función monótona es una función que cambia en la misma dirección.

Función aumenta si el mayor valor del argumento corresponde al mayor valor de la función. En otras palabras, si a medida que aumenta el valor X significado y también aumenta, entonces es una función creciente.

Función decreciente si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función. En otras palabras, si a medida que aumenta el valor X significado y decrece, entonces es una función decreciente.

Si una función es creciente o decreciente en algún intervalo, entonces se llama monótona en ese intervalo.

Función constante (no monótono) , si no disminuye y no aumenta.

Teorema(criterio necesario para la monotonicidad):

1. Si una función diferenciable f(x) crece en algún intervalo, entonces su derivada en este intervalo no es negativa, es decir

2. Si una función diferenciable f(x) decrece en algún intervalo, entonces su derivada en este intervalo no es positiva, .

3. Si la función no cambia, entonces su derivada es igual a cero, es decir .

Teorema(signo suficiente de monotonicidad):

Sea f(x) continua en el intervalo (a;b) y derivada en todos los puntos, entonces:

1. Si dentro de (a;b) es positivo, entonces f(x) aumenta.

2. Si dentro de (a;b) es negativo, entonces f(x) es decreciente.

3. Si , entonces f(x) es constante.

Investigación de una función para extremos.

extremo- el valor máximo o mínimo de la función en un conjunto dado. El punto en el que se alcanza el extremo se llama punto extremo. En consecuencia, si se alcanza el mínimo, el punto extremo se llama punto mínimo, y si se alcanza el máximo, punto máximo.

1. Encuentra el dominio de la función y los intervalos en los que la función es continua.

2. Encuentra la derivada.

3. Encuentre puntos críticos, es decir. puntos en los que la derivada de una función es cero o no existe.

4. En cada uno de los intervalos en que se divide el dominio de definición por puntos críticos, determine el signo de la derivada y la naturaleza del cambio en la función.

5. Para cada punto crítico, determine si es el máximo, el mínimo exacto o no es un punto extremo.

Registrar el resultado del estudio de la función intervalos de monotonicidad y extremum.

El mayor y el menor valor de la función.

Esquema para encontrar los valores mayor y menor de una función continua en un segmento.

1. Encuentra la derivada.

2. Encuentra puntos críticos en el segmento dado.

3. Calcular el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento.

4. De los valores calculados, elija el más pequeño y el más grande.

Convexidad y concavidad de una función.

Un arco se dice convexo si corta cualquiera de sus secantes en no más de dos puntos.

Las líneas formadas por una convexidad hacia arriba se llaman convexas, y las formadas por una convexidad hacia abajo se llaman cóncavas.

Es geométricamente claro que un arco convexo se encuentra debajo de cualquiera de sus tangentes, y un arco cóncavo se encuentra por encima de la tangente.

Función puntos de inflexión.

Un punto de inflexión es un punto en una línea que separa un arco convexo de uno cóncavo.

En el punto de inflexión, la tangente cruza la línea; en la vecindad de este punto, la línea se encuentra a ambos lados de la tangente.

El intervalo de disminución de la primera derivada corresponde a la sección de convexidad de la función gráfica, y el intervalo de aumento corresponde a la sección de concavidad.

Teorema(sobre los puntos de inflexión):

Si la segunda derivada es negativa en todo el intervalo, entonces el arco de la recta y = f(x) correspondiente a este intervalo es convexo. Si la segunda derivada es positiva en todo el intervalo, entonces el arco de la recta y = f(x) correspondiente a este intervalo es cóncavo.

Signo requerido del punto de inflexión:

Si es la abscisa del punto de inflexión, entonces o no existe.

Signo suficiente del punto de inflexión:

El punto es el punto de inflexión de la recta y = f(x), si , a ;

Cuando a la izquierda se encuentra una sección de convexidad, a la derecha, una sección de concavidad, y cuando a la izquierda se encuentra una sección de concavidad, y a la derecha, una convexidad.

Asíntotas.

Definición.

Una asíntota de la gráfica de una función es una línea recta que tiene la propiedad de que la distancia desde el punto de la gráfica de la función hasta esta línea tiende a cero con una distancia ilimitada desde el origen del punto de la gráfica.

Tipos de asíntotas:

1. La recta se llama asíntota vertical de la gráfica de la función y=f(x) si al menos uno de los valores directos o igual o .

Conjunto numérico X cuenta simétrico relativo a cero, si para cualquier XЄ X significado - X también pertenece al conjunto X.

Función y = F(XX, cuenta incluso X XЄ X, F(X) = F(-X).

Para una función par, la gráfica es simétrica con respecto al eje y.

Función y = F(X), que se entrega en el set X, cuenta extraño, si se cumplen las siguientes condiciones: a) el conjunto X simétrico alrededor de cero; b) para cualquier XЄ X, F(X) = -F(-X).

Para una función impar, la gráfica es simétrica con respecto al origen.

Función en = F(X), XЄ X, se llama periódico en X si hay un numero T (T ≠ 0) (período funciones) que se cumplen las siguientes condiciones:

• X - T Y X + T desde muchos X para cualquiera XЄ X;
• para cualquiera XЄ X, F(X + T) = F(X - T) = F(X).

en caso de que T es el periodo de la función, entonces cualquier número de la forma monte, Dónde metroЄ Z, metro≠ 0, este es también el período de esta función. El menor de los períodos positivos de una función dada (si existe) se denomina período principal.

en caso de que T- el período principal de la función, luego para construir su gráfico, puede construir una parte del gráfico en cualquiera de los intervalos del área de definición de longitud T, y luego haga una traslación paralela de esta sección del gráfico a lo largo del eje O X a ± T, ±2 T, ....

Función y = F(X), delimitado desde abajo En el set X A, que para cualquier XЄ X, A ≤ F(X). Gráfica de una función que está acotada por abajo en el conjunto X, se encuentra completamente por encima de la línea en = A(esta es una línea horizontal).

Función en = F(X), limitado desde arriba En el set X(al mismo tiempo, debe estar definido en este conjunto), si hay un número EN, que para cualquier XЄ X, F(X) ≤ EN. La gráfica de una función que está acotada por arriba en el conjunto X está completamente por debajo de la línea en = EN(esta es una línea horizontal).

La función se considera limitado En el set X(al mismo tiempo, debe definirse en este conjunto) si está limitado en este conjunto por arriba y por abajo, es decir, hay tales números A Y EN, que para cualquier XЄ X las desigualdades A ≤ F(X) ≤ B. Gráfica de una función que está acotada en un conjunto X, se encuentra completamente entre las rectas en = A Y en = EN(Estas son líneas horizontales).

Función en = F (X) se considera acotado en el conjunto X(al mismo tiempo, debe estar definido en este conjunto), si hay un número CON> 0, que para cualquier XЄ X, │F(X)│≤ CON.

Función en = F(X), XЄ X, se llama creciente (no decreciente) en un subconjunto METRO CON X cuando por cada X 1 y X 2 de METRO tal que X 1 < X 2, justo F(X 1) < F(X 2) (F(X 1) ≤ F(X 2)). O la función y se llama creciente En el set A, si el valor mayor del argumento de este conjunto corresponde al valor mayor de la función.

Función en = F(X), XЄX se llama decreciente (no creciente) en un subconjunto METRO CON X cuando por cada X 1 y X 2 de METRO tal que X 1 < X 2, justo F(X 1) > F(X 2) (F(X 1) ≥ F(X 2)). o función en se llama decreciente en el conjunto A, si el valor mayor del argumento de este conjunto corresponde al valor menor de la función.

Función en = F(X), XЄ X, se llama monótono en un subconjunto METRO CON X, si es decreciente (no creciente) o creciente (no decreciente) en METRO.

Si la función en = F(X), XЄ X, es decreciente o creciente en un subconjunto METRO CON X, entonces tal función se llama estrictamente monótono En el set METRO.

Número METRO llamado el mayor valor de la función estás en el set A, si este número es el valor de la función en un cierto valor de x 0 conjunto de argumentosA, y para otros valores del argumento del conjunto K, los valores de la función y no son mayores que el númeroMETRO.

Número metro llamado el valor más pequeño funciones y en el set A si este número es el valor de la función en un cierto valor X 0 argumentos del conjunto A, y para otros valores del argumento x del conjunto A el valor de la función y no es menor que un número metro.

Principales propiedades de la función , con lo que es mejor iniciar su estudio e investigación es el ámbito de su definición y significado. Debe recordarse cómo se representan los gráficos de funciones elementales. Solo entonces podrá pasar a la construcción de gráficos más complejos. El tema "Funciones" tiene amplias aplicaciones en economía y otros campos del conocimiento. Las funciones se estudian a lo largo del curso de matemáticas y se continúan estudiando en instituciones de educación superior . Allí se estudian funciones usando la primera y segunda derivada.

Que no cambia de signo, es decir, siempre no negativo o siempre no positivo. Si además el incremento es distinto de cero, entonces la función se llama estrictamente monótono. Una función monótona es una función que varía en la misma dirección.

La función aumenta si el valor mayor del argumento corresponde al valor mayor de la función. La función es decreciente si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función.

Definiciones

Sea una función entonces

. . . .

Se dice que una función (estrictamente) creciente o decreciente es (estrictamente) monótona.

Otra terminología

A veces las funciones crecientes se llaman no decreciente, y funciones decrecientes no creciente. Las funciones estrictamente crecientes se llaman entonces simplemente crecientes, y las funciones estrictamente decrecientes son simplemente decrecientes.

Propiedades de las funciones monótonas

Función Monotonicidad Condiciones

Lo contrario generalmente no es cierto. La derivada de una función estrictamente monótona puede desaparecer. Sin embargo, el conjunto de puntos donde la derivada no es igual a cero debe ser denso en el intervalo, más precisamente, tenemos

De manera similar, decrece estrictamente en un intervalo si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

Ejemplos

ver también

Fundación Wikimedia. 2010 .

Vea qué es "Función monótona" en otros diccionarios:

función monótona- - una función f (x), que puede ser creciente en un determinado intervalo (es decir, cuanto mayor sea el valor del argumento en este intervalo, mayor será el valor de la función), o decreciente (en el caso contrario) . ... ...

Una función que, cuando el argumento aumenta, o siempre aumenta (o al menos no disminuye), o siempre disminuye (no aumenta)... Gran diccionario enciclopédico

- (función monotonía) Una función en la que a medida que crece el valor del argumento, el valor de la función siempre cambia en la misma dirección. Por lo tanto, si y=f(x), entonces dy/dx 0 para todos los valores de x, en cuyo caso y es creciente... ... Diccionario económico

- (del griego monótonos monofónico) una función cuyos incrementos Δf(x) = f(x') f(x) no cambian de signo para Δx = x' x > 0, es decir, siempre no negativos o siempre no positivos . Hablando con poca precisión, M. f. estas son funciones que cambian en ... ... Gran enciclopedia soviética

Una función que, cuando el argumento aumenta, siempre aumenta (o al menos no disminuye) o siempre disminuye (no aumenta). * * * FUNCIÓN MONÓTONA FUNCIÓN MONÓTONA, una función que, cuando el argumento aumenta, siempre aumenta (o ... ... diccionario enciclopédico

Una función de una variable, definida en un determinado subconjunto de números reales, el incremento de n en no cambia de signo, es decir, siempre es no negativo o siempre no positivo. Si es estrictamente mayor que (menor que) cero, entonces M. f. llamado… … Enciclopedia Matemática

Una función que, cuando el argumento aumenta, o siempre aumenta (o al menos no disminuye), o siempre disminuye (no aumenta)... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

Esta es una sucesión cuyos elementos no disminuyen al aumentar el número o, por el contrario, no aumentan. Tales secuencias se encuentran a menudo en la investigación y tienen una serie de características distintivas y propiedades adicionales. ... ... Wikipedia

función- Un equipo o grupo de personas, y las herramientas u otros recursos que utilizan para llevar a cabo uno o más procesos o actividades. Por ejemplo, atención al cliente. Este término también tiene otro significado: ... ... Manual del traductor técnico

Función- 1. Variable dependiente; 2. Correspondencia y \u003d f (x) entre variables, por lo que cada valor considerado de una cierta cantidad x (argumento o variable independiente) corresponde a un cierto valor ... ... Diccionario económico y matemático

Def.: Una función se dice creciente en un cierto intervalo si en este intervalo cada valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función.

Def.: Una función se dice decreciente en un cierto intervalo si en este intervalo cada valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función.

A medida que aumenta . Del mismo modo, las funciones decrecientes se denominan monótonas.

Si la función no es monótona, entonces su dominio de definición se puede dividir en un número finito de intervalos de monotonicidad, que pueden alternar con intervalos de constancia de la función.

La monotonicidad de una función y = f(x) se caracteriza por el signo de su primera derivada f ¤ (x), es decir, si en algún intervalo f ¤ (x) > 0, entonces la función crece en ese intervalo si en algún intervalo f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

Encontrar intervalos de monotonicidad de la función y = f(x) se reduce a encontrar intervalos de signo constante de su primera derivada f ¤ (x).

De aquí obtenemos una regla para encontrar intervalos de monotonicidad de la función y = f(x)

1. Encuentra ceros y puntos de discontinuidad f ¤ (x).

2. Determinar por método de prueba el signo de f ¤ (x) en los intervalos en que los puntos obtenidos en el ítem 1 dividen el dominio de definición de la función f(x).

Ejemplo:

Encuentre intervalos de monotonicidad de la función y \u003d - x 2 + 10x + 7

Encontremos f ¤ (x). y¢ = -2x +10

El punto en el que y¢ = 0 es uno y divide el dominio de la función en los siguientes intervalos: (– ∞,5) Y (5 ,+ ∞), en cada uno de los cuales y¢ conserva un signo constante. Sustituyamos valores específicos de la función en estos intervalos y determinemos el signo de y¢ en los intervalos indicados, entonces:

en el intervalo (–∞.5] y¢ > 0,

la función crece en el intervalo, y en el intervalo AND (3 ,+ ∞), en cada uno de los cuales y¢ conserva un signo constante. Sustituye en estos intervalos los valores específicos de la función y determina el signo de y¢ en los intervalos indicados, entonces.

función monótona es una funcion incremento que no cambia de signo, es decir, siempre no negativo o siempre no positivo. Si además el incremento es distinto de cero, entonces la función se llama estrictamente monótono. Una función monótona es una función que varía en la misma dirección.

La función aumenta si el valor mayor del argumento corresponde al valor mayor de la función. La función es decreciente si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función.

Sea una función entonces

Se dice que una función (estrictamente) creciente o decreciente es (estrictamente) monótona.

Definición de extremo

Una función y = f(x) se llama creciente (decreciente) en algún intervalo si para x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Si una función diferenciable y = f(x) en un segmento crece (decrece), entonces su derivada en este segmento f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Un punto xо se llama punto de máximo (mínimo) local de la función f(x) si existe una vecindad del punto xо, para todos los puntos cuya desigualdad f(x) ≤ f(xо) (f(x ) ≥ f(xо)) es verdadera.

Los puntos de máximo y mínimo se llaman puntos extremos, y los valores de la función en estos puntos se llaman sus puntos extremos.

puntos extremos

Condiciones necesarias para un extremum. Si el punto xo es un punto extremo de la función f (x), entonces f "(xo) \u003d 0, o f (xo) no existe. Dichos puntos se denominan críticos, y la función en sí misma se define en el punto critico Entre sus puntos criticos se deben buscar los extremos de la funcion.

La primera condición suficiente. Sea xo un punto crítico. Si f "(x) cambia de signo de más a menos al pasar por el punto xo, entonces la función tiene un máximo en el punto xo, en caso contrario tiene un mínimo. Si la derivada no cambia de signo al pasar por el punto crítico, entonces no hay extremo en el punto xo.

La segunda condición suficiente. Sea la función f(x) una derivada f"(x) en la vecindad del punto xo y una segunda derivada en el mismo punto xo. Si f"(xo) = 0, > 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

En un segmento, la función y = f(x) puede alcanzar su valor mínimo o máximo en puntos críticos o en los extremos del segmento.

7. Intervalos de convexidad, concavidad de una función .Puntos de inflexión.

Gráfico de función y=f(x) llamado convexo en el intervalo (a; b), si se encuentra por debajo de cualquiera de sus tangentes en este intervalo. Gráfico de función y=f(x) llamado cóncavo en el intervalo (a; b), si se encuentra por encima de cualquiera de sus tangentes en este intervalo. La figura muestra una curva convexa en (a; b) y cóncava a (antes de Cristo). Ejemplos. Considere un signo suficiente que le permita determinar si la gráfica de una función en un intervalo dado será convexa o cóncava. Teorema. Dejar y=f(x) diferenciable por (a; b). Si en todos los puntos del intervalo (a; b) segunda derivada de la función y = f(x) negativo, es decir F""(X) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же F""(X) > 0 es cóncavo. Prueba. Supongamos por definición que F""(X) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Tomar en el gráfico de función y = f(x) punto arbitrario METRO 0 con abscisas X 0  (a; b) y dibujar a través del punto METRO 0 tangente. Su ecuación. Debemos demostrar que la gráfica de la función en (a; b) se encuentra debajo de esta tangente, es decir con el mismo valor X curva ordenada y = f(x) será menor que la ordenada de la tangente.

Función punto de inflexión

Este término también tiene otros significados. punto de inflexión.

Función punto de inflexión punto interior dominios, tal que es continua en ese punto, hay una derivada infinita finita o de signo definido en ese punto, y es tanto el final de un intervalo estrictamente convexo hacia arriba como el comienzo de un intervalo estrictamente convexo hacia abajo, o viceversa.

No oficial

En este caso, el punto es punto de inflexión gráfico de función, es decir, el gráfico de la función en el punto "curva" a través de tangente a ella en este punto: para , la tangente se encuentra debajo de la gráfica y unida arriba de la gráfica (o viceversa)

Condiciones de existencia

Una condición necesaria para la existencia de un punto de inflexión: si una función f(x), que es dos veces derivable en alguna vecindad del punto , tiene un punto de inflexión, entonces.

Una condición suficiente para la existencia de un punto de inflexión: si una función es continuamente diferenciable en alguna vecindad del punto por e impar y, uy a, entonces la función tiene un punto de inflexión.