Cabe señalar que la combinatoria es una rama independiente de las matemáticas superiores (y no parte de Terver) y se han escrito libros de texto importantes sobre esta disciplina, cuyo contenido, en ocasiones, no es más fácil que el álgebra abstracta. Sin embargo, una pequeña porción de conocimientos teóricos será suficiente para nosotros, y en este artículo intentaré analizar de forma accesible los conceptos básicos del tema con problemas combinatorios típicos. Y muchos de vosotros me ayudaréis ;-)
¿Qué vamos a hacer? En un sentido estricto, la combinatoria es el cálculo de varias combinaciones que se pueden hacer a partir de un determinado conjunto. discreto objetos. Se entiende por objetos cualquier objeto aislado o ser vivo: personas, animales, setas, plantas, insectos, etc. Al mismo tiempo, a la combinatoria no le importa en absoluto que el conjunto consista en un plato de sémola, un soldador y una rana de pantano. Es de fundamental importancia que estos objetos puedan enumerarse: hay tres. (discreción) y lo importante es que ninguno de ellos es idéntico.
Hemos tratado mucho, ahora sobre combinaciones. Los tipos más comunes de combinaciones son las permutaciones de objetos, su selección de un conjunto (combinación) y su distribución (ubicación). Veamos cómo sucede esto ahora mismo:
Permutaciones, combinaciones y colocaciones sin repetición.
No tenga miedo de los términos oscuros, sobre todo porque algunos de ellos no son muy buenos. Comencemos con la cola del título: ¿qué significa " sin repeticiones"? Esto significa que en esta sección consideraremos conjuntos que constan de varios objetos. Por ejemplo, ... no, no ofreceré papilla con un soldador y una rana, es mejor tener algo más sabroso =) Imagina que una manzana, una pera y un plátano se han materializado en la mesa frente a ti ( si los tienes, la situación se puede simular en la realidad). Colocamos las frutas de izquierda a derecha en el siguiente orden:
manzana/pera/plátano
Pregunta uno: ¿De cuántas maneras se pueden reordenar?
Una combinación ya se ha escrito arriba y no hay problemas con el resto:
manzana/plátano/pera
pera / manzana / plátano
pera / plátano / manzana
plátano / manzana / pera
plátano/pera/manzana
Total: 6 combinaciones o 6 permutaciones.
Vale, no fue difícil enumerar todos los casos posibles, pero ¿y si hay más objetos? ¡Con sólo cuatro frutas diferentes, el número de combinaciones aumentará significativamente!
Por favor abra el material de referencia. (es conveniente imprimir el manual) y en el punto No. 2, encuentre la fórmula para el número de permutaciones.
Sin complicaciones: se pueden reorganizar 3 objetos de diferentes maneras.
Pregunta dos: ¿De cuántas maneras puedes elegir a) una fruta, b) dos frutas, c) tres frutas, d) al menos una fruta?
¿Por qué elegir? Así que en el punto anterior nos abrió el apetito: ¡para comer! =)
a) Una fruta se puede elegir, obviamente, de tres maneras: tome una manzana, una pera o un plátano. El cálculo formal se realiza según fórmula para el número de combinaciones:
La entrada en este caso debe entenderse de la siguiente manera: “¿de cuántas maneras se puede elegir 1 fruta entre tres?”
b) Enumeremos todas las combinaciones posibles de dos frutas:
manzana y pera;
manzana y plátano;
pera y plátano.
El número de combinaciones se puede comprobar fácilmente utilizando la misma fórmula:
De manera similar se entiende la entrada: “¿de cuántas maneras puedes elegir 2 frutas de tres?”
c) Y por último, sólo hay una forma de elegir tres frutas:
Por cierto, la fórmula para el número de combinaciones sigue siendo significativa para una muestra vacía:
De esta manera, no podrás elegir ni una sola fruta; de hecho, no tomes nada y listo.
d) ¿De cuántas maneras puedes tomar? al menos uno¿fruta? La condición “al menos una” implica que estamos satisfechos con 1 fruta (cualquiera) o 2 frutas cualesquiera o las 3 frutas:
Con estos métodos puedes seleccionar al menos una fruta.
Los lectores que hayan estudiado cuidadosamente la lección introductoria sobre teoría de probabilidad, ya hemos adivinado algo. Pero hablaremos más sobre el significado del signo más más adelante.
Para responder la siguiente pregunta necesito dos voluntarios... ...Bueno, como nadie quiere, entonces te llamaré a la junta =)
Pregunta tres: ¿De cuántas maneras puedes distribuir una fruta a Dasha y Natasha?
Para distribuir dos frutas, primero debes seleccionarlas. Según el párrafo “ser” de la pregunta anterior, esto se puede hacer de varias maneras, las reescribiré:
manzana y pera;
manzana y plátano;
pera y plátano.
Pero ahora habrá el doble de combinaciones. Consideremos, por ejemplo, el primer par de frutas:
Puedes tratar a Dasha con una manzana y a Natasha con una pera;
o viceversa: Dasha se quedará con la pera y Natasha, con la manzana.
Y tal permutación es posible para cada par de frutos.
Considere el mismo grupo de estudiantes que fue al baile. ¿De cuántas maneras se pueden emparejar un niño y una niña?
En formas puedes seleccionar 1 joven;
Formas en que puedes elegir 1 chica.
Así, un joven Y Puedes elegir una chica: 
maneras.
Cuando se selecciona 1 objeto de cada conjunto, es válido el siguiente principio para contar combinaciones: “ cada un objeto de un conjunto puede formar un par con todo objeto de otro conjunto."
Es decir, Oleg puede invitar a bailar a cualquiera de las 13 chicas, Evgeny también puede invitar a cualquiera de las trece, y el resto de los jóvenes tienen una opción similar. Total: posibles parejas.
Cabe señalar que en este ejemplo no importa la “historia” de la formación del par; sin embargo, si tenemos en cuenta la iniciativa, el número de combinaciones debe duplicarse, ya que cada una de las 13 chicas también puede invitar a bailar a cualquier chico. ¡Todo depende de las condiciones de una tarea en particular!
Un principio similar es válido para combinaciones más complejas, por ejemplo: ¿de cuántas maneras se pueden elegir dos jóvenes? Y¿Dos chicas participarán en un sketch de KVN?
Unión Y insinúa claramente que las combinaciones deben multiplicarse:
Posibles grupos de artistas.
En otras palabras, cada un par de niños (45 pares únicos) pueden actuar con cualquier un par de niñas (78 pares únicos). Y si consideramos la distribución de roles entre los participantes, habrá aún más combinaciones. ...Tengo muchas ganas, pero aun así me abstendré de continuar para no inculcarte aversión a la vida estudiantil =).
La regla para multiplicar combinaciones también se aplica a un mayor número de multiplicadores:
Problema 8
¿Cuántos números de tres cifras hay que sean divisibles por 5?
Solución: para mayor claridad, denotaremos este número con tres asteriscos: ***
EN lugar de cientos Puedes escribir cualquiera de los números (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9). El cero no es adecuado, ya que en este caso el número deja de ser de tres dígitos.
Pero en lugar de las decenas(“en el medio”) puede elegir cualquiera de los 10 dígitos: .
Según la condición, el número debe ser divisible por 5. Un número es divisible por 5 si termina en 5 o en 0. Así, nos conformamos con 2 dígitos en el dígito menos significativo.
En total, hay: números de tres dígitos que son divisibles por 5.
En este caso, la obra se descifra de la siguiente manera: “9 formas de elegir un número en lugar de cientos Y 10 formas de elegir un número en lugar de las decenas Y 2 maneras de entrar dígitos de unidades»
O incluso más simple: “ cada de 9 dígitos a lugar de cientos combina con cada de 10 dígitos lugar de las decenas y con cada uno de dos dígitos a dígitos de unidades».
Respuesta: 180
Y ahora…
Sí, casi me olvido del comentario prometido sobre el problema número 5, en el que a Bor, Dima y Volodia se les puede repartir una carta a cada uno de diferentes maneras. La multiplicación aquí tiene el mismo significado: formas de eliminar 3 cartas de la baraja Y en cada muestra reorganícelos de maneras.
Y ahora un problema que debes resolver tú mismo... ahora se me ocurrirá algo más interesante... que sea sobre la misma versión rusa del blackjack:
Problema 9
¿Cuántas combinaciones ganadoras de 2 cartas hay al jugar "punto"?
Para los que no lo saben: la combinación ganadora es 10 + ACE (11 puntos) = 21 puntos y consideremos la combinación ganadora de dos ases.
(el orden de las cartas en cualquier par no importa)
Una breve solución y respuesta al final de la lección.
Por cierto, no consideres el ejemplo primitivo. El blackjack es casi el único juego para el que existe un algoritmo matemático que permite ganarle al casino. Los interesados pueden encontrar fácilmente una gran cantidad de información sobre estrategias y tácticas óptimas. Es cierto que estos maestros terminan rápidamente en la lista negra de todos los establecimientos =)
Es hora de consolidar el material cubierto con un par de tareas sólidas:
Problema 10
Vasya tiene 4 gatos en casa.
a) ¿De cuántas maneras se pueden sentar los gatos en las esquinas de la habitación?
b) ¿de cuántas maneras puedes dejar salir a pasear a los gatos?
c) ¿De cuántas maneras puede Vasya levantar dos gatos (uno a la izquierda y el otro a la derecha)?
Vamos a decidir: en primer lugar, debe volver a prestar atención al hecho de que el problema tiene que ver con diferente objetos (incluso si los gatos son gemelos idénticos). ¡Esta es una condición muy importante!
a) Silencio de los gatos. Sujeto a esta ejecución todos los gatos a la vez
+ su ubicación es importante, por lo que aquí hay permutaciones:
Con estos métodos puedes colocar gatos en los rincones de la habitación.
Repito que al permutar, sólo importa el número de objetos diferentes y sus posiciones relativas. Dependiendo del estado de ánimo de Vasya, puede sentar a los animales en semicírculo en el sofá, en fila en el alféizar de la ventana, etc. – en todos los casos habrá 24 combinaciones. Para mayor comodidad, los interesados pueden imaginar que los gatos son multicolores (por ejemplo, blanco, negro, rojo y atigrado) y enumerar todas las combinaciones posibles.
b) ¿De cuántas maneras puedes dejar salir a pasear a los gatos?
Se supone que los gatos salen a pasear sólo por la puerta, y la pregunta implica indiferencia en cuanto al número de animales: 1, 2, 3 o los 4 gatos pueden salir a pasear.
Contamos todas las combinaciones posibles:
De alguna manera puedes dejar que un gato (cualquiera de los cuatro) salga a caminar; 
formas en que puedes dejar que dos gatos salgan a caminar (enumera las opciones tú mismo);
de manera que puedas dejar salir a pasear a tres gatos (uno de los cuatro se sienta en casa);
De esta forma podrás liberar a todos los gatos.
Probablemente hayas adivinado que los valores resultantes deberían resumirse:
Maneras en las que puedes dejar que los gatos salgan a pasear.
Para los entusiastas, ofrezco una versión complicada del problema: cuando cualquier gato de cualquier muestra puede salir al azar, tanto por la puerta como por la ventana del décimo piso. ¡Habrá un aumento notable en las combinaciones!
c) ¿De cuántas maneras puede Vasya levantar dos gatos?
La situación implica no sólo elegir 2 animales, sino también colocarlos en cada mano:
De esta forma podrás recoger 2 gatos.
Segunda solución: puedes elegir dos gatos usando métodos. Y formas de plantar cada una pareja a la mano: 
Respuesta: a) 24, b) 15, c) 12
Bueno, para limpiar la conciencia, algo más específico sobre multiplicar combinaciones… Deja que Vasya tenga 5 gatos adicionales =) ¿De cuántas maneras puedes dejar salir a pasear a 2 gatos? Y 1 gato?
Es decir, con cada se pueden liberar un par de gatos cada gato.
Otro acordeón de botones para solución independiente:
Problema 11
Tres pasajeros subieron al ascensor de un edificio de 12 pisos. Todos, independientemente de los demás, pueden salir de cualquier piso (comenzando por el segundo) con la misma probabilidad. De cuantas maneras:
1) los pasajeros pueden bajarse en el mismo piso (el orden de salida no importa);
2) dos personas pueden bajarse en un piso y una tercera en el otro;
3) las personas pueden salir por diferentes pisos;
4) ¿pueden los pasajeros salir del ascensor?
Y aquí suelen volver a preguntar, aclaro: si salen 2 o 3 personas en un mismo piso, entonces no importa el orden de salida. PENSAR, usar fórmulas y reglas para sumar/multiplicar combinaciones. En caso de dificultades, es útil que los pasajeros den nombres y especulen con qué combinaciones pueden salir del ascensor. No hay necesidad de enojarse si algo no funciona, por ejemplo, el punto número 2 es bastante insidioso, sin embargo, uno de los lectores encontró una solución simple y una vez más expreso mi gratitud por sus cartas.
Solución completa con comentarios detallados al final de la lección.
El último párrafo está dedicado a combinaciones que también ocurren con bastante frecuencia; según mi evaluación subjetiva, en aproximadamente el 20-30% de los problemas combinatorios:
Permutaciones, combinaciones y colocaciones con repeticiones.
Los tipos de combinaciones enumerados se describen en el párrafo No. 5 del material de referencia. Fórmulas básicas de combinatoria. Sin embargo, es posible que algunos de ellos no queden muy claros en la primera lectura. En este caso, es aconsejable familiarizarse primero con ejemplos prácticos y sólo después comprender la formulación general. Ir:
Permutaciones con repeticiones.
En permutaciones con repeticiones, como en permutaciones “ordinarias”, todos los muchos objetos a la vez, pero hay una cosa: en este conjunto se repiten uno o más elementos (objetos). Cumplir con el siguiente estándar:
Problema 12
¿Cuántas combinaciones de letras diferentes se pueden obtener reordenando tarjetas con las siguientes letras: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?
Solución: en el caso de que todas las letras fueran diferentes, entonces habría que aplicar una fórmula trivial, pero está completamente claro que para el conjunto de cartas propuesto algunas manipulaciones funcionarán "inactivamente", por ejemplo, si intercambias dos cartas cualesquiera. con las letras “K” " en cualquier palabra, obtienes la misma palabra. Además, físicamente las cartas pueden ser muy diferentes: una puede ser redonda con la letra "K" impresa, la otra puede ser cuadrada con la letra "K" dibujada. Pero según el significado de la tarea, incluso esas cartas se consideran iguales, ya que la condición pregunta sobre combinaciones de letras.
Todo es muy sencillo: sólo 11 cartas, incluida la carta:
K – repetido 3 veces;
O – repetido 3 veces;
L – repetido 2 veces;
b – repetido 1 vez;
H – repetido 1 vez;
Y - repetido 1 vez.
Comprueba: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, que es lo que había que comprobar.
Según la fórmula número de permutaciones con repeticiones:
Se pueden obtener diferentes combinaciones de letras. ¡Más de medio millón!
Para calcular rápidamente un valor factorial grande, es conveniente utilizar la función estándar de Excel: ingresar en cualquier celda =HECHO(11) y presione Ingresar.
En la práctica, es bastante aceptable no escribir la fórmula general y, además, omitir los factoriales unitarios: 
¡Pero se requieren comentarios preliminares sobre letras repetidas!
Respuesta: 554400
Otro ejemplo típico de permutaciones con repetición ocurre en el problema de colocación de piezas de ajedrez, que se puede encontrar en el almacén. soluciones listas para usar en el pdf correspondiente. Y para una solución independiente, se me ocurrió una tarea menos formulada:
Problema 13
Alexey practica deportes y 4 días a la semana - atletismo, 2 días - ejercicios de fuerza y 1 día de descanso. ¿De cuántas maneras puede crear un horario semanal para sí mismo?
La fórmula no funciona aquí porque tiene en cuenta intercambios coincidentes (por ejemplo, intercambiar los ejercicios de fuerza del miércoles con los ejercicios de fuerza del jueves). Y nuevamente, de hecho, las mismas 2 sesiones de entrenamiento de fuerza pueden ser muy diferentes entre sí, pero en el contexto de la tarea (desde el punto de vista del cronograma) se consideran los mismos elementos.
Solución de dos líneas y respuesta al final de la lección.
Combinaciones con repeticiones.
Un rasgo característico de este tipo de combinación es que la muestra se extrae de varios grupos, cada uno de los cuales consta de objetos idénticos.
Todos han trabajado duro hoy, así que es hora de refrescarse:
Problema 14
El comedor de estudiantes vende salchichas en masa, tartas de queso y rosquillas. ¿De cuántas maneras puedes comprar cinco pasteles?
Solución: preste atención de inmediato al criterio típico para combinaciones con repeticiones: según la condición, no es un conjunto de objetos como tal lo que se ofrece para elegir, sino diferentes tipos objetos; se supone que hay al menos cinco hot dogs, 5 cheesecakes y 5 donuts a la venta. Las tartas de cada grupo son, por supuesto, diferentes, porque los donuts absolutamente idénticos sólo se pueden simular en una computadora =) Sin embargo, las características físicas de las tartas no son significativas para el propósito del problema, y los hot dogs / tartas de queso / Las donas en sus grupos se consideran iguales.
¿Qué podría haber en la muestra? En primer lugar, cabe señalar que en la muestra definitivamente habrá pasteles idénticos (ya que elegimos 5 piezas y hay 3 tipos para elegir). Aquí hay opciones para todos los gustos: 5 hot dogs, 5 cheesecakes, 5 donuts, 3 hot dogs + 2 cheesecakes, 1 hot dog + 2 cheesecakes + 2 donuts, etc.
Al igual que con las combinaciones "normales", el orden de selección y colocación de los pasteles en la selección no importa: simplemente eliges 5 piezas y listo.
Usamos la fórmula 
número de combinaciones con repeticiones: 
Puedes comprar 5 pasteles usando este método.
¡Buen provecho!
Respuesta: 21
¿Qué conclusión se puede sacar de muchos problemas combinatorios?
A veces lo más difícil es entender la condición.
Un ejemplo similar para una solución independiente:
Problema 15
La billetera contiene una cantidad bastante grande de monedas de 1, 2, 5 y 10 rublos. ¿De cuántas maneras se pueden sacar tres monedas de una billetera?
Para fines de autocontrol, responda un par de preguntas sencillas:
1) ¿Pueden ser diferentes todas las monedas de la muestra?
2) Nombra la combinación de monedas “más barata” y “más cara”.
Solución y respuestas al final de la lección.
Desde mi experiencia personal, puedo decir que las combinaciones con repeticiones son las más raras en la práctica, lo que no se puede decir del siguiente tipo de combinaciones:
Colocaciones con repeticiones.
De un conjunto formado por elementos, se seleccionan elementos y el orden de los elementos en cada selección es importante. Y todo estaría bien, pero una broma bastante inesperada es que podemos seleccionar cualquier objeto del conjunto original tantas veces como queramos. En sentido figurado, “la multitud no disminuirá”.
¿Cuándo sucede esto? Un ejemplo típico es una cerradura de combinación con varios discos, pero debido a los avances tecnológicos, es más relevante considerar su descendiente digital:
Problema 16
¿Cuántos códigos PIN de cuatro dígitos hay?
Solución: de hecho, para resolver el problema, basta con conocer las reglas de la combinatoria: de alguna manera se puede seleccionar el primer dígito del código PIN Y formas: el segundo dígito del código PIN Y de muchas maneras - tercero Y el mismo número: el cuarto. Por lo tanto, de acuerdo con la regla de multiplicar combinaciones, un código PIN de cuatro dígitos se puede componer de: maneras.
Y ahora usando la fórmula. Según la condición, se nos ofrece un conjunto de números, a partir del cual se seleccionan y organizan los números. en un cierto orden, mientras que los números de la muestra pueden repetirse (es decir, cualquier dígito del conjunto original se puede utilizar un número arbitrario de veces). Según la fórmula para el número de colocaciones con repeticiones: 
Respuesta: 10000
Lo que me viene a la mente aquí... ...si el cajero automático “se come” la tarjeta después del tercer intento fallido de ingresar el código PIN, entonces las posibilidades de recogerla al azar son muy escasas.
¿Y quién dijo que la combinatoria no tiene significado práctico? Una tarea cognitiva para todos los lectores del sitio:
Problema 17
Según el estándar estatal, la matrícula de un automóvil consta de 3 números y 3 letras. En este caso, un número con tres ceros es inaceptable y se seleccionan letras del conjunto A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X. (solo se utilizan aquellas letras cirílicas cuya ortografía coincide con las letras latinas).
¿Cuántas matrículas diferentes se pueden crear para una región?
Por cierto, no muchos de ellos. En las grandes regiones no hay suficiente cantidad y, por lo tanto, existen varios códigos para la inscripción RUS.
La solución y la respuesta están al final de la lección. No olvides usar las reglas de la combinatoria ;-) ... Quería mostrar lo que era exclusivo, pero resultó no serlo =) Miré Wikipedia: hay cálculos allí, aunque sin comentarios. Aunque con fines educativos, probablemente, pocas personas lo resolvieron.
Nuestra apasionante lección ha llegado a su fin y, finalmente, quiero decirles que no ha perdido el tiempo, porque las fórmulas combinatorias encuentran otra aplicación práctica vital: se encuentran en varios problemas en teoría de probabilidad,
y en problemas que involucran la determinación clásica de probabilidad– especialmente a menudo =)
¡Gracias a todos por vuestra participación activa y hasta pronto!
Soluciones y respuestas:
Tarea 2: Solución: encuentre el número de todas las permutaciones posibles de 4 cartas:
Cuando se coloca una tarjeta con un cero en el primer lugar, el número pasa a ser de tres dígitos, por lo que estas combinaciones deben excluirse. Deje que cero esté en primer lugar, luego los 3 dígitos restantes en los dígitos inferiores se pueden reorganizar de diferentes maneras.
Nota
: porque Dado que sólo hay unas pocas tarjetas, es fácil enumerar todas las opciones aquí:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Así, a partir del conjunto propuesto podemos realizar:
24 – 6 = 18 números de cuatro dígitos
Respuesta
: 18
Tarea 4: Solución: de formas puedes elegir 3 cartas de 36. Y
2) El juego "más barato" contiene 3 monedas de rublos y el más "caro", 3 monedas de diez rublos.
Problema 17: Solución: 
Con estos métodos, puede crear una combinación digital de un número de automóvil, mientras que uno de ellos (000) debe excluirse: .
Con estos métodos puede crear una combinación de letras de un número de matrícula.
Según la regla de multiplicar combinaciones, el total se puede hacer:
matrículas
(cada combinación digital se combina con cada combinación de letras).
Respuesta
: 1726272
Lección de matemáticas en quinto grado.
«
Conoce la combinatoria"
Tema de la lección:
El propósito de la lección.
:
Formular habilidades iniciales en problemas combinatorios buscando entre posibles opciones.Objetivos de la lección:
Educativo:
Desarrollo de la capacidad para resolver problemas combinatorios mediante el método de enumeración exhaustiva de opciones;
Desarrollar la capacidad de aplicar la teoría matemática en situaciones específicas;
Introducir a los estudiantes a los elementos de las humanidades relacionados con las matemáticas.
Desarrollo de la capacidad de elegir de forma independiente un método de solución y la capacidad de justificar la elección;
Desarrollar la capacidad de resolver problemas utilizando únicamente el razonamiento lógico;
Desarrollo de la capacidad de elegir un método de codificación racional;
Desarrollo de las habilidades comunicativas y creativas de los estudiantes.
- Fomentar el sentido de responsabilidad por la calidad y los resultados del trabajo realizado; Inculcar una actitud consciente hacia el trabajo;
- Crear responsabilidad por el resultado final..
- tablero interactivo; folletos (franjas de colores: blanco, azul, rojo); tarjetas de tareas.
- Organizar el tiempo. Aprender material nuevo. Parte práctica. Reflexión Calificación Asignación de tareas
- Organizar el tiempo.
- Actualización del tema y motivación.
- 50 rublos, 100 rublos, 50 rublos, 100 rublos; 50 rublos, 50 rublos, 100 rublos, 100 rublos (diapositiva nº 2 y nº 3).
- Aprendiendo nuevo material
.
combinatoria Es una rama de las matemáticas dedicada a resolver problemas de selección y disposición de elementos dados de acuerdo con reglas dadas.
Una pregunta común en problemas combinatorios es " De cuantas maneras ...?" o
« cuantas opciones …?»
Maestro : Volvamos una vez más al problema de la bandera, resolvámoslo utilizando una enumeración de posibles opciones: (diapositiva número 7) KBS KSB BSK BKS SBC SKBRespuesta: 6 opciones. Entonces, al resolver este problema, buscábamos una manera de enumerar posibles opciones. EnEn muchos casos, resulta útil construir una imagen: un diagrama de enumeración de opciones. Esto, en primer lugar, está claro y, en segundo lugar, nos permite tenerlo todo en cuenta y no perdernos nada.Bandera de solución
Opciones BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB.
Respuesta: 6 opciones.
Una pregunta cuya respuesta todos deberían saber: cuál de las opciones de bandera presentadas es la bandera estatal de la Federación de Rusia (Diapositiva número 7).Resulta que no sólo la bandera rusa tiene estos tres colores. Hay estados cuyas banderas tienen los mismos colores.
KBS - Luxemburgo,
Países Bajos.
Francia SKB
Maestro: Encontremos una regla para resolver este tipo de problemas mediante el razonamiento lógico.
Veamos el ejemplo de las rayas de colores. Tomemos una franja blanca: se puede reorganizar 3 veces, tomemos una franja azul: solo se puede reorganizar 2 veces, porque uno de los lugares ya está ocupado por una franja blanca, tome una franja roja; solo se puede colocar una vez.
TOTAL: 3x2x1=6
Regla básica del trabajo. :
Regla de multiplicación: si el primer elemento de una combinación se puede elegir de una manera, después de lo cual el segundo elemento se puede elegir de b maneras, entonces el número total de combinaciones será igual a a x b . (diapositiva número 8)
Ejercicio para los ojos. (diapositiva número 9)
Ejercicio "Formas".
Dibuja un cuadrado, un círculo, un triángulo, un óvalo o un rombo con los ojos en el sentido de las agujas del reloj y luego en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Parte practica
Maestro: Pasemos ahora a los problemas matemáticos. (repartimos tarjetas con tareas)
Un mosquetero bastante famoso tiene en su guardarropa 3 sombreros elegantes, 4 capas maravillosas y 2 pares de botas excelentes. ¿Cuántas opciones de disfraces puede crear? (Seleccionamos un elemento de tres conjuntos, es decir, hacemos un "tres", lo que significa que según la regla de multiplicación obtenemos 3 4 2 = 24 opciones de disfraz).
Hay 11 personas en el equipo de fútbol. Es necesario seleccionar un capitán y su adjunto. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? (Hay 11 personas en total, lo que significa que el capitán se puede elegir de 11 maneras, quedan 10 jugadores entre los cuales se puede elegir el capitán adjunto. Entonces, la pareja del capitán y su sustituto se pueden elegir de 11 10 = 110 maneras.)
¿Cuántos números diferentes de dos dígitos se pueden formar usando los números 1, 4, 7, si los números se repiten? (Debería obtener un número de dos dígitos, solo dos posiciones. En la primera posición puede colocar cualquiera de los números propuestos: 3 opciones para elegir, en la segunda posición, teniendo en cuenta la posibilidad de repetir un número, también hay 3 opciones para elegir. Esto significa que formamos un par de números de 3 3 = 9 formas, es decir, obtienes 9 números.
¿Cuántos números diferentes de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, siempre que no se repita ningún dígito? (Número de tres dígitos: primera posición - 5 opciones de números, segunda posición, teniendo en cuenta la exclusión de repeticiones de números - 4 opciones, tercera posición - 3 opciones. Obtenemos 5 4 3 = 60 números).
¿Cuántos números diferentes de dos dígitos se pueden formar a partir de los números 0, 1, 2, 3 si los números: a) se pueden repetir; b) ¿no se puede repetir? (a) Un número de dos dígitos, como cualquier número de varios dígitos, no puede comenzar con 0, por lo tanto, en la primera posición puede colocar solo 3 de los 4 dígitos disponibles, 3 opciones, en la segunda posición, teniendo en cuenta la repetición. , puedes poner cualquiera de los dígitos: 4 opciones para elegir. Por tanto, resulta 3 4 = 12 números; b) La primera posición – 3 opciones, la segunda posición – 3 opciones, porque Se excluye la repetición. Obtenemos 3 3 = 9 números.)
El código de seguridad consta de cinco números diferentes. ¿Cuántas opciones diferentes para crear un cifrado? (5 4 3 2 1 = 120 opciones.) ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una mesa con 6 cubiertos? (6 5 4 3 2 1 = 720 formas).
6 dispositivos?(6 5 4 3 2 1 = 720 formas).
(8 7 6 5 4 = 6720 opciones).
(Los números utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - un total de 10 dígitos, excluyendo por convención 0 y 9 al comienzo del número, teniendo en cuenta la posibilidad de repetición, obtenemos 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8.000.000 números).
- Reflexión
Maestro: Chicos, nuestra lección está llegando a su fin. ¿Crees que hemos logrado nuestro objetivo hoy, por qué? ¿Qué fue difícil en la lección? ¿Cómo puedes afrontarlo? Piensa y ponte una nota por tu trabajo y trabajo, ponla tú mismo, ninguno de los chicos verá esta marca, trata de ser honesto contigo mismo. ¿Participaste plenamente en la lección? ¿Qué hay que hacer para obtener mejores resultados?
Además, se pide a los estudiantes que respondan 3 preguntas rápidas:
En la lección de hoy estuve... (fácil, normalmente, difícil)
Yo… (aprendí y puedo aplicar, aprendí y me cuesta aplicar, no aprendí)
Mi autoestima por la lección...
No es necesario que firme las respuestas a las preguntas anteriores, porque su función principal es ayudar al profesor a analizar la lección y sus resultados.
resumiendo . Calificación
Maestro: Estoy muy contento de que muchos de ustedes hayan trabajado bien hoy y hayan aprendido muchas cosas nuevas, pero realmente me gustaría que todos trabajaran duro en casa y no obtuvieran malas calificaciones en la próxima lección.
7. Asignación de tareas :
1) Crea un problema sobre tu clase.
2) Varios países decidieron utilizar símbolos para su bandera nacional en forma de 3 franjas horizontales de diferentes anchos y diferentes colores: blanco, azul, rojo. ¿Cuántos países pueden utilizar tales símbolos, siempre que cada país tenga su propia bandera?
3) a) ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los números 1, 3, 5, 7, 9?
b) ¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los números 1, 3, 5, 7, 9, siempre que los números no se repitan?
Maestro : Por eso, fue un placer conocerte, interesate por las matemáticas, sin duda se reflejará de manera positiva en tus pensamientos y acciones. La lección ha terminado. Gracias a todos. Adiós.
Literatura:
E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Probabilidad y estadística en el curso de matemáticas de la escuela de educación general: clases 1-4, 5 – 8. – M.: Universidad Pedagógica “Primero de Septiembre”, 2006.
Vilenkin N.Ya. Matemáticas. 5to grado: libro de texto para educación general. instituciones / N.Ya. Vilenkin y otros - M.: Mnemosyna, 2009.
Smykalova E.V. Capítulos adicionales sobre matemáticas para estudiantes de 5to grado. SPb: SMIO. Prensa, 2006.
5to grado. "Matemáticas-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
Tareas (tarjetas)
¿Cuántos números de teléfono posibles de siete dígitos se pueden crear si excluye los números que comienzan con 0 y 9?
Un mosquetero bastante famoso tiene en su guardarropa 3 sombreros elegantes, 4 capas maravillosas y 2 pares de botas excelentes. ¿Cuántas opciones de disfraces puede crear?
Hay 11 personas en el equipo de fútbol. Es necesario seleccionar un capitán y su adjunto. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar con los números 1, 4, 7, si los números se repiten?
¿Cuántos números diferentes de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, siempre que no se repita ningún dígito?
¿Cuántos números diferentes de dos dígitos se pueden formar a partir de los números 0, 1, 2, 3 si los números: a) se pueden repetir; b) ¿no se puede repetir?
El código de seguridad consta de cinco números diferentes. ¿Cuántas opciones diferentes para crear un cifrado?
¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una mesa en la que 6 dispositivos?
En quinto grado se estudian 8 materias. ¿Cuántas opciones de horarios diferentes se pueden crear para el lunes, si ese día debería haber 5 lecciones y todas las lecciones son diferentes?Respuestas
6 5 4 3 2 1 = 720 formas
8 7 6 5 4 = 6720 opciones
Los números utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - un total de 10 dígitos, excluyendo por convención el 0 y el 9 al comienzo del número, teniendo en cuenta la posibilidad de repetición. , obtenemos 8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000 números.
Seleccionamos un elemento de tres conjuntos, es decir, formamos un “tres”, lo que significa que según la regla de multiplicación obtenemos 3 4 2 = 24 opciones de disfraz.
Hay 11 personas en total, lo que significa que el capitán se puede seleccionar de 11 maneras, dejando 10 jugadores entre los que puedes elegir un capitán adjunto. Así, una pareja, el capitán y su suplente, se puede elegir de 11 10 = 110 maneras.
Debería obtener un número de dos dígitos, sólo dos posiciones. En la primera posición puedes poner cualquiera de los números propuestos - 3 opciones, en la segunda posición, teniendo en cuenta la posibilidad de repetir el número, también hay 3 opciones. Esto significa que formamos un par de números de 3 3 = 9 maneras, es decir obtienes 9 números.
Número de tres dígitos: primera posición - 5 opciones de números, segunda posición, teniendo en cuenta las repeticiones de números - 4 opciones, tercera posición - 3 opciones. Obtenemos 5 4 3 = 60 números.
(a) Un número de dos dígitos, como cualquier número de varios dígitos, no puede comenzar con 0, por lo tanto, en la primera posición puede colocar solo 3 de los 4 dígitos disponibles, 3 opciones, en la segunda posición, teniendo en cuenta la repetición. , puedes poner cualquiera de los dígitos: 4 opciones para elegir. Por tanto, resulta 3 4 = 12 números; b) La primera posición – 3 opciones, la segunda posición – 3 opciones, porque Se excluye la repetición. Obtenemos 3 3 = 9 números.
5 4 3 2 1 = 120 opciones.Al resolver muchos problemas prácticos, es necesario utilizar combinaciones de elementos, seleccionar de un conjunto determinado aquellos que tengan determinadas propiedades y colocarlos en un orden determinado. Estas tareas se denominan combinacional. La rama de las matemáticas dedicada a resolver problemas de elección y disposición de elementos de acuerdo con condiciones dadas se llama combinatoria. El término "combinatoria" proviene de la palabra latina "combina", que traducido al ruso significa "combinar", "conectar".
Los grupos seleccionados de elementos se denominan conexiones. Si todos los elementos de la conexión son diferentes, obtenemos conexiones sin repeticiones, que consideraremos a continuación.
La mayoria de los problemas combinatorios se resuelven utilizando dos reglas basicas: reglas de suma y reglas de producto.
Tarea 1.
La tienda Everything for Tea tiene 6 tazas diferentes y 4 platillos diferentes. ¿Cuántas opciones de tazas y platillos puedes comprar?
Solución.
Podemos elegir taza de 6 formas, y platillo de 4 formas. Como necesitamos comprar un par de tazas y platillos, esto se puede hacer de 6 · 4 = 24 maneras (según la regla del producto).
Respuesta: 24.
Para resolver con éxito problemas combinatorios, también debe elegir la fórmula correcta para encontrar la cantidad de compuestos requeridos. El siguiente diagrama le ayudará con esto. 
Consideremos resolver varios problemas para diferentes tipos de conexiones sin repetición.
Tarea 2.
Encuentra la cantidad de números de tres dígitos que se pueden formar a partir de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, si los números no se pueden repetir en el número.
Solución.
Al seleccionar una fórmula, nos enteramos de que para los números que componeremos se tiene en cuenta el orden y no se seleccionan todos los elementos al mismo tiempo. Esto significa que esta conexión es un arreglo de 7 elementos de 3 cada uno. Usemos la fórmula para el número de colocaciones: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 números.
Respuesta: 210.
Tarea 3.
¿Cuántos números de teléfono de siete dígitos hay en los que todos los dígitos son diferentes y el número no puede comenzar con cero?
Solución.
A primera vista esta tarea es la misma que la anterior, pero la dificultad es que no debemos tener en cuenta aquellas conexiones que parten de cero. Esto significa que debe inventar todos los números de teléfono de siete dígitos a partir de los 10 dígitos existentes y luego restar el número de números que comienzan con cero del número resultante. La fórmula se verá así:
A 10 7 – A 9 6 = 10 9 8 7 6 5 4 – 9 8 7 6 5 4 = 544,320.
Respuesta: 544 320.
Tarea 4.
¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante 12 libros, 5 de los cuales son colecciones de poemas, de modo que las colecciones estén una al lado de la otra?
Solución.
Primero, tomemos 5 colecciones condicionalmente como un libro, porque deben estar una al lado de la otra. Dado que el orden es esencial en una combinación y se utilizan todos los elementos, esto significa que se trata de permutaciones de 8 elementos (7 libros + 1 libro convencional). Su número es R 8. A continuación, reorganizaremos entre nosotros únicamente colecciones de poemas. Esto se puede hacer de 5 maneras. Como necesitamos ordenar tanto las colecciones como otros libros, usaremos la regla del producto. Por lo tanto, P 8 · P 5 = 8! · 5!. El número de formas será grande, por lo que la respuesta se puede dejar en forma de producto de factoriales.
Respuesta: 8! · 5!
Problema 5.
Hay 16 niños y 12 niñas en la clase. Para limpiar el área cercana a la escuela se necesitan 4 niños y 3 niñas. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar entre todos los estudiantes de la clase?
Solución.
Primero, seleccionamos por separado 4 niños de 16 y 3 niñas de 12. Dado que no se tiene en cuenta el orden de colocación, las combinaciones correspondientes son combinaciones sin repeticiones. Dada la necesidad de seleccionar simultáneamente tanto niños como niñas, utilizamos la regla del producto. Como resultado, el número de formas se calculará de la siguiente manera:
C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
Respuesta: 400 400.
Así, la solución exitosa de un problema combinatorio depende del correcto análisis de su condición, de la determinación del tipo de compuestos que estarán compuestos y de la elección de una fórmula adecuada para calcular su cantidad.
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En muchos problemas combinatorios resulta complicado encontrar directamente el número de opciones que nos interesan. Sin embargo, con algún cambio en las condiciones del problema, puede encontrar una cantidad de opciones que excede la original en un número conocido de veces. Esta técnica se llama método de conteo múltiple.
1. ¿Cuántos anagramas tiene la palabra CLASE?
La dificultad es que en esta palabra hay dos letras idénticas C. Las consideraremos temporalmente diferentes y las denotaremos C 1 y C 2. ¡Entonces el número de anagramas será igual a 5! = 120. ¡Pero aquellas palabras que se diferencian entre sí sólo por reorganizar las letras C 1 y C 2 son en realidad el mismo anagrama! Por tanto, 120 anagramas se dividen en pares de idénticos, es decir, el número requerido de anagramas es 120/2 = 60.
2. ¿Cuántos anagramas tiene la palabra CHARADA?
Contando tres letras A como letras diferentes A 1, A 2, A 3, ¡obtenemos 6! anagramas Pero las palabras que se forman unas de otras sólo reorganizando las letras A 1, A 2, A 3 son en realidad el mismo anagrama. ¡Porque son 3! permutaciones de las letras A 1, A 2, A 3, ¡originalmente obtuvieron 6! ¡Los anagramas se dividen en grupos de 3! idéntico, y el número de anagramas diferentes resulta ser 6!/3! = 120.
3. ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay que contengan al menos un dígito par?
Encontremos el número de números de cuatro dígitos "innecesarios", cuyo registro contiene solo dígitos impares. Hay 5 4 = 625 números de este tipo, pero hay 9000 números de cuatro dígitos en total, por lo que el número requerido de números "necesarios" es 9000 – 625 = 8375.
- Encuentre el número de anagramas de las palabras VERESK, BALAGAN, CITYMAN.
- Encuentra el número de anagramas de las palabras BAOBAB, BALADA, GIRO, ANAGRAMA, MATEMÁTICAS, COMBINATÓRICA, DEFENSA.
- ¿De cuántas maneras se pueden alojar 7 visitantes en tres habitaciones de hotel: individual, doble y cuádruple?
- Hay dos manzanas, tres peras y cuatro naranjas en el frigorífico. Todos los días, durante nueve días seguidos, Petya recibe una pieza de fruta. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
- De los siete mejores esquiadores de la escuela se debe seleccionar un equipo de tres para participar en las competiciones de la ciudad. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
- Antes del examen, el profesor prometió dar malas notas a la mitad de los examinados. 20 estudiantes vinieron al examen. ¿De cuántas maneras podrá cumplir su promesa?
- ¿Cuántas palabras se pueden formar con cinco letras A y no más de tres letras B?
- Se ofrecen helados de chocolate, fresa y leche. ¿De cuántas maneras puedes comprar tres helados?
- Al preparar pizza, al queso se le añaden diversos componentes para darle un sabor particular. Bill tiene a su disposición cebollas, champiñones, tomates, pimientos y anchoas, todos los cuales, en su opinión, se pueden añadir al queso. ¿Cuántos tipos de pizza puede hacer Bill?
- Un testigo del enfrentamiento criminal recordó que los delincuentes huyeron en un Mercedes, cuya matrícula contenía las letras T, Z, U y los números 3 y 7 (un número es una línea que contiene primero tres letras y luego tres números). . ¿Cuántos números de este tipo hay?
- cuantas diagonales hay en un convexo norte-¿cuadrado?
- ¿Cuántas cosas hay? norte-¿Números digitales?
- ¿Cuántos números de diez cifras hay que tengan al menos dos cifras idénticas?
- Se lanzan los dados tres veces. Entre todas las posibles secuencias de resultados, están aquellas en las que se lanza un seis al menos una vez. ¿Cuántos hay?
- ¿Cuántos números de cinco cifras tienen el dígito 1 en su notación?
- ¿De cuántas maneras se pueden colocar los reyes blancos y negros en un tablero de ajedrez sin que se golpeen entre sí?
- ¿Cuántos divisores tiene el número 10800?
Resumen sobre el tema:
Completado por el estudiante “B” de 10º grado.
escuela secundaria nº 53
Glújov Mijaíl Alexandrovich
Náberezhnye Chelny
2002
Contenido
| De la historia de la combinatoria_______________________________________________ | 3 |
| Regla de la suma_________________________________________________________ | 4 |
| - | |
| Regla del producto_____________________________________________ | 4 |
| Ejemplos de tareas__________________________________________________________ | - |
| Conjuntos que se cruzan_______________________________________________ | 5 |
| Ejemplos de tareas__________________________________________________________ | - |
| Círculos de Euler____________________________________________________________ | - |
| Colocaciones sin repetición________________________________________________________ | 6 |
| Ejemplos de tareas__________________________________________________________ | - |
| Permutaciones sin repeticiones________________________________________________ | 7 |
| Ejemplos de tareas__________________________________________________________ | - |
| Combinaciones sin repeticiones_______________________________________________ | 8 |
| Ejemplos de tareas__________________________________________________________ | - |
| Colocaciones y combinaciones sin repetición____________________________ | 9 |
| Ejemplos de tareas__________________________________________________________ | - |
| Permutaciones con repeticiones________________________________________________ | 9 |
| Ejemplos de tareas__________________________________________________________ | - |
| Problemas para solución independiente________________________________ | 10 |
| Bibliografía___________________________________ | 11 |
De la historia de la combinatoria.
La combinatoria se ocupa de varios tipos de conexiones que pueden formarse a partir de elementos de un conjunto finito. Algunos elementos de la combinatoria se conocían en la India ya en el siglo II. antes de Cristo mi. Los nidianos sabían calcular números, que ahora se llaman “combinaciones”. En el siglo XII. Bhaskara calculó algunos tipos de combinaciones y permutaciones. Se cree que los científicos indios estudiaron los compuestos en relación con su uso en poética, el estudio de la estructura del verso y las obras poéticas. Por ejemplo, en relación con el cálculo de posibles combinaciones de sílabas acentuadas (largas) y átonas (cortas) de un pie de n sílabas. Como disciplina científica, la combinatoria se formó en el siglo XVII. En el libro "Teoría y práctica de la aritmética" (1656), el autor francés A. también dedica un capítulo completo a las combinaciones y permutaciones.
B. Pascal en su "Tratado sobre el triángulo aritmético" y en su "Tratado sobre órdenes numéricos" (1665) esbozó la doctrina de los coeficientes binomiales. P. Fermat conocía las conexiones entre los cuadrados matemáticos y los números calculados con la teoría de los compuestos. El término "combinatoria" comenzó a utilizarse después de que Leibniz publicara su obra "El discurso sobre el arte de la combinación" en 1665, que por primera vez proporcionó una base científica para la teoría de las combinaciones y permutaciones. J. Bernoulli estudió por primera vez las colocaciones en la segunda parte de su libro “Ars conjectandi” (El arte de la predicción) en 1713. El simbolismo moderno de las combinaciones fue propuesto por varios autores de manuales educativos recién en el siglo XIX.
Toda la variedad de fórmulas combinatorias puede derivarse de dos enunciados básicos relativos a conjuntos finitos: la regla de la suma y la regla del producto.
Regla de la suma
Si los conjuntos finitos no se cruzan, entonces el número de elementos de X U Y (o) es igual a la suma del número de elementos del conjunto X y el número de elementos del conjunto Y.
Es decir, si hay X libros en el primer estante e Y en el segundo, entonces puede seleccionar un libro del primer o segundo estante de forma X+Y.
Problemas de muestra
El estudiante deberá realizar trabajos prácticos de matemáticas. Le ofrecieron elegir entre 17 temas de álgebra y 13 temas de geometría. ¿De cuántas maneras puede elegir un tema para el trabajo práctico?
Solución: X=17, Y=13
Según la regla de la suma X U Y=17+13=30 temas.
Hay 5 billetes para la lotería en efectivo, 6 billetes para la lotería deportiva y 10 billetes para la lotería de coches. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un boleto de una lotería deportiva o de una lotería automática?
Solución: Dado que la lotería de dinero y ropa no participa en la elección, solo hay 6 + 10 = 16 opciones.
Regla del producto
Si el elemento X se puede elegir de k formas y el elemento Y de m formas, entonces el par (X,Y) se puede elegir de k*m formas.
Es decir, si hay 5 libros en el primer estante y 10 en el segundo, entonces puedes elegir un libro del primer estante y otro del segundo de 5 * 10 = 50 maneras.
Problemas de muestra
Un encuadernador debe encuadernar 12 libros diferentes en encuadernaciones rojas, verdes y marrones. ¿De cuántas maneras puede hacer esto?
Solución: Hay 12 libros y 3 colores, lo que significa que según la regla del producto, son posibles 12 * 3 = 36 opciones de encuadernación.
¿Cuántos números de cinco cifras hay que se leen igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda?
Solución: En tales números, el último dígito será el mismo que el primero y el penúltimo dígito será el mismo que el segundo. El tercer dígito será cualquier cosa. Esto se puede representar en la forma XYZYX, donde Y y Z son números cualesquiera y X no es cero. Esto significa que según la regla del producto, el número de dígitos que se pueden leer igualmente tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda es 9*10*10=900 opciones.
Conjuntos que se cruzan
Pero sucede que los conjuntos X e Y se cruzan, entonces usan la fórmula
, donde X e Y son conjuntos, y es el área de intersección. Problemas de muestra20 personas saben inglés y 10 saben alemán, de las cuales 5 saben tanto inglés como alemán. ¿Cuántas personas hay en total?
Respuesta: 10+20-5=25 personas.
Los círculos de Euler también se suelen utilizar para resolver visualmente el problema. Por ejemplo:
De cada 100 turistas que van de viaje al extranjero, 30 personas hablan alemán, 28 inglés, 42 francés, 8 personas hablan inglés y alemán al mismo tiempo, 10 inglés y francés, 5 alemán y francés, 3 los tres. Idiomas ¿Los turistas no hablan ningún idioma?Solución: Expresemos gráficamente la condición de este problema. Señalemos con un círculo a los que saben inglés, otro círculo a los que saben francés y un tercer círculo a los que saben alemán.
Tres turistas hablan los tres idiomas, lo que significa que en la parte general de los círculos entramos en el número 3. 10 personas hablan inglés y francés, y 3 de ellos también hablan alemán. En consecuencia, 10-3=7 personas hablan sólo inglés y francés.De manera similar, encontramos que 8-3 = 5 personas hablan sólo inglés y alemán, y 5-3 = 2 turistas hablan alemán y francés. Introducimos estos datos en las partes correspondientes.
Determinemos ahora cuántas personas hablan solo uno de los idiomas enumerados. 30 personas saben alemán, pero 5+3+2=10 de ellas hablan otros idiomas, por lo tanto, sólo 20 personas saben alemán. De manera similar, encontramos que 13 personas hablan solo inglés y 30 personas hablan solo francés.Según el problema, sólo hay 100 turistas. 20+13+30+5+7+2+3=80 turistas conocen al menos un idioma, por lo tanto, 20 personas no hablan ninguno de estos idiomas.
Colocaciones sin repetición.
¿Cuántos números de teléfono se pueden formar con 6 dígitos cada uno, de modo que todos los dígitos sean diferentes?
Este es un ejemplo de un problema de ubicación sin repetición. Aquí se colocan 10 números de 6. Y las opciones en las que los mismos números están en diferentes órdenes se consideran diferentes.
Si un conjunto X que consta de n elementos, m≤n, entonces la disposición sin repetición de n elementos del conjunto X en m se denomina conjunto ordenado X que contiene m elementos.
El número de todas las disposiciones de n elementos por m se denota por
¡norte! - n-factorial (factor factorial) es el producto de números de la serie natural de 1 a cualquier número n Tarea
¿De cuántas maneras pueden 4 niños invitar a bailar a cuatro de seis niñas?
Solución: dos chicos no pueden invitar a la misma chica al mismo tiempo. Y las opciones en las que las mismas chicas bailan con diferentes chicos se consideran diferentes, por tanto:
360 opciones posibles.
Permutaciones sin repetición
En el caso de n=m (ver colocaciones sin repetición) de n elementos de m se llama permutación del conjunto x.
El número de todas las permutaciones de n elementos se denota por P n.
Válido para n=m:
Problemas de muestra
¿Cuántos números diferentes de seis cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4,5 si los números no se repiten?
1) Encuentra el número de todas las permutaciones de estos números: P 6 =6!=720
2) El 0 no puede estar delante de un número, por lo que se debe restar de este número el número de permutaciones en las que el 0 está delante. Y esto es P 5 =5!=120.
P6-P5 =720-120=600
mono travieso
Sí, Mishka con el pie zambo
Empezamos a tocar un cuarteto.
¡Parad, hermanos, parad! –
El mono grita: ¡espera!
¿Cómo debería ir la música?
Después de todo, no estás sentado así...
Y de esta manera cambiaron de asiento; nuevamente la música no suena bien.
