Realizado por Morenshildt I.K. grupo 1.45.36 Distrito de Frunzensky Escuela No. 314 Profesora Koroleva O.P. San Petersburgo 2006 * CENTRO DE TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y TELECOMUNICACIONES DE SAN PETERSBURGO FUNCIONES INVERSAS MUTUANAS

Función exponencial y logarítmica Funciones trigonométricas

Definiciones básicas Ejemplos de ecuaciones Gráficas de funciones inversas Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones de seno y arcoseno Funciones de coseno y arcocoseno Funciones de tangente y arcotangente Funciones de cotangente y arcotangente Fuentes de examen Contenido Finalizar

Función reversible Si la función y=f (x) toma cada uno de sus valores solo para un valor de x, entonces esta función se llama reversible. Para tal función, es posible expresar la relación inversa entre los valores del argumento y los valores de la función.

Un ejemplo de construcción de una función inversa a una dada Caso particular Dada una función y=3x+5 Ecuación para x Reemplazar x por y Las funciones (1) y (2) son mutuamente inversas Caso general y=f (x) es invertible función Función definida x= g (y ) Reemplazar x con y y= g(x) Las funciones y=f(x) y y=g(x) son mutuamente inversas

Gráficas de funciones inversas

Funciones exponenciales y logarítmicas y=log a x y=a x y=x a>1

Funciones sen x y arcsen x Considere la función y=sen x en el segmento La función es monótonamente creciente. FZF [-1;1]. La función y= arcsen x es la inversa de la función y=senx. [-; ] 2 2

Funciones cos x y arccos x Considere la función y=co s x en el segmento La función es monótonamente decreciente. FZF [-1;1]. La función y=arccos x es la inversa de la función y=co sx.

Funciones tg x y arctg x Considere la función y= tg x en el intervalo La función es monótonamente creciente. ORF es el conjunto R. La función y= arctg x es la inversa de la función y= tg x . (-;) 2 2

Funciones ctg x y arcctg x Considere la función y= ctg x en el intervalo (0; ). La función es monótonamente decreciente. GFZ conjunto R . La inversa es la función y \u003d arcctg x.

Prueba sobre el tema "Funciones mutuamente inversas" Pregunta No. 1 Pregunta No. 2 Pregunta No. 3 Pregunta No. 4 Pregunta No. 5 Finalizar Finalizar

Pregunta No. 1 Los gráficos de funciones mutuamente inversas se ubican en el sistema de coordenadas simétricamente con respecto a: El origen de coordenadas Directo y \u003d x Ejes OY Ejes OX

Pregunta No. 2 ¿Cómo se relacionan el dominio de definición del original y el dominio de la función inversa? partido independiente

Pregunta #3 ¿Cuál es el inverso de una función logarítmica? Potencia Lineal Cuadrática Exponencial

Pregunta #4 La función y=arcctg x es la inversa de la función y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

Pregunta #5 El tema “Funciones Recíprocas” es Elemental Mi Favorito Fácil Comprensible

¡Hurra! ¡Hurra! ¡Hurra! ¡Bien hecho científico!

Respuesta incorrecta ¡Repita desde el principio!

¡Equivocado! ¡Me indigna tu respuesta!

Fuentes del álgebra y los comienzos del análisis: Proc. para 10-11 celdas. educación general instituciones / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov y otros - 12ª ed. - M.: Ilustración, 2004. - 384 p. El estudio del álgebra y el comienzo del análisis en los grados 10-11: Libro. para el maestro / N.E. Fedorova, M. V. Tkachev. - 2ª ed. - M.: Educación, 2004. - 205 p. Materiales didácticos sobre álgebra y los inicios del análisis para el grado 10: Una guía para el maestro / B.M. Ivlev, SM Sahakyan, S. I. Schwarzburd. - 2ª ed., revisada. - M.: Ilustración, 1998. -143 p. Gráficos de funciones trigonométricas inversas http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Tema: "Funciones mutuamente inversas".

Objetivos de la lección:

Educativo:

Repita y resuma el conocimiento de los estudiantes sobre el tema "Función", estudiado en el grado 9. Familiarizarse con funciones mutuamente inversas, estudiar las condiciones para la existencia de una función inversa y sus propiedades, aprender a construir gráficos de funciones inversas.

Desarrollando:

Desarrollar la actividad creativa y mental de los alumnos, sus cualidades intelectuales: la capacidad de "ver" el problema.

Para formar la capacidad de expresar clara y claramente sus pensamientos, explorar, analizar, comparar, sacar conclusiones.

Desarrollar el interés de los alumnos por la creatividad independiente.

Desarrollar la imaginación espacial de los estudiantes.

Educativo:

Desarrollar la capacidad de trabajar con la información disponible en una situación inusual.

Cultivar la precisión y la conciencia.

Realizar educación estética.

Tipo de lección: conjunto.

Equipo:

• proyector multimedia;

  aplicación a la lección: (Presentación.) - en medios electrónicos;

Medios de educación: computadoras, softwaresobresalir, proyector multimedia, presentación de diapositivas.

Población: gráficas de funciones integradas en un sistema de coordenadas.

Formas de organización de las actividades educativas: individual, diálogo, trabajo con el texto de la diapositiva, trabajo de investigación en un cuaderno.

Métodos: visuales, verbales gráfico, investigación.

Durante las clases.

1. Discurso de presentación del profesor. Conversación de instalación. Estado de ánimo psicológico de los estudiantes.

En la lección, debemos repetir y resumir el conocimiento sobre el tema "Función" estudiado en el grado 9, familiarizarse con funciones mutuamente inversas, estudiar las condiciones para la existencia de una función inversa y sus propiedades, aprender a construir gráficos de inversa funciones Nos deseamos éxito y trabajo fructífero.

2. Repetición del material tratado en el tema "Funciones y sus gráficas". Presentación.

Diapositivas 2-10. Trabajo frontal con la clase.

3. Aprender material nuevo. Conversación educativa con elementos de investigación y demostración (diapositivas 11-24)

Ejemplo de dependencia. Cada valor de función corresponde a un valor de argumento.

Para tales funciones, es posible expresar la relación inversa entre los valores del argumento y los valores de la función.

Ejercicio.

Encuentre el dominio y el rango de funciones mutuamente inversas.

4. Consolidación del conocimiento.

Notas de la lección sobre el tema "Funciones inversas"

Lección 1 "Función inversa"

Objetivo: Formar un aparato teórico sobre el tema. Ingresar

El concepto de una función invertible;

El concepto de una función inversa;

Formule y pruebe una condición suficiente para la reversibilidad.

funciones;

Propiedades básicas de funciones mutuamente inversas.

Plan de lección de clase

Organizando el tiempo.

Actualización de los conocimientos de los estudiantes, necesarios para la percepción de un nuevo tema.

Presentación de nuevo material.

Resumiendo la lección.

El curso de la lección-conferencia.

1. Organizando el tiempo.

2. Actualización de conocimientos. ( Encuesta frontal sobre el tema de la lección anterior.)

Para los estudiantes, se muestra un gráfico de la función en la pizarra interactiva (Fig. 1). El maestro formula la tarea: considerar el gráfico de la función y enumerar las propiedades estudiadas de la función. Los estudiantes enumeran las propiedades de una función de acuerdo con el diseño de investigación. El profesor, a la derecha del gráfico de la función, escribe las propiedades nombradas con un marcador en la pizarra digital interactiva.

Arroz. 1

Propiedades de la función:

3. Establecimiento de metas para los estudiantes.

Al final del estudio, el maestro informa que hoy en la lección se familiarizarán con una propiedad más de la función: la reversibilidad. Para un estudio significativo del material nuevo, el maestro invita a los niños a familiarizarse con las preguntas principales que los estudiantes deben responder al final de la lección. Cada estudiante tiene preguntas en forma de folleto (distribuido antes de la lección).

Preguntas:

1. ¿Qué función se llama reversible?

2. ¿Qué función se llama inversa?

3. ¿Cómo se relacionan los dominios de definición y los conjuntos de valores de las funciones directa e inversa?

4. Formular una condición suficiente para que la función sea invertible.

5. ¿El inverso de una función creciente es decreciente o creciente?

6. ¿La función impar inversa es par o impar?

7. ¿Cómo están ordenadas las gráficas de funciones mutuamente inversas?

4. Presentación de nuevo material.

1) El concepto de función invertible. Una condición suficiente para la reversibilidad.

En la pizarra interactiva, el docente compara las gráficas de dos funciones cuyos dominios de definición y conjuntos de valores son iguales, pero una de las funciones es monótona y la otra no (Fig. 2). Por lo tanto, una función tiene una propiedad que no es característica de una función: no importa qué número del conjunto de valores de la funciónF ( X ) Tómelo, es el valor de la función en un solo punto, por lo tanto, el maestro lleva a los estudiantes al concepto de una función invertible.

Arroz. 2

Luego, el maestro formula la definición de una función invertible y demuestra el teorema de la función invertible utilizando el gráfico de función monótona en la pizarra digital interactiva.

Definición 1. La función se llamareversible , si toma alguno de sus valores solo en un punto del conjuntoX .

Teorema. Si la función es monótona en el conjuntoX , entonces es reversible.

Prueba:

Deja que la función y=f(x) aumenta en el conjuntoX Déjalo ir X 1 ≠ x 2 - dos puntos del setX .

Para mayor precisión, dejemosX 1 < X 2 . Entonces de queX 1 < X 2 a medida que la función aumenta, se sigue quef(x 1 ) < f(x 2 ) .

Así, diferentes valores del argumento corresponden a diferentes valores de la función, es decir la función es reversible.

El teorema se demuestra de manera similar en el caso de una función decreciente.

(Durante la demostración del teorema, el profesor hace todas las explicaciones necesarias sobre el dibujo con un rotulador)

Antes de formular la definición de función inversa, el profesor pide a los alumnos que determinen cuál de las funciones propuestas es reversible. El tablero interactivo muestra gráficos de funciones (Fig. 3, 4) y se registran varias funciones especificadas analíticamente:

A ) b )

Arroz. figura 3 4

V ) y=2x+5; GRAMO ) y = - + 7.

Comentario. La monotonicidad de una función, essuficiente Condición para la existencia de una función inversa. Perono es condición necesaria.

El profesor da ejemplos de diferentes situaciones cuando la función no es monótona sino reversible, cuando la función no es monótona y no reversible, cuando es monótona y reversible.

2) El concepto de función inversa. Algoritmo para compilar una función inversa.

Definición 2. Sea la función reversibley=f(x) definido en el conjuntoX y su rangoE(f)=Y . Hagamos coincidir cada unoy de Y entonces el único significadoX, en el cual f(x)=y. Entonces obtenemos una función que está definida enY, A X – rango de valores de función. Esta función se denotax=f -1 (y), y llama contrarrestar con respecto a la funcióny=f(x), .

Luego, el maestro presenta a los estudiantes el método para encontrar la función inversa dada analíticamente.

Algoritmo para compilar una función inversa para una función y = F ( X ), .

Asegúrese de que la funcióny=f(x) reversible en el intervaloX .

Expresar variableX a través de en de la ecuacion y=f(x), teniendo en cuenta que.

En la igualdad resultante, intercambiaX Y en. En lugar de x=f -1 (y) escribir y = f -1 (X).

Con ejemplos concretos, el profesor muestra cómo utilizar este algoritmo.

Ejemplo 1 Mostrar lo que es para una funcióny=2x-5

Solución . Función linealy=2x-5 determinado en R, aumenta en R y su rango esr Entonces la función inversa existe enR . Para encontrar su expresión analítica, resolvemos la ecuacióny=2x-5 relativamente X ; conseguir. Cambia el nombre de las variables, obtenemos la función inversa deseada. Está definida y aumenta en R.

Ejemplo 2 Mostrar lo que es para una funcióny=x 2 , x ≤ 0 existe una función inversa, y encuentre su expresión analítica.

Solución . La función es continua, monótona en su dominio de definición, por lo tanto, es invertible. Después de analizar los dominios de definición y el conjunto de valores de la función, se llega a la conclusión correspondiente sobre la expresión analítica para la función inversa, que tiene la forma.

3) Propiedades de funciones mutuamente inversas.

Propiedad 1. Si gramo es la función inversa a F , entonces y F es la función inversa a gramo (las funciones son mutuamente inversas), mientras queD ( gramo )= mi ( F ), mi ( gramo )= D ( F ) .

Propiedad 2. Si una función es creciente (decreciente) en el conjunto X, e Y es el rango de la función, entonces la función inversa es creciente (decreciente) en Y.

Propiedad 3. Para obtener la gráfica de una función inversa a una función, es necesario transformar la gráfica de la función simétricamente con respecto a la rectay=x .

Propiedad 4. Si una función impar es invertible, entonces su inversa también es impar.

Propiedad 5. si funciones F ( X ) Y mutuamente inversas, entonces es verdadera para cualquiera y verdadera para cualquiera.

Ejemplo 3 Traza la función inversa si es posible.

Solución. Esta función no tiene inversa en todo su dominio de definición, ya que no es monótona. Por lo tanto, considere el intervalo en el que la función es monótona: , por lo tanto, hay una inversa. Encontremossu . Para ello expresamosX a través dey : . Renombrar - función inversa. Construyamos gráficas de funciones (Fig. 5) y asegurémonos de que sean simétricas con respecto a una línea rectay = X .

Arroz. 5

Ejemplo 4 Encuentra el conjunto de valores de cada una de las funciones mutuamente inversas, si lo sabes.

Solución. De acuerdo con la propiedad 1 de las funciones mutuamente inversas, tenemos.

5 . resumiendo

Realización de trabajos de diagnóstico. El propósito de este trabajo es determinar el nivel de asimilación del material educativo discutido en la conferencia. Se invita a los estudiantes a responder las preguntas formuladas al comienzo de la lección.

6 . Establecer la tarea.

1. Comprender el material de lectura, aprender las definiciones básicas y formulaciones de teoremas.

2. Demostrar las propiedades de las funciones mutuamente inversas.

Lección 2 Una condición suficiente para la invertibilidad de una función"

Objetivo: formar la capacidad de aplicar los conocimientos teóricos sobre el tema en la resolución de problemas, considerar los principales tipos de problemas para estudiar una función de reversibilidad, para construir una función inversa.

Plan de lección del taller:

1. Momento organizativo.

2. Actualización de conocimientos (trabajo frontal de los estudiantes).

3. Consolidación del material estudiado (resolución de problemas).

4. Resumiendo la lección.

5. Declaración de tareas.

Durante las clases.

1. Organizando el tiempo.

Saludando al maestro, verificando la preparación de los estudiantes para la lección.

2. Actualización de conocimientos. ( trabajo frontal de los estudiantes).

Se les pide a los estudiantes que completen las siguientes tareas oralmente:

1. Formular una condición suficiente para que la función sea invertible.

2. Entre las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura, indica aquellas que son reversibles.

3. Formular un algoritmo para compilar una función inversa a una dada.

4. ¿Existen funciones inversas a los datos? Si es así, encuéntralos:

A) ; b ) ; C ) .

5. ¿Las funciones cuyas gráficas se muestran en la figura son mutuamente inversas (Fig. 6)? Justifica la respuesta.

Arroz. 6

3. Consolidación del material estudiado (resolución de problemas).

La consolidación del material estudiado consta de dos etapas:

Trabajo individual independiente de los estudiantes;

Resumen de los resultados del trabajo individual.

En la primera etapa, los estudiantes reciben tarjetas con tareas que realizan por su cuenta.

Ejercicio 1.

¿La función es reversible en todo el dominio de definición? Si es así, entonces encuentre lo contrario.

a) ; b) ; C).

Tarea 2.

Son las funciones mutuamente inversas:

A) ;

b ) .

Tarea 3.

Considere la función en cada uno de los intervalos indicados, si la función es invertible en este intervalo, luego establezca su inversa analíticamente, indique el dominio de definición y el rango de valores:

a ) R ; b ) ; d ) [-2;0].

Tarea 4.

Demostrar que la función es irreversible. Encuentre la función inversa a ella en el intervalo y trace su gráfica.

Tarea 5.

Grafique la función y determine si existe una función inversa para ella. En caso afirmativo, trace la función inversa en el mismo dibujo y configúrela analíticamente:

a ) ; b ) .

En la etapa de resumen de los resultados del trabajo individual de los estudiantes, las tareas se verifican solo con la fijación de resultados intermedios. Los problemas que causaron más dificultades se consideran en la pizarra ya sea con la divulgación de la búsqueda de soluciones o con un registro de la solución completa.

4. Resumiendo la lección (reflexión).

A los estudiantes se les ofrece un mini-cuestionario:

¿Qué me gustó de la lección?______________________________

¿Qué no me gustó de la lección? _____________________________

_________________________________________________________________

Elija una declaración que mejor se adapte a usted:

1) Puedo investigar de forma independiente la función de reversibilidad, construir la inversa y estoy seguro de que el resultado es correcto.

2) Puedo examinar la función de reversibilidad, construir la inversa, pero no siempre estoy seguro de la exactitud del resultado, necesito la ayuda de mis camaradas.

3) Prácticamente no puedo investigar la función de reversibilidad, construir la inversa, necesito consejos adicionales del profesor.

¿Dónde puedo aplicar los conocimientos adquiridos?____________________ _________________________________________________________________

5. Establecer la tarea.

№ 10.3, 10.6(c, d), 10.7(c, d), 10.9(c, d), 10.13(c, d), 10.18.(Mordkovich, A.G. Álgebra y el comienzo del análisis matemático Grado 10. A las 14:00 Parte 2. Libro de tareas para estudiantes de instituciones educativas (nivel de perfil) / A.G. Mordkovich, P. V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384 p.)

Funciones mutuamente inversas y sus gráficas

(generalizando la repetición del material cubierto)

¿Cuál de las gráficas corresponde a la gráfica de la función y=x 3 tiene reversa?

¿Cuál de las gráficas corresponde a la gráfica de la función, tiene inversa?

¿Cuál de las gráficas corresponde a la gráfica

Tiene funcion inversa?

¿Qué gráfica corresponde a la función?

Grupo 1: responde a) explica por qué

¿A qué función corresponde la gráfica? 1 . y \u003d x 3 2. 3 . y \u003d x 4 4. y \u003d x -2 5. 6. y = x-1

en la gráfica de la función

D(y)=(-:0) U(0;+)

Especifique el alcance de este

en la gráfica de la función

Especifique el rango de lo dado en la gráfica de la función

E(y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Encontrar una función inversa a una dada en = gramo ( X )

Si la función (2) es inversa a la función (1), entonces tales funciones se llaman mutuamente inversas.

Encuentre el dominio de definición y el conjunto de valores para estas funciones.

• D (y) \u003d (- ∞; 2) ∪ (2; + ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (y) \u003d (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Dominio de la función inversa g(x) coincide con el conjunto de valores del original funciones F ( X ), y el conjunto de valores de la función inversa g(x) coincide con el dominio de la función original f(x) :

D( g(x) ) = mi( f(x )), mi( g(x )) = D( f(x )).

• Una función monótona es reversible:

• si funcion F (X) aumenta, entonces su función inversa gramo (X) también aumenta;
• Si la función F (X) disminuye, entonces su función inversa gramo (X) también disminuye.

Dado: y = x 3

Construya un gráfico de esta función, exprese la fórmula de la función inversa de una función dada y trace su gráfico.

3. Si la función tiene un inverso, entonces el gráfico de la función inversa es simétrico al gráfico de esta función con respecto a la línea recta y \u003d x.

Construir una gráfica de una función inversa a una dada.

Enseñanza del trabajo independiente.

II opción

Yo opción

• Encuentre la función inversa a la dada:

2. Encuentra el dominio de definición y el conjunto de valores de la función inversa a la dada:

3. Construye una gráfica de la función inversa a la dada:

II opción

Yo opción

2. D(y)=(- ; +)

E(y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E(y)=(- ; +)

Tarea:

resolver No. 579, No. 576 (c, d

a voluntad No. 581 (1,2)

• Durante la lección aprendí………………………….
• En la lección que me interesaba …………………....
• Fue dificil ………………………………………….
• El conocimiento adquirido en la lección, puedo usar …………………………………………

R e f e x i s :

Objetivos de la lección:

Educativo:

• formar conocimientos sobre un nuevo tema de acuerdo con el material del programa;
• estudiar la propiedad de la invertibilidad de una función y enseñar a encontrar una función inversa a una dada;

Desarrollando:

• desarrollar habilidades de autocontrol, discurso sujeto;
• dominar el concepto de una función inversa y aprender los métodos para encontrar una función inversa;

Educativo: para formar la competencia comunicativa.

Equipo: computadora, proyector, pantalla, pizarra digital interactiva SMART Board, folleto (trabajo independiente) para trabajo en grupo.

Durante las clases.

1. Momento organizativo.

Objetivo – preparar a los estudiantes para el trabajo en el aula:

Definición de ausente,

Actitud de los alumnos hacia el trabajo, organización de la atención;

Mensaje sobre el tema y el propósito de la lección.

2. Actualización de los conocimientos básicos de los alumnos. encuesta frontal.

Objetivo - para establecer la corrección y la conciencia del material teórico estudiado, la repetición del material cubierto.<Приложение 1 >

Se muestra un gráfico de la función en la pizarra interactiva para los estudiantes. El maestro formula la tarea: considerar el gráfico de la función y enumerar las propiedades estudiadas de la función. Los estudiantes enumeran las propiedades de una función de acuerdo con el diseño de investigación. El profesor, a la derecha del gráfico de la función, escribe las propiedades nombradas con un marcador en la pizarra digital interactiva.

Propiedades de la función:

Al final del estudio, el maestro informa que hoy en la lección se familiarizarán con una propiedad más de la función: la reversibilidad. Para un estudio significativo del material nuevo, el maestro invita a los niños a familiarizarse con las preguntas principales que los estudiantes deben responder al final de la lección. Las preguntas se escriben en una pizarra común y cada estudiante tiene un folleto (distribuido antes de la lección)

1. ¿Qué es una función reversible?
2. ¿Todas las funciones son reversibles?
3. ¿Cuál es la función inversa dada?
4. ¿Cómo se relacionan el dominio de definición y el conjunto de valores de una función y su función inversa?
5. Si la función se da analíticamente, ¿cómo se define la función inversa con una fórmula?
6. Si una función se da gráficamente, ¿cómo trazar su función inversa?

3. Explicación del nuevo material.

Objetivo - formar conocimientos sobre un nuevo tema de acuerdo con el material del programa; estudiar la propiedad de la invertibilidad de una función y enseñar a encontrar una función inversa a una dada; desarrollar la materia.

El maestro realiza una presentación del material de acuerdo con el material del párrafo. En la pizarra interactiva, el profesor compara las gráficas de dos funciones cuyos dominios de definición y conjuntos de valores son los mismos, pero una de las funciones es monótona y la otra no, lo que lleva a los estudiantes al concepto de función invertible. .

Luego, el maestro formula la definición de una función invertible y demuestra el teorema de la función invertible utilizando el gráfico de función monótona en la pizarra digital interactiva.

Definición 1: La función y=f(x), x X se llama reversible, si toma alguno de sus valores solo en un punto del conjunto X.

Teorema: Si la función y=f(x) es monótona en el conjunto X, entonces es invertible.

Prueba:

1. Deja que la función y=f(x) aumenta en X Déjalo ir X 1 ≠ X 2- dos puntos del set X.
2. Para mayor precisión, dejemos x1< x2.
   Entonces de que x1< x2 sigue que f(x1) < f(x2).
3. Así, diferentes valores del argumento corresponden a diferentes valores de la función, es decir la función es reversible.

(Durante la demostración del teorema, el profesor hace todas las explicaciones necesarias sobre el dibujo con un rotulador)

Antes de formular la definición de función inversa, el profesor pide a los alumnos que determinen cuál de las funciones propuestas es reversible. La pizarra interactiva muestra gráficos de funciones y se escriben varias funciones definidas analíticamente:

B)

GRAMO) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

El profesor introduce la definición de una función inversa.

Definición 2: Sea una función invertible y=f(x) definido en el conjunto X Y E(f)=Y. Hagamos coincidir cada uno y de Y entonces el único significado X, en el cual f(x)=y. Entonces obtenemos una función que está definida en Y, A X es el rango de la función

Esta función se denota x=f -1 (y) y se llama la inversa de la función y=f(x).

Se invita a los estudiantes a sacar una conclusión sobre la relación entre el dominio de definición y el conjunto de valores de las funciones inversas.

Para considerar la cuestión de cómo encontrar la función inversa de un dato, el maestro involucró a dos estudiantes. El día anterior, los niños recibieron una tarea del maestro para analizar de forma independiente los métodos analíticos y gráficos para encontrar la función inversa dada. El maestro actuó como consultor en la preparación de los estudiantes para la lección.

Mensaje del primer alumno.

Nota: la monotonicidad de una función es suficiente Condición para la existencia de una función inversa. Pero no es condición necesaria.

El estudiante dio ejemplos de varias situaciones cuando la función no es monótona, sino reversible, cuando la función no es monótona y no reversible, cuando es monótona y reversible

Luego, el estudiante les presenta el método para encontrar la función inversa dada analíticamente.

Algoritmo de búsqueda

1. Asegúrate de que la función sea monótona.
2. Exprese x en términos de y.
3. Renombrar variables. En lugar de x \u003d f -1 (y) escriben y \u003d f -1 (x)

Luego resuelve dos ejemplos para hallar la función de la inversa de la dada.

Ejemplo 1: Muestre que existe una función inversa para la función y=5x-3 y encuentre su expresión analítica.

Solución. La función lineal y=5x-3 está definida en R, crece en R y su rango es R. Por lo tanto, la función inversa existe en R. Para encontrar su expresión analítica, resolvemos la ecuación y=5x-3 con respecto a X; obtenemos Esta es la función inversa deseada. Está definida y aumenta en R.

Ejemplo 2: Muestre que existe una función inversa para la función y=x 2 , x≤0, y encuentre su expresión analítica.

La función es continua, monótona en su dominio de definición, por lo tanto, es invertible. Habiendo analizado los dominios de definición y el conjunto de valores de la función, se llega a la conclusión correspondiente sobre la expresión analítica de la función inversa.

El segundo estudiante hace una presentación sobre gráfico cómo encontrar la función inversa. En el curso de su explicación, el estudiante utiliza las capacidades de la pizarra digital interactiva.

Para obtener la gráfica de la función y=f -1 (x), inversa a la función y=f(x), es necesario transformar la gráfica de la función y=f(x) simétricamente respecto a la recta y=x.

Durante la explicación en la pizarra digital interactiva, se realiza la siguiente tarea:

Construya un gráfico de una función y un gráfico de su función inversa en el mismo sistema de coordenadas. Escribe una expresión analítica para la función inversa.

4. Fijación primaria del nuevo material.

Objetivo - para establecer la corrección y la conciencia de la comprensión del material estudiado, para identificar lagunas en la comprensión primaria del material, para corregirlas.

Los estudiantes se dividen en parejas. Se les entregan hojas con tareas en las que trabajan en parejas. El tiempo para completar el trabajo es limitado (5-7 minutos). Un par de estudiantes trabaja en la computadora, el proyector está apagado por este tiempo y el resto de los niños no pueden ver cómo trabajan los estudiantes en la computadora.

Al final del tiempo (se supone que la mayoría de los estudiantes completaron el trabajo), la pizarra digital interactiva (el proyector se enciende nuevamente) muestra el trabajo de los estudiantes, donde se aclara durante la prueba que la tarea se completó en pares Si es necesario, el maestro realiza un trabajo correctivo y explicativo.

Trabajo independiente en parejas.<Anexo 2 >

5. El resultado de la lección. Sobre las preguntas que se hicieron antes de la conferencia. Anuncio de las calificaciones de la lección.

Tarea §10. №№ 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

El álgebra y los comienzos del análisis. Grado 10 En 2 partes para instituciones educativas (nivel de perfil) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova y otros; edición A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007