MATERIAL DE REFERENCIA SOBRE ÁLGEBRA PARA LOS GRADOS 7-11.
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- Trabajar norte factores, cada uno de los cuales es igual A llamado norte-ésima potencia del número A y es designado Anorte.
- La acción mediante la cual se encuentra el producto de varios factores iguales se llama exponenciación. El número elevado a una potencia se llama base de la potencia. El número que muestra a qué potencia se eleva la base se llama exponente. Entonces, Anorte- grado, A– la base del título, norte– exponente.
- y 0 = 1
- un 1 = un
- soy∙ un= soy + norte
- soy: un= soy — norte
- (soy) norte= un minuto
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a/ b) norte= un/ bn Al elevar una fracción a una potencia, tanto el numerador como el denominador de la fracción se elevan a esa potencia.
- (- norte) número potencia (n – natural) A, distinto de cero, se considera el número inverso norte-ésima potencia del número A, es decir. . a — norte=1/ un. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a/ b) — norte=(b/ a) norte
- Las propiedades de un grado con exponente natural también son válidas para grados con cualquier exponente.
Los números muy grandes y muy pequeños suelen escribirse en forma estándar: a∙10 norte, Dónde 1≤a<10 Y norte(natural o entero): es el orden de un número escrito en forma estándar.
- Las expresiones que se componen de números, variables y sus potencias utilizando la acción de la multiplicación se llaman monomios.
- Este tipo de monomio, cuando primero viene el factor numérico (coeficiente), seguido de las variables con sus potencias, se llama tipo de monomio estándar. La suma de los exponentes de todas las variables incluidas en un monomio se llama grado del monomio.
- Los monomios que tienen la misma parte de letras se llaman monomios semejantes.
- La suma de monomios se llama polinomio. Los monomios que forman un polinomio se llaman términos del polinomio.
- Un binomio es un polinomio que consta de dos términos (monomios).
- Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos (monomios).
- El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo constituyen.
- Un polinomio de forma estándar no contiene términos similares y se escribe en orden descendente de los grados de sus términos.
- Para multiplicar un monomio por un polinomio, debes multiplicar cada término del polinomio por este monomio y sumar los productos resultantes.
- Representar un polinomio como producto de dos o más polinomios se llama factorizar el polinomio.
- Quitar el factor común entre paréntesis es la forma más sencilla de factorizar un polinomio.
- Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y escribir los productos resultantes como una suma de monomios. Si es necesario, agregue términos similares.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Cuadrado de la suma de dos expresiones. es igual al cuadrado de la primera expresión más el doble del producto de la primera expresión y la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Cuadrado de la diferencia de dos expresiones. es igual al cuadrado de la primera expresión menos el doble del producto de la primera expresión y la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Diferencia de cuadrados de dos expresiones. es igual al producto de la diferencia entre las expresiones mismas y su suma.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Cubo de la suma de dos expresiones. es igual al cubo de la primera expresión más el triple del producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda más el triple del producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda más el cubo de la segunda expresión.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Cubo de diferencia de dos expresiones. es igual al cubo de la primera expresión menos tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda expresión.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Suma de cubos de dos expresiones. es igual al producto de la suma de las expresiones mismas y el cuadrado incompleto de su diferencia.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Diferencia de cubos de dos expresiones. es igual al producto de la diferencia entre las propias expresiones y el cuadrado parcial de su suma.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Cuadrado de la suma de tres expresiones. es igual a la suma de los cuadrados de estas expresiones más todos los posibles productos duplicados por pares de las propias expresiones.
- Referencia. El cuadrado perfecto de la suma de dos expresiones: a 2 + 2ab + b 2
Cuadrado parcial de la suma de dos expresiones: un 2 + ab + b 2
Función de la forma y=x2 llamada función cuadrada. La gráfica de una función cuadrática es una parábola con su vértice en el origen. Ramas de parábola y=x² dirigido hacia arriba.
Función de la forma y=x 3 llamada función cúbica. La gráfica de una función cúbica es una parábola cúbica que pasa por el origen. Ramas de una parábola cúbica y=x³ Están ubicados en el 1er y 3er cuarto.
Función uniforme.
Función F se llama incluso si, junto con cada valor de la variable X -X F(- X)= F(X). La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de ordenadas (Oy). La función y=x 2 es par.
Función impar.
Función F se llama impar si, junto con cada valor de la variable X del dominio del valor de la función ( -X) también está incluido en el alcance de esta función y se cumple la igualdad: F(- X)=- F(X) . La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. La función y=x 3 es impar.
Ecuación cuadrática.
Definición. Ecuación de la forma hacha 2 +bx+c=0, Dónde a, b Y C– cualquier número real, y a≠0,x– variable, llamada ecuación cuadrática.
a– primer coeficiente, b– segundo coeficiente, C- miembro gratuito.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.
- hacha 2 =0 – incompleto ecuación cuadrática (b=0,c=0 ). Solución: x=0. Respuesta: 0.
- hacha 2 +bx=0 –incompleto ecuación cuadrática (c=0 ). Solución: x (ax+b)=0 → x 1 =0 o ax+b=0 → x 2 =-b/a. Respuesta: 0; -licenciado en Letras.
- hacha 2 +c=0 –incompleto ecuación cuadrática (b=0 ); Solución: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Si (-California)<0 , entonces no hay raíces reales. Si (-с/а)>0
- hacha 2 +bx+c=0- ecuación cuadrática vista general
discriminante D=b2 - 4ac.
Si D>0, entonces tenemos dos raíces reales:
Si D=0, entonces tenemos una sola raíz (o dos raíces iguales) x=-b/(2a).
Si D<0, то действительных корней нет.
- hacha 2 +bx+c=0 – ecuación cuadrática formulario privado incluso por un segundo
Coeficiente b
- hacha 2 +bx+c=0 – ecuación cuadrática tipo privado proporcionado : a-b+c=0.
La primera raíz siempre es igual a menos uno y la segunda raíz siempre es igual a menos Con, dividido por A:
x1 =-1, x2 =-c/a.
- hacha 2 +bx+c=0 – ecuación cuadrática tipo privado proporcionado: a+b+c=0 .
La primera raíz siempre es igual a uno y la segunda raíz es igual a Con, dividido por A:
x 1 = 1, x 2 = c/a.
Resolver las ecuaciones cuadráticas dadas.
- x 2 +px+q=0 – ecuación cuadrática reducida (el primer coeficiente es igual a uno).
Suma de raíces de la ecuación cuadrática reducida. x 2 +px+q=0 es igual al segundo coeficiente tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre:
hacha 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Dónde x1, x2- raíces de ecuación cuadrática hacha 2 +bx+c=0.
La función del argumento natural se llama secuencia numérica y los números que forman la secuencia se llaman términos de la secuencia.
La secuencia numérica se puede especificar de las siguientes formas: verbal, analítica, recurrente, gráfica.
Una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior sumado al mismo número para una secuencia dada. d, se llama progresión aritmética. Número d llamada diferencia de una progresión aritmética. En progresión aritmética (un), es decir, en una progresión aritmética con términos: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ..., a n-1, a n, ... por definición: a 2 =a 1 + d; un 3 = un 2 + d; un 4 = un 3 + d; un 5 = un 4 + d; ...; un norte = un norte-1 + d; …
Fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.
un norte =a 1 +(n-1) d.
Propiedades de la progresión aritmética.
- Cada término de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de sus términos vecinos:
un norte =(un norte-1 +un norte+1):2;
- Cada término de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los términos equidistantes de él:
a n =(a n-k +a n+k):2.
Fórmulas para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Progresión geométrica.
Definición de progresión geométrica.
Una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número para una secuencia dada. q, se llama progresión geométrica. Número q llamado denominador de una progresión geométrica. En progresión geométrica (b n), es decir en progresión geométrica b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, ..., b n, ... por definición: b 2 = b 1 ∙q; segundo 3 = segundo 2 ∙q; segundo 4 = segundo 3 ∙q; ... ; b norte =b norte -1 ∙q.
Fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.
segundo norte = segundo 1 ∙q norte -1 .
Propiedades de la progresión geométrica.
Fórmula para la suma del primero.n términos de progresión geométrica.
La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente.
Un decimal periódico infinito es igual a una fracción común., en cuyo numerador está la diferencia entre el número entero después del punto decimal y el número después del punto decimal antes del período de la fracción, y el denominador consta de “nueves” y “ceros”, y hay tantos “ nueves” como dígitos hay en el período, y tantos “ceros” como dígitos hay después del punto decimal antes del período de fracción. Ejemplo:
Seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.
(α+β=90°)
Tenemos: sinβ=cosα; cosβ=senα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Dado que β=90°-α, entonces
sin(90°-α)=cosα; cos (90°-α)=senα;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.
Las cofunciones de ángulos que se complementan hasta 90° son iguales.
Fórmulas de suma.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Fórmulas para argumentos dobles y triples.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sen 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Fórmulas para convertir una suma (diferencia) en un producto.
Fórmulas para convertir un producto en una suma (diferencia).
Fórmulas de medio argumento.
Seno y coseno de cualquier ángulo.
Uniformidad (imparcialidad) de funciones trigonométricas.
De las funciones trigonométricas, sólo una es par: y=cosx, las otras tres son impares, es decir, cos (-α)=cosα;
pecado (-α)=-senα; tg(-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.
Signos de funciones trigonométricas por cuartos de coordenadas.
Valores de funciones trigonométricas de algunos ángulos.
Radianes.
1) 1 radian es el valor del ángulo central basado en un arco cuya longitud es igual al radio del círculo dado. 1 rad≈57°.
2) Convertir la medida en grados de un ángulo a la medida en radianes.
3) Conversión de medida de ángulo en radianes a medida en grados.
Fórmulas de reducción.
Regla mnemotécnica:
1. Antes de la función reducida, poner el signo reducible.
2. Si el argumento π/2 (90°) se escribe un número impar de veces, entonces la función se cambia a cofunción.
Funciones trigonométricas inversas.
El arcoseno de un número (arcossen a) es un ángulo del intervalo [-π/2; π/2 ], cuyo seno es igual a a.
arcosin(- a)=- arcosina.
El arcocoseno de un número (arcos a) es un ángulo del intervalo cuyo coseno es igual a a.
arccos(-a)=π – arccosa.
La arcotangente de un número (arctg a) es un ángulo del intervalo (-π/2; π/2), cuya tangente es igual a a.
arctg(- a)=- arctga.
La arcocotangente de un número a (arcctg a) es un ángulo del intervalo (0; π), cuya cotangente es igual a a.
arcctg(-a)=π – arcctg a.
Resolver ecuaciones trigonométricas simples.
Fórmulas generales.
1)
pecado t=a, 0 2)
pecado t = - a, 0 3)
cos t=a, 0 4)
porque t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0, entonces t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, entonces t= - arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, entonces t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, entonces t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Fórmulas particulares. 1)
sen t =0, entonces t=πn, nϵZ; 2)
sen t=1, entonces t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, entonces t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, entonces t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, entonces t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, entonces t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, entonces t = πn, nϵZ; 8)
cot t=0, entonces t = π/2+πn, nϵZ. Resolver desigualdades trigonométricas simples.
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