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Didascalie delle diapositive:
Anteprima:
Soggetto
Progressione aritmetica
BERSAGLIO :
- insegnare a riconoscere una progressione aritmetica utilizzandone la definizione e il segno;
- insegnare a risolvere problemi utilizzando una definizione, un segno, una formula per il termine generale di una progressione.
OBIETTIVI DELLA LEZIONE:
fornire una definizione di progressione aritmetica, dimostrare un segno di progressione aritmetica e insegnare come usarli per risolvere i problemi.
METODI DI INSEGNAMENTO:
aggiornamento delle conoscenze degli studenti, lavoro indipendente, lavoro individuale, creazione di una situazione problematica.
TECNOLOGIE MODERNE:
ICT, apprendimento basato sui problemi, apprendimento differenziato, tecnologie salva-salute.
PIANO DELLE LEZIONI
Fasi della lezione. | Tempo di implementazione. |
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Organizzare il tempo. | 2 minuti |
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Ripetizione di quanto trattato | 5 minuti |
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Imparare nuovo materiale | 15 minuti |
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Minuto di educazione fisica | 3 minuti |
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Completare i compiti sull'argomento | 15 minuti |
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Compiti a casa | 2 minuti |
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Riassumendo | 3 minuti |
DURANTE LE LEZIONI:
- Nell'ultima lezione ci è stato introdotto il concetto di “Sequenza”.
Oggi continueremo a studiare le sequenze numeriche, a definirne alcune e a conoscerne le proprietà e le caratteristiche.
- Rispondi alle domande: cos'è una sequenza?
Quali sequenze ci sono?
In che modo puoi impostare la sequenza?
Cos'è una sequenza numerica?
Quali metodi conosci per specificare una sequenza numerica? Quale formula si chiama ricorrente?
- Date le sequenze numeriche:
- 1, 2, 3, 4, 5, …
- 2, 5, 8, 11, 14,…
- 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
- 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …
Trova lo schema di ciascuna sequenza e dai un nome ai tre termini successivi di ciascuna.
- un n = un n -1 +1
- un n = un n -1 + 3
- un n = un n -1 + (-2)
- un n = un n -1 + 0,5
Fornisci la formula di ricorrenza per ogni sequenza.
Diapositiva 1
Una sequenza numerica in cui ciascun membro, a partire dal secondo, è uguale al membro precedente sommato allo stesso numero, si chiama progressione aritmetica.
Il numero d è chiamato differenza di una progressione aritmetica.
Una progressione aritmetica è una sequenza numerica, quindi può essere crescente, decrescente o costante. Fornisci esempi di tali sequenze, nomina la differenza tra ciascuna progressione e trai una conclusione.
Deriviamo la formula per il termine generale di una progressione aritmetica.
Alla lavagna: lascia a 1 è il primo termine della progressione, d è quindi la sua differenza
a2 =a1 +d
a3 =(a1 +d)+d=a1 +2d
a4 =(a1+2d)+d=a1+3d
a5 =(a1 +3d)+d=a1 +4d
a n = a 1 +d (n-1) - formula dell'ennesimo termine di una progressione aritmetica.
Risolvi il problema: In una progressione aritmetica, il primo termine è 5 e la differenza è 4.
Trova il 22° termine di questa progressione.
Lo studente decide in commissione: a n =a1 +d(n-1)
A22 =a1+21d=5+21*4=89
Minuto di educazione fisica.
Ci siamo alzati.
Le mani sulla cintura. Si inclina a sinistra, a destra (2 volte);
Piegarsi in avanti, indietro (2 volte);
Alza le mani, fai un respiro profondo, abbassa le mani, espira. (2 volte)
Si strinsero la mano. Grazie.
Ci sedemmo. Continuiamo la lezione.
Risolviamo i problemi utilizzando la formula per il termine generale di una progressione aritmetica.
Agli studenti vengono offerti i seguenti compiti:
- In una progressione aritmetica, il primo termine è -2, d=3, a n = 118.
Trova n.
- In una progressione aritmetica, il primo termine è 7, il quindicesimo termine è –35. Trova le differenze.
- È noto che nella progressione aritmetica d=-2, a39=83. Trova il primo termine della progressione.
Gli studenti sono divisi in gruppi. L'attività viene assegnata per 5 minuti. Successivamente, i primi 3 studenti che hanno risolto i problemi li risolvono alla lavagna. La soluzione è duplicata sulle diapositive.
Consideriamo le proprietà caratteristiche di una progressione aritmetica.
Nella progressione aritmetica
un n -d=a (n-1)
un n +d=a (n+1)
Sommiamo queste due uguaglianze termine per termine, otteniamo: 2a n =a (n+1) +a (n-1)
A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2
Ciò significa che ciascun membro di una progressione aritmetica, eccetto il primo e l'ultimo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedente e successivo.
TEOREMA:
Una sequenza numerica è una progressione aritmetica se e solo se ciascuno dei suoi membri, tranne il primo (e l'ultimo nel caso di sequenza finita), è uguale alla media aritmetica dei membri precedenti e successivi (proprietà caratteristica di una sequenza progressione aritmetica).
La comprensione di molti argomenti di matematica e fisica è associata alla conoscenza delle proprietà delle serie numeriche. Gli scolari del 9 ° grado, quando studiano la materia "Algebra", considerano una delle sequenze importanti di numeri: una progressione aritmetica. Presentiamo le formule di base della progressione aritmetica (9a elementare), nonché esempi del loro utilizzo per risolvere problemi.
Progressione algebrica o aritmetica
La serie numerica di cui parleremo in questo articolo viene chiamata in due modi diversi, presentati nel titolo di questo paragrafo. Quindi, per progressione aritmetica in matematica intendiamo una serie di numeri in cui due numeri adiacenti differiscono della stessa quantità, chiamata differenza. I numeri in tale serie sono solitamente indicati con lettere con un indice intero inferiore, ad esempio a1, a2, a3 e così via, dove l'indice indica il numero dell'elemento della serie.
Tenendo conto della definizione di progressione aritmetica sopra, possiamo scrivere la seguente uguaglianza: a2-a1 =...=an-an-1=d, dove d è la differenza della progressione algebrica e n è un numero intero qualsiasi. Se d>0 allora possiamo aspettarci che ogni membro successivo della serie sarà maggiore del precedente, in questo caso si parla di progressione crescente. Se d
Formule di progressione aritmetica (scuola media 9a)
La serie di numeri in questione, poiché è ordinata e obbedisce a qualche legge matematica, ha due proprietà importanti per il suo utilizzo:
La prima formula è di facile comprensione, poiché è una conseguenza diretta del fatto che ciascun membro della serie in esame differisce dal suo vicino per la stessa differenza.
La seconda formula per una progressione aritmetica si ottiene osservando che la somma a1+an risulta equivalente alle somme a2+an-1, a3+an-2 e così via. Infatti, poiché a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 e an-1 = -d+an, sostituendo queste espressioni nelle somme corrispondenti, troviamo che saranno gli stessi. Il fattore n/2 nella 2a formula (per Sn) appare dovuto al fatto che le somme del tipo ai+1+an-i risultano esattamente n/2, qui i è un intero compreso tra 0 e n/2 -1.
Secondo le testimonianze storiche sopravvissute, la formula per la somma Sn fu ottenuta per la prima volta da Carl Gauss (il famoso matematico tedesco) quando il suo insegnante di scuola gli incaricò di sommare i primi 100 numeri.
Esempio problema n. 1: trova la differenza
Problemi in cui la domanda si pone come segue: conoscere le formule di una progressione aritmetica, come trovare d (d), sono le più semplici che possono essere solo per questo argomento.
Facciamo un esempio: data una sequenza numerica -5,-2, 1, 4, ..., è necessario determinarne la differenza, cioè d.
Questo può essere fatto nel modo più semplice possibile: devi prendere due elementi e sottrarre quello più piccolo da quello più grande. In questo caso abbiamo: d = -2 - (-5) = 3.
Per essere sicuri della risposta ricevuta si consiglia di verificare le restanti differenze, poiché la sequenza presentata potrebbe non soddisfare la condizione di progressione algebrica. Abbiamo: 1-(-2)=3 e 4-1=3. Questi dati indicano che abbiamo ottenuto il risultato corretto (d=3) e dimostrato che la serie di numeri nella formulazione del problema rappresenta realmente una progressione algebrica.
Esempio problema n.2: trova la differenza, conoscendo due termini della progressione
Consideriamo un altro problema interessante, che chiede come trovare la differenza. In questo caso per l'ennesimo termine è necessario utilizzare la formula di progressione aritmetica. Quindi, il compito: dati il primo e il quinto numero di una serie che corrisponde a tutte le proprietà di una progressione algebrica, ad esempio, questi sono i numeri a1 = 8 e a5 = -10. Come trovare la differenza d?
Dovresti iniziare a risolvere questo problema scrivendo una formula generale per l'ennesimo elemento: an = a1+d*(-1+n). Ora puoi procedere in due modi: sostituire immediatamente i numeri e lavorare con essi, oppure esprimere d, quindi passare a a1 e a5 specifici. Utilizzando l'ultimo metodo, otteniamo: a5 = a1+d*(-1+5) oppure a5 = 4*d+a1, il che significa che d = (a5-a1)/4. Ora puoi sostituire in sicurezza i dati noti della condizione e ottenere la risposta finale: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Da notare che in questo caso la differenza di progressione risulta essere negativa, cioè c'è una sequenza decrescente di numeri. È necessario prestare attenzione a questo fatto quando si risolvono i problemi per non confondere i segni “+” e “-”. Tutte le formule sopra riportate sono universali, quindi vanno sempre seguite indipendentemente dal segno dei numeri con cui si effettuano le operazioni.
Un esempio di risoluzione del problema n. 3: trova a1, conoscendo la differenza e l'elemento
Cambiamo leggermente la formulazione del problema. Sia che ci siano due numeri: la differenza d=6 e il 9° elemento della progressione a9 = 10. Come trovare a1? Le formule per la progressione aritmetica rimangono invariate, usiamole. Per il numero a9 abbiamo la seguente espressione: a1+d*(9-1) = a9. Da dove otteniamo facilmente il primo elemento della serie: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.
Un esempio di risoluzione del problema n. 4: trova a1, conoscendo due elementi
Questa versione del problema è una versione complicata della precedente. L'essenza è la stessa, è necessario calcolare a1, ma ora la differenza d non è nota, e al suo posto viene dato un altro elemento della progressione.
Un esempio di questo tipo di problema è il seguente: trova il primo numero di una sequenza che sappiamo essere una progressione aritmetica e che i suoi 15 e 23 elementi siano rispettivamente 7 e 12.
È necessario risolvere questo problema scrivendo un'espressione per l'ennesimo termine per ogni elemento noto dalla condizione, abbiamo: a15 = d*(15-1)+a1 e a23 = d*(23-1)+a1. Come puoi vedere, abbiamo due equazioni lineari che devono essere risolte per a1 e d. Facciamo questo: sottraiamo la prima dalla seconda equazione, quindi otteniamo la seguente espressione: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Nel derivare l'ultima equazione, i valori di a1 sono stati omessi perché si annullano quando vengono sottratti. Sostituendo i dati noti, troviamo la differenza: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Il valore di d deve essere sostituito in qualsiasi formula di elemento noto per ottenere il primo termine della sequenza: a15 = 14*d+a1, da cui: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75 .
Controlliamo il risultato ottenuto; per fare ciò troviamo a1 tramite la seconda espressione: a23 = d*22+a1 oppure a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Un esempio di risoluzione del problema n. 5: trova la somma di n elementi
Come puoi vedere, fino a questo punto, per la soluzione è stata utilizzata una sola formula di progressione aritmetica (9° grado). Presentiamo ora un problema, la cui soluzione richiede la conoscenza della seconda formula, cioè della somma Sn.
Esiste la seguente serie ordinata di numeri -1,1, -2,1, -3,1,..., devi calcolare la somma dei suoi primi 11 elementi.
Da questa serie è chiaro che sta diminuendo e a1 = -1,1. La sua differenza è pari a: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Ora definiamo l'undicesimo termine: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Dopo aver completato i calcoli preparatori, è possibile utilizzare la formula sopra indicata per l'importo, abbiamo: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Poiché tutti i termini erano numeri negativi, anche la loro somma ha il segno corrispondente.
Un esempio di risoluzione del problema n. 6: trova la somma degli elementi da n a m
Forse questo tipo di problema è il più difficile per la maggior parte degli scolari. Facciamo un esempio tipico: data una serie di numeri 2, 4, 6, 8..., bisogna trovare la somma dal 7° al 13° termine.
Le formule di progressione aritmetica (grado 9) vengono utilizzate esattamente come in tutti i problemi precedenti. Si consiglia di risolvere questo problema passo dopo passo:
Arriviamo alla soluzione. Esattamente come nel caso precedente, eseguiremo i calcoli preparatori: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.
Calcoliamo due somme: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Prendi la differenza e ottieni la risposta desiderata: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Si noti che quando si ottiene questo valore, è stata utilizzata come sottraendo la somma di 6 elementi della progressione, poiché il 7° termine è compreso nella somma S7-13.
Soggetto: Progressioni aritmetiche e geometriche
Classe: 9
Sistema di formazione: materiale per la preparazione allo studio degli argomenti di algebra e alla fase preparatoria per il superamento dell'esame OGE
Bersaglio: formazione dei concetti di progressione aritmetica e geometrica
Compiti: insegnare a distinguere tra tipi di progressione, insegnare correttamente, usare formule
Progressione aritmetica nominare una sequenza di numeri (termini di una progressione)
in cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un nuovo termine, detto anche gradino o differenza di progressione.
Pertanto, specificando il passo di progressione e il suo primo termine, puoi trovare qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula
1) Ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione
È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei termini pari (dispari) adiacenti di una progressione è uguale al termine che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Utilizzando questa istruzione, è molto semplice controllare qualsiasi sequenza.
Inoltre, per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata come segue
Questo è facile da verificare se scrivi i termini a destra del segno uguale
Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.
2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola utilizzando la formula
Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica; è indispensabile nei calcoli e la si trova molto spesso in semplici situazioni della vita.
3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma parte della sequenza a partire dal suo k-esimo termine, allora ti sarà utile la seguente formula di somma
4) Di interesse pratico è trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica a partire dal k-esimo numero. Per fare ciò, usa la formula
Trova il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...
Soluzione:
Secondo la condizione che abbiamo
Determiniamo il passo di progressione
Utilizzando una formula ben nota troviamo il quarantesimo termine della progressione
Una progressione aritmetica è data dal terzo e dal settimo termine. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.
Soluzione:
Scriviamo gli elementi dati della progressione utilizzando le formule
Una progressione aritmetica è data da un denominatore e da uno dei suoi termini. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50 e la somma dei primi 100.
Soluzione:
Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione
e trova il primo
In base al primo troviamo il cinquantesimo termine della progressione
Trovare la somma delle parti della progressione
e la somma dei primi 100
La somma della progressione è 250. Trova il numero di termini della progressione aritmetica se:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Soluzione:
Scriviamo le equazioni in termini del primo termine e del passo di progressione e determiniamole
Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della somma per determinare il numero di termini nella somma
Effettuiamo semplificazioni
e risolvere l'equazione quadratica
Dei due valori trovati, solo il numero 8 rientra nelle condizioni problematiche. Pertanto la somma dei primi otto termini della progressione è 111.
Risolvi l'equazione
1+3+5+...+x=307.
Soluzione:
Questa equazione è la somma di una progressione aritmetica. Scriviamo il suo primo termine e troviamo la differenza nella progressione
Sostituiamo i valori trovati nella formula con la somma della progressione per trovare il numero di termini
Come nel compito precedente, eseguiremo delle semplificazioni e risolveremo l'equazione quadratica
Scegliamo il più logico dei due valori. Abbiamo che la somma di 18 termini della progressione con i valori dati a1=1, d=2 è pari a Sn=307.
Esempi di problem solving: Progressione aritmetica
Problema 1
La squadra studentesca si è impegnata a posare piastrelle di ceramica sul pavimento della sala del club giovanile con una superficie di 288 m2. Acquisendo esperienza, gli studenti hanno steso 2 m2 in più ogni giorno successivo, a partire dal secondo, rispetto al giorno successivo. giorno precedente e la loro fornitura di piastrelle era sufficiente per esattamente 11 giorni di lavoro. Pianificando che la produttività del lavoro sarebbe aumentata allo stesso modo, il caposquadra stabilì che ci sarebbero voluti altri 5 giorni per completare il lavoro. Quante scatole di piastrelle dovrebbe ordinare se 1 scatola è sufficiente per 1,2 m2 di pavimento e 3 scatole sono necessarie per sostituire piastrelle di bassa qualità?
Soluzione
Date le condizioni del problema, è chiaro che stiamo parlando di una progressione aritmetica in cui poniamo
à1=х, Sn=288, n=16
Quindi utilizziamo la formula: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0,86=200 mmHg. Arte.
288=(2x+2*15)*16/2
Calcoliamo quanti m2 gli studenti disporranno in 11 giorni: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m2
288-143=145m2 rimasti dopo 11 giorni di lavoro, ovvero per 5 giorni
145/1.2=121 (circa) scatole da ordinare entro 5 giorni.
121+3=124 scatole devono essere ordinate tenendo conto dei difetti
Risposta: 124 scatole
Problema 2
Dopo ogni movimento del pistone della pompa per vuoto, il 20% dell'aria in esso contenuta viene rimossa dal recipiente. Determiniamo la pressione dell'aria all'interno del recipiente dopo sei movimenti del pistone, se la pressione iniziale era di 760 mm Hg. Arte.
Soluzione
Poiché dopo ogni movimento del pistone il 20% dell'aria disponibile viene rimossa dal serbatoio, ne rimane l'80%. Per scoprire la pressione dell'aria nella nave dopo il successivo movimento del pistone, è necessario moltiplicare la pressione del movimento precedente del pistone per 0,8.
Abbiamo una progressione geometrica il cui primo termine è 760 e il suo denominatore è 0,8. Il numero che esprime la pressione dell'aria nel recipiente (in mm Hg) dopo sei movimenti del pistone è il settimo termine di questa progressione. È pari a 760*0,86=200 mmHg. Arte.
Risposta: 200 mmHg.
Viene data una progressione aritmetica, dove il quinto e il decimo termine sono uguali rispettivamente a 38 e 23. Trova il quindicesimo termine della progressione e la somma dei suoi primi dieci termini.
Soluzione:
Trova il numero di termini della progressione aritmetica 5,14,23,...,, se il suo-esimo termine è 239.
Soluzione:
Trovare il numero dei termini di una progressione aritmetica è 9,12,15,...,, se la sua somma è 306.
Soluzione:
Trova x per cui i numeri x-1, 2x-1, x2-5 formano una progressione aritmetica
Soluzione:
Troviamo la differenza tra 1 e 2 termini della progressione:
d=(2x-1)-(x-1)=x
Troviamo la differenza tra 2 e 3 termini della progressione:
d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4
Perché la differenza è la stessa, quindi i termini della progressione possono essere equiparati:
Selezionando in entrambi i casi si ottiene una progressione aritmetica
Risposta: in x=-1 e x=4
La progressione aritmetica è data dal suo terzo e settimo termine a3=5; a7=13. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.
Soluzione:
Sottraiamo la prima dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passaggio di progressione
a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, quindi d=2
Sostituiamo il valore trovato in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica
Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della progressione
S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100
Risposta: a1=1; S10=100
In una progressione aritmetica il cui primo termine è -3,4 e la cui differenza è 3, trova il quinto e l'undicesimo termine.
Quindi sappiamo che a1 = -3,4; d = 3. Trova: a5, a11-.
Soluzione. Per trovare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica utilizziamo la formula: an = a1+ (n – 1)d. Abbiamo:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 3 = 26,6.
Come puoi vedere, in questo caso la soluzione non è difficile.
Il dodicesimo termine di una progressione aritmetica è 74 e la differenza è -4. Trova il trentaquattresimo termine di questa progressione.
Ci viene detto che a12 = 74; d = -4, e dobbiamo trovare a34-.
In questo problema non è possibile applicare immediatamente la formula an = a1 + (n – 1)d, perché Il primo termine a1 è sconosciuto. Questo problema può essere risolto in più passaggi.
1. Utilizzando il termine a12 e la formula per l'ennesimo termine, troviamo a1:
a12 = a1 + (12 – 1)d, ora semplifichiamo e sostituiamo d: a12 = a1 + 11 · (-4). Da questa equazione troviamo a1: a1 = a12 – (-44);
Conosciamo il dodicesimo termine dall'enunciato del problema, quindi possiamo facilmente calcolare a1
a1 = 74 + 44 = 118. Passiamo al secondo passaggio: calcolare a34.
2. Ancora, utilizzando la formula an = a1 + (n – 1)d, poiché a1 è già noto, determineremo a34-,
a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.
Risposta: Il trentaquattresimo termine della progressione aritmetica è -14.
Come puoi vedere, la soluzione del secondo esempio è più complessa. La stessa formula viene utilizzata due volte per ottenere la risposta. Ma è tutto così complicato. La soluzione può essere abbreviata utilizzando formule aggiuntive.
Come già notato, se nel problema è noto a1, è molto conveniente utilizzare la formula per determinare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ma se la condizione non specifica il primo termine, allora può venire in soccorso una formula che collega l'ennesimo termine di cui abbiamo bisogno e il termine ak specificato nel problema.
an = ak + (n – k)d.
Risolviamo il secondo esempio, ma utilizzando una nuova formula.
Dato: a12 = 74; d = -4. Trova: a34-.
Usiamo la formula an = ak + (n – k)d. Nel nostro caso sarà:
a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.
La risposta al problema è stata ottenuta molto più velocemente, perché non è stato necessario eseguire azioni aggiuntive e cercare il primo termine della progressione.
Utilizzando le formule di cui sopra, puoi risolvere i problemi di calcolo della differenza di una progressione aritmetica. Quindi, utilizzando la formula an = a1 + (n – 1)d possiamo esprimere d:
d = (an – a1) / (n – 1). Tuttavia, i problemi con un dato primo termine non si incontrano così spesso e possono essere risolti utilizzando la nostra formula an = ak + (n – k)d, da cui è chiaro che d = (an – ak) / (n – K). Diamo un'occhiata a questo problema.
Trovare la differenza della progressione aritmetica se è noto che a3 = 36; a8 = 106.
Utilizzando la formula che abbiamo ottenuto, la soluzione del problema può essere scritta in una riga:
d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.
Senza questa formula, la soluzione del problema avrebbe richiesto molto più tempo, perché si dovrebbe risolvere un sistema di due equazioni.
Progressioni geometriche
1. Formula dell'esimo termine (termine comune della progressione).
2. Formula per la somma dei primi termini della progressione: . Quando è consuetudine parlare di progressione geometrica convergente; in questo caso puoi calcolare la somma dell'intera progressione utilizzando la formula.
3. Formula per la “media geometrica”: se , , sono tre termini consecutivi di una progressione geometrica, allora per definizione abbiamo le seguenti relazioni: o oppure 
.
La comprensione di molti argomenti di matematica e fisica è associata alla conoscenza delle proprietà delle serie numeriche. Gli scolari del 9 ° grado, quando studiano la materia "Algebra", considerano una delle sequenze importanti di numeri: una progressione aritmetica. Presentiamo le formule di base della progressione aritmetica (9a elementare), nonché esempi del loro utilizzo per risolvere problemi.
Progressione algebrica o aritmetica
La serie numerica di cui parleremo in questo articolo viene chiamata in due modi diversi, presentati nel titolo di questo paragrafo. Quindi, per progressione aritmetica in matematica intendiamo una serie di numeri in cui due numeri adiacenti differiscono della stessa quantità, chiamata differenza. I numeri in tale serie sono solitamente indicati da lettere con un indice intero inferiore, ad esempio 1, 2, 3 e così via, dove l'indice indica il numero dell'elemento della serie.
Tenendo conto della definizione di progressione aritmetica di cui sopra, possiamo scrivere la seguente uguaglianza: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, dove d è la differenza della progressione algebrica e n è un numero intero qualsiasi . Se d>0 allora possiamo aspettarci che ogni membro successivo della serie sarà maggiore del precedente, in questo caso si parla di progressione crescente. Se d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .
Formule di progressione aritmetica (scuola media 9a)
La serie di numeri in questione, poiché è ordinata e obbedisce a qualche legge matematica, ha due proprietà importanti per il suo utilizzo:
- Innanzitutto, conoscendo solo due numeri a 1 e d, puoi trovare qualsiasi membro della sequenza. Questo viene fatto utilizzando la seguente formula: a n = a 1 +(n-1)*d.
- In secondo luogo, per calcolare la somma dei primi n termini, non è necessario sommarli in ordine, poiché si può utilizzare la seguente formula: S n = n*(a n +a 1)/2.
La prima formula è di facile comprensione, poiché è una conseguenza diretta del fatto che ciascun membro della serie in esame differisce dal suo vicino per la stessa differenza.
La seconda formula per una progressione aritmetica si ottiene notando che la somma a 1 +a n risulta equivalente alle somme a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 e così via. Infatti, poiché a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1 e a n-1 = -d+a n, sostituendo queste espressioni nella importi corrispondenti, troviamo che saranno gli stessi. Il fattore n/2 nella 2a formula (per S n) appare dovuto al fatto che le somme del tipo a i+1 +a n-i risultano esattamente n/2, qui i è un numero intero compreso tra 0 e n /2 -1.
Secondo le testimonianze storiche sopravvissute, la formula per la somma S n fu ottenuta per la prima volta da Carl Gauss (il famoso matematico tedesco) quando il suo insegnante di scuola gli incaricò di sommare i primi 100 numeri.
Esempio problema n. 1: trova la differenza
Problemi in cui la domanda si pone come segue: conoscere le formule di una progressione aritmetica, come trovare d (d), sono le più semplici che possono essere solo per questo argomento.
Facciamo un esempio: data una sequenza numerica -5,-2, 1, 4, ..., è necessario determinarne la differenza, cioè d.
Questo può essere fatto nel modo più semplice possibile: devi prendere due elementi e sottrarre quello più piccolo da quello più grande. In questo caso abbiamo: d = -2 - (-5) = 3.
Per essere sicuri della risposta ricevuta si consiglia di verificare le restanti differenze, poiché la sequenza presentata potrebbe non soddisfare la condizione di progressione algebrica. Abbiamo: 1-(-2)=3 e 4-1=3. Questi dati indicano che abbiamo ottenuto il risultato corretto (d=3) e dimostrato che la serie di numeri nella formulazione del problema rappresenta realmente una progressione algebrica.
Esempio problema n.2: trova la differenza, conoscendo due termini della progressione
Consideriamo un altro problema interessante, che chiede come trovare la differenza. In questo caso per l'ennesimo termine è necessario utilizzare la formula di progressione aritmetica. Quindi, il compito: dati il primo e il quinto numero di una serie che corrisponde a tutte le proprietà di una progressione algebrica, ad esempio, questi sono i numeri a 1 = 8 e a 5 = -10. Come trovare la differenza d?
Dovresti iniziare a risolvere questo problema scrivendo la forma generale della formula per l'ennesimo elemento: a n = a 1 +d*(-1+n). Ora puoi procedere in due modi: o sostituire immediatamente i numeri e lavorare con essi, oppure esprimere d, e poi passare a specificare a 1 e a 5. Usando l'ultimo metodo, otteniamo: a 5 = a 1 +d*(-1+5) oppure a 5 = 4*d+a 1, il che significa che d = (a 5 -a 1)/4. Ora puoi sostituire in sicurezza i dati noti della condizione e ottenere la risposta finale: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Da notare che in questo caso la differenza di progressione risulta essere negativa, cioè c'è una sequenza decrescente di numeri. È necessario prestare attenzione a questo fatto quando si risolvono i problemi per non confondere i segni “+” e “-”. Tutte le formule sopra riportate sono universali, quindi vanno sempre seguite indipendentemente dal segno dei numeri con cui si effettuano le operazioni.
Un esempio di risoluzione del problema n. 3: trova a1, conoscendo la differenza e l'elemento
Cambiamo leggermente la formulazione del problema. Sia che ci siano due numeri: la differenza d=6 e il 9° elemento della progressione a 9 = 10. Come trovare a1? Le formule per la progressione aritmetica rimangono invariate, usiamole. Per il numero a 9 abbiamo la seguente espressione: a 1 +d*(9-1) = a 9. Da dove otteniamo facilmente il primo elemento della serie: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.
Un esempio di risoluzione del problema n. 4: trova a1, conoscendo due elementi
Questa versione del problema è una versione complicata della precedente. L'essenza è la stessa, è necessario calcolare a 1, ma ora la differenza d non è nota, e al suo posto viene dato un altro elemento della progressione.
Un esempio di questo tipo di problema è il seguente: trova il primo numero di una sequenza che sappiamo essere una progressione aritmetica e che i suoi 15 e 23 elementi siano rispettivamente 7 e 12.
È necessario risolvere questo problema scrivendo un'espressione per l'n-esimo termine per ogni elemento noto dalla condizione, abbiamo: a 15 = d*(15-1)+a 1 e a 23 = d*(23-1) +a 1 . Come puoi vedere, abbiamo due equazioni lineari che devono essere risolte per a 1 e d. Facciamo così: sottraiamo la prima dalla seconda equazione, quindi otteniamo la seguente espressione: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. Nel derivare l'ultima equazione, i valori di 1 sono stati omessi perché si annullano quando vengono sottratti. Sostituendo i dati noti, troviamo la differenza: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Il valore di d deve essere sostituito in qualsiasi formula di elemento noto per ottenere il primo termine della sequenza: a 15 = 14*d+a 1, da cui: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0,625 = -1,75.
Controlliamo il risultato ottenuto; per fare ciò troviamo a 1 tramite la seconda espressione: a 23 = d*22+a 1 oppure a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Un esempio di risoluzione del problema n. 5: trova la somma di n elementi
Come puoi vedere, fino a questo punto, per la soluzione è stata utilizzata una sola formula di progressione aritmetica (9° grado). Presentiamo ora un problema, la cui soluzione richiede la conoscenza della seconda formula, cioè della somma S n.
Esiste la seguente serie ordinata di numeri -1,1, -2,1, -3,1,..., devi calcolare la somma dei suoi primi 11 elementi.
Da questa serie è chiaro che è decrescente e a 1 = -1,1. La sua differenza è pari a: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Ora definiamo l'undicesimo termine: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1.1) = -11.1. Dopo aver completato i calcoli preparatori, è possibile utilizzare la formula sopra indicata per l'importo, abbiamo: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Poiché tutti i termini erano numeri negativi, anche la loro somma ha il segno corrispondente.
Un esempio di risoluzione del problema n. 6: trova la somma degli elementi da n a m
Forse questo tipo di problema è il più difficile per la maggior parte degli scolari. Facciamo un esempio tipico: data una serie di numeri 2, 4, 6, 8..., bisogna trovare la somma dal 7° al 13° termine.
Formule progressione aritmetica(9° grado) vengono utilizzati esattamente come in tutti i problemi precedenti. Si consiglia di risolvere questo problema passo dopo passo:
- Per prima cosa trova la somma di 13 termini utilizzando la formula standard.
- Quindi calcola questa somma per i primi 6 elementi.
- Successivamente, sottrai il 2° dal 1° importo.
Arriviamo alla soluzione. Esattamente come nel caso precedente, eseguiremo i calcoli preparatori: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.
Calcoliamo due somme: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Prendiamo la differenza e otteniamo la risposta desiderata: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Si noti che quando si ottiene questo valore, è stata utilizzata come sottraendo la somma di 6 elementi della progressione, poiché il 7° termine è incluso nella somma S 7-13.
La matematica ha una sua bellezza, proprio come la pittura e la poesia.
Scienziato russo, meccanico N.E. Zhukovsky
Problemi molto comuni negli esami di ammissione in matematica sono problemi legati al concetto di progressione aritmetica. Per risolvere con successo tali problemi, è necessario avere una buona conoscenza delle proprietà della progressione aritmetica e possedere determinate competenze nella loro applicazione.
Ricordiamo innanzitutto le proprietà fondamentali di una progressione aritmetica e presentiamo le formule più importanti, associato a questo concetto.
Definizione. Sequenza numerica, in cui ogni termine successivo differisce dal precedente per lo stesso numero, chiamata progressione aritmetica. In questo caso il numerochiamata differenza di progressione.
Per una progressione aritmetica valgono le seguenti formule:
, (1)
Dove . La formula (1) è detta formula del termine generale di una progressione aritmetica, e la formula (2) rappresenta la proprietà principale di una progressione aritmetica: ciascun termine della progressione coincide con la media aritmetica dei termini vicini e .
Si noti che è proprio per questa proprietà che la progressione in esame viene chiamata “aritmetica”.
Le formule di cui sopra (1) e (2) sono generalizzate come segue:
(3)
Per calcolare l'importo Primo termini di una progressione aritmeticadi solito viene utilizzata la formula
(5) dove e .
Se prendiamo in considerazione la formula (1), quindi dalla formula (5) segue
Se denotiamo , allora
Dove . Poiché , le formule (7) e (8) sono una generalizzazione delle corrispondenti formule (5) e (6).
In particolare , dalla formula (5) segue, Che cosa
Poco nota alla maggior parte degli studenti è la proprietà della progressione aritmetica, formulata attraverso il seguente teorema.
Teorema. Se poi
Prova. Se poi
Il teorema è stato dimostrato.
Per esempio , utilizzando il teorema, lo si può dimostrare
Passiamo a considerare esempi tipici di risoluzione di problemi sull'argomento "Progressione aritmetica".
Esempio 1. Lascia fare. Trovare .
Soluzione. Applicando la formula (6), otteniamo . Da e , allora o .
Esempio 2. Lascia che sia tre volte maggiore e, diviso per il quoziente, il risultato è 2 e il resto è 8. Determina e .
Soluzione. Dalle condizioni dell'esempio segue il sistema di equazioni
Poiché , , e , quindi dal sistema di equazioni (10) otteniamo
La soluzione di questo sistema di equazioni è e .
Esempio 3. Trova se e .
Soluzione. Secondo la formula (5) abbiamo o . Tuttavia, utilizzando la proprietà (9), otteniamo .
Da e , quindi dall'uguaglianza segue l'equazione O .
Esempio 4. Trova se.
Soluzione.Secondo la formula (5) abbiamo
Tuttavia, utilizzando il teorema, possiamo scrivere
Da qui e dalla formula (11) otteniamo .
Esempio 5. Dato: . Trovare .
Soluzione. Da allora. Tuttavia, quindi.
Esempio 6. Lasciamo , e . Trovare .
Soluzione. Usando la formula (9), otteniamo . Pertanto, se , allora o .
Dal e allora qui abbiamo un sistema di equazioni
Risolvendolo, otteniamo e .
Radice naturale dell'equazioneÈ .
Esempio 7. Trova se e .
Soluzione. Poiché secondo la formula (3) abbiamo quello , il sistema di equazioni segue dalle condizioni del problema
Se sostituiamo l'espressionenella seconda equazione del sistema, quindi otteniamo o .
Le radici di un'equazione quadratica sono E .
Consideriamo due casi.
1. Sia , allora . Da allora e poi.
In questo caso, secondo la formula (6), abbiamo
2. Se , allora , e
Risposta: e.
Esempio 8.È noto che e. Trovare .
Soluzione. Tenendo conto della formula (5) e della condizione dell'esempio, scriviamo e .
Ciò implica il sistema di equazioni
Se moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 2 e poi la aggiungiamo alla seconda equazione, otteniamo
Secondo la formula (9) abbiamo. A questo proposito, risulta dalla (12) O .
Da allora e poi.
Risposta: .
Esempio 9. Trova se e .
Soluzione. Poiché , e per condizione , allora o .
Dalla formula (5) è noto, Che cosa . Da allora.
Quindi , qui abbiamo un sistema di equazioni lineari
Da qui otteniamo e . Tenendo conto della formula (8), scriviamo .
Esempio 10. Risolvi l'equazione.
Soluzione. Dall'equazione data segue che . Supponiamo che , , e . In questo caso .
Secondo la formula (1), possiamo scrivere o .
Poiché , allora l'equazione (13) ha l'unica radice adatta .
Esempio 11. Trovare il valore massimo a condizione che e .
Soluzione. Da , allora la progressione aritmetica considerata è decrescente. A questo proposito l'espressione assume il suo valore massimo quando è il numero del minimo termine positivo della progressione.
Usiamo la formula (1) e il fatto, quello e . Quindi otteniamo quello o .
Dal , allora o . Tuttavia, in questa disuguaglianzanumero naturale più grande, Ecco perché .
Se i valori di , e vengono sostituiti nella formula (6), otteniamo .
Risposta: .
Esempio 12. Determina la somma di tutti i numeri naturali a due cifre che, divisi per il numero 6, lasciano come resto 5.
Soluzione. Indichiamo con l'insieme di tutti i numeri naturali a due cifre, cioè . Successivamente, costruiremo un sottoinsieme costituito da quegli elementi (numeri) dell'insieme che, divisi per il numero 6, danno come resto 5.
Facile da installare, Che cosa . Ovviamente , che gli elementi dell'insiemeformano una progressione aritmetica, in cui e .
Per stabilire la cardinalità (numero di elementi) dell'insieme, assumiamo che . Poiché e , segue dalla formula (1) o . Tenendo conto della formula (5), otteniamo .
Gli esempi di risoluzione dei problemi sopra riportati non possono in alcun modo pretendere di essere esaustivi. Questo articolo è scritto sulla base di un'analisi dei metodi moderni per risolvere problemi tipici su un determinato argomento. Per uno studio più approfondito dei metodi di risoluzione dei problemi legati alla progressione aritmetica si consiglia di fare riferimento all'elenco della letteratura consigliata.
1. Raccolta di problemi di matematica per i candidati alle università / Ed. MI. Scanavi. – M.: Pace ed educazione, 2013. – 608 pag.
2. Superare il V.P. Matematica per gli studenti delle scuole superiori: sezioni aggiuntive del curriculum scolastico. – M.: Lenand/URSS, 2014. – 216 pag.
3. Medynsky M.M. Un corso completo di matematica elementare in problemi ed esercizi. Libro 2: Sequenze e progressioni numeriche. – M.: Editus, 2015. – 208 pag.
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