Resolver desigualdades con un parámetro.

Desigualdades que tienen la forma ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются desigualdades lineales.

Los principios para resolver desigualdades lineales con un parámetro son muy similares a los principios para resolver ecuaciones lineales con un parámetro.

Ejemplo 1.

Resuelve la desigualdad 5x – a > ax + 3.

Solución.

Primero, transformemos la desigualdad original:

5x – ax > a + 3, saquemos x de los corchetes en el lado izquierdo de la desigualdad:

(5 – a)x > a + 3. Consideremos ahora posibles casos para el parámetro a:

Si a > 5, entonces x< (а + 3) / (5 – а).

Si a = 5, entonces no hay soluciones.

si un< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Esta solución será la respuesta a la desigualdad.

Ejemplo 2.

Resuelve la desigualdad x(a – 2) / (a ​​​​– 1) – 2a/3 ≤ 2x – a para a ≠ 1.

Solución.

Transformemos la desigualdad original:

x(a – 2) / (a ​​​​– 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por (-1), obtenemos:

hacha/(a – 1) ≥ a/3. Exploremos posibles casos para el parámetro a:

1 caso. Sea a/(a – 1) > 0 o a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Entonces x ≥ (a – 1)/3.

Caso 2. Sea a/(a – 1) = 0, es decir a = 0. Entonces x es cualquier número real.

Caso 3. Sea a/(a – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Respuesta: x € [(a – 1)/3; +∞) por un € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x€[-∞; (a – 1)/3] por un € (0; 1);
x € R para a = 0.

Ejemplo 3.

Resuelve la desigualdad |1 + x| ≤ ax con respecto a x.

Solución.

De la condición de que el lado derecho del eje de desigualdad debe ser no negativo, es decir, ax ≥ 0. Por la regla de revelar el módulo de la desigualdad |1 + x| ≤ ax tenemos una doble desigualdad

Hacha ≤ 1 + x ≤ hacha. Reescribamos el resultado en forma de sistema:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Transformémoslo a:

((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Estudiamos el sistema resultante en intervalos y en puntos. (Figura 1):

Para a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].

A la 1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Cuando a = 0 x = -1.

A las 0< а ≤ 1 решений нет.

Método gráfico para resolver desigualdades.

Trazar gráficos simplifica enormemente la resolución de ecuaciones que contienen un parámetro. Usar el método gráfico al resolver desigualdades con un parámetro es aún más claro y conveniente.

Resolver gráficamente desigualdades de la forma f(x) ≥ g(x) significa encontrar los valores de la variable x para los cuales la gráfica de la función f(x) se encuentra encima de la gráfica de la función g(x). Para ello, siempre es necesario encontrar los puntos de intersección de las gráficas (si existen).

Ejemplo 1.

Resuelve la desigualdad |x + 5|< bx.

Solución.

Construimos gráficas de funciones y = |x + 5| y y = bx (Figura 2). La solución a la desigualdad serán aquellos valores de la variable x para los cuales la gráfica de la función y = |x + 5| estará debajo de la gráfica de la función y = bx.

La imagen muestra:

1) Para b > 1 las líneas se cruzan. La abscisa del punto de intersección de las gráficas de estas funciones es la solución de la ecuación x + 5 = bx, de donde x = 5/(b – 1). La gráfica y = bx se ubica arriba en x del intervalo (5/(b – 1); +∞), lo que significa que este conjunto es la solución a la desigualdad.

2) De manera similar encontramos que en -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) Para b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) Para 0 ≤ b ≤ 1, las gráficas no se cruzan, lo que significa que la desigualdad no tiene soluciones.

Respuesta: x € (-∞; 5/(b – 1)) para b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) en -1< b < 0;
no hay soluciones para 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) para b > 1.

Ejemplo 2.

Resuelve la desigualdad a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Solución.

1) Encontremos los valores de “control” para el parámetro a: a 1 = 0 y 2 = -1.

2) Resolvamos esta desigualdad en cada subconjunto de números reales: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

a) un< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, entonces esta desigualdad tomará la forma 0 x > 0 – no hay soluciones;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, entonces esta desigualdad tiene la forma 0 x > 4 – no hay soluciones;

e) a > 0, de esta desigualdad se sigue que x > (a + 4)/a.

Ejemplo 3.

Resuelve la desigualdad |2 – |x||< a – x.

Solución.

Construimos una gráfica de la función y = |2 – |x|| (Fig. 3) y considere todos los casos posibles de ubicación de la línea recta y = -x + a.

Respuesta: la desigualdad no tiene soluciones para a ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) por un € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) para a > 2.

Al resolver diversos problemas, ecuaciones y desigualdades con parámetros, se descubre una cantidad significativa de técnicas heurísticas que luego se pueden aplicar con éxito en cualquier otra rama de las matemáticas.

Los problemas con parámetros juegan un papel importante en la formación del pensamiento lógico y la cultura matemática. Por eso, una vez que domine los métodos para resolver problemas con parámetros, podrá afrontar con éxito otros problemas.

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Trabajo del curso

Intérprete: Bugrov S K.

El estudio de muchos procesos físicos y patrones geométricos a menudo conduce a la resolución de problemas con parámetros. Algunas universidades también incluyen ecuaciones, desigualdades y sus sistemas en los exámenes, que a menudo son muy complejos y requieren un enfoque de solución no estándar. En la escuela, esta una de las secciones más difíciles del curso de matemáticas escolar se considera sólo en unas pocas clases optativas.

Al preparar este trabajo, me propuse el objetivo de un estudio más profundo de este tema, identificando la solución más racional que conduzca rápidamente a una respuesta. En mi opinión, el método gráfico es una forma cómoda y rápida de resolver ecuaciones y desigualdades con parámetros.

Mi ensayo analiza los tipos de ecuaciones, desigualdades y sus sistemas que se encuentran con frecuencia, y espero que el conocimiento que adquirí en el proceso de trabajo me ayude a aprobar los exámenes escolares y al ingresar a la universidad.

§ 1. Definiciones básicas

Considere la ecuación

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

donde a, b, c,…, k, x son cantidades variables.

Cualquier sistema de valores variables.

a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

en el que tanto el lado izquierdo como el derecho de esta ecuación toman valores reales se denomina sistema de valores permisibles de las variables a, b, c, ..., k, x. Sea A el conjunto de todos los valores admisibles de a, B el conjunto de todos los valores admisibles de b, etc., X sea el conjunto de todos los valores admisibles de x, es decir аОА, bОB, …, xОX. Si para cada uno de los conjuntos A, B, C,…, K seleccionamos y fijamos, respectivamente, un valor a, b, c,…, k y los sustituimos en la ecuación (1), entonces obtenemos una ecuación para x, es decir. ecuación con una incógnita.

Las variables a, b, c, ..., k, que se consideran constantes al resolver una ecuación, se denominan parámetros, y la ecuación en sí se denomina ecuación que contiene parámetros.

Los parámetros se designan con las primeras letras del alfabeto latino: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, y las incógnitas se designan con las letras x, y, z.

Resolver una ecuación con parámetros significa indicar para qué valores de los parámetros existen soluciones y cuáles son.

Dos ecuaciones que contienen los mismos parámetros se llaman equivalentes si:

a) tienen sentido para los mismos valores de parámetros;

b) toda solución de la primera ecuación es una solución de la segunda y viceversa.

§ 2. Algoritmo de solución.

Encuentra el dominio de definición de la ecuación.

Expresamos a en función de x.

En el sistema de coordenadas xOa, construimos una gráfica de la función a=¦(x) para aquellos valores de x que están incluidos en el dominio de definición de esta ecuación.

Encontramos los puntos de intersección de la recta a=c, donde cÎ(-¥;+¥) con la gráfica de la función a=¦(x). Si la recta a=c corta a la gráfica a=¦(x) , luego determinamos las abscisas de los puntos de intersección. Para ello, basta con resolver la ecuación a=¦(x) para x.

Anotamos la respuesta.

I. Resuelve la ecuación

(1)

Dado que x=0 no es una raíz de la ecuación, la ecuación se puede resolver para a:

o

La gráfica de una función son dos hipérbolas "pegados". El número de soluciones de la ecuación original está determinado por el número de puntos de intersección de la línea construida y la línea recta y=a.

Si un О (-¥;-1]П(1;+¥)П

, entonces la recta y=a corta la gráfica de la ecuación (1) en un punto. Encontraremos la abscisa de este punto al resolver la ecuación para x.

Por lo tanto, en este intervalo, la ecuación (1) tiene una solución

. , entonces la recta y=a corta la gráfica de la ecuación (1) en dos puntos. Las abscisas de estos puntos se pueden encontrar a partir de las ecuaciones y , obtenemos y . , entonces la recta y=a no corta la gráfica de la ecuación (1), por lo tanto no hay soluciones.

Si un О (-¥;-1]П(1;+¥)П

, Eso ; , Eso , ; , entonces no hay soluciones.

II. Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales la ecuación

tiene tres raíces diferentes.

Reescribiendo la ecuación como

y habiendo examinado un par de funciones, se puede observar que los valores deseados del parámetro a y solo corresponderán a aquellas posiciones de la gráfica de la función en las que tiene exactamente tres puntos de intersección con la gráfica de la función. .

En el sistema de coordenadas xOy construiremos una gráfica de la función

). Para hacer esto, podemos representarlo en la forma y, considerando cuatro casos emergentes, escribimos esta función en la forma

Dado que la gráfica de la función

- esta es una línea recta que tiene un ángulo de inclinación con respecto al eje Ox igual a , y que corta el eje Oy en un punto con coordenadas (0, a), concluimos que los tres puntos de intersección indicados se pueden obtener solo en el caso cuando esta línea toca la gráfica de la función. Por tanto, encontramos la derivada.

III. Encuentre todos los valores del parámetro a, para cada uno de los cuales el sistema de ecuaciones

tiene soluciones.

De la primera ecuación del sistema obtenemos

en Por lo tanto, esta ecuación define una familia de "semiparábolas": las ramas derechas de la parábola se "deslizan" con sus vértices a lo largo del eje de abscisas.

Seleccionemos cuadrados completos en el lado izquierdo de la segunda ecuación y factoricémoslo.

Muchos puntos del avión.

que satisfacen la segunda ecuación son dos rectas y

Averigüemos en qué valores del parámetro a una curva de la familia de las "semiparábolas" tiene al menos un punto común con una de las rectas resultantes.

Institución educativa presupuestaria del estado

Educación secundaria general de la región de Samara.

Escuela No. 2 que lleva el nombre. Ferrocarril V. Maskina Arte. Kliavlino

Distrito municipal de Klyavlinsky

región de samara

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Y

desigualdades

con parametros"

tutorial

Kliavlino

Tutorial

"Ecuaciones y desigualdades con parámetros" para estudiantes en los grados 10-11

este manual es un apéndice del programa del curso optativo “Ecuaciones y desigualdades con parámetros”, que pasó un examen externo (el consejo de expertos científicos y metodológicos del Ministerio de Educación y Ciencia de la región de Samara del 19 de diciembre de 2008 recomendó para uso en instituciones educativas de la región de Samara)

Autores

Romadanova Irina Vladimirovna

profesor de matemáticas en la institución de educación secundaria Klyavlinskaya

Escuela No. 2 que lleva el nombre. V. Maskina, distrito de Klyavlinsky, región de Samara

Serbaeva Irina Alekseevna

Introducción………………………………………………………………3-4

Ecuaciones lineales y desigualdades con parámetros………………..4-7

Ecuaciones cuadráticas y desigualdades con parámetros………………7-9

Ecuaciones fraccionarias-racionales con parámetros………………..10-11

Ecuaciones irracionales y desigualdades con parámetros……11-13

Ecuaciones trigonométricas y desigualdades con parámetros.14-15

Ecuaciones exponenciales y desigualdades con parámetros…………16-17

Ecuaciones logarítmicas y desigualdades con parámetros......16-18

Objetivos del Examen Estatal Unificado……………………………………………………...18-20

Tareas para el trabajo independiente………………………………21-28

Introducción.

Ecuaciones y desigualdades con parámetros.

Si en una ecuación o desigualdad a algunos coeficientes no se les dan valores numéricos específicos, sino que se designan con letras, entonces se llaman parámetros, y la ecuación o desigualdad misma paramétrico.

Para resolver una ecuación o desigualdad con parámetros necesitas:

Seleccionar significado especial- este es el valor del parámetro en el cual o al pasar por el cual cambia la solución de la ecuación o desigualdad.

Definir valores válidos– estos son los valores del parámetro en los que la ecuación o desigualdad tiene sentido.

Resolver una ecuación o desigualdad con parámetros significa:

1) determinar en qué valores de parámetros existen soluciones;

2) para cada sistema admisible de valores de parámetros, encuentre el conjunto de soluciones correspondiente.

Puedes resolver una ecuación con un parámetro usando los siguientes métodos: analítico o gráfico.

Método analítico Implica la tarea de estudiar una ecuación considerando varios casos, ninguno de los cuales puede pasarse por alto.

Resolver ecuaciones y desigualdades con parámetros de cada tipo mediante un método analítico implica un análisis detallado de la situación y una investigación constante, durante la cual surge la necesidad. "manejo cuidadoso" con parámetro.

Método gráfico Implica construir una gráfica de la ecuación, a partir de la cual se puede determinar cómo un cambio en el parámetro afecta la solución de la ecuación, respectivamente. El gráfico en ocasiones permite formular analíticamente las condiciones necesarias y suficientes para resolver el problema. El método de solución gráfica es especialmente efectivo cuando se necesita establecer cuántas raíces tiene una ecuación en función de un parámetro y tiene la indudable ventaja de verlo con claridad.

§ 1. Ecuaciones y desigualdades lineales.

Ecuación lineal A X = b , escrito en forma general, puede considerarse como una ecuación con parámetros, donde X - desconocido , a , b - opciones. Para esta ecuación, el valor especial o de control del parámetro es aquel en el que el coeficiente de la incógnita se vuelve cero.

Al resolver una ecuación lineal con un parámetro, se consideran casos en los que el parámetro es igual a su valor especial y diferente de él.

Valor de parámetro especial a es el valor A = 0.

b = 0 es un valor de parámetro especial b .

En b ¹ 0 la ecuación no tiene soluciones.

En b = 0 la ecuación tomará la forma: 0x = 0. La solución de esta ecuación es cualquier número real.

Desigualdades de la forma ah > b Y hacha < b (un ≠ 0) se llaman desigualdades lineales. Conjunto de soluciones a la desigualdad. ah >b- intervalo

(; +), Si a > 0 , Y (-;) , Si A< 0 . Lo mismo ocurre con la desigualdad

Oh< b conjunto de soluciones - intervalo(-;), Si a > 0, Y (; +), Si A< 0.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación hacha = 5

Solución: Esta es una ecuación lineal.

Si un = 0, entonces la ecuación 0 × x = 5 no tiene solución.

Si A¹ 0, x =- solución de la ecuación.

Respuesta: en A¹ 0,x=

para a = 0 no hay solución.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación hacha – 6 = 2a – 3x.

Solución: Esta es una ecuación lineal, hacha – 6 = 2a – 3x (1)

hacha + 3x = 2a +6

Reescribiendo la ecuación como (a+3)x = 2(a+3), considere dos casos:

a = -3 Y A¹ -3.

Si a = -3, entonces cualquier número real X es la raíz de la ecuación (1). Si A¹ -3 , la ecuación (1) tiene una sola raíz x = 2.

Respuesta: En a = -3,x R ; en A ¹ -3, x = 2.

Ejemplo 3. ¿En qué valores de parámetros? A entre las raíces de la ecuación

2ah – 4kh – un 2 + 4a – 4 = 0 hay más raíces 1 ?

Solución: Resolvamos la ecuación 2ah – 4kh – un 2 + 4a – 4 = 0- ecuación lineal

2(a - 2) x = a 2 – 4a +4

2(a - 2) x = (a - 2) 2

En un = 2 resolviendo la ecuación 0x = 0 será cualquier número, incluido uno mayor que 1.

En A¹ 2 x =
. Por condición x > 1, eso es
>1 y >4.

Respuesta: En A (2) U (4;∞).

Ejemplo 4 . Para cada valor de parámetro A encontrar el número de raíces de la ecuación ah=8.

Solución. hacha = 8- ecuación lineal.

y = a– familia de líneas horizontales;

y = - La gráfica es una hipérbola. Construyamos gráficas de estas funciones.

Respuesta: si a = 0, entonces la ecuación no tiene soluciones. Si un ≠ 0, entonces la ecuación tiene una solución.

Ejemplo 5 . Usando gráficas, descubre cuántas raíces tiene la ecuación:

|x| = ah – 1.

y =| x | ,

y = ah – 1– la gráfica es una línea recta que pasa por un punto (0;-1).

Construyamos gráficas de estas funciones.

Respuesta: cuando |a|>1- una raíz

en | un |≤1 – la ecuación no tiene raíces.

Ejemplo 6 . Resolver desigualdad hacha + 4 > 2x + a 2

Solución : hacha + 4 > 2x + a 2
(un – 2) x >A 2 – 4. Consideremos tres casos.

Respuesta. x > a + 2 en a > 2; X<а + 2, en A< 2; en un=2 no hay soluciones.

§ 2. Ecuaciones y desigualdades cuadráticas

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma Oh ² + b x + c = 0 , Dónde a ≠ 0,

A, b , Con - opciones.

Para resolver ecuaciones cuadráticas con un parámetro, puede utilizar métodos de solución estándar utilizando las siguientes fórmulas:

1 ) discriminante de una ecuación cuadrática: D = b ² - 4 C.A , (
²- C.A)

2) Fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Las desigualdades cuadráticas se llaman

a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x+c< 0, (1), (2)

a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

El conjunto de soluciones a la desigualdad (3) se obtiene combinando los conjuntos de soluciones a la desigualdad (1) y la ecuación , a X 2 + b x + c = 0. El conjunto de soluciones a la desigualdad (4) se puede encontrar de manera similar.

Si el discriminante de un trinomio cuadrático a X 2 + b x+c es menor que cero, entonces para a > 0 el trinomio es positivo para todo x R.

Si un trinomio cuadrático tiene raíces (x 1 < х 2 ), entonces para a > 0 es positivo en el conjunto(-; x2 )
(X 2; +) y negativo en el intervalo

(x 1; x 2 ). si un< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1; x2 ) y negativo para todo x (-; x1 )
(X 2; +).

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación hacha² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.

Esta es una ecuación cuadrática.

Solución: Significado especial a = 0.

En un = 0 obtenemos una ecuación lineal 2x – 4 = 0. Tiene una sola raíz x = 2.

En un ≠ 0. Encontremos el discriminante.

D = (a-1)² + 4a = (a+1)²

Si a = -1, Eso D = 0 - una raíz.

Encontremos la raíz sustituyendo a = -1.

-x² + 4x – 4= 0, eso es x² -4x + 4 = 0, encontramos eso x=2.

Si un ≠ - 1, Eso D >0 . Usando la fórmula raíz obtenemos:x=
;

X 1 =2,x 2 = -.

Respuesta: En a=0 y a= -1 la ecuación tiene una raíz x = 2; en un ≠ 0 y

A ≠ - 1 ecuación tiene dos raícesX 1 =2,x 2 =-.

Ejemplo 2. Encuentra el número de raíces de esta ecuación. x²-2x-8-a=0 dependiendo de los valores de los parámetros A.

Solución. Reescribamos esta ecuación en la forma x²-2x-8=a

y = x²-2x-8- la gráfica es una parábola;

y =un- una familia de líneas horizontales.

Construyamos gráficas de funciones.

Respuesta: cuando A<-9 , la ecuación no tiene soluciones; cuando a=-9, la ecuación tiene una solución; en a>-9, la ecuación tiene dos soluciones.

Ejemplo 3. ¿En qué? A desigualdad (un – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0¿Se cumple para todos los valores de x?

Solución. Un trinomio cuadrático es positivo para todos los valores de x si

a-3 > 0 y D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, de donde se sigue quea > 6 .

Respuesta.a > 6

§ 3. Ecuaciones racionales fraccionarias con parámetro,

reducible a lineal

El proceso de resolución de ecuaciones fraccionarias se realiza según el esquema habitual: la fracción se reemplaza por un número entero multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común de sus lados izquierdo y derecho. Después de lo cual se resuelve toda la ecuación, excluyendo las raíces extrañas, es decir, los números que convierten el denominador en cero.

En el caso de ecuaciones con parámetro, este problema es más complejo. Aquí, para "eliminar" raíces extrañas, es necesario encontrar el valor del parámetro que convierte el denominador común en cero, es decir, resolver las ecuaciones correspondientes al parámetro.

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación
= 0

Solución: DZ: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

Respuesta: En un ≠ - 2, x=a

En un = -2 no hay raíces.

Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación
-
=
(1)

Esta es una ecuación racional fraccionaria.

Solución: Significado un = 0 es especial. En un = 0 la ecuación no tiene sentido y por tanto no tiene raíces. Si un ≠ 0, luego, después de las transformaciones, la ecuación tomará la forma: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- ecuación cuadrática.

Encontremos el discriminante = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, encontrar las raíces de la ecuaciónX 1 = un + 1, x 2 = un - 3.

Al pasar de la ecuación (1) a la ecuación (2), el dominio de definición de la ecuación (1) se expandió, lo que podría conducir a la aparición de raíces extrañas. Por tanto, la verificación es necesaria.

Examen. Excluyamos de los valores encontrados. X aquellos en los que

x1 +1=0, x1 +2=0, x2 +1=0, x2 +2=0.

Si X 1 +1=0, eso es (un+1) + 1= 0, Eso a = -2. De este modo,

en a = -2 , X 1 -

Si X 1 +2=0, eso es (un+1)+2=0, Eso un = - 3. Así, cuando a = - 3,x 1 - raíz extraña de la ecuación. (1).

Si X 2 +1=0, eso es (un – 3) + 1= 0, Eso un = 2. Así, cuando a = 2 x 2 - raíz extraña de la ecuación (1).

Si X 2 +2=0, eso es ( un – 3) + 2 = 0, Eso un=1. Así, cuando a = 1,

X 2 - raíz extraña de la ecuación (1).

De acuerdo con esto, cuando un = - 3 obtenemos x = - 3 – 3 = -6;

en a = - 2 x = -2 – 3= - 5;

en a = 1 x =1 + 1= 2;

en a = 2x = 2+1 = 3.

Puedes escribir la respuesta.

Respuesta: 1) si un= -3, Eso x= -6; 2) si a = -2, Eso x=-5; 3) si a = 0, entonces no hay raíces; 4) si un = 1, Eso x=2; 5) si un=2, Eso x=3; 6) si a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, luego x 1 = un + 1, x 2 =a-3.

§4. Ecuaciones y desigualdades irracionales

Las ecuaciones y desigualdades en las que la variable está contenida bajo el signo raíz se denominan irracional.

Resolver ecuaciones irracionales se reduce a pasar de una ecuación irracional a una racional exponenciando ambos lados de la ecuación o reemplazando una variable. Cuando ambos lados de la ecuación se elevan a una potencia par, pueden aparecer raíces extrañas. Por lo tanto, al utilizar este método, debes verificar todas las raíces encontradas sustituyéndolas en la ecuación original, teniendo en cuenta los cambios en los valores de los parámetros.

Ecuación de la forma
=g(x) es equivalente al sistema

La desigualdad f (x) ≥ 0 se desprende de la ecuación f (x) = g 2 (x).

Al resolver desigualdades irracionales, usaremos las siguientes transformaciones equivalentes:

≤ gramo(x)


≥g(x)

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación
= x + 1 (3)

Esta es una ecuación irracional.

Solución: Por definición de raíz aritmética, la ecuación (3) es equivalente al sistema
.

En un = 2 la primera ecuación del sistema tiene la forma 0 x = 5, es decir, no tiene soluciones.

En a≠2x=
. Averigüemos a qué valoresA valor encontradoX satisface la desigualdadx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

dónde un ≤ o a > 2.

Respuesta: En a≤, a > 2x=
, en < а ≤ 2 la ecuación no tiene soluciones.

Ejemplo 2. Resuelve la ecuación
= un (Apéndice 4)

Solución. y =

y = un– una familia de líneas horizontales.

Construyamos gráficas de funciones.

Respuesta: en A<0 – no hay soluciones;

en A≥ 0 - una solución.

Ejemplo 3 . Resolvamos la desigualdad.(un+1)
<1.

Solución. O.D.Z. x ≤ 2. Si a+1 ≤0, entonces la desigualdad es válida para todos los valores admisibles X. Si a+1>0, Eso

(un+1)
<1.

<

dónde X (2-
2

Respuesta. X (- ;2en un (-;-1, X (2-
2

en A (-1;+).

§ 5. Ecuaciones y desigualdades trigonométricas.

Aquí están las fórmulas para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples:

Sinx = a
x= (-1) norte arcosen a+πn, n z, ≤1, (1)

porque x = a
x = ±arcos a + 2 πn, n z, ≤1. (2)

Si >1, entonces las ecuaciones (1) y (2) no tienen soluciones.

bronceado x = a
x= arctan a + πn, n Z, un R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, un R

Para cada desigualdad estándar indicamos el conjunto de soluciones:

1. pecado x > a
arcosen a + 2 πn z,

en a <-1, X R ; en a ≥ 1, no hay soluciones.

2. . pecado x< a
π - arcosen a + 2 πnZ,

para a≤-1, no hay soluciones; para a > 1,X R

3. porque X > a
- arccos a + 2 n < X < arccos a + 2 n , norte z ,

en A<-1, X R ; en a ≥ 1 , no hay soluciones.

4. porque x arcocos a+ 2 πnZ,

en a≤-1 , sin soluciones; ena > 1, X R

5. tan x > a, arctan a + πnZ

6.tgx< a, -π/2 + πn Z

Ejemplo 1. Encontrar A, para lo cual esta ecuación tiene solución:

Porque 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Solución. Escribamos la ecuación en la forma

Consistema operativo 2 X + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) =0, resolviéndolo como una cuadrática, obtenemos cosx = 5-A Y cosx = -a-1.

La ecuacion cosx = 5- A tiene soluciones proporcionadas -1≤ 5-A ≤1
4≤ A≤ 6, y la ecuación. cosx = - a-1 proporcionado -1≤ -1-A ≤ 1
-2 ≤ A ≤0.

Respuesta. A -2; 0
4; 6

Ejemplo 2. ¿En qué? bexiste tal que la desigualdad
+ b> 0 se cumple para todo x ≠n , norte z .

Solución. Pongamos A= 0. La desigualdad se cumple para b >0. Demostremos ahora que ningún b ≤0 satisface las condiciones del problema. De hecho, basta con poner x = π /2, Si A <0, и х = - π /2 en A ≥0.

Respuesta.b>0

§ 6. Ecuaciones y desigualdades exponenciales

1. Ecuación h(X) F ( X ) = h(X) gramo ( X) en h(X) > 0 es equivalente a una colección de dos sistemas
Y

2. En el caso especial (h(x)= a ) la ecuacion A f(x) = A g(x) en A> 0, equivale a una colección de dos sistemas

Y

3. Ecuación A f(x) = b , Dónde A > 0, a ≠1, b>0, equivalente a la ecuación

f (x) = iniciar sesión a b . Sucediendo A=1 se consideran por separado.

La solución a las desigualdades exponenciales más simples se basa en la propiedad de la potencia. Desigualdad de la formaF(a X ) > 0 usando cambio de variablet= a X se reduce a resolver el sistema de desigualdades.
y luego a resolver las correspondientes desigualdades exponenciales simples.

Al resolver una desigualdad no estricta, es necesario sumar las raíces de la ecuación correspondiente al conjunto de soluciones de la desigualdad estricta. Como en la resolución de ecuaciones en todos los ejemplos que contienen la expresión A f (x), asumimos A> 0. Caso A= 1 se consideran por separado.

Ejemplo 1 . ¿En qué? A ecuación 8 x =
¿Tiene sólo raíces positivas?

Solución. Por la propiedad de una función exponencial con base mayor que uno, tenemos x>0
8 X >1

>1

>0, de dondea (1,5;4).

Respuesta. a (1,5;4).

Ejemplo 2. Resolver desigualdad a 2 ∙2 X > a

Solución. Consideremos tres casos:

1. A< 0 . Como el lado izquierdo de la desigualdad es positivo y el lado derecho es negativo, la desigualdad es válida para cualquier x R.

2. a=0. No hay soluciones.

3. A > 0 . a 2 ∙2 X > un
2 X >
x > -registro 2 a

Respuesta. X R en A > 0; no hay soluciones para a =0; X (- registro 2 a; +) ena> 0 .

§ 7. Ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Presentemos algunas equivalencias utilizadas para resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

1. La ecuación log f (x) g (x) = log f (x) h (x) es equivalente al sistema

En particular, si A >0, A≠1, entonces

registro a g(x)=log a h(x)

2. La ecuacion registro a g(x)=b
g(x)=a b ( A >0, un ≠ 1, g(x) >0).

3. Desigualdad registro F ( X ) gramo (X) ≤ registro F ( X ) h(X) equivale a una combinación de dos sistemas:
Y

Si un, b son números, a >0, a ≠1, entonces

registro a f(x) ≤ segundo

registro a f(x)>b

Ejemplo 1. Resuelve la ecuación

Solución. Encontremos la ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Transforma la ecuación

registro x – 2 = 4 – registro a X
registro x + registro a X– 6 = 0, de donde registro a X = - 3

x = A-3 y registro a X = 2
x = A 2. Condición x = A 4
A – 3 = A 4 o A 2 = A 4 no se realiza en ODZ.

Respuesta: x = A-3, x = A 2 en A (0; 1)
(1; ).

Ejemplo 2 . Encuentra el mayor valor A, para lo cual la ecuación

2 registro -
+ a = 0 tiene soluciones.

Solución. haremos un reemplazo
= ty obtenemos la ecuación cuadrática 2t 2 – t + a = 0. Resolviendo, encontramosD = 1-8 a . Consideremos D≥0, 1-8 A ≥0
A ≤.

En A = la ecuación cuadrática tiene raízt= >0.

Respuesta. A =

Ejemplo 3 . Resolver desigualdadregistro(X 2 – 2 X + a ) > - 3

Solución. Resolvamos el sistema de desigualdades.

Raíces de trinomios cuadrados x 1,2 = 1±
su 3,4 = 1±
.

Valores de parámetros críticos: A= 1 y A= 9.

Sean X 1 y X 2 los conjuntos de soluciones de la primera y segunda desigualdad, entonces

X1
X 2 = X – solución a la desigualdad original.

A las 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), enA> 1 X 1 = (-;+).

A las 0< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), enA≥9 X 2 – sin soluciones.

Consideremos tres casos:

1. 0< a ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 X – sin soluciones.

Objetivos del examen estatal unificado

Nivel alto C1, C2

Ejemplo 1. Encuentra todos los valores R, para lo cual la ecuación

R ∙ ctg 2x+2senx+ pag= 3 tiene al menos una raíz.

Solución. Transformemos la ecuación.

R ∙ (
- 1) + 2sinx + pag= 3, senx =t, t
,t 0.

- pag+2t+ pag = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = pag .

Dejar F(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Encontremos el conjunto de valores de la función.F(X) en


. en / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. F(-1) = 5, F(1) = 1.

En t
, mi(F) =
,

En t
, mi(F) =
, Eso es cuando t


, mi(F) =
.

A la ecuación 3t 2 – 2 t 3 = pag (de ahí lo dado) tenía al menos una raíz necesaria y suficientepag mi(F), eso es pag
.

Respuesta.
.

Ejemplo 2.

¿En qué valores de parámetros?A la ecuacion registro
(4 X 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 ¿tiene exactamente una raíz?

Solución. Transformemos la ecuación en una equivalente a esta:

4x2 – 4 a + a 2 +7 = (x 2 + 2) 2.

Tenga en cuenta que si un cierto número x es la raíz de la ecuación resultante, entonces el número –x también es la raíz de esta ecuación. Por condición, esto no es factible, por lo que la única raíz es el número 0.

Lo encontraremos A.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Examen.

1) a 1 = 1. Entonces la ecuación queda así:registro
(4 X 2 +4) =2. resolvámoslo

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 es la única raíz.

2) a 2 = 3. La ecuación se ve así:registro
(4 X 2 +4) =2
x = 0 es la única raíz.

Respuesta. 1; 3

Nivel alto C4, C5

Ejemplo 3. Encuentra todos los valores R, para lo cual la ecuación

x2 – ( R+ 3)x + 1= 0 tiene raíces enteras y estas raíces son soluciones a la desigualdad: x 3 – 7 R x 2 + 2 x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.

Solución. sea ​​x 1, X 2 – raíces enteras de la ecuación x 2 – (R + 3)x + 1= 0. Entonces, según la fórmula de Vieta, las igualdades x 1 +x 2 = R + 3,x 1 ∙x 2 = 1. Producto de dos números enteros x 1 , X 2 puede ser igual a uno sólo en dos casos: x 1 =x 2 = 1 ox 1 =x 2 = - 1. Si x 1 =x 2 = 1, entoncesR + 3 = 1+1 = 2
R = - 1; si x 1 =x 2 = - 1, entoncesR + 3 = - 1 – 1 = - 2
R = - 5. Comprobemos si las raíces de la ecuación x 2 – (R + 3)x + 1= 0 en los casos descritos por soluciones a esta desigualdad. Para la ocasiónR = - 1,x 1 =x 2 = 1 tenemos

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – verdadero; para la ocasión R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 tenemos (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – correcto. Entonces, las condiciones del problema se satisfacen sólo R= - 1 y R = - 5.

Respuesta.R 1 = - 1 y R 2 = - 5.

Ejemplo 4. Encuentra todos los valores positivos del parámetro. A, para el cual el número 1 pertenece al dominio de definición de la función

en = (A
- A
).

Tipo de trabajo: 18

Condición

¿Para qué valores del parámetro a la desigualdad

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1¿Se satisface para todos los valores de x?

Mostrar solución

Solución

Esta desigualdad es equivalente a la doble desigualdad. 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Sea \sin x=t , entonces obtenemos la desigualdad:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , que debe ejecutarse para todos los valores de -1 \leq t \leq 1 . Si a=0, entonces la desigualdad (*) es válida para cualquier t\in [-1;1] .

Sea un \neq 0 . La función f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t aumenta en el intervalo [-1;1] , ya que la derivada f"(t)=3t^(2) +4at +5a^(2) > 0 para todos los valores de t \in \mathbb(R) y a \neq 0 (discriminante D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

La desigualdad (*) se cumplirá para t \in [-1;1] bajo las condiciones

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(casos)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(casos)\: \Leftrightarrow \begin(casos) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .

Entonces, la condición se cumple cuando -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Respuesta

\left [ -\frac(2)(5); 0\derecha ]

Fuente: “Matemáticas. Preparación para el Examen del Estado Unificado 2016. Nivel de perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabajo: 18
Tema: Desigualdades con un parámetro.

Condición

Encuentre todos los valores del parámetro a, para cada uno de los cuales la desigualdad

x^2+3|xa|-7x\leqslant -2a

tiene una solución única.

Mostrar solución

Solución

La desigualdad es equivalente a un conjunto de sistemas de desigualdades.

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(casos) \\ \begin(casos)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(casos) \\ \begin(casos)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

En el sistema de coordenadas Oxa, construiremos gráficas de funciones. a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

El conjunto resultante se satisface con los puntos encerrados entre las gráficas de las funciones. a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x en el intervalo x\in (área sombreada).

De la gráfica determinamos: la desigualdad original tiene solución única para a=-4 y a=5, ya que en la zona sombreada habrá un solo punto de ordenada a igual a -4 e igual a 5.

En esta lección estudiaremos el algoritmo para resolver desigualdades con parámetros y aprenderemos a aplicarlo a la hora de resolver este tipo de problemas.

Definición uno.

Resolver una desigualdad con un parámetro significa, para cada valor de parámetro, encontrar el conjunto de todas las soluciones de una desigualdad dada o demostrar que no hay soluciones.

Consideremos desigualdades lineales.

Definición dos.

Desigualdades de la forma a x plus ser mayor que cero, mayor o igual a cero, menor que cero, menor o igual a cero, donde a y be son números reales, X- variables, se denominan desigualdades de primer grado (desigualdades lineales).

Un algoritmo para resolver una desigualdad lineal con un parámetro, por ejemplo, la desigualdad x más ser mayor que cero, donde a y be son números reales, X- variable. Considere los siguientes casos:

Primer caso:a es mayor que cero, entonces x es mayor que menos dividirse por a.

En consecuencia, el conjunto de soluciones a la desigualdad es un rayo numérico abierto desde menos dividir por a hasta más infinito.

Segundo caso:a menor que cero, entonces x es menor que menos dividirse por a

y, por tanto, el conjunto de soluciones a la desigualdad es un rayo numérico abierto desde menos infinito hasta menos dividir por a.

Tercer caso: un es igual a cero, entonces la desigualdad tomará la forma: cero multiplicado por x más será mayor que cero y para cariño mayor que cero, cualquier número real es una solución a la desigualdad, y cuando cariño menor o igual a cero, la desigualdad no tiene soluciones.

Las desigualdades restantes se resuelven de manera similar.

Veamos ejemplos.

Ejercicio 1

Resuelve la desigualdad a x es menor o igual a uno.

Solución

Dependiendo del signo a Consideremos tres casos.

Primer caso: si a es mayor que cero, entonces x es menor o igual a uno dividido por a;

Segundo caso: si a es menor que cero, entonces x es mayor o igual a uno dividido por a;

Tercer caso: si a es igual a cero, entonces la desigualdad tomará la forma: cero multiplicado por x es menor o igual a uno y, por lo tanto, cualquier número real es una solución a la desigualdad original.

Así, si A es mayor que cero, entonces x pertenece al rayo de menos infinito a uno dividido por a.

Si a a igual a cero,

Eso X

Respuesta: si A es mayor que cero, entonces x pertenece al rayo de menos infinito a uno dividido por a;

Si a es menor que cero, entonces x pertenece al rayo de uno dividido por a hasta más infinito, y si a igual a cero,

Eso X x pertenece al conjunto de los números reales.

Tarea 2

Resuelve el módulo de desigualdad x menos dos mayor que menos el cuadrado de la diferencia entre a y uno.

Solución

Tenga en cuenta que el módulo de x menos dos es mayor o igual a cero para cualquier real X y menos el cuadrado de la diferencia entre a y uno es menor o igual a cero para cualquier valor del parámetro a. Por lo tanto, si a es igual a uno, entonces cualquiera X- un número real distinto de dos es una solución a la desigualdad, y si a no es igual a uno, entonces cualquier número real es una solución a la desigualdad.

Respuesta: si a es igual a uno, entonces x pertenece a la unión de dos rayos de números abiertos de menos infinito a dos y de dos a más infinito,

y si a pertenece a la unión de dos rayos de números abiertos de menos infinito a uno y de uno a más infinito, entonces X pertenece al conjunto de los números reales.

Tarea 3

Resuelve la desigualdad tres veces la diferencia de cuatro a y x menos de dos a x más tres.

Solución

Después de transformaciones elementales de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad: x multiplicado por la suma de dos a y tres es mayor que tres multiplicado por la diferencia de cuatro a y uno.

Primer caso: si dos a más tres es mayor que cero, es decir a es mayor que menos tres segundos, entonces x es mayor que una fracción cuyo numerador es tres veces la diferencia de cuatro a y uno, y el denominador es dos a más tres.

Segundo caso: si dos a más tres es menor que cero, es decir a es menor que menos tres segundos, entonces x es menor que una fracción cuyo numerador es tres veces la diferencia de cuatro a y uno, y el denominador es dos a más tres.

Tercer caso: si dos a más tres es igual a cero, es decir a es igual a menos tres segundos,

cualquier número real es una solución a la desigualdad original.

En consecuencia, si a pertenece a la recta numérica abierta desde menos tres segundos hasta más infinito, entonces x

pertenece a una recta numérica abierta de una fracción, cuyo numerador es tres veces la diferencia de cuatro a y uno, y el denominador es dos a más tres, hasta más infinito.

Si a pertenece a la recta numérica abierta desde menos infinito hasta menos tres segundos, entonces x pertenece a la recta numérica abierta desde menos infinito hasta una fracción cuyo numerador es tres veces la diferencia de cuatro a y uno, y el denominador es dos a más tres;

Si a es igual a menos tres segundos, entonces X pertenece al conjunto de los números reales.

Respuesta: si a pertenece a la recta numérica abierta desde menos tres segundos hasta más infinito, entonces x

pertenece a un rayo de números abiertos de una fracción, cuyo numerador es tres veces la diferencia de cuatro a y uno, y el denominador es dos a más tres hasta más infinito;

si a pertenece a la recta numérica abierta desde menos infinito hasta menos tres segundos, entonces x pertenece a la recta numérica abierta desde menos infinito hasta una fracción cuyo numerador es tres veces la diferencia de cuatro a y uno, y el denominador es dos a más tres;

Si a es igual a menos tres segundos, entonces X pertenece al conjunto de los números reales.

Tarea 4

Para todos los valores de parámetros válidos A resuelve la desigualdad raíz cuadrada de x menos a más raíz cuadrada de dos a menos x más raíz cuadrada de a menos uno más raíz cuadrada de tres menos a sobre cero.

Solución

Encontremos el dominio de definición del parámetro. A. Está determinado por un sistema de desigualdades, resolviendo el cual encontramos que a pertenece al segmento del uno al tres.

Esta desigualdad equivale a un sistema de desigualdades, resolviendo lo cual encontramos que x pertenece al segmento de a a dos a.

Si a pertenece al segmento de uno a tres, entonces la solución a la desigualdad original es el segmento de a a dos a.

Respuesta: si a pertenece al segmento del uno al tres, toix pertenece al segmento del a al dos a.

Tarea 5

Encuentra todos A, para lo cual la desigualdad

la raíz cuadrada de x al cuadrado menos x menos dos más la raíz cuadrada de una fracción cuyo numerador es dos menos x y el denominador es x más cuatro mayor o igual a a x más dos menos la raíz cuadrada de una fracción cuyo numerador es x más uno y el denominador es cinco menos x no tiene solución.

Solución

Primero. Calculemos el dominio de definición de esta desigualdad. Está determinada por un sistema de desigualdades cuya solución son dos números: x es igual a menos uno y x es igual a dos.

Segundo. Encontremos todos los valores de a para los cuales esta desigualdad tiene soluciones. Encontraremos todo para esto. A, para el cual x es igual a menos uno y x es igual a dos: esta es la solución a esta desigualdad. Consideremos y resolvamos un conjunto de dos sistemas. La solución es combinar dos rayos numéricos desde menos infinito hasta menos la mitad y desde uno hasta más infinito.

Esto significa que esta desigualdad tiene solución si a pertenece a la unión de dos rayos numéricos de menos

infinito hasta menos la mitad y desde uno hasta más infinito.

Tercero. En consecuencia, esta desigualdad no tiene solución si a pertenece al intervalo de menos la mitad a uno.

Respuesta: la desigualdad no tiene solución si a pertenece al intervalo de menos la mitad a uno.