NR MOBU "Escuela secundaria número 2 de Poykovskaya"
Lección abierta de álgebra en séptimo grado.
sobre este tema:
"Multiplicar un monomio por un polinomio"
profesores de matematicas
Limar T.A.
Ciudad de Poikovski, 2014
Información metodológica
tipo de lección
Una lección sobre cómo “descubrir” nuevos conocimientos
Objetivos de la lección (educativos, de desarrollo, educativos)
Objetivo de actividad de la lección. : desarrollar en los estudiantes la capacidad de construir de forma independiente nuevos métodos de acción sobre el tema “Multiplicación de un monomio por un polinomio” basado en el método de autoorganización reflexiva.
Propósito educativo : ampliación de la base conceptual sobre el tema “Polinomios” mediante la inclusión de nuevos elementos en él: multiplicación de monomios por polinomios.
Objetivos de la lección
educativo:
Desarrolle un algoritmo para multiplicar un monomio por un polinomio, considere ejemplos de su aplicación.
desarrollando:
Desarrollo de la atención, la memoria, la capacidad de razonar y justificar las acciones mediante la resolución de un problema problemático;
Desarrollo del interés cognitivo por el tema;
Formación de una actitud emocionalmente positiva en los estudiantes mediante el uso de formas activas de impartición de lecciones y el uso de las TIC;
Desarrollo de habilidades reflexivas a través del análisis de los resultados de las lecciones y el autoanálisis de los propios logros.
educativo:
Desarrollo de las habilidades comunicativas de los estudiantes a través de la organización del trabajo grupal, por parejas y frontal en el aula.
Métodos utilizados
Métodos verbales (conversación, lectura),
Visual (demostración de presentación),
búsqueda de problemas,
Método de autoorganización reflexiva (método de actividad),
Formación de UUD personal.
Soporte didáctico de la lección:
presentación por computadora,
tarjetas de tareas,
Tarjetas de evaluación del trabajo de lección,
Tarjetas con tareas prácticas sobre un tema nuevo.
Etapas de la lección
actividades docentes
Actividades estudiantiles
Etapa organizacional. (1 minuto)
Metas: actualizar los conocimientos de los estudiantes, determinar los objetivos de la lección, dividir la clase en grupos (de diferentes niveles), elegir un líder de grupo.
Estado de ánimo psicológico, saludo a los estudiantes.
Saluda a los alumnos y nombra el epígrafe de la lección. Ofrece tomar asiento en grupos predistribuidos y da instrucciones preliminares.
Hola, por favor tome asiento. Chicos, miles de años antes de que naciéramos, Aristóteles dijo que "...las matemáticas... revelan orden, simetría y certeza, y estos son los tipos más importantes de belleza". Y después de cada lección, hay menos incertidumbre en el mundo de las matemáticas. Espero que hoy tú y yo descubramos algo nuevo para nosotros mismos.
Durante la lección, completarán una hoja de evaluación, que se encuentra en sus escritorios, después de completar cada tarea.
Los estudiantes se sientan en grupos previamente divididos. Familiarícese con la hoja de puntuación.
Conteo verbal.
Objeto: comprobar la asimilación de material teórico sobre el tema: “Multiplicación de un monomio por un monomio. Exponenciación” y la capacidad de aplicarla en la práctica, desarrollo de la capacidad de pensamiento de los estudiantes, conciencia del valor de las actividades conjuntas, lucha por el éxito del grupo.
a) dictado matemático.
Dar monomios similares.
a) 2x+4y+6x=
b) -4a+c-3a=
c) 3c+2d+5d=
d) -2d +4a-3a =
2. Multiplicar un monomio por un monomio
a) -2xy 3x
b) (-4av) (-2c)
d) (-5av) (2z)
mi) 2z (x+y)
El profesor se ofrece a completar un dictado matemático escrito en la pizarra. Supervisa la correcta ejecución y conduce al estudio de nuevo material.
Junto con los estudiantes, formula el propósito y el tema de la lección.
- ¿Qué número de dictado te causó más dificultad?
Intentemos descubrirlo Dónde fue precisamente la dificultad que surgió y ¿Por qué?
- El objetivo de nuestra lección: aprender a multiplicar un monomio por un polinomio (la validez de su solución).
Tema de la lección: "tú multiplicar un monomio por un polinomio."
Los estudiantes completan las tareas. Junto con el profesor, formula el propósito y el tema de la lección. Escriba el tema de la lección en cuadernos.
(respuesta esperada de los estudiantes d)
Desarrollar (formular) una regla para multiplicar un monomio por un polinomio.
Llegando a un nuevo tema
Objetivo: preparar a los estudiantes para aprender material nuevo. .
Trabajo en grupos.
Grupo nº 1.
Calcular.
15 80+15 20= 1200+300=1500
15 (80+20)=15 100=1500
Grupo nº 2
Calcular.
20 40+20 100=800+2000=2800
20 (40+100)=20 140=2800
Grupo nº 3.
Calcular.
6 (2a+3a)=6 5a=30a
6 2a+6 3a=12a+18a=30
Grupo nº 4
Calcular
7 (4x+2x)= 7 6x=42
7 4x+7 2x=28x+14x=42x
El maestro da instrucciones. Controla la ejecución.
Cada grupo necesita encontrar el significado de dos expresiones. Compáralos y escribe la conclusión como una igualdad o desigualdad.
Los estudiantes resuelven ejemplos en grupos y sacan conclusiones.
1 miembro de cada grupo escribe la conclusión en la pizarra.
En la pizarra está escrito:
15 80+15 20=15 (80+20)
20 40+20 100=20 (40+100)
6 (2a+3a)=6 2a+6 3
7 (4x+2x)=7 4x+7 2x
Los estudiantes se califican a sí mismos en una hoja de puntuación. Si la conclusión está formulada y escrita correctamente, entonces dan 5.
“Descubrimiento” de material nuevo por parte de los estudiantes.
Objetivo: desarrollar en los estudiantes la capacidad de construir de forma independiente nuevos métodos de acción sobre el tema “Multiplicación de un monomio por un polinomio” basado en el método de autoorganización reflexiva.
Completando la tarea "Rellena los espacios en blanco"
Diapositiva 2.
2z ∙(x +y )=2z ∙ +2z ∙
3x(a+b)= a+ b
Después de un minuto, se muestra la solución correcta en el tablero.
El maestro da instrucciones.
Realiza una encuesta. Saca una conclusión.
Usando las ecuaciones escritas en la pizarra, complete los espacios en blanco en las siguientes expresiones
¿Notas lo que viene antes del paréntesis?
¿Qué hay entre paréntesis?
¿Cual es la respuesta?
Y así, concluyamos cómo multiplicar un monomio por un polinomio. Después de tres minutos, presenta tu material a la clase (usando una hoja de papel blanca y marcadores).
Resume
Comprobemos si formuló la regla correctamente. Para hacer esto, abra el libro de texto en la p.
Los estudiantes trabajan en grupos, cada grupo discute cómo completar los espacios en blanco.
Compruebe que los espacios en blanco estén rellenados correctamente.
Cada grupo plantea su hipótesis y la presenta a la clase, realiza una discusión general y llega a una conclusión.
Leer en voz alta una regla de un libro de texto.
Monomio
Polinomio
Nuevo polinomio
Consolidación primaria.
Objetivo: practicar las habilidades de multiplicar un monomio por un polinomio, desarrollar las habilidades de pensamiento de los estudiantes, darse cuenta del valor de las actividades conjuntas, luchar por el éxito del grupo, aumentar la motivación de las actividades educativas.
Trabajo en grupos.
Grupo nº 1, 3
x∙(
m ∙(n +3)=_________________ ; 7a ∙(2b -3c) = _______________;
Grupo nº 2, 4
a∙(c-y) = __________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;
m∙(y+5)=_________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;
7
El maestro da instrucciones.
Llévalo a tu escritorio tarjeta numero 2 Un requisito previo es que, al decidir, se pronuncien la regla entre sí.
Realice una revisión por pares, el grupo 1 intercambia tarjetas con el grupo 3 y el grupo 2 con el grupo 4. Califique los grupos en la hoja de puntuación:
5 tareas completadas correctamente – puntuación “5”; 4 - "4"; 3- "3"; menos de 3 - "2".
Complete la tarea en las tarjetas y realice controles mutuos.
El miembro responsable del grupo #1 pregunta a cualquier miembro del grupo #3. Proporciona una calificación en la hoja de puntuación.
el miembro responsable del grupo #2 le pregunta a cualquier miembro del grupo #4. Agrega una calificación a la hoja de puntuación.
6. Ejercicios matemáticos.
Objetivo: aumentar o mantener el rendimiento mental de los niños en el aula;
Proporcionar descanso activo a corto plazo a los estudiantes durante la lección.
El profesor da instrucciones, muestra tarjetas en las que están escritos monomios, polinomios y expresiones que no son ni monomios ni polinomios.
Los estudiantes realizan ejercicios de comandos.
“Monomio” - manos levantadas; "Polinomio" - manos frente a ti; "Otra expresión" - manos a los lados;
Cerramos los ojos, contamos en silencio hasta 30 y abrimos los ojos.
Lotería de Matemáticas
Objetivo: consolidar el algoritmo para multiplicar un monomio por un polinomio y estimular el interés por las matemáticas.
Grupo nº 1,3
c(3a-4b)=3ac-12vs;
3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;
4) -n(xm)=-nx+nm;
5) 3z (x-y)= 3zx-3zy .
Tarjetas de respuesta:
3:00 a 12:00 horas; 3ac+12sol; 3ac-4v
zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;
3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;
Nx+nm; nx+nm; nx-nm;
3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.
Grupo nº 2, 4
Multiplicar un monomio por un polinomio
5a(b+3d)=5ab+15ad
A(3b+c)=-3av-as;
4x (5c -s )=20cx -4xs ;
a(3c+2b)=3ac +2ba
Tarjetas de respuesta:
3av-ac; 3av+as; tú;
20cx-4xs; 20cx +4xs ; 5c-4xs;
3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;
cp-5cm; miércoles-5m; p-5cm.
5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad
Entrega sobres. Dice las reglas del juego. Un sobre contiene 5 ejemplos de multiplicación de un monomio por un polinomio y 15 tarjetas con respuestas.
Explico cómo evaluar el trabajo realizado.
El grupo recibe una puntuación de “5” si es el primero en completar todas las tareas correctamente, 4 tareas – “4”; 3 tareas – “3”, menos de tres – “2”, el grupo que completa el segundo juego de lotería, habiendo completado todas las tareas, recibe correctamente una puntuación de “4”, el tercero – “3”, el último – “ 2”.
Recibe sobres con tareas.
Multiplica un monomio por un monomio.
Elija las respuestas correctas de todas las tarjetas proporcionadas.
Autotest.
Reciba una tarjeta de autoevaluación. Ponga la calificación en la hoja de puntuación.
8 . Reflexión sobre las actividades de aprendizaje en la lección (resumen de la lección).
Objetivo: autoevaluación por parte de los estudiantes de los resultados de sus actividades educativas, conciencia del método de construcción de límites y aplicación de una nueva forma de acción.
Conversación frontal sobre las preguntas de la diapositiva:
¿Qué algoritmo para multiplicar un monomio por un polinomio existe en matemáticas?
¿Cuál es el resultado de sus actividades?
El profesor analiza las hojas de evaluación (sus resultados son visibles en la diapositiva)
Vuelve al lema de la lección, establece un paralelo entre el epígrafe y el algoritmo desarrollado en la lección.
Presentar hojas de evaluación que muestren claramente los resultados de sus actividades.
Volvamos una vez más al lema de nuestra lección: “...las matemáticas... revelan orden, simetría y certeza, y estos son los tipos de belleza más importantes”. El algoritmo que desarrollamos hoy en clase nos ayudará a hacer nuevos descubrimientos en el futuro: multiplicar un polinomio por un polinomio nos ayudará a aprender fórmulas de multiplicación abreviadas, de las que se habla mucho en álgebra. Por delante nos esperan muchas cosas interesantes e importantes.
¡¡¡Gracias por la leccion!!!
Los estudiantes hacen un autoanálisis de su trabajo, recuerdan el algoritmo aprendido en clase y responden preguntas.
SOLICITUD.
TARJETA #1.
Grupo nº 1.
Calcular.
15 80+15 20= ______________________________
15 (80+20)= _______________________________
TARJETA #1.
Grupo nº 2
Calcular.
20 40+20 100 =_________________________________
20 (40+100)= __________________________________
TARJETA #1.
Grupo nº 3.
Calcular.
6 (2a+3a)=_____________________________________________
6 2a+6 3a=_____________________________________________
TARJETA N° 1
Grupo nº 4
Calcular
7 (4x+2x)= _____________________________________
7 4x+7 2x= _____________________________________
TARJETA #2.
Grupo nº 3
x∙( z+y) = __________________; a ∙(c +d )=__________________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
TARJETA №4.
Grupo nº 2
7x∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.TARJETA #2.
Grupo nº 1
x∙( z+y) = __________________; a ∙(c +d )=__________________ ;
m∙(n+3)=_________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________ ;
5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.
TARJETA №2.
Grupo nº 2
a ∙ (c -y ) = __________________ ; c ∙(c +d )=__________________ ;
m ∙(y +5)=_________________ ; 6m ∙(2n -3k) = ______________ ;
7x∙(5d -8d )= ______ - ________= _______.Lotería de Matemáticas (dos copias cada uno)
c(3a-4c)
z(x+2y)
3c(x-3y)
-n(xm)
3z(xy)
-а(3в+с)
4x(5c-s)
a(3c+2b)
c(p-5m)
5a(b+3d)
Respuestas a la lotería (dos copias cada una)
3 am-12 dom
3ac+12sol
3ac-4v
zx+2zy;
zx-2zy
zx+2y
3skh-9su
3cx-3cy
3сх+3су
Nx+nm
nx+nm
nx-nm
zx-zy
3zx-y
3zx-3zy
3av-ac
3av+ac;
tú
20cx-4xs
20cx +4xs
5c-4xs
3ac+2ba
3ac+6ba
3ac-2ba
cp-5cm
Casarse -5m
p-5cm.
5ab+anuncio
5ab+5b
>>Matemáticas: Multiplicar un polinomio por un monomio
Multiplicar un polinomio por un monomio
Probablemente haya notado que hasta ahora el Capítulo 4 ha seguido el mismo plan que el Capítulo 3. En ambos capítulos, se introdujeron por primera vez conceptos básicos: en el Capítulo 3 eran un monomio, una forma estándar de un monomio, un coeficiente de un monomio; en el capítulo 4 - polinomio, la forma estándar de un polinomio. Luego, en el Capítulo 3 vimos la suma y resta de monomios; de manera similar, en el Capítulo 4: suma y resta de polinomios.
¿Qué pasó después en el Capítulo 3? A continuación hablamos de multiplicar monomios. Entonces, por analogía, ¿de qué deberíamos hablar ahora? Sobre la multiplicación de polinomios. Pero aquí tendremos que actuar lentamente: primero (en esta sección) consideraremos multiplicar un polinomio por monomio(o un monomio por un polinomio, es lo mismo), y luego (en el siguiente párrafo) - multiplicación de cualquier polinomio. Cuando aprendiste a multiplicar números en la escuela primaria, también actuaste gradualmente: primero aprendiste a multiplicar un número de varios dígitos por un número de un solo dígito, y solo luego a multiplicar un número de varios dígitos por un número de varios dígitos.
(a + b)с =ас + bс.
Ejemplo 1. Realizar multiplicación 2a 2 - Зab) (-5а).
Solución. Introduzcamos nuevas variables:
x = 2a 2, y = Zab, z = - 5a.
Entonces este producto se reescribirá en la forma (x + y)z, que, según la ley de distribución, es igual a xr + yz. Ahora volvamos a las antiguas variables:
xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Зab) (- 5a).
Todo lo que tenemos que hacer es encontrar los productos de monomios. Obtenemos:
- 10a 3 + 15a 2b
Aquí hay un breve resumen de la solución (así es como la escribiremos en el futuro, sin introducir nuevas variables):
(2a 2 - Zab) (- 5a) = 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a) = -10a 3 +15a 2 b.
Ahora podemos formular la regla correspondiente para multiplicar un polinomio por un monomio.
La misma regla se aplica al multiplicar un monomio por un polinomio:
- 5a(2a 2 - Zab) = (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) = 10a 3 + 15a 2 b
(Tomamos el ejemplo 1, pero intercambiamos los factores).
Ejemplo 2. Representar un polinomio como producto de un polinomio y un monomio si:
a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;
b) p 2 (x, y) = x 2 + 3 2.
Solución.
a) Tenga en cuenta que 2x 2 y = 2x xy, y 4a: = 2x 2. Esto significa
2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x
b) En el ejemplo a) logramos incluir muchos términos p 1 (x, y) = 2x 2 y + 4a en cada término: seleccione la misma parte (mismo factor) 2x. Aquí no existe tal parte común. Esto significa que el polinomio p 2 (x, y) = x 2 + 3 2 no se puede representar como el producto de un polinomio y un monomio.
De hecho, el polinomio p 2 (x, y) se puede representar como un producto, por ejemplo, así:
x 2 + 3y 2 = (2x 2 + 6y 2) 0,5
o así:
x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- el producto de un número por un polinomio, pero se trata de una transformación artificial y no se utiliza a menos que sea absolutamente necesario.
Por cierto, la exigencia de representar un polinomio dado como producto de un monomio y un polinomio ocurre con bastante frecuencia en matemáticas, por lo que este procedimiento recibe un nombre especial: colocar el factor común entre paréntesis.
La tarea de sacar el factor común entre corchetes puede ser correcta (como en el ejemplo 2a), o puede no ser del todo correcta (como en el ejemplo 26). Examinaremos específicamente esta cuestión en el próximo capítulo.
Al final de esta sección, resolveremos problemas que mostrarán cómo trabajar con modelos matemáticos En situaciones reales, hay que hacer una suma algebraica de polinomios y multiplicar un polinomio por un monomio. Por eso no en vano estudiamos estas operaciones.
Ejemplo 3. Los puntos A, B y C están ubicados en la carretera como se muestra en la Figura 3. La distancia entre A y B es de 16 km. Un peatón salió de B hacia C. 2 horas después, un ciclista salió de A en dirección a C, cuya velocidad es 6 km/h mayor que la velocidad de un peatón. 4 horas después de salir, el ciclista alcanzó al peatón en el punto C. ¿Cuál es la distancia de B a C?
Solución.
Primera etapa. Elaboración de un modelo matemático. Sea x km/h la velocidad de un peatón, entonces (x + 6) km/h es la velocidad de un ciclista.
El ciclista recorrió la distancia de A a C en 4 horas, lo que significa que esta distancia se expresa mediante la fórmula 4 (x + 6) km; en otras palabras, AC = 4 (x + 6).
El peatón caminó la distancia de B a C en 6 horas (después de todo, antes de que el ciclista se fuera, ya llevaba 2 horas en la carretera), por lo tanto, esta distancia se expresa mediante la fórmula 6x km; en otras palabras, BC = 6x
Ahora preste atención a la Figura 3: AC - BC = AB, es decir, AC - BC = 16. Ésta es la base para elaborar un modelo matemático del problema. Recuerde que AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; por eso,
4(x+6)-6x=16.
A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas
Contenido de la lección notas de la lección marco de apoyo presentación de lecciones métodos de aceleración tecnologías interactivas Práctica tareas y ejercicios talleres de autoevaluación, capacitaciones, casos, misiones preguntas de discusión de tareas preguntas retóricas de los estudiantes Ilustraciones audio, videoclips y multimedia fotografías, cuadros, gráficos, tablas, diagramas, humor, anécdotas, chistes, historietas, parábolas, refranes, crucigramas, citas Complementos resúmenes artículos trucos para los curiosos cunas libros de texto diccionario de términos básico y adicional otros Mejorar los libros de texto y las lecciones.corregir errores en el libro de texto actualizar un fragmento de un libro de texto, elementos de innovación en la lección, reemplazar conocimientos obsoletos por otros nuevos Sólo para profesores lecciones perfectas plan calendario para el año; recomendaciones metodológicas; programas de discusión Lecciones integradasUn caso especial de multiplicar un polinomio por un polinomio es multiplicar un polinomio por un monomio. En este artículo formularemos la regla para realizar esta acción y analizaremos la teoría utilizando ejemplos prácticos.
Regla para multiplicar un polinomio por un monomio
Averigüemos cuál es la base para multiplicar un polinomio por un monomio. Esta acción se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación relativa a la suma. Literalmente esta propiedad se escribe de la siguiente manera: (a + b) c = a c + b c (a, b y C– algunos números). En esta entrada la expresión (a+b)c es precisamente el producto del polinomio (a + b) y el monomio C. El lado derecho de la igualdad. a·c+b·c es la suma de los productos de monomios a Y b por monomio C.
El razonamiento anterior nos permite formular la regla para multiplicar un polinomio por un monomio:
Definición 1
Para realizar la acción de multiplicar un polinomio por un monomio se debe:
- escribir el producto de un polinomio y un monomio que deben multiplicarse;
- multiplicar cada término de un polinomio por un monomio dado;
- Encuentre la suma de los productos resultantes.
Expliquemos con más detalle el algoritmo dado.
Para formar el producto de un polinomio y un monomio, el polinomio original se incluye entre paréntesis; luego se coloca un signo de multiplicación entre éste y el monomio dado. Si un monomio comienza con un signo menos, también debe estar entre paréntesis. Por ejemplo, el producto de un polinomio − 4 x 2 + x − 2 y monomio 7 años escribámoslo como (− 4 x 2 + x − 2) 7 y, y el producto del polinomio un 5 segundo - 6 un segundo y monomio − 3 un 2 ponlo en la forma: (a 5 segundo - 6 a segundo) (- 3 a 2).
El siguiente paso del algoritmo es multiplicar cada término del polinomio por un monomio dado. Los componentes de un polinomio son monomios, es decir Básicamente, necesitamos multiplicar un monomio por un monomio. Supongamos que después del primer paso del algoritmo recibimos la expresión (2 x 2 + x + 3) 5 x, entonces el segundo paso es multiplicar cada término del polinomio 2 x 2 + x + 3 con monomio 5x, obteniendo así: 2 x 2 5 x = 10 x 3, x 5 x = 5 x 2 y 3 5 x = 15 x. El resultado serán monomios 10 x 3, 5 x 2 y 15x.
La última acción según la regla es la adición de los productos resultantes. Del ejemplo propuesto, habiendo completado este paso del algoritmo, obtenemos: 10x3 + 5x2 + 15x.
Como norma, todos los pasos se escriben como una cadena de igualdades. Por ejemplo, encontrar el producto de un polinomio. 2 x 2 + x + 3 y monomio 5x escribámoslo así: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x. Eliminando el cálculo intermedio del segundo paso, se puede escribir una solución corta de la siguiente manera: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.
Los ejemplos considerados permiten notar un matiz importante: como resultado de multiplicar un polinomio y un monomio, se obtiene un polinomio. Esta afirmación es cierta para cualquier polinomio y monomio multiplicable.
Por analogía, un monomio se multiplica por un polinomio: un monomio dado se multiplica por cada término del polinomio y los productos resultantes se suman.
Ejemplos de multiplicar un polinomio por un monomio
Ejemplo 1Es necesario encontrar el producto: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x.
Solución
El primer paso de la regla ya se ha completado: se ha registrado el trabajo. Ahora realizamos el siguiente paso multiplicando cada término del polinomio por el monomio dado. En este caso, conviene convertir primero fracciones decimales a fracciones ordinarias. Entonces obtenemos:
1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = 1, 4 x 2 - 2 7 x - 3, 5 y - 2 7 x = = - 1, 4 2 7 x 2 x + 3, 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y
Respuesta: 1, 4 x 2 - 3, 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y.
Aclaremos que cuando el polinomio y/o monomio original se dan en forma no estándar, antes de encontrar su producto, es recomendable reducirlos a una forma estándar.
Ejemplo 2
Polinomio dado 3 + un - 2 · un 2 + 3 · un - 2 y monomio − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a. Necesitas encontrar su trabajo.
Solución
Vemos que los datos originales se presentan en una forma no estándar, por lo que, para facilitar cálculos adicionales, los colocaremos en una forma estándar:
− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a = (− 0 , 5) · (− 2) · (a · a) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · un 2 + 3 · un − 2 = (3 − 2) + (un + 3 · un) − 2 · un 2 = 1 + 4 · un − 2 · un 2
Ahora multipliquemos el monomio. un 2 segundo para cada término del polinomio 1 + 4 · un − 2 · un 2
a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · un 4 · b
No podríamos reducir los datos iniciales a una forma estándar: la solución sería más engorrosa. En este caso, el último paso sería la necesidad de traer miembros similares. Para entenderlo, aquí hay una solución según este esquema:
− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = = − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · a − 0 , 5 · a · · b · (− 2) · a · (− 2 · a 2) − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 · a − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · (− 2) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b
Respuesta: − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b.
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I.Para multiplicar un monomio por un polinomio, debes multiplicar cada término del polinomio por este monomio y sumar los productos resultantes.
Ejemplo 1. Multiplica un monomio por un polinomio: 2a·(4a 2 -0.5ab+5a 3).
Solución. Monomio 2a Multiplicaremos por cada monomio del polinomio:
2a·(4a 2 -0.5ab+5a 3)=2a∙4a 2 +2a∙(-0.5ab)+2a∙5a 3=8a 3 -a 2 b+10a 4 . Escribamos el polinomio resultante en forma estándar:
10a 4 +8a 3 -a 2 b.
Ejemplo 2. Multiplica un polinomio por un monomio: (3xyz 5 -4.5x 2 y+6xy 3 +2.5y 2 z)∙(-0.4x 3).
Solución. Multiplicamos cada término entre paréntesis por un monomio (-0,4x3).
(3xyz 5 -4.5x 2 y+6xy 3 +2.5y 2 z)∙(-0.4x 3)=
3xyz 5 ∙(-0.4x 3) -4.5x 2 y∙(-0.4x 3)+6xy 3 ∙(-0.4x 3)+2.5y 2 z∙(-0.4x 3)=
=-1.2x 4 yz 5 +1.8x 5 y-2.4x 4 y 3 -x 3 y 2 z.
II.Representar un polinomio como producto de dos o más polinomios se llama factorizar el polinomio.
III.Quitar el factor común entre paréntesis es la forma más sencilla de factorizar un polinomio.
Ejemplo 3. Factoriza el polinomio: 5a 3 +25ab-30a 2 .
Solución. Saquemos de paréntesis el factor común de todos los términos del polinomio. este es un monomio 5a, porque en 5a cada miembro de un polinomio dado se divide. Entonces, 5a escribimos antes de los paréntesis, y entre paréntesis escribimos los cocientes de dividir cada monomio por 5a.
5a 3 +25ab-30a 2 =5a·(a 2 +5b-6a). Comprobémonos: si multiplicamos 5a al polinomio entre paréntesis a 2+5b-6a, entonces obtenemos este polinomio 5a 3 +25ab-30a 2.
Ejemplo 4. Saque el factor común de paréntesis: (x+2y) 2 -4·(x+2y).
Solución.(x+2y) 2 -4·(x+2y)= (x+2y)(x+2y-4).
El factor común aquí fue el binomio. (x+2y). Lo sacamos de paréntesis y entre paréntesis escribimos los cocientes de la división de estos términos. (x+2y) 2 Y -4·(x+2y) por su divisor común
(x+2y). Como resultado, representamos este polinomio como un producto de dos polinomios. (x+2y) Y (x+2y-4), en otras palabras, expandimos el polinomio (x+2y) 2 -4·(x+2y) por multiplicadores. Respuesta: (x+2y)(x+2y-4).
IV.Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y escribir los productos resultantes como una suma de monomios. Si es necesario, agregue términos similares.
Ejemplo 5. Realizar multiplicación de polinomios: (4x 2 -6xy+9y 2)(2x+3y).
Solución. Según la regla, debemos multiplicar cada término del primer polinomio (4x 2 -6xy+9y 2) por cada término del segundo polinomio (2x+3y). Para evitar confusiones, haz siempre esto: primero multiplica cada término del primer polinomio por 2x, luego multiplica nuevamente cada término del primer polinomio por 3y.
(4x 2 -6xy+9y 2)( 2x +3y)=4x 2 ∙ 2x-6xy∙ 2x+9y 2 ∙ 2x+4x 2∙ 3 años-6xy∙ 3 años+9y 2 ∙ 3 años=
8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .
Los términos similares -12x 2 y y 12x 2 y, así como 18xy 2 y -18xy 2 resultaron ser opuestos, sus sumas son iguales a cero.
Respuesta: 8x 3 +27y 3 .
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¿En un monomio? ¿Cómo colocar correctamente los signos al multiplicar?
Regla.
Para multiplicar un polinomio por, debes multiplicar cada término del polinomio por un monomio y sumar los resultados resultantes.
Es conveniente escribir un monomio antes del paréntesis.
Para colocar correctamente los signos al multiplicar, es mejor utilizar la regla de abrir paréntesis, precedidos de un signo más o un signo menos.
Las multiplicaciones de un polinomio por un monomio se pueden representar mediante un diagrama.
Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio entre paréntesis (“fuente”).
Si hay un signo "+" delante del paréntesis, los signos entre paréntesis no cambian:
Si hay un signo "-" delante de los corchetes, cada signo entre corchetes se invierte:
Veamos cómo multiplicar un polinomio por un monomio usando ejemplos específicos.
Ejemplos.
Multiplica un polinomio por un monomio:
Solución:
Multiplica el monomio por cada término del polinomio entre paréntesis. Dado que los paréntesis están precedidos por un signo más, los caracteres entre paréntesis no cambian:
Multiplicamos los números por separado, por separado, con las mismas bases:
Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio. Como hay un factor delante de los paréntesis, cambiamos el signo de cada término entre paréntesis al opuesto:
La multiplicación de potencias y números, que suele escribirse de forma más breve, (con la excepción de fracciones ordinarias y números mixtos) se realiza de forma oral.
Si los coeficientes son fracciones ordinarias, los multiplicamos de acuerdo con la regla para multiplicar fracciones ordinarias: numerador por numerador, denominador por denominador e inmediatamente los escribimos debajo de una línea de fracción. Si los coeficientes son números mixtos, conviértalos a fracciones impropias:
¡Atención!
No reducimos fracciones hasta que hayamos anotado todas las acciones hasta el final. Como muestra la práctica, si comienza inmediatamente a reducir fracciones, el resto de los términos no se tratan, simplemente se olvidan.
