Muy fácil de recordar.
Bueno, no vayamos muy lejos, consideremos inmediatamente la función inversa. ¿Qué función es la inversa de la función exponencial? Logaritmo:
En nuestro caso, la base es el número:
Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con base) se llama "natural" y usamos una notación especial para él: en su lugar, escribimos.
¿A qué es igual? Por supuesto, .
La derivada del logaritmo natural también es muy sencilla:
Ejemplos:
- Encuentra la derivada de la función.
- ¿Cuál es la derivada de la función?
Respuestas: Los logaritmos exponencial y natural son funciones singularmente simples desde una perspectiva derivativa. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de repasar las reglas de derivación.
Reglas de diferenciación
¿Reglas de qué? ¡¿Otra vez un nuevo término, otra vez?!...
Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.
Eso es todo. ¿Cómo más se puede llamar a este proceso en una palabra? No derivada... Los matemáticos llaman diferencial al mismo incremento de una función en. Este término proviene del latín diferencial - diferencia. Aquí.
Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:
Hay 5 reglas en total.
La constante se quita del signo de la derivada.
Si - algún número constante (constante), entonces.
Obviamente, esta regla también sirve para la diferencia: .
Demostrémoslo. Déjalo así, o más sencillo.
Ejemplos.
Encuentra las derivadas de las funciones:
- en un punto;
- en un punto;
- en un punto;
- en el punto.
Soluciones:
- (la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);
Derivado del producto
Aquí todo es similar: introduzcamos una nueva función y encontremos su incremento:
Derivado:
Ejemplos:
- Encuentra las derivadas de las funciones y;
- Encuentra la derivada de la función en un punto.
Soluciones:
Derivada de una función exponencial
Ahora tus conocimientos son suficientes para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no sólo de los exponentes (¿ya has olvidado qué es eso?).
Entonces, ¿dónde está algún número?
Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos reducir nuestra función a una nueva base:
Para hacer esto, usaremos una regla simple: . Entonces:
Bueno, funcionó. Ahora intenta encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.
¿Sucedió?
Aquí, compruébalo tú mismo:
La fórmula resultó ser muy similar a la derivada de un exponente: tal como estaba, sigue igual, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.
Ejemplos:
Encuentra las derivadas de las funciones:
Respuestas:
Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, no se puede escribir de una forma más simple. Por tanto, lo dejamos así en la respuesta.
Tenga en cuenta que aquí está el cociente de dos funciones, por lo que aplicamos la regla de diferenciación correspondiente:
En este ejemplo, el producto de dos funciones:
Derivada de una función logarítmica
Aquí es similar: ya conoces la derivada del logaritmo natural:
Por tanto, para encontrar un logaritmo arbitrario con diferente base, por ejemplo:
Necesitamos reducir este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:
Sólo que ahora escribiremos en su lugar:
El denominador es simplemente una constante (un número constante, sin variable). La derivada se obtiene de forma muy sencilla:
Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas casi nunca se encuentran en el Examen Estatal Unificado, pero no será superfluo conocerlas.
Derivada de una función compleja.
¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arcotangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si te resulta difícil el logaritmo, lee el tema “Logaritmos” y estarás bien), pero desde un punto de vista matemático, la palabra “complejo” no significa “difícil”.
Imaginemos una pequeña cinta transportadora: dos personas están sentadas y realizan algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. El resultado es un objeto compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer una barra de chocolate, debes realizar los pasos inversos en orden inverso.
Creemos una tubería matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltorio) y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué pasó? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando, para encontrar su valor, realizamos la primera acción directamente con la variable, y luego una segunda acción con lo resultante de la primera.
En otras palabras, una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .
Para nuestro ejemplo, .
Podemos hacer fácilmente los mismos pasos en orden inverso: primero lo elevas al cuadrado y luego busco el coseno del número resultante: . Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, la función cambia.
Segundo ejemplo: (lo mismo). .
La acción que hagamos en último lugar se llamará función "externa", y la acción realizada primero, en consecuencia función "interna"(Estos son nombres informales, los uso sólo para explicar el material en un lenguaje sencillo).
Intente determinar usted mismo qué función es externa y cuál interna:
Respuestas: Separar funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en una función
- ¿Qué acción realizaremos primero? Primero, calculemos el seno y solo luego lo elevamos al cubo. Esto quiere decir que es una función interna, pero externa.
Y la función original es su composición: . - Interno: ; externo: .
Examen: . - Interno: ; externo: .
Examen: . - Interno: ; externo: .
Examen: . - Interno: ; externo: .
Examen: .
Cambiamos variables y obtenemos una función.
Bueno, ahora extraeremos nuestra barra de chocolate y buscaremos el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. En relación con el ejemplo original, se ve así:
Otro ejemplo:
Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:
Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:
Parece sencillo, ¿verdad?
Comprobemos con ejemplos:
Soluciones:
1) Interno: ;
Externo: ;
2) Interno: ;
(¡Pero no intentes cortarlo ahora! No sale nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)
3) Interno: ;
Externo: ;
Inmediatamente queda claro que esta es una función compleja de tres niveles: después de todo, esto ya es una función compleja en sí misma, y también le extraemos la raíz, es decir, realizamos la tercera acción (poner el chocolate en un envoltorio y con una cinta en el maletín). Pero no hay por qué tener miedo: todavía “desempaquetaremos” esta función en el mismo orden habitual: desde el final.
Es decir, primero derivamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.
En tales casos conviene numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:
Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones es la misma que antes:
Aquí el anidamiento suele ser de 4 niveles. Determinemos el curso de acción.
1. Expresión radical. .
2. Raíz. .
3. Seno. .
4. Cuadrado. .
5. Poniéndolo todo junto:
DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
Derivada de una función- la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento:
Derivados básicos:
Reglas de diferenciación:
La constante se saca del signo de la derivada:
Derivada de la suma:
Derivado del producto:
Derivada del cociente:
Derivada de una función compleja:
Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:
- Definimos la función "interna" y encontramos su derivada.
- Definimos la función "externa" y encontramos su derivada.
- Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.
¿Sientes que todavía falta mucho tiempo para el examen? ¿Es esto un mes? ¿Dos? ¿Año? La práctica demuestra que un estudiante afronta mejor un examen si comienza a prepararse con antelación. Hay muchas tareas difíciles en el Examen Estatal Unificado que impiden que los escolares y futuros solicitantes obtengan las puntuaciones más altas. Es necesario aprender a superar estos obstáculos y, además, no es difícil hacerlo. Debe comprender el principio de trabajar con diversas tareas a partir de tickets. Entonces no habrá problemas con los nuevos.
A primera vista, los logaritmos parecen increíblemente complejos, pero con un análisis detallado la situación se vuelve mucho más sencilla. Si quieres aprobar el Examen Estatal Unificado con la puntuación más alta, debes entender el concepto en cuestión, que es lo que te proponemos hacer en este artículo.
Primero, separemos estas definiciones. ¿Qué es un logaritmo (log)? Este es un indicador de la potencia a la que se debe elevar la base para obtener el número especificado. Si no queda claro, veamos un ejemplo elemental.
En este caso, la base de abajo debe elevarse a la segunda potencia para obtener el número 4.
Ahora veamos el segundo concepto. La derivada de una función en cualquier forma es un concepto que caracteriza el cambio de una función en un punto dado. Sin embargo, este es un plan de estudios escolar, y si tienes problemas con estos conceptos individualmente, vale la pena repetir el tema.
Derivada del logaritmo
En las tareas del Examen Estatal Unificado sobre este tema, puede dar varias tareas como ejemplo. Para empezar, la derivada logarítmica más simple. Es necesario encontrar la derivada de la siguiente función.
Necesitamos encontrar la siguiente derivada.
Hay una fórmula especial.
En este caso x=u, log3x=v. Sustituimos los valores de nuestra función en la fórmula.
La derivada de x será igual a uno. El logaritmo es un poco más difícil. Pero entenderás el principio si simplemente sustituyes los valores. Recuerde que la derivada de lg x es la derivada del logaritmo decimal y la derivada de ln x es la derivada del logaritmo natural (basado en e).
Ahora simplemente ingrese los valores resultantes en la fórmula. Pruébelo usted mismo y luego comprobaremos la respuesta.
¿Cuál podría ser el problema aquí para algunos? Introdujimos el concepto de logaritmo natural. Hablemos de ello y, al mismo tiempo, descubramos cómo resolver los problemas. No verá nada complicado, especialmente cuando comprenda el principio de su funcionamiento. Deberías acostumbrarte, ya que se usa mucho en matemáticas (más aún en instituciones de educación superior).
Derivada del logaritmo natural
En esencia, es la derivada del logaritmo en base e (que es un número irracional que es aproximadamente 2,7). De hecho, ln es muy simple, por lo que se usa a menudo en matemáticas en general. En realidad, solucionar el problema con él tampoco será un problema. Vale recordar que la derivada del logaritmo natural en base e será igual a uno dividido por x. La solución al siguiente ejemplo será la más reveladora.
Imaginémosla como una función compleja que consta de dos simples.
basta con convertir
Buscamos la derivada de u con respecto a x.
Sigamos con el segundo.
Usamos el método de resolver la derivada de una función compleja sustituyendo u=nx.
¿Que pasó al final?
Ahora recordemos qué significa n en este ejemplo. Es cualquier número que puede aparecer delante de x en el logaritmo natural. Es importante que comprendas que la respuesta no depende de ella. Sustituye lo que quieras, la respuesta seguirá siendo 1/x.
Como puede ver, aquí no hay nada complicado, solo necesita comprender el principio para resolver problemas sobre este tema de manera rápida y efectiva. Ahora que ya conoces la teoría, sólo te queda ponerla en práctica. Practique la resolución de problemas para recordar durante mucho tiempo el principio de su solución. Quizás no necesites este conocimiento después de graduarte de la escuela, pero en el examen será más relevante que nunca. ¡Buena suerte para ti!
Prueba y derivación de fórmulas para la derivada del logaritmo natural y el logaritmo en base a. Ejemplos de cálculo de derivadas de ln 2x, ln 3x y ln nx. Prueba de la fórmula para la derivada del logaritmo de enésimo orden mediante el método de inducción matemática.
ContenidoVer también: Logaritmo: propiedades, fórmulas, gráfico
Logaritmo natural: propiedades, fórmulas, gráfico
Derivación de fórmulas para las derivadas del logaritmo natural y del logaritmo en base a
La derivada del logaritmo natural de x es igual a uno dividido por x:
(1)
(lnx)′ =.
La derivada del logaritmo en base a es igual a uno dividido por la variable x multiplicada por el logaritmo neperiano de a:
(2)
(log ax)′ =.
Prueba
Sea algún número positivo distinto de uno. Considere una función que depende de una variable x, que es un logaritmo en la base:
.
Esta función se define en . Encontremos su derivada con respecto a la variable x. Por definición, la derivada es el siguiente límite:
(3)
.
Transformemos esta expresión para reducirla a propiedades y reglas matemáticas conocidas. Para ello necesitamos conocer los siguientes hechos:
A) Propiedades del logaritmo. Necesitaremos las siguientes fórmulas:
(4)
;
(5)
;
(6)
;
B) Continuidad del logaritmo y propiedad de límites para una función continua:
(7)
.
Aquí hay una función que tiene un límite y este límite es positivo.
EN) El significado del segundo límite destacable:
(8)
.
Apliquemos estos hechos a nuestro límite. Primero transformamos la expresión algebraica.
.
Para ello aplicamos las propiedades (4) y (5).
.
Usemos la propiedad (7) y el segundo límite destacable (8):
.
Y finalmente aplicamos la propiedad (6):
.
Logaritmo a base mi llamado logaritmo natural. Se designa de la siguiente manera:
.
Entonces ;
.
Así, obtuvimos la fórmula (2) para la derivada del logaritmo.
Derivada del logaritmo natural
Una vez más escribimos la fórmula para la derivada del logaritmo en base a:
.
Esta fórmula tiene la forma más simple para el logaritmo natural, para el cual,. Entonces
(1)
.
Debido a esta simplicidad, el logaritmo natural es muy utilizado en el análisis matemático y en otras ramas de las matemáticas relacionadas con el cálculo diferencial. Las funciones logarítmicas con otras bases se pueden expresar en términos del logaritmo natural usando la propiedad (6):
.
La derivada del logaritmo con respecto a la base se puede encontrar a partir de la fórmula (1), si se quita la constante del signo de diferenciación:
.
Otras formas de demostrar la derivada de un logaritmo
Aquí suponemos que conocemos la fórmula para la derivada del exponencial:
(9)
.
Luego podemos derivar la fórmula para la derivada del logaritmo natural, dado que el logaritmo es la función inversa de la exponencial.
Demostremos la fórmula de la derivada del logaritmo natural, aplicando la fórmula para la derivada de la función inversa:
.
En nuestro caso . La función inversa al logaritmo natural es la exponencial:
.
Su derivada está determinada por la fórmula (9). Las variables se pueden designar con cualquier letra. En la fórmula (9), reemplace la variable x con y:
.
Desde entonces
.
Entonces
.
La fórmula está probada.
Ahora demostramos la fórmula de la derivada del logaritmo natural usando reglas para diferenciar funciones complejas. Dado que las funciones y son inversas entre sí, entonces
.
Diferenciamos esta ecuación con respecto a la variable x:
(10)
.
La derivada de x es igual a uno:
.
Aplicamos la regla de diferenciación de funciones complejas:
.
Aquí . Sustituyamos en (10):
.
De aquí
.
Ejemplo
encontrar derivadas de En 2x, en 3x Y lnx.
Las funciones originales tienen una forma similar. Por lo tanto encontraremos la derivada de la función. y = log nx. Luego sustituimos n = 2 y n = 3. Y, así, obtenemos fórmulas para las derivadas de en 2x Y en 3x .
Entonces buscamos la derivada de la función.
y = log nx
.
Imaginemos esta función como una función compleja que consta de dos funciones:
1)
Funciones dependiendo de una variable: ;
2)
Funciones dependiendo de una variable: .
Entonces la función original se compone de las funciones y:
.
Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable x:
.
Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable:
.
Aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.
.
Aquí lo configuramos.
Entonces encontramos:
(11)
.
Vemos que la derivada no depende de n. Este resultado es bastante natural si transformamos la función original usando la fórmula del logaritmo del producto:
.
- esto es una constante. Su derivada es cero. Entonces, según la regla de derivación de la suma, tenemos:
.
; ; .
Derivada del logaritmo del módulo x
Encontremos la derivada de otra función muy importante: el logaritmo natural del módulo x:
(12)
.
Consideremos el caso. Entonces la función se ve así:
.
Su derivada está determinada por la fórmula (1):
.
Ahora consideremos el caso. Entonces la función se ve así:
,
Dónde .
Pero también encontramos la derivada de esta función en el ejemplo anterior. No depende de n y es igual a
.
Entonces
.
Combinamos estos dos casos en una fórmula:
.
En consecuencia, para el logaritmo en base a, tenemos:
.
Derivadas de órdenes superiores del logaritmo natural
Considere la función
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(13)
.
Encontremos la derivada de segundo orden:
.
Encontremos la derivada de tercer orden:
.
Encontremos la derivada de cuarto orden:
.
Puedes observar que la derivada de enésimo orden tiene la forma:
(14)
.
Probemos esto por inducción matemática.
Prueba
Sustituyamos el valor n = 1 en la fórmula (14):
.
Desde entonces cuando n = 1
, la fórmula (14) es válida.
Supongamos que la fórmula (14) se cumple para n = k. Probemos que esto implica que la fórmula es válida para n = k + 1 .
De hecho, para n = k tenemos:
.
Derivar con respecto a la variable x:
.
Entonces obtuvimos:
.
Esta fórmula coincide con la fórmula (14) para n = k + 1
. Así, del supuesto de que la fórmula (14) es válida para n = k, se deduce que la fórmula (14) es válida para n = k + 1
.
Por tanto, la fórmula (14), para la derivada de enésimo orden, es válida para cualquier n.
Derivadas de órdenes superiores del logaritmo para basar una
Para encontrar la derivada de enésimo orden de un logaritmo en base a, debes expresarla en términos del logaritmo natural:
.
Aplicando la fórmula (14), encontramos la enésima derivada:
.
Derivados complejos. Derivada logarítmica.
Derivada de una función exponencial de potencia
Seguimos mejorando nuestra técnica de diferenciación. En esta lección, consolidaremos el material que hemos cubierto, veremos derivadas más complejas y también nos familiarizaremos con nuevas técnicas y trucos para encontrar una derivada, en particular, con la derivada logarítmica.
Aquellos lectores que tengan un nivel bajo de preparación deben consultar el artículo. ¿Cómo encontrar la derivada? Ejemplos de soluciones, que te permitirá mejorar tus habilidades casi desde cero. A continuación, debes estudiar detenidamente la página. Derivada de una función compleja, comprender y resolver Todo los ejemplos que di. Esta lección es lógicamente la tercera consecutiva y, una vez dominada, podrás diferenciar con seguridad funciones bastante complejas. No es deseable adoptar la posición de “¿Dónde más? ¡Ya es suficiente!”, ya que todos los ejemplos y soluciones provienen de pruebas reales y se encuentran a menudo en la práctica.
Empecemos por la repetición. En la lección Derivada de una función compleja Analizamos una serie de ejemplos con comentarios detallados. En el curso del estudio del cálculo diferencial y otras ramas del análisis matemático, tendrá que diferenciar muy a menudo, y no siempre es conveniente (ni siempre necesario) describir ejemplos con gran detalle. Por lo tanto, practicaremos cómo encontrar derivadas de forma oral. Los "candidatos" más adecuados para esto son los derivados de las funciones complejas más simples, por ejemplo:
Según la regla de diferenciación de funciones complejas. 
:
Al estudiar otros temas de matan en el futuro, la mayoría de las veces no se requiere un registro tan detallado; se supone que el estudiante sabe cómo encontrar tales derivados en piloto automático. Imaginemos que a las 3 de la mañana suena el teléfono y una voz agradable pregunta: “¿Cuál es la derivada de la tangente de dos X?” A esto debería seguirle una respuesta casi instantánea y educada: 
.
El primer ejemplo estará destinado inmediatamente a una solución independiente.
Ejemplo 1
Encuentra las siguientes derivadas de forma oral, en una acción, por ejemplo: . Para completar la tarea solo necesitas usar tabla de derivadas de funciones elementales(si aún no lo has recordado). Si tiene alguna dificultad, le recomiendo releer la lección. Derivada de una función compleja.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Respuestas al final de la lección.
Derivados complejos
Después de la preparación preliminar de la artillería, los ejemplos con 3-4-5 funciones anidadas darán menos miedo. Los siguientes dos ejemplos pueden parecer complicados para algunos, pero si los comprende (alguien sufrirá), casi todo lo demás en cálculo diferencial le parecerá una broma de niños.
Ejemplo 2
Encuentra la derivada de una función. 
Como ya se señaló, al encontrar la derivada de una función compleja, en primer lugar es necesario Bien ENTIENDA sus inversiones. En caso de dudas, os recuerdo una técnica útil: tomamos el valor experimental de “x”, por ejemplo, e intentamos (mentalmente o en un borrador) sustituir este valor en la “expresión terrible”.
1) Primero necesitamos calcular la expresión, lo que significa que la suma es la incrustación más profunda.
2) Entonces necesitas calcular el logaritmo:
4) Luego eleva al cubo el coseno:
5) En el quinto paso la diferencia:
6) Y finalmente, la función más externa es la raíz cuadrada: 
Fórmula para diferenciar una función compleja. 
se aplican en orden inverso, desde la función más externa a la más interna. Nosotros decidimos:
Parece que no hay errores...
(1) Calcula la derivada de la raíz cuadrada.
(2) Tomamos la derivada de la diferencia usando la regla 
(3) La derivada de un triple es cero. En el segundo término tomamos la derivada del grado (cubo).
(4) Calcula la derivada del coseno.
(5) Tome la derivada del logaritmo.
(6) Y finalmente, tomamos la derivada de la incrustación más profunda.
Puede parecer demasiado difícil, pero éste no es el ejemplo más brutal. Tomemos, por ejemplo, la colección de Kuznetsov y apreciaremos toda la belleza y sencillez del derivado analizado. Me di cuenta de que les gusta dar algo similar en un examen para comprobar si un estudiante entiende cómo encontrar la derivada de una función compleja o no.
El siguiente ejemplo es para que lo resuelvas por tu cuenta.
Ejemplo 3
Encuentra la derivada de una función.
Sugerencia: Primero aplicamos las reglas de linealidad y la regla de diferenciación de productos.
Solución completa y respuesta al final de la lección.
Es hora de pasar a algo más pequeño y mejor.
No es raro que un ejemplo muestre el producto no de dos, sino de tres funciones. ¿Cómo encontrar la derivada del producto de tres factores?
Ejemplo 4
Encuentra la derivada de una función. 
Primero miramos, ¿es posible convertir el producto de tres funciones en el producto de dos funciones? Por ejemplo, si tuviéramos dos polinomios en el producto, entonces podríamos abrir los paréntesis. Pero en el ejemplo que estamos considerando, todas las funciones son diferentes: grado, exponente y logaritmo.
En tales casos es necesario secuencialmente aplicar la regla de diferenciación de productos 
dos veces
El truco es que por "y" denotamos el producto de dos funciones: y por "ve" denotamos el logaritmo: . ¿Por qué se puede hacer esto? Es posible 
– ¡¿Esto no es producto de dos factores y la regla no funciona?! No hay nada complicado:
Ahora queda aplicar la regla por segunda vez. 
al paréntesis:
También puede torcerse y poner algo entre paréntesis, pero en este caso es mejor dejar la respuesta exactamente en esta forma; así será más fácil de verificar.
El ejemplo considerado se puede resolver de la segunda forma: 
Ambas soluciones son absolutamente equivalentes.
Ejemplo 5
Encuentra la derivada de una función.
Este es un ejemplo de solución independiente; en el ejemplo se resuelve utilizando el primer método.
Veamos ejemplos similares con fracciones.
Ejemplo 6
Encuentra la derivada de una función. 
Hay varias formas de hacerlo aquí:
O así:
Pero la solución se escribirá de forma más compacta si usamos primero la regla de derivación del cociente. 
, tomando para el numerador completo:
En principio el ejemplo está solucionado, y si se deja como está no será error. Pero si se tiene tiempo, siempre es recomendable consultar un borrador para ver si la respuesta se puede simplificar. Reduzcamos la expresión del numerador a un denominador común y deshagámonos de la fracción de tres pisos:
La desventaja de simplificaciones adicionales es que existe el riesgo de cometer un error no al encontrar la derivada, sino durante las transformaciones escolares banales. Por otro lado, los profesores suelen rechazar la tarea y piden “recordar” la derivada.
Un ejemplo más sencillo para resolver por tu cuenta:
Ejemplo 7
Encuentra la derivada de una función.
Seguimos dominando los métodos para encontrar la derivada y ahora consideraremos un caso típico en el que se propone el logaritmo "terrible" para la diferenciación.
Ejemplo 8
Encuentra la derivada de una función.
Aquí puedes recorrer el camino más largo, utilizando la regla para derivar una función compleja:
Pero el primer paso te sumerge inmediatamente en el desaliento: hay que sacar la desagradable derivada de una potencia fraccionaria y luego también de una fracción.
Es por eso antes Cómo tomar la derivada de un logaritmo "sofisticado", primero se simplifica utilizando propiedades escolares bien conocidas:
! Si tienes un cuaderno de práctica a mano, copia estas fórmulas directamente allí. Si no tienes un cuaderno, cópialos en una hoja de papel, ya que el resto de ejemplos de la lección girarán en torno a estas fórmulas.
La solución en sí se puede escribir así:
Transformemos la función:
Encontrar la derivada: 
La conversión previa de la función en sí simplificó enormemente la solución. Así, cuando se propone un logaritmo similar para la derivación, siempre es aconsejable “descomponerlo”.
Y ahora un par de ejemplos sencillos para que los resuelvas por tu cuenta:
Ejemplo 9
Encuentra la derivada de una función. 
Ejemplo 10
Encuentra la derivada de una función.
Todas las transformaciones y respuestas se encuentran al final de la lección.
Derivada logarítmica
Si la derivada de los logaritmos es una música tan dulce, entonces surge la pregunta: ¿es posible en algunos casos organizar el logaritmo artificialmente? ¡Poder! E incluso necesario.
Ejemplo 11
Encuentra la derivada de una función. 
Recientemente analizamos ejemplos similares. ¿Qué hacer? Puedes aplicar secuencialmente la regla de derivación del cociente y luego la regla de derivación del producto. La desventaja de este método es que terminas con una enorme fracción de tres pisos, con la que no quieres lidiar en absoluto.
Pero en teoría y en la práctica existe algo tan maravilloso como la derivada logarítmica. Los logaritmos se pueden organizar artificialmente “colgándolos” por ambos lados:
Nota
: porque una función puede tomar valores negativos, entonces, en términos generales, es necesario utilizar módulos: 
, que desaparecerá como resultado de la diferenciación. Sin embargo, también es aceptable el diseño actual, donde por defecto se tiene en cuenta complejo significados. Pero con todo rigor, en ambos casos debería hacerse la reserva de que.
Ahora necesitas "desintegrar" el logaritmo del lado derecho tanto como sea posible (¿fórmulas ante tus ojos?). Describiré este proceso con gran detalle:
Empecemos por la diferenciación.
Concluimos ambas partes bajo la prima:
La derivada del lado derecho es bastante simple; no la comentaré porque si estás leyendo este texto, deberías poder manejarlo con confianza.
¿Qué pasa con el lado izquierdo?
En el lado izquierdo tenemos función compleja. Preveo la pregunta: "¿Por qué hay una letra "Y" debajo del logaritmo?"
El hecho es que este "juego de una letra" - ES EN MISMA UNA FUNCIÓN(si no queda muy claro, consulte el artículo Derivada de una función especificada implícitamente). Por tanto, el logaritmo es una función externa y la “y” es una función interna. Y usamos la regla para derivar una función compleja. 
:
En el lado izquierdo, como por arte de magia, tenemos una derivada. A continuación, según la regla de proporción, transferimos la “y” del denominador del lado izquierdo a la parte superior del lado derecho:
¿Y ahora recordemos de qué tipo de función de “jugador” hablamos durante la diferenciación? Veamos la condición: 
Respuesta final: 
Ejemplo 12
Encuentra la derivada de una función.
Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Al final de la lección se encuentra un diseño de muestra de un ejemplo de este tipo.
Usando la derivada logarítmica se pudo resolver cualquiera de los ejemplos No. 4-7, otra cosa es que las funciones allí son más simples y, quizás, el uso de la derivada logarítmica no esté muy justificado.
Derivada de una función exponencial de potencia
Aún no hemos considerado esta función. Una función exponencial de potencia es una función para la cual tanto el grado como la base dependen de la “x”. Un ejemplo clásico que se le dará en cualquier libro de texto o conferencia:
¿Cómo encontrar la derivada de una función exponencial de potencia?
Es necesario utilizar la técnica que acabamos de comentar: la derivada logarítmica. Colgamos logaritmos en ambos lados:
Como regla general, en el lado derecho se resta el grado de debajo del logaritmo:
Como resultado, en el lado derecho tenemos el producto de dos funciones, las cuales serán diferenciadas según la fórmula estándar 
.
Hallamos la derivada, para ello encerramos ambas partes bajo trazos:
Otras acciones son simples:
Finalmente: 
Si alguna conversión no queda del todo clara, vuelva a leer atentamente las explicaciones del Ejemplo No. 11.
En las tareas prácticas, la función exponencial de potencia siempre será más complicada que el ejemplo presentado en la conferencia.
Ejemplo 13
Encuentra la derivada de una función.
Usamos la derivada logarítmica. 
En el lado derecho tenemos una constante y el producto de dos factores: "x" y "logaritmo del logaritmo x" (otro logaritmo está anidado debajo del logaritmo). Al derivar, como recordamos, es mejor sacar inmediatamente la constante del signo de la derivada para que no estorbe; y, por supuesto, aplicamos la conocida regla 
:
La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación.
Como resultado de resolver los problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples), definiendo la derivada como el límite de la relación entre el incremento y el incremento del argumento, apareció una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. . Los primeros en trabajar en el campo de la búsqueda de derivadas fueron Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite antes mencionado de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, solo es necesario utilizar la tabla de Derivadas y reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.
Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo primo dividir funciones simples en componentes y determinar qué acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están relacionadas. A continuación, encontramos las derivadas de funciones elementales en la tabla de derivadas y las fórmulas para las derivadas del producto, suma y cociente, en las reglas de derivación. La tabla de derivadas y las reglas de diferenciación se dan después de los dos primeros ejemplos.
Ejemplo 1. Encuentra la derivada de una función.
Solución. De las reglas de diferenciación aprendemos que la derivada de una suma de funciones es la suma de derivadas de funciones, es decir
De la tabla de derivadas aprendemos que la derivada de "x" es igual a uno y la derivada del seno es igual al coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:
Ejemplo 2. Encuentra la derivada de una función.
Solución. Diferenciamos como derivada de una suma en la que el segundo término tiene factor constante; se puede sacar del signo de la derivada:
Si aún surgen dudas sobre el origen de algo, normalmente se aclaran después de familiarizarse con la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Estamos avanzando hacia ellos ahora mismo.
Tabla de derivadas de funciones simples.
| 1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200...) que esté en la expresión de la función. Siempre igual a cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere muy a menudo. | |
| 2. Derivada de la variable independiente. Muy a menudo "X". Siempre igual a uno. Esto también es importante recordarlo durante mucho tiempo. | |
| 3. Derivada de grado. Al resolver problemas, es necesario convertir raíces no cuadradas en potencias. | |
| 4. Derivada de una variable a la potencia -1 | |
| 5. Derivada de raíz cuadrada | |
| 6. Derivada del seno | |
| 7. Derivada del coseno |  |
| 8. Derivada de tangente |  |
| 9. Derivada de cotangente |  |
| 10. Derivada del arcoseno |  |
| 11. Derivada del arcocoseno |  |
| 12. Derivada de arcotangente |  |
| 13. Derivada del arco cotangente |  |
| 14. Derivada del logaritmo natural | |
| 15. Derivada de una función logarítmica |  |
| 16. Derivada del exponente | |
| 17. Derivada de una función exponencial |
Reglas de diferenciación
| 1. Derivada de una suma o diferencia |  |
| 2. Derivado del producto |  |
| 2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante | |
| 3. Derivada del cociente |  |
| 4. Derivada de una función compleja |  |
Regla 1.Si las funciones
son diferenciables en algún punto, entonces las funciones son diferenciables en el mismo punto
y
aquellos. la derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.
Consecuencia. Si dos funciones diferenciables difieren en un término constante, entonces sus derivadas son iguales, es decir.
Regla 2.Si las funciones
son diferenciables en algún punto, entonces su producto es diferenciable en el mismo punto
y
aquellos. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra.
Corolario 1. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.:
Corolario 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada factor y todos los demás.
Por ejemplo, para tres multiplicadores:
Regla 3.Si las funciones
diferenciable en algún momento Y , entonces en este punto su cociente también es derivableu/v, y
aquellos. la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado de el antiguo numerador.
Dónde buscar cosas en otras páginas.
A la hora de encontrar la derivada de un producto y un cociente en problemas reales, siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por eso hay más ejemplos sobre estas derivadas en el artículo."Derivada del producto y cociente de funciones".
Comentario.¡No debes confundir una constante (es decir, un número) con un término de una suma y con un factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se quita del signo de las derivadas. Este es un error típico que ocurre en la etapa inicial del estudio de derivadas, pero a medida que el estudiante promedio resuelve varios ejemplos de una y dos partes, ya no comete este error.
Y si al diferenciar un producto o cociente se tiene un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por tanto, todo el término será igual a cero (este caso se analiza en el ejemplo 10).
Otro error común es resolver mecánicamente la derivada de una función compleja como la derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja Se dedica un artículo aparte. Pero primero aprenderemos a encontrar derivadas de funciones simples.
En el camino, no puedes prescindir de transformar las expresiones. Para hacer esto, es posible que necesites abrir el manual en ventanas nuevas. Acciones con poderes y arraigo Y Operaciones con fracciones .
Si buscas soluciones a derivadas de fracciones con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve así 
, luego sigue la lección “Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces”.
Si tienes una tarea como 
, luego tomarás la lección “Derivadas de funciones trigonométricas simples”.
Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada
Ejemplo 3. Encuentra la derivada de una función.
Solución. Definimos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa un producto y sus factores son sumas, en la segunda de las cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de diferenciación de productos: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra:
A continuación, aplicamos la regla de derivación de la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma el segundo término tiene un signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "X" se convierte en uno y menos 5 se convierte en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, por lo que multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de derivada:
Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de toda la función requerida por la condición del problema:
Y puedes consultar la solución al problema de la derivada en.
Ejemplo 4. Encuentra la derivada de una función.
Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para derivar el cociente: la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:
Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el ejemplo 2. No olvidemos tampoco que el producto, que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual, se toma con un signo menos:
Si buscas soluciones a problemas en los que necesitas encontrar la derivada de una función, donde hay un montón continuo de raíces y potencias, como, por ejemplo, 
, entonces bienvenido a clase "Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces" .
Si necesita aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otras funciones trigonométricas, es decir, cuándo se ve la función , entonces una lección para ti "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .
Ejemplo 5. Encuentra la derivada de una función.
Solución. En esta función vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, cuya derivada conocemos en la tabla de derivadas. Usando la regla para derivar el producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:
Puedes consultar la solución al problema de la derivada en calculadora de derivados en línea .
Ejemplo 6. Encuentra la derivada de una función.
Solución. En esta función vemos un cociente cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Usando la regla de diferenciación de cocientes, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor tabulado de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:
Para eliminar una fracción en el numerador, multiplica el numerador y el denominador por.
