다항식과 단항식의 곱을 찾는 방법. "단항식에 다항식을 곱하기" 수업. I. 조직적 순간

HP MOBU "Poikovskaya 중등 학교 No. 2"

7학년의 공개 대수 수업

이 주제에 대해:

"다항식에 의한 단항식의 곱셈"

수학 교사

리마 T. A.

Poikovsky 마을, 2014

체계적인 정보

수업 유형

새로운 지식의 "발견"의 교훈

수업의 목표 (교육, 개발, 교육)

수업의 활동 목표 : 반사 자기 조직화 방법을 기반으로 "다항식에 의한 단항식의 곱셈"이라는 주제에 대해 독립적으로 새로운 행동 방식을 구축하는 학생들의 능력 형성.

교육 목표 : 다항식에 의한 단항식의 곱셈과 같은 새로운 요소를 포함하여 "다항식" 주제에 대한 개념적 기반 확장.

수업 목표

교육적인:

단항식에 다항식을 곱하는 알고리즘을 개발하고 적용 예를 고려하십시오.

개발 중:

주의력, 기억력, 문제가 있는 작업의 해결을 통해 자신의 행동을 추론하고 주장하는 능력의 발달;

주제에 대한 인지적 관심의 발달;

적극적인 형태의 수업 관리 및 ICT 사용을 통해 학생들 사이에 정서적으로 긍정적인 태도 형성;

수업 결과의 분석과 자신의 성취에 대한 성찰을 통한 성찰력의 발달.

교육적인:

수업에서 그룹, 쌍 및 정면 작업 구성을 통해 학생들의 의사 소통 기술 개발.

사용된 방법

언어적 방법(대화, 읽기),

시각적 (프레젠테이션 시연),

문제 검색,

반성적 자기조직화 방법(활동방법),

개인 UUD의 형성.

수업의 교훈적인 지원:

컴퓨터 프레젠테이션,

작업 카드,

수업 평가 카드,

새로운 주제에 대한 실용적인 작업이 포함된 카드.

스테이지 레슨

교사 활동

학생 활동

조직 단계. (1 분)

목표: 학생들의 지식 업데이트, 수업 목표 결정, 수업을 그룹으로 나누기 (다른 수준), 그룹 리더 선택.

심리적 태도, 인사 학생.

학생들에게 인사하고 수업의 서문을 부릅니다. 사전 배포된 그룹에서 자리를 제안하고 예비 브리핑을 제공합니다.

안녕하세요, 앉으세요. 여러분, 우리가 태어나기 수천 년 전에 아리스토텔레스는 "... 수학은 ... 질서, 대칭 및 확실성을 드러내며 이것이 가장 중요한 유형의 아름다움입니다. "라고 말했습니다. 그리고 수학의 세계에서 각 수업이 끝나면 불확실성이 줄어듭니다. 오늘 우리가 스스로 새로운 것을 발견하기를 바랍니다.

수업 중에 각 작업을 완료한 후 테이블에 있는 평가 시트를 완성합니다.

학생들은 미리 나누어진 그룹에 앉습니다. 스코어 시트를 숙지하십시오.

구두 계산.

목적: 주제에 대한 이론적 자료의 동화를 확인합니다. “단항식에 단항식 곱하기. Exponentiation"과 그것을 실제로 적용하는 능력, 학생들의 사고력 개발, 공동 활동의 가치에 대한 인식, 그룹의 성공을 위한 투쟁.

a) 수학 받아쓰기.

유사한 단항식을 제공하십시오.

a) 2x+4y+6x=

b) -4a + c-3a \u003d

다) 3c+2d+5d=

d) -2d + 4a-3a =

2. 단항식에 단항식 곱하기

a) -2x 3x

b) (-4av) (-2c)

d) (-5av) (2z)

e) 2z(x + y)

교사는 칠판에 적힌 수학 받아쓰기를 수행하겠다고 제안합니다. 올바른 실행을 제어하고 새로운 자료를 연구합니다.

학생들과 함께 수업의 목적과 주제를 공식화합니다.

- 어떤 받아쓰기 번호가 가장 어려웠나요?

알아 봅시다 어디어려움이 있었고 왜?

- 수업의 목적은 단항식에 다항식을 곱하는 방법을 배우는 것입니다(결정의 타당성).

강의 주제: « 유다항식에 의한 단항식의 곱셈.

학생들은 과제를 완료합니다. 교사와 함께 수업의 목적과 주제를 공식화하십시오. 공과 주제를 공책에 적으십시오.

(학생들의 예상 답은 e)

단항식과 다항식을 곱하는 규칙을 개발(공식화)합니다.

새로운 주제 소개

목적: 학생들이 새로운 자료를 학습할 수 있도록 준비 .

그룹 과제.

그룹 #1.

계산하다.

15 80+15 20= 1200+300=1500

15 (80+20)=15 100=1500

그룹 #2

계산하다.

20 40+20 100=800+2000=2800

20 (40+100)=20 140=2800

그룹 #3.

계산하다.

6 (2a+3a)=6 5a=30a

6 2a+6 3a=12a+18a=30

그룹 번호 4

계산하다

7 (4x+2x)= 7 6x=42

7 4x+7 2x=28x+14x=42x

선생님이 지시를 내립니다. 실행을 제어합니다.

각 그룹은 두 가지 표현의 의미를 찾아야 합니다. 그것들을 비교하고 결론을 평등 또는 불평등으로 작성하십시오.

학생들은 그룹별로 예를 풀고 결론을 내립니다.

각 그룹에서 1명의 구성원이 칠판에 결론을 씁니다.

칠판에는 다음과 같이 쓰여 있습니다.

15 80+15 20=15 (80+20)

20 40+20 100=20 (40+100)

6 (2a+3a)=6 2a+6 3

7 (4x+2x)=7 4x+7 2x

학생들은 점수표에 자신의 등급을 매깁니다. 결론이 올바르게 공식화되고 쓰여지면 5를 입력하십시오.

학생들에 의한 새로운 자료의 "발견".
표적:반사 자기 조직화 방법을 기반으로 "단항식과 다항식의 곱셈"이라는 주제에 대해 독립적으로 새로운 행동 방식을 구축하는 학생들의 능력 형성.

"빈칸 채우기" 작업 완료

슬라이드 2.

2z ∙(x + y )=2z ∙ +2z ∙

3x(a+b)=a+b

1분 후 올바른 솔루션이 보드에 표시됩니다.

선생님이 지시를 내립니다.

설문조사를 실시합니다. 결론을 내립니다.

칠판에 적힌 방정식을 사용하여 다음 식의 빈칸을 채우십시오.

괄호 앞에 오는 것에 주의를 기울이시겠습니까?

괄호 안에 무엇입니까?

대답은 어떻게됩니까?

따라서 단항식에 다항식을 곱하는 방법을 결론지어 봅시다. 3분 후 학생들에게 자료를 발표합니다(흰색 시트와 펠트펜 사용).

일반화

규칙을 올바르게 공식화했는지 확인해 봅시다. 이렇게하려면 p에서 교과서를여십시오.

학생들은 그룹으로 작업하고 각 그룹은 공백을 채우는 방법에 대해 토론합니다.

빈칸이 제대로 채워졌는지 확인하세요.

각 그룹은 자신의 가설을 제시하고 학급에 제시하고 종합 토론을 거쳐 결론을 내립니다.

교과서에서 규칙을 소리내어 읽으십시오.

단항식

다항식

새로운 다항식

기본 고정.

목적 : 단항식에 다항식을 곱하는 기술 연습, 학생들의 정신 능력 개발, 공동 활동의 가치 이해, 그룹의 성공을 위해 싸우고 학습 활동에 대한 동기 부여를 높입니다.

그룹 과제.

그룹 #1, 3

엑스∙(

m∙(n+3)=__________________ ; 7a ∙ (2b -3c ) = _______________ ;

그룹 #2, 4

a∙(c-y) = __________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;

m∙(y+5)=__________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;

선생님이 지시를 내립니다.

책상에 가져 가라. 카드 번호 2전제 조건은 규칙을 서로에게 발음하기로 결정할 때입니다.

상호 확인을 수행하고 그룹 1은 그룹 3과 카드를 교환하고 그룹 2는 그룹 4와 카드를 교환합니다. 스코어 시트에서 그룹에 점수를 할당합니다.

5개의 올바르게 완료된 작업 - 등급 "5"; 4 - "4"; 3- "3"; 3 미만 - "2".

그들은 카드의 작업을 완료하고 상호 확인을 수행합니다.

그룹 #1의 담당자가 그룹 #3의 구성원에게 질문합니다. 스코어 시트에 스코어를 기록합니다.

그룹 #2의 책임 있는 구성원이 그룹 #4의 구성원에게 질문합니다. 점수표에 표시를 합니다.

6. 수학 연습.
목적: 교실에서 아동의 정신적 수행을 향상시키거나 유지하기 위함;

수업 중 학생들에게 단기간의 활동적인 휴식을 제공합니다.

교사는 단항식, 다항식 및 단항식도 다항식도 아닌 표현이 쓰여진 카드를 지시하고 보여줍니다.

학생들은 순서대로 운동을 한다

"단일 회원"-손을 들었습니다. "다항식"- 당신 앞에 손 "다른 표현"- 측면에 손;

우리는 눈을 감고 조용히 30까지 세고 눈을 떴습니다.

수학 로또

목적: 다항식에 단항식을 곱하는 알고리즘을 수정하고 수학에 대한 흥미를 유발하기 위함

그룹 번호 1,3

c(3a-4c)=3ac-12s;

3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;

4) -n(x-m)=-nx+nm;

5) 3z(x-y)= 3zx-3zy .

답변 카드:

3as-12sun; 3ac+12sun; 3ac-4c

zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;

3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;

Nx+nm; nx+nm; nx-nm;

3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.

그룹 #2, 4

단항식에 다항식을 곱하기

A (3v + s) \u003d -3av-ac;

4x(5c -s )=20cx -4xs ;

a(3c+2b)=3ac+2ba

5a(b+3d)=5ab+15ad

답변 카드:

3av-ac; 3ab + ac; 너;

20cx -4xs ; 20cx+4xs ; 5c-4xs;

3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;

CP-5cm; 평균-5m; p-5cm.

5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad

봉투를 나눠줍니다. 게임의 규칙을 알려줍니다. 하나의 봉투에는 단항식과 다항식을 곱하는 5개의 예와 답이 있는 15개의 카드가 들어 있습니다.

수행한 작업을 평가하는 방법을 설명합니다.

그룹은 첫 번째로 모든 작업을 올바르게 완료하면 "5"점수를 받습니다. 4개의 작업 - "4"; 3개의 작업 - "3", 3개 미만 - "2", 모든 작업을 완료하면서 로또 초에 게임을 완료한 그룹은 "4", 세 번째 - "3", 마지막 - "2".

과제가 있는 봉투를 받습니다.

단항식에 단항식을 곱합니다.

주어진 모든 카드에서 정답을 선택하십시오.

자가 진단.

셀프 체크 카드를 받으세요. 점수표에 점수를 적습니다.

8 . 수업에서 교육 활동 반영 (수업 결과).

목적 : 교육 활동 결과에 대한 학생들의 자체 평가, 경계 구축 방법에 대한 인식 및 새로운 행동 방식 적용.

슬라이드의 질문에 대한 정면 대화:

단항식과 다항식을 곱하는 알고리즘이 수학에 존재합니까?

활동의 결과는 무엇입니까?

교사가 평가 시트를 분석합니다(결과는 슬라이드에 표시됨).

수업의 모토로 돌아가서 서문과 수업에서 파생된 알고리즘 사이에 유사점을 그립니다.

활동 결과를 명확하게 보여주는 평가 시트를 전달하십시오.

다시 한 번 수업의 모토로 돌아가 보겠습니다. "... 수학은 ... 질서, 대칭 및 확실성을 드러내며 이것이 가장 중요한 유형의 아름다움입니다." 오늘 수업에서 도출한 알고리즘은 미래에 새로운 발견을 하는 데 도움이 될 것입니다. 다항식과 다항식의 곱셈은 대수학에서 많이 언급되는 약식 곱셈의 공식을 배우는 데 도움이 될 것입니다. 많은 흥미롭고 중요한 것들이 우리 앞에 기다리고 있습니다.

강의 감사합니다!!!

학생들은 자신의 작업에 대한 자기 분석을 수행하고 수업에서 학습한 알고리즘을 기억하고 질문에 답합니다.

애플리케이션.

카드 #1.

그룹 #1.

계산하다.

15 80+15 20= ______________________________

15 (80+20)= _______________________________

카드 #1.

그룹 #2

계산하다.

20 40+20 100 =_________________________________

20 (40+100)= __________________________________

카드 #1.

그룹 #3.

계산하다.

6 (2a + 3a) \u003d ________________________________________________

6 2a+6 3a=_____________________________________

카드 #1

그룹 번호 4

계산하다

7(4x + 2x) = _____________________________________

7 4x+7 2x= _____________________________________

카드 #2.

그룹 #3

엑스∙( z + y ) = __________________ ; ∙ (c + d) \u003d ___________________;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

카드 №4.

그룹 #2

7x ∙ (5d -8d )= ______ - ________= _______.

카드 #2.

그룹 #1

엑스∙( z + y ) = __________________ ; ∙ (c + d) \u003d ___________________;

m∙(n+3)=__________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________ ;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

카드 №2.

그룹 #2

∙ (c-y ) = __________________ ; c ∙ (c + d) \u003d ___________________;

m∙(y+5)=__________________ ; 6m ∙ (2n -3k ) = ______________ ;

7x ∙ (5d -8d )= ______ - ________= _______.

수학 로또(두 부)

c(3a-4c)

z(x+2y)

3c(x-3년)

-n(엑스엠)

3z(엑스와이)

-a(3v+초)

4x (5c -s )

(3c+2b)

c(p-5m)

5a(b+3d)

로또 정답(2부)

3as-12sun

3as+12sun

3ac-4c

zx+2zy;

zx-2zy

zx+2년

3sh-9su

3cx-3cy

3시+3수

Nx+nm

nx+nm

nx-nm

zx-zy

3zxy

3zx-3zy

3av-ac

3ab + ac;

너

20cx-4xs

20cx+4xs

5c-4xs

3ac+2ba

3ac+6ba

3ac-2ba

CP-5cm

수 -5분

p-5cm.

5ab+ad

5ab+5b

>>수학: 다항식과 단항식의 곱셈

다항식과 단항식의 곱셈

지금까지 4장이 3장과 동일한 계획에 따라 구성되었음을 알아차렸을 것입니다. 두 장 모두에서 기본 개념이 처음 소개되었습니다. 단항식의; 4장에서 - 다항식, 다항식의 표준 형식. 그런 다음 3장에서 단항식의 덧셈과 뺄셈을 살펴보았습니다. 유사하게, 4 장 - 다항식의 덧셈과 뺄셈.

3장에서 다음에 무슨 일이 일어났습니까? 그런 다음 단항식의 곱셈에 대해 이야기했습니다. 그래서, 비유하자면, 이제 우리는 무엇에 대해 이야기해야 할까요? 다항식의 곱셈에 대해. 그러나 여기서는 천천히 진행해야 합니다. 먼저 (이 단락에서) 다항식의 곱셈을 다음과 같이 고려합니다. 단항식(또는 다항식에 의한 단항식은 중요하지 않습니다), 그리고 (다음 단락에서)-다항식의 곱셈. 초등학교 때 곱셈을 배웠을 때도 점진적으로 행동했습니다. 처음에는 여러 자리 수에 한 자리 수를 곱하는 법을 배웠고 그 다음에야 여러 자리 수에 여러 자리 수를 곱했습니다.

(a + b)c \u003d ac + bc.

예 1곱셈 수행 2a 2 - Zab) (-5a).

해결책. 새로운 변수를 소개합니다:

x \u003d 2a 2, y \u003d Zab, z \u003d-5a.

그런 다음 이 곱은 (x + y)z 형식으로 다시 작성되며 분배법에 따라 xr + yz와 같습니다. 이제 이전 변수로 돌아갑니다.

xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a).
단항식의 제품을 찾는 것만 남아 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

- 10a 3 + 15a 2b

솔루션에 대한 간략한 표기법을 제공합니다(이는 새로운 변수를 도입하지 않고 향후에 작성하는 방법입니다).

(2a 2-Zab) (-5a) \u003d 2a 2 (-5a) + (-Zab) (-5a) \u003d -10a 3 + 15a 2 b.

이제 다항식에 단항식을 곱하는 해당 규칙을 공식화할 수 있습니다.

단항식에 다항식을 곱할 때도 같은 규칙이 적용됩니다.

-5a (2a 2-Zab) \u003d (-5a) 2a 2 + (-5a) (-Zab) \u003d 10a 3 + 15a 2b

(예제 1을 사용했지만 요인을 바꿨습니다).

예 2다음과 같은 경우 다항식을 다항식과 단항식의 곱으로 표현하십시오.

a) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;

b) p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zu 2.

해결책.

a) 2x 2y \u003d 2x xy이고 4a: \u003d 2x 2입니다. 따라서,

2x 2y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x

b) 예 a)에서 다항식 p 1 (x, y) \u003d 2x 2 y + 4a의 각 구성원 구성에 성공했습니다. 동일한 부분 (동일한 요소) 2x를 선택하십시오. 여기에는 그런 공통점이 없습니다. 이것은 다항식 p 2 (x, y) \u003d x 2 + Zy 2를 다항식과 단항식의 곱으로 나타낼 수 없음을 의미합니다.

사실 다항식 p 2 (x, y)는 예를 들어 다음과 같이 곱으로 나타낼 수도 있습니다.

x2 + 3y2 = (2x2 + 6y2) 0.5
또는 다음과 같이:

x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- 수를 다항식으로 곱한 것인데 이것은 인위적인 변환이므로 큰 필요 없이는 사용하지 않는다.

그건 그렇고, 주어진 다항식을 단항식과 다항식의 곱으로 나타내야 하는 요구 사항은 수학에서 매우 일반적이므로 이 절차에는 특별한 이름이 지정되었습니다.

대괄호에서 공약수를 빼는 작업은 정확할 수도 있고(예제 2a에서와 같이) 완전히 정확하지 않을 수도 있습니다(예제 26에서와 같이). 다음 장에서는 이 문제를 구체적으로 다룰 것이다.

섹션의 끝에서 실제로 작업하는 방법을 보여주는 문제를 해결할 것입니다. 수학적 모델실제 상황에서는 다항식의 대수적 합을 구성하고 다항식에 단항식을 곱해야 합니다. 그래서 우리는 이러한 작업을 헛되이 연구하지 않습니다.

예 3지점 A, B 및 C는 그림 3과 같이 고속도로에 있습니다. A와 B 사이의 거리는 16km입니다. 보행자가 B에서 C로 향했습니다. 2시간 후 자전거 운전자는 A에서 C로 향했고 보행자보다 속도가 6km/h 더 빠릅니다. 출발 4시간 후 자전거 운전자는 C 지점에서 보행자를 따라 잡았습니다. B에서 C까지의 거리는 얼마입니까?

해결책.
첫 단계.수학적 모델을 작성합니다. x km/h를 보행자의 속도라고 하면 (x + 6) km/h는 자전거 타는 사람의 속도입니다.

자전거 타는 사람은 A에서 C까지의 거리를 4시간 동안 이동했습니다. 즉, 이 거리는 공식 4(x + 6)km로 표시됩니다. 즉, AC = 4(x + 6)입니다.

B에서 C까지의 거리는 보행자가 6시간 만에 커버했기 때문에(결국 자전거 타는 사람이 떠나기 전에 그는 이미 2시간 동안 도로에 있었습니다) 따라서 이 거리는 공식 6x km로 표현됩니다. 즉, BC = 6x

이제 그림 3: AC - BC = AB, 즉 AC - BC = 16에 주목하십시오. 이것은 문제의 수학적 모델을 컴파일하기 위한 기초입니다. AC = 4(x + 6), BC = 6x:; 따라서,

4(x + 6) -6x = 16.

A. V. Pogorelov, 7-11 학년 기하학, 교육 기관용 교과서

수업 내용 수업 요약프레임 수업 프레젠테이션 가속 방법 대화형 기술 지원 관행 작업 및 연습 자기 검토 워크샵, 교육, 사례, 퀘스트 숙제 토론 질문 학생의 수사적 질문 일러스트레이션 오디오, 비디오 클립 및 멀티미디어사진, 그림 그래픽, 표, 유머 계획, 일화, 농담, 만화 비유, 명언, 크로스워드 퍼즐, 인용구 부가 기능 초록호기심 많은 치트 시트를 위한 기사 칩 교과서 기본 및 추가 용어집 기타 교과서 및 수업 개선교과서의 오류 수정교과서의 일부 업데이트 수업의 혁신 요소 오래된 지식을 새로운 지식으로 교체 교사 전용 완벽한 수업토론 프로그램의 방법론적 권장 사항 연도 일정 계획 통합 수업

다항식을 다항식으로 곱하는 특별한 경우는 다항식을 단항식으로 곱하는 것입니다. 이 기사에서는 이 작업을 수행하기 위한 규칙을 공식화하고 실제 사례를 통해 이론을 분석합니다.

다항식에 단항식을 곱하는 규칙

다항식에 단항식을 곱하는 근거가 무엇인지 알아 봅시다. 이 동작은 덧셈에 대한 곱셈의 분배 속성을 기반으로 합니다. 문자 그대로이 속성은 다음과 같이 작성됩니다. (a + b) c \u003d a c + b c (a, b 및 씨일부 숫자입니다). 이 항목에서 표현 (a + b) c는 다항식(a + b)과 단항식의 곱입니다. 씨. 평등의 오른쪽 a c + b c단항식의 곱의 합입니다. ㅏ그리고 비단항식으로 씨.

위의 추론을 통해 다항식과 단항식을 곱하는 규칙을 공식화할 수 있습니다.

정의 1

다항식에 단항식을 곱하는 작업을 수행하려면 다음을 수행해야 합니다.

곱해야 하는 다항식과 단항식의 곱을 적으십시오.
다항식의 각 항에 주어진 단항식을 곱합니다.
결과 제품의 합계를 찾으십시오.

위의 알고리즘에 대해 자세히 설명하겠습니다.

단항으로 다항식의 곱을 구성하기 위해 원래 다항식을 괄호로 묶습니다. 또한 곱셈 부호는 그것과 주어진 단항식 사이에 배치됩니다. 단항의 항목이 빼기 기호로 시작하는 경우에도 괄호로 묶어야 합니다. 예를 들어, 다항식의 곱 − 4 x 2 + x − 2단항식 7세로 쓰다 (− 4 x 2 + x − 2) 7y, 그리고 다항식의 곱 5비 - 6비단항식 − 3a 2다음 형식으로 작성하십시오. (a5b-6ab) (-3a2).

알고리즘의 다음 단계는 다항식의 각 항을 주어진 단항식으로 곱하는 것입니다. 다항식의 성분은 단항식입니다. 사실, 우리는 단항식과 단항식의 곱셈을 수행할 필요가 있습니다. 알고리즘의 첫 번째 단계 후에 다음 식을 얻었다고 가정해 보겠습니다. (2×2+×+3) 5×,두 번째 단계는 다항식의 각 항을 곱하는 것입니다. 2×2+×+3단항식으로 5배, 따라서 다음을 얻습니다. 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 및 3 5 × = 15 ×. 결과는 단항식 10 x 3, 5 x 2 및 15배.

규칙에 따른 마지막 작업은 결과 제품을 추가하는 것입니다. 제안된 예에서 알고리즘의 이 단계를 완료한 후 다음을 얻습니다. 10×3 + 5×2 + 15×.

기본적으로 모든 단계는 등식 체인으로 작성됩니다. 예를 들어, 다항식의 곱 찾기 2×2+×+3단항식 5배다음과 같이 작성해 보겠습니다. (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x .두 번째 단계의 중간 계산을 제거하면 짧은 솔루션을 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

고려 된 예를 통해 중요한 뉘앙스를 알 수 있습니다. 다항식과 단항식을 곱한 결과 다항식이 얻어집니다. 이 진술은 모든 곱셈 다항식과 단항식에 대해 참입니다.

유사하게, 단항식은 다항식으로 곱해집니다: 주어진 단항식은 다항식의 각 멤버와 곱해지고 결과 제품은 합산됩니다.

다항식에 단항식을 곱하는 예

예 1

제품을 찾아야 합니다: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .

해결책

규칙의 첫 번째 단계는 이미 완료되었습니다. 작업이 기록되었습니다. 이제 다항식의 각 항에 주어진 단항식을 곱하는 다음 단계를 수행합니다. 이 경우 먼저 소수점 분수를 공통 분수로 변환하는 것이 편리합니다. 그런 다음 다음을 얻습니다.

1 , 4 x 2 - 3 , 5y - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5y - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 xy = -7527x3 + 7527 xy = -25x3 + xy

답변: 1 , 4 x 2 - 3 , 5 y - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x y .

원래의 다항식 및/또는 단항식이 비표준 형식으로 주어질 때 곱을 찾기 전에 표준 형식으로 줄이는 것이 바람직함을 명확히 합시다.

예 2

주어진 다항식 3 + − 2 2 + 3 − 2단항식 - 0 , 5 a b (- 2) a. 그들의 일을 찾아야 합니다.

해결책

초기 데이터가 비표준 형식으로 표시되므로 추가 계산의 편의를 위해 표준 형식으로 가져올 것입니다.

− 0 , 5 a b (− 2) a = (− 0 , 5) (− 2) (a a) b = 1 a 2 b = a 2 b 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 = (3 − 2) + (a + 3a) - 2a 2 = 1 + 4a - 2a 2

이제 단항식의 곱셈을 해봅시다. 2b다항식의 각 멤버에 대해 1 + 4a - 2a2

a 2b (1 + 4a − 2a 2) = a 2b 1 + a 2b 4a + a 2b (− 2a 2) = = a 2b + 4a 3b − 2a 4b

우리는 초기 데이터를 표준 형식으로 가져올 수 없었습니다. 그러면 솔루션이 더 번거로워질 것입니다. 이 경우 마지막 단계는 유사한 용어를 줄이는 것입니다. 이해를 돕기 위해 다음은 이 구성표에 따른 솔루션입니다.

− 0.5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = = − 0 . 5 a b (− 2) a 3 − 0 . 5 a b (− 2) a a − 0 . 5 a b (− 2) a (− 2 a 2) − 0 . 5 a b (− 2) a 3 a − 0 , 5 a b (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2a 4b + 3a 3b − 2a 2b = 2b + 4a 3b − 2a 4b

답변: − 0 , 5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b.

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나.단항식에 다항식을 곱하려면 다항식의 각 항에 이 단항식을 곱하고 결과 곱을 더해야 합니다.

예 1단항식에 다항식을 곱합니다. 2a (4a 2 -0.5ab+5a 3).

해결책.단항식 2a다항식의 각 단항식을 곱합니다.

2a(4a 2 -0.5ab+5a 3)=2a∙4a 2 +2a∙(-0.5ab)+2a∙5a 3=8a 3 -a 2 b+10a 4 .결과 다항식을 표준 형식으로 작성합니다.

10a 4 +8a 3 -a 2 나.

예 2다항식에 단항식을 곱합니다. (3xyz 5 -4.5x 2y+6xy 3 +2.5y 2z)∙(-0.4x 3).

해결책.괄호 안의 각 항에 단항식을 곱합니다. (-0.4x3).

(3xyz 5 -4.5x 2y+6xy 3 +2.5y 2z)∙(-0.4x 3)=

3xyz 5 ∙(-0.4x 3) -4.5x 2y∙(-0.4x 3)+6xy 3 ∙(-0.4x 3)+2.5y 2 z∙(-0.4x 3)=

=-1.2x 4yz 5 +1.8x 5y-2.4x 4y 3 -x 3y 2z.

II.다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 다항식 인수분해라고 합니다.

III.괄호 안의 공약수를 빼는 것이 다항식을 인수분해하는 가장 간단한 방법입니다.

예 3다항식을 인수분해합니다: 5a 3 +25ab-30a 2 .

해결책.다항식의 모든 구성원의 공통 인수를 괄호 안에 넣습니다. 이것은 단항식 5a, 때문에 5a이 다항식의 각 항은 나누어질 수 있습니다. 그래서, 5a괄호 앞에 쓰고 괄호 안에는 각 단항식을 다음으로 나눈 몫을 씁니다. 5a.

5a 3 + 25ab-30a 2 \u003d 5a (a 2 + 5b-6a). 우리 자신을 확인하기: 우리가 곱한다면 5a괄호 안의 다항식으로 2 +5b-6a,그러면 우리는 이 다항식을 얻습니다. 5a 3 +25ab-30a 2.

예 4대괄호에서 공약수를 빼십시오. (x+2y) 2 -4 (x+2y).

해결책.(x+2y) 2 -4 (x+2y)= (x+2y)(x+2y-4).

여기서 공통 인수는 이항식입니다. (x + 2y).우리는 그것을 괄호에서 꺼내고 괄호 안에 우리는 이 멤버의 디비전의 비공개 멤버를 썼습니다. (x+2y) 2그리고 -4(x+2년) 그들의 공통 약수에

(x + 2y).그 결과 이 다항식을 두 개의 다항식의 곱으로 나타내었다. (x+2년)그리고 (x+2y-4)즉, 다항식을 확장했습니다. (x+2y) 2 -4 (x+2y)승수를 위해. 답변: (x+2y)(x+2y-4).

IV.다항식을 다항식으로 곱하려면 한 다항식의 각 항을 다른 다항식의 각 항으로 곱하고 결과 곱을 단항식의 합으로 써야 합니다. 필요한 경우 유사한 용어를 추가합니다.

실시예 5다항식 곱셈 수행: (4x2 -6xy+9y2)(2x+3y).

해결책.원칙적으로 첫 번째 다항식(4x 2 -6xy + 9y 2)의 각 항에 두 번째 다항식(2x + 3y)의 각 항을 곱해야 합니다. 혼동하지 않으려면 항상 이렇게 하십시오. 먼저 첫 번째 다항식의 각 항에 2x를 곱한 다음 다시 첫 번째 다항식의 각 항에 3y를 곱합니다.

(4x 2 -6xy+9y 2)( 2x+3년)=4x2 ∙ 2배-6xy∙ 2배+9년 2 ∙ 2배+4x 2 ∙ 3년-6xy∙ 3년+9년 2 ∙ 3년=

8x 3 -12x 2 y+18xy 2 +12x 2 y-18xy 2 +27y 3 =8x 3 +27y 3 .

유사한 용어 -12x 2 y 및 12x 2 y, 18xy 2 및 -18xy 2는 반대인 것으로 판명되었으며 합계는 0입니다.

답변: 8x 3 +27y 3 .

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싱글을 위해? 곱할 때 기호를 올바르게 배치하는 방법은 무엇입니까?

규칙.

다항식을 곱하려면 다항식의 각 항에 단항식을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.

괄호 앞에 단항식을 쓰는 것이 편리합니다.

곱셈 중에 기호를 올바르게 배치하려면 더하기 기호 또는 빼기 기호가 앞에 오는 여는 괄호 규칙을 사용하는 것이 좋습니다.

단항식에 의한 다항식의 곱셈은 다이어그램을 사용하여 나타낼 수 있습니다.

단항식에 괄호 안의 다항식의 각 항("분수")을 곱합니다.