La videolección “Periodicidad de funciones y = sin x, y = cos x” revela el concepto de periodicidad de una función, considera una descripción de ejemplos de resolución de problemas en los que se utiliza el concepto de periodicidad de una función. Esta lección en video es una ayuda visual para explicar el tema a los estudiantes. Además, este manual puede convertirse en una parte independiente de la lección, liberando al profesor para realizar un trabajo individual con los estudiantes.
La visibilidad en la presentación de este tema es muy importante. Para representar el comportamiento de una función, graficarla, es necesario visualizarla. No siempre es posible realizar construcciones utilizando pizarra y tiza de tal forma que sean comprensibles para todos los alumnos. En el video tutorial, es posible resaltar partes del dibujo con color durante la construcción y realizar transformaciones mediante animación. De este modo, las construcciones se vuelven más comprensibles para la mayoría de los estudiantes. Además, las funciones de las lecciones en vídeo contribuyen a una mejor memorización del material.
La demostración comienza presentando el tema de la lección, además de recordar a los estudiantes el material aprendido en lecciones anteriores. En particular, se resume la lista de propiedades que se identificaron en las funciones y = sen x, así como y = cos x. Entre las propiedades de las funciones consideradas, se destacan el dominio de definición, el rango de valores, la paridad (rareza) y otras características: acotación, monotonicidad, continuidad, puntos de menor (mayor) valor. Se informa a los estudiantes que en esta lección se estudia otra propiedad de una función: la periodicidad.
Se presenta la definición de una función periódica y=f(x), donde xϵX, en la que se presenta la condición f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) para algunos Т≠0. De lo contrario, el número T se llama período de la función.
Para las funciones seno y coseno consideradas, el cumplimiento de la condición se verifica mediante fórmulas de reducción. Es obvio que la forma de la identidad sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) corresponde a la forma de la expresión que define la condición de periodicidad de la función. La misma igualdad se puede observar para el coseno cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Esto significa que estas funciones trigonométricas son periódicas.
Además, se observa cómo la propiedad de la periodicidad ayuda a construir gráficas de funciones periódicas. Se considera la función y = sen x. En la pantalla se construye un plano de coordenadas, en el que las abscisas de -6π a 8π están marcadas con un paso de π. Una parte del gráfico del seno se traza en el plano, representada por una onda en el segmento. La figura demuestra cómo se forma la gráfica de una función en todo el dominio de definición desplazando el fragmento construido, lo que da como resultado una sinusoide larga.
Se construye una gráfica de la función y = cos x utilizando la propiedad de su periodicidad. Para hacer esto, se construye un plano de coordenadas en la figura, en el que se representa un fragmento del gráfico. Cabe señalar que dicho fragmento suele construirse en el segmento [-π/2;3π/2]. De manera similar a la gráfica de la función seno, la construcción de la gráfica del coseno se realiza desplazando el fragmento. Como resultado de la construcción, se forma una larga sinusoide.
Graficar una función periódica tiene características que se pueden utilizar. Por lo tanto se dan en forma generalizada. Cabe señalar que para construir una gráfica de dicha función, primero se construye una rama de la gráfica en un cierto intervalo de longitud T. Luego es necesario desplazar la rama construida hacia la derecha y hacia la izquierda en T, 2T, 3T, etc. Al mismo tiempo, se señala otra característica del período: para cualquier número entero k≠0, el número kT es también el período de la función. Sin embargo, a T se le llama período principal, ya que es el más pequeño de todos. Para las funciones trigonométricas seno y coseno, el período básico es 2π. Sin embargo, los periodos también son 4π, 6π, etc.
A continuación, se propone considerar encontrar el período principal de la función y = cos 5x. La solución comienza con el supuesto de que T es el período de la función. Esto significa que se debe cumplir la condición f(x-T)= f(x)= f(x+T). En esta identidad, f(x)= cos 5x, y f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). En este caso, cos (5x+5T)= cos 5x, por lo tanto 5T=2πn. Ahora puedes encontrar T=2π/5. El problema esta resuelto.
En el segundo problema, necesitas encontrar el período principal de la función y=sin(2x/7). Se supone que el período principal de la función T para una función dada es f(x)= sin(2x/7), y después de un período f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = pecado(2x/7 +(2/7)T). después de la reducción obtenemos (2/7)Т=2πn. Sin embargo, necesitamos encontrar el período principal, por lo que tomamos el valor más pequeño (2/7)T=2π, del cual encontramos T=7π. El problema esta resuelto.
Al final de la demostración, los resultados de los ejemplos se resumen para formar una regla para determinar el período básico de la función. Cabe señalar que para las funciones y=sinkx e y=coskx los períodos principales son 2π/k.
La lección en video “Periodicidad de las funciones y = sin x, y = cos x” se puede utilizar en una lección de matemáticas tradicional para aumentar la efectividad de la lección. También se recomienda que este material sea utilizado por un docente que brinde educación a distancia para aumentar la claridad de la explicación. El video se puede recomendar a un estudiante con dificultades para profundizar su comprensión del tema.
DECODIFICACIÓN DE TEXTO:
"Periodicidad de las funciones y = cos x, y = sen x".
Para construir gráficas de las funciones y = sin x e y = cos x, se utilizaron las propiedades de las funciones:
1 área de definición,
2 áreas de valor,
3 pares o impares,
4 monotonía,
5 limitación,
6 continuidad,
7 valor más alto y más bajo.
Hoy estudiaremos otra propiedad: la periodicidad de una función.
DEFINICIÓN. La función y = f (x), donde x ϵ X (en griego es igual a ef de x, donde x pertenece al conjunto x), se llama periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x de en el conjunto X se cumple la doble igualdad: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff de x menos te es igual a ef de x e igual a ef de x más te). El número T que satisface esta doble igualdad se llama período de la función.
Y dado que el seno y el coseno están definidos en toda la recta numérica y para cualquier x se satisfacen las igualdades sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (el seno de x menos dos pi es igual al seno de x e igual al seno de x más dos pi ) y
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (el coseno de x menos dos pi es igual al coseno de x e igual al coseno de x más dos pi), entonces el seno y el coseno son funciones periódicas con un período de 2π.
La periodicidad le permite construir rápidamente una gráfica de una función. De hecho, para construir una gráfica de la función y = sin x, es suficiente trazar una onda (la mayoría de las veces en un segmento (de cero a dos pi), y luego desplazar la parte construida de la gráfica a lo largo de la x -eje hacia la derecha y hacia la izquierda en 2π, luego en 4π y así sucesivamente para obtener una onda sinusoidal.
(muestra desplazamiento hacia la derecha e izquierda en 2π, 4π)
Lo mismo ocurre con la gráfica de la función
y = cos x, pero la mayoría de las veces construimos una onda en el segmento [; ] (de menos pi sobre dos a tres pi sobre dos).
Resumamos lo anterior y saquemos una conclusión: para construir una gráfica de una función periódica con un período T, primero debe construir una rama (u onda, o parte) de la gráfica en cualquier intervalo de longitud T (la mayoría de las veces esto es un intervalo con extremos en los puntos 0 y T o - y (menos te por dos y te por dos), y luego mueve esta rama a lo largo del eje x(x) hacia la derecha y hacia la izquierda por T, 2T, 3T, etc.
Obviamente, si una función es periódica con período T, entonces para cualquier número entero k0 (ka distinto de cero) un número de la forma kT (ka te) es también el período de esta función. Por lo general, intentan aislar el período positivo más pequeño, que se denomina período principal.
Como período de las funciones y = cos x, y = sen x, se podría tomar - 4π, 4π, - 6π, 6π, etc. (menos cuatro pi, cuatro pi, menos seis pi, seis pi, etc.) . Pero el número 2π es el período principal de ambas funciones.
Veamos ejemplos.
EJEMPLO 1. Encuentra el período principal de la función y = cos5x (la y es igual al coseno de cinco x).
Solución. Sea T el período principal de la función y = cos5x. Pongamos
f (x) = cos5x, entonces f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (efecto de x más te es igual al coseno de cinco multiplicado por la suma de x y te es igual al coseno de la suma de cinco x y cinco te).
porque (5x + 5T) = cos5x. Por lo tanto, 5T = 2πn (cinco te equivalen a dos pi en), pero según la condición es necesario encontrar el período principal, lo que significa 5T = 2π. Obtenemos T=
(el período de esta función es dos pi dividido por cinco).
Respuesta: T=.
EJEMPLO 2. Encuentra el período principal de la función y = sin (la y es igual al seno del cociente de dos x entre siete).
Solución. Sea T el período principal de la función y = sin. Pongamos
f (x) = sin, entonces f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef de x más te es igual al seno del producto de dos séptimos y la suma de x y te es igual al seno de la suma de dos séptimos x y dos séptimos te).
Para que el número T sea el período de la función, se debe satisfacer la identidad
pecado (x + T) = pecado. Por lo tanto T= 2πn (dos séptimos te es igual a dos pi en), pero de acuerdo con la condición es necesario encontrar el período principal, lo que significa T= 2π. Obtenemos T=7
(el período de esta función es siete pi).
Respuesta: T=7.
Resumiendo los resultados obtenidos en los ejemplos, podemos concluir: el período principal de las funciones y = sin kx o y = cos kx (y es igual al seno ka x o y es igual al coseno ka x) es igual a (dos pi dividido por ka).
>> Periodicidad de funciones y = sen x, y = cos x
§ 11. Periodicidad de las funciones y = sin x, y = cos x
En los párrafos anteriores utilizamos siete propiedades de las funciones: dominio de definición, par o impar, monotonicidad, acotación, valores mayor y menor, continuidad, rango de valores de la función. Usamos estas propiedades para construir la gráfica de una función (esto sucedió, por ejemplo, en el § 9) o para leer la gráfica construida (esto sucedió, por ejemplo, en el § 10). Ahora ha llegado el momento oportuno para introducir otra (octava) propiedad de las funciones, que es claramente visible en las gráficas de las funciones y = sin x (ver Fig. 37), y = cos x (ver Fig. 41) construidas arriba.
Definición. Una función se llama periódica si hay un número T distinto de cero tal que para cualquier x en los conjuntos se cumple la doble igualdad:
El número T que satisface la condición especificada se llama período de la función y = f(x).
De ello se deduce que, dado que para cualquier x las igualdades son válidas:
entonces las funciones y = sin x, y = cos x son periódicas y el número es 2 PAG sirve como período para ambas funciones.
La periodicidad de una función es la octava propiedad prometida de las funciones.
Ahora mira la gráfica de la función y = sen x (Fig. 37). Para construir una onda sinusoidal, basta con trazar una de sus ondas (en un segmento y luego desplazar esta onda a lo largo del eje x. Como resultado, usando una onda construiremos el gráfico completo.
Miremos desde el mismo punto de vista la gráfica de la función y = cos x (Fig. 41). Vemos que aquí, para trazar un gráfico, basta con trazar primero una onda (por ejemplo, en el segmento
Y luego muévalo a lo largo del eje x por
Resumiendo, llegamos a la siguiente conclusión.
Si la función y = f(x) tiene un período T, entonces para construir una gráfica de la función primero debes construir una rama (onda, parte) de la gráfica en cualquier intervalo de longitud T (la mayoría de las veces toma un intervalo con extremos en puntos y luego mueva esta rama a lo largo del eje x hacia la derecha y hacia la izquierda a T, 2T, ZT, etc.
Una función periódica tiene infinitos períodos: si T es un período, entonces 2T es un período, ZT es un período y -T es un período; En general, un período es cualquier número de la forma KT, donde k = ±1, ±2, ± 3... Generalmente se intenta, si es posible, aislar el período positivo más pequeño, se llama período principal.
Entonces, cualquier número de la forma 2pk, donde k = ±1, ± 2, ± 3, es el período de las funciones y = sinn x, y = cos x; 2n es el período principal de ambas funciones.
Ejemplo. Encuentra el período principal de la función:
a) Sea T el período principal de la función y = sen x. Pongamos
Para que el número T sea un período de una función, la identidad Pero, como estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos
b) Sea T el periodo principal de la función y = cos 0,5x. Pongamos f(x)=cos 0.5x. Entonces f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).
Para que el número T sea un período de la función, debe cumplirse la identidad cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.
Esto significa 0,5t = 2pp. Pero, como estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos 0,5T = 2 l, T = 4 l.
La generalización de los resultados obtenidos en el ejemplo es la siguiente afirmación: el período principal de la función 
A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado
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Otra Nochevieja... clima helado y copos de nieve en el cristal de la ventana... Todo esto me impulsó a escribir nuevamente sobre... fractales y lo que Wolfram Alpha sabe al respecto. Hay un artículo interesante sobre este tema, que contiene ejemplos de estructuras fractales bidimensionales. Aquí veremos ejemplos más complejos de fractales tridimensionales.
Un fractal se puede representar (describir) visualmente como una figura o cuerpo geométrico (lo que significa que ambos son un conjunto, en este caso, un conjunto de puntos), cuyos detalles tienen la misma forma que la propia figura original. Es decir, se trata de una estructura autosimilar, cuyos detalles, al ampliarla, veremos la misma forma que sin ampliación. Mientras que en el caso de una figura geométrica ordinaria (no un fractal), al ampliarla veremos detalles que tienen una forma más simple que la propia figura original. Por ejemplo, con un aumento suficientemente alto, parte de una elipse parece un segmento de línea recta. Esto no sucede con los fractales: con cualquier aumento en ellos, volveremos a ver la misma forma compleja, que se repetirá una y otra vez con cada aumento.
Benoit Mandelbrot, el fundador de la ciencia de los fractales, escribió en su artículo Fractales y arte en nombre de la ciencia: "Los fractales son formas geométricas que son tan complejas en sus detalles como en su forma general. Es decir, si parte del fractal "Se ampliará al tamaño del conjunto, aparecerá como un todo, ya sea exactamente o quizás con una ligera deformación".
Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, se repiten después de un período determinado. Como resultado, basta con estudiar la función en este intervalo y extender las propiedades descubiertas a todos los demás períodos.
Instrucciones1. Si le dan una expresión primitiva en la que solo hay una función trigonométrica (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), y el ángulo dentro de la función no se multiplica por ningún número y él mismo no se eleva en cualquier grado: utilice la definición. Para expresiones que contienen sin, cos, sec, cosec, establezca audazmente el período en 2P, y si la ecuación contiene tg, ctg, entonces P. Digamos, para la función y=2 sinx+5, el período será igual a 2P .
2. Si el ángulo x bajo el signo de una función trigonométrica se multiplica por algún número, entonces, para encontrar el período de esta función, divida el período típico por este número. Digamos que te dan una función y = sen 5x. El periodo típico de un seno es 2P; dividiéndolo por 5, se obtiene 2P/5; este es el periodo deseado de esta expresión.
3. Para encontrar el período de una función trigonométrica elevada a una potencia, estima la paridad de la potencia. Para un nivel uniforme, reduzca el período promedio a la mitad. Digamos que si se le da la función y = 3 cos^2x, entonces el período típico 2P disminuirá 2 veces, por lo que el período será igual a P. Tenga en cuenta que las funciones tg, ctg son periódicas de P a cada grado.
4. Si te dan una ecuación que contiene el producto o cociente de dos funciones trigonométricas, primero encuentra el período de todas ellas por separado. Después de esto, encuentre el número mínimo que contendría el número entero de ambos períodos. Digamos que se da la función y=tgx*cos5x. Para tangente el período es P, para coseno 5x el período es 2P/5. El número mínimo en el que se pueden acomodar ambos períodos es 2P, por lo que el período deseado es 2P.
5. Si te resulta difícil hacer lo sugerido o dudas del resultado, intenta hacerlo como está definido. Tome T como el período de la función; es mayor que cero. Sustituye la expresión (x + T) en lugar de x en la ecuación y resuelve la igualdad resultante como si T fuera un parámetro o un número. Como resultado, descubrirás el valor de la función trigonométrica y podrás encontrar el período más pequeño. Digamos que, como resultado del alivio, se obtiene la identidad sin (T/2) = 0. El valor mínimo de T al que se realiza es 2P, este será el resultado de la tarea.
Una función periódica es una función que repite sus valores después de un período distinto de cero. El período de una función es un número que, cuando se suma al argumento de una función, no cambia el valor de la función.
Necesitará
- Conocimientos de matemáticas elementales y repaso básico.
1. Denotemos el período de la función f(x) con el número K. Nuestra tarea es descubrir este valor de K. Para hacer esto, imaginemos que la función f(x), usando la definición de función periódica, igualamos f(x+K)=f(x).
2. Resolvemos la ecuación resultante respecto de la incógnita K, como si x fuera una constante. Dependiendo del valor de K, habrá varias opciones.
3. Si K>0 – entonces este es el período de tu función. Si K=0 – entonces la función f(x) no es periódica. Si la solución de la ecuación f(x+K)=f(x) sí no existe para ningún K distinto de cero, entonces dicha función se llama aperiódica y tampoco tiene período.
Vídeo sobre el tema.
¡Nota!
Todas las funciones trigonométricas son periódicas y todas las funciones polinómicas con un grado mayor que 2 son aperiódicas.
Consejo útil
El período de una función que consta de 2 funciones periódicas es el mínimo universal múltiplo de los períodos de estas funciones.
Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas de argumento desconocido (por ejemplo: 5senx-3cosx =7). Para aprender cómo resolverlos, necesita conocer algunas formas de hacerlo.
1. La solución de tales ecuaciones consta de 2 etapas. La primera es reformar la ecuación para adquirir su forma más simple. Las ecuaciones trigonométricas más simples son: Sinx=a; cosx=a, etc.
2. La segunda es la solución de la ecuación trigonométrica más simple obtenida. Existen formas básicas de resolver ecuaciones de este tipo: Resolver algebraicamente. Este método se conoce muy bien en la escuela, en un curso de álgebra. También llamado método de reemplazo y sustitución de variables. Usando fórmulas de reducción, transformamos, hacemos una sustitución y luego encontramos las raíces.
3. Factorizar la ecuación. Primero, movemos todos los términos hacia la izquierda y los factorizamos.
4. Reducir la ecuación a una homogénea. Las ecuaciones se llaman ecuaciones homogéneas si todos los términos son del mismo grado y el seno y el coseno del mismo ángulo. Para resolverla se debe: primero trasladar todos sus términos del lado derecho al lado izquierdo; sacar todos los factores universales de paréntesis; igualar factores y paréntesis a cero; los paréntesis equiparados dan una ecuación homogénea de menor grado, que debe dividirse por cos (o sin) al mayor grado; resuelva la ecuación algebraica resultante con respecto a tan.
5. El siguiente método consiste en moverse a medio ángulo. Digamos, resuelve la ecuación: 3 sen x – 5 cos x = 7. Pasemos al medio ángulo: 6 sen (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 pecado ? (x/2) = 7 pecado? (x / 2) + 7 porque ? (x/ 2), después de lo cual reducimos todos los términos a una parte (preferiblemente el lado derecho) y resolvemos la ecuación.
6. Entrada de ángulo auxiliar. Cuando reemplazamos el valor entero cos(a) o sin(a). El signo "a" es un ángulo auxiliar.
7. Método de transformar un producto en una suma. Aquí debe aplicar las fórmulas adecuadas. Digamos dado: 2 sen x · sen 3x = cos 4x, resuélvelo transformando el lado izquierdo en una suma, es decir: cos 4x – cos 8x = cos 4x,cos 8x = 0,8x = p/2 + pk, x = p/16 + pk/8.
8. El método final se llama sustitución multifuncional. Transformamos la expresión y hacemos un cambio, digamos Cos(x/2)=u, y luego resolvemos la ecuación con el parámetro u. Al comprar el total, convertimos el valor al contrario.
Vídeo sobre el tema.
Si consideramos puntos en un círculo, entonces puntos x, x + 2π, x + 4π, etc. coinciden entre sí. Así, las funciones trigonométricas en línea recta repiten periódicamente su valor. Si se conoce el período de una función, es posible construir la función sobre este período y repetirla en otros.
1. El período es un número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar el período, resuelve la ecuación correspondiente, sustituyendo x y x+T como argumento. En este caso se utilizan para las funciones los ya conocidos puntos. Para las funciones seno y coseno el periodo es 2π, y para las funciones tangente y cotangente es π.
2. Sea la función f(x) = sin^2(10x). Considere la expresión sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Utilice la fórmula para reducir el grado: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Entonces obtienes 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) o cos 20x = cos (20x+20T). Sabiendo que el periodo del coseno es 2π, 20T = 2π. Esto significa T = π/10. T es el período mínimo correcto, y la función se repetirá después de 2T, y después de 3T, y en la otra dirección a lo largo del eje: -T, -2T, etc.
Consejo útil
Utilice fórmulas para reducir el grado de una función. Si ya conoce los períodos de algunas funciones, intente reducir la función existente a las conocidas.
Examinar una función para determinar si es uniforme o impar ayuda a construir una gráfica de la función y comprender la naturaleza de su comportamiento. Para esta investigación, es necesario comparar esta función escrita para el argumento "x" y para el argumento "-x".
1. Escribe la función que deseas estudiar en la forma y=y(x).
2. Reemplace el argumento de la función con “-x”. Sustituye este argumento en una expresión funcional.
3. Simplifica la expresión.
4. Por tanto, tienes la misma función escrita para los argumentos “x” y “-x”. Mire estas dos entradas. Si y(-x)=y(x), entonces es una función par. Si y(-x)=-y(x), entonces es una función impar. Si es imposible digamos de una función que y (-x) = y (x) o y (-x) = -y (x), entonces, por la propiedad de paridad, esta es una función de forma universal. Es decir, no es ni par ni impar.
5. Escriba sus hallazgos. Ahora puedes usarlos para construir una gráfica de una función o en un futuro estudio analítico de las propiedades de una función.
6. También es posible hablar de uniformidad e imparidad de una función en el caso de que ya se haya dado la gráfica de la función. Digamos que la gráfica sirvió como resultado de un experimento físico. Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al eje de ordenadas, entonces y(x) es una función par. Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al eje de abscisas, entonces x(y) es una función par. x(y) es una función inversa a la función y(x). Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al origen (0,0), entonces y(x) es una función impar. La función inversa x(y) también será impar.
7. Es importante recordar que la idea de uniformidad e imparidad de una función tiene una conexión directa con el dominio de definición de la función. Si, digamos, una función par o impar no existe en x=5, entonces no existe en x=-5, lo que no se puede decir de una función de forma universal. Al establecer la paridad par e impar, preste atención al dominio de la función.
8. Encontrar una función para la igualdad y la imparidad se correlaciona con encontrar un conjunto de valores de función. Para encontrar el conjunto de valores de una función par, basta con mirar la mitad de la función, a la derecha o a la izquierda del cero. Si en x>0 la función par y(x) toma valores de A a B, entonces tomará los mismos valores y en x0 la función impar y(x) toma el rango de valores de A a B, entonces en x sin^2? + porque^2 ? = 1. La tercera y cuarta identidades se obtienen dividiendo, respectivamente, entre b^2 y a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/pecado^ ? o 1 + ctg^2? = 1/sen^2 ?. Las identidades básicas quinta y sexta se prueban determinando la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que es igual a 90° o?/2. Identidades trigonométricas más difíciles: fórmulas para sumar argumentos, ángulos dobles y triples, reducción de grado, reformación de sumas o productos de funciones, así como fórmulas de sustitución trigonométrica, concretamente expresiones de funciones trigonométricas básicas en términos de tan medio ángulo: sin ?= (2*tg ?/2)/ (1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg?/2)/(1 – tg^2?/2).
La necesidad de encontrar el valor mínimo de una función matemática es de interés real en la resolución de problemas aplicados, por ejemplo, en economía. Minimizar las pérdidas es de gran importancia para las actividades comerciales.
1. Para encontrar el valor mínimo de la función, es necesario determinar ¿a qué valor del argumento x0 se satisfará la desigualdad y(x0)? y(x), donde x? x0. Como es habitual, este problema se resuelve en un intervalo determinado o en cada rango de valores de la función, si no se especifica alguno. Un aspecto de la solución es encontrar puntos fijos.
2. Un punto estacionario es el valor del argumento en el que la derivada de la función se vuelve cero. Según el teorema de Fermat, si una función diferenciable toma un valor extremo en algún punto (en este caso, un mínimo local), entonces ese punto es estacionario.
3. La función a menudo toma su valor mínimo precisamente en este punto, pero no se puede determinar invariablemente. Además, no siempre es posible decir con precisión a qué es igual el mínimo de la función o si toma un valor infinitamente pequeño. Luego, como de costumbre, encuentran el límite al que tiende a medida que disminuye.
4. Para determinar el valor mínimo de una función es necesario realizar una secuencia de acciones que consta de cuatro etapas: encontrar el dominio de definición de la función, adquirir puntos fijos, revisar los valores de la función en estos puntos y en los extremos del intervalo, encontrando el mínimo.
5. Resulta que supongamos que se dé alguna función y(x) en un intervalo con límites en los puntos A y B. Encuentre el dominio de su definición y averigüe si el intervalo es su subconjunto.
6. Calcula la derivada de la función. Iguala la expresión resultante a cero y encuentra las raíces de la ecuación. Compruebe si estos puntos estacionarios se encuentran dentro del espacio. En caso contrario, no se tendrán en cuenta en una fase posterior.
7. Examine la brecha para determinar el tipo de límites: abiertos, cerrados, compuestos o inconmensurables. Esto determina cómo buscar el valor mínimo. Digamos que el segmento [A, B] es un intervalo cerrado. Conéctelos a la función y calcule los valores. Haz lo mismo con un punto estacionario. Seleccione el total más bajo.
8. Con intervalos abiertos e inconmensurables la situación es algo más difícil. Aquí habrá que buscar límites unilaterales que no siempre den un resultado inequívoco. Digamos, para un intervalo con un límite cerrado y otro perforado [A, B), ¿se debe encontrar una función en x = A y un límite unilateral lim y en x? B-0.
