada en el tercer paso en lugar de x en la expresión y hasta x obtenida en el primer paso.

5) Escribe la respuesta en forma de pares de valores (x; y).

Ejemplo No. 1 y = x – 1,

Sustituyamos y = x - 1 en la segunda ecuación, obtenemos 5x + 2 (x - 1) = 16, de donde x = 2. Sustituyamos la expresión resultante en la primera ecuación: y = 2 - 1 = 1.

Respuesta: (2; 1).

Ejemplo #2:

8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

5y = 10 x = 8y – 4, y = -2

2х – 21у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20

2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2

Respuesta: (-20; -2).

Ejemplo No. 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – ecuación cuadrática y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

Por tanto (-2; -4); (4; 8) – soluciones de este sistema.

Método de suma.

El método de la suma es que si un sistema dado consta de ecuaciones que, sumadas, forman una ecuación con una variable, entonces resolviendo esta ecuación obtendremos los valores de una de las variables. El valor de la segunda variable se encuentra, como en el método de sustitución.

Algoritmo para la resolución de sistemas mediante el método de la suma.

1. Igualar los módulos de los coeficientes para una de las incógnitas.

2. Sumando o restando las ecuaciones resultantes, encuentre una incógnita.

3. Sustituyendo el valor encontrado en una de las ecuaciones del sistema original, encuentre la segunda incógnita.

Ejemplo No. 1. Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de la suma: x + y = 20, x – y = 10

Restando la segunda de la primera ecuación obtenemos

Expresemos a partir de la segunda expresión x = 20 - y

Sustituye y = 5 en esta expresión: x = 20 – 5 x = 15.

Respuesta: (15; 5).

Ejemplo #2:

Representemos las ecuaciones del sistema propuesto en forma de diferencia, obtenemos

7y = 21, de donde y = 3

Sustituyamos este valor en x = expresado de la segunda ecuación del sistema, obtenemos x = 4.

Respuesta: (4; 3).

Ejemplo #3:

2x + 11y = 15,

10x – 11y = 9

Sumando estas ecuaciones tenemos:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, sustituyendo este valor en la segunda ecuación, obtenemos:

10 * 2 – 11y = 9, de donde y = 1.

La solución a este sistema es el par: (2; 1).

Método gráfico para la resolución de sistemas de ecuaciones.

Algoritmo.

1. Construya gráficas de cada una de las ecuaciones del sistema.

2. Encuentra las coordenadas del punto de intersección de las líneas construidas.

El caso de la disposición mutua de líneas en un plano.

1. Si las rectas se cruzan, es decir, tienen un punto común, entonces el sistema de ecuaciones tiene una solución.

2. Si las rectas son paralelas, es decir, no tienen puntos comunes, entonces el sistema de ecuaciones no tiene soluciones.

3. Si las rectas coinciden, es decir, tienen muchos puntos, entonces el sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplo 1:

Resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones x – y = -1,

Expresemos y a partir de la primera y segunda ecuaciones: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

Construyamos gráficas de cada una de las ecuaciones del sistema:

1) y = 1 + x – la gráfica de la función es la recta x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – la gráfica de la función es la recta x 0 1 y 4 2

Respuesta: (1; 2).

Ejemplo No. 2: y x ​​+ 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - la gráfica de la función es la recta x 0 2 y 3 2 y = - la gráfica de la función es la recta x 0 2 y 2 1

Respuesta: no hay soluciones.

Ejemplo No. 3: y x ​​​​– 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - la gráfica de la función es la recta x 0 2 y -1 0

Respuesta: el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Método de introducción de nuevas variables.

El método para introducir nuevas variables es que se introduce una nueva variable en solo una ecuación o dos nuevas variables para ambas ecuaciones a la vez, luego la ecuación o ecuaciones se resuelven con respecto a las nuevas variables, después de lo cual queda por resolver un sistema más simple. de ecuaciones, a partir de las cuales encontramos la solución deseada.

Ejemplo 1:

X + y = 5

Denotemos = z, luego =.

La primera ecuación tomará la forma z + = , equivale a 6z – 13 + 6 = 0. Resuelta la ecuación resultante, tenemos z = ; z=. Entonces = o = , es decir, la primera ecuación se divide en dos ecuaciones, por lo tanto, tenemos dos sistemas:

X + y = 5 x + y = 5

Las soluciones de estos sistemas son las soluciones del sistema dado.

La solución del primer sistema es el par: (2; 3), y la segunda es el par (3; 2).

Por tanto, las soluciones del sistema + = , x + y = 5

Los pares son (2; 3); (3; 2)

Ejemplo #2:

Sea = X, a = Y.

X = , 5 * - 2U = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5U – 2U = 1

X = , -9.5U = -19

5 * - 2U = 1 U = 2

Haremos un reemplazo inverso.

2 x = 1, y = 0,5

Respuesta: (1; 0,5).

Sistemas simétricos de ecuaciones.

Un sistema con n incógnitas se llama simétrico si no cambia cuando se reorganizan las incógnitas.

Un sistema simétrico de dos ecuaciones con dos incógnitas xey se resuelve sustituyendo u = x + y, v = xy. Tenga en cuenta que las expresiones que se encuentran en sistemas simétricos se expresan en términos de u y v. Pongamos varios ejemplos de indudable interés para resolver muchos sistemas simétricos: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v, etc.

Un sistema simétrico de tres ecuaciones para las incógnitas x y, z se resuelven sustituyendo x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Si se encuentran u, v, w, entonces se compila una ecuación cúbica t2 – ut2 + vt – w = 0, cuyas raíces t1, t2, t3 en varias permutaciones son soluciones del sistema original. Las expresiones más comunes en tales sistemas se expresan en términos de u, v, w de la siguiente manera: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Ejemplo No. 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Sea x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, tu = 4 v = 3, tu = 4

Haremos un reemplazo inverso.

Respuesta: (1; 3); (3; 1).

Ejemplo No. 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Sea x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 tu = 4 v = 3, tu = 4

Haremos un reemplazo inverso.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Respuesta: (1; 3); (3; 1).

Ejemplo No. 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Sea x =y = u, xy =v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – tu, tu = 4 v = 3, tu = 4

Haremos un reemplazo inverso.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Respuesta: (1; 3); (3; 1).

Ejemplo No. 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Sea x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 tu = 5, v = 4 v = 4

Haremos un reemplazo inverso.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Respuesta: (4; 1); (14).

Ejemplo No. 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Hagamos un cambio de incógnitas, el sistema tomará la forma u2 + v = 49, u + v = 23

Sumando estas ecuaciones, obtenemos u2 + u – 72 = 0 con raíces u1 = 8, u2 = -9. En consecuencia, v1 = 15, v2 = 32. Queda por resolver el conjunto de sistemas x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Sistema x + y = 8, tiene soluciones x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

El sistema x + y = -9 no tiene soluciones reales.

Respuesta: (3; 5), (5; 3).

Ejemplo No. 6. Resuelve el sistema de ecuaciones.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Usando los principales polinomios simétricos u = y + x y v = xy, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Sustituyendo la expresión v = -3 – u de la segunda ecuación del sistema en la primera ecuación, obtenemos la siguiente ecuación 2u2 + 7u + 5 = 0, cuyas raíces son u1 = -1 y u2 = -2,5; y en consecuencia, los valores v1 = -2 y v2 = -0,5 se obtienen de v = -3 – u.

Ahora queda resolver el siguiente conjunto de sistemas x + y = -1, y x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5

Las soluciones de este conjunto de sistemas, y por tanto del sistema original (por su equivalencia), son las siguientes: (1; -2), (-2; 1), (;).

Ejemplo #7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

Usando polinomios simétricos básicos, el sistema se puede escribir de la siguiente forma

3uv – 2v = 78,

Expresando u = de la segunda ecuación y sustituyéndola en la primera ecuación, obtenemos 9v2 – 28v – 156 = 0. Las raíces de esta ecuación v1 = 6 y v2 = - nos permiten encontrar los valores correspondientes u1 = 5, u2 = - de la expresión u =.

Resolvamos ahora el siguiente conjunto de sistemas x + y = 5, y x + y = -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y, y y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y, y y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y, y y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3, y x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Respuesta: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Conclusión.

Mientras escribía el artículo, me familiaricé con diferentes tipos de sistemas de ecuaciones algebraicas. Información científica resumida sobre el tema “Sistemas de Ecuaciones”.

Lo descubrí y aprendí a resolverlo introduciendo nuevas variables;

Repasó las teorías básicas asociadas con los sistemas simétricos de ecuaciones.

Aprendió a resolver sistemas simétricos de ecuaciones.

− 4 1 + 4

−6

27 ≡ 0,

−4 x + 4 y + 27

+(y +6 )

x = 1, x

(x-1)

= −6.

y = −6

Tenga en cuenta que la solución de la segunda ecuación aún no es una solución del sistema. Los números resultantes deben sustituirse en la primera ecuación restante del sistema. En este caso, tras la sustitución obtenemos una identidad.

Respuesta: (1, – 6).♦

§5. Ecuaciones y sistemas homogéneos.
Función f(x,y)	llamado	homogéneo		k si
f(tx,ty) = tk f(x,y) .	Por ejemplo, función f (x, y) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
es homogénea de grado 4, porque		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx) 2 (ty) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2). Ecuación f(x, y) = 0, donde				f (x, y) –

La función homogénea se llama homogénea. Todo se reduce a la ecuación.

ción con una incógnita, si introduces una nueva variable t = x y.

f (x, y) = a,

Sistema con dos variables g (x, y) = b, donde f (x, y), g (x, y) –

Las funciones homogéneas del mismo grado se llaman homogéneas. Si ab ≠ 0, multiplica la primera ecuación por b, la segunda por a y

Tomamos uno del otro y obtenemos un sistema equivalente.

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

La primera ecuación cambiando las variables t =

(o t =

) se reducirá a

ecuación con una incógnita.

Si a = 0

(b = 0), entonces la ecuación f (x, y) = 0 (g (x, y) = 0) reemplazando

variables t =

(o t =

) se reducirá a una ecuación con una incógnita

− xy + y

21 ,

Ejemplo 20. (MSU, 2001, Facultad de Química) Resolver el sistema

− 2xy + 15 = 0.

Curso académico 2012-2013 año, No. 1, 11º grado. Matemáticas. Ecuaciones algebraicas, desigualdades, sistemas.

− xy + y 2 = 21,

− xy + y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = − 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12y 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3; −

3 ) , (4; 5) ,

(− 4; − 5) . ♦

§6. Sistemas simétricos

f(x,y)

llamado

simétrico,

f(x,y) = f(y,x) .

f(x, y) = a

Sistema de ecuaciones de la forma.

donde f (x, y), g (x, y) – simétrico

g(x, y) = b,

ric, se llama sistema simétrico. Estos sistemas resuelven

ocurren con más frecuencia	simplemente introduciendo nuevos	variables
x + y = u, xy

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17,

Ejemplo 21. Resuelve el sistema de ecuaciones.

x + xy + y = 5 .

♦ Este es un sistema algebraico (simétrico), generalmente se resuelve reemplazando x + y = u, xy = v. notando que

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = (x + y) (x 2 − xy + y 2) + x 3 y 3 =

= (x + y) ((x + y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u (u2 − 3 v) + v3,

reescribimos el sistema en la forma

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofía Ilyinichna

Curso académico 2012-2013 año, No. 1, 11º grado. Matemáticas. Ecuaciones algebraicas, desigualdades, sistemas.

− 3 uv + v

tu = 5 − v,

6 = 0

V=5

−5v

v = 3, tu = 2

(en variables antiguas)

x + y = 2,

x = 2 - y ,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 - y,

x = 2, y = 1,

y −3 y + 2 = 0

x = 1, y = 2.

xy = 2,

Respuesta: (2;1),

(1; 2) . ♦

Literatura

1. S. I. Kolesnikova "Curso intensivo de preparación para el Examen Estatal Unificado". Moscú, Iris – Prensa;

2. “Resolver problemas complejos del Examen Estatal Unificado” Moscú, Iris – Press o “Waco”, 2011;

3. Revista "Potencial" No. 1–2 de 2005 – artículos de S.I. Kolesnikova “Ecuaciones irracionales” y “Desigualdades irracionales”;

4. S. I. Kolesnikova “Ecuaciones irracionales”, Moscú, 2010,

Azbuka LLC;

5. S. I. Kolesnikova “Desigualdades irracionales”, Moscú, 2010, LLC “Azbuka”;

6. S.I. Kolesnikova “Ecuaciones y desigualdades que contienen módulos”, Moscú, 2010, Azbuka LLC.

Preguntas de control

1(2). Encuentre la longitud más corta del intervalo que contiene todas las soluciones de la desigualdad 5x + 1 ≥ 2(x − 1) .

2(2). Resuelve la desigualdad x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (no es necesario resolver la ecuación cúbica, ya que hay un factor x − 2 a la derecha y a la izquierda).

3(2). Resuelve la desigualdad 2 − x ≥ x − 3.

4(2). Encuentre la longitud más corta del intervalo al cual

cosechar todas las soluciones a la desigualdad	x2 + 5 x − 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5(3). Encuentra la suma de cuadrados de soluciones enteras a la desigualdad.

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofía Ilyinichna

Curso académico 2012-2013 año, No. 1, 11º grado. Matemáticas. Ecuaciones algebraicas, desigualdades, sistemas.

4 − x − 8 + x ≤ x +6 .

6(3). Resuelve la desigualdad 5 + x − 8 − x ≤ 3 − x.

7(3). Resuelve la desigualdad		− x 3 − x − 1			≤x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8(3). Resuelve la desigualdad		4 − x −(x + 2 ) )(					≤ 0.
			(x + 1 )(x - 2 )(x - 3 )

9(4). Encuentre la longitud más corta del intervalo al cual

cosechar todas las soluciones a la desigualdad
			x+5				x+2				144-x< 0.
			X-2				4x-5		6x-6

10(2). Encuentre la longitud más corta del intervalo que contiene todas las soluciones de la desigualdad 8 x − 8 ≤ 32 + 4x − x 2 .

11(4). Encuentra la suma de cuadrados de todas las soluciones enteras de las desigualdades.

2(2). Encuentre la longitud más corta del intervalo que contiene
			(x − 1 )3 (x + 3 )
todas las soluciones a la desigualdad										≤ 0 .
			2x-1				x-2		) (x-1)

3(2). Resuelve la desigualdad

4 (x - 3 ) 4 ≥ 4 (x - 7 ,5 ) 4 .

4(4). Resuelve la desigualdad

x2 + 3 x − 4

x2-16

2x 2 + 3x − 20

5(3). Resuelve la desigualdad (x 2	X +1 ) 2 −2 x 3 + x 2 + x −3 x 2		≥ 0 .
propiedades 4 − 2x − 1 ≤ 3.	Tareas
	− 5x + 6 + 9 − 2x − 5	≤ 0 .
1(3). Resuelve la desigualdad
19x 2 − 4x 3 − 4x + 19

10x 2 − 17x − 6

6(4). Encuentre todos los a para los cuales la ecuación

4x-

función f (x) = x 2 + 4x +

x 2 -

x - 1

− a acepta sólo

no negación-

significados teliales.

8(4). Resuelve la ecuación 4 x − 3

x - 1

5x + 14 - 3

5x + 14 - 1

9(4). Resuelve la ecuación

x 2 - 5 +

x 2 −3 = x +1 +

x + 3 .

24-x2

9 2x

10(3). Resuelve la desigualdad

≥ 0 .

x2 − 4 7 x − 10

11(3). Tres corredores parten simultáneamente desde un punto de una pista circular y viajan a velocidades constantes en la misma dirección. El primer corredor alcanzó por primera vez al segundo, realizando su quinta vuelta, en un punto diametralmente opuesto a la salida, y media hora después alcanzó al tercer corredor por segunda vez, sin contar la salida. El segundo corredor alcanzó al tercero por primera vez 3 horas después de la salida. ¿Cuántas vueltas por hora da el primer piloto si el segundo completa la vuelta en al menos veinte minutos?

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofía Ilyinichna