직각 삼각형을 푸는 작업을 고려한 곳에서 사인과 코사인의 정의를 암기하는 기술을 제시하겠다고 약속했습니다. 그것을 사용하면 어떤 다리가 빗변에 속하는지 (인접하거나 반대쪽) 항상 빠르게 기억할 것입니다. 무기한 미루지 않기로 했는데요, 필요한 자료는 아래에 있으니 꼭 읽어주세요😉
사실 저는 10-11학년 학생들이 이러한 정의를 기억하는 데 어려움을 겪는 것을 반복해서 관찰했습니다. 그들은 다리가 빗변을 의미한다는 것을 아주 잘 기억하지만 어느 것이- 잊고 혼란스러운. 시험에서 알다시피 실수의 대가는 점수를 잃는 것입니다.
내가 수학에 직접 제시할 정보는 아무 상관이 없습니다. 그것은 비 유적 사고 및 언어 적 논리적 연결 방법과 관련이 있습니다. 맞습니다, 나 자신이 단번에 기억했습니다정의 데이터. 여전히 잊어 버린 경우 제시된 기술의 도움으로 항상 기억하기 쉽습니다.
직각 삼각형에서 사인과 코사인의 정의를 상기시켜 드리겠습니다.
코사인직각 삼각형의 예각은 인접한 다리와 빗변의 비율입니다.
공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율입니다.
그렇다면 코사인이라는 단어는 어떤 연관성을 불러일으킵니까?
아마 누구나 자신의링크를 기억하십시오:
따라서 즉시 기억에 표현이 생깁니다.
«… 빗변에 대한 인접 다리의 비율».
코사인 정의 문제가 해결되었습니다.
직각 삼각형에서 사인의 정의를 기억해야 하는 경우 코사인의 정의를 기억하면 직각 삼각형에서 예각의 사인이 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율임을 쉽게 설정할 수 있습니다. 결국 다리가 두 개뿐입니다. 인접한 다리가 코사인에 의해 "점유"되면 반대쪽 만 사인에 남습니다.
탄젠트와 코탄젠트는 어떻습니까? 같은 혼란. 학생들은 이것이 다리의 비율이라는 것을 알고 있지만 문제는 어느 것이 어느 것을 가리키는지 기억하는 것입니다. 인접한 것과 반대이거나 그 반대입니다.
정의:
접선직각 삼각형의 예각은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.
코탄젠트직각 삼각형의 예각은 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.
기억하는 방법? 두 가지 방법이 있습니다. 하나는 또한 구두 논리적 연결을 사용하고 다른 하나는 수학적 연결을 사용합니다.
수학적 방법
그러한 정의가 있습니다-예각의 탄젠트는 각도의 사인과 코사인의 비율입니다.
* 공식을 기억하면 직각 삼각형의 예각의 탄젠트가 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율이라는 것을 항상 결정할 수 있습니다.
비슷하게.예각의 코탄젠트는 각도의 코사인과 사인의 비율입니다.
그래서! 이 공식을 기억하면 항상 다음을 결정할 수 있습니다.
- 직각 삼각형에서 예각의 접선은 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율입니다.
- 직각 삼각형에서 예각의 코탄젠트는 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율입니다.
구두-논리적 방법
접선에 대해. 링크를 기억하십시오:
즉, 접선의 정의를 기억해야 한다면 이 논리적 연결을 이용하면 접선이 무엇인지 쉽게 기억할 수 있습니다.
"... 반대쪽 다리와 인접한 다리의 비율"
코탄젠트에 관해서는 탄젠트의 정의를 기억하면 코탄젠트의 정의를 쉽게 말할 수 있습니다.
"... 인접한 다리와 반대쪽 다리의 비율"
사이트에 탄젠트와 코탄젠트를 암기하는 흥미로운 기술이 있습니다. " 수학 탠덤 " , 바라보다.
보편적인 방법
갈 수 있습니다.그러나 실습에서 알 수 있듯이 구두 논리적 연결 덕분에 사람은 수학적 정보뿐만 아니라 오랫동안 정보를 기억합니다.
자료가 도움이 되었기를 바랍니다.
진심으로, Alexander Krutitskikh
추신 : 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려 주시면 감사하겠습니다.
과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 시작되었습니다. 첫 번째 삼각법 비율은 정확한 달력을 만들고 별을 기준으로 방향을 지정하기 위해 천문학자들이 개발했습니다. 구형 삼각법과 관련된 이러한 계산은 학교 과정에서 편평한 삼각형의 측면과 각도의 비율을 연구합니다.
삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.
서기 1000년 문화와 과학의 전성기에 지식은 고대 동양에서 그리스로 퍼졌습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 아랍 칼리프의 장점입니다. 특히 투르크멘 과학자 al-Marazvi는 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 기능을 도입하고 사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대한 첫 번째 값 테이블을 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 소개되었습니다. Euclid, Archimedes 및 Eratosthenes와 같은 고대의 위대한 인물의 작품에서 삼각법에 많은 관심을 기울입니다.
삼각법의 기본 수량
수치 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트입니다. 그들 각각은 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 자체 그래프를 가지고 있습니다.
이러한 양의 값을 계산하는 공식은 피타고라스의 정리를 기반으로 합니다. 이등변 직각 삼각형의 예에서 증명이 제공되기 때문에 "모든 방향에서 동일한 피타고라스 바지"라는 공식에서 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다.
사인, 코사인 및 기타 종속성은 예각과 직각 삼각형의 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하기 위한 공식을 제공하고 삼각 함수의 관계를 추적합니다.
보시다시피 tg와 ctg는 역함수입니다. 다리 a를 sin A와 빗변 c의 곱으로 나타내고 다리 b를 cos A * c로 나타내면 탄젠트와 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻습니다.
삼각법 원
그래픽으로 언급된 양의 비율은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
이 경우 원은 각도 α의 가능한 모든 값(0°에서 360°까지)을 나타냅니다. 그림에서 알 수 있듯이 각 함수는 각도에 따라 음수 또는 양수 값을 취합니다. 예를 들어 sin α는 α가 원의 I 및 II 분기에 속하는 경우, 즉 0°에서 180° 범위에 있는 경우 "+" 기호가 됩니다. α가 180°에서 360°(III 및 IV 분기)인 경우 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.
특정 각도에 대한 삼각법 표를 작성하고 수량의 의미를 알아 봅시다.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수한 경우라고 합니다. 그들에 대한 삼각 함수의 값이 계산되어 특수 테이블 형식으로 표시됩니다.
이 각도는 우연히 선택되지 않았습니다. 표에서 π는 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 관계를 설정하기 위해 도입되었으며, 라디안으로 계산할 때 실제 반지름 길이(cm)는 중요하지 않습니다.
삼각 함수에 대한 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.
따라서 2π가 완전한 원 또는 360°라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.
삼각 함수의 속성: 사인 및 코사인
사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본 속성을 고려하고 비교하려면 함수를 그릴 필요가 있습니다. 이는 2차원 좌표계에 위치한 곡선의 형태로 수행할 수 있습니다.
사인파와 코사인파의 특성 비교표를 고려하십시오.
| 정현파 | 코사인파 |
|---|---|
| y = 죄 x | y = 코사인 x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| x = πk에 대해 sin x = 0, 여기서 k ϵ Z | cos x = 0, x = π/2 + πk, 여기서 k ϵ Z |
| sin x = 1, x = π/2 + 2πk, 여기서 k ϵ Z | cos x = 1, x = 2πk인 경우 k ϵ Z |
| sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, 여기서 k ϵ Z | cos x = - 1, x = π + 2πk, 여기서 k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, 즉 홀수 함수 | cos (-x) = cos x, 즉 함수는 짝수입니다. |
| 함수는 주기적이며 가장 작은 주기는 2π입니다. | |
| sin x › 0, x는 분기 I 및 II에 속하거나 0°에서 180°까지(2πk, π + 2πk) | cos x › 0, x는 분기 I 및 IV 또는 270° ~ 90°(- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)에 속합니다. |
| sin x ≤ 0, 여기서 x는 사분면 III 및 IV 또는 180°에서 360°(π + 2πk, 2π + 2πk)에 속합니다. | cos x ≤ 0, 여기서 x는 사분면 II 및 III 또는 90°에서 270°(π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)에 속합니다. |
| 간격 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]에서 증가 | 간격 [-π + 2πk, 2πk]에서 증가 |
| [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] 구간에서 감소합니다. | 간격 감소 |
| 미분 (sin x)' = cos x | 미분 (cos x)' = - sin x |
함수가 짝수인지 여부를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 삼각법 양의 표시가 있는 삼각법 원을 상상하고 OX 축을 기준으로 그래프를 정신적으로 "접는" 것으로 충분합니다. 부호가 같으면 짝수 함수이고, 그렇지 않으면 홀수 함수입니다.
라디안을 도입하고 정현파와 코사인파의 주요 속성을 열거하면 다음과 같은 패턴을 얻을 수 있습니다.
수식의 정확성을 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어, x = π/2의 경우 사인은 x = 0의 코사인과 마찬가지로 1입니다. 표를 보거나 주어진 값에 대한 함수 곡선을 추적하여 확인할 수 있습니다.
탄젠토이드 및 코탄젠토이드의 특성
탄젠트 및 코탄젠트 함수의 그래프는 정현파 및 코사인파와 크게 다릅니다. 값 tg와 ctg는 서로 반대입니다.
- Y = tgx.
- 접선은 x = π/2 + πk에서 y의 값으로 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
- 탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Tg (- x) \u003d - tg x, 즉 함수가 홀수입니다.
- x = πk인 경우 Tg x = 0입니다.
- 기능이 증가하고 있습니다.
- Tg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)에 대해.
- Tg x ‹ 0, x ϵ(— π/2 + πk, πk)에 대해.
- 미분 (tg x)' = 1/cos 2 x .
텍스트 아래에 있는 코탄젠토이드의 그래픽 표현을 고려하십시오.
코탄젠토이드의 주요 특성:
- Y = ctgx.
- 사인 및 코사인 함수와 달리 탄젠트에서 Y는 모든 실수 집합의 값을 취할 수 있습니다.
- 코탄젠토이드는 x = πk에서 y의 값이 되는 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
- 코탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, 즉 함수가 홀수입니다.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk입니다.
- 기능이 감소하고 있습니다.
- Ctg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)에 대해.
- Ctg x ‹ 0, x ϵ(π/2 + πk, πk)에 대해.
- 미분(ctg x)' = - 1/sin 2 x 수정
삼각 함수 값 표
메모. 이 삼각 함수 값 표는 √ 기호를 사용하여 제곱근을 나타냅니다. 분수를 나타내기 위해 - 기호 "/".
또한보십시오유용한 자료:
을 위한 삼각 함수의 값 결정, 삼각 함수를 나타내는 선의 교차점에서 찾으십시오. 예를 들어, 30도 사인 - 제목이 sin(사인)인 열을 찾고 테이블의 이 열과 "30도" 선의 교차점을 찾고 교차점에서 결과를 읽습니다. 두번째. 마찬가지로, 우리는 코사인 60도, 사인 60각도(다시 한 번, sin(사인) 열과 60도 행의 교차점에서 sin 60 = √3/2 값을 찾습니다) 등입니다. 같은 방식으로 다른 "인기있는"각도의 사인, 코사인 및 탄젠트 값을 찾습니다.
파이의 사인, 파이의 코사인, 파이의 탄젠트 및 기타 라디안 각도
아래의 코사인, 사인 및 탄젠트 표는 인수가 다음과 같은 삼각 함수 값을 찾는 데에도 적합합니다. 라디안으로 주어진. 이렇게 하려면 각도 값의 두 번째 열을 사용합니다. 덕분에 인기 있는 각도 값을 도에서 라디안으로 변환할 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 줄에서 60도 각도를 찾아 그 아래에서 라디안 단위로 값을 읽어 봅시다. 60도는 π/3 라디안과 같습니다.
숫자 파이는 각도 측정값에 대한 원주 의존성을 고유하게 나타냅니다. 따라서 파이 라디안은 180도입니다.
파이(라디안)로 표현된 숫자는 숫자 파이(π)를 180으로 대체하여 쉽게 각도로 변환할 수 있습니다..
예:
1. 사인 파이.
죄 π = 죄 180 = 0
따라서 파이의 사인은 180도의 사인과 같고 0과 같습니다.
2. 코사인 파이.
cos π = cos 180 = -1
따라서 파이의 코사인은 180도의 코사인과 같고 마이너스 1과 같습니다.
3. 탄젠트 파이
tg π = tg 180 = 0
따라서 파이의 접선은 180도의 접선과 같고 0과 같습니다.
각도 0 - 360도에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 값 표(빈번한 값)
|
각도 α (도) |
각도 α (파이를 통해) |
죄 (공동) |
코사인 (코사인) |
TG (접선) |
CTG (코탄젠트) |
비서 (시컨트) |
원인 (코시컨트) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
삼각 함수 값 표에서 함수 값 대신 대시가 표시되면(접선(tg) 90도, 코탄젠트(ctg) 180도) 주어진 정도 측정 값에 대해 각도, 함수에는 명확한 값이 없습니다. 대시가 없으면 셀이 비어 있으므로 아직 원하는 값을 입력하지 않은 것입니다. 우리는 가장 일반적인 각도 값의 코사인, 사인 및 탄젠트 값에 대한 현재 데이터가 대부분을 해결하기에 충분하다는 사실에도 불구하고 사용자가 우리에게 와서 새로운 값으로 테이블을 보완하는 요청에 관심이 있습니다. 문제.
가장 많이 사용되는 각도에 대한 삼각 함수 sin, cos, tg 값 표
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360도
(숫자 값은 "Bradis 표에 따름")
| 각도 값 α(도) | 라디안 단위의 각도 α 값 | 죄(사인) | 코사인(코사인) | tg(접선) | ctg(코탄젠트) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념은 수학의 한 분야인 삼각법의 주요 범주이며 각도의 정의와 불가분의 관계가 있습니다. 이 수학 과학을 소유하려면 공식과 정리에 대한 암기 및 이해뿐만 아니라 발전된 공간적 사고가 필요합니다. 그렇기 때문에 삼각법 계산은 종종 학생과 학생에게 어려움을 초래합니다. 이를 극복하기 위해서는 삼각함수와 공식에 좀 더 익숙해져야 합니다.
삼각법의 개념
삼각법의 기본 개념을 이해하려면 먼저 직각 삼각형과 원의 각도가 무엇인지, 그리고 모든 기본 삼각법 계산이 이들과 관련된 이유를 결정해야 합니다. 한 각이 90도인 삼각형은 직각 삼각형입니다. 역사적으로 이 수치는 건축, 항법, 예술, 천문학 분야의 사람들이 자주 사용했습니다. 따라서 이 그림의 속성을 연구하고 분석하여 사람들은 매개변수의 해당 비율을 계산하게 되었습니다.
직각 삼각형과 관련된 주요 범주는 빗변과 다리입니다. 빗변은 직각과 반대되는 삼각형의 변입니다. 다리는 각각 다른 두면입니다. 모든 삼각형 내각의 합은 항상 180도입니다.
구면삼각법은 삼각법의 한 분야로 학교에서는 배우지 않지만 천문학이나 측지학 같은 응용과학에서는 과학자들이 사용한다. 구면삼각법에서 삼각형의 특징은 내각의 합이 항상 180도보다 크다는 것입니다.
삼각형의 각도
직각 삼각형에서 각도의 사인은 삼각형의 빗변에 대한 원하는 각도의 반대쪽 다리의 비율입니다. 따라서 코사인은 인접한 다리와 빗변의 비율입니다. 빗변이 항상 다리보다 길기 때문에 이 두 값은 항상 1보다 작은 값을 갖습니다.
각도의 접선은 원하는 각도의 인접한 다리에 대한 반대쪽 다리의 비율 또는 사인 대 코사인과 같은 값입니다. 차례로 코탄젠트는 원하는 각도의 인접한 다리와 반대쪽 cactet의 비율입니다. 각도의 코탄젠트는 단위를 탄젠트 값으로 나누어 구할 수도 있습니다.
단위원
기하학에서 단위원은 반지름이 1인 원입니다. 이러한 원은 데카르트 좌표계로 구성되며 원의 중심은 원점과 일치하고 반지름 벡터의 초기 위치는 X축의 양의 방향(가로축)에 의해 결정됩니다. 원의 각 점에는 XX와 YY, 즉 가로 좌표와 세로 좌표의 두 좌표가 있습니다. XX 평면에서 원의 임의의 점을 선택하고 가로축에 수직선을 떨어뜨리면 선택한 점에 대한 반지름으로 형성된 직각 삼각형을 얻습니다(문자 C로 표시). X축(교차점은 문자 G로 표시됨) 세그먼트 원점(점은 문자 A로 표시됨)과 교차점 G 사이의 가로축. 결과 삼각형 ACG는 다음에 내접하는 직각 삼각형입니다. 여기서 AG는 빗변이고 AC와 GC는 다리입니다. 원 AC의 반지름과 지정 AG가 있는 가로축 세그먼트 사이의 각도를 α(알파)로 정의합니다. 따라서 cos α = AG/AC입니다. AC가 단위원의 반지름이고 1과 같다고 하면 cos α=AG라는 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로 sin α=CG입니다.
또한 이러한 데이터를 알면 cos α=AG 및 sin α=CG이므로 원에서 점 C의 좌표를 결정할 수 있습니다. 이는 점 C가 주어진 좌표(cos α; sin α)를 가짐을 의미합니다. 탄젠트가 사인 대 코사인의 비율과 같다는 것을 알면 tg α \u003d y / x 및 ctg α \u003d x / y임을 결정할 수 있습니다. 음의 좌표계에서 각도를 고려하면 일부 각도의 사인 및 코사인 값이 음수가 될 수 있음을 계산할 수 있습니다.
계산 및 기본 공식
삼각 함수의 값
단위원을 통해 삼각함수의 본질을 고찰한 결과, 일부 각도에 대한 이들 함수의 값을 도출할 수 있다. 값은 아래 표에 나열되어 있습니다.
가장 간단한 삼각함수
삼각 함수의 부호 아래에 알 수 없는 값이 있는 방정식을 삼각법이라고 합니다. 값이 sin x = α인 항등식, k는 임의의 정수입니다.
- 죄 x = 0, x = πk.
- 2. 죄 x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- 죄 x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- 죄 x = a, |a| > 1, 솔루션이 없습니다.
- 죄 x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
값이 cos x = a인 항등식(여기서 k는 정수임):
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk입니다.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, 솔루션이 없습니다.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
값이 tg x = a인 항등식(여기서 k는 임의의 정수임):
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
값이 ctg x = a인 ID(여기서 k는 정수임):
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
캐스트 포뮬러
이 상수 공식 범주는 형식의 삼각 함수에서 인수의 함수로 이동할 수 있는 방법을 나타냅니다. 즉, 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 각도의 해당 지표로 변환합니다. 계산의 편의를 위해 0도에서 90도 사이의 간격.
각도의 사인에 대한 함수를 줄이는 공식은 다음과 같습니다.
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- 죄(1800 - α) = 죄 α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- 죄(3600 + α) = 죄 α.
각도의 코사인:
- cos(900 - α) = 죄 α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = 죄 α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
위 공식의 사용은 두 가지 규칙에 따라 가능합니다. 먼저 각도를 (π/2 ± a) 또는 (3π/2 ± a) 값으로 나타낼 수 있는 경우 함수 값이 다음과 같이 변경됩니다.
- 죄에서 cos로;
- cos에서 죄로;
- tg에서 ctg로;
- ctg에서 tg로.
각도를 (π ± a) 또는 (2π ± a)로 나타낼 수 있는 경우 함수 값은 변경되지 않습니다.
둘째, 감소된 함수의 부호는 변경되지 않습니다. 처음에 양수였다면 그대로 유지됩니다. 음수 함수도 마찬가지입니다.
추가 공식
이 공식은 두 회전 각도의 합과 차이의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 삼각 함수로 표현합니다. 각도는 일반적으로 α 및 β로 표시됩니다.
수식은 다음과 같습니다.
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
이 공식은 모든 각도 α 및 β에 대해 유효합니다.
이중 및 삼중 각도 공식
이중 및 삼중 각도의 삼각법 공식은 각도 2α 및 3α 각각의 함수를 각도 α의 삼각 함수에 관련시키는 공식입니다. 추가 공식에서 파생:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
합계에서 제품으로 전환
2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y)를 고려하여 이 공식을 단순화하면 항등식 sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2를 얻습니다. 유사하게, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
제품에서 합계로 전환
이 공식은 합계를 제품으로 전환하기 위한 ID에서 따릅니다.
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
환원 공식
이러한 항등식에서 사인과 코사인의 제곱 및 세제곱은 다중 각도의 첫 번째 거듭제곱의 사인과 코사인으로 표현될 수 있습니다.
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
범용 대체
범용 삼각법 대체 공식은 반각의 탄젠트 측면에서 삼각법 함수를 표현합니다.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), 여기서 x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), 여기서 x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d π + 2πn.
특수한 상황들
가장 단순한 삼각법 방정식의 특별한 경우는 다음과 같습니다(k는 임의의 정수임).
사인에 대한 비공개:
| 죄 x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk 또는 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk 또는 -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk 또는 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk 또는 -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk 또는 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk 또는 -2π/3 + 2πk |
코사인 지수:
| cos x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
접선에 대해 비공개:
| tg x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
코탄젠트 지수:
| ctg x 값 | x 값 |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
정리
사인 정리
정리에는 단순 및 확장의 두 가지 버전이 있습니다. 단순 사인 정리: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. 이 경우 a, b, c는 삼각형의 변이고 α, β, γ는 각각 대각입니다.
임의의 삼각형에 대한 확장 사인 정리: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. 이 항등식에서 R은 주어진 삼각형이 내접하는 원의 반지름을 나타낸다.
코사인 정리
항등식은 다음과 같이 표시됩니다. a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. 공식에서 a, b, c는 삼각형의 변이고 α는 a에 대향하는 각도입니다.
접선 정리
공식은 두 각도의 탄젠트와 마주보는 변의 길이 사이의 관계를 나타냅니다. 측면은 a, b, c로 표시되고 해당 반대 각도는 α, β, γ입니다. 접선 정리의 공식: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
코탄젠트 정리
삼각형에 내접하는 원의 반지름을 변의 길이와 연결합니다. a, b, c가 삼각형의 변이고 A, B, C가 각각 대향하는 각이고, r은 내접원의 반지름이고, p는 삼각형의 반둘레일 때, 다음과 같은 식입니다. 잡고 있다:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
애플리케이션
삼각법은 수학 공식과 관련된 이론적인 과학만이 아닙니다. 그 속성, 정리 및 규칙은 천문학, 항공 및 해상 항법, 음악 이론, 측지학, 화학, 음향학, 광학, 전자, 건축, 경제학, 기계 공학, 측정 작업, 컴퓨터 그래픽, 지도 제작, 해양학 및 기타 여러 가지.
사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 삼각법의 기본 개념으로 삼각형에서 각과 변의 길이 사이의 관계를 수학적으로 표현하고 항등식, 정리 및 규칙을 통해 원하는 양을 찾을 수 있습니다.
삼각법의 기본 공식은 기본 삼각 함수 간의 관계를 설정하는 공식입니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 많은 관계로 서로 연결되어 있습니다. 아래에서 주요 삼각법 공식을 제공하고 편의상 목적에 따라 그룹화합니다. 이 공식을 사용하면 표준 삼각법 과정에서 거의 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 우리는 공식 자체 만 아래에 제공되며 파생이 아닌 별도의 기사가 제공된다는 점에 즉시 주목합니다.
삼각법의 기본 정체성
삼각 항등식은 한 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 사이의 관계를 제공하여 한 함수를 다른 함수로 표현할 수 있도록 합니다.
삼각함수
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α
이러한 항등식은 단위원, 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tg) 및 코탄젠트(ctg)의 정의에서 직접 따릅니다.
캐스트 포뮬러
주조 공식을 사용하면 임의의 큰 각도로 작업하는 것에서 0도에서 90도 범위의 각도로 작업하는 것으로 이동할 수 있습니다.
캐스트 포뮬러
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = 죄 α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α 죄 π + α + 2 π z = - 죄 α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = 죄 α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α 죄 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
축소 공식은 삼각 함수의 주기성의 결과입니다.
삼각함수의 덧셈 공식
삼각법의 덧셈 공식을 사용하면 각도의 삼각 함수 측면에서 각도의 합 또는 차이의 삼각 함수를 표현할 수 있습니다.
삼각함수의 덧셈 공식
sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± tg α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
덧셈 공식을 기반으로 다중 각도에 대한 삼각 공식이 도출됩니다.
다중 각도 공식: 이중, 삼중 등
이중 및 삼중 각도 공식죄 2 α \u003d 2 죄 α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α-죄 2 α, cos 2 α \u003d 1-2 죄 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α-1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1-t g 2 α with t g 2 α \u003d with t g 2 α-1 2 with t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α-sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α- 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1
반각 공식
삼각법의 반각 공식은 이중각 공식의 결과이며 반각의 기본 함수와 전체 각의 코사인 사이의 관계를 나타냅니다.
반각 공식
죄 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
환원 공식
환원 공식사인 2 α = 1 - 코사인 2 α 2 코사인 2 α = 1 + 코사인 2 α 2 죄 3 α = 3 죄 α - 죄 3 α 4 코사인 3 α = 3 코사인 α + 코사인 3 α 4 죄인 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
종종 계산에서 번거로운 힘으로 연산하는 것이 불편합니다. 차수 감소 공식을 사용하면 삼각 함수의 차수를 임의로 큰 값에서 첫 번째 값으로 줄일 수 있습니다. 일반적인 견해는 다음과 같습니다.
환원 공식의 일반적인 형태
짝수 n
죄 n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2n 2n + 1 2n - 1 ∑ k = 0n 2 - 1 Ckn cos((n - 2k) α)
홀수 n에 대해
죄 n α = 12 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)
삼각함수의 합과 차
삼각 함수의 차이와 합은 곱으로 나타낼 수 있습니다. 사인과 코사인의 차를 인수분해하는 것은 삼각 방정식을 풀고 식을 단순화할 때 매우 편리하게 사용할 수 있습니다.
삼각함수의 합과 차
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α-cos β \u003d-2 sin α + β 2 sin α-β 2, cos α-cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β-α 2
삼각함수의 곱
함수의 합과 차에 대한 공식을 사용하여 곱으로 이동할 수 있으면 삼각 함수의 곱에 대한 공식이 곱에서 합으로 역전이됩니다. 사인, 코사인 및 사인과 코사인의 곱에 대한 공식이 고려됩니다.
삼각 함수 곱의 공식
죄 α 죄 β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2(사인(α - β) + 죄(α + β))
범용 삼각법 대체
사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 모든 기본 삼각 함수는 반각의 탄젠트로 표현할 수 있습니다.
범용 삼각법 대체
죄 α = 2tg α 21 + tg 2 α 2 cos α = 1 - tg 2 α 2 1 + tg 2 α 2 tg α = 2 tg α 2 1 - tg 2 α 2 c tg α = 1 - tg 2 α 2 2tg α 2
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