Morenshildt I.K. 그룹 1.45.36 Frunzensky 지구 학교 번호 314 교사 Koroleva O.P. 상트페테르부르크 2006 * 상트페테르부르크 정보 기술 및 통신 센터 상호 역함수

지수 및 로그 함수 삼각 함수

기본 정의 방정식 예 역함수의 그래프 지수 및 로그 함수 사인 및 아크사인 함수 코사인 및 아크코사인 함수 탄젠트 및 아크탄젠트 함수 코탄젠트 및 아크코탄젠트 함수 시험 출처 내용 마침

가역 함수 y=f(x) 함수가 x의 한 값에 대해서만 각 값을 취하는 경우 이 함수를 가역이라고 합니다. 이러한 함수의 경우 인수의 값과 함수의 값 사이의 역관계를 표현할 수 있습니다.

주어진 1에 역함수를 구성하는 예 특수한 경우 주어진 함수 y=3x+5 x에 대한 방정식 x를 y로 바꾸기 함수 (1)과 (2)는 서로 역입니다 일반적인 경우 y=f (x)는 가역적입니다 함수 정의 함수 x= g (y ) x를 y로 바꾸기 y= g(x) 함수 y=f(x)와 y=g(x)는 서로 반대입니다.

역함수의 그래프

지수 및 로그 함수 y=log a x y=a x y=x a>1

함수 sin x 및 arcsin x 세그먼트에서 함수 y=sin x를 고려하십시오. 이 함수는 단조롭게 증가합니다. FZF [-1;1]. 함수 y= arcsin x는 함수 y=sinx의 역함수입니다. [ -  ;  ] 2 2

함수 cos x 및 arccos x 세그먼트에서 함수 y=co s x를 고려하십시오. 이 함수는 단조롭게 감소합니다. FZF [-1;1]. 함수 y=arccos x는 함수 y=co sx의 역함수입니다.

함수 tg x 및 arctg x 간격에서 함수 y= tg x를 고려하십시오. 이 함수는 단조롭게 증가합니다. ORF는 집합 R입니다. 함수 y= arctg x는 함수 y= tg x의 역함수입니다. (-  ; ) 2 2

함수 ctg x 및 arcctg x 함수를 고려하십시오. y= ctg x 간격 (0; )에서. 함수가 단조롭게 감소합니다. GFZ 세트 R . 역은 함수 y \u003d arcctg x입니다.

"상호 역함수" 주제에 대한 테스트 질문 1번 질문 2번 질문 3번 질문 4번 질문 5번 마침 마침

질문 번호 1 상호 역함수의 그래프는 다음과 관련하여 대칭으로 좌표계에 위치합니다. 좌표의 원점 직접 y \u003d x 축 OY 축 OX

질문 2번 원본의 정의 영역과 역함수의 영역은 어떤 관련이 있습니까? 독립 경기

질문 #3 로그 함수의 역함수는 무엇입니까? 전력 선형 2차 지수

질문 #4 함수 y=arcctg x는 함수 y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x의 역함수입니다.

질문 #5 "역수 함수" 주제는 기본적입니다. 제가 좋아하는 쉬운 이해하기 쉬운

만세! 만세! 만세! 잘했어 과학자!

오답 처음부터 반복!

잘못된! 나는 당신의 대답에 분노합니다!

대수학의 출처와 분석의 시작: Proc. 10-11 세포. 일반 교육 기관 / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov 및 기타 - 12th ed. -M.: Enlightenment, 2004. - 384p. 대수학 연구 및 10-11학년 분석 시작: 책. 선생님을 위해 / N.E. Fedorova, M.V. Tkachev. - 2판. - M .: 교육, 2004. - 205 p. 대수학에 관한 교훈 자료 및 10학년 분석 시작: 교사를 위한 가이드 / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburd. - 2판, 개정. -M.: Enlightenment, 1998. -143p. 역 삼각 함수 그래프 http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

주제: "상호 역함수".

수업 목표:

교육적인:

9학년에서 공부한 "기능" 주제에 대한 학생들의 지식을 반복하고 요약합니다. 상호 역함수에 대해 알아보고, 역함수와 그 속성의 존재 조건을 연구하고, 역함수의 그래프를 작성하는 방법을 배웁니다.

개발 중:

학생들의 창의적이고 정신적 활동을 개발하기 위해 그들의 지적 자질: 문제를 "보는" 능력.

자신의 생각을 명확하고 명확하게 표현하고 탐색, 분석, 비교, 결론을 도출하는 능력을 형성합니다.

독립적인 창의성에 대한 학생들의 관심을 개발합니다.

학생들의 공간적 상상력을 개발합니다.

교육적인:

비정상적인 상황에서 사용 가능한 정보로 작업하는 능력을 개발합니다.

정확성과 성실성을 기르십시오.

미학교육을 진행합니다.

수업 유형:결합.

장비:

• 멀티미디어 프로젝터;

  수업에 적용: (프레젠테이션.) - 전자 매체에서;

교육 수단: 컴퓨터, 소프트웨어뛰어나다, 미디어 프로젝터, 슬라이드 프레젠테이션.

시민: 하나의 좌표계에 내장된 함수 그래프.

교육 활동 조직의 형태: 개인, 대화, 슬라이드의 텍스트 작업, 노트북에서 연구 작업.

행동 양식: 시각, 언어그래픽, 연구.

수업 중.

1. 교사의 소개 연설. 설치 대화. 학생들의 심리적 분위기.

수업에서 우리는 9 학년에서 공부 한 "함수"주제에 대한 지식을 반복하고 요약하고, 상호 역함수에 대해 알아보고, 역함수 및 그 속성의 존재 조건을 연구하고, 역 그래프를 작성하는 방법을 배웁니다. 기능. 우리는 서로의 성공과 유익한 작업을 기원합니다.

2. "함수와 그 그래프" 주제에서 다룬 자료의 반복. 프레젠테이션.

슬라이드 2-10. 수업과의 정면 작업.

3. 새로운 자료 학습. 연구 및 시연 요소가 포함된 교육적 대화(슬라이드 11-24)

의존성 예시. 각 함수 값은 하나의 인수 값에 해당합니다.

이러한 함수의 경우 인수의 값과 함수의 값 사이의 역관계를 표현할 수 있습니다.

운동.

상호 역함수의 영역과 범위를 찾습니다.

4. 지식의 통합.

"역함수" 주제에 대한 학습 노트

레슨 1 "리버스 기능"

표적: 주제에 대한 이론적 장치를 구성하십시오. 입력하다

가역함수의 개념;

역함수의 개념;

가역성을 위한 충분 조건 공식화 및 증명

기능;

상호 역함수의 기본 속성.

강의 수업 계획

정리 시간.

새로운 주제에 대한 인식에 필요한 학생들의 지식 실현.

신소재 발표.

수업을 요약합니다.

강의 과정

1. 정리 시간.

2. 지식 업데이트. ( 이전 수업의 주제에 대한 정면 조사.)

학생의 경우 함수 그래프가 대화형 보드에 표시됩니다(그림 1). 교사는 함수의 그래프를 고려하고 함수의 연구 속성을 나열하는 작업을 공식화합니다. 학생들은 연구 설계에 따라 함수의 속성을 나열합니다. 함수 그래프 오른쪽에 있는 교사는 대화형 화이트보드에 마커를 사용하여 명명된 속성을 기록합니다.

쌀. 1

기능 속성:

3. 학생들을 위한 목표 설정.

연구가 끝날 때 교사는 오늘 수업에서 기능의 또 다른 속성 인 가역성을 알게 될 것이라고보고합니다. 새로운 자료에 대한 의미있는 연구를 위해 교사는 수업이 끝날 때 학생들이 답해야 할 주요 질문에 대해 알도록 아이들을 초대합니다. 각 학생은 유인물 형태로 질문을 받습니다(수업 전에 배포됨).

질문:

1. 뒤집을 수 있는 기능은 무엇입니까?

2. 역함수는 어떤 함수인가요?

3. 정의 영역과 직접 및 역함수의 값 집합은 어떻게 관련되어 있습니까?

4. 함수가 가역이 되기 위한 충분 조건을 공식화합니다.

5. 증가하는 함수의 역함수가 감소하거나 증가합니까?

6. 역홀함수는 짝수인가 홀수인가?

7. 상호 역함수의 그래프는 어떻게 배열되어 있습니까?

4. 신소재 발표.

1) 가역 함수의 개념. 가역성을 위한 충분조건.

대화형 보드에서 교사는 정의 영역과 값 집합이 동일하지만 함수 중 하나는 단조롭고 다른 하나는 그렇지 않은 두 함수의 그래프를 비교합니다(그림 2). 따라서 함수에는 함수의 특징이 아닌 속성이 있습니다.에프 ( 엑스 ) 그것을 받아, 그것은 단지 한 지점에서의 함수의 값이므로 교사는 학생들에게 가역 함수의 개념을 제시합니다.

쌀. 2

그런 다음 교사는 가역 함수의 정의를 공식화하고 대화형 화이트보드의 단조 함수 그래프를 사용하여 가역 함수 정리를 증명합니다.

정의 1. 함수가 호출됩니다.거꾸로 할 수 있는 , 세트의 한 지점에서만 값을 취하는 경우엑스 .

정리. 함수가 세트에서 단조로운 경우엑스 , 그러면 되돌릴 수 있습니다.

증거:

기능하자 y=에프(엑스) 세트에서 증가엑스가자 엑스 1 ≠엑스 2 - 세트의 2점엑스 .

명확성을 위해엑스 1 < 엑스 2 . 그럼 무엇에서엑스 1 < 엑스 2 기능이 증가함에 따라에프엑스 1 ) < 에프엑스 2 ) .

따라서 인수의 다른 값은 함수의 다른 값, 즉 기능은 뒤집을 수 있습니다.

정리는 감소하는 함수의 경우에도 유사하게 증명됩니다.

(정리를 증명하는 동안 교사는 마커로 그림에 필요한 모든 설명을 합니다.)

역함수의 정의를 공식화하기 전에 교사는 학생들에게 제안된 함수 중 어떤 것이 가역적인지 결정하도록 요청합니다. 대화형 보드는 기능 그래프를 보여주고(그림 3, 4) 분석적으로 지정된 여러 기능이 기록됩니다.

ㅏ ) 비 )

쌀. 3 그림. 4

V ) y=2x+5; G ) y = - + 7.

논평. 함수의 단조성은충분한 역함수의 존재 조건. 하지만 그것은아니다 필요한 조건.

교사는 함수가 단조적이지 않고 가역적일 때, 함수가 단조적이지 않고 가역적이지 않을 때, 단조적이며 가역적일 때 다양한 상황의 예를 제시합니다.

2) 역함수의 개념. 역함수를 컴파일하는 알고리즘.

정의 2. 뒤집을 수 있는 기능을 하자y=에프(엑스) 세트에 정의엑스 및 그 범위E(에프)=Y . 각자 맞추자와이~에서 와이 그렇다면 유일한 의미엑스, 어느 f(x)=y. 그런 다음 정의된 함수를 얻습니다.와이, ㅏ 엑스 – 함수 값의 범위. 이 함수는엑스=에프 -1 (와이),그리고 전화 뒤집다 기능면에서y=에프(엑스), .

그런 다음 교사는 분석적으로 주어진 역함수를 찾는 방법을 학생들에게 소개합니다.

함수에 대한 역함수를 컴파일하는 알고리즘 와이 = 에프 ( 엑스 ), .

기능 확인y=에프(엑스) 간격에 가역엑스 .

익스프레스 변수엑스~을 통해 ~에방정식에서 y=에프(엑스), 그것을 고려하여.

결과 평등에서 스왑엑스그리고 ~에. 대신에 엑스=에프 -1 (와이)쓰다 y=에프 -1 (엑스).

구체적인 예를 통해 교사는 이 알고리즘을 사용하는 방법을 보여줍니다.

예 1 함수에 대한 내용 표시y=2x-5

해결책 . 선형 함수y=2x-5에 결정 아르 자형, 증가 아르 자형 그리고 그 범위는아르 자형. 따라서 역함수는아르 자형 . 분석적 표현을 찾기 위해 방정식을 풉니다.y=2x-5비교적 엑스 ; 얻다. 변수의 이름을 바꾸면 원하는 역함수를 얻습니다. 그것은 R에 의해 정의되고 증가합니다.

예 2 함수에 대한 내용 표시y=x 2 , x ≤ 0 역함수가 존재하고 분석식을 찾습니다.

해결책 . 함수는 정의 영역에서 연속적이고 단조롭기 때문에 가역적입니다. 정의 영역과 함수 값 집합을 분석한 후 형식을 갖는 역함수에 대한 분석적 표현에 대해 해당 결론이 내려집니다.

3) 상호 역함수의 속성.

재산 1.만약에 g 의 역함수이다 에프 , 그리고 에프 의 역함수이다 g (함수는 서로 반대입니다)디 ( g )= 이자형 ( 에프 ), 이자형 ( g )= 디 ( 에프 ) .

속성 2. 집합 X에서 함수가 증가(감소)하고 Y가 함수의 범위인 경우 역함수는 Y에서 증가(감소)합니다.

재산 3. 함수의 역함수의 그래프를 얻으려면 함수의 그래프를 직선에 대해 대칭으로 변환해야 합니다.y=x .

속성 4. 홀수 함수가 가역이면 그 역함수도 홀수입니다.

속성 5.함수인 경우 에프 ( 엑스 ) 그리고 서로 반대이면 누구에게나 참이고 누구에게나 참입니다.

예 3 가능한 경우 역함수를 플로팅합니다.

해결책. 이 함수는 단조적이지 않기 때문에 전체 정의 영역에 대해 역함수가 없습니다. 따라서 함수가 단조로운 간격을 고려하십시오. , 따라서 반전이 있습니다. 찾아보자그녀의 . 이를 위해 우리는 표현엑스 ~을 통해와이 : . 이름 바꾸기 - 역함수. 함수 그래프를 작성하고(그림 5) 직선에 대해 대칭인지 확인합니다.와이 = 엑스 .

쌀. 5

예 4 당신이 알고 있다면 상호 역함수 각각의 값 집합을 찾으십시오.

해결책. 상호 역함수의 속성 1에 따르면, 우리는 가지고 있습니다.

5 . 요약

진단 작업을 수행합니다. 이 작업의 목적은 강의에서 논의된 교육 자료의 동화 수준을 결정하는 것입니다. 학생들은 강의 시작 부분에 공식화된 질문에 답하도록 초대됩니다.

6 . 숙제하기.

1. 강의 자료를 이해하고 정리의 기본 정의와 공식을 배웁니다.

2. 상호 역함수의 성질을 증명하라.

수업 2 함수의 가역성을 위한 충분 조건"

표적: 문제를 해결할 때 주제에 대한 이론적 지식을 적용하는 능력을 형성하고, 역함수를 구축하기 위해 가역성 함수 연구를 위한 주요 문제 유형을 고려합니다.

워크숍 수업 계획:

1. 조직적인 순간.

2. 지식의 실현 (학생의 정면 작업).

3. 연구 자료 통합(문제 해결).

4. 수업 요약.

5. 숙제 진술.

수업 중.

1. 정리 시간.

교사에게 인사하고 학생들의 수업 준비 상태를 확인합니다.

2. 지식 업데이트. ( 학생들의 전면 작업).

학생들은 구두로 다음 작업을 완료해야 합니다.

1. 함수가 가역이 되기 위한 충분 조건을 공식화합니다.

2. 그림에 그래프로 표시된 함수 중 가역적인 함수를 표시하십시오.

3. 주어진 함수와 역함수를 컴파일하는 알고리즘을 공식화합니다.

4. 데이터와 반대인 함수가 있습니까? 그렇다면 다음에서 찾으십시오.

ㅏ) ; 비 ) ; 씨 ) .

5. 그림에서 그래프가 표시된 함수는 서로 역수입니까(그림 6)? 대답을 정당화하십시오.

쌀. 6

3. 연구 자료의 통합(문제 해결).

연구 자료의 통합은 두 단계로 구성됩니다.

학생들의 개별 독립 작업;

개별 작업의 결과를 요약합니다.

첫 번째 단계에서 학생들은 스스로 수행하는 작업이 적힌 카드를 받습니다.

연습 1.

기능이 전체 정의 영역에서 가역적입니까? 그렇다면 그 반대를 찾으십시오.

ㅏ) ; b) ; 씨).

작업 2.

함수는 서로 반대입니까?

ㅏ) ;

비 ) .

작업 3.

표시된 각 간격의 함수를 고려하고, 이 간격에서 함수가 가역적이면 그 역수를 분석적으로 설정하고 정의 영역과 값 범위를 나타냅니다.

ㅏ ) 아르 자형 ; 비 ) ; 디 ) [-2;0].

작업 4.

함수가 되돌릴 수 없음을 증명하십시오. 구간에서 함수의 역함수를 찾아 그래프를 그립니다.

작업 5.

함수를 플로팅하고 이에 대한 역함수가 있는지 확인합니다. 그렇다면 동일한 도면에 역함수를 플로팅하고 분석적으로 설정합니다.

ㅏ ) ; 비 ) .

학생들의 개별 작업 결과를 요약하는 단계에서 작업은 중간 결과 고정으로 만 확인됩니다. 가장 어려움을 야기한 문제는 솔루션 검색 공개 또는 전체 솔루션 기록과 함께 보드에서 고려됩니다.

4. 수업 요약 (반성).

학생들에게 미니 설문지가 제공됩니다.

수업의 어떤 점이 마음에 들었습니까?______________________________

수업에서 마음에 들지 않은 점은 무엇입니까? _____________________________

_________________________________________________________________

귀하에게 가장 적합한 진술을 하나 선택하십시오.

1) 나는 가역성에 대한 함수를 독립적으로 조사할 수 있고 역함수를 만들 수 있으며 그 결과가 정확하다고 확신합니다.

2) 가역성을 위해 함수를 검토하고 역함수를 만들 수 있지만 결과의 정확성을 항상 확신할 수는 없으며 동지들의 도움이 필요합니다.

3) 나는 실질적으로 가역성을 위한 함수를 조사할 수 없고 역함수를 만들 수 없습니다. 선생님의 추가 조언이 필요합니다.

습득한 지식을 어디에 적용할 수 있습니까?____________________ _________________________________________________________________

5. 숙제하기.

№ 10.3, 10.6(c, d), 10.7(c, d), 10.9(c, d), 10.13(c, d), 10.18.(모르코비치, A.G. 대수학과 수학적 분석의 시작 10학년. 오후 2시 2부. 교육 기관 학생을 위한 과제집(프로필 수준) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384p.)

상호 역함수와 그 그래프

(다루는 자료의 일반화 반복)

함수의 그래프에 해당하는 그래프는 y=x 3 반전이 있나요?

함수의 그래프에 해당하는 그래프는 어느 것입니까? 역이 있습니까?

그래프 중 그래프에 해당하는 것은

반전 기능이 있나요?

함수에 해당하는 그래프는?

그룹 1: 답변 a) 이유를 설명하십시오.

그래프는 어떤 기능에 해당합니까? 1 . y \u003d x 3 2. 삼 . y \u003d x 4 4. y \u003d x -2 5. 6. y = 엑스 -1

함수의 그래프에서

D(y)=(-:0) U(0;+)

이 범위를 지정

함수의 그래프에서

주어진 범위를 지정 함수의 그래프에서

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

주어진 함수에 역함수 찾기 ~에 = g ( 엑스 )

함수 (2)가 함수 (1)과 역이면 그러한 함수를 상호 역이라고 합니다.

이러한 기능에 대한 정의 영역과 값 집합을 찾으십시오.

• D (y) \u003d (- ∞ ;2) ∪ (2; + ∞)
• E(y)=(- ∞;0) ∪(0;+ ∞)

• D (y) \u003d (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• 역함수의 영역 지(엑스) 원래의 값 세트와 일치합니다. 기능 에프 ( 엑스 ) 및 역함수의 값 집합 지(엑스) 원래 함수의 영역과 일치 에프엑스 :

디( 지(엑스) ) = E( 에프엑스 )), E( 지(엑스 )) = 디( 에프엑스 )).

• 단조 함수는 가역적입니다.

• if 함수 에프 (엑스) 증가하면 그 역함수 g (엑스) 또한 증가합니다.
• 기능 에프 (엑스) 감소하면 그 역함수 g (엑스) 또한 감소합니다.

주어진: y = x 3

이 함수의 그래프를 구성하고, 주어진 함수의 역함수 공식을 표현하고 그래프를 그립니다.

3. 함수에 역이 있으면 역함수의 그래프는 직선 y \u003d x에 대해이 함수의 그래프와 대칭입니다.

주어진 함수와 반대인 함수의 그래프를 구성합니다.

독립적인 작업 교육

II 옵션

나는 옵션

• 주어진 것과 반대인 함수를 찾으십시오.

2. 주어진 것과 반대인 함수의 정의 영역과 값 집합을 찾습니다.

3. 주어진 것과 반대인 함수의 그래프를 구성합니다.

II 옵션

나는 옵션

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

숙제:

579번, 576번 해결 (c, d

마음대로 581호 (1,2)

• 수업시간에 배운 ..................................
• 내가 관심이 있었던 수업에서 .............
• 그것은 어려웠다 ………………………………………….
• 수업에서 얻은 지식을 사용할 수 있습니다.

R e f e x i s :

수업 목표:

교육적인:

• 프로그램 자료에 따라 새로운 주제에 대한 지식을 형성합니다.
• 함수의 가역성 속성을 연구하고 주어진 함수의 역함수를 찾는 방법을 가르치는 것;

개발 중:

• 자제력, 주제 연설을 개발하십시오.
• 역함수의 개념을 익히고 역함수를 찾는 방법을 배웁니다.

교육적: 의사 소통 능력을 형성합니다.

장비:컴퓨터, 프로젝터, 스크린, SMART Board 대화형 화이트보드, 그룹 작업을 위한 유인물(독립 작업).

수업 중.

1. 조직적인 순간.

표적 – 학생들이 교실에서 일할 수 있도록 준비:

부재의 정의,

일하는 학생들의 태도, 관심의 조직;

공과의 주제와 목적에 관한 메시지.

2. 학생들의 기본 지식 업데이트.전면 투표.

표적 - 연구 된 이론적 자료의 정확성과 인식을 확립하고 다루는 자료의 반복.<Приложение 1 >

함수의 그래프가 학생용 대화형 화이트보드에 표시됩니다. 교사는 함수의 그래프를 고려하고 함수의 연구 속성을 나열하는 작업을 공식화합니다. 학생들은 연구 설계에 따라 함수의 속성을 나열합니다. 함수 그래프 오른쪽에 있는 교사는 대화형 화이트보드에 마커를 사용하여 명명된 속성을 기록합니다.

기능 속성:

연구가 끝날 때 교사는 오늘 수업에서 기능의 또 다른 속성 인 가역성을 알게 될 것이라고보고합니다. 새로운 자료에 대한 의미있는 연구를 위해 교사는 수업이 끝날 때 학생들이 답해야 할 주요 질문에 대해 알도록 아이들을 초대합니다. 질문은 일반 칠판에 적고 각 학생에게는 유인물이 있습니다(수업 전에 배포).

1. 가역기능이란?
2. 모든 기능이 뒤집힐 수 있습니까?
3. 주어진 역함수는 무엇입니까?
4. 정의 영역과 함수 및 그 역함수의 값 집합은 어떻게 관련되어 있습니까?
5. 함수가 분석적으로 주어지면 수식으로 역함수를 어떻게 정의합니까?
6. 함수가 그래픽으로 제공되는 경우 역함수를 플로팅하는 방법은 무엇입니까?

3. 새로운 자료에 대한 설명.

표적 - 프로그램 자료에 따라 새로운 주제에 대한 지식을 형성합니다. 함수의 가역성 속성을 연구하고 주어진 함수의 역함수를 찾는 방법을 가르치는 것; 주제를 발전시킨다.

교사는 단락의 자료에 따라 자료 발표를 진행합니다. 대화형 보드에서 교사는 정의 영역과 값 집합이 동일하지만 함수 중 하나는 단조롭고 다른 하나는 그렇지 않은 두 함수의 그래프를 비교하여 학생들에게 가역 함수의 개념을 제공합니다. .

그런 다음 교사는 가역 함수의 정의를 공식화하고 대화형 화이트보드의 단조 함수 그래프를 사용하여 가역 함수 정리를 증명합니다.

정의 1: 함수 y=f(x), x X가 호출됩니다. 거꾸로 할 수 있는, 세트 X의 한 지점에서만 값을 취하는 경우.

정리: 함수 y=f(x)가 집합 X에서 단조이면 가역적입니다.

증거:

1. 기능하자 y=에프(엑스)증가 엑스가자 엑스 1 ≠ 엑스 2- 세트의 2점 엑스.
2. 명확성을 위해 × 1< × 2.
   그럼 무엇에서 × 1< × 2그 다음 f(×1) < f(×2).
3. 따라서 인수의 다른 값은 함수의 다른 값, 즉 기능은 뒤집을 수 있습니다.

(정리를 증명하는 동안 교사는 마커로 그림에 필요한 모든 설명을 합니다.)

역함수의 정의를 공식화하기 전에 교사는 학생들에게 제안된 함수 중 어떤 것이 가역적인지 결정하도록 요청합니다. 대화형 화이트보드는 함수 그래프를 보여주고 분석적으로 정의된 여러 함수가 작성되었습니다.

비)

G) y = 2x + 5

디) y = -x 2 + 7

교사는 역함수의 정의를 소개합니다.

정의 2: 가역 함수를 보자 y=에프(엑스)세트에 정의 엑스그리고 E(에프)=Y. 각자 맞추자 와이~에서 와이그렇다면 유일한 의미 엑스, 어느 f(x)=y.그런 다음 정의된 함수를 얻습니다. 와이, ㅏ 엑스기능의 범위입니다

이 함수는 x=에프-1(와이)함수의 역함수라고 합니다. y=에프(엑스).

학생들은 정의 영역과 역함수 값 집합 사이의 관계에 대한 결론을 도출하도록 초대됩니다.

주어진 a의 역함수를 찾는 방법에 대한 질문을 고려하기 위해 교사는 두 명의 학생을 참여시켰습니다. 전날 아이들은 교사로부터 주어진 역함수를 찾기 위한 분석 및 그래픽 방법을 독립적으로 분석하라는 과제를 받았습니다. 교사는 수업을 위해 학생들을 준비시키는 컨설턴트 역할을 했습니다.

첫 번째 학생의 메시지.

참고: 함수의 단조성은 충분한역함수의 존재 조건. 하지만 그것은 아니다필요한 조건.

학생은 함수가 단조적이지 않고 가역적일 때, 함수가 단조적이지 않고 가역적이지 않을 때, 단조적이며 가역적일 때 다양한 상황의 예를 들었습니다.

그런 다음 학생은 분석적으로 주어진 역함수를 찾는 방법을 학생들에게 소개합니다.

찾기 알고리즘

1. 함수가 단조로운지 확인하십시오.
2. x를 y로 표현합니다.
3. 변수의 이름을 바꿉니다. x \u003d f -1 (y) 대신 y \u003d f -1 (x)라고 씁니다.

그런 다음 주어진 것의 역함수를 찾기 위해 두 가지 예를 푼다.

예 1:함수 y=5x-3에 대한 역함수가 있음을 보여주고 분석식을 구하십시오.

해결책. 선형 함수 y=5x-3은 R에서 정의되고 R에서 증가하며 범위는 R입니다. 따라서 역함수는 R에 존재합니다. 해석적 표현을 찾기 위해 다음과 관련하여 방정식 y=5x-3을 풉니다. 엑스; 이것은 원하는 역함수입니다. 그것은 R에 의해 정의되고 증가합니다.

예 2:함수 y=x 2 , x≤0에 대한 역함수가 있음을 보여주고 해석식을 구하십시오.

함수는 정의 영역에서 연속적이고 단조롭기 때문에 가역적입니다. 정의 영역과 함수 값 집합을 분석하면 역함수에 대한 분석적 표현에 대한 해당 결론이 도출됩니다.

두 번째 학생은 다음에 대해 프레젠테이션을 합니다. 그래픽역함수를 찾는 방법. 설명 과정에서 학생은 대화형 화이트보드의 기능을 사용합니다.

함수 y=f -1 (x)의 그래프를 얻으려면 함수 y=f(x)의 역으로 ​​함수 y=f(x)의 그래프를 직선에 대해 대칭으로 변환해야 합니다. y=x.

대화형 화이트보드에서 설명하는 동안 다음 작업이 수행됩니다.

동일한 좌표계에서 함수 그래프와 역함수 그래프를 구성합니다. 역함수에 대한 분석식을 적으십시오.

4. 새로운 재료의 1차 고정.

표적 - 연구 자료에 대한 이해의 정확성과 인식을 확립하고 자료에 대한 기본 이해의 차이를 식별하고 수정합니다.

학생들은 쌍으로 나뉩니다. 쌍으로 작업하는 작업이 포함된 시트가 제공됩니다. 작업을 완료하는 데 걸리는 시간은 제한되어 있습니다(5-7분). 한 쌍의 학생이 컴퓨터로 작업하고 이 시간 동안 프로젝터가 꺼져 있고 나머지 어린이는 학생들이 컴퓨터로 작업하는 방식을 볼 수 없습니다.

시간이 끝나면(대부분의 학생이 작업을 완료했다고 가정함) 대화형 화이트보드(프로젝터가 다시 켜짐)에 학생의 작업이 표시되며 테스트 중에 작업이 완료되었음을 명확히 합니다. 한 쌍. 필요한 경우 교사는 수정 및 설명 작업을 수행합니다.

쌍으로 독립적인 작업<부록 2 >

5. 수업 결과.강의 전 받은 질문에 대해. 수업 성적 발표.

숙제 §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

대수학 및 분석의 시작. 10 학년 교육 기관용 2 부분 (프로필 수준) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova 및 기타; 에드. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007