6 ठी श्रेणी

विषय: "साधारण भिन्नों का विभाजन", छठी कक्षा।

पाठ का उद्देश्य: सैद्धांतिक और व्यावहारिक को सारांशित और व्यवस्थित करें

छात्रों का ज्ञान, कौशल और क्षमताएं। काम को व्यवस्थित करें

छात्रों के ज्ञान में अंतराल को समाप्त करना। सुधार करो, विस्तार करो

और विषय के बारे में छात्रों के ज्ञान को गहरा करें।

पाठ का प्रकार: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।

उपकरण: बोर्ड पर विषय, उद्देश्य, पाठ योजना है।

कक्षाओं के दौरान.

प्रत्येक छात्र के डेस्क पर एक "चेक शीट" होती है।

1. गृहकार्य -

2. समीक्षा प्रश्न -

3. मौखिक गिनती -

4. कक्षा कार्य-

5. स्वतंत्र कार्य-

1. होमवर्क की जाँच करना:

क) निम्नलिखित प्रश्नों पर जोड़ियों में काम करें:

1) साधारण भिन्नों का जोड़, घटाव;

2) भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें;

3) दो भिन्नों का गुणन;

4) मिश्रित भिन्नों का गुणन;

5) भिन्नों को विभाजित करने का नियम;

6) मिश्रित भिन्नों का विभाजन;

7) क्या कहा जाता है. अंशों को कम करना।

बी) बोर्ड पर तैयार समाधान का उपयोग करके होमवर्क की जाँच करना:

क्रमांक 620 (ए), 624, 619 (डी)।

उद्देश्य: गृहकार्य में महारत की डिग्री की पहचान करना। विशिष्ट कमियों को पहचानें.

अपने ग्रेड कंट्रोल शीट पर रखें

पाठ का उद्देश्य घोषित करें: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को सारांशित और व्यवस्थित करें

विषय: "साधारण भिन्नों का विभाजन।"

हमने सिद्धांत दोहराया, आइए व्यवहार में अपने ज्ञान का परीक्षण करें।

2. मौखिक गिनती.

क) कार्ड का उपयोग करना: 1) भिन्न को कम करना: ; ; ; ...

2) अनुचित भिन्न में बदलें: ; ; ...

3) संपूर्ण भाग का चयन करें: ; ; ...

बी) संख्या सीढ़ी. जो कोई भी तेजी से छठी मंजिल पर पहुंचेगा उसे पता चलेगा:

ज्यामिति का निर्माण (यूक्लिड)

विकल्प 2 - एक व्यक्ति जो वकील, अधिकारी और दार्शनिक बनना चाहता था, लेकिन

गणितज्ञ बने (डेसकार्टेस)

एल 0.1: ½ 0.4: 0.1 ए

और डी ई एल के के ए वी आर ई टी

नियंत्रण शीट पर निशान, इनके लिए: 2" - "5", 3" - "4", 4" - "3"।

जिसने भी "सीढ़ी" पूरी कर ली है, वह नोटबुक में नंबर 606 लिखता है। बोर्ड के विंग पर छात्रों में से पहला नंबर 606 लिखता है। फिर वह कक्षा की जाँच करता है।

3.

ए)क्रमांक 581 (बी,डी), 587 (टिप्पणी के साथ), 591 (एल,एम,के), 600, 602, 593 (जी,के,डी,आई)

कार्य नोटबुक और बोर्ड पर पूरा किया जाता है।

बी)समस्या का समाधान: एक किलो मिठाई के लिए हजारों रूबल का भुगतान किया गया। कितना हैं

इन मिठाइयों का किलो?

4.

№ 1 . इन चरणों का पालन करें:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . भिन्न को भिन्न के रूप में निरूपित करें और निम्नलिखित कार्य करें:

0.375: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . समीकरण हल करें: उत्तर: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . पहले दिन, पर्यटक पूरे मार्ग पर चला, और दूसरे दिन, बाकी। में

पहले दिन एक पर्यटक द्वारा सड़क का कितना गुना अधिक भाग तय किया गया?

दूसरा? उत्तर: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. अंश के रूप में प्रस्तुत करें:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

टेम्पलेट का उपयोग करके समाधान की जाँच करें: नंबर 1 -4; नंबर 2 - 1; क्रमांक 3-4; नंबर 4 - 4; क्रमांक 5-3.

अपने ग्रेड कंट्रोल शीट पर रखें।

नियंत्रण पत्रक एकत्रित करें. संक्षेप। पाठ के लिए ग्रेड की घोषणा करें.

5. पाठ सारांश:

आज हमने कौन से बुनियादी नियम दोहराए?

6. गृहकार्य:

क्रमांक 619 (सी), 620 (बी), 627, व्यक्तिगत कार्य क्रमांक 617 (ए, डी, जी)।

डाउनलोड करना:

पूर्व दर्शन:

नगर शैक्षणिक संस्थान "व्यायामशाला संख्या 7"

तोरज़ोक, टवर क्षेत्र।

विषय पर खुला पाठ:

"साधारण भिन्नों का विभाजन"

6 ठी श्रेणी

तोरज़ोक के शहरी नगरपालिका जिले में खुला पाठ

(प्रमाणन, 2001)

गणित शिक्षक: उफिम्त्सेवा एन.ए.

2001

विषय : " साधारण भिन्नों का विभाजन", छठी कक्षा।

पाठ का उद्देश्य : सैद्धांतिक और व्यावहारिक को सारांशित और व्यवस्थित करें

छात्रों का ज्ञान, योग्यताएँ और कौशल। काम को व्यवस्थित करें

छात्रों के ज्ञान में अंतराल को बंद करना। सुधार करो, विस्तार करो

और विषय पर छात्रों के ज्ञान को गहरा करें।

पाठ का प्रकार : ज्ञान, कौशल और क्षमताओं के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।

उपकरण : बोर्ड पर विषय, उद्देश्य, पाठ योजना है।

कक्षाओं के दौरान.

प्रत्येक छात्र के डेस्क पर एक "चेक शीट" होती है।

1. गृहकार्य -
2. समीक्षा प्रश्न -
3. मौखिक गिनती -
4. कक्षा कार्य -
5. स्वतंत्र काम -

1. होमवर्क की जाँच करना:

ए) निम्नलिखित प्रश्नों पर जोड़ियों में काम करें:

1) साधारण भिन्नों का जोड़, घटाव;

2) भिन्न को भिन्न से गुणा कैसे करें;

3) दो भिन्नों का गुणन;

4) मिश्रित भिन्नों का गुणन;

5) भिन्नों को विभाजित करने का नियम;

6) मिश्रित भिन्नों का विभाजन;

7) क्या कहा जाता है. अंशों को कम करना।

बी) बोर्ड पर तैयार समाधान का उपयोग करके होमवर्क की जाँच करना:

क्रमांक 620 (ए), 624, 619 (डी)।

लक्ष्य : होमवर्क में निपुणता की डिग्री की पहचान करें। विशिष्ट कमियों को पहचानें.

अपने ग्रेड कंट्रोल शीट पर रखें

पाठ का उद्देश्य घोषित करें: ज्ञान, कौशल और क्षमताओं को सारांशित और व्यवस्थित करें

विषय: "साधारण भिन्नों का विभाजन।"

हमने सिद्धांत दोहराया, आइए व्यवहार में अपने ज्ञान का परीक्षण करें।

1. मौखिक गिनती.

ए) कार्ड का उपयोग करना: 1) भिन्न को कम करना: ; ; ; ...

2) अनुचित भिन्न में बदलें: ; ; ...

3) संपूर्ण भाग का चयन करें: ; ; ...

बी) संख्या सीढ़ी. जो कोई भी तेजी से छठी मंजिल पर पहुंचेगा उसे पता चलेगा:

ज्यामिति निर्माण (यूक्लिड)

विकल्प 2 - एक व्यक्ति जो वकील, अधिकारी और दार्शनिक बनना चाहता था, लेकिन

गणितज्ञ बने (डेसकार्टेस)

डी टी

और आर

एल 0.1: ½ 0.4: 0.1 ए

क क

वी ई

ईडी

3 2 4 5

मुझे बहुत अच्छा लग रहा है

नियंत्रण शीट पर निशान, इनके लिए: 2" - "5", 3" - "4", 4" - "3"।

जिसने भी "सीढ़ी" पूरी कर ली है, वह नोटबुक में नंबर 606 लिखता है। बोर्ड के विंग पर छात्रों में से पहला नंबर 606 लिखता है। फिर वह कक्षा की जाँच करता है।

1. मुख्य सैद्धांतिक सिद्धांतों की पुनरावृत्ति और व्यवस्थितकरण:

ए) क्रमांक 581 (बी,डी), 587 (टिप्पणी के साथ), 591 (एल,एम,के), 600, 602, 593 (जी,के,डी,आई)

कार्य नोटबुक और बोर्ड पर पूरा किया जाता है।

बी) समस्या का समाधान: एक किलो मिठाई के लिए हजारों रूबल का भुगतान किया गया। कितना हैं

इन मिठाइयों का किलो?

1. स्वतंत्र काम। उद्देश्य: इस विषय पर आपकी समझ की जाँच करना।

№ 1 . इन चरणों का पालन करें:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . भिन्न को भिन्न के रूप में निरूपित करें और निम्नलिखित कार्य करें:

0.375: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . समीकरण हल करें: उत्तर: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . पहले दिन, पर्यटक पूरे मार्ग पर चला, और दूसरे दिन, बाकी। में

पहले दिन एक पर्यटक द्वारा सड़क का कितना गुना अधिक भाग तय किया गया?

दूसरा? उत्तर: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. अंश के रूप में प्रस्तुत करें:

: उत्तर: 1) 2) 3) 4)

टेम्पलेट का उपयोग करके समाधान की जाँच करें: नंबर 1 -4; नंबर 2 - 1; क्रमांक 3-4; नंबर 4 - 4; क्रमांक 5-3.

अपने ग्रेड कंट्रोल शीट पर रखें।

नियंत्रण पत्रक एकत्रित करें. संक्षेप। पाठ के लिए ग्रेड की घोषणा करें.

1. पाठ सारांश:

आज हमने कौन से बुनियादी नियम दोहराए?

1. गृहकार्य:

संख्या 619 (सी), 620 (बी), 627, व्यक्तिगत असाइनमेंट संख्या 617 (ए, ई, जी)

पाठ्यक्रम कार्य

बीजगणित और विश्लेषण के सिद्धांतों पर

इस टॉपिक पर

"त्रिकोणमितीय कार्य"

गणित विभाग का रचनात्मक समूह

"जिमनैजियम नंबर 3", उडोमल्या।

गणित शिक्षक द्वारा विकसित पाठ संख्या 3-4

उफिम्त्सेवा एन.ए.

2000

नगर शैक्षणिक संस्थान "व्यायामशाला संख्या 7"

तोरज़ोक, टवर क्षेत्र।

सार्वजनिक पाठ

पाठ का तकनीकी मानचित्र।

शिक्षक का नाम: स्टेपानोवा डारिया सर्गेवना

कार्य का स्थान: MAOU "माध्यमिक विद्यालय संख्या 76"

पद: गणित शिक्षक

विषय: गणित

पाठ का विषय: "साधारण भिन्नों का विभाजन।"

पाठ का प्रकार : नए ज्ञान की खोज में सबक.

पाठ का उद्देश्य:

शैक्षिक: साधारण भिन्नों को विभाजित करने का विचार बनाना, भिन्नों के रूप में लिखी संख्याओं को विभाजित करने की प्राथमिक क्षमता विकसित करना।

शैक्षिक: छात्रों की गणितीय सोच और कम्प्यूटेशनल कौशल का विकास।

शैक्षिक: गणित में रुचि को बढ़ावा देना,गणितीय संकेतन की संस्कृति को बढ़ावा देना।

उपकरण : सामान्य शिक्षा संस्थानों की छठी कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक / एन. हां. विलेंकिन, वी. आई. झोखोव, ए. एस. चेस्नोकोव, एस. आई. श्वार्ट्सबर्ड। - संस्करण। - एम.: मेनेमोसिना, 2007,मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, इस विषय पर एक पाठ के लिए प्रस्तुतिकरण, हैंडआउट्स।

योजना:

संगठनात्मक क्षण (1 मिनट)।

लक्ष्य निर्धारण और प्रेरणा (7 मिनट)।

नए ज्ञान की खोज (13 मिनट)।

शारीरिक शिक्षा मिनट (1 मिनट)।

नई चीजों को समेकित करना (15 मिनट)।

संक्षेपण। प्रतिबिंब (3 मिनट)।

होमवर्क (1 मिनट)।

-नमस्ते! आइए देखें कि क्या पाठ के लिए सब कुछ तैयार है?

वे जांच करते हैं. यदि उनके पास नोटबुक और पेन नहीं हैं तो वे उन्हें निकाल लेते हैं।

- आइए याद करें कि पिछले पाठों में हमें कौन सी नई अवधारणा मिली थी?

-किस संख्या को व्युत्क्रम कहा जाता है?

-अच्छा! बहुत अच्छा! आइए अब स्लाइड पर मौजूद उदाहरणों को मौखिक रूप से हल करें।

– 1 घटाने से हमें क्या मिलता है?

– दूसरे उदाहरण को हल करने के लिए हमें क्या करना चाहिए?

-यह किसके बराबर है?

– तो पहले भिन्न का अतिरिक्त गुणनखंड किसके बराबर होता है?

-बहुत अच्छा! तीसरे उदाहरण में NOZ क्या है?

– हम निम्नलिखित उदाहरण की गणना कैसे करते हैं? हम भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

-गुणा करने से पहले आप क्या कर सकते हैं?

-यह सही है, शाबाश! किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से गुणा कैसे करें?

– गुणा करने से पहले हमें क्या करना चाहिए?

-बहुत अच्छा! निम्नलिखित उदाहरण को कैसे हल करें?

-यह सही है, हमें क्या मिलेगा?

अच्छा! अगला उदाहरण.

-बहुत अच्छा! अगली दो संख्याओं को गुणा करने के लिए क्या करना होगा?

-हम अगली समस्या का समाधान कैसे करेंगे?

-पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा के साथ

- यदि संख्याओं का योग एक हो तो उन्हें व्युत्क्रम कहा जाता है।

(एक छात्र एक उदाहरण का ज़ोर से विश्लेषण करता है)।

–सबसे कम सामान्य विभाजक ज्ञात कीजिए।

-14, चूँकि 14, 7 से विभाज्य है।

–दो। भिन्न को दो से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है . चलो इसमें जोड़ें अंश , हमें उत्तर मिलता है .

-चूँकि 7 और 5 सहअभाज्य संख्याएँ हैं, सबसे छोटा उभयनिष्ठ हर 35 है।

पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 5 है, दूसरे भिन्न के लिए यह 7 है। पहले भिन्न को 5 से गुणा करें, हमें प्राप्त होता है , 7 से दूसरा भिन्न, हमें प्राप्त होता है . अंतर यह है .

-किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के अंशों को गुणा करना होगा और इस उत्पाद को अंश में लिखना होगा, हर को गुणा करना होगा और गुणनफल को हर में लिखना होगा।

-आप 4 और 8 को 4 से कम कर सकते हैं, और 3 और 9 को 3 से कम कर सकते हैं, हमें छठा हिस्सा मिलता है

– किसी प्राकृतिक संख्या को सामान्य भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

-आइए 23 और 23 को छोटा करें। उत्तर 9।

- सबसे पहले आपको मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में लिखना होगा, और फिर उसे गुणा करना होगा।

– आइए भिन्न प्राप्त करें, इसे से गुणा करें। हम 7 और 7 को छोटा कर सकते हैं। उत्तर।

–कुछ भी छोटा नहीं किया जा सकता. हम 4 और 5 को गुणा करते हैं, अंश में 20 लिखते हैं, हर में 7 लिखते हैं, या .

– आपको मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है। हमें मिलता है और . हम 5 और 15 को 3 से और 22 और 2 को 2 से कम कर सकते हैं। अंश में हमें 11 हर 3 या मिलता है .

- हम नहीं जानते कि बंटवारा कैसे किया जाए।

-आपको क्या लगता है आज के हमारे पाठ का विषय क्या है?

-व्रनो! अपनी नोटबुक खोलें और पाठ की तारीख और विषय लिखें।

-आज के पाठ के लिए हमारा लक्ष्य क्या है?

-और विभाजित करना सीखने के लिए, हमें सबसे पहले क्या सीखने की ज़रूरत है?

–सही! ऐसा करने के लिए, पहले समस्या पर विचार करें. आयत का क्षेत्रफल है
. एक तरफ की लंबाई
. दूसरी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

– एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र बताइये।

– हम चौड़ाई और क्षेत्रफल जानते हैं, लेकिन लंबाई नहीं। हम किसी अज्ञात मात्रा को कैसे निरूपित करते हैं?

– क्या आप और मैं अब कोई समीकरण बना सकते हैं?

-आप और मैं पहले ही व्युत्क्रम संख्याओं का उपयोग करके ऐसे समीकरण हल कर चुके हैं। आइए इसे सुलझाएं.

– समीकरण के दाईं ओर हमें क्या मिलता है?

-समीकरण के बाईं ओर हमें क्या मिलता है?

- अच्छा। पाया कि लंबाई किसके बराबर है। आइए समीकरण पर वापस जाएं और याद रखें कि अज्ञात कारक कैसे खोजें?

-सही! इसे हमारे समीकरण पर लागू करें, हमें क्या मिलेगा?

–लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि यह किसके बराबर हैएक्स .

-और हमने उसे कैसे पाया?

– और किस भिन्न के संबंध में?

– अर्थात्, हम निम्नलिखित समानता बना सकते हैं:
.

– इस समानता के आधार पर, साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए एक नियम बनाने का प्रयास करें। कार्ड नंबर 1 इसमें आपकी मदद करेगा, इसमें रिक्त स्थान भरें।

-यह सही है, शाबाश! इस परिभाषा को आप स्वयं अपनी नोटबुक में अक्षरशः लिखें। इसकी जांच - पड़ताल करें।

-क्या अब हम उस उदाहरण को हल कर सकते हैं जिससे हमें शुरुआत में कठिनाई हुई (आइए उदाहरण देखें)?

– साधारण भिन्नों का विभाजन.

(नोटबुक खोलें, पाठ का विषय लिखें)।

- भिन्नों को विभाजित करना सीखें।

-भिन्नों को विभाजित करने का नियम.

– एस = अब .

– एक्स .

–हाँ।
.

– आपको समीकरण के दोनों पक्षों को व्युत्क्रम संख्या, संख्या से गुणा करना होगा। अर्थात्, पर।

-दाईं ओर, दो परस्पर व्युत्क्रम संख्याओं का गुणनफल हमें एक देगा।

–बाईं ओर, उत्पाद और। किसी भी चीज़ को छोटा नहीं किया जा सकता, इसलिए हमें मिलता है .
.

किसी अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको उत्पाद को ज्ञात कारक से विभाजित करना होगा।

–
.

–
. हमने से गुणा किया।

-रिवर्स।

-एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

- हाँ,
.

-अब थोड़ा गर्म हो जाएं. अपनी मुट्ठियाँ भींचो और खोलो। अपने कंधों को सीधा करें. बर्फ के टुकड़े का अनुसरण करते हुए अपना सिर हिलाएँ।

-सही! नियम को व्यवहार में लागू करना सीखें।

(स्लाइड पर उदाहरण हैं। हम छात्रों को एक-एक करके बोर्ड पर बुलाते हैं, बाकी अपनी नोटबुक में काम करते हैं।)

-बहुत अच्छा! आपके डेस्क पर कार्ड नंबर 2 है। यह अपने आप करो। कार्य: सही समानताएँ बनाने के लिए उदाहरणों में रिक्त स्थान भरें।

-खुद जांच करें # अपने आप को को! यदि सभी रिक्त स्थान सही ढंग से भरे गए हैं या एक त्रुटि है - स्कोर "5", यदि 2-4 त्रुटियां हैं - स्कोर "4", यदि 5-7 त्रुटियां हैं - स्कोर "3"।

-उदाहरण हल करें.

(कार्य संख्या 2 के साथ पूर्ण कार्ड)

(जाँचें, स्वयं का मूल्यांकन करें)

-आइए इसे संक्षेप में बताएं! क्या आपको लगता है कि हमने पाठ की शुरुआत में निर्धारित लक्ष्य हासिल कर लिया है?

-आइए वह नियम दोहराएं जो हमने आज सीखा। (हम कई छात्रों से पूछते हैं)।

-अच्छा! बहुत अच्छा! आपकी टेबल पर अलग-अलग रंगों के कार्ड हैं, आज कक्षा में अपने काम के परिणाम का मूल्यांकन करने के लिए उनका उपयोग करें।

- एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

(कार्ड उठाएँ)।

-अपनी डायरी खोलें और अपना होमवर्क लिखें।

- सबक के लिए धन्यवाद!

(डायरी में होमवर्क लिखें)।

हैंडआउट.

रोलर नंबर 1

साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम.

एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या से लाभांश ___________, भाजक ____________ की आवश्यकता होती हैयु.

कार्ड नंबर 2

पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ देखें " भिन्नों को जोड़ना और घटाना"). उन कार्यों का सबसे कठिन हिस्सा भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना था।

अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।

दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।

दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।

पद का नाम:

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।

गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा गुणनखंड और सबसे कम सामान्य गुणक।

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना

यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।

यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो, तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:

1. प्लस माइनस से माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।

अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

1. हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
2. यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।

ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।

तुरंत अंशों को कम करना

गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:

सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम कर दी गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।

कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में, पूर्ण कमी हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा फिर भी कम हो गई।

हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:

आप ऐसा नहीं कर सकते!

त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। परिणामस्वरूप, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।

भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए पिछली समस्या का सही समाधान इस प्रकार दिखता है:

सही समाधान:

जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.

पाठ सामग्री

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना

भिन्नों का योग दो प्रकार का होता है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ना;
2. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना।

सबसे पहले, आइए समान हर वाली भिन्नों के योग का अध्ययन करें। यहां सब कुछ सरल है. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए भिन्नों को जोड़ें और। अंशों को जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.भिन्न और जोड़ें.

उत्तर अनुचित भिन्न निकला। जब कार्य का अंत आता है, तो अनुचित भिन्नों से छुटकारा पाने की प्रथा है। किसी अनुचित भिन्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको उसके पूरे भाग का चयन करना होगा। हमारे मामले में, पूरे भाग को आसानी से अलग किया जा सकता है - दो को दो से विभाजित करने पर एक होगा:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है अगर हम एक पिज्जा के बारे में याद करें जो दो भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3. भिन्न और जोड़ें.

फिर से, हम अंशों को जोड़ते हैं और हर को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा में अधिक पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 4.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। अंशों को जोड़ा जाना चाहिए और हर को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए:

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप एक पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं और अधिक पिज़्ज़ा जोड़ते हैं, तो आपको 1 पूरा पिज़्ज़ा और अधिक पिज़्ज़ा मिलता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंश जोड़ने होंगे और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ना

आइए अब सीखें कि विभिन्न हर वाली भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। भिन्नों को जोड़ते समय भिन्नों के हर समान होने चाहिए। लेकिन वे हमेशा एक जैसे नहीं होते.

उदाहरण के लिए, भिन्नों को जोड़ा जा सकता है क्योंकि उनके हर समान होते हैं।

लेकिन भिन्नों को तुरंत नहीं जोड़ा जा सकता, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

भिन्नों को एक ही हर में कम करने के कई तरीके हैं। आज हम उनमें से केवल एक को देखेंगे, क्योंकि अन्य विधियाँ एक शुरुआत के लिए जटिल लग सकती हैं।

इस विधि का सार यह है कि सबसे पहले दोनों भिन्नों के हरों का एलसीएम खोजा जाता है। पहला अतिरिक्त कारक प्राप्त करने के लिए एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है। वे दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं - एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है।

फिर भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन क्रियाओं के परिणामस्वरूप, भिन्न हर वाले भिन्न भिन्न में बदल जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1. आइए भिन्नों को जोड़ें और

सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों के हरों का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 2 है। इन संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक 6 है

एलसीएम (2 और 3) = 6

अब आइए भिन्नों पर वापस आएं। सबसे पहले, एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें। LCM संख्या 6 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 6 को 3 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 2 पहला अतिरिक्त गुणक है। हम इसे पहले अंश तक लिखते हैं। ऐसा करने के लिए भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाएं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। हम एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं और दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करते हैं। एलसीएम संख्या 6 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 2 है। 6 को 2 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है।

परिणामी संख्या 3 दूसरा अतिरिक्त गुणक है। हम इसे दूसरे अंश में लिखते हैं। पुनः, हम दूसरे भिन्न के ऊपर एक छोटी तिरछी रेखा बनाते हैं और उसके ऊपर पाए जाने वाले अतिरिक्त गुणनखंड को लिखते हैं:

अब हमारे पास जोड़ने के लिए सब कुछ तैयार है। भिन्नों के अंशों और हरों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

ध्यान से देखो कि हम क्या करने आये हैं। हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे जोड़ा जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

यह उदाहरण पूरा करता है. यह जोड़ने के लिए निकलता है।

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा में पिज़्ज़ा मिलाते हैं, तो आपको एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा पिज़्ज़ा का छठा हिस्सा मिलता है:

भिन्नों को समान (सामान्य) हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। भिन्नों को घटाकर एक सामान्य हर करने पर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन दो अंशों को पिज़्ज़ा के समान टुकड़ों द्वारा दर्शाया जाएगा। अंतर केवल इतना होगा कि इस बार उन्हें समान शेयरों (समान भाजक तक कम) में विभाजित किया जाएगा।

पहला चित्र एक अंश (छह में से चार टुकड़े) को दर्शाता है, और दूसरा चित्र एक अंश (छह में से तीन टुकड़े) को दर्शाता है। इन टुकड़ों को जोड़ने पर हमें (छह में से सात टुकड़े) मिलते हैं। यह अंश अनुचित है, इसलिए हमने इसके पूरे भाग पर प्रकाश डाला है। परिणामस्वरूप, हमें (एक पूरा पिज़्ज़ा और दूसरा छठा पिज़्ज़ा) मिला।

कृपया ध्यान दें कि हमने इस उदाहरण का बहुत अधिक विस्तार से वर्णन किया है। शिक्षण संस्थानों में इतना विस्तार से लिखने का रिवाज नहीं है। आपको हर और उनके अतिरिक्त गुणनखंडों दोनों का एलसीएम तुरंत ढूंढने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही पाए गए अतिरिक्त गुणनखंडों को अपने अंश और हर से तेजी से गुणा करने में सक्षम होना चाहिए। यदि हम स्कूल में होते तो हमें यह उदाहरण इस प्रकार लिखना होता:

लेकिन सिक्के का दूसरा पहलू भी है. यदि आप गणित के अध्ययन के पहले चरण में विस्तृत नोट्स नहीं लेते हैं, तो इस प्रकार के प्रश्न सामने आने लगते हैं। “वह संख्या कहां से आती है?”, “अंश अचानक पूरी तरह से भिन्न भिन्न में क्यों बदल जाते हैं? «.

विभिन्न हर वाले भिन्नों को जोड़ना आसान बनाने के लिए, आप निम्नलिखित चरण-दर-चरण निर्देशों का उपयोग कर सकते हैं:

1. भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें;
2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त कारक प्राप्त करें;
3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें;
4. उन भिन्नों को जोड़ें जिनके हर समान हों;
5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला तो उसके पूर्ण भाग का चयन करें;

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए .

आइए ऊपर दिए गए निर्देशों का उपयोग करें।

चरण 1. भिन्नों के हरों का एलसीएम ज्ञात करें

दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात कीजिए। भिन्नों के हर संख्याएँ 2, 3 और 4 हैं

चरण 2. एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें और प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त करें

एलसीएम को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 2 है। 12 को 2 से विभाजित करने पर हमें 6 मिलता है। हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 6 मिलता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 4 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम LCM को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करते हैं। LCM संख्या 12 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

चरण 3. भिन्नों के अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें

हम अंश और हर को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करते हैं:

चरण 4. समान हर वाली भिन्नें जोड़ें

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। जो कुछ बचा है वह इन भिन्नों को जोड़ना है। इसे जोड़े:

जोड़ एक पंक्ति में फिट नहीं हुआ, इसलिए हमने शेष अभिव्यक्ति को अगली पंक्ति में स्थानांतरित कर दिया। गणित में इसकी अनुमति है. जब कोई अभिव्यक्ति एक पंक्ति में फिट नहीं बैठती है, तो उसे अगली पंक्ति में ले जाया जाता है, और पहली पंक्ति के अंत में और नई पंक्ति की शुरुआत में एक समान चिह्न (=) लगाना आवश्यक है। दूसरी पंक्ति पर समान चिह्न इंगित करता है कि यह उस अभिव्यक्ति की निरंतरता है जो पहली पंक्ति पर थी।

चरण 5. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो उसके पूरे भाग का चयन करें

हमारा उत्तर अनुचित भिन्न निकला। हमें इसके एक पूरे हिस्से को उजागर करना होगा. हम हाइलाइट करते हैं:

हमें जवाब मिला

समान हर वाली भिन्नों को घटाना

भिन्नों का घटाव दो प्रकार का होता है:

1. समान हर वाली भिन्नों को घटाना
2. भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

सबसे पहले, आइए सीखें कि समान हर वाली भिन्नों को कैसे घटाया जाए। यहां सब कुछ सरल है. एक भिन्न से दूसरा घटाने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा, लेकिन हर को वही छोड़ देना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें। इस उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दूसरे भिन्न के अंश को पहले भिन्न के अंश से घटाना होगा और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा। आओ इसे करें:

अगर हम पिज़्ज़ा को याद करें तो यह उदाहरण आसानी से समझा जा सकता है, जो चार भागों में बंटा हुआ है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 2.व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

पुनः, पहले भिन्न के अंश से, दूसरे भिन्न के अंश को घटाएँ, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

इस उदाहरण को आसानी से समझा जा सकता है यदि हम पिज़्ज़ा को याद करें, जो तीन भागों में विभाजित है। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

यह उदाहरण बिल्कुल पिछले उदाहरण की तरह ही हल किया गया है। पहले भिन्न के अंश से आपको शेष भिन्न के अंश को घटाना होगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समान हर वाले भिन्नों को घटाने में कुछ भी जटिल नहीं है। निम्नलिखित नियमों को समझना पर्याप्त है:

1. एक भिन्न से दूसरे को घटाने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश से दूसरे भिन्न के अंश को घटाना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा;
2. यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकलता है, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों को घटाना

उदाहरण के लिए, आप किसी भिन्न में से भिन्न को घटा सकते हैं क्योंकि भिन्नों के हर समान होते हैं। लेकिन आप भिन्न में से भिन्न नहीं घटा सकते, क्योंकि इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं। ऐसे मामलों में, भिन्नों को समान (सामान्य) हर में घटाया जाना चाहिए।

सामान्य हर उसी सिद्धांत का उपयोग करके पाया जाता है जिसका उपयोग हमने विभिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय किया था। सबसे पहले, दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें। फिर एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित किया जाता है और पहला अतिरिक्त गुणनखंड प्राप्त होता है, जिसे पहले अंश के ऊपर लिखा जाता है। इसी प्रकार, एलसीएम को दूसरे अंश के हर से विभाजित किया जाता है और एक दूसरा अतिरिक्त कारक प्राप्त होता है, जिसे दूसरे अंश के ऊपर लिखा जाता है।

फिर भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के परिणामस्वरूप, जिन भिन्नों के हर अलग-अलग होते थे, वे उन भिन्नों में परिवर्तित हो जाते हैं जिनके हर समान होते हैं। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है।

उदाहरण 1।अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

सबसे पहले हम दोनों भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करते हैं। पहली भिन्न का हर संख्या 3 है, और दूसरी भिन्न का हर संख्या 4 है। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक 12 है

एलसीएम (3 और 4) = 12

आइए अब भिन्नों पर लौटते हैं और

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को पहले अंश के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 3 है। 12 को 3 से विभाजित करने पर, हमें 4 मिलता है। पहली भिन्न के ऊपर चार लिखें:

हम दूसरे अंश के साथ भी ऐसा ही करते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 12 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 4 है। 12 को 4 से विभाजित करने पर, हमें 3 प्राप्त होता है। दूसरे भिन्न के ऊपर तीन लिखें:

अब हम घटाने के लिए तैयार हैं. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस नतीजे पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को अंत तक लें:

हमें जवाब मिला

आइए एक चित्र का उपयोग करके अपने समाधान को चित्रित करने का प्रयास करें। यदि आप पिज़्ज़ा से पिज़्ज़ा काटते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

यह समाधान का विस्तृत संस्करण है. यदि हम स्कूल में होते तो हमें इस उदाहरण को संक्षेप में हल करना होता। ऐसा समाधान इस प्रकार दिखेगा:

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने को एक चित्र का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है। इन भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाकर, हमें भिन्न और प्राप्त हुए। इन अंशों को समान पिज़्ज़ा स्लाइस द्वारा दर्शाया जाएगा, लेकिन इस बार उन्हें समान भागों में विभाजित किया जाएगा (समान हर तक कम):

पहली तस्वीर एक अंश (बारह में से आठ टुकड़े) दिखाती है, और दूसरी तस्वीर एक अंश (बारह में से तीन टुकड़े) दिखाती है। आठ टुकड़ों में से तीन टुकड़े काटने पर हमें बारह में से पांच टुकड़े मिलते हैं। अंश इन पाँच टुकड़ों का वर्णन करता है।

उदाहरण 2.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

इन भिन्नों के हर अलग-अलग होते हैं, इसलिए सबसे पहले आपको उन्हें एक ही (सामान्य) हर तक कम करना होगा।

आइए इन भिन्नों के हरों का LCM ज्ञात करें।

भिन्नों के हर संख्याएँ 10, 3 और 5 हैं। इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 30 है।

एलसीएम(10, 3, 5) = 30

अब हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। ऐसा करने के लिए, एलसीएम को प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित करें।

आइए पहले भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। एलसीएम संख्या 30 है, और पहली भिन्न का हर संख्या 10 है। 30 को 10 से विभाजित करने पर, हमें पहला अतिरिक्त गुणनखंड 3 प्राप्त होता है। हम इसे पहली भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को दूसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। एलसीएम संख्या 30 है, और दूसरे भिन्न का हर संख्या 3 है। 30 को 3 से विभाजित करने पर, हमें दूसरा अतिरिक्त गुणनखंड 10 मिलता है। हम इसे दूसरे भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब हम तीसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ढूंढते हैं। एलसीएम को तीसरे भिन्न के हर से विभाजित करें। LCM संख्या 30 है, और तीसरी भिन्न का हर संख्या 5 है। 30 को 5 से विभाजित करने पर, हमें तीसरा अतिरिक्त गुणनखंड 6 प्राप्त होता है। हम इसे तीसरी भिन्न के ऊपर लिखते हैं:

अब सब कुछ घटाने के लिए तैयार है. भिन्नों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करना बाकी है:

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि जिन भिन्नों के हर अलग-अलग थे, वे भिन्नों में बदल गए जिनके हर (सामान्य) समान थे। और हम पहले से ही जानते हैं कि ऐसे भिन्नों को कैसे घटाया जाता है। आइए इस उदाहरण को समाप्त करें।

उदाहरण की निरंतरता एक पंक्ति में फिट नहीं होगी, इसलिए हम निरंतरता को अगली पंक्ति में ले जाते हैं। नई लाइन पर समान चिह्न (=) के बारे में न भूलें:

उत्तर सामान्य अंश निकला, और सब कुछ हमारे अनुरूप प्रतीत होता है, लेकिन यह बहुत बोझिल और बदसूरत है। हमें इसे सरल बनाना चाहिए. क्या किया जा सकता है? आप इस भिन्न को छोटा कर सकते हैं.

किसी भिन्न को छोटा करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को संख्या 20 और 30 के (जीसीडी) से विभाजित करना होगा।

तो, हम संख्या 20 और 30 की जीसीडी पाते हैं:

अब हम अपने उदाहरण पर लौटते हैं और भिन्न के अंश और हर को प्राप्त जीसीडी से विभाजित करते हैं, यानी 10 से।

हमें जवाब मिला

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को उस संख्या से गुणा करना होगा और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

उदाहरण 1. किसी भिन्न को संख्या 1 से गुणा करें.

भिन्न के अंश को संख्या 1 से गुणा करें

रिकॉर्डिंग को आधा 1 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक बार पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको पिज़्ज़ा मिलता है

गुणन के नियमों से हम जानते हैं कि यदि गुणक और गुणनखंड की अदला-बदली कर दी जाए, तो उत्पाद नहीं बदलेगा। यदि अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जाता है, तो उत्पाद अभी भी के बराबर होगा। पुनः, पूर्ण संख्या और भिन्न को गुणा करने का नियम काम करता है:

इस अंकन को एक का आधा भाग लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि 1 पूरा पिज़्ज़ा है और हम उसका आधा हिस्सा लेते हैं, तो हमारे पास पिज़्ज़ा होगा:

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

भिन्न के अंश को 4 से गुणा करें

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

अभिव्यक्ति को दो चौथाई 4 बार लेने के रूप में समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप 4 पिज़्ज़ा लेते हैं, तो आपको दो पूरे पिज़्ज़ा मिलेंगे

और यदि हम गुणक और गुणक की अदला-बदली करते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है। यह भी 2 के बराबर होगा। इस अभिव्यक्ति को चार पूर्ण पिज़्ज़ा में से दो पिज़्ज़ा लेने के रूप में समझा जा सकता है:

भिन्न द्वारा गुणा की जाने वाली संख्या और भिन्न के हर का समाधान तब किया जाता है जब उनमें एक से अधिक सामान्य गुणनखंड हो।

उदाहरण के लिए, किसी अभिव्यक्ति का मूल्यांकन दो तरीकों से किया जा सकता है।

पहला तरीका. संख्या 4 को भिन्न के अंश से गुणा करें, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

दूसरा तरीका. चार को गुणा किया जा रहा है और भिन्न के हर में चार को कम किया जा सकता है। इन चार को 4 से कम किया जा सकता है, क्योंकि दो चौकों के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक चार ही है:

हमें वही परिणाम 3 मिला। चार को कम करने के बाद, उनके स्थान पर नई संख्याएँ बनती हैं: दो। लेकिन एक को तीन से गुणा करने और फिर एक से भाग देने से कुछ नहीं बदलता। इसलिए, समाधान संक्षेप में लिखा जा सकता है:

कमी तब भी की जा सकती है जब हमने पहली विधि का उपयोग करने का निर्णय लिया हो, लेकिन संख्या 4 और अंश 3 को गुणा करने के चरण में हमने कमी का उपयोग करने का निर्णय लिया:

लेकिन उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति की गणना केवल पहले तरीके से की जा सकती है - भिन्न के हर से 7 गुणा करें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें:

यह इस तथ्य के कारण है कि संख्या 7 और भिन्न के हर में एक से अधिक सामान्य भाजक नहीं होता है, और तदनुसार रद्द नहीं होता है।

कुछ विद्यार्थी गलती से गुणा की जाने वाली संख्या और भिन्न के अंश को छोटा कर देते हैं। आप ऐसा नहीं कर सकते. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि सही नहीं है:

एक अंश को कम करने का मतलब है कि अंश और हर दोनोंएक ही संख्या से विभाजित किया जाएगा. अभिव्यक्ति की स्थिति में, विभाजन केवल अंश में ही किया जाता है, क्योंकि इसे लिखना लिखने के समान है। हम देखते हैं कि विभाजन केवल अंश में ही होता है, हर में कोई विभाजन नहीं होता।

भिन्नों को गुणा करना

भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को गुणा करना होगा। यदि उत्तर अनुचित भिन्न निकला, तो आपको उसके पूरे भाग को उजागर करना होगा।

उदाहरण 1।व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

हमें जवाब मिला. इस अंश को कम करने की सलाह दी जाती है। भिन्न को 2 से कम किया जा सकता है। तब अंतिम समाधान निम्नलिखित रूप लेगा:

इस अभिव्यक्ति को आधे पिज़्ज़ा से एक पिज़्ज़ा लेने के रूप में समझा जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

इस आधे से दो तिहाई कैसे लें? सबसे पहले आपको इस आधे हिस्से को तीन बराबर भागों में बाँटना होगा:

और इन तीन टुकड़ों में से दो ले लो:

हम पिज़्ज़ा बनाएंगे. याद रखें कि तीन भागों में विभाजित होने पर पिज़्ज़ा कैसा दिखता है:

इस पिज़्ज़ा के एक टुकड़े और हमारे द्वारा लिए गए दो टुकड़ों के आयाम समान होंगे:

दूसरे शब्दों में कहें तो हम एक ही साइज के पिज्जा की बात कर रहे हैं. अतः अभिव्यक्ति का मान है

उदाहरण 2. किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर अनुचित भिन्न था. आइए इसके पूरे भाग पर प्रकाश डालें:

उदाहरण 3.किसी व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए

पहले भिन्न के अंश को दूसरे भिन्न के अंश से और पहले भिन्न के हर को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करें:

उत्तर एक नियमित अंश निकला, लेकिन इसे छोटा कर दिया जाए तो अच्छा रहेगा। इस भिन्न को कम करने के लिए, आपको इस भिन्न के अंश और हर को संख्या 105 और 450 के सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) से विभाजित करना होगा।

तो, आइए संख्या 105 और 450 की जीसीडी खोजें:

अब हम अपने उत्तर के अंश और हर को उस जीसीडी से विभाजित करते हैं जो हमें अब मिली है, यानी 15 से।

किसी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना

किसी भी पूर्ण संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 5 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है। इससे पाँच का अर्थ नहीं बदलेगा, क्योंकि अभिव्यक्ति का अर्थ है "संख्या पाँच को एक से विभाजित करना," और जैसा कि हम जानते हैं, यह पाँच के बराबर है:

पारस्परिक संख्याएँ

अब हम गणित के एक बहुत ही रोचक विषय से परिचित होंगे। इसे "रिवर्स नंबर" कहा जाता है।

परिभाषा। संख्या के विपरीतए एक संख्या है जिसे, जब गुणा किया जाता हैए एक देता है.

आइए इस परिभाषा में वेरिएबल के स्थान पर स्थानापन्न करें एसंख्या 5 और परिभाषा पढ़ने का प्रयास करें:

संख्या के विपरीत 5 एक संख्या है जिसे, जब गुणा किया जाता है 5 एक देता है.

क्या ऐसी संख्या ज्ञात करना संभव है जिसे 5 से गुणा करने पर एक प्राप्त हो? यह पता चला कि यह संभव है. आइए पाँच को भिन्न के रूप में कल्पना करें:

फिर इस भिन्न को स्वयं से गुणा करें, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न को स्वयं से गुणा करें, केवल उल्टा करके:

इसके परिणामस्वरूप क्या होगा? यदि हम इस उदाहरण को हल करना जारी रखते हैं, तो हमें एक मिलता है:

इसका मतलब यह है कि संख्या 5 का व्युत्क्रम वह संख्या है, क्योंकि जब आप 5 को गुणा करते हैं तो आपको एक प्राप्त होता है।

किसी संख्या का व्युत्क्रम किसी अन्य पूर्णांक के लिए भी पाया जा सकता है।

आप किसी अन्य भिन्न का व्युत्क्रम भी ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस इसे पलट दें।

किसी भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करना

मान लीजिए कि हमारे पास आधा पिज़्ज़ा है:

आइए इसे दो के बीच समान रूप से विभाजित करें। प्रत्येक व्यक्ति को कितना पिज़्ज़ा मिलेगा?

यह देखा जा सकता है कि आधे पिज्जा को विभाजित करने के बाद, दो बराबर टुकड़े प्राप्त हुए, जिनमें से प्रत्येक से एक पिज्जा बनता है। तो हर किसी को पिज़्ज़ा मिलता है।