Vieta의 정리에 의한 예제 솔루션. 이차 및 기타 방정식에 대한 Vieta의 정리. Vieta의 정리를 사용하는 예

이차 방정식을 푸는 방법 중 하나는 응용 프로그램입니다. 비에타 공식, FRANCOIS VIETE의 이름을 따서 명명되었습니다.

그는 유명한 변호사였으며 16세기에 프랑스 왕과 함께 일했습니다. 여가 시간에 그는 천문학과 수학을 공부했습니다. 그는 이차 방정식의 근과 계수 사이의 연결을 확립했습니다.

공식의 장점:

1 . 공식을 적용하면 솔루션을 빠르게 찾을 수 있습니다. 두 번째 계수를 제곱에 입력할 필요가 없기 때문에 여기에서 4ac를 빼고 판별식을 찾고 해당 값을 근을 찾는 공식에 대입합니다.

2 . 솔루션이 없으면 근의 부호를 결정하고 근의 값을 선택할 수 있습니다.

3 . 두 기록의 체계를 풀고 나니 뿌리 자체를 찾는 것은 어렵지 않다. 위의 이차 방정식에서 근의 합은 빼기 부호가 있는 두 번째 계수의 값과 같습니다. 위의 이차 방정식에서 근의 곱은 세 번째 계수의 값과 같습니다.

4 . 주어진 근에 따라 이차 방정식을 작성하십시오. 즉, 역 문제를 푸십시오. 예를 들어, 이 방법은 이론 역학의 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

5 . 선행 계수가 1일 때 공식을 적용하는 것이 편리합니다.

결점:

1 . 공식은 보편적이지 않습니다.

비에타의 정리 8급

공식
x 1 및 x 2가 주어진 이차 방정식 x 2 + px + q \u003d 0의 근인 경우:

예
엑스 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - 방정식 x 2 - 2x - 3 \u003d 0의 근.

P = -2, q = -3.

엑스 1 + 엑스 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

역정리

공식
숫자 x 1 , x 2 , p, q가 다음 조건으로 연결되는 경우:

그러면 x 1과 x 2는 방정식 x 2 + px + q = 0의 근입니다.

예
근으로 이차 방정식을 만들어 봅시다:

엑스 1 \u003d 2-? 3 및 x 2 \u003d 2 +? 삼 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2-?3) (2 +?3) \u003d 4-3 \u003d 1.

원하는 방정식의 형식은 x 2 - 4x + 1 = 0입니다.

Vieta의 정리는 이미 발견된 근을 테스트하는 데 자주 사용됩니다. 근을 찾은 경우 공식 \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\)를 사용하여 값을 계산할 수 있습니다. \(p\ ) 및 \(q\ ). 그리고 그들이 원래 방정식에서와 같은 것으로 판명되면 근을 올바르게 찾은 것입니다.

예를 들어, 를 사용하고 방정식 \(x^2+x-56=0\)을 풀고 근을 구합니다: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). 해결 과정에서 실수를 했는지 확인해 봅시다. 우리의 경우 \(p=1\) 및 \(q=-56\)입니다. Vieta의 정리에 따르면 다음과 같습니다.

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

두 문장이 수렴되어 방정식을 올바르게 풀었습니다.

이 검사는 구두로 할 수 있습니다. 그것은 5초가 걸리고 어리석은 실수로부터 당신을 구할 것입니다.

역 Vieta 정리

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\)이면 \(x_1\) 및 \(x_2\)는 이차 방정식 \의 근입니다. (x^ 2+px+q=0\).

또는 간단한 방법으로: \(x^2+px+q=0\) 형식의 방정식이 있는 경우 시스템 \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) 루트를 찾을 수 있습니다.

이 정리 덕분에 이차 방정식의 근을 빠르게 찾을 수 있습니다. 특히 이 근이 . 이 기술은 많은 시간을 절약하므로 중요합니다.

예 . \(x^2-5x+6=0\) 방정식을 풉니다.

해결책 : 역 비에타 정리를 사용하여 근이 \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\) 조건을 만족함을 얻습니다.
\(x_1 \cdot x_2=6\) 시스템의 두 번째 방정식을 보십시오. 숫자 \(6\)은 어떤 두 개로 분해될 수 있습니까? \(2\) 및 \(3\), \(6\) 및 \(1\) 또는 \(-2\) 및 \(-3\) 및 \(-6\) 및 \(- 1\). 그리고 어떤 쌍을 선택해야 하는지, 시스템의 첫 번째 방정식은 \(x_1+x_2=5\)를 알려줍니다. \(2\)와 \(3\)은 \(2+3=5\)이기 때문에 비슷합니다.
답변 : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

예 . Vieta의 정리의 역을 사용하여 이차 방정식의 근을 찾으십시오.
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

해결책 :
a) \(x^2-15x+14=0\) - \(14\)는 어떤 인수로 분해됩니까? \(2\) 및 \(7\), \(-2\) 및 \(-7\), \(-1\) 및 \(-14\), \(1\) 및 \(14\ ). \(15\)가 되는 숫자 쌍은 무엇입니까? 답: \(1\) 및 \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - \(-4\)는 어떤 인수로 분해됩니까? \(-2\) 및 \(2\), \(4\) 및 \(-1\), \(1\) 및 \(-4\). \(-3\)이 되는 숫자 쌍은 무엇입니까? 답: \(1\) 및 \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\)은 어떤 인수로 분해됩니까? \(4\) 및 \(5\), \(-4\) 및 \(-5\), \(2\) 및 \(10\), \(-2\) 및 \(-10\ ), \(-20\) 및 \(-1\), \(20\) 및 \(1\). \(-9\)가 되는 숫자 쌍은 무엇입니까? 답: \(-4\) 및 \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - \(780\)은 어떤 인수로 분해됩니까? \(390\) 및 \(2\). 그것들을 더하면 \(88\)이 됩니까? 아니요. \(780\)에는 어떤 다른 배수가 있습니까? \(78\) 및 \(10\). 그것들을 더하면 \(88\)이 됩니까? 예. 답: \(78\) 및 \(10\).

마지막 항을 모든 가능한 요소로 분해할 필요는 없습니다(마지막 예에서와 같이). 합계가 \(-p\)인지 즉시 확인할 수 있습니다.

중요한! Vieta의 정리와 역 정리는 , 즉 \(x^2\) 앞의 계수가 1인 경우에만 작동합니다. 처음에 비환원 방정식이 있으면 단순히 \(x ^ 2 \) 앞의 계수로 나누어 축소시킬 수 있습니다.

예를 들어, 방정식 \(2x^2-4x-6=0\)이 주어지고 Vieta의 정리 중 하나를 사용하려고 합니다. 그러나 \(x^2\) 앞의 계수가 \(2\)와 같기 때문에 그럴 수 없습니다. 전체 방정식을 \(2\)로 나누어 제거해 봅시다.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

준비가 된. 이제 우리는 두 정리를 모두 사용할 수 있습니다.

자주 묻는 질문에 대한 답변

질문: Vieta의 정리에 따라 어떤 ?
답변: 불행하게도. 방정식에 정수가 없거나 방정식에 근이 전혀 없으면 Vieta의 정리가 도움이 되지 않습니다. 이 경우 다음을 사용해야 합니다. 판별식 . 다행스럽게도 학교 수학 과정의 방정식의 80%는 정수 솔루션을 가지고 있습니다.

이 강의에서 우리는 이차 방정식의 근과 그 계수 사이의 흥미로운 관계에 대해 알게 될 것입니다. 이러한 관계는 프랑스 수학자 Francois Viet(1540-1603)에 의해 처음 발견되었습니다.

예를 들어 방정식 Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0의 경우 근을 찾지 않고 Vieta 정리를 사용하여 즉시 근의 합은 이고 근의 곱은
즉 - 2. 방정식 x 2 - 6x + 8 \u003d 0에 대해 결론을 내립니다. 근의 합은 6이고 근의 곱은 8입니다. 그건 그렇고, 근이 4와 2와 같은지 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
Vieta의 정리 증명. 이차 방정식 ax 2 + bx + c \u003d 0의 근 x 1 및 x 2는 다음 공식으로 구합니다.

여기서 D \u003d b 2 - 4ac는 방정식의 판별식입니다. 이 뿌리를 내리고
우리는 얻는다

이제 근 x 1과 x 2의 곱을 계산합니다.

두 번째 관계가 증명됩니다.
논평. Vieta의 정리는 이차 방정식에 근이 하나인 경우(즉, D \u003d 0인 경우)에도 유효합니다. 이 경우 방정식에 위의 관계가 적용되는 두 개의 동일한 근이 있는 것으로 간주됩니다. .
축소된 이차 방정식 x 2 + px + q \u003d 0에 대한 입증된 관계는 특히 간단한 형식을 취합니다. 이 경우 다음을 얻습니다.

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
저것들. 주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.
Vieta 정리를 사용하면 이차 방정식의 근과 계수 사이의 다른 관계도 얻을 수 있습니다. 예를 들어, x 1 및 x 2를 축소된 이차 방정식 x 2 + px + q = 0의 근이라고 합니다. 그런 다음

그러나 Vieta의 정리의 주요 목적은 이차 방정식의 근과 계수 사이의 특정 관계를 표현하는 것이 아닙니다. 훨씬 더 중요한 것은 Vieta의 정리의 도움으로 제곱 삼항식을 인수분해하는 공식이 도출된다는 사실입니다.

증거. 우리는

예 1. 삼항식 3x 2 - 10x + 3을 인수분해합니다.
해결책. 방정식 Zx 2-10x + 3 \u003d 0을 풀면 삼항식 Zx 2-10x + 3의 근을 찾습니다. x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
정리 2를 사용하면

대신 Zx - 1이라고 쓰는 것이 이치에 맞습니다. 그러면 마침내 Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1)이 됩니다.
주어진 제곱 삼항식은 그룹화 방법을 사용하여 정리 2를 사용하지 않고 분해할 수 있습니다.

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x-3)-(x-3) \u003d (x-3) (Zx-1).

그러나 보시다시피 이 방법의 성공은 성공적인 그룹화를 찾을 수 있는지 여부에 달려 있지만 첫 번째 방법의 성공은 보장됩니다.
예 1. 분수 줄이기

해결책. 방정식 2x 2 + 5x + 2 = 0에서 x 1 = - 2를 찾습니다.

방정식 x2 - 4x - 12 = 0에서 x 1 = 6, x 2 = -2를 찾습니다. 그래서
x 2-4x-12 \u003d (x-6) (x-(-2)) \u003d (x-6) (x + 2).
이제 주어진 분수를 줄여봅시다:

예 3. 식을 인수분해:
a) x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
솔루션 a) 새 변수 y = x 2를 도입합니다. 이를 통해 변수 y에 대한 제곱 삼항식의 형태, 즉 y 2 + bу + 6의 형태로 주어진 표현식을 다시 작성할 수 있습니다.
방정식 y 2 + bу + 6 \u003d 0을 풀면 삼항식 y 2 + 5y + 6의 근을 찾습니다. y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3입니다. 이제 정리 2를 사용합니다. 우리는 얻는다

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y \u003d x 2, 즉 주어진 표현으로 돌아가는 것을 기억해야 합니다. 그래서,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) 새로운 변수 y = 를 소개합시다. 이렇게 하면 변수 y에 대한 제곱 삼항식의 형태, 즉 2y 2 + y - 3의 형태로 주어진 표현식을 다시 작성할 수 있습니다. 방정식을 풀었습니다.
2y 2 + y - 3 = 0, 제곱 삼항식 2y 2 + y - 3의 근을 찾으십시오:
y1 = 1, y2 = . 또한 정리 2를 사용하여 다음을 얻습니다.

y \u003d, 즉 주어진 표현으로 돌아가는 것을 기억해야 합니다. 그래서,

이 섹션은 다시 Vieta 정리 또는 오히려 반대 주장과 관련된 몇 가지 고려 사항으로 결론을 내립니다.
숫자 x 1, x 2가 x 1 + x 2 \u003d-p, x 1 x 2 \u003d q이면이 숫자는 방정식의 근입니다.
이 문장을 사용하면 번거로운 근 공식을 사용하지 않고 구두로 많은 이차방정식을 풀 수 있으며 주어진 근으로 이차방정식을 구성할 수도 있습니다. 예를 들어 보겠습니다.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. x 1 = 8, x 2 = 3이라고 추측하기 쉽습니다.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6이라고 추측하기 쉽습니다.
참고: 방정식의 자유항이 양수이면 두 근 모두 양수이거나 음수입니다. 이것은 뿌리를 선택할 때 고려하는 것이 중요합니다.

3) x 2 + x - 12 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4라고 추측하기 쉽습니다.
참고: 방정식의 자유 항이 음수이면 근의 부호가 다릅니다. 이것은 뿌리를 선택할 때 고려하는 것이 중요합니다.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. x = 1이 방정식을 만족한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. x 1 \u003d 1 - 방정식의 근. x 1 x 2 \u003d -이고 x 1 \u003d 1이므로 x 2 \u003d -를 얻습니다.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. 여기서 x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. 2830 = 283이라는 사실에 주목하면. 10, 293 \u003d 283 + 10이면 x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10이라는 것이 분명해집니다(이제 표준 공식을 사용하여 이 이차 방정식을 풀기 위해 어떤 계산을 수행해야 하는지 상상해 보십시오).

6) 숫자 x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4가 근이 되도록 이차방정식을 작성합시다.일반적으로 이러한 경우 그들은 축소된 이차방정식 x 2 + px + q \u003d 0을 구성합니다.
x 1 + x 2 \u003d -p이므로 8-4 \u003d -p, 즉 p \u003d -4입니다. 또한, x 1 x 2 = q, 즉 8"(-4) = q, 여기서 q = -32를 얻습니다. 따라서 p \u003d -4, q \u003d -32는 원하는 이차 방정식의 형식이 x 2 -4x-32 \u003d 0임을 의미합니다.

8학년에서 학생들은 이차방정식과 이를 푸는 방법을 배웁니다. 동시에 경험에서 알 수 있듯이 대부분의 학생들은 완전한 이차 방정식을 풀 때 이차 방정식의 근에 대한 공식인 한 가지 방법만 사용합니다. 구술 계산 능력이 좋은 학생들에게는 이 방법이 명백히 비합리적입니다. 학생들은 고등학교에서 종종 이차방정식을 풀어야 하는데, 그곳에서 판별식을 계산하는 데 시간을 보내는 것은 단순히 안타까운 일입니다. 제 생각에는 이차 방정식을 공부할 때 Vieta 정리의 적용에 더 많은 시간과 주의를 기울여야 합니다(A.G. Mordkovich Algebra-8 프로그램에 따르면 "Vieta Theorem. Decomposition of 선형 인수로의 제곱 삼항식”).

대부분의 대수 교과서에서 이 정리는 기약 2차 방정식으로 공식화되며 다음과 같이 말합니다. 방정식에 근이 있는 경우 및 , 다음 그들은 평등을 만족합니다 , .그런 다음 Vieta의 정리와 반대되는 진술이 공식화되고 이 주제에 대해 작업하기 위해 많은 예가 제공됩니다.

구체적인 예를 들어 Vieta의 정리를 사용하여 솔루션의 논리를 추적해 봅시다.

예 1. 방정식을 푸십시오.

이 방정식에 근, 즉 및 가 있다고 가정합니다. 그런 다음 Vieta의 정리에 의해 평등

근의 곱은 양수입니다. 따라서 방정식의 근은 같은 부호를 갖습니다. 그리고 근의 합도 양수이므로 방정식의 두 근이 모두 양수라는 결론을 내립니다. 뿌리의 곱으로 돌아가 봅시다. 방정식의 근이 양의 정수라고 가정합니다. 그런 다음 올바른 첫 번째 평등은 두 가지 방법으로만 얻을 수 있습니다(요인의 순서까지): 또는 . 제안된 숫자 쌍에 대해 Vieta 정리의 두 번째 주장의 타당성을 확인합시다. . 따라서 숫자 2와 3은 두 등식을 모두 만족하므로 주어진 방정식의 근입니다.

답변: 2; 삼.

Vieta 정리를 사용하여 주어진 이차 방정식을 풀 때 추론의 주요 단계를 골라냅니다.

비에타 정리의 주장을 적다

(*)

방정식의 근의 부호를 결정하십시오 (근의 곱과 합이 양수이면 두 근은 모두 양수입니다. 근의 곱이 양수이고 근의 합이 음수이면 근은 모두 음수이고, 근의 곱이 음수이면 근의 부호가 다르며, 또한 근의 합이 양수이면 모듈러스가 큰 근이 양수이고, 근의 합이 0보다 작은 경우 모듈러스가 더 큰 근은 음수입니다.)
곱이 표기법(*)에서 올바른 첫 번째 같음을 제공하는 정수 쌍을 선택합니다.
찾은 숫자 쌍에서 표기법(*)의 두 번째 등식으로 대체될 때 올바른 등식을 제공하는 쌍을 선택합니다.
방정식의 찾은 근을 답에 표시하십시오.

몇 가지 예를 더 들어보겠습니다.

예제 2: 방정식 풀기 .

해결책.

주어진 방정식의 근이라고 하자. 그런 다음 Vieta의 정리에 의해 제품은 양수이고 합계는 음수입니다. 따라서 두 근은 모두 음수입니다. 곱이 10이 되는 요인 쌍을 선택합니다(-1과 -10, -2와 -5). 두 번째 숫자 쌍을 더하면 -7이 됩니다. 따라서 숫자 -2와 -5가 이 방정식의 근입니다.

답변: -2; -5.

예 3. 방정식 풀기 .

해결책.

주어진 방정식의 근이라고 하자. 그런 다음 Vieta의 정리에 의해 제품이 음수라는 점에 유의하십시오. 따라서 뿌리는 다른 기호입니다. 근의 합도 음수입니다. 따라서 계수가 가장 큰 근은 음수입니다. 제품에 -10(1과 -10, 2와 -5)을 제공하는 요소 쌍을 선택합니다. 두 번째 숫자 쌍을 더하면 -3이 됩니다. 따라서 숫자 2와 -5는 이 방정식의 근입니다.

답변: 2; -5.

Vieta 정리는 원칙적으로 완전한 이차 방정식에 대해 공식화될 수 있습니다. 이차 방정식 근이 있고 , 그들은 등식을 만족합니다 , .그러나 이 정리의 적용은 전체 이차 방정식에서 근 중 적어도 하나(물론 있다면)가 분수이기 때문에 다소 문제가 있습니다. 그리고 분수 선택 작업은 길고 어렵습니다. 그러나 여전히 탈출구가 있습니다.

완전한 이차 방정식을 고려하십시오. . 방정식의 양변에 첫 번째 계수를 곱합니다. ㅏ방정식을 다음 형식으로 작성하십시오. . 우리는 새로운 변수를 도입하고 비에타 정리를 사용하여 근과 (있는 경우)를 찾을 수 있는 축소된 이차 방정식을 얻습니다. 그러면 원래 방정식의 근은 . 보조 감소 방정식을 작성하는 것은 매우 쉽습니다. 두 번째 계수는 보존되고 세 번째 계수는 곱과 같습니다. 에이스. 특정 기술로 학생들은 즉시 보조 방정식을 구성하고 Vieta 정리를 사용하여 근을 찾고 주어진 완전한 방정식의 근을 나타냅니다. 예를 들어 보겠습니다.

예 4. 방정식 풀기 .

보조 방정식을 만들어 봅시다 Vieta의 정리에 의해 우리는 그 뿌리를 찾습니다. 따라서 원래 방정식의 근은 .

답변: .

예 5. 방정식 풀기 .

보조 방정식의 형식은 입니다. Vieta의 정리에 따르면, 그 근은 입니다. 우리는 원래 방정식의 근을 찾습니다 .

답변: .

그리고 Vieta의 정리를 적용하면 완전한 이차 방정식의 근을 구두로 찾을 수 있는 경우가 하나 더 있습니다. 그것을 증명하는 것은 쉽다 숫자 1은 방정식의 근입니다. , 경우에만. 방정식의 두 번째 근은 Vieta 정리에 의해 발견되며 와 같습니다. 한 가지 추가 진술: 숫자 -1이 방정식의 근이 되도록 하기에 필요하고 충분하다. 그런 다음 Vieta의 정리에 따른 방정식의 두 번째 근은 와 같습니다. 축소된 2차 방정식에 대해 유사한 명령문을 공식화할 수 있습니다.

예 6. 방정식을 푸십시오.

방정식 계수의 합은 0입니다. 따라서 방정식의 근 .