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1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA Institución Educativa Presupuestaria del Estado Federal de Educación Superior "Universidad Estatal de Togliatti" Instituto de Matemáticas, Física y Tecnologías de la Información Departamento "Álgebra y Geometría" L A V R S K A Y A B O T A Dirección de preparación de la licenciatura: Educación pedagógica Orientación (perfil ): Matemáticas e informática Estudiante V.V. Supervisor científico de Nazarov: Ph.D., prof. REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES. Uteeva Admitir para la defensa Jefe del departamento: Doctor en Ciencias Pedagógicas, prof. REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES. Uteeva 016 Togliatti - 016

2 CONTENIDO INTRODUCCIÓN... CAPÍTULO I. SISTEMA METODOLÓGICO DE ENSEÑANZA DEL TEMA "RAÍCES CUADRADAS" EN EL CURSO DE ÁLGEBRA DE LA ESCUELA BÁSICA Las principales metas y objetivos de la enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la escuela principal escuelas Formas, métodos y medios de enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la escuela básica ... 5 Conclusión sobre el Capítulo I ... CAPÍTULO II. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS PARA LA ORGANIZACIÓN DE LA ENSEÑANZA DEL TEMA "RAÍCES CUADRADAS" EN EL CURSO DE ÁLGEBRA DE LA ESCUELA BÁSICA Tareas sobre el tema "Raíces cuadradas", enfocadas en el nivel básico de conocimientos y habilidades en el curso de álgebra de la escuela principal Tareas sobre el tema “Raíces Cuadradas”, enfocado en la preparación para la certificación final y aprobar el OGE en matemáticas Conclusión sobre el Capítulo II CONCLUSIÓN LISTA DE LITERATURA UTILIZADA ... 58

3 INTRODUCCIÓN Relevancia del estudio. El tema "Raíces cuadradas" es uno de los temas tradicionales del curso de álgebra escolar de la escuela básica. Su estudio de los números obtenidos en se basa en los conocimientos y habilidades de los estudiantes sobre el curso racional de matemáticas en el sexto grado. La mejora de las habilidades para realizar operaciones con números racionales ocurre en el curso de álgebra de séptimo grado. La importancia y el lugar de estudiar el tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de grado 8 está asociado con la necesidad de ampliar aún más el conjunto de números racionales e introducir números irracionales. El conocido problema práctico de hallar el lado (longitud del lado) de un cuadrado según su área dada puede servir de motivación para el estudio del tema, para el cual los números previamente conocidos no son suficientes para resolver. Además, al resolver muchos problemas geométricos, problemas de física, química y biología, se hace necesario resolver ecuaciones que contienen raíces cuadradas. Por lo tanto, es importante conocer las reglas de las operaciones con raíces cuadradas y aprender a transformar expresiones que las contienen. Pasemos a la historia del concepto de raíz cuadrada y su designación, compilada sobre la base de las siguientes fuentes. n La forma moderna del signo de raíz cuadrada para x y x no apareció de inmediato. La evolución del signo radical duró casi cinco siglos, a partir del siglo XIII, cuando los matemáticos italianos y algunos europeos llamaron por primera vez a la raíz cuadrada la palabra latina Radix (raíz) o abreviada R. En el siglo XV. N. Schücke escribió R 1 en lugar de 1. El signo raíz moderno se originó a partir de la designación utilizada por los matemáticos alemanes de los siglos XV y XVI, quienes llamaron al álgebra la ciencia de "Koss", y los matemáticos-algebristas "kossists". (Los matemáticos de los siglos XII-XV escribieron todas sus obras exclusivamente en latín. Llamaron a lo desconocido res (cosa).

4 matemáticos italianos tradujeron la palabra res como cosa. El último término fue tomado prestado por los alemanes, de quienes aparecieron los kossists y koss.) En el siglo XV. algunos cosistas alemanes usaban un punto delante de una expresión o número para indicar la raíz cuadrada. En la escritura cursiva, estos puntos fueron reemplazados por guiones, y luego se convirtieron en el símbolo. Uno de esos signos significaba la raíz cuadrada habitual. Si era necesario designar la raíz del cuarto grado, se usaba un signo doble. Solo queda adivinar cómo se designó exactamente la raíz del octavo grado. Si tomamos la analogía con el cuarto grado, entonces se suponía que este signo identificaba la extracción triple de la raíz cuadrada, es decir, para esto era necesario poner tres cuadrados. Sin embargo, esta notación se toma por la raíz cúbica. Lo más probable es que posteriormente, a partir de tales designaciones, se formó el signo V, cerca por escrito del signo moderno familiar para los escolares, pero sin la línea superior. Por primera vez se vio este signo en el álgebra alemana "Conteo hermoso y rápido con la ayuda de hábiles reglas de álgebra". El autor de este trabajo fue un profesor de matemáticas de Viena, nativo de la República Checa, Krishtof Rudolf. El libro disfrutó de un gran éxito y se reimprimió constantemente a lo largo del siglo XVI. y después hasta 1615. El signo raíz propuesto por Krishtof fue utilizado por A. Girard, S. Stevin (escribió el exponente de la raíz a la derecha del signo radical en el círculo: V () o V (). En 166, el matemático holandés A. Girard modificó el signo de la raíz de Rudolf e introdujo una designación muy cercana a la moderna.Esta forma de escritura comenzó a reemplazar al anterior signo R. Sin embargo, durante algún tiempo, el signo de la raíz se escribió rompiendo la línea superior, a saber: a + b. Y solo en 167, René Descartes conectó la línea horizontal con una marca, usando una nueva designación en su libro "Geometría". Pero incluso aquí no había una copia exacta de la forma moderna. El registro de Descartes era algo diferente del que somos. solía, en un detalle. Tiene 4

5 se escribió: C + 1 q qq p, donde la letra C, colocada inmediatamente después del radical, indicaba la notación de la raíz cúbica. En su forma moderna, esta expresión se vería así: C + 1 q q p. El más cercano a la ortografía moderna del radical fue utilizado por Newton en su "Aritmética universal" (1685). Solo algún tiempo después de su redacción, los matemáticos del planeta finalmente aceptaron una forma única y definitiva de registrar la raíz cuadrada. Problema de investigación: ¿cuáles son las características metodológicas de la enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en la escuela? 5 en el curso de álgebra del 8vo grado el principal El objeto de la investigación es el proceso de enseñanza del álgebra a los estudiantes de la escuela básica. El tema de la investigación es el sistema metódico de enseñanza del tema "Raíces cuadradas". El trabajo de grado tiene como finalidad dar a conocer el sistema metodológico de enseñanza del tema “Raíces Cuadradas”. Objetivos de la investigación: 1. Identificar las principales metas y objetivos de la enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la escuela principal (el componente objetivo del sistema metodológico). Varias formas, métodos y medios de enseñanza del tema " Square Roots" en el curso de álgebra de la escuela principal (organizacional

6 componentes del sistema metodológico). 4. Formular recomendaciones metodológicas para la enseñanza del tema “Raíces Cuadradas”. Métodos de investigación: análisis de literatura científica y metodológica, programas de matemáticas, libros de texto escolares sobre álgebra sobre el tema de investigación, análisis, sistematización y generalización del material. La importancia práctica de este trabajo radica en que presenta un sistema metodológico para la enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la escuela principal y formula recomendaciones metodológicas que pueden ser utilizadas por profesores de matemáticas, así como licenciados durante el período de práctica docente en la escuela. Los resultados presentados y las conclusiones del trabajo de licenciatura se pueden utilizar como base para un mayor desarrollo de la metodología para enseñar a los estudiantes el tema "Raíces cuadradas". Se somete a defensa: un sistema metodológico para la enseñanza del tema “Raíces Cuadradas” en el curso de álgebra de la escuela principal. Estructura de trabajo. El trabajo de grado consta de una introducción, dos capítulos, una conclusión, una lista de referencias. 6

7 CAPÍTULO I. SISTEMA METODOLÓGICO DE ENSEÑANZA DEL TEMA "RAÍCES CUADRADAS" EN EL CURSO DE ÁLGEBRA DE LA ESCUELA BÁSICA 1. Las principales metas y objetivos de la enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la materia principal de la escuela " Matemáticas” debe proporcionar: 1) la formación de ideas sobre las matemáticas como método de cognición de la realidad, que permite describir y estudiar procesos y fenómenos reales;) el desarrollo de habilidades para trabajar con un texto matemático educativo (analizar, extraer las información necesaria), expresar sus pensamientos con precisión y competencia usando terminología matemática y simbolismo, realizar clasificaciones, racionalizaciones, pruebas de declaraciones matemáticas;) desarrollo de ideas sobre números y sistemas numéricos de números naturales a números reales; dominar las habilidades de cálculos orales, escritos e instrumentales; 4) dominar el lenguaje simbólico del álgebra, métodos para realizar transformaciones idénticas de expresiones, resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones, desigualdades y sistemas de desigualdades; la capacidad de modelar situaciones reales en el lenguaje del álgebra, de explorar los modelos construidos utilizando el aparato del álgebra, de interpretar el resultado; En el programa de matemáticas, el autor identifica las siguientes metas y objetivos para estudiar el tema "Raíces cuadradas": Ampliar el conjunto de números racionales, introducir el concepto de números irracionales y reales, estudiar raíces cuadradas y acciones con ellos. 7

8 Como resultado del estudio del tema, los estudiantes deben saber: 1. Definición de fracciones decimales infinitas periódicas y no periódicas.. La función y \u003d x, sus propiedades y gráfico.. El concepto de raíz cuadrada 4. Propiedades de raíces cuadradas aritméticas. 5. El conjunto de los números reales, racionales e irracionales. Como resultado del estudio del tema, los estudiantes deberán ser capaces de: 1. Convertir fracciones ordinarias a decimales y viceversa. Comparar números reales, racionales e irracionales. Ser capaz de graficar la función y=x. 4. Trae y saca el factor de debajo del signo de la raíz. 5. Realiza acciones con raíces cuadradas. En el programa de matemáticas, el autor identifica las siguientes metas y objetivos para estudiar el tema "Raíces cuadradas" (para el libro de texto de Makarychev): Sistematizar información sobre números racionales y dar una idea de los números irracionales, ampliando así el concepto de número; desarrollar la capacidad de realizar transformaciones simples de expresiones que contienen raíces cuadradas. Como resultado del estudio del tema, los estudiantes deberán conocer: 1. Números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales Módulo de un número a.. Raíz cuadrada aritmética y sus propiedades. 4. La función y= x, sus propiedades y gráfica. Como resultado del estudio del tema, los estudiantes deberán ser capaces de: 1. Resolver las ecuaciones cuadráticas más simples. 8

9 Trae y saca el factor de debajo del signo de la raíz. Encuentra valores aproximados de raíces cuadradas. 4. Extrae la raíz cuadrada de la potencia de un número. 5. Transforma expresiones irracionales. En el programa de matemáticas, el autor identifica las siguientes metas y objetivos para estudiar el tema "Raíces cuadradas" en el libro de texto de Alimov: sistematizar la información sobre los números racionales y dar una idea de los números irracionales, ampliando así el concepto de número; desarrollar la capacidad de realizar transformaciones simples de expresiones que contienen raíces cuadradas. Como resultado del estudio del tema, los estudiantes deben saber: 1. El concepto de una raíz cuadrada aritmética .. Números reales Como resultado del estudio del tema, los estudiantes deben poder encontrar la raíz cuadrada del grado, el producto y la fracción. En el artículo de S. Minaeva [, P. 4-7] se señala que el estudio de la sección "Raíces cuadradas" tiene los siguientes objetivos: enseñar cómo realizar transformaciones de expresiones que contienen raíces cuadradas; en el ejemplo de una raíz cuadrada y cúbica, forme las ideas iniciales sobre la raíz del grado n-ésimo. El ejemplar programa educativo básico de educación general básica del 8 de abril de 2015 dice que un egresado debe aprender en el 8º grado (para su uso en la vida cotidiana, al estudiar otras materias y asegurar la posibilidad de continuar con éxito la educación en un nivel básico): 1 .Operar a nivel básico conceptos: número natural, número entero, fracción común, fracción decimal, fracción mixta, número racional, raíz cuadrada aritmética Estimar el valor de la raíz cuadrada de un número entero positivo. 9

10 Reconocer números racionales e irracionales. 4. Compara números. 5. Comprender el significado de escribir un número en forma estándar. 6. Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática. 7. Representar soluciones de desigualdades y sus sistemas en la línea real. El egresado tendrá la oportunidad de aprender en el 8vo grado para asegurar la posibilidad de continuar con éxito su educación en los niveles básico y avanzado: 1. Operar con conceptos: el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales, el número irracional, la raíz cuadrada, el conjunto de números reales, la interpretación geométrica de los números naturales, números enteros, racionales, reales.. Realizar cálculos, incluso utilizando los métodos de cálculo racional.. Comparar números racionales e irracionales. 4. Representar un número racional como una fracción decimal. 5. Realizar transformaciones de expresiones que contengan raíces cuadradas. 6. Seleccionar el cuadrado de la suma o diferencia de un binomio en expresiones que contienen raíces cuadradas Análisis metodológico del contenido de la enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la escuela básica Básica (conocido del curso escolar de matemáticas 5 -6 álgebra 7 clases) conocimiento: el concepto de un número racional; el concepto de conjunto de números racionales y su notación; 10 y curso

11 acciones básicas (operaciones) con números racionales; función y = x. Conocimiento nuevo (introducido): el concepto de la raíz cuadrada de un número; el concepto de raíz cuadrada aritmética; propiedades de las raíces cuadradas aritméticas; inserción y remoción de un factor bajo el signo de la raíz; acciones con raíces cuadradas. En las Tablas 1-4 se presenta un análisis del contenido del tema "Raíces cuadradas" en varios libros de texto de álgebra de octavo grado. En el libro de texto Yu.N. Makarycheva se asigna más que en otras horas para estudiar la sección "Raíces cuadradas", la sección completa se divide en 4 párrafos. Se toca el tema de estudiar el cálculo aproximado de las raíces cuadradas, pero se omite el tema de las fracciones decimales periódicas. En el libro de texto G.K. Muravina y O. V. Muravina dedicó un poco menos de 18 horas a la sección "Raíces cuadradas", la sección consta de párrafos, se toca el tema de las fracciones decimales periódicas, pero no hay un hallazgo aproximado de las raíces cuadradas. En el libro de texto de Nikolsky, la sección "Raíces cuadradas" consta de un solo párrafo y 5 puntos, no se presentan muchos temas y conceptos. En el libro de texto G.V. Dorofeev incluyó un tema dedicado al teorema de Pitágoras, que está ausente en todos los anteriores. El estudio de la raíz cúbica también se aborda aquí. En todos los libros de texto, el estudio de la sección comienza con los números reales e irracionales, pero cada autor tiene su propio enfoque. Luego viene el estudio de la propia raíz cuadrada y la raíz cuadrada aritmética, propiedades y acciones sobre las mismas. once

12 Los autores del libro de texto Yu.N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S.B. Suvorov Títulos de capítulos y párrafos 4. Números reales 9. Números racionales 10. Números irracionales 5. Raíz cuadrada aritmética 11. Raíces cuadradas. Raíz cuadrada aritmética. 1. Ecuación x = a. 1. Encontrar valores aproximados de la raíz cuadrada. 14. Función y= x y su gráfica. 6. Propiedades de la raíz cuadrada aritmética. 15. La raíz cuadrada del producto y la fracción. 16. La raíz cuadrada de una potencia. 7. Aplicación de las propiedades de la raíz cuadrada aritmética 17. Eliminación del factor bajo el signo de la raíz. Introduciendo un multiplicador bajo el signo de la raíz. 18. Transformación de expresiones que contienen raíces cuadradas. Tabla 1 Número de horas Total Tabla Autores del libro de texto G.K. Muravin, K. S. Muravin, V.O. Muravina Títulos de capítulos y párrafos 5. Números reales 14. Números racionales e irracionales. 15. Fracciones decimales infinitas periódicas y no periódicas. 6. Raíces cuadradas. 16. Función y=x y su gráfica. 17. El concepto de raíz cuadrada. 18. Propiedades de las raíces cuadradas aritméticas. 19. Inserción y remoción de un factor bajo el signo de la raíz. 0. Acciones con raíces cuadradas. Número de horas Total 18 Tabla Autores de libros de texto S.M. Nikolsky, MK Potapov, N. N. Reshetnikov, A.V. Shevkin Título de capítulos y párrafos. Raíces cuadradas.1 El concepto de raíz cuadrada.. Raíz cuadrada aritmética.. La raíz cuadrada de un número natural..4 Cálculo aproximado de raíces cuadradas..5 Propiedades de raíces cuadradas aritméticas. 1

13 Tabla 4 Autores del libro de texto Título de capítulos y párrafos Número de horas G.V. Dorofeev .1 El problema de encontrar el lado de un cuadrado. Numeros irracionales. Teorema de Pitágoras.4 Raíz cuadrada (enfoque algebraico).5 Propiedades de las raíces cuadradas.6 Transformación de expresiones que contienen raíces cuadradas.7 Raíz cúbica Total 18 Estudiar el tema "Raíces cuadradas" basado en el libro de texto de álgebra para el grado 8 de los autores Muravins. Al principio se da una ampliación del conjunto de los números racionales, se introducen los conceptos de número irracional y número real, se considera el paso de una fracción ordinaria a un decimal y viceversa. Se asignan horas para números racionales e irracionales.. En el párrafo 14. "Números racionales e irracionales", se cuenta la historia de su aparición y el propósito de estudiar el tema. Las definiciones se dan sobre la base de ejemplos, proporciones de las longitudes de los segmentos. Definición 1: si dos segmentos tienen una medida común que cabe m veces en un segmento y n veces en el otro, entonces su relación m, n es un número racional. La definición de un número irracional se da en el ejemplo 1: Ejemplo 1: d = (m n) =. Por lo tanto (m n) =. El denominador de la fracción del lado izquierdo de la igualdad es diferente de uno, por lo tanto, para que la fracción sea igual a un número entero, se debe reducir en n. Pero los números naturales m y n no tienen divisores comunes, por lo que sus cuadrados tampoco tienen divisores comunes. Por lo tanto, la igualdad m = es falsa, es decir el número d no es fraccionario. n 1

14 El ejemplo demostró que el número d no es un número racional, lo que significa que la diagonal de un cuadrado no tiene una medida común con su lado, el número d es un número irracional. El siguiente párrafo está dedicado a las fracciones periódicas y no periódicas, se introduce el concepto de punto y se fundamenta la inevitabilidad de la aparición de un punto en la traducción. A este punto se dedica la Parte 1. En el párrafo 15, se estudian fracciones decimales periódicas y no periódicas, se considera el tema de encontrar una raíz aproximada para números racionales e irracionales. Luego, usando los ejemplos considerados, se dan definiciones de fracciones decimales finitas e infinitas. Ejemplo: Traduzcamos 1 a una fracción decimal, resulta: 0, Un número que se repite infinitamente en un registro se llama período, y la fracción en sí se llama periódica. Propiedad 1: cualquier número racional se puede representar como una fracción periódica decimal infinita (lo contrario también es cierto). Definición: Cualquier número irracional se escribe como una fracción decimal no periódica infinita, y cualquier fracción decimal no periódica infinita es un número irracional. Definición: Un decimal periódico infinito es un número racional, y un decimal no periódico infinito es un número irracional. Después de eso, hay una transición directa al estudio del tema "Raíces cuadradas". El estudio comienza con el apartado "La función y=x y su gráfica". Hay una repetición de material sobre funciones y gráficos. Se asigna la hora, primero se traza una gráfica de la función y=x por puntos en el sistema de coordenadas cartesianas, se realiza su estudio y se da el nombre de la gráfica: Definición 4: la gráfica de la función y=x se llama parábola. 14

15 La transición al concepto de raíz cuadrada ocurre a través de la solución de la ecuación cuadrática x \u003d a, argumenta que este método nos permite explicar la naturaleza del término. Se asigna la hora En el siguiente párrafo 17, se introduce el concepto de raíz cuadrada. Definición 5: Las raíces de la ecuación x = a se llaman raíces cuadradas de a. Definición 6: Un número no negativo cuyo cuadrado es a se llama raíz cuadrada aritmética de a y se denota por a. . Se introduce el signo del radical y se da la historia de su origen. Luego los autores proceden al estudio de las propiedades de las raíces cuadradas aritméticas, en este punto se inicia el desarrollo de la habilidad de transformar expresiones con raíces cuadradas. Las horas están asignadas En el párrafo 18, se dan las propiedades de las raíces cuadradas aritméticas: Propiedad: Para cualquier número a a \u003d a. Propiedad: Para cualquier número no negativo a y b: ab= a b . Después de eso, se estudia y resuelve el tema de introducir y eliminar un multiplicador debajo del signo raíz. El trabajo continúa con las raíces cuadradas. Como señalan los autores, los estudiantes pueden tener dificultades para convertir expresiones literales, porque, en esta situación, el signo del módulo es fundamental para sacar el factor del signo de la raíz. Se asigna h En el párrafo 19, se estudia la introducción y eliminación del factor de los modos del signo de la raíz, se da la propiedad: Propiedad 4: Para valores no negativos b a b= a * b= un * b . A continuación, los autores pasan a las operaciones con raíces cuadradas, practicando en este punto principalmente en la transformación de expresiones numéricas, 15

16 estudiantes profundizan sus conocimientos sobre este tema. El estudio se puede dividir en dos partes: 1. Trabajar con raíces cuadradas de números.. Convertir expresiones literales. Tal modelo de estudio no establece la secuencia de estudio, podemos decir que la segunda parte, aunque útil en esta etapa, aún realiza la propedéutica del material de 9º grado, donde se estudiará especialmente la transformación de expresiones literales con radicales. 4 horas asignadas. En 0 y la sección final se estudian acciones con raíces cuadradas. Las propiedades previamente estudiadas son recordadas y utilizadas en la transformación de expresiones numéricas. Tales acciones se consideran como: liberación de la irracionalidad en el denominador, factorización, simplificación de la expresión. En total, los autores dedican 19 horas al estudio de la sección, después de cada sección hay una verificación o trabajo independiente, al final del capítulo hay una prueba. El estudio del tema "Raíces cuadradas" sobre la base del libro de texto de álgebra para el autor de grado 8 Yu.N. Makarychev. El estudio del capítulo "Raíces cuadradas" comienza con una repetición de números reales. En primer lugar, se recuerda la información básica sobre el conjunto de los números naturales, la divisibilidad de los números naturales y la consideración de problemas típicos del tema. Se asigna una hora, luego se da una lección para repetir la información básica sobre números enteros y considerar problemas típicos, y luego una lección sobre el conjunto de números racionales. A esto le sigue una lección en la que se da el concepto de números irracionales y el conjunto de los números reales. Después de completar las lecciones mencionadas anteriormente, 16

17 estudio directo de raíces cuadradas, se dedica una lección a los conceptos de raíz cuadrada y raíz cuadrada aritmética. Luego, las lecciones se dedican a resolver las ecuaciones cuadráticas más simples x \u003d a y luego 1 lección, que estudia cómo encontrar valores aproximados de raíces cuadradas. Las siguientes lecciones están dedicadas a la consideración de la función y= x, sus propiedades y gráfico. Las siguientes son lecciones que se pueden atribuir a las propiedades de la raíz cuadrada aritmética. En la lección 1, se consideran las propiedades de la raíz cuadrada del producto y la fracción, la siguiente lección es extraer la raíz cuadrada de la potencia de un número. En esta etapa, el autor propone dedicar varias lecciones al trabajo de control y su verificación, para luego pasar a las lecciones que se relacionan con la aplicación de las propiedades de la raíz cuadrada aritmética. 1 lección para repasar y practicar las habilidades de sumar y quitar un multiplicador debajo del signo raíz. Luego una lección que discute las técnicas básicas para transformar expresiones irracionales. En conclusión, el autor propone realizar una prueba final sobre el tema "Raíces cuadradas". En total, se destina una hora para el estudio de este apartado. Y ahora consideremos las recomendaciones de S. Minaeva sobre la introducción del concepto de raíz cuadrada en las lecciones de álgebra según el libro de texto de G.V. Dorofeev en el 8º grado: 1. El problema de encontrar el lado del cuadrado (lección) Para introducir el concepto de raíz cuadrada, se utiliza un enfoque significativo que es característico de este curso, destacando los aspectos motivacionales y semánticos. El material se presenta de la siguiente manera: los estudiantes conocen la fórmula S = a, con la ayuda de la cual, a lo largo del lado del cuadrado, a, se puede calcular su área S; pero en matemáticas existe una fórmula para resolver el problema inverso de hallar el lado del cuadrado a según 17

18 de un área dada S, que se escribe de la siguiente manera: a \u003d S. El símbolo S denota el lado del cuadrado, el área de la cual es igual a S. Si, por ejemplo, S \u003d 100, luego \u003d 100. Desde 100 \u003d 10, luego \u003d 100 \u003d 10. Para que los estudiantes aprendan un nuevo símbolo, se pueden ofrecer varias preguntas del tipo: dejar que el área de \u200b \u200bel cuadrado sea de 81 m2: escribe, usando el símbolo, una expresión para el lado de este cuadrado; ¿cual es la longitud del lado del cuadrado? Pasando del lenguaje geométrico al algebraico, el significado del símbolo S se puede describir de la siguiente manera: S es un número no negativo, cuyo cuadrado es igual a S. (¡Después de todo, la longitud no se puede expresar con un número negativo! ) Por lo tanto, llegamos a una formulación "de trabajo", que usaremos al encontrar raíces cuadradas. Llamamos la atención del profesor sobre cómo se lee el símbolo S: la raíz cuadrada de S. El adjetivo "aritmética" es superfluo aquí, ya que en este punto del tema solo trabajamos con raíces positivas. Sin embargo, el término se utilizará más adelante. Números irracionales (lección) En este párrafo, se pueden distinguir dos aspectos: ideológico y práctico. Las mentiras ideológicas en el primer contacto con los números irracionales; práctico: en la formación de la capacidad de evaluar raíces "no extraíbles", para encontrar sus valores aproximados tanto con la ayuda de una estimación como con la ayuda de una calculadora. Los estudiantes llegan a la necesidad de introducir los números irracionales como resultado de considerar el problema ya familiar de encontrar el lado de un cuadrado por su área. En el libro de texto, la figura 10 muestra dos cuadrados. Uno de ellos es individual, su área es de 1 sq. unidades El segundo cuadrado tiene un lado diagonal al primero y su área es el doble. (De hecho, el cuadrado pequeño consta de dos triángulos iguales, y el grande consta de cuatro tales 18

19 triángulos.) Entonces el área del cuadrado grande es cuadrada. unidades ¿Cuál es la longitud del lado de este cuadrado? Lo denotaremos por a. Usando el signo de la raíz cuadrada, podemos escribir que a=. Hasta ahora, los estudiantes se han ocupado solo de raíces "extraíbles". Necesitamos darles un par de minutos para que intenten extraer la raíz en este caso también, para asegurarnos de que el valor a \u003d 1 no sea suficiente, y si toma \u003d, entonces esto ya es demasiado ; trataría de recoger una fracción decimal y vería que 1.4<, а 1,5 >. A continuación, se da una prueba bastante sencilla de que no existe ni un número entero ni un número fraccionario cuyo cuadrado sea igual (pág. 7 del libro de texto). Por lo tanto, no existe un número racional que exprese con precisión la longitud del lado de nuestro cuadrado. Me gustaría que los estudiantes se dieran cuenta del asombroso descubrimiento al que llegaron los matemáticos de la antigüedad (¡hay un segmento, pero no tiene longitud!), Y también que este hecho impulsó el desarrollo de las matemáticas (era necesario introducir nuevos números !). Se les dice a los estudiantes que el número que expresa la longitud del lado de un cuadrado cuya área es cuadrada. unidad, pertenece a la clase de los llamados números irracionales: - este es un número irracional positivo, cuyo cuadrado es igual, es decir, la igualdad () \u003d es verdadera. Deben poder nombrar otros números irracionales de la forma a y realizar transformaciones como (a) = a para valores positivos específicos de a, y en ambas direcciones. Entonces, el primer contacto con los números irracionales está sujeto a un objetivo bastante estrecho: ocurre en relación con el estudio de las raíces cuadradas y proporciona, en primer lugar, las necesidades de este tema. Además de la información descrita anteriormente (a saber: entre los números racionales no hay ningún número que exprese la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual; además de los números racionales, también existen los llamados números irracionales 19

20; todos los números de la forma a son irracionales, si a no es el cuadrado de un número entero o fraccionario), los estudiantes aprenderán que hay infinitos números irracionales de diferente naturaleza (un ejemplo es el número z), que los números irracionales pueden ser negativas, y que en la práctica se sustituyeron por (aproximadamente) fracciones decimales. Los estudiantes obtienen información más sólida sobre los números irracionales y reales en el "segundo pase" en el curso de 9º grado. Para demostrar la posibilidad fundamental de encontrar una aproximación decimal de un número irracional de la forma a, el libro de texto utiliza un método de evaluación: se encuentran valores aproximados con una deficiencia y un exceso, expresados ​​como números enteros consecutivos (es decir, con una precisión de 1), fracciones decimales consecutivas con un decimal (es decir, con hasta 0,1), etc. La base de este método es la afirmación: si a y b son números positivos y a

21 En relación con la aplicación del teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo por sus catetos (ejemplo 1 en la pág. 84), el libro de texto menciona “tripas pitagóricas”. Tenga en cuenta que aunque hay infinitos de ellos, solo hay un triple formado por números naturales consecutivos. Es deseable que la construcción de segmentos con longitudes irracionales (o puntos en una línea de coordenadas con abscisas irracionales) utilizando un compás y una regla no solo se analice de acuerdo con el texto del libro de texto (pág. 85), sino que se complete realmente con cada alumno en su cuaderno. Dicho trabajo se puede ofrecer, por ejemplo, como tarea. Se debe advertir a los estudiantes que el dibujo debe ser limpio, lo suficientemente grande y fácil de "leer". Analizaremos el material de problemas en los libros de texto y destacaremos los principales tipos de problemas utilizados en el tema "Raíces cuadradas". El artículo destaca ejercicios sobre el tema "Raíces cuadradas" del libro de texto de G.V. Dorofeev, cubriendo todos los aspectos esenciales de este fragmento introductorio del tema. El objetivo principal de los ejercicios es dominar un nuevo concepto, desarrollar la capacidad de usar el signo radical. Se llama la atención sobre las tareas, y 7. Muy a menudo se requiere la capacidad de pasar de la igualdad de la forma a = b a la igualdad b = a y viceversa. Ejercicios 8- - para calcular los valores de expresiones numéricas y alfabéticas que contienen raíces cuadradas. Los estudiantes deben aprender que el signo de la raíz, como los corchetes, es un símbolo de agrupación. En los ejercicios 4 a 7, se desarrolla más el trabajo con fórmulas iniciado anteriormente (y extremadamente importante desde el punto de vista de las aplicaciones). Ahora bien, estas son fórmulas que contienen radicales o requieren el uso de radicales al expresar alguna variable en términos de otras. Tales tareas a menudo causan dificultades a los estudiantes, por lo que pueden completarse parcialmente estudiando los siguientes puntos. Excepto 1

22 además, es útil volver a ellos. Las tareas 8 y 9 del grupo B en esta etapa se encuentran entre las difíciles; Definitivamente no son para todos los estudiantes. En clases con un bajo nivel de preparación, puede completar tareas del grupo A, así como, si es posible, 41 y 44. Considere un ejemplo de un libro de texto: Encuentre un valor aproximado de 60. Solución: El cuadrado de un número es encerrado entre dos cuadrados "exactos" - los números 49 y 64: 49<(60), то есть 7 <(60) <8. Значит как 7 <(60), то 7< 60; так как (60) <8, то 60<8. Значит 7< 60<8. Очевидно, что 60 ближе к 8, чем к 7, то есть Рассмотренный способ нахождения приближенного значения корня, в силу своей громоздкости, имеет, в основном, теоретическое значение; учащимся достаточно лишь уметь указывать два целых числа, между которыми заключено значение данного корня. А при решении задач предполагается широкое использование калькулятора. Упражнения к пункту предназначены, прежде всего, для осознанного восприятия этого сложного для учащихся материала (46-51). Кроме того, использование калькулятора позволяет, с помощью наблюдений, прийти к некоторым теоретическим обобщениям, например к выводу о возрастании значения корня с увеличением подкоренного выражения (5-54). В образце к упражнению 6 показаны приемы сравнения, которыми должны овладеть учащиеся. Упражнения 65 и 66 направлены на формирование умения выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни, с использованием равенства (a) =а, где a 0. В классах с невысоким уровнем подготовки достаточно упражнений группы А. Вообще, в этом блоке дана представительная группа заданий,

23 que puede ser bastante limitado. Ejercicio 57. Método I. Usando una calculadora, encontramos los valores aproximados de las raíces: 5.4; 6,45; 7.65. Esto significa que cada uno de estos números pertenece a un segmento con extremos en los puntos y, y están ubicados en este segmento en el siguiente orden: 5, 6, 7. Además: el número 5 pertenece a un segmento con extremos en los puntos, y ,; el número 6 pertenece a un segmento con extremos en los puntos 4 y 5; el número 7 pertenece a un segmento con extremos en los puntos 6 y 7. Método II. Llegamos al mismo resultado con la ayuda de una estimación. Por ejemplo, para 5 tenemos:<(5) <, то есть < 5<;, <(5) <, то есть,< 5<,. Упражнение 59. Очевидно, что точке К соответствует число 0,4, так как 0< 0,4< 1. Точно так же легко понять, что число лишнее, так как на отрезке с концами х=1 и х точка не отмечена. Сложнее с точкой L: ведь каждое из оставшихся чисел 5 и 7 располагается на отрезке с концами и. Но точка L расположена в левой половине отрезка, значит число, которое ей соответствует, должно быть меньше,5. Ответ почти очевиден: это 5. Но все же какое-то объяснение необходимо. Можно обратиться к калькулятору, а можно рассуждать так:,5 = 6,5; так как (5) <,5, то 5 <,5. Упражнение 70. а) Сначала находим, что 8< 7,5 < 9, а затем сравниваем числа 8,5 и 7,5. Так как 8,5 = 7,5<7,5, то 8,5< 7,5,

24, lo que significa que el número 7,5 está más cerca de 9. Al resolver problemas, por supuesto, se espera el uso de una calculadora. En clases con bajo nivel de preparación del grupo A, puede limitarse a tareas (cumplen con el nivel de requisitos obligatorios), y también considerar una tarea de investigación 91. Ejercicio 86. La tarea se resuelve con base en la figura 7 del libro de texto. . Por consideraciones visuales, está claro que el segmento de mayor longitud es la diagonal del paralelepípedo. Compara la longitud de la diagonal con la longitud de la caña. Primero, encuentre la longitud de la base diagonal l: l= a + b = = 700 (cm). Ahora encontremos la longitud de la diagonal del paralelepípedo d: d= (700) + 50 = 9800 (cm). Desde 9800< 10000=100, то трость данных размеров поместить в коробку нельзя. Упражнение 90. Геометрически выражение a + b + c можно истолковать как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого a, b и с. В самом деле, из прямоугольного треугольника LMN имеем, что LM= a + b. А из прямоугольного треугольника KLN получим, что NM= c + (a + b) = a + b + c По неравенству треугольника a + b + c

25 10= + 1 ; 1= + ; 17= Pero hay otra manera. Entonces, se puede obtener un segmento de longitud 10 según el siguiente algoritmo: 10 = (5) + (5). En el libro de texto de álgebra para el grado 8, los autores de Muravina sugieren comenzar el estudio de la sección con los siguientes ejercicios: Ejercicio 15. ¿La gráfica de la función y \u003d x pasa por el punto: A (-; 4) B (-, 5; 1) C (; 59) D (-6.5; 4.5). Respuesta: A-sí, B-no C-sí D-sí. El párrafo 17 proporciona ejercicios para calcular la raíz cuadrada Ejemplo. Calcular La solución se produce mediante la descomposición del número 1105 en factores primos. 1105= *5 * = 5 7 = (5 7) =*5*7=105 Respuesta: 105. El ítem 18 introduce las propiedades de las raíces cuadradas aritméticas y las tareas para su aplicación, simplificación de expresiones radicales y su cálculo. Ejemplo 4. (pág. 100) Simplifica (5). (5) = - 5 = 5-. Respuesta: 5-. Ejemplo 5. Calcular 0, = 0, =0.8*4*5=80. Respuesta 80. Ejemplo 6. Calcular = =4 7. Respuesta: 4 7. En el párrafo 19, se consideran los ejercicios para sumar y quitar un factor de debajo del signo raíz, así como problemas para comparar los valores de las expresiones. 5

26 Ejemplo 7. Sacar el factor de debajo del signo de la raíz en la expresión Vamos a descomponer los números 10 y 90 en factores primos: 10= **5, 90=* *5. Por lo tanto 10*90= 4 * * = 4 5 = **5* =60. Respuesta: =,5 .. Respuesta:,5. Ejemplo 8. (pág. 105) Simplifica la expresión = 5 = 5 = Ejemplo 9. (pág. 105) Ingresa el factor debajo del signo de la raíz: 5 0.4. 5 0.4 \u003d 5 0.4 \u003d 5 0.4 \u003d 10. Respuesta: 10. Ejemplo 10. (p. 106) Compare los valores de las expresiones y. = 9 = 18 y = 4 = 1. >. Respuesta: >. Se dedica 0 punto a operaciones con raíces cuadradas, conversión de fracciones con raíces cuadradas, simplificación de expresiones, liberación de la irracionalidad. Ejemplo 11. (pág. 108) Convierte la fracción 54 para que su denominador no contenga un radical. Respuesta: = 54 = 1 7 = 1 = 4= =. 9 Ejemplo 1. (pág. 109) Expresión simplificada =5 6 96=4 6 = = = =() 6=1 6 Respuesta:

27 Ejemplo 1. (pág. 109) Liberar la fracción de irracionalidad en el denominador. =(). Respuesta: (). 6 = 6(1+ 10) 1 10 (1 10)(1+ 10) =6(1+ 10) = 6(1+ 10) =. Formas, métodos y medios para enseñar el tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la escuela básica. En esta sección, analizaremos la experiencia práctica de estudiar el tema sobre la base de artículos publicados y material didáctico. En el artículo de S. Minaeva, se observa que el concepto de raíz cuadrada "aparece" en el curso en estudio cuando se discuten dos problemas: geométrico (sobre encontrar la longitud del lado de un cuadrado por su área) y algebraico ( sobre el número de raíces de una ecuación de la forma x = a, donde a es un número arbitrario). En relación con la consideración de la primera tarea, los estudiantes reciben ideas iniciales sobre los números irracionales. En el contenido del capítulo, el autor incluyó una pregunta no tradicional para el álgebra: el teorema de Pitágoras. Esto se hace para demostrar el uso natural de las raíces cuadradas para encontrar las longitudes de los segmentos, construir segmentos con longitudes irracionales y construir puntos con coordenadas irracionales. Al mismo tiempo, no importa dónde los estudiantes escuchan por primera vez sobre el teorema de Pitágoras: en el curso de geometría o en el curso de álgebra. El autor también afirma que el resultado más importante del aprendizaje, además de los aspectos ideológicos, es la capacidad de realizar algunas transformaciones de expresiones que contienen raíces cuadradas (principalmente numéricas). Los estudiantes también son introducidos al concepto de raíz cúbica; al mismo tiempo, forman ideas iniciales sobre la raíz 7

28º grado. Finalmente, a través de un sistema de ejercicios, los alumnos se hacen una idea de las gráficas de dependencia y = x e y = x. A lo largo del tema, el autor asume el uso activo de la calculadora, no solo como una herramienta para extraer raíces, sino también como un medio para ilustrar algunas ideas teóricas. Debido a la necesidad de utilizar una calculadora para extraer raíces cúbicas, se introduce otra notación para la raíz de un número positivo n: a = a 1 n. El artículo de V. Olkhov llama la atención sobre el hecho de que al estudiar la sección "Raíces cuadradas", se debe prestar especial atención a la transformación de un radical complejo. El autor propone la siguiente metodología, dando un ejemplo de una forma de trabajo individual con un estudiante al momento de estudiar un tema: Se le pidió a un estudiante de una clase de matemáticas, usando el teorema de Vieta, que encontrara por selección las raíces en la ecuación x - 7x + 10 = 0, lo que hizo sin mucha dificultad: X 1 = 5, X = (incluso un poco ofendido por la simplicidad de la pregunta). Luego se propuso simplificar la expresión 7 ± 10. Aquí se debería ver un cuadrado completo debajo del radical. Habiendo escrito previamente la engorrosa fórmula A ± B= A A B ± A A B, (1) la sustituyó por valores numéricos específicos y obtuvo ± = 5 ±. Pero hay una analogía directa con el ejemplo anterior 7=5 +, 10=5*, es decir, 7 ± 10= 5 + ± 5 = (5 ±) = 5 ± Después de eso, el estudiante ha resuelto independientemente varios ejemplos: 8

29 6 ± 4 = 6 ± 8 = 4 + ± 4 =±, 1 ± 48= 1 ± 1 = ± 1 1= 1 ± 1, 18 ± 18= 18 ± = 16 + ± 16 =4±, 7 ± 4 = 7 ± 1 = 4 + ± 4 =± y dijo que ahora entiende cómo surgió la fórmula (1), aunque no es necesario memorizarla especialmente. A ± B= A ± B 4. Escribe la ecuación: X AX + B = 0, 4 X 1 = A+ A B, X = A A B ; A ± B \u003d A ± B 4 \u003d X 1 + X ± X 1 X \u003d X 1 ± X \u003d A + A B ± A A B, donde A> 0, B> 0, A -B> 0, y el la fórmula se simplifica cuando A - En un cuadrado exacto. Ejercicio 1. Demostrar que = ; = 1 + El autor del artículo, V.I. Sedakova ofrece métodos simples que le permiten realizar acciones rápidamente, como extraer raíces cuadradas en su mente. Estos métodos pueden aumentar la productividad en el aula, porque los ejercicios orales y semiorales brindan la oportunidad de estudiar una gran cantidad de material en la lección, permiten al maestro juzgar la preparación de la clase 9

30 para aprender material nuevo. Este material es útil para futuros profesores de matemáticas. Una de las tareas principales de la enseñanza de un curso de matemáticas en la escuela es la formación de habilidades computacionales conscientes y sólidas en los estudiantes. Las habilidades computacionales son una parte importante de las habilidades matemáticas. El tema del conteo oral es especialmente relevante durante la certificación final estatal (OGE) y el examen estatal unificado (USE), donde no se permite el uso de dispositivos informáticos. En combinación con otras formas de trabajo, los ejercicios orales permiten crear condiciones bajo las cuales se activan varios tipos de actividades de los estudiantes: pensamiento, habla, habilidades motoras. Por eso es necesario destinar hasta 10 minutos para ejercicios con cálculos mentales en cada lección de matemáticas. La formación de habilidades computacionales es un proceso complejo y sistemático. Consta de las siguientes etapas: La primera etapa de la formación de habilidades es el dominio de la habilidad. La segunda etapa es la etapa de automatización de habilidades. La automatización de la destreza consiste en obtener resultados al realizar ejercicios de forma oral, prácticamente sin realizar apuntes, apuntes, etc. Imagine la recepción del conteo oral en el tema "Raíces cuadradas" para estudiantes. Extraer la raíz cuadrada de un número natural multivaluado. Primero, escribimos el algoritmo para extraer la raíz cuadrada en forma general, que se puede usar cuando se trabaja con números naturales. 1. Dividamos el número en grupos (de derecha a izquierda, comenzando por el último dígito), incluyendo dos dígitos adyacentes en cada grupo. En este caso, puede aparecer un dígito en el último grupo (si el número de dígitos es impar) y dos dígitos si el número de dígitos es par. El número de grupos en tal número muestra el número de dígitos del resultado.

31 . Seleccionamos el número más grande, tal que su cuadrado no exceda el número del último grupo (contando de derecha a izquierda); este es el primer dígito del resultado. Se obtendrá algún número A. Duplicando la parte disponible del resultado, obtenemos el número a. Ahora elijamos un dígito x tal que el producto del número ayx no exceda el número A. El dígito x es el segundo dígito del resultado. 4. Restamos el producto del número a por x del número A, agregamos el tercer grupo a la diferencia encontrada a la derecha, obtenemos un número B. Duplicando la parte disponible del resultado, obtenemos el número b. Ahora elegimos el dígito más grande y para que el producto del número por e y no exceda el número B. El dígito y es el tercer dígito del resultado. 5. El siguiente paso de la regla repite el 4º paso. Esto continúa hasta que se usa el primer grupo de números. Ejemplo 14. Demostremos este algoritmo usando un ejemplo más simple, cuyo resultado es obvio. Calculamos 144. De la tabla de cuadrados de los números naturales dentro de dos decenas, sabemos que 144 = 1. En el número 144, de derecha a izquierda, separamos dos dígitos, 1/44. Obtuvimos dos grupos de números, por lo que el resultado es un número de dos dígitos. Seleccionamos un número cuyo cuadrado no supere al número del segundo grupo (contamos de derecha a izquierda), este es el número 1. En nuestro caso, este número será el número 1, porque su cuadrado es igual a uno. Esto significa que en la respuesta en la categoría de decenas habrá el número 1. Del número 144 restamos el número resultante de decenas, en el resto obtenemos el número 44. Determinemos el número de unidades en la respuesta. Para hacer esto, a la izquierda, multiplique la cifra resultante de decenas por, obtenemos. Elijamos este 1

32 es un número, al multiplicarlo por sí mismo y por el número resultante, se obtiene 44. Este número es, por lo tanto, al sacar la raíz cuadrada de 144, obtenemos el número 1. Seleccionamos los números de la respuesta 1_. Respuesta: 144=1. Ejemplo 15. Considere el proceso de extraer raíces cuadradas de un número de cinco dígitos Seleccionamos los números de la respuesta 4 Respuesta: 54756=4. Conclusiones sobre el primer capítulo En el capítulo 1, se consideraron las principales metas y objetivos de la enseñanza del tema "Raíces cuadradas" en el curso de álgebra de la escuela primaria sobre la base de Federal State Educational Standards LLC y los programas de matemáticas. Un análisis del material teórico y de tareas en los libros de texto de álgebra para el grado 8 sobre el tema mostró que los autores de los libros de texto utilizan diferentes enfoques para introducir tanto el concepto de raíz cuadrada como un sistema de ejercicios enfocados en desarrollar habilidades para calcular cuadrados. raíces y simplificar expresiones numéricas. Un análisis de la experiencia práctica de estudiar el tema "Raíces cuadradas" sobre la base de artículos y material didáctico nos permite concluir que el tema es bastante difícil para los estudiantes. Sin embargo, con la ayuda de ejercicios apropiados y una técnica especial, se puede lograr una sólida asimilación del concepto de raíz cuadrada y sus propiedades básicas.

33 CAPÍTULO II. RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS PARA LA ORGANIZACIÓN DE LA ENSEÑANZA DEL TEMA "RAÍCES CUADRADAS" EN EL CURSO DE ÁLGEBRA DE LA ESCUELA BÁSICA 4. Tareas sobre el tema "Raíces cuadradas", enfocadas en el nivel básico de conocimientos y habilidades en el curso de álgebra de la escuela primaria. escuela Todas las tareas sobre el tema "Raíces cuadradas" presentadas en los libros de texto de álgebra 8 clases se pueden combinar condicionalmente en 4 grupos: Grupo 1. Tareas para encontrar el valor de expresiones que contienen raíces cuadradas. Grupo. Problemas para resolver ecuaciones cuadráticas usando la raíz cuadrada aritmética. Grupo. Tareas para simplificar y comparar expresiones que contienen raíces cuadradas. Grupo 4. Problemas para extraer la raíz cuadrada. Considere ejemplos de tareas: Grupo 1. Tareas para encontrar el valor de expresiones que contienen raíces cuadradas. Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión: a) 1.5 0.1 0.5 b) 9 c) 16,. Solución: a) De la definición de raíz aritmética se sigue que 1.5=.5, porque,5 > 0 y,5 = 1.5; 0.5= 0.5 porque 0.5 > 0 y 0.5 = 0.5..5 0.1 0.5 = 7 0.05= 6.95 b) 9 = 9, porque 9=9=9

34 c) Esta expresión no tiene sentido, porque el cuadrado de cualquier número es un número no negativo. Respuesta: a) 6,95; b) 9; c) la expresión no tiene sentido Ejemplo. Eliminar la irracionalidad del denominador: 1 a) 4 b) 7 c) Solución: 1 a) (1())() 4 1 b) 7 4 (7 4(7)() 7) 4(7 7) 4( 7 4) 7 c) ((5 5 7)(7)(5 5 7) 7) (5 5 7) (5 6) 5 6 Respuesta: a) + b) 7 + c) 5 6 Grupo. Resolver ecuaciones cuadráticas usando la raíz cuadrada aritmética Ejemplo. Encuentra el valor de x en la expresión 10x 14 = 11. 4

35 10x 15 x 1,5 Solución: 10x x 14 x 15:10 10x x Verificación: , Respuesta: x = 1,5. 4 x x Ejemplo 4. Encuentra el valor de x en la expresión 4 x = 1. Solución: x 1 Comprueba: Respuesta: x Agrupa. En este grupo, combinamos tareas de simplificación de expresiones. Ejemplo 5 Simplifica la expresión: 5

36 6 Solución: Para deshacerse de la irracionalidad en el denominador de una fracción, necesita multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por la suma si el denominador contiene la diferencia o el numerador y el denominador de esta fracción por la diferencia si el denominador contiene la suma) () ())(( ))(() ())(())(())(())((Respuesta: 4 6 Ejemplo 6. Simplifique la expresión: 8 4 Solución: Respuesta : 6 Ejemplo 7. Simplifica la expresión: ,5 8 Solución: ,5 8 (usando el teorema de la raíz cuadrada) Respuesta: 5

37 Grupo 4. raíz cuadrada. En este grupo, ofreceremos problemas de extracción Ejemplo 8. Extraer la raíz de la expresión Solución: 5a 6 49 Usemos el teorema para extraer la raíz cuadrada aritmética de una fracción. 5a a a a a 7 6 Usemos el teorema para extraer la raíz cuadrada aritmética del producto. 5a a a a 6 A continuación, usamos el siguiente teorema: para cualquier número a, la igualdad a a a 5a 5a 5 a 5 (a) 5 a 5 a es verdadera Respuesta: Si a 0, entonces Si a< 0, то 5 a 7 5 a a 5 7 a Пример 9. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) a a 1) x x 5 7

38 1) a Solución: a a a a a a (Se usa el teorema de la raíz cuadrada recíproca.) x x x x x x x x (Se usa el teorema de la raíz cuadrada recíproca). Respuesta: 1) a) x 11x 4 1) 64 Ejemplo 10. Saca la raíz: x) 400 a, donde a< 0 Решение: 1) 11x x x 4 11 (x 8) 11 x 8 11x 8 1 x 8) 400 a a a a 0 a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: a a). Ответ: 1) 1 x 8 0 a 8

39 El artículo ofrece materiales didácticos multivariantes (Tareas en fichas) destinados a la simplificación de expresiones numéricas con raíces. Sin duda, ayudarán al profesor de matemáticas a organizar trabajos independientes o de prueba. Demos opciones. Opción 1 1. Simplifica: Simplifica: Deshazte de la irracionalidad en el denominador: Simplifica la expresión Calcula: 7 * Simplifica la expresión 6+4 4, Encuentra el valor de la expresión 8. Calcula: * Encuentra el valor de la expresión 10 Simplifica la expresión ()(75 7) y prueba que el número resultante es la raíz de la ecuación x 0 = 0. Opción 1. Simplifica:

PROGRAMA DE TRABAJO SOBRE ÁLGEBRA PARA 8 GRADOS (nivel de educación general) Compilado por: Tikhonov VA, profesor de matemáticas; Período de implementación del programa: 1 año El programa de trabajo se basa en la ley federal

NOTA EXPLICATIVA DE MATEMÁTICAS Este programa de trabajo se desarrolló con base en el componente Federal de la Norma Educativa Estatal de Educación General Básica y el Programa de Educación General Básica.

Programa de trabajo para la educación general básica en matemáticas en la escuela secundaria MBOU 30 Penza (grado 5) Nota explicativa Estado del documento Programa de trabajo para la educación general básica en matemáticas para el grado 5

Anotación al programa de trabajo en matemáticas en el 5to grado. Nota explicativa El programa de trabajo en matemáticas para el año académico 2016-2017 en el grado 5 se basa en: 1. Ley Federal 273 FZ 29/12/2012

Nota explicativa El programa de trabajo en matemáticas se compila sobre la base de los siguientes documentos normativos y directrices: 1. Estándar Educativo Estatal Federal de la Educación Básica

Nota explicativa. Este programa de trabajo está dirigido a estudiantes de grado 8 y se implementa sobre la base de los siguientes documentos:. Norma estatal de primaria general, básica general y secundaria

Currículo de trabajo MATEMÁTICAS 5-6 grados Año académico 2017-2018 RESUMEN Este programa de trabajo ha sido desarrollado de acuerdo con las principales disposiciones de la Ley Federal de Educación del Estado.

Institución educativa presupuestaria municipal "Escuela secundaria 17" de Belgorod "Acordado" Jefe del ShMO N.A. Ilminskaya Protocolo de 20 "Acordado" Director adjunto

Programa de trabajo de matemáticas para 5º de primaria

Considerado en la reunión de Aprobación del Ministerio de Defensa, el director de profesores de actividades culturales y tecnológicas MKOU LSOSH 1 M.M. Kostin y SPL servicio Orden 109 Protocolo 01 del 01 de septiembre de 2017. de fecha 01 de septiembre de 2017

Anexo al programa educativo básico de educación general básica orden 488os de fecha 30.08.208. Región de Tyumen Distrito autónomo de Khanty-Mansi Okrug Yugra Nizhnevartovsky

1. Nota explicativa El programa de trabajo en álgebra para el grado 9 se compiló sobre la base de documentos reglamentarios e información y materiales metodológicos: 1. Sobre educación en la Federación Rusa: Federal

Calendario-planificación temática de material didáctico en álgebra para grado 8. Nota explicativa La planificación temática del calendario en álgebra para el grado 8 se basa en un programa ejemplar

Requisitos para el nivel de preparación de los estudiantes de educación general básica: Los estudiantes deben saber/comprender: - la importancia de las matemáticas para la resolución de problemas que se presentan en la teoría y la práctica; latitud y al mismo

PROGRAMA DE TRABAJO Clase (nivel) en la que se cursa el ciclo formativo 8 Área temática Matemáticas e Informática Materia Matemáticas (Álgebra) Curso académico 2017-2018 Número de horas al año 102

Institución educativa presupuestaria municipal Gymnasium 4, Khimki APROBADO: Director de MBOU Gymnasium 4 / N.N. Kozelskaya / Orden de 2015 Programa de trabajo en álgebra (nivel básico) Grado 8

Considerado en la reunión del consejo pedagógico de la escuela en 2009. "Acordado" 2009 Director "Aprobado" de MBOSHI "KSHI" Taipova A.R. 2009

REVISADO: en la reunión del MO / ZYMurtazaeva Pr de ACORDADO: Director Adjunto de Gestión de Recursos Hídricos / EKKhairetdinova APROBADO: Director de Escuela / LMAmetova Pr de PROGRAMA DE TRABAJO Álgebra a las 8 A MBO "Starokrymskaya OSH"

Contenido. Nota explicativa 3 p.

PRESUPUESTO MUNICIPAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA GENERAL ESCUELA EDUCATIVA SECUNDARIA 40 LIPETSK PROGRAMA DE TRABAJO DE ÁLGEBRA para estudiantes con discapacidades auditivas Grado 8

Nota explicativa Este programa de trabajo de la asignatura "Álgebra" para estudiantes del octavo grado de una institución de educación general se desarrolló sobre la base del programa de educación general básica del autor.

Nota explicativa Este programa de álgebra para la escuela principal de educación general del octavo grado se compila sobre la base del componente federal del estándar estatal para la educación general básica.

1. Resultados previstos del dominio de la materia Los resultados de la materia del estudio de la materia "Matemáticas" en el 6º grado son la formación de las siguientes competencias:

Apéndice al programa de trabajo en matemáticas Región de Murmansk, distrito de Kola, p. Institución Educativa Presupuestaria Regional del Estado de Minkino "Internado Correccional de Minkino"

Programa de trabajo en matemáticas Grado 6. 1. Calendario-plan temático de la lección Secciones y temas educativos Fecha Número de horas I trimestre (42 lecciones) 1. Divisibilidad de números (20 lecciones) 1.09-28.09 1-3 Divisores

RESULTADOS PLANIFICADOS Metasujeto personal Sujeto ideas iniciales sobre ideas y métodos de las matemáticas como lenguaje universal de la ciencia y la tecnología, un medio para modelar fenómenos y procesos;

1 NOTA EXPLICATIVA El programa de trabajo de la materia “Álgebra” en el 9° grado se basa en el componente federal del estándar estatal para la educación general básica. Este programa de trabajo

Nota explicativa El programa de trabajo para álgebra grado 8 corresponde al componente Federal del estándar educativo estatal de primaria general, básica general y secundaria (completa) general

Nota explicativa El programa de trabajo se basa en: - El componente federal del estándar educativo estatal para la educación general básica en matemáticas - Programas ejemplares en matemáticas.

Capítulo INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA.. CUADRADO DE TRES MIEMBROS... El problema babilónico de hallar dos números por su suma y producto. Uno de los problemas más antiguos de álgebra fue propuesto en Babilonia, donde

Nota explicativa. Este programa de trabajo sobre el tema "Matemáticas" para estudiantes de sexto grado de una institución de educación general fue desarrollado sobre la base del programa del autor por S.M. Nikolsky, M. K. Potapov,

NOTA EXPLICATIVA. (Matemáticas Grado 5) Este programa de trabajo se compila de acuerdo con el Programa Estatal de Matemáticas para Instituciones de Educación General del Ministerio de Educación de la Federación Rusa.

Nota explicativa El programa de trabajo en álgebra se desarrolló sobre la base de los siguientes documentos legales reglamentarios: Ley Federal No. 273-FZ del 29 de diciembre de 2012 "Sobre la educación en la Federación Rusa"; Orden

Nota explicativa El programa de trabajo en álgebra para el grado 8 se compiló de acuerdo con las disposiciones del Estándar Educativo del Estado Federal para la Educación General Básica de la segunda generación,

Estado del documento Nota explicativa

Considerado Aceptado Aprobado En el MoE de profesores de matemáticas en la reunión Director del MoU SOSH Protocolo 1 de 26.08. 2014. pedagógico p. Poima Jefe del MO Praslova O.M. Consejo Rodionova O.I. Protocolo 1

Institución educativa privada Liceo 1 “Sputnik” CONSIDERADO En reunión del Consejo Metodológico del Liceo 1 “Sputnik” Acta de 2017 Presidente del Consejo Metodológico del Liceo 1 "Sputnik" Ursul

Anotación al programa de trabajo grado 8, álgebra

1. Nota explicativa. El programa de trabajo en álgebra se compila sobre la base del programa del autor "Álgebra 8kl". edición Makarychev y otros de acuerdo con el contenido del contenido de las materias educativas del componente del estado.

PROGRAMA DE TRABAJO EN ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA PARA CLASE 7 "A" PARA EL CURSO 2018 2019

Institución educativa presupuestaria municipal Escuela secundaria 4 Considerado en consejo pedagógico Acta 1 de 31.08. 2017 Orden 162 de 31/08/2017 APROBADO: Director

Materiales de control y medición para la certificación intermedia en matemáticas en 2018 Grado 7 Nota explicativa El contenido del trabajo está construido de acuerdo con: con la Ley Federal de Rusia

Nota explicativa Documentos reglamentarios El programa de trabajo se basa en: la ley federal de la Federación Rusa de fecha 9..0 año 73-FZ "Sobre la educación en la Federación Rusa" del componente federal

Nota explicativa El programa de trabajo se basa en: Orden del Ministerio de Educación de la Federación Rusa de fecha 05.03.2004 1089 "Sobre la aprobación del componente federal de los estándares educativos estatales

1. RESULTADOS PREVISTOS DEL DOMINIO DE LA ASIGNATURA El estudio de las matemáticas en la escuela básica permite a los estudiantes lograr los siguientes resultados: En la dirección del desarrollo personal: - la capacidad de claramente,

NOTA EXPLICATIVA El programa de trabajo en álgebra para el grado 8 fue compilado de acuerdo con las disposiciones del Estándar Educativo del Estado Federal para la Educación General Básica de la segunda generación,

APÉNDICE al programa educativo CALENDARIO PLANIFICACIÓN TEMÁTICA en álgebra en el grado 8 Libro de texto "ÁLGEBRA 8", autor Yu. N. Makarychev y otros, editado por S. A. Telyakovsky Profesor: Dudnikova

Nota explicativa El programa de álgebra para la escuela básica se compila de acuerdo con los requisitos de: - el componente federal del estándar educativo estatal para la educación general básica

Nota explicativa El programa de trabajo en álgebra para el grado 8 (estudio en profundidad) se compiló de acuerdo con el componente federal del estándar educativo estatal, el programa en álgebra.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE LA FEDERACIÓN DE RUSIA CENTRO CIENTÍFICO Y EDUCATIVO ESPECIALIZADO DE LA UNIVERSIDAD ESTATAL DE NOVOSIBIRSK Matemáticas Grado 8 Polinomios Polinomios de Novosibirsk Racional

El programa de trabajo se ha elaborado de acuerdo con los siguientes documentos normativos: Ley Federal No. 273-FZ del 29 de febrero de 202 "Sobre la educación en la Federación de Rusia", los requisitos de la Educación del Estado Federal

Nota explicativa Este programa de trabajo "Álgebra" se desarrolló sobre la base de: - Ley Federal del 29 de diciembre de 2012 273-FZ (modificada el 13 de julio de 2015) "Sobre la educación en la Federación Rusa"; - basado en derechos de autor

El programa de trabajo se elaboró ​​de acuerdo con los documentos reglamentarios: Ley Federal No. 273-FZ del 29 de febrero de 202 "Sobre la educación en la Federación Rusa". 2. Orden del Ministerio de Educación y Ciencia de Rusia

Ministerio de Educación General y Profesional RO

institución educativa del presupuesto estatal

educación vocacional primaria en la región de Rostov

escuela vocacional n° 5

Trabajo practico

en la disciplina de ODP. 01."Matemáticas: Álgebra y Comienzos

Análisis matemático; geometría"

sobre este tema: "Conversiones de expresiones que contienen raíces, potencias y logaritmos».

Para estudiantes I curso

GRAMO. Rostov del Don

2017

Sección número 1. Álgebra.

Tema 1.2. Raíces, potencias y logaritmos.

Lección práctica número 1.

Sujeto: "Conversiones de expresiones que contienen raíces, potencias y logaritmos".

Objetivo: saber propiedades de radicales, potencias y logaritmos; poder aplicarlos realizar transformaciones de expresiones que contienen raíces, grados y logaritmos.

Número de horas : 1 hora.

materia teorica.

Raíces.

La acción por la cual se encuentra la raíz.norte-th grado, se llama extracción de raíznorte-th grado.

Definición. Raíz aritmética de grado naturalnorte≥ 2 de un número no negativo a se llama número no negativo,nortecuya th potencia es a.

La raíz aritmética de segundo grado también se llama raíz cuadrada, y la raíz de tercer grado también se llama raíz cúbica.

Por ejemplo.

Calcular:

raíz aritméticanorteEl grado tiene las siguientes propiedades:

si a ≥ 0, b > 0 y norte, metroson números naturales ynorte ≥ 2, metro≥ 2, entonces

1. 3.

2. 4.

Ejemplos de aplicación de las propiedades de la raíz aritmética.

Propiedades de un grado con exponente racional.

Para cualquier número racional p y k y cualquier a > 0 y b > 0, las igualdades son verdaderas:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Ejemplos de aplicación de propiedades de grado:

1). 7*

4). .

Logaritmo de un número

Definición. El logaritmo de un número positivo.ben base a, dondea > 0, a≠ 1, llamado el exponente al que debe elevarse el númeroa, Para obtener b.

a = b es la identidad logarítmica básica.

Propiedades de los logaritmos

Dejar a > 0, a ≠ 1, b>0, c >0, k es cualquier número real. Entonces las fórmulas son válidas:

1 . registro ( antes de Cristo ) = registro + registro , 4. registro = ,

2. registro = registro - registro c, 5.registro un = 1 ,

3. registro b = a * registro , 6. registro 0 = 1 .

Ejemplos de aplicación de fórmulas:

registro2 + registro 18 = registro ( 2 * 18 ) = registro 36 = 2;

registro 48 -registro 4 = registro= registro 12 = 1;

registro 9 = * registro 9 = .

Decide por tu cuenta .

Tareas.

1 opción

1. Calcula:

1) ; 4) registro ;

2) ; 5) 0,5;

3) ; 6) 3 registro 2 - registro 64.

2 si x = 7.

3. Compara números:registro 11 y registro 19.

4. Simplificar: 1) ; 2).

5. Calcula: registroregistroregistro 3.

_________________________________________________________________

opcion 2

1. Calcula:

1) ; 4) registro 64;

2) ; 5) ;

3) ; 6) 2 registro 3 - registro 81.

2. Encuentra el valor de la expresión: 3 si y = 2.

3. Compara números:registro Y registro.

4. Simplificar: 1) ; 2).

5. Calcula: registroregistroregistro 2.

__________________________________________________________________

Criterios de evaluación:

11 tareas correctas - "5";

9 - 10 tareas correctas - "4";

7 - 8 tareas correctas - "3".

Bashmákov. M. I. Matemáticas: un libro de texto para ONG y SPO. - M.:

Centro Editorial "Academia", 2013.

Alimov Sh.A. et al.. Álgebra y los comienzos del análisis. 10 (11) clase. – M.: 2012.

Álgebra. Grado 9: Libro de texto, libro de tareas para educación general. instituciones/

AG Mordkovich y otros - M .: Mnemozina, 2009.

Álgebra. Grado 8: Libro de texto, libro de tareas para educación general. instituciones/

AG Mordkovich y otros - M .: Mnemozina, 2008.

Álgebra. Grado 7: Libro de texto, libro de tareas para educación general. instituciones/

AG Mordkovich y otros - M .: Mnemozina, 2007.

Formulario de denuncia: verificación de tareas por parte del profesor

Para utilizar con éxito la operación de extraer la raíz en la práctica, debe familiarizarse con las propiedades de esta operación.
Todas las propiedades se formulan y prueban solo para valores no negativos de variables contenidas bajo signos de raíz.

Teorema 1. La raíz enésima (n=2, 3, 4,...) del producto de dos conjuntos de chips no negativos es igual al producto de las raíces enésimas de estos números:

Comentario:

1. El teorema 1 sigue siendo válido para el caso en que la expresión radical es el producto de más de dos números no negativos.

Teorema 2.Si, y n es un número natural mayor que 1, entonces la igualdad

Breve(aunque inexacta) formulación que es más conveniente de usar en la práctica: la raíz de la fracción es igual a la fracción de las raíces.

El teorema 1 nos permite multiplicar m sólo raíces del mismo grado , es decir. sólo raíces con el mismo exponente.

Teorema 3. Si ,k es un número natural y n es un número natural mayor que 1, entonces la igualdad

En otras palabras, para elevar una raíz a una potencia natural, basta elevar la expresión raíz a esta potencia.
Esto es una consecuencia del Teorema 1. De hecho, por ejemplo, para k = 3 obtenemos

Teorema 4. Si ,k, n son números naturales mayores que 1, entonces la igualdad

En otras palabras, para sacar una raíz de una raíz, basta con multiplicar los exponentes de las raíces.
Por ejemplo,

¡Ten cuidado! Aprendimos que se pueden realizar cuatro operaciones en las raíces: multiplicación, división, exponenciación y extracción de la raíz (de la raíz). Pero, ¿qué pasa con la suma y resta de raíces? De ninguna manera.
Por ejemplo, no puedes escribir en lugar de Indeed, pero es obvio que

Teorema 5. Si los indicadores de la raíz y la expresión de la raíz se multiplican o dividen por el mismo número natural, entonces el valor de la raíz no cambiará, es decir

Ejemplos de resolución de problemas

Ejemplo 1 Calcular

Solución. Usando la primera propiedad de las raíces (Teorema 1), obtenemos:

Ejemplo 2 Calcular
Solución. Convierte el número mixto en una fracción impropia.
Tenemos Usando la segunda propiedad de las raíces ( teorema 2 ), obtenemos:

Ejemplo 3 Calcular:

Solución. Cualquier fórmula en álgebra, como bien sabes, se usa no solo "de izquierda a derecha", sino también "de derecha a izquierda". Entonces, la primera propiedad de las raíces significa que se puede representar como y, a la inversa, se puede reemplazar por la expresión. Lo mismo se aplica a la segunda propiedad de las raíces. Con esto en mente, hagamos los cálculos.

Felicitaciones: hoy analizaremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado. :)

Mucha gente se confunde acerca de las raíces no porque sean complejas (lo cual es complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de tales comodines que solo los autores de los libros de texto pueden entender. entender este garabato. Y aun así solo con una botella de buen whisky. :)

Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de la raíz, la única que realmente necesita recordar. Y solo entonces explicaré: por qué todo esto es necesario y cómo aplicarlo en la práctica.

Pero primero, recuerde un punto importante, que por alguna razón muchos compiladores de libros de texto "olvidan":

Las raíces pueden ser de grado par (nuestra $\sqrt(a)$ favorita, así como cualquier $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (cualquier $\sqrt(a)$ , $\ raíz cuadrada(a)$ etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente de la de par.

Aquí en este jodido “algo diferente” se esconde, probablemente, el 95% de todos los errores y malentendidos asociados a las raíces. Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:

Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo un número $b$ tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz de un grado impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.

En cualquier caso, la raíz se denota así:

\(a)\]

El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz, y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada “favorita” (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (un grado impar), que también se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.

Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:

\[\begin(alinear) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]

Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.

Las raíces cúbicas también son comunes, no les tengas miedo:

\[\begin(alinear) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]

Bueno, un par de "ejemplos exóticos":

\[\begin(alinear) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]

Si no entiende cuál es la diferencia entre un grado par y uno impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!

Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual necesitábamos introducir una definición separada para exponentes pares e impares.

¿Por qué necesitamos raíces en absoluto?

Después de leer la definición, muchos estudiantes preguntarán: "¿Qué fumaron los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué necesitamos todas estas raíces?

Para responder a esta pregunta, volvamos a la escuela primaria por un momento. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar correctamente los números. Bueno, algo en el espíritu de "cinco por cinco - veinticinco", eso es todo. Pero después de todo, no puedes multiplicar números en pares, sino en tresillos, cuatros y, en general, conjuntos completos:

\[\begin(alinear) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son unos vagos, así que tenían que escribir la multiplicación de diez por cinco así:

Entonces se les ocurrieron los grados. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Como éste:

¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen varias veces, y no puede gastar un montón de hojas de pergamino de cuadernos para escribir unos 5 183 . Tal entrada se llamó el grado de un número, se encontraron un montón de propiedades en él, pero la felicidad resultó ser de corta duración.

Después de una bebida grandiosa, que se organizó solo sobre el "descubrimiento" de los grados, un matemático especialmente drogado preguntó de repente: "¿Qué pasa si sabemos el grado de un número, pero no sabemos el número en sí?" De hecho, si sabemos que un determinado número $b$, por ejemplo, da 243 elevado a la quinta potencia, ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el propio número $b$?

Este problema resultó ser mucho más global de lo que podría parecer a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los títulos "prefabricados" no existen tales números "iniciales". Juzga por ti mismo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]

¿Qué pasa si $((b)^(3))=50$? Resulta que necesitas encontrar un cierto número que, cuando se multiplica por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Claramente es mayor que 3 porque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Es decir este número se encuentra en algún lugar entre tres y cuatro, pero lo que es igual a - FIG lo entenderás.

Esta es exactamente la razón por la que a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$-ésima. Por eso se introdujo el icono radical $\sqrt(*)$. Para denotar el mismo número $b$, que elevado a la potencia especificada, nos dará un valor previamente conocido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

No discuto: a menudo estas raíces se consideran fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego tratas de extraer la raíz de un grado arbitrario de él, te encontrarás con un fastidio cruel.

¡Lo que está ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual, como un número entero o una fracción. Y si introduce este número en una calculadora, verá esto:

\[\raíz cuadrada(2)=1.414213562...\]

Como ves, tras el punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puede redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:

\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox. 1.4 \lt 1.5\]

O aquí hay otro ejemplo:

\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox. 1.7 \gt 1.5\]

Pero todos estos redondeos son, en primer lugar, bastante toscos; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados, de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, la habilidad de comparación y redondeo se verifica necesariamente en el examen de perfil).

Por lo tanto, en matemáticas serias, uno no puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, como fracciones y números enteros que conocemos desde hace mucho tiempo.

La imposibilidad de representar la raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es un número racional. Dichos números se denominan irracionales y no pueden representarse con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para esto (logaritmos, grados, límites, etc.). Pero más sobre eso en otro momento.

Considere algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales aún permanecerán en la respuesta.

\[\begin(alinear) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\aprox. -1,2599... \\ \end(alinear)\]

Naturalmente, por la apariencia de la raíz, es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, es posible calcular con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada nos da solo los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas como $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.

Para eso se inventaron. Para que sea fácil escribir las respuestas.

¿Por qué se necesitan dos definiciones?

El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos se toman de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se extraen con calma de absolutamente cualquier número, incluso positivo, incluso negativo.

¿Por qué está pasando esto? Observa la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:

La gráfica de una función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa

Tratemos de calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para ello, se dibuja sobre la gráfica una recta horizontal $y=4$ (marcada en rojo), que corta a la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x) _(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que

Todo está claro con el primer número: es positivo, por lo tanto, es la raíz:

Pero entonces, ¿qué hacer con el segundo punto? ¿El 4 tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir $\sqrt(4)=-2$ entonces? ¿Y por qué los maestros miran esos registros como si quisieran comerte? :)

El problema es que si no se imponen condiciones adicionales, los cuatro tendrán dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán raíces en absoluto; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. no toma valores negativos.

Un problema similar ocurre para todas las raíces con un exponente par:

1. En rigor, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
2. De números negativos, la raíz con $n$ pares no se extrae en absoluto.

Es por eso que la definición de una raíz par $n$ estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.

Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, echemos un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:

La parábola cúbica toma cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se puede sacar de cualquier número

De este gráfico se pueden sacar dos conclusiones:

1. Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de la habitual, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, a cualquier altura que dibujemos una línea horizontal, esta línea definitivamente se cruzará con nuestro gráfico. Por lo tanto, la raíz cúbica siempre se puede sacar, absolutamente, de cualquier número;
2. Además, tal intersección siempre será única, por lo que no necesita pensar qué número considerar la raíz "correcta" y cuál anotar. Es por eso que la definición de raíces para un grado impar es más simple que para uno par (no hay requisito de no negatividad).

Es una pena que estas cosas simples no estén explicadas en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a volar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.

Sí, no discuto: qué es una raíz aritmética, también necesita saberlo. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de él, porque sin él, todas las reflexiones sobre las raíces de la $n$-ésima multiplicidad estarían incompletas.

Pero primero debe comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, comenzará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada en absoluto.

Y todo lo que necesitas entender es la diferencia entre números pares e impares. Por eso, una vez más recopilaremos todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:

1. Una raíz par existe solo a partir de un número no negativo y en sí misma siempre es un número no negativo. Para números negativos, tal raíz no está definida.
2. Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí misma cualquier número: para números positivos es positiva, y para números negativos, como indica la mayúscula, es negativa.

¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Está vacío? ¡Sí, es obvio! Por lo tanto, ahora practicaremos un poco con los cálculos.

Propiedades y restricciones básicas

Las raíces tienen muchas propiedades y restricciones extrañas; esta será una lección aparte. Por lo tanto, ahora consideraremos solo el "chip" más importante, que se aplica solo a las raíces con un exponente par. Escribimos esta propiedad en forma de fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]

En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz del mismo grado de este, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que es fácil de probar (basta con considerar por separado $x$ no negativos, y luego considerar por separado los negativos). Los maestros hablan constantemente de eso, se da en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen el signo del radical), los estudiantes olvidan esta fórmula juntos.

Para comprender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos contar dos números por delante:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Estos son ejemplos muy simples. El primer ejemplo lo resolverá la mayoría de la gente, pero en el segundo muchos se quedan. Para resolver cualquier basura de este tipo sin problemas, siempre considere el procedimiento:

1. Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es un poco fácil. Se obtendrá un nuevo número, que incluso se puede encontrar en la tabla de multiplicar;
2. Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz de cuarto grado. Aquellos. no hay "reducción" de raíces y grados; estas son acciones secuenciales.

Tratemos con la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero debe calcular la expresión debajo de la raíz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:

Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, para lo cual necesitamos multiplicarlo por sí mismo 4 veces:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]

Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de menos en el producto es de 4 piezas, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). A continuación, extraiga la raíz de nuevo:

En principio, esta línea no se podría escribir, ya que es obvio que la respuesta será la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" los menos, y en este sentido el resultado es indistinguible del módulo habitual:

\[\begin(alinear) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecho|=3. \\ \end(alinear)\]

Estos cálculos están en buen acuerdo con la definición de la raíz de un grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también es siempre un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.

Nota sobre el orden de las operaciones.

1. La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que un número no negativo siempre se encuentra debajo del signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ de todos modos;
2. Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero extraemos la raíz de un cierto número $a$ y luego elevamos al cuadrado el resultado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; este es un requisito obligatorio incluido en la definición.

Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente las raíces y los grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si debajo de la raíz hay un número negativo, y su exponente es par, tendremos muchos problemas.

Sin embargo, todos estos problemas son relevantes solo para indicadores pares.

Eliminar un signo menos debajo del signo raíz

Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que, en principio, no existe para los pares. A saber:

\[\raíz cuadrada(-a)=-\raíz cuadrada(a)\]

En resumen, puede sacar un menos de debajo del signo de las raíces de un grado impar. Esta es una propiedad muy útil que le permite "deshacerse" de todas las desventajas:

\[\begin(alinear) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]

Esta propiedad simple simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no necesita preocuparse: ¿qué pasa si una expresión negativa se coloca debajo de la raíz y el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todos los menos fuera de las raíces, después de lo cual se pueden multiplicar entre sí, dividir y, en general, hacer muchas cosas sospechosas, que en el caso de las raíces "clásicas" están garantizadas para llevarnos a un error. .

Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que la mayoría de las escuelas comienzan el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Encontrarse!

raíz aritmética

Supongamos por un momento que solo los números positivos o, en casos extremos, el cero pueden estar bajo el signo de la raíz. Anotemos en indicadores pares / impares, anotemos en todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?

Y luego obtenemos la raíz aritmética: se cruza parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.

Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como puede ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma también es no negativa.

Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a los gráficos de la parábola cuadrada y cúbica que ya nos son familiares:

Área de búsqueda raíz: números no negativos

Como puede ver, de ahora en adelante, solo nos interesan las piezas de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ y $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no necesita mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a rootear un número negativo o no. Porque los números negativos ya no se consideran en principio.

Puede preguntar: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan castrada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada arriba?"

Bueno, daré solo una propiedad, por la cual la nueva definición se vuelve apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:

\[\raíz cuadrada[n](a)=\raíz cuadrada(((a)^(k)))\]

Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente de la raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay unos ejemplos:

\[\begin(alinear) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(alinear)\]

Bueno, ¿qué hay de malo en eso? ¿Por qué no pudimos hacerlo antes? Este es el por qué. Considere una expresión simple: $\sqrt(-2)$ es un número bastante normal en nuestro sentido clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como puede ver, en el primer caso, sacamos el menos de debajo del radical (tenemos toda la razón, porque el indicador es impar), y en el segundo, usamos la fórmula anterior. Aquellos. desde el punto de vista de las matemáticas, todo se hace de acuerdo con las reglas.

¡¿Qué diablos?! ¿Cómo puede el mismo número ser tanto positivo como negativo? De ninguna manera. Es solo que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para números positivos y el cero, comienza a dar una completa herejía en el caso de números negativos.

Aquí, para deshacerse de tal ambigüedad, se les ocurrieron raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos en detalle todas sus propiedades. Así que ahora no nos detendremos en ellos; la lección resultó ser demasiado larga de todos modos.

Raíz algebraica: para los que quieren saber más

Pensé durante mucho tiempo: hacer este tema en un párrafo aparte o no. Al final, decidí irme de aquí. Este material está destinado a aquellos que desean comprender las raíces aún mejor, ya no en el nivel promedio de "escuela", sino en el nivel cercano a la Olimpiada.

Entonces: además de la definición "clásica" de la raíz del $n$-ésimo grado de un número y la división asociada en indicadores pares e impares, hay una definición más "adulta", que no depende de la paridad y otras sutilezas en absoluto. A esto se le llama raíz algebraica.

Definición. Una raíz algebraica $n$-ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación bien establecida para tales raíces, así que simplemente coloque un guión en la parte superior:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que la raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como estamos trabajando con números reales, este conjunto es de solo tres tipos:

1. Conjunto vacio. Ocurre cuando se requiere encontrar una raíz algebraica de grado par a partir de un número negativo;
2. Un conjunto que consta de un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares a partir de cero, entran en esta categoría;
3. Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar función cuadrática. En consecuencia, dicha alineación solo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.

El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.

Ejemplo. Calcular expresiones:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solución. La primera expresión es simple:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Son dos números que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aquí vemos un conjunto que consta de un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente de la raíz es impar.

Finalmente, la última expresión:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnada\]

Tenemos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta (¡es decir, par!) potencia, nos dé un número negativo −16.

nota final Tenga en cuenta: no fue casualidad que noté en todas partes que estamos trabajando con números reales. Debido a que también hay números complejos, es bastante posible calcular $\sqrt(-16)$ y muchas otras cosas extrañas allí.

Sin embargo, en el currículo escolar moderno de matemáticas, los números complejos casi nunca se encuentran. Se han omitido de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es "demasiado difícil de entender".

Eso es todo. En la próxima lección, veremos todas las propiedades clave de las raíces y finalmente aprenderemos a simplificar expresiones irracionales. :)