방정식의 대칭 시스템. §5. 균질 방정식 및 시스템 방정식의 대칭 시스템 솔루션

수업 목표:

교육적인:균질 방정식, 대칭 방정식 시스템을 포함하는 방정식 시스템을 풀기 위한 학습;
개발 중: 사고력, 주의력, 기억력, 중요한 것을 강조하는 능력 개발;
교육적인:의사 소통 능력 개발.

수업 유형:수업 학습 새로운 자료.

사용한 학습 기술:

그룹 작업;
디자인 방법.

장비:컴퓨터, 멀티미디어 프로젝터.

수업 일주일 전에 학생들은 창의적인 과제에 대한 주제를 받습니다(옵션에 따라).
나 옵션. 방정식의 대칭 시스템. 솔루션.
II 옵션. 균질 방정식을 포함하는 시스템. 솔루션.

추가 교육 문헌을 사용하는 각 학생은 적절한 교육 자료를 찾고 방정식 시스템을 선택하고 해결해야 합니다.
각 옵션에서 한 명의 학생이 창의적인 작업 주제에 대한 멀티미디어 프레젠테이션을 만듭니다. 교사는 필요에 따라 학생들에게 지도를 제공합니다.

I. 학생들의 학습활동 동기

선생님의 소개말
이전 수업에서 우리는 미지수를 대체하는 방법으로 방정식 시스템의 해를 고려했습니다. 새로운 변수를 선택하기 위한 일반적인 규칙은 없습니다. 그러나 합리적인 변수 선택이 있을 때 두 가지 유형의 방정식 시스템을 구별할 수 있습니다.

방정식의 대칭 시스템;
방정식 시스템 중 하나는 균질합니다.

II. 새로운 자료 학습

두 번째 옵션의 학생들은 숙제를 보고합니다.

1. 멀티미디어 프레젠테이션 "동차 방정식을 포함하는 시스템"(프레젠테이션 1)의 슬라이드쇼.

2. 같은 책상에 앉아 있는 학생 2명과 함께 작업: 두 번째 옵션의 학생은 동차 방정식을 포함하는 시스템에 대한 솔루션을 책상에 있는 이웃에게 설명합니다.

첫 번째 옵션의 학생 보고서.

1. 멀티미디어 프레젠테이션 "대칭 방정식 시스템"의 슬라이드쇼(프레젠테이션 2).

학생들은 공책에 다음과 같이 씁니다.

2. 같은 책상에 앉아 있는 학생 2명과 함께 작업: 옵션 I의 학생이 책상에 있는 이웃에게 대칭 방정식 시스템의 솔루션을 설명합니다.

III. 연구 자료의 통합

그룹으로 작업합니다(4명의 학생이 인접한 책상에 앉아 있는 학생들을 하나로 묶음).
6개의 그룹은 각각 다음 작업을 수행합니다.

시스템 유형을 결정하고 해결하십시오.

그룹의 학생들은 시스템을 분석하고 유형을 결정한 다음 정면 작업 과정에서 시스템에 대한 솔루션을 논의합니다.

가) 시스템

대칭, 새로운 변수를 소개합니다 x+y=유, xy=v

b) 시스템

균질 방정식을 포함합니다.

한 쌍의 숫자(0;0)는 시스템에 대한 솔루션이 아닙니다.

IV. 학생들의 지식 통제

옵션에 대한 독립적인 작업.

연립방정식 풀기:

학생들은 검토를 위해 자신의 공책을 교사에게 제출합니다.

V. 숙제

1. 모든 학생이 수행합니다.

연립방정식 풀기:

2. "강한" 학생들을 수행하십시오.

연립방정식 풀기:

VI. 수업 요약

질문:
수업 시간에 어떤 유형의 방정식 시스템을 배웠습니까?
방정식 시스템을 해결하는 데 어떤 방법이 사용됩니까?

수업 중 학생이 받은 성적을 보고합니다.

소개 내 프로젝트의 문제는 시험에 성공적으로 합격하기 위해 다양한 방정식 시스템을 풀 수 있는 능력이 필요하며 고등학교 과정에서 이 문제를 더 깊이 배울 충분한 시간이 주어지지 않는다는 것입니다. 작업의 목적 : 성공적인 시험 제공을 준비합니다. 작업 작업: "대칭" 개념과 관련된 수학 분야의 지식을 확장합니다. 대칭이라고 하는 방정식 시스템과 다른 수학 문제를 풀 때 "대칭" 개념을 사용하여 수학적 문화를 향상시킵니다.

대칭의 개념. 대칭 - 넓은 의미에서 (고대 그리스어 συμμετρία) - 어떤 변형에서도 불변성. 그래서 예를 들어 물체의 구면대칭은 물체가 공간에서 임의의 각도로 회전해도 물체의 외형은 변하지 않는다는 것을 의미한다. 좌우 대칭이란 어떤 평면에 대해 좌우가 똑같이 보인다는 뜻입니다.

대칭을 사용하여 문제를 해결합니다. 문제 1 두 사람이 번갈아 가며 동일한 동전을 원형 테이블 위에 놓고 동전이 서로 덮이지 않아야 합니다. 움직일 수 없는 사람이 패배합니다. 올바르게 플레이하면 누가 이깁니까? (즉, 어떤 플레이어가 승리 전략을 가지고 있습니까?)

대칭 시스템을 푸는 방법. 대칭 시스템은 주요 대칭 다항식인 변수의 변경으로 해결할 수 있습니다. 두 개의 미지수 x 및 y가 있는 두 방정식의 대칭 시스템은 u = x + y, v = xy로 대체하여 해결됩니다.

예 번호 2 3 x 2y-2xy + 3xy 2 \u003d 78, 2x-3xy + 2y + 8 \u003d 0 기본 대칭 다항식을 사용하여 시스템을 다음 형식으로 작성할 수 있습니다. 3uv-2v \u003d 78, 2u- 3v \u003d -8. 두 번째 방정식에서 u =를 표현하고 첫 번째 방정식에 대입하면 9v2– 28v – 156 = 0을 얻습니다. 이 방정식의 근 v 1 = 6 및 v 2 = - 해당 값을 찾을 수 있습니다. u1 = 5, u2= - 표현에서 u = .

이제 다음 시스템 집합을 풀겠습니다. 이제 x + y = 5 및 x + y = - , xy = 6 xy = - 인 시스템 집합을 풀겠습니다. x \u003d 5-y, y \u003d -x-, xy \u003d 6 xy \u003d -. x \u003d 5-y, y \u003d -x-, y (5-y) \u003d 6 x (-x-) \u003d -. x \u003d 5-y 및 y \u003d -x-, y 1 \u003d 3, y 2 \u003d 2 x 1 \u003d, x 2 \u003d-x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3 및 x 1 \u003d, x 2 \u003d - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = -, y 2= 답: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

대칭 시스템을 푸는 데 사용되는 정리. 정리 1. (대칭 다항식에서) 두 변수의 모든 대칭 다항식은 두 개의 기본 대칭 다항식의 함수로 나타낼 수 있습니다. 즉, 모든 대칭 다항식 f(x, y)에 대해 두 변수 φ(u, v) 그렇게

정리 2. (대칭 다항식에 대해) 정리 2. (대칭 다항식에 대해) 세 변수의 대칭 다항식은 세 가지 기본 대칭 다항식의 함수로 나타낼 수 있습니다. 즉, 모든 대칭 다항식 f(x, y)에 대해 다음이 있습니다. 세 변수 θ (u, v, w)의 함수는 다음과 같습니다.

더 복잡한 대칭 시스템 - 모듈을 포함하는 시스템: | x – y | + y2 = 3, | 엑스 – 1 | + | y-1 | = 2. 이 시스템을 x에 대해 별도로 고려< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) x ≤ y의 경우< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) 시스템은 -x + y + y 2 \u003d 3,-x + 1 + y-1 \u003d 2 또는-x + y + y 2 \u003d 3, x-y \u003d-2 형식을 취합니다. 여기서 x 1 \u003d - 3, y 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 1, y 2 \u003d 1을 찾습니다. 두 번째 숫자 쌍은 고려중인 영역에 속합니다. 즉, 솔루션입니다. 이 시스템에.

x ≥ 1인 경우: x ≥ 1인 경우: a) x > y 및 y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y 및 y ≥ 1 시스템은 x - y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2 또는 x - y + y 2 = 3, x + y = 4 형식을 취하며 여기서 x를 찾습니다. = 1, y = 3. 이 숫자 쌍은 고려 중인 영역에 속하지 않습니다.

c) x ≤ y(그러면 y ≥ 1)의 경우 시스템은 다음 형식을 취합니다. c) x ≤ y(다음 y ≥ 1)의 경우 시스템은 - x + y + y 2 = 3, x - 1 + y - 1 = 2, 또는 - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, 여기서 x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. 이 숫자 쌍은 고려 중인 영역에 속하지 않습니다. 따라서 x 1 \u003d-1, y 1 \u003d 1; x 2 \u003d 1, y 2 \u003d-1. 답변 : (-1; 1); (열하나).

결론 수학은 인간의 사고를 발전시키고 논리를 통해 다양한 솔루션을 찾도록 가르칩니다. 그래서 대칭 시스템을 푸는 방법을 배우면서 특정 예제를 완성하는 것뿐만 아니라 다양한 종류의 문제를 푸는 데에도 사용할 수 있다는 것을 깨달았습니다. 이 프로젝트가 나에게만 도움이 될 수 있다고 생각합니다. 이 주제에 대해 알고 싶은 분들에게도 제 작업이 좋은 도우미가 될 것입니다.

사용된 문헌 목록: Bashmakov M.I., "대수학 및 분석의 시작", 2판, 모스크바, "Prosveshchenie", 1992, 350페이지 Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "대수학 및 기본 기능 ", 디렉토리; 제3판, 개정 및 확대; Kiev, Naukova, Dumka, 1987, 648쪽 Sharygin I. F., “Mathematics for High School Students”, Moscow, Drofa Publishing House, 1995, 490쪽 인터넷 자료: http://www.college.en/

작품은 "수학" 주제에 대한 수업 및 보고서에 사용할 수 있습니다.

미리 만들어진 수학 프리젠테이션은 교사나 부모가 슬라이드와 표를 사용하여 교과서에서 공부하고 있는 주제를 보여주고, 문제와 방정식을 풀기 위한 예를 보여주고, 지식을 테스트할 수 있도록 하는 시각 자료로 사용됩니다. 사이트의 이 섹션에서는 1,2,3,4,5,6학년 학생들을 위한 기성 수학 프레젠테이션과 대학생을 위한 고등 수학 프레젠테이션을 찾아 다운로드할 수 있습니다.

그래서, 당신을 위해 우리는 방정식을 얻습니다 다항식의 합리적인 근에 대한 정리를 상기합시다(§ 2.1.5). 방정식의 합리적인 근은 숫자 -4의 약수 중에서 찾아야 합니다. 모든 약수를 살펴보면 방정식에 유리근이 없다는 것을 확신합니다. 그러나 이 정리는 뿌리의 존재에 관한 정리가 아니었다. 지정된 정리는 다음만을 명시했습니다. 정수 계수가 있는 다항식이 유리수 근을 갖는 경우(그러나 여전히 존재하지 않을 가능성이 있음), 이 근은 어떤 특별한 형태를 가질 것입니다. 유리근이 없는 경우, 이 정리는 기술하지 않았습니다.

무리수 중에서 원래 시스템의 방정식의 근을 찾으려고 노력합시다. 그러나 여기에는 약간의 독창성이 필요합니다. 대칭 시스템의 표준 대체는 여기서는 분명히 작동하지 않습니다.

두 번째 방정식을 입방체로 올리면 다음과 같은 결과를 얻습니다. 따라서 Vieta 정리에 따라 이차 방정식의 근입니다.

방정식 시스템 해결에 대한 추가 문헌을 연구하면서 새로운 유형의 시스템 인 대칭을 만났습니다. 그리고 저는 목표를 세웠습니다.

"방정식 시스템" 주제에 대한 과학적 정보를 요약합니다.

새로운 변수를 도입하는 방법을 이해하고 해결 방법을 배웁니다.

3) 대칭방정식과 관련된 주요 이론을 고찰한다.

4) 방정식의 대칭 시스템을 푸는 방법을 배웁니다.

방정식 풀이의 역사.

선형 방정식에서 미지수를 제거하는 방법은 오랫동안 사용되어 왔습니다. 17~18세기. V. 배제 기술은 Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange에 의해 개발되었습니다.

현대 표기법에서 두 개의 미지수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다. a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 - c2b; y = а1с2 – а2с1 이 시스템의 솔루션은 공식으로 표현됩니다.

가1b2 – 가2b1 가1b2 – 가2b1

17세기에 만들어진 좌표계 덕분이다. Fermat와 Descartes에 의해 방정식 시스템을 그래픽으로 풀 수 있게 되었습니다.

기원전 3-2천년에 쓰여진 고대 바빌로니아 텍스트에서. 이자형. , 2 차 방정식도 도입되는 방정식 시스템을 컴파일하여 해결되는 많은 문제를 포함합니다.

예 #1:

두 정사각형의 넓이를 더했습니다: 25. 두 번째 정사각형의 변은 첫 번째 변과 같고 5가 더 있습니다. 해당 표기법의 해당 연립방정식은 다음과 같습니다: x2 + y2 = 25, y = 엑스 = 5

많은 미지수에 대한 표기법이 없었던 디오판토스는 시스템의 해를 단일 방정식의 해로 환원시키는 방식으로 미지의 것을 선택하는 데 많은 노력을 기울였습니다.

예 #2:

"합이 20이고 제곱의 합이 208이라는 것을 알고 두 자연수를 찾으십시오."

연립방정식 x + y = 20을 컴파일하여 문제를 풀었지만 x2 + y2 = 208

Diophantus, 원하는 숫자의 차이의 미지의 절반으로 선택, 즉

(x-y) \u003d z, + (x + y) \u003d 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2-는 문제의 조건을 만족하지 않으므로 z = 2x = 12이고 y = 8인 경우

대수 방정식 시스템의 개념.

많은 문제에서 미지의 양의 도움으로 형성된 다른 양(미지수의 함수)이 서로 또는 일부 주어진 양과 같다는 것을 알면서 미지의 양을 여러 개 찾아야 할 수도 있습니다. 간단한 예를 들어보겠습니다.

2400m2 면적의 직사각형 부지에 200m 길이의 울타리가 쳐져 있습니다. 세그먼트의 길이와 너비를 찾으십시오. 사실, 이 문제의 "대수적 모델"은 두 개의 방정식과 하나의 부등식의 시스템입니다.

가능한 제한-불평등을 항상 염두에 두어야 합니다. 방정식 시스템을 컴파일하기 위해 문제를 해결할 때. 그러나 여전히 중요한 것은 방정식 자체를 푸는 것입니다. 사용되는 방법에 대해 알려 드리겠습니다.

정의부터 시작하겠습니다.

연립방정식은 중괄호로 연결된 여러(둘 이상) 방정식의 집합입니다.

중괄호는 시스템의 모든 방정식이 동시에 실행되어야 함을 의미하며 각 방정식을 진정한 평등으로 바꾸는 한 쌍의 숫자(x; y)를 찾아야 함을 보여줍니다.

시스템의 솔루션은 x와 y라는 한 쌍의 숫자이며, 이 시스템으로 대체될 때 각 방정식을 진정한 수치 평등으로 바꿉니다.

방정식 시스템을 푸는 것은 모든 솔루션을 찾거나 아무것도 없다는 것을 확인하는 것을 의미합니다.

대체 방법.

대체 방법은 방정식 중 하나에서 하나의 변수가 다른 변수로 표현되는 것입니다. 결과 식을 다른 식으로 대입하면 변수가 하나인 식으로 바뀌어 풀린다. 이 변수의 결과 값을 원래 시스템의 모든 방정식에 대입하고 두 번째 변수를 찾습니다.

연산.

1. 시스템의 한 방정식에서 y를 x로 표현하십시오.

2. y 대신 결과 식을 시스템의 다른 방정식으로 대체하십시오.

3. x에 대한 결과 방정식을 풉니다.

4. x 대신 세 번째 단계에서 찾은 방정식의 각 근을 첫 번째 단계에서 얻은 y에서 x까지의 식에 차례로 대입합니다.

5) 값 쌍(x; y)의 형태로 답을 적습니다.

예 번호 1 y \u003d x-1,

두 번째 방정식 y \u003d x-1을 대체하면 5x + 2 (x-1) \u003d 16을 얻습니다. 여기서 x \u003d 2입니다. 첫 번째 방정식에서 결과 표현식을 대체합니다. y \u003d 2 - 1 \ u003d 1.

답변: (2; 1).

예 #2:

8y-x \u003d 4, 1) 2 (8y-4)-21y \u003d 2

2배 - 21년 \u003d 2 16년 - 8 - 21년 \u003d 2

5y \u003d 10 x \u003d 8y-4, y \u003d -2

2배 - 21년 \u003d 2

2) x \u003d 8 * (-2)-4 x \u003d 8y-4, x \u003d -20

2 (8y-4)-21y \u003d 2 x \u003d 8y-4, y \u003d -2 x \u003d -20, y \u003d -2

답변: (-20; -2).

예 #3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y - 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 - 2x - 8 = 0 - 이차방정식 y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1 = -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1 = -4, y2 = 8

따라서 (-2; -4); (4; 8)은 이 시스템의 솔루션입니다.

추가 방법.

추가 방법은 주어진 시스템이 함께 추가될 때 하나의 변수가 있는 방정식을 형성하는 방정식으로 구성되는 경우 이 방정식을 풀면 변수 중 하나의 값을 얻을 수 있다는 사실에 있습니다. 대체 방법에서와 같이 두 번째 변수의 값을 찾습니다.

덧셈 방법으로 시스템을 푸는 알고리즘.

1. 미지수 중 하나에 대한 계수 모듈을 균등화합니다.

2. 결과 방정식을 더하거나 빼서 미지수를 찾습니다.

3. 찾은 값을 원래 시스템의 방정식 중 하나에 대입하여 두 번째 미지수를 찾습니다.

예 #1. x + y \u003d 20, x - y \u003d 10을 추가하여 방정식 시스템을 풉니다.

첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼면,

두 번째 표현 x \u003d 20-y에서 표현합니다.

y \u003d 5를 x \u003d 20 - 5 x \u003d 15 식으로 대체합니다.

답: (15; 5).

예 #2:

제안된 시스템의 방정식을 차이로 나타내면 다음을 얻습니다.

7y = 21, 여기서 y = 3

이 값을 시스템 x = 의 두 번째 방정식에서 표현된 값으로 대체하면 x = 4를 얻습니다.

답변: (4; 3).

예 #3:

2x + 11y = 15,

10배 - 11년 = 9

이 방정식을 추가하면 다음과 같습니다.

2배 + 10배 = 15 + 9

12x \u003d 24 x \u003d 2, 이 값을 두 번째 방정식에 대입하면 다음을 얻습니다.

10 * 2 - 11y \u003d 9, 여기서 y \u003d 1.

이 시스템의 솔루션은 (2; 1) 쌍입니다.

방정식 시스템을 푸는 그래픽 방법.

연산.

1. 시스템의 각 방정식의 그래프를 구성합니다.

2. 구성된 선의 교차점 좌표 찾기.

평면에서 선의 상호 배열의 경우.

1. 선이 교차하면, 즉 하나의 공통점이 있으면 연립방정식의 해는 하나입니다.

2. 선이 평행하면, 즉 공통점이 없으면 연립방정식에 해가 없습니다.

3. 선이 일치하는 경우, 즉 많은 점이 있는 경우 연립방정식의 해는 무한합니다.

예 #1:

방정식 x - y \u003d -1의 시스템을 그래픽으로 풀고,

첫 번째 및 두 번째 방정식 y에서 표현합니다. y \u003d 1 + x, y \u003d 4-2x x

시스템의 각 방정식에 대한 그래프를 작성해 보겠습니다.

1) y \u003d 1 + x-함수의 그래프는 직선 x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y \u003d 4-2x-함수의 그래프는 직선 x 0 1 y 4 2

답변: (1; 2).

예 #2: y x + 2y = 6,

4y \u003d 8-2x x y \u003d, y \u003d y \u003d-함수 그래프는 직선 x 0 2 y 3 2 y \u003d-함수 그래프는 직선 x 0 2 y 2 1

답변: 해결책이 없습니다.

예 번호 3: y x - 2y \u003d 2,

3x-6y \u003d 6 x-2y \u003d 2, x-2y \u003d 2 x y \u003d-함수의 그래프는 직선 x 0 2 y -1 0

대답: 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다.

새로운 변수를 도입하는 방법.

새로운 변수를 도입하는 방법은 하나의 방정식에만 새로운 변수를 도입하거나 두 방정식에 대해 두 개의 새로운 변수를 한 번에 도입한 다음 새로운 변수에 대해 방정식 또는 방정식을 풀고 그 후에 더 간단한 시스템을 해결하는 것입니다. 원하는 솔루션을 찾는 방정식.

예 #1:

엑스 + 와이 = 5

=z를 표시한 다음 =을 표시합니다.

첫 번째 방정식은 z + = 형식을 취하며 6z - 13 + 6 = 0과 같습니다. 결과 방정식을 풀면 z = ; 지=. 그런 다음 = 또는 = , 즉 첫 번째 방정식이 두 개의 방정식으로 분할되므로 두 개의 시스템이 있습니다.

x + y = 5 x + y = 5

이러한 시스템의 솔루션은 주어진 시스템의 솔루션입니다.

첫 번째 시스템의 솔루션은 (2; 3) 쌍이고 두 번째 시스템은 (3; 2) 쌍입니다.

따라서 시스템의 해 + = , x + y = 5

쌍은 (2; 3)입니다. (3; 2)

예 #2:

= X, a = Y라고 하자.

X \u003d, 5 *-2Y \u003d 1

5X - 2Y \u003d 1 2.5 (8 - 3Y) - 2Y \u003d 1

20 - 7.5U - 2U \u003d 1

X \u003d, -9.5Y \u003d -19

5 * - 2Y = 1 Y = 2

교체를 해보자.

2 x = 1, y = 0.5

답변: (1; 0.5).

방정식의 대칭 시스템.

n개의 미지수를 가진 시스템은 미지수가 재배열될 때 변경되지 않으면 대칭이라고 합니다.

두 개의 미지수 x 및 y가 있는 두 방정식의 대칭 시스템은 u = x + y, v = xy로 대체하여 해결됩니다. 대칭 시스템에서 발생하는 표현은 u 및 v로 표현됩니다. 많은 대칭 시스템을 해결하는 데 의심할 여지가 없는 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v - v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v 등

미지수 x y, z에 대한 세 방정식의 대칭 시스템은 x + y + z = u, xy + yz + xz = w를 대체하여 해결됩니다. u, v, w가 발견되면 삼차 방정식 t2 – ut2 + vt – w = 0이 형성되며 다양한 순열의 근 t1, t2, t3은 원래 시스템의 해입니다. 이러한 시스템에서 가장 일반적인 표현은 다음과 같이 u, v, w로 표현됩니다. x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

예 #1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

x + y = u, xy = v라고 합니다.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

교체를 해보자.

답변: (1; 3); (3; 1).

예 #2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

x + y = u, xy = v라고 합니다.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

교체를 해보자.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

답변: (1; 3); (3; 1).

예 #3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

x = y = u, xy = v라고 하자.

u + v = 7, u2 - v = 13 u2 - v = 13 u2 - 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 - u, u(u + 1) =20 u2 - v =13 u = 4 v = 7 – 유, 유 = 4 v = 3, 유 = 4

교체를 해보자.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 - y xy = 3 x = 4 - y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

답변: (1; 3); (3; 1).

예 #4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

x + y = u, xy = v라고 합니다.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

교체를 해보자.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 - y, xy = 4 x = 5 - y, y(5 - y) = 4 x = 5 - y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

답: (4; 1); (14).

예 #5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

미지수를 변경해 보겠습니다. 시스템은 u2 + v = 49, u + v = 23의 형식을 취합니다.

이 방정식을 더하면 근 u1 = 8, u2 = -9인 u2 + u - 72 = 0을 얻습니다. 따라서 v1 = 15, v2 = 32입니다. 시스템 세트 x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32를 해결해야 합니다.

시스템 x + y = 8은 솔루션 x1 = 3, y1 = 5를 갖습니다. x2=5, y2=3.

시스템 x + y = -9에는 실해가 없습니다.

답: (3; 5), (5; 3).

예제 번호 6. 연립방정식을 풉니다.

2x2 - 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

기본 대칭 다항식 u = y + x 및 v = xy를 사용하여 다음 방정식 시스템을 얻습니다.

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

시스템의 두 번째 방정식에서 v = -3 – u 표현을 첫 번째 방정식으로 대입하면 다음 방정식 2u2 + 7u + 5 = 0을 얻습니다. 그 근은 u1 = -1 및 u2 = -2.5입니다. 따라서 v1 = -2 및 v2 = -0.5 값은 v = -3 - u에서 얻습니다.

이제 다음 시스템 세트 x + y \u003d -1 및 x + y \u003d -2.5, xy \u003d -2 xy \u003d -0.5를 해결해야 합니다.

이 시스템 집합의 솔루션과 원래 시스템의 솔루션(그들의 동등성으로 인해)은 다음과 같습니다. (1; -2), (-2; 1), (;).

예 #7:

3x2y-2xy + 3x2 \u003d 78,

2x - 3xy + 2y + 8 = 0

기본 대칭 다항식을 사용하여 시스템을 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

3uv - 2v = 78,

u = 두 번째 방정식에서 표현하고 첫 번째 방정식에 대입하면 9v2 – 28v – 156 = 0이됩니다. 이 방정식 v1 = 6 및 v2 = -의 근은 해당 값 u1 = 5를 찾을 수 있도록합니다. u2 = - 표현 u =에서.

이제 다음 시스템 세트 x + y \u003d 5 및 x + y \u003d - , xy \u003d 6 xy \u003d -를 해결합니다.

x \u003d 5-y, y \u003d -x-, xy \u003d 6 xy \u003d -.

x \u003d 5-y, y \u003d -x-, y (5-y) \u003d 6 x (-x-) \u003d -.

x = 5 – y 및 y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 및 x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

답: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

결론.

기사를 작성하는 과정에서 다양한 유형의 대수 방정식 시스템에 대해 알게 되었습니다. "방정식 시스템" 주제에 대한 요약된 과학적 정보.

새로운 변수를 도입하여 해결하는 방법을 이해하고 배웠습니다.

대칭 방정식 시스템 관련 주요 이론 검토

방정식의 대칭 시스템을 푸는 방법을 배웠습니다.

− 4 1 + 4

−6

27 ≡ 0,

-4x + 4y + 27

+(y +6 )

엑스 = 1, 엑스

(x-1)

= −6.

y = -6

두 번째 방정식의 해는 아직 시스템의 해가 아닙니다. 결과 숫자는 시스템의 나머지 첫 번째 방정식으로 대체되어야 합니다. 이 경우 대체 후 ID를 얻습니다.

답변: (1, - 6).♦

§5. 균질 방정식 및 시스템
함수 f(x, y)	~라고 불리는	동종의		k 만약
f (tx, ty ) = tk f (x, y ) .	예를 들어, 함수 f (x, y) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
차수 4의 동차입니다.		에프(tx,티) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx ) 2 (ty ) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 ) . 방정식 f (x, y) = 0, 여기서				에프(엑스, 와이) -

동종 함수를 동종이라고 합니다. 방정식으로 줄어듭니다.

새로운 변수 t = x y 를 도입하면 미지수가 하나 있습니다.

에프(엑스, 와이) = 에이,

두 개의 변수가 있는 시스템 g(x, y) = b, 여기서 f(x, y) , g(x, y) -

같은 정도의 동차 함수를 동차 함수라고 합니다. ab ≠ 0이면 첫 번째 방정식에 b를 곱하고 두 번째 방정식에 a를 곱하면-

우리는 하나를 다른 것과 비교합니다 - 동등한 시스템을 얻습니다

bf(x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

변수의 변화에 의한 첫 번째 방정식 t =

(또는 t =

)로 감소

미지수가 하나인 방정식.

a = 0인 경우

(b = 0) , 방정식 f (x, y) = 0 (g (x, y) = 0)

변수 t =

(또는 t =

) 미지수가 하나인 방정식으로 축소

− XY + y

21 ,

예 20. (Moscow State University, 2001, 화학과) 시스템 풀기

− 2xy + 15 = 0.

2012-2013 학년도 년, No. 1, 11 세포. 수학. 대수 방정식, 부등식, 시스템

− xy + y 2 = 21,

− xy + y 2

y2 - 2xy

-2xy = -15

2xy = - 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19±11

5x2 - 19xy + 12y2 = 0 5

− 19

12 = 0

-2xy = -15

x=3년,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3; −

3 ) , (4; 5) ,

(− 4; − 5) . ♦

§6. 대칭 시스템

에프(엑스, 와이)

~라고 불리는

대칭,

f(x, y) = f(y, x) .

에프(엑스, 와이) = 에이

형식의 방정식 시스템

여기서 f (x , y ) , g (x , y )는 대칭입니다.

g(x,y) = b,

ric을 대칭 시스템이라고 합니다. 이러한 시스템

더 자주	새로운 도입을 통해서만	변수
x + y = 유, xy

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17,

예 21. 방정식 시스템 풀기

x + xy + y = 5 .

♦ 이것은 대수(대칭) 시스템이며 일반적으로 x + y = u , xy = v 를 변경하여 해결됩니다. 알아채기

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = (x + y ) (x 2 − xy + y 2 ) + x 3 y 3 =

= (x + y ) ((x + y) 2 - 3 xy) + x3 y3 = u (u2 - 3 v) + v3 ,

형식으로 시스템을 다시 작성하십시오.

2012-2013 학년도 년, No. 1, 11 세포. 수학. 대수 방정식, 부등식, 시스템

− 3uv + v

u = 5 - v,

6 = 0

V=5

-5v

v = 3, u = 2

(이전 변수에서)

x + y = 2,

x = 2 - y ,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 - y,

x=2, y=1,

y −3 y + 2 = 0

x=1, y=2.

xy = 2,

답변: (2;1) ,

(1; 2) . ♦

문학

1. S. I. Kolesnikova "통합 국가 시험 준비 집중 과정." 모스크바, 아이리스 - 언론;

2. "통합 국가 시험의 복잡한 문제 해결" Moscow, Iris - Press 또는 "Wako", 2011;

3. 잡지 "잠재력" №№1 2005년 -2 - S. I. Kolesnikova "비합리적인 방정식" 및 "비합리적인 불평등"의 기사;

4. S. I. Kolesnikov "불합리 방정식", 모스크바, 2010,

OOO "아즈부카";

5. S. I. Kolesnikova "불합리한 불평등", 모스크바, 2010, Azbuka LLC;

6. S. I. Kolesnikova "모듈을 포함하는 방정식 및 부등식", Moscow, 2010, Azbuka LLC.

제어 질문

1(2). 부등식 5x + 1 ≥ 2(x − 1) 의 모든 해를 포함하는 구간의 가장 작은 길이를 찾습니다.

2(2). 부등식 x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4를 풉니다(오른쪽과 왼쪽에 인수 x − 2가 있으므로 3차 방정식을 풀 필요가 없습니다).

3(2). 부등식 2 − x ≥ x − 3을 풉니다.

4(2). 에 속하는 간격의 가장 작은 길이 찾기

불평등의 모든 솔루션을 수확	x2 + 5 x − 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5(3). 부등식의 정수 해의 제곱합을 구합니다.

2012-2013 학년도 년, No. 1, 11 세포. 수학. 대수 방정식, 부등식, 시스템

4 − x − 8 + x ≤ x +6 .

6(3). 부등식 5 + x − 8 − x ≤ 3 − x를 풉니다.

7(3). 불평등 해결	− x 3 − x −1		≤엑스.
				9 − 4x − (x + 3) )

8(3). 불평등 해결	4 − x −(x + 2 ) )(				≤ 0.
		(x + 1 )(x - 2 )(x - 3 )

9(4). 에 속하는 간격의 가장 작은 길이 찾기

불평등의 모든 솔루션을 수확
	x+5	엑스+2		144-x< 0.


	X-2	4 x -5	6x - 6
	X-2	4 x -5	6x - 6

10(2). 부등식 8 x − 8 ≤ 32 + 4x − x 2 의 모든 해를 포함하는 구간의 가장 작은 길이를 구합니다.

11(4). 비의 모든 정수 해의 제곱합을 구합니다.

2(2). 다음을 포함하는 가장 짧은 간격 찾기
	(x − 1 )3 (x + 3 )
불평등의 모든 해결책				≤ 0 .
	2x - 1	엑스 - 2	) (x - 1 )

3(2). 불평등 해결

4 (x - 3 ) 4 ≥ 4 (x - 7 .5 ) 4 .

4(4). 불평등 해결

x2 + 3 x - 4

x2 - 16

2x 2 + 3x - 20

5(3). 부등식을 해결하십시오(x 2	X +1 ) 2 -2 x 3 + x 2 + x -3 x 2		≥ 0 .
4 - 2x - 1 ≤ 3.	작업
	- 5배 + 6 + 9 - 2배 - 5	≤ 0 .
1(3). 불평등 해결		≤ 0 .
19x 2 - 4x 3 - 4x + 19

10x2-17x-6

6(4). 방정식에 대한 모든 a 찾기

4배 -

함수 f (x) \u003d x 2 + 4x +

× 2 -

엑스 - 1

− a 만 수락

음수가 아닌

확실한 가치.

8(4). 방정식 4 x − 3 풀기

엑스 - 1

5x + 14 - 3

5x + 14 - 1

9(4). 방정식 풀기

× 2 - 5 +

x 2 -3 = x +1 +

x + 3 .

24 - x2

9 2배

10(3). 불평등 해결

≥ 0 .

x2 - 4 7 x - 10

11(3). 세 명의 라이더가 서킷의 같은 지점에서 동시에 출발하여 같은 방향으로 일정한 속도로 주행합니다. 첫 번째 라이더는 처음으로 두 번째 라이더를 따라 잡았고 출발과 정반대 지점에서 다섯 번째 랩을 만들고 30 분 후 출발 순간을 세지 않고 두 번째로 세 번째 라이더를 따라 잡았습니다. . 두 번째 라이더는 출발 3시간 만에 처음으로 세 번째 라이더를 따라잡았습니다. 두 번째 라이더가 최소 20분 안에 랩을 완주한다면 첫 번째 라이더는 시간당 몇 바퀴를 돌까요?

작품은 "수학" 주제에 대한 수업 및 보고서에 사용할 수 있습니다.

§5. 균질 방정식 및 시스템

§6. 대칭 시스템

문학

제어 질문

작업

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