Conceptos básicos
Recordemos primero la definición. Funciones pares, impares y periódicas.
Definición 2
Una función par es una función que no cambia su valor cuando cambia el signo de la variable independiente:
Definición 3
Una función que repite sus valores en algún intervalo regular:
T - período de la función.
Funciones trigonométricas pares e impares
Considere la siguiente figura (Fig.1):
Foto 1.
Aquí $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ son vectores de longitud unitaria, simétricos con respecto al eje $Ox$.
Es obvio que las coordenadas de estos vectores están relacionadas por las siguientes relaciones:
Dado que las funciones trigonométricas del seno y el coseno se pueden determinar utilizando el círculo trigonométrico unitario, obtenemos que la función seno será impar y la función coseno será par, es decir:
Periodicidad de funciones trigonométricas.
Considere la siguiente figura (Fig. 2).
Figura 2.
Aquí $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ es un vector de longitud unitaria.
Hagamos una revolución completa con el vector $\overrightarrow(OA)$. Es decir, rotemos este vector $2\pi $ radianes. Después de esto, el vector volverá completamente a su posición original.
Dado que las funciones trigonométricas del seno y el coseno se pueden determinar usando el círculo trigonométrico unitario, obtenemos que
Es decir, las funciones seno y coseno son funciones periódicas con el período más pequeño $T=2\pi $.
Consideremos ahora las funciones de tangente y cotangente. Dado que $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, entonces
Dado que $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, entonces
Ejemplos de problemas que utilizan paridad, imparidad y periodicidad de funciones trigonométricas.
Ejemplo 1
Demuestre las siguientes afirmaciones:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $pecado((-721)^0)=-pecado1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Como la tangente es una función periódica con un período mínimo $(360)^0$, obtenemos
b) $(cos \izquierda(-13\pi \derecha)\ )=-1$
Como el coseno es una función par y periódica con un período mínimo de $2\pi $, obtenemos
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $pecado((-721)^0)=-pecado1^0$
Dado que el seno es una función impar y periódica con un período mínimo de $(360)^0$, obtenemos
Si construimos un círculo unitario con su centro en el origen y establecemos un valor arbitrario para el argumento x0 y contar desde el eje Buey esquina X 0, entonces este ángulo en el círculo unitario corresponde a un cierto punto A(Figura 1) y su proyección sobre el eje Oh habrá un punto METRO. Longitud de la sección om igual al valor absoluto de la abscisa del punto A. Valor del argumento dado x0 valor de función mapeado y= porque X 0 como puntos de abscisas A. En consecuencia, punto EN(X 0 ;en 0) pertenece a la gráfica de la función en= porque X(Figura 2). si el punto A está a la derecha del eje UNED, El seno actual será positivo, pero si está hacia la izquierda será negativo. Pero de todos modos, punto A no puede salir del círculo. Por tanto, el coseno se encuentra en el rango de –1 a 1:
–1 = porque X = 1.
Rotación adicional en cualquier ángulo, múltiplo de 2 pag, punto de retorno A al mismo lugar. Por lo tanto la función y = porque Xpag:
porque( X+ 2pag) = porque X.
Si tomamos dos valores del argumento, iguales en valor absoluto, pero de signo opuesto, X Y - X, encontrar los puntos correspondientes en el círculo una x Y A-x. Como se puede observar en la Fig. 3 su proyección sobre el eje Oh es el mismo punto METRO. Es por eso
porque(– X) = porque ( X),
aquellos. el coseno es una función par, F(–X) = F(X).
Esto significa que podemos explorar las propiedades de la función. y= porque X en el segmento , y luego tener en cuenta su paridad y periodicidad.
En X= 0 punto A se encuentra en el eje Oh, su abscisa es 1 y, por lo tanto, cos 0 = 1. Al aumentar X punto A se mueve alrededor del círculo hacia arriba y hacia la izquierda, su proyección, naturalmente, es solo hacia la izquierda, y en x = pag/2 coseno se vuelve igual a 0. Punto A en este momento se eleva a su altura máxima, y luego continúa moviéndose hacia la izquierda, pero ya descendiendo. Su abscisa disminuye hasta alcanzar el valor más pequeño igual a –1 en X= pag. Así, en el intervalo la función en= porque X disminuye monótonamente de 1 a –1 (Fig. 4, 5).
De la paridad del coseno se deduce que en el intervalo [– pag, 0] la función aumenta monótonamente de –1 a 1, tomando un valor cero en x =–pag/2. Si toma varios períodos, obtendrá una curva ondulada (Fig. 6).
Entonces la función y= porque X toma valores cero en los puntos X= pag/2 + kp, Dónde k – cualquier número entero. Se alcanzan máximos iguales a 1 en los puntos X= 2kp, es decir. en pasos de 2 pag, y mínimos iguales a –1 en los puntos X= pag + 2kp.
Función y = sen x.
En la esquina del círculo unitario X 0 corresponde a un punto A(Figura 7), y su proyección sobre el eje UNED habrá un punto norte.z valor de la función y 0 = pecado x0 definida como la ordenada de un punto A. Punto EN(esquina X 0 ,en 0) pertenece a la gráfica de la función y= pecado X(Figura 8). Está claro que la función y = pecado X periódico, su período es 2 pag:
pecado ( X+ 2pag) = pecado ( X).
Para dos valores de argumento, X Y - , proyecciones de sus puntos correspondientes una x Y A-x por eje UNED ubicado simétricamente con respecto al punto ACERCA DE. Es por eso
pecado(- X) = –pecado ( X),
aquellos. el seno es una función impar, f(– X) = –f( X) (Figura 9).
si el punto A rotar respecto a un punto ACERCA DE en un angulo pag/2 en sentido antihorario (en otras palabras, si el ángulo X aumentado por pag/2), entonces su ordenada en la nueva posición será igual a la abscisa en la antigua. Lo que significa
pecado ( X+ pag/2) = porque X.
De lo contrario, el seno es un coseno “tarde” por pag/2, ya que cualquier valor del coseno se “repetirá” en el seno cuando el argumento aumente en pag/2. Y para construir una gráfica de seno, basta con desplazar la gráfica de coseno en pag/2 hacia la derecha (Fig. 10). Una propiedad extremadamente importante del seno se expresa mediante la igualdad.
El significado geométrico de igualdad se puede ver en la Fig. 11. Aquí X - esto es medio arco AB, como en X - la mitad del acorde correspondiente. Es obvio que a medida que los puntos se acercan A Y EN la longitud de la cuerda se acerca cada vez más a la longitud del arco. De la misma figura es fácil derivar la desigualdad.
|pecado X| x|, verdadero para cualquier X.
Los matemáticos llaman a la fórmula (*) un límite notable. De ello, en particular, se sigue que el pecado X» X en pequeño X.
Funciones en= tg x,y=ctg X. Las otras dos funciones trigonométricas, tangente y cotangente, se definen más fácilmente como las razones del seno y el coseno que ya conocemos:
Al igual que el seno y el coseno, la tangente y la cotangente son funciones periódicas, pero sus períodos son iguales. pag, es decir. son la mitad del tamaño del seno y el coseno. La razón de esto es clara: si el seno y el coseno cambian de signo, entonces su relación no cambiará.
Dado que el denominador de la tangente contiene un coseno, la tangente no está definida en aquellos puntos donde el coseno es 0, cuando X= pag/2 +kp. En todos los demás puntos aumenta monótonamente. Directo X= pag/2 + kp para tangente son asíntotas verticales. En puntos kp la tangente y la pendiente son 0 y 1, respectivamente (Fig. 12).
La cotangente no está definida donde el seno es 0 (cuando x = kp). En otros puntos disminuye monótonamente y las líneas rectas x = kp – sus asíntotas verticales. En puntos x = pag/2 +kp la cotangente se vuelve 0 y la pendiente en estos puntos es igual a –1 (Fig. 13).
Paridad y periodicidad.
Se llama a una función incluso si F(–X) = F(X). Las funciones coseno y secante son pares, y las funciones seno, tangente, cotangente y cosecante son impares:
| pecado (–α) = – pecado α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| segundo (–α) = segundo α | cosec (–α) = – cosec α |
Las propiedades de paridad se derivan de la simetría de puntos. PAG un y R- a (Fig. 14) respecto al eje X. Con tal simetría, la ordenada del punto cambia de signo (( X;en) va a ( X; –у)). Todas las funciones: periódica, seno, coseno, secante y cosecante tienen un período de 2 pag, y tangente y cotangente - pag:
| pecado (α + 2 kπ) = sen α | porque(α+2 kπ) = porque α |
| tg(α+ kπ) = tan α | cuna(α+ kπ) = cotg α |
| segundo (α + 2 kπ) = segundo α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
La periodicidad del seno y el coseno se deriva del hecho de que todos los puntos PAG un+2 kp, Dónde k= 0, ±1, ±2,…, coinciden, y la periodicidad de la tangente y cotangente se debe a que los puntos PAG un+ kp caen alternativamente en dos puntos diametralmente opuestos del círculo, dando el mismo punto en el eje tangente.
Las principales propiedades de las funciones trigonométricas se pueden resumir en una tabla:
| Función | Dominio | Múltiples significados | Paridad | Áreas de monotonía ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| pecado X | –¿x ? | [–1, +1] | extraño | aumenta con X O((4 k – 1) pag /2, (4k + 1) pag/2), disminuye en X O((4 k + 1) pag /2, (4k + 3) pag/2) |
| porque X | –¿x ? | [–1, +1] | incluso | Aumenta con X o((2 k – 1) pag, 2kp), disminuye en X o(2 kp, (2k + 1) pag) |
| tg X | X № pag/2 + paquete | (–Ґ , +Ґ ) | extraño | aumenta con X o((2 k – 1) pag /2, (2k + 1) pag /2) |
| ctg X | X № paquete | (–Ґ , +Ґ ) | extraño | disminuye en X ACERCA DE ( kp, (k + 1) pag) |
| segundo X | X № pag/2 + paquete | (–Ґ , –1] Y [+1, +Ґ ) | incluso | Aumenta con X o(2 kp, (2k + 1) pag), disminuye en X o((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec X | X № paquete | (–Ґ , –1] Y [+1, +Ґ ) | extraño | aumenta con X O((4 k + 1) pag /2, (4k + 3) pag/2), disminuye en X O((4 k – 1) pag /2, (4k + 1) pag /2) |
Fórmulas de reducción.
Según estas fórmulas, el valor de la función trigonométrica del argumento a, donde pag/2 a p , se puede reducir al valor de la función argumento a , donde 0 a p /2, ya sea igual o complementario.
| Argumento b |  -a |
+ un | pag-a | pag+ un | + un | + un | 2pag-a |
| pecado b | porque un | porque un | pecado un | –pecado un | –porque un | –porque un | –pecado un |
| porque b | pecado un | –pecado un | –porque un | –porque un | –pecado un | pecado un | porque un |
Por lo tanto, en las tablas de funciones trigonométricas, los valores se dan solo para ángulos agudos, y basta con limitarnos, por ejemplo, al seno y la tangente. La tabla muestra solo las fórmulas más utilizadas para seno y coseno. A partir de estos es fácil obtener fórmulas para tangente y cotangente. Al convertir una función a partir de un argumento de la forma kp/2 ± a, donde k– un número entero, a una función del argumento a:
1) el nombre de la función se guarda si k incluso, y cambia a "complementario" si k extraño;
2) el signo del lado derecho coincide con el signo de la función reducible en el punto kp/2 ± a si el ángulo a es agudo.
Por ejemplo, al emitir ctg (a – pag/2) nos aseguramos de que a – pag/2 en 0 a p /2 está en el cuarto cuadrante, donde la cotangente es negativa y, según la regla 1, cambiamos el nombre de la función: ctg (a – pag/2) = –tg a .
Fórmulas de suma.
Fórmulas para múltiples ángulos.
Estas fórmulas se derivan directamente de las fórmulas de suma:
sen 2a = 2 sen a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sen 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sen 2 a ;
pecado 3a = 3 pecado a – 4 pecado 3 a ;
porque 3a = 4 porque 3 a – 3 porque a ;
François Viète utilizó la fórmula del cos 3a para resolver la ecuación cúbica. Fue el primero en encontrar expresiones para cos. norte un y pecado norte a, que luego se obtuvieron de forma más sencilla a partir de la fórmula de Moivre.
Si reemplaza a con /2 en fórmulas de doble argumento, se pueden convertir en fórmulas de medio ángulo:
Fórmulas de sustitución universales.
Usando estas fórmulas, una expresión que involucra diferentes funciones trigonométricas del mismo argumento se puede reescribir como una expresión racional de una sola función tg (a /2), esto puede ser útil al resolver algunas ecuaciones:
 |
|
 |
 |
Fórmulas para convertir sumas en productos y productos en sumas.
Antes de la llegada de las computadoras, estas fórmulas se utilizaban para simplificar los cálculos. Los cálculos se realizaron utilizando tablas logarítmicas y, posteriormente, una regla de cálculo, porque los logaritmos son los más adecuados para multiplicar números, por lo que todas las expresiones originales se llevaron a una forma conveniente para la logaritmización, es decir a obras, por ejemplo:
2 pecado a pecado b = porque ( a–b) – porque ( a+b);
2cos a porque b=cos( a–b) + porque ( a+b);
2 pecado a porque b= pecado ( a–b) + pecado ( a+b).
Las fórmulas para las funciones tangente y cotangente se pueden obtener a partir de lo anterior.
Fórmulas de reducción de grados.
De las fórmulas de argumentos múltiples se derivan las siguientes fórmulas:
| pecado 2 a = (1 – cos 2a)/2; | porque2a = (1 + porque2a)/2; |
| pecado 3 a = (3 pecado a – pecado 3a)/4; | porque 3 a = (3 porque a + porque 3 a )/4. |
Usando estas fórmulas, las ecuaciones trigonométricas se pueden reducir a ecuaciones de grados inferiores. De la misma manera, podemos derivar fórmulas de reducción para potencias superiores de seno y coseno.
| Derivadas e integrales de funciones trigonométricas. | |
| (pecado X)` = porque X; | (porque X)` = –pecado X; |
| (tg X)` = ; | (ctg X)` = – ; |
| no peco xdx= –cos X + C; | t porque xdx= pecado X + C; |
| t tg xdx= –ln|cos X| + C; | t ctg x dx = en|pecado X| + C; |
Cada función trigonométrica en cada punto de su dominio de definición es continua e infinitamente diferenciable. Además, las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas y, cuando se integran, también se obtienen funciones trigonométricas o sus logaritmos. Las integrales de combinaciones racionales de funciones trigonométricas son siempre funciones elementales.
Representación de funciones trigonométricas en forma de series de potencias y productos infinitos.
Todas las funciones trigonométricas se pueden desarrollar en series de potencias. En este caso, las funciones sen X bcos X se presentan en filas. convergente para todos los valores X:
Estas series se pueden utilizar para obtener expresiones aproximadas del pecado. X y porque X en valores pequeños X:
en | x| p/2;
en 0x| pag
(B norte – números de Bernoulli).
funciones de pecado X y porque X se puede representar en forma de infinitos productos:
Sistema trigonométrico 1, cos X,pecado X, porque 2 X, pecado 2 X,¼,cos nx,pecado nx, ¼, se forma en el segmento [– pag, pag] un sistema ortogonal de funciones, que permite representar funciones en forma de series trigonométricas.
se definen como continuaciones analíticas de las funciones trigonométricas correspondientes del argumento real en el plano complejo. si, pecado z y porque z se puede definir usando series para el pecado X y porque X, si en cambio X poner z:
Estas series convergen en todo el plano, por lo que sen z y porque z- funciones completas.
La tangente y la cotangente están determinadas por las fórmulas:
funciones tg z y ctg z– funciones meromórficas. postes tg z y segundo z– simple (1er orden) y ubicado en puntos z = pag/2 + pn, polos ctg z y cosec z– también simple y ubicado en puntos z = pn, norte = 0, ±1, ±2,…
Todas las fórmulas que son válidas para funciones trigonométricas de un argumento real también lo son para una compleja. En particular,
pecado(- z) = –pecado z,
porque(– z) = porque z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
aquellos. Se conservan las paridades pares e impares. Las fórmulas también se guardan.
pecado ( z + 2pag) = pecado z, (z + 2pag) = porque z, (z + pag) = tg z, (z + pag) = ctg z,
aquellos. también se conserva la periodicidad y los períodos son los mismos que para las funciones de un argumento real.
Las funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de una función exponencial de un argumento puramente imaginario:
Atrás, e iz expresado en términos de cos z y el pecado z según la fórmula:
e iz= porque z + i pecado z
Estas fórmulas se llaman fórmulas de Euler. Leonhard Euler los desarrolló en 1743.
Las funciones trigonométricas también se pueden expresar en términos de funciones hiperbólicas:
z = –i sh es, cos z = ch iz, z = –i th iz.
donde sh, ch y th son seno, coseno y tangente hiperbólicos.
Funciones trigonométricas de argumento complejo. z = x + iy, Dónde X Y y– los números reales, se pueden expresar mediante funciones trigonométricas e hiperbólicas de argumentos reales, por ejemplo:
pecado ( x + iy) = pecado X ch y + i porque X sh y;
porque( x + iy) = porque X ch y + i pecado X sh y.
El seno y el coseno de un argumento complejo pueden tomar valores reales mayores que 1 en valor absoluto. Por ejemplo:
Si un ángulo desconocido entra en una ecuación como argumento de funciones trigonométricas, entonces la ecuación se llama trigonométrica. Estas ecuaciones son tan comunes que sus métodos Las soluciones son muy detalladas y cuidadosamente desarrolladas. CON Utilizando diversas técnicas y fórmulas, las ecuaciones trigonométricas se reducen a ecuaciones de la forma F(X)= un, Dónde F– cualquiera de las funciones trigonométricas más simples: seno, coseno, tangente o cotangente. Luego expresa el argumento. X esta función a través de su valor conocido A.
Como las funciones trigonométricas son periódicas, lo mismo A del rango de valores hay infinitos valores del argumento, y las soluciones de la ecuación no se pueden escribir como una única función de A. Por lo tanto, en el dominio de definición de cada una de las funciones trigonométricas principales, se selecciona una sección en la que toma todos sus valores, cada uno una sola vez, y en esta sección se encuentra la función inversa a ella. Estas funciones se denotan agregando el prefijo arco (arco) al nombre de la función original y se denominan trigonométrica inversa. funciones o simplemente funciones de arco.
Funciones trigonométricas inversas.
Por el pecado X, porque X, tg X y ctg X Se pueden definir funciones inversas. En consecuencia, se denotan por arcoseno. X(léase "arcoseno" X"), arcos X, arctán X y arcctg X. Por definición, arcosen X hay tal numero y, Qué
pecado en = X.
Lo mismo ocurre con otras funciones trigonométricas inversas. Pero esta definición adolece de cierta inexactitud.
Si reflejas el pecado X, porque X, tg X y ctg X con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante del plano coordenado, entonces las funciones, debido a su periodicidad, se vuelven ambiguas: un número infinito de ángulos corresponden al mismo seno (coseno, tangente, cotangente).
Para eliminar la ambigüedad, una sección de la curva con un ancho de pag, en este caso es necesario que se mantenga una correspondencia uno a uno entre el argumento y el valor de la función. Se seleccionan áreas cercanas al origen de las coordenadas. Para seno en Como “intervalo uno a uno” tomamos el segmento [– pag/2, pag/2], en el que el seno aumenta monótonamente de –1 a 1, para el coseno – el segmento, para la tangente y cotangente, respectivamente, los intervalos (– pag/2, pag/2) y (0, pag). Cada curva en el intervalo se refleja con respecto a la bisectriz y ahora se pueden determinar funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, supongamos que se dé el valor del argumento. x0, tal que 0 Ј X 0 Ј 1. Entonces el valor de la función. y 0 = arcosen X 0 solo habrá un significado en 0 , tal que - pag/2 Ј en 0 Ј pag/2 y X 0 = pecado y 0 .
Por tanto, el arcoseno es función del arcosen. A, definido en el intervalo [–1, 1] e igual para cada A a tal valor, – pag/2 a p /2 que sen a = A. Es muy conveniente representarlo mediante un círculo unitario (Fig. 15). Cuando | un | 1 en una circunferencia hay dos puntos con ordenada a, simétrico respecto al eje Ud. Uno de ellos corresponde al ángulo a= arcosen A, y el otro es la esquina pag - a. CON teniendo en cuenta la periodicidad del seno, resolviendo la ecuación sen X= A está escrito de la siguiente manera:
x =(–1)norte arcosin a + 2pn,
Dónde norte= 0, ±1, ±2,...
Otras ecuaciones trigonométricas simples se pueden resolver de la misma forma:
porque X = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2pn,
Dónde PAG= 0, ±1, ±2,... (Fig.16);
tg X = a;
X= arctán a + pag norte,
Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.17);
ctg X= A;
X= arcctg a + pag norte,
Dónde norte = 0, ±1, ±2,... (Fig.18).
Propiedades básicas de funciones trigonométricas inversas:
arcosin X(Fig. 19): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango - [- pag/2, pag/2], función monótonamente creciente;
arccos X(Fig. 20): dominio de definición – segmento [–1, 1]; rango - ; función monótonamente decreciente;
arctg X(Fig. 21): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (– pag/2, pag/2); función monótonamente creciente; derecho en= –pag/2 y y = pag /2 – asíntotas horizontales;
arcctg X(Fig. 22): dominio de definición – todos los números reales; rango de valores – intervalo (0, pag); función monótonamente decreciente; derecho y= 0 y y = pag– asíntotas horizontales.
Porque funciones trigonométricas de argumento complejo sin z y porque z(a diferencia de las funciones del argumento real) toman todos los valores complejos, entonces las ecuaciones pecan z = a y porque z = a tenemos soluciones para cualquier complejo una x Y y son números reales, se aplican desigualdades
½| e\e y–e-y| ≤|pecado z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
de los cuales en y® Ґ siguen fórmulas asintóticas (uniformemente con respecto a X)
|pecado z| » 1/2 mi |y| ,
|porque z| » 1/2 mi |y| .
Las funciones trigonométricas aparecieron por primera vez en relación con la investigación en astronomía y geometría. Las razones de los segmentos de un triángulo y un círculo, que son esencialmente funciones trigonométricas, se encuentran ya en el siglo III. antes de Cristo mi. en las obras de los matemáticos de la antigua Grecia – Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perga y otros, sin embargo, estas relaciones no eran un objeto de estudio independiente, por lo que no estudiaron las funciones trigonométricas como tales. Inicialmente fueron considerados como segmentos y en esta forma fueron utilizados por Aristarco (finales del siglo IV - segunda mitad del siglo III a. C.), Hiparco (siglo II a. C.), Menelao (siglo I d. C.) y Ptolomeo (siglo II d. C.) cuando Resolver triángulos esféricos. Ptolomeo compiló la primera tabla de cuerdas para ángulos agudos cada 30" con una precisión de 10 –6. Esta fue la primera tabla de senos. Como proporción, la función sin a ya se encuentra en Aryabhata (finales del siglo V). Las funciones tg a y ctg a se encuentran en al-Battani (segunda mitad del siglo IX - principios del X) y Abul-Vefa (siglo X), quien también usa sec a y cosec a... Aryabhata ya conocía la fórmula ( sen 2 a + cos 2 a) = 1, así como fórmulas para sen y cos de un medio ángulo, con la ayuda de las cuales construí tablas de senos para ángulos de hasta 3°45"; basado en los valores conocidos de funciones trigonométricas para los argumentos más simples. Bhaskara (siglo XII) dio un método para construir tablas en términos de 1 usando fórmulas de suma. Regiomontanus (siglo XV) y J. Napier derivaron fórmulas para convertir la suma y la diferencia de funciones trigonométricas de varios argumentos en un producto en relación con la invención de los logaritmos (1614) de este último. Regiomontan dio una tabla de valores del seno en términos de 1". La expansión de las funciones trigonométricas en series de potencias fue obtenida por I. Newton (1669). La teoría de las funciones trigonométricas fue llevada a su forma moderna por L. Euler ( Siglo XVIII) Posee su definición de argumentos reales y complejos, aceptada ahora como simbolismo, estableciendo conexiones con la función exponencial y la ortogonalidad del sistema de senos y cosenos.
|BD| - longitud del arco de una circunferencia con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.
tangente ( bronceado α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .
Cotangente ( ctg α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .
Tangente
Dónde norte- entero.
En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
;
;
.
Gráfica de la función tangente, y = tan x
Cotangente
Dónde norte- entero.
En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se aceptan las siguientes notaciones:
;
;
.
Gráfica de la función cotangente, y = ctg x
Propiedades de tangente y cotangente.
Periodicidad
Funciones y = tgx y y = ctgx son periódicos con período π.
Paridad
Las funciones tangente y cotangente son impares.
Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes.
Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).
| y = tgx | y = ctgx | |
| Alcance y continuidad | ||
| Rango de valores | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Creciente | - | |
| Descendente | - | |
| Extremos | - | - |
| Ceros, y = 0 | ||
| Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0 | y = 0 | - |
Fórmulas
Expresiones usando seno y coseno
;
;
;
;
;
Fórmulas para tangente y cotangente a partir de suma y diferencia
Las fórmulas restantes son fáciles de obtener, por ejemplo
Producto de tangentes
Fórmula para la suma y diferencia de tangentes.
Esta tabla presenta los valores de tangentes y cotangentes para ciertos valores del argumento. 
Expresiones usando números complejos
Expresiones mediante funciones hiperbólicas.
;
;
Derivados
; .
.
Derivada de enésimo orden con respecto a la variable x de la función:
.
Deducir fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >
Integrales
Expansiones de serie
Para obtener el desarrollo de la tangente en potencias de x, es necesario tomar varios términos del desarrollo en una serie de potencias para las funciones pecado x Y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto produce las siguientes fórmulas.
En .
en .
Dónde mil millones- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
Dónde .
O según la fórmula de Laplace: 
Funciones inversas
Las funciones inversas de tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.
Arctangente, arctg
, Dónde norte- entero.
Arccotangente, arcctg
, Dónde norte- entero.
Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.
Conceptos básicos
Recordemos primero la definición. Funciones pares, impares y periódicas.
Definición 2
Una función par es una función que no cambia su valor cuando cambia el signo de la variable independiente:
Definición 3
Una función que repite sus valores en algún intervalo regular:
T - período de la función.
Funciones trigonométricas pares e impares
Considere la siguiente figura (Fig.1):
Foto 1.
Aquí $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ y $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ son simétricos con respecto al eje $Ox$ vectores soltero longitud.
Es obvio que las coordenadas de estos vectores están relacionadas por las siguientes relaciones:
Dado que las funciones trigonométricas del seno y el coseno se pueden determinar utilizando el círculo trigonométrico unitario, obtenemos que la función seno será impar y la función coseno será par, es decir:
Periodicidad de funciones trigonométricas.
Considere la siguiente figura (Fig. 2).
Figura 2.
Aquí $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ es un vector de longitud unitaria.
Hagamos una revolución completa con el vector $\overrightarrow(OA)$. Es decir, rotemos este vector $2\pi $ radianes. Después de esto, el vector volverá completamente a su posición original.
Dado que las funciones trigonométricas del seno y el coseno se pueden determinar usando el círculo trigonométrico unitario, obtenemos que
Es decir, las funciones seno y coseno son funciones periódicas con el período más pequeño $T=2\pi $.
Consideremos ahora las funciones de tangente y cotangente. Dado que $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, entonces
Dado que $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, entonces
Ejemplos de problemas que utilizan paridad, imparidad y periodicidad de funciones trigonométricas.
Ejemplo 1
Demuestre las siguientes afirmaciones:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $pecado((-721)^0)=-pecado1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Como la tangente es una función periódica con un período mínimo $(360)^0$, obtenemos
b) $(cos \izquierda(-13\pi \derecha)\ )=-1$
Como el coseno es una función par y periódica con un período mínimo de $2\pi $, obtenemos
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $pecado((-721)^0)=-pecado1^0$
Dado que el seno es una función impar y periódica con un período mínimo de $(360)^0$, obtenemos
