성적 증명서
1 러시아 연방 교육 과학부 연방 주 예산 고등 교육 기관 "Tolyatti State University" 수학, 물리 및 정보 기술 연구소 "대수학 및 기하학" 주제 "제곱근"에 대한 학생 교육 방법 기본 학교의 대수 과정 BAKA L AVR SKA Y 작업 학사 훈련 방향: 교육학 교육 초점(프로필): 수학과 컴퓨터 과학 학생 V.V. Nazarov 과학 감독자: 교육학 박사, 교수. R.A. Uteeva 국방 인정 부서장 : 교육학 박사, 교수. R.A. 우티바 016 톨리야티 - 016
2 목차 소개... 1장. 기초 학교 대수 과정에서 "제곱근" 주제를 가르치는 방법론 시스템 기본 학교 대수 과정에서 "제곱근" 주제를 가르치는 주요 목표 및 목표 교육 내용의 방법론적 분석 기본 대수 과정 학교의 "제곱근" 주제 기본 학교의 대수 과정에서 "제곱근" 주제를 가르치는 형식, 방법 및 수단... 5 I장의 결론... CHAPTER II. 기본 학교 대수 과정에서 "제곱근" 주제 교육을 조직하기 위한 방법론적 권장 사항 "제곱근" 주제에 대한 작업, 기본 학교 대수 과정의 기본 지식 및 기술 수준에 중점을 둡니다. "제곱근" 주제에 대한 작업, 최종 인증을 준비하고 수학 OGE에 합격하는 것을 목표로 합니다. 2장의 결론 결론 사용된 참고문헌 목록... 58
3 서론 연구의 관련성. "제곱근"이라는 주제는 기본 학교 대수학 과정의 전통적인 주제 중 하나입니다. 에서 얻은 숫자에 대한 그녀의 연구는 6학년의 합리 수학 과정에 대한 학생들의 지식과 기술을 기반으로 합니다. 유리수에 대한 연산을 수행하는 기술을 향상시키는 것은 7학년 대수 과정에서 발생합니다. 8학년 대수학 과정에서 "제곱근"이라는 주제를 공부하는 의미와 위치는 유리수 집합을 더욱 확장하고 무리수를 도입해야 할 필요성과 관련이 있습니다. 이 주제를 연구하려는 동기는 이전에 알려진 숫자로는 충분하지 않은 문제를 해결하기 위해 주어진 면적을 기준으로 정사각형의 변(변 길이)을 찾는 잘 알려진 실제 문제일 수 있습니다. 또한 많은 기하학적 문제, 물리학, 화학, 생물학 문제를 풀 때 제곱근이 포함된 방정식을 풀어야 합니다. 그러므로 제곱근의 연산 규칙을 알고 이를 포함하는 식을 변환하는 방법을 배우는 것이 중요합니다. 다음 소스를 기반으로 편집 된 제곱근 개념의 기원과 그 지정의 역사를 살펴 보겠습니다. n 제곱근 기호 x와 x의 현대적 형태는 즉시 나타나지 않았습니다. 근호 기호의 진화는 이탈리아와 일부 유럽 수학자들이 처음으로 라틴어 단어 기수(root)로 제곱근을 부르거나 R로 약칭한 13세기부터 시작하여 거의 5세기 동안 지속되었습니다. 15세기에. N. Schuke는 1 대신 R 1을 썼습니다. 현대 루트 기호는 대수학을 과학 "Koss"라고 부르고 대수학 수학자 "Kossists"라고 불렀던 15~16세기 독일 수학자들이 사용한 명칭에서 유래했습니다. (12~15세기 수학자들은 그들의 모든 작품을 라틴어로만 썼습니다. 그들은 알려지지 않은 것을 res(사물)라고 불렀습니다.
4명의 이탈리아 수학자들은 res라는 단어를 cosa로 번역했습니다. 마지막 용어는 kossists와 koss가 등장한 독일인이 빌린 것입니다.) 15 세기. 일부 독일 Kossists는 제곱근을 나타 내기 위해 표현이나 숫자 앞에 점을 사용했습니다. 필기체에서는 이 점들이 대시로 바뀌었고 나중에 기호가 되었는데, 그러한 기호 중 하나는 일반적인 제곱근을 의미했습니다. 4도의 근을 표시해야 하는 경우 이중 기호가 사용되었습니다. 여덟 번째 근이 정확히 어떻게 지정되었는지 추측할 수 있습니다. 네 번째 거듭제곱으로 비유하면 이 기호는 제곱근의 3배 추출을 식별하는 것으로 간주되었습니다. 즉, 이를 위해서는 3개의 사각형을 넣어야 했습니다. 그러나 이 표기법은 세제곱근이 차지합니다. 아마도 그러한 지정에서 V 기호가 나중에 형성되었는데, 이는 학생에게 친숙한 현대 기호에 서면으로 가깝지만 위쪽 선은 없습니다. 이 기호는 독일 대수학 "숙련된 대수학 규칙의 도움으로 아름답고 빠른 계산"에서 처음으로 나타났습니다. 이 작품의 저자는 체코 출신의 비엔나 출신 수학 교사 크리스토프 루돌프(Kristof Rudolf)였습니다. 이 책은 큰 성공을 거두었으며 16세기 내내 계속해서 재인쇄되었습니다. 그리고 1615년까지 계속되었습니다. Krishtof가 제안한 근의 부호는 A. Girard, S. Stevin이 사용했습니다(그는 원 안의 근호 기호 오른쪽에 근 지수를 V() 또는 V()로 썼습니다. 166년에 네덜란드 수학자 A 지라드는 루돌프의 루트 기호를 수정하여 현대 표기법에 매우 가까운 표기법을 도입했는데, 이러한 형태의 표기는 이전 기호 R을 대체하기 시작했습니다. : a + b. 그리고 167년에야 르네 데카르트(Rene Descartes)는 그의 저서 "기하학"에서 새로운 표기법을 사용하여 수평선을 체크 표시로 연결했습니다. 그러나 여기에도 현대 형태의 정확한 사본은 없었습니다. 데카르트의 기록은 다소 달랐습니다. 우리가 익숙한 것에서 한 가지 세부 사항까지 그는 4 가지를 가지고 있습니다
5는 C + 1 q qq p로 작성되었습니다. 여기서 근수 바로 뒤에 있는 문자 C는 삼차근 표기법을 나타냅니다. 현대적인 형태로 표현하면 다음과 같습니다: C + 1 q q p. 현대의 급진적 글쓰기에 가장 가까운 것은 뉴턴이 그의 "Universal Arithmetic"(1685)에서 사용했습니다. 오늘날의 것과 완전히 일치하는 최초의 어근 표기는 프랑스 수학자 Rolle의 책 "Manual of"에서 찾을 수 있습니다. 대수학'은 1690년에 출판되었습니다. 그것이 쓰여진 지 얼마 지나지 않아, 행성의 수학자들은 마침내 제곱근에 대한 단일하고 최종적인 형태의 표기법을 받아들였습니다. 연구 문제: 학교에서 "제곱근"이라는 주제를 가르치는 방법론적 특징은 무엇입니까? 8학년 대수 과목 5, 기초 이 연구의 목적은 초등학생들에게 대수를 가르치는 과정입니다. 연구 주제는 "제곱근"이라는 주제를 가르치는 방법론적 시스템입니다. 학사 논문의 목적은 "제곱근"이라는 주제를 가르치는 방법론적 체계를 밝히는 것입니다. 연구 목표: 1. 기본 학교의 대수학 과정에서 "제곱근" 주제를 가르치는 주요 목표와 목표를 식별합니다(방법론 시스템의 대상 구성 요소).. "제곱근" 주제의 내용을 분석합니다. 기본 학교의 대수 교과서 (방법론 시스템의 내용 구성 요소).. 기본 학교의 대수 과정에서 "제곱근"주제를 가르치는 다양한 형태, 방법 및 수단을 연구합니다 (조직
방법론 시스템의 6 구성 요소). 4. "제곱근"이라는 주제를 가르치기 위한 방법론적 권장 사항을 공식화합니다. 연구 방법: 자료의 연구, 분석, 체계화 및 일반화 주제에 관한 과학 및 방법론 문헌 분석, 수학 프로그램, 학교 대수학 교과서. 이 작업의 실질적인 중요성은 기본 학교 대수학 과정에서 "제곱근"이라는 주제를 가르치기 위한 방법론적 시스템을 제시하고 수학 교사와 학사가 교육 실습 중에 사용할 수 있는 방법론적 권장 사항을 공식화한다는 사실에 있습니다. 학교. 학사 작업에 대해 제시된 결과와 결론은 학생들에게 "제곱근"이라는 주제를 가르치는 방법의 추가 개발을 위한 기초로 사용될 수 있습니다. 방어를 위해 제시됨: 기본 학교 대수학 과정에서 "제곱근" 주제를 가르치기 위한 방법론 시스템. 작업 구조. 학사 논문은 서론, 두 장, 결론, 참고문헌 목록으로 구성됩니다. 6
7 장 I. 기본 학교 대수 과정에서 "제곱근"주제를 가르치는 방법론 시스템 1. 기본 학교 대수 과정에서 "제곱근"주제를 가르치는 주요 목표와 목표 기본 일반의 연방 주 교육 표준 교육(FSES LLC) 연구 주제 영역 "수학"은 다음을 보장해야 합니다. 1) 현실을 이해하는 방법으로서 수학에 대한 아이디어의 형성, 실제 과정과 현상을 설명하고 연구할 수 있게 함;) 기술 개발 교육용 수학 텍스트 작업(필요한 정보 분석, 추출), 수학적 용어 및 상징을 사용하여 자신의 생각을 정확하고 유능하게 표현하고, 분류, 논리적 정당성, 수학적 진술의 증명을 수행합니다.) 자연에서 숫자 및 숫자 체계에 대한 아이디어 개발 실수로; 구두, 서면, 도구 계산 기술을 습득합니다. 4) 대수학의 상징 언어 숙달, 표현의 동일한 변환 수행, 방정식 풀기, 방정식 시스템, 부등식 및 부등식 시스템 풀기 기술; 대수학 언어로 실제 상황을 모델링하고, 대수학을 사용하여 구성된 모델을 검사하고, 얻은 결과를 해석하는 능력 수학 프로그램에서 저자는 "제곱근"이라는 주제를 연구하기 위해 다음과 같은 목표와 목적을 식별합니다. 유리수 집합 확장, 무리수 및 실수 개념 도입, 제곱근 및 연산 연구. 7
8 주제를 공부한 결과 학생들은 다음을 알아야 합니다. 1. 주기 및 비주기 무한 소수 분수의 정의.. 함수 y=x, 해당 속성 및 그래프.. 제곱근의 개념 4. 산술의 속성 제곱근. 5. 실수, 유리수, 무리수 세트. 주제를 연구한 결과, 학생들은 다음을 수행할 수 있어야 합니다. 1. 공통 분수를 소수로 또는 그 반대로 변환합니다. 실수, 유리수 및 무리수를 비교합니다. 함수 y=x를 그래프로 그릴 수 있습니다. 4. 루트 기호 아래에서 승수를 추가하고 제거합니다. 5. 제곱근을 사용하여 연산을 수행합니다. 수학 프로그램에서 저자는 "제곱근"(Makarychev의 교과서) 주제를 연구하기 위해 다음과 같은 목표와 목표를 식별합니다. 유리수에 대한 정보를 체계화하고 무리수에 대한 아이디어를 제공하여 수의 개념을 확장합니다. 제곱근을 포함하는 표현식의 간단한 변환을 수행하는 능력을 개발합니다. 주제를 연구한 결과, 학생들은 다음 사항을 알아야 합니다. 1. 자연수, 정수, 유리수, 무리수 및 실수.. 숫자의 계수 a.. 산술 제곱근 및 그 속성. 4. 함수 y= x, 해당 속성 및 그래프. 주제를 연구한 결과, 학생들은 다음을 수행할 수 있어야 합니다. 1. 가장 간단한 2차 방정식을 풀 수 있습니다. 8
9 . 루트 기호 아래에서 승수를 추가하고 제거하여 대략적인 제곱근 값을 찾습니다. 4. 숫자의 거듭제곱의 제곱근을 취합니다. 5. 비합리적인 표현을 변형하세요. 수학 프로그램에서 저자는 Alimov 교과서의 "제곱근" 주제를 연구하기 위해 다음과 같은 목표와 목적을 식별합니다. 유리수에 대한 정보를 체계화하고 무리수에 대한 아이디어를 제공하여 수의 개념을 확장합니다. 제곱근을 포함하는 표현식의 간단한 변환을 수행하는 능력을 개발합니다. 주제를 공부한 결과 학생들은 다음을 알아야 합니다. 1. 산술 제곱근의 개념.. 실수 주제를 공부한 결과 학생들은 거듭제곱, 곱 및 분수의 제곱근을 찾을 수 있어야 합니다. S. Minaeva의 기사 [, pp. 4-7]에서는 "제곱근" 섹션을 연구하는 데 다음과 같은 목표가 있다고 명시되어 있습니다. 제곱근을 포함하는 표현식의 변환을 수행하는 방법을 가르치는 것입니다. 제곱근과 3차근의 예를 사용하여 n번째 근에 대한 초기 아이디어를 형성합니다. 2015년 4월 8일자 기본 일반 교육의 대략적인 기본 교육 프로그램에는 졸업생이 8학년에 배워야 한다고 명시되어 있습니다(일상 생활에서 사용하고 다른 과목을 공부할 때 및 기본 수준에서 성공적으로 교육을 계속할 수 있는 가능성을 보장하기 위해): 1. 기본 수준에서 작동합니다. 수준 개념: 자연수, 정수, 공통 분수, 소수, 대분수, 유리수, 산술 제곱근. 양의 정수의 제곱근 값을 추정합니다. 9
10 . 유리수와 무리수를 인식합니다. 4. 숫자를 비교하세요. 5. 표준형식으로 숫자를 쓰는 것의 의미를 이해한다. 6. 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하여 이차 방정식을 푼다. 7. 수직선에 불평등과 그 체계에 대한 해결책을 그려보세요. 졸업생은 기본 및 고급 수준에서 성공적으로 지속적인 교육을 받을 수 있는 가능성을 보장하기 위해 8학년 때 학습할 기회를 갖게 됩니다. 1. 개념을 사용하여 작동: 자연수 집합, 정수 집합, 유리수 집합, 무리수, 제곱 근, 실수 집합, 자연수의 기하학적 해석, 정수, 유리수, 실수. 유리수 계산 기법을 사용하여 계산을 수행합니다. 유리수와 무리수를 비교합니다. 4. 유리수를 소수로 표현하세요. 5. 제곱근이 포함된 표현식의 변환을 수행합니다. 6. 제곱근이 포함된 표현에서 이항식의 합 또는 차의 제곱을 식별합니다. 기본 학교 대수 과정 기본(학교 수학 과정 5-6에서 알려짐)에서 "제곱근" 주제를 가르치는 내용에 대한 방법론적 분석 대수학 7학년) 지식: 유리수의 개념; 유리수 집합의 개념과 그 표기법; 10과 코스
유리수를 사용한 11가지 기본 동작(연산) 함수 y = x. 새로운(도입된) 지식: 숫자의 제곱근 개념; 산술 제곱근의 개념; 산술 제곱근의 속성; 루트 부호 아래에서 승수를 더하고 빼는 것; 제곱근을 이용한 연산. 다양한 8학년 대수학 교과서에 나오는 "제곱근"이라는 주제의 내용에 대한 분석이 표 1-4에 제시되어 있습니다. 교과서 Yu.N. Makarycheva는 "제곱근" 섹션을 공부하는 데 다른 시간보다 더 많은 시간을 할당합니다. 전체 섹션은 4개의 문단으로 나뉩니다. 제곱근의 대략적인 결정을 연구하는 주제가 다루어졌지만 주기 소수점 분수에 대한 주제는 누락되었습니다. 교과서 G.K. 무라빈과 O.V. Muravina는 "제곱근" 섹션에 18시간 미만을 할당했습니다. 이 섹션은 단락으로 구성되어 있으며 주기적인 소수 분수에 대한 주제를 다루지만 대략적인 제곱근을 찾을 수는 없습니다. Nikolsky의 교과서에서 "제곱근" 섹션은 단 하나의 단락과 5개의 요점으로 구성되어 있으며 많은 주제와 개념이 제시되어 있지 않습니다. 교과서 G.V. Dorofeev에는 위의 모든 항목에서 누락된 피타고라스 정리 전용 주제가 포함되어 있습니다. 세제곱근에 대한 연구도 여기서 다루어집니다. 모든 교과서에서 해당 섹션의 연구는 실수와 무리수로 시작되지만 각 저자는 자신만의 접근 방식을 가지고 있습니다. 그런 다음 제곱근 자체와 산술 제곱근, 속성 및 연산에 대해 연구합니다. 열하나
12 교과서 Yu.N. 마카리체프, N.G. 민덕, K.I. 네쉬코프, S.B. Suvorova 장 및 단락 제목 4. 실수 9. 유리수 10. 무리수 5. 산술 제곱근 11. 제곱근. 산술 제곱근. 1. 방정식 x =a. 1. 제곱근의 대략적인 값을 구합니다. 14. 함수 y= x와 그 그래프. 6. 산술 제곱근의 속성. 15. 곱의 제곱근과 분수. 16. 1도의 제곱근. 7. 산술 제곱근의 속성 적용 17. 루트 기호 아래에서 인수를 제거합니다. 근의 부호 아래에 승수를 입력합니다. 18. 제곱근이 포함된 표현식을 변환합니다. 표 1 시간 총계 표 교과서 저자 G.K. 무라빈, K.S. 무라빈, O.V. Muravina 장 및 단락 제목 5. 실수 14. 유리수 및 무리수. 15. 주기적이고 비주기적인 무한소수 분수. 6. 제곱근. 16. 함수 y=x와 그 그래프. 17. 제곱근의 개념. 18. 산술 제곱근의 속성. 19. 루트 기호 아래에서 승수를 더하고 뺍니다. 0. 제곱근을 사용한 작업. 시간 합계 18 테이블 교과서 저자 S.M. 니콜스키, M.K. 포타포프, N.N. Reshetnikov, A.V. 장과 단락의 Shevkin 제목. 제곱근.1 제곱근의 개념.. 산술 제곱근.. 자연수의 제곱근..4 제곱근의 대략적인 계산..5 산술 제곱근의 속성. 1
13 표 4 교과서 저자 장 및 단락 제목 시간 G.V. Dorofeev .1 정사각형의 변을 찾는 문제. 불합리한 숫자. 피타고라스 정리.4 제곱근(대수학 접근법).5 제곱근의 특성.6 제곱근을 포함하는 표현식의 변환.7 세제곱근 총 18 저자 Muravin이 쓴 8학년 대수학 교과서에 기초한 "제곱근" 주제 연구 . 처음에는 유리수 집합의 확장이 주어지고, 무리수와 실수의 개념이 도입되고, 일반 분수에서 소수로 또는 그 반대로의 전환이 고려됩니다. 유리수와 무리수에 대해 한 시간을 할애합니다.문단 14. "유리수와 무리수"에서는 그 기원의 역사와 주제를 연구하는 목적을 설명합니다. 세그먼트 길이의 예와 비율을 기반으로 정의가 제공됩니다. 정의 1: 두 세그먼트가 한 세그먼트에서는 m번, 다른 세그먼트에서는 n번 맞는 공통 측정값을 갖는 경우 해당 비율 m, n은 유리수입니다. 무리수의 정의는 예 1에 나와 있습니다. 예 1: d = (m n) =. 따라서 (mn) =. 방정식의 왼쪽에 있는 분수의 분모는 1과 다르기 때문에 분수가 정수가 되려면 n만큼 감소해야 합니다. 그러나 자연수 m과 n에는 공약수가 없으므로 그 제곱에도 공약수가 없습니다. 이는 동등성 m =이 거짓임을 의미합니다. 숫자 d는 분수가 아닙니다. n 1
14 이 예는 숫자 d가 유리수가 아니라는 것을 증명했습니다. 이는 정사각형의 대각선이 그 변과 공통된 측정값을 갖지 않는다는 것을 의미하며, 숫자 d는 무리수입니다. 다음 단락은 주기 분수와 비주기 분수에 관한 것이며, 마침표 개념이 도입되고 번역 중 마침표 출현의 불가피성이 정당화됩니다. 이 항목에는 한 시간이 소요됩니다. 문단 15에서는 주기 및 비주기 소수를 연구하고 유리수와 무리수의 근을 대략적으로 결정하는 주제를 고려합니다. 그런 다음 논의된 예를 사용하여 유한 및 무한 소수의 정의가 제공됩니다. 예: 1을 소수로 변환하면 0이 됩니다. 레코드에서 끝없이 반복되는 숫자를 마침표라고 하고 분수 자체를 주기라고 합니다. 속성 1: 모든 유리수는 무한 주기 소수로 표현될 수 있습니다(그 반대도 마찬가지입니다). 정의: 모든 무리수는 무한 비주기 소수 분수로 기록되며 무한 비주기 소수 분수는 무리수입니다. 정의: 무한주기소수는 유리수이고, 무한 비주기소수는 무리수이다. 그 후에는 "제곱근"이라는 주제에 대한 연구로 직접 전환됩니다. 이 연구는 "함수 y=x와 그 그래프"라는 단락으로 시작됩니다. 함수와 그래프에 대한 내용이 반복됩니다. 한 시간이 할당됩니다. 먼저 데카르트 좌표계의 점에서 함수 y=x의 그래프가 구성되고 이에 대한 연구가 수행되며 그래프의 이름이 지정됩니다. 정의 4: 함수 y=x의 그래프 포물선이라고 합니다. 14
15 제곱근 개념으로의 전환은 이차 방정식 x =a의 해를 통해 발생하며, 이러한 방법을 통해 용어의 본질을 설명할 수 있다고 주장합니다. 시간이 할당되어 있는데 다음 17번째 문단에서는 제곱근의 개념이 소개된다. 정의 5: 방정식 x =a의 근은 a의 제곱근이라고 합니다. 정의 6: 제곱이 a와 동일한 음수가 아닌 숫자를 a의 산술 제곱근이라고 하며 a로 표시합니다. . 부수 기호가 소개되고 그 기원에 대한 역사가 제시됩니다. 그런 다음 저자는 산술 제곱근의 속성을 연구하는 것으로 넘어가서 이 시점에서 제곱근으로 표현을 변환하는 능력을 개발하기 시작합니다. 부분이 주어졌습니다. 문단 18에는 산술 제곱근의 속성이 주어졌습니다: 속성: 임의의 숫자에 대해 a a = a. 속성: 음수가 아닌 숫자 a 및 b의 경우: ab= a b . 이후에는 근호 아래의 승수를 더하고 빼는 주제를 학습하고 실습합니다. 작업은 제곱근으로 계속됩니다. 저자가 지적한 바와 같이, 학생들은 리터럴 표현을 변환하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다. 왜냐하면 이 상황에서는 근의 부호 아래에서 승수를 제거할 때 모듈러스의 부호가 중요하기 때문입니다. 부분이 주어집니다.문단 19에서는 근의 부호 모드에서 승수를 도입하고 제거하는 방법을 연구하고 속성이 제공됩니다. 속성 4: 음수가 아닌 값의 경우 b a b= a * b= a * 비. 다음으로 저자들은 제곱근을 이용한 연산으로 넘어가는데, 여기서는 주로 수치식 변환을 연습한다.
16명의 학생들이 이 주제에 대한 지식을 심화시킵니다. 연구는 두 부분으로 나눌 수 있습니다: 1. 숫자의 제곱근을 사용하여 작업.. 리터럴 표현을 변환합니다. 이 학습 모델은 학습 순서를 설정하지 않습니다; 두 번째 부분은 비록 이 단계에서는 유용하지만 여전히 9학년 자료의 선전을 수행하며 부수를 사용한 문자 표현의 변형이 특별히 연구될 것이라고 말할 수 있습니다. 4시간이 할당되었습니다. 섹션 0과 마지막 섹션에서는 제곱근을 사용한 연산을 연구합니다. 이전에 학습한 속성을 기억하고 이를 사용하여 수치 표현식을 변환합니다. 분모의 비합리성으로부터의 해방, 인수분해, 표현의 단순화 등의 조치가 고려됩니다. 저자는 섹션을 연구하는 데 총 19시간을 할당하고, 각 섹션 후에는 테스트 또는 개별 작업이 있으며, 챕터가 끝나면 테스트가 있습니다. Yu.N.이 쓴 8학년 대수학 교과서를 바탕으로 "제곱근"이라는 주제를 공부합니다. Makarycheva. "제곱근" 장은 실수에 대한 복습으로 시작됩니다. 첫째, 자연수 집합에 대한 기본 정보, 자연수의 나눗셈, 주제에 대한 일반적인 문제에 대한 검토가 있습니다. 시간이 할당된 다음 정수에 대한 기본 정보를 검토하고 일반적인 문제를 고려하는 수업이 제공되며 유리수 집합에 대한 수업이 제공됩니다. 다음은 무리수의 개념과 실수 집합을 소개하는 수업입니다. 위 수업을 마치고 16일이 시작됩니다.
17 제곱근에 대한 직접 연구, 제곱근과 산술 제곱근의 개념을 논의하는 수업입니다. 그런 다음 수업은 가장 간단한 이차 방정식 x =a를 푸는 데 전념하고 그 다음 제곱근의 대략적인 값을 찾는 것을 연구하는 1개의 수업을 진행합니다. 다음 강의에서는 함수 y= x, 해당 속성 및 그래프에 중점을 둘 것입니다. 다음은 산술제곱근의 성질에 관한 수업입니다. 1과에서는 곱셈과 분수의 제곱근의 속성을 논의하고, 다음 강의에서는 숫자의 거듭제곱의 제곱근을 추출하는 방법을 설명합니다. 이 단계에서 저자는 테스트에 대한 몇 가지 수업을 통해 테스트하고 확인한 다음 산술 제곱근의 속성 적용과 관련된 수업으로 넘어갈 것을 제안합니다. 루트 기호 아래에서 승수를 더하고 빼는 기술을 검토하고 연습하는 1과입니다. 그런 다음 비합리적인 표현을 변환하는 기본 기술을 다루는 수업입니다. 결론적으로 저자는 "제곱근"이라는 주제에 대한 최종 테스트를 제안합니다. 이 섹션을 공부하는 데 총 1시간이 할당됩니다. 이제 G.V.의 교과서를 사용하여 대수 수업에서 제곱근 개념을 도입하기 위한 S. Minaeva의 권장 사항을 살펴보겠습니다. 8학년 Dorofeeva: 1. 정사각형의 변을 찾는 문제(수업) 제곱근의 개념을 소개하기 위해 이 과정의 특징인 실질적인 접근 방식을 사용하여 동기 부여 및 의미론적 측면을 강조합니다. 자료는 다음과 같이 제시됩니다. 학생들은 정사각형의 변 a를 사용하여 면적 S를 계산할 수 있는 공식 S = a를 알고 있습니다. 하지만 수학에는 17에서 정사각형의 변을 구하는 역 문제를 해결하는 공식이 있습니다.
주어진 면적 S의 18은 다음과 같이 작성됩니다: a = S. 기호 S는 면적이 S와 같은 정사각형의 변을 나타냅니다. 예를 들어 S = 100이면 a = 100입니다. 100 = 이후 10, 그러면 a = 100 = 10. 학생들이 새로운 기호를 배우기 위해 다음과 같은 몇 가지 질문을 제공할 수 있습니다. 정사각형의 면적을 81m로 설정: 기호를 사용하여 정사각형의 변에 대한 표현을 쓰세요. 이 광장; 정사각형의 한 변의 길이는 얼마입니까? 기하학적 언어에서 대수적 언어로 이동하면 기호 S의 의미는 다음과 같이 설명할 수 있습니다. S는 음수가 아닌 숫자이며 그 제곱은 S와 같습니다. (결국 길이는 음수로 표현할 수 없습니다! ) 따라서 우리는 제곱근 값을 찾을 때 사용할 "작동하는"공식에 도달했습니다. 우리는 기호 S를 읽는 방법, 즉 S의 제곱근에 대해 교사의 관심을 끕니다. 여기서는 형용사 "산술"이 중복됩니다. 왜냐하면 이 주제의 이 시점에서는 양의 뿌리로만 작업하기 때문입니다. 그러나 이 용어는 나중에 사용될 것이다. 무리수(수업) 이 시점에서 이념적 측면과 실천적 측면이라는 두 가지 측면을 구별할 수 있다. 이데올로기적인 것은 무리수를 처음으로 아는 데 있습니다. 실용적 - "추출할 수 없는" 뿌리를 평가하는 능력을 개발할 때 추정치와 계산기를 모두 사용하여 대략적인 값을 찾습니다. 학생들은 정사각형의 넓이를 기준으로 정사각형의 변을 구하는 이미 익숙한 문제를 고려한 결과 무리수를 도입해야 할 필요성을 느끼게 됩니다. 교과서의 그림 10에는 두 개의 사각형이 나와 있습니다. 그 중 하나는 단일이고 면적은 1 평방입니다. 단위 두 번째 정사각형의 변은 첫 번째 정사각형의 대각선이고 그 면적은 두 배 더 큽니다. (실제로 작은 정사각형은 두 개의 동일한 삼각형으로 구성되고, 큰 정사각형은 4개의 동일한 18개의 삼각형으로 구성됩니다.
삼각형은 19개입니다.) 이는 큰 정사각형의 면적이 제곱미터와 같다는 것을 의미합니다. 단위 이 정사각형의 한 변의 길이는 얼마입니까? 그것을 a로 나타내자. 제곱근 기호를 사용하여 a=라고 쓸 수 있습니다. 학생들은 지금까지 "추출 가능한" 뿌리만을 다루었습니다. 이 경우 a = 1 값이 충분하지 않은지 확인하기 위해 루트를 추출하려고 시도하고 =를 취하면 이미 너무 많은 것입니다. 소수점 이하 자릿수를 찾아 1.4를 확인하려고 합니다.<, а 1,5 >. 다음으로 제곱이 같은 정수도 분수도 없다는 매우 간단한 증명이 수행됩니다 (교과서 7 페이지). 따라서 정사각형의 변의 길이를 정확하게 표현하는 유리수는 없습니다. 저는 학생들이 고대 수학자들이 찾아낸 놀라운 발견(구간이 있지만 길이가 없습니다!)과 이 사실이 수학 발전에 자극을 주었다는 사실(새로운 숫자를 도입해야 했습니다!)을 깨닫기를 바랍니다. . 학생들에게 넓이가 제곱미터인 정사각형의 한 변의 길이를 나타내는 숫자를 말해줍니다. 단위는 소위 무리수 클래스에 속합니다. - 이것은 제곱이 동일한 양의 무리수, 즉 평등 () =가 참입니다. 그들은 a 형식의 다른 무리수를 명명할 수 있어야 하며 a의 특정 양수 값에 대해 (a) =a와 같은 변환을 양방향으로 수행할 수 있어야 합니다. 따라서 무리수에 대한 첫 번째 아는 것은 다소 좁은 목표에 종속됩니다. 이는 제곱근 연구와 관련하여 발생하며 우선 이 주제의 요구 사항을 제공합니다. 위에서 설명한 정보 외에도 (즉, 유리수 중에는 면적이 같은 정사각형의 변의 길이를 나타내는 숫자가 없습니다. 유리수 외에도 소위 무리수 19도 있습니다.
20일; 무리수에는 a 형식의 모든 숫자가 포함됩니다. a가 정수나 분수의 제곱이 아닌 경우), 학생들은 다른 성격의 무리수(예: 숫자 z)가 무한히 많다는 것과 무리수는 다음과 같은 수 있다는 것을 배웁니다. 음수이고 실제로는 (대략) 소수점 이하 자릿수로 대체됩니다. 학생들은 9학년 과정의 "두 번째 패스"에서 무리수와 실수에 대한 더 철저한 정보를 받습니다. a 형식의 무리수에 대한 십진 근사치를 찾는 근본적인 가능성을 보여주기 위해 교과서에서는 추정 방법을 사용합니다. 즉, 부족함과 초과분이 있는 근사값을 찾아 연속적인 정수(즉, 1까지 정확함)로 표현합니다. ), 소수점 이하 한 자리가 있는 연속 소수 분수(즉, 0.1까지 정확함) 등. 이 방법의 기본은 다음과 같은 진술입니다. a와 b가 양수이고 a인 경우 21 직각 삼각형의 다리에서 빗변의 길이를 계산하기 위해 피타고라스 정리를 적용하는 것과 관련하여(84페이지의 예 1) 교과서에는 "피타고라스 삼중항"이 언급되어 있습니다. 비록 무한히 많지만 연속된 자연수로 이루어진 삼중수는 단 하나뿐이라는 점에 유의하세요. 나침반과 자를 사용하여 길이가 불합리한 선분(또는 불합리한 가로좌표가 있는 좌표선 위의 점)을 구성하는 것은 교과서 본문(p. 85)에서 논의될 뿐만 아니라 실제로 다음과 같은 방법으로 수행되는 것이 바람직합니다. 그의 노트에 있는 각 학생. 그러한 일은 예를 들어 숙제로 제공될 수 있습니다. 그림은 깔끔하고 충분히 커야 하며 "읽기" 쉬워야 한다는 점을 학생들에게 경고해야 합니다. 교과서의 문제 자료를 분석하고 "제곱근" 주제에 사용된 주요 문제 유형을 강조해 보겠습니다. 이 기사에서는 G.V. 교과서의 "제곱근" 주제에 대한 연습을 강조합니다. Dorofeev는 주제 소개 부분의 모든 필수 측면을 다루고 있습니다. 연습의 주요 목적은 새로운 개념을 익히고 근호를 사용하는 능력을 개발하는 것입니다. 작업에 주의를 기울이고 7. a=b 형식의 평등에서 b = a 형식으로 또는 그 반대로 이동하는 능력이 매우 자주 필요합니다. 연습 8- - 제곱근을 포함하는 숫자 및 알파벳 표현식의 값을 계산합니다. 학생들은 괄호와 같은 루트 기호가 그룹화 기호임을 배워야 합니다. 연습 4-7에서는 이전에 시작된(응용 프로그램의 관점에서 매우 중요한) 수식 작업이 추가로 개발되었습니다. 이제 이것들은 근수를 포함하거나 다른 변수의 관점에서 변수를 표현할 때 근수를 사용해야 하는 공식입니다. 이러한 작업은 종종 학생들에게 어려움을 야기하므로 다음 사항을 연구하면 부분적으로 완료할 수 있습니다. 1을 제외하고 또한 그들에게 돌아가는 것이 유용합니다. 이 단계에서 그룹 B의 작업 8과 9는 어려운 것으로 간주됩니다. 확실히 모든 학생들을 위한 것은 아닙니다. 준비 수준이 낮은 수업에서는 그룹 A의 작업을 완료할 수 있으며 가능하면 41과 44도 완료할 수 있습니다. 교과서의 예를 고려하십시오. 대략 60의 값을 찾으십시오. 해결책: 숫자의 제곱은 동봉되어 있습니다. 두 개의 "정확한" 사각형 사이 - 숫자 49와 64: 49<(60), то есть 7 <(60) <8. Значит как 7 <(60), то 7< 60; так как (60) <8, то 60<8. Значит 7< 60<8. Очевидно, что 60 ближе к 8, чем к 7, то есть Рассмотренный способ нахождения приближенного значения корня, в силу своей громоздкости, имеет, в основном, теоретическое значение; учащимся достаточно лишь уметь указывать два целых числа, между которыми заключено значение данного корня. А при решении задач предполагается широкое использование калькулятора. Упражнения к пункту предназначены, прежде всего, для осознанного восприятия этого сложного для учащихся материала (46-51). Кроме того, использование калькулятора позволяет, с помощью наблюдений, прийти к некоторым теоретическим обобщениям, например к выводу о возрастании значения корня с увеличением подкоренного выражения (5-54). В образце к упражнению 6 показаны приемы сравнения, которыми должны овладеть учащиеся. Упражнения 65 и 66 направлены на формирование умения выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни, с использованием равенства (a) =а, где a 0. В классах с невысоким уровнем подготовки достаточно упражнений группы А. Вообще, в этом блоке дана представительная группа заданий, 23개로 완전히 제한될 수 있습니다. 연습 57. 방법 I. 계산기를 사용하여 근의 대략적인 값을 찾습니다. 5.4; 6.45; 7.65. 이는 각 숫자가 끝이 점으로 있는 세그먼트에 속하며 5, 6, 7의 순서로 이 세그먼트에 위치함을 의미합니다. 또한: 숫자 5는 끝이 점으로 있는 세그먼트에 속합니다. ; 숫자 6은 지점 4와 5에서 끝나는 세그먼트에 속합니다. 숫자 7은 점 6과 7에서 끝나는 부분에 속합니다. 방법 2. 추정을 사용하여 동일한 결과에 도달했습니다. 예를 들어 5의 경우 다음과 같습니다.<(5) <, то есть < 5<;, <(5) <, то есть,< 5<,. Упражнение 59. Очевидно, что точке К соответствует число 0,4, так как 0< 0,4< 1. Точно так же легко понять, что число лишнее, так как на отрезке с концами х=1 и х точка не отмечена. Сложнее с точкой L: ведь каждое из оставшихся чисел 5 и 7 располагается на отрезке с концами и. Но точка L расположена в левой половине отрезка, значит число, которое ей соответствует, должно быть меньше,5. Ответ почти очевиден: это 5. Но все же какое-то объяснение необходимо. Можно обратиться к калькулятору, а можно рассуждать так:,5 = 6,5; так как (5) <,5, то 5 <,5. Упражнение 70. а) Сначала находим, что 8< 7,5 < 9, а затем сравниваем числа 8,5 и 7,5. Так как 8,5 = 7,5<7,5, то 8,5< 7,5, 24이고 이는 7.5가 9에 더 가깝다는 것을 의미합니다. 문제를 풀 때 당연히 계산기를 사용할 것이라고 가정합니다. 그룹 A의 준비 수준이 낮은 수업에서는 작업 (필수 요구 사항 수준 충족)으로 제한하고 연구 문제 91도 고려할 수 있습니다. 연습 86. 문제는 교과서의 그림 7을 기반으로 해결됩니다. 시각적으로 보면 가장 긴 부분이 평행육면체의 대각선이라는 것이 분명합니다. 대각선의 길이와 지팡이의 길이를 비교해 봅시다. 먼저 밑변 대각선 l의 길이를 구해 봅시다: l= a + b = = 700(cm). 이제 평행육면체 d의 대각선 길이를 구해 봅시다: d= (700) + 50 = 9800 (cm). 9800년부터< 10000=100, то трость данных размеров поместить в коробку нельзя. Упражнение 90. Геометрически выражение a + b + c можно истолковать как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого a, b и с. В самом деле, из прямоугольного треугольника LMN имеем, что LM= a + b. А из прямоугольного треугольника KLN получим, что NM= c + (a + b) = a + b + c По неравенству треугольника a + b + c 25 10= + 1 ; 1= + ; 17= 하지만 다르게 할 수도 있습니다. 따라서 길이 10의 세그먼트는 다음 알고리즘을 사용하여 얻을 수 있습니다: 10 = (5) + (5). 8학년 대수 교과서에서 Muravina의 저자는 다음 연습을 통해 섹션 연구를 시작할 것을 제안합니다. 연습 15. 함수 y=x의 그래프가 점을 통과합니까: A(-;4) B(- .5;1) C(;59) D (-6.5;4.5). 답변: A-예, B-아니요 C-예 D-예. 단락 17에는 제곱근을 계산하는 연습이 포함되어 있습니다. 계산 숫자 1105를 소인수로 분해하여 해를 구합니다. 1105= *5 * = 5 7 = (5 7) =*5*7=105 답: 105. 문단 18에서는 산술 제곱근의 속성과 그 적용 작업, 근호 표현의 단순화 및 계산이 소개됩니다. 예 4. (p. 100) (5)를 단순화합니다. (5) = - 5 = 5-. 답: 5-. 예 5. 0, = 0, =0.8*4*5=80을 계산합니다. 답 80. 예 6. 계산 = =4 7. 답 : 4 7. 문단 19에서는 루트 기호 아래에서 승수를 더하고 빼는 연습을 고려하고 표현식의 값을 비교하는 작업도 다룹니다. . 5 26 예 7. 표현식의 루트 기호 아래에서 인수를 제거합니다. 숫자 10과 90을 소인수로 인수분해해 보겠습니다. 10= **5, 90=* *5. 따라서 10*90= 4 * * = 4 5 = **5* =60입니다. 답: =,5.. 답:,5. 예 8. (p. 105) 식 = 5 = 5 = 예 9를 단순화합니다. (p. 105) 루트 기호 아래에 인수를 입력합니다: 5 0.4. 5 0.4 = 5 0.4 = 5 0.4 = 10. 정답: 10. 예시 10. (p. 106) 표현식 and의 의미를 비교해보세요. = 9 = 18 및 = 4 = 1. >. 답: >. 포인트 0은 제곱근 연산, 분수를 제곱근으로 변환, 표현 단순화, 비합리성에서 벗어나는 데 사용됩니다. 예제 11. (p. 108) 분모에 근호가 포함되지 않도록 분수 54를 변환합니다. 답: = 54 = 1 7 = 1 = 4= =. 9 예 1. (p. 109) 식을 단순화합니다. =5 6 96=4 6 = = = =() 6=1 6 답: 27 예 1. (p. 109) 분모의 무리수에서 분수를 해방합니다. =(). 답변: (). 6 = 6(1+ 10) 1 10 (1 10)(1+ 10) =6(1+ 10) = 6(1+ 10) =. 기본 학교 대수학 과정에서 "제곱근"이라는 주제를 가르치는 형식, 방법 및 수단 이 섹션에서는 출판된 기사와 교육 자료를 기반으로 주제를 연구하는 실제 경험을 분석합니다. S. Minaeva의 기사에서는 기하학적 (면적을 기준으로 정사각형의 변의 길이를 찾는 것에 관한) 문제와 대수학이라는 두 가지 문제를 논의할 때 연구 중인 과정에서 제곱근의 개념이 "나타난다"고 언급했습니다. (x = a 형식의 방정식의 근 수에 대해, 여기서 a는 임의의 숫자입니다.) 첫 번째 문제를 고려하면서 학생들은 무리수에 대한 초기 아이디어를 얻습니다. 이 장의 내용에서 저자는 대수학에 대한 비전통적인 질문인 피타고라스 정리를 포함했습니다. 이는 세그먼트의 길이를 찾고, 비합리적인 길이를 가진 세그먼트와 비합리적인 좌표를 가진 점을 구성하기 위한 제곱근의 자연스러운 사용을 보여주기 위해 수행되었습니다. 동시에 학생들이 기하학 과정이나 대수학 과정에서 피타고라스 정리에 대해 처음 듣는 곳은 중요하지 않습니다. 저자는 또한 학습의 가장 중요한 결과는 이데올로기적 측면 외에도 제곱근(주로 수치적 표현)을 포함하는 표현의 일부 변환을 수행하는 능력이라고 주장합니다. 학생들은 또한 세제곱근의 개념을 접하게 됩니다. 동시에 그들은 루트 7에 대한 초기 아이디어를 형성합니다. 28학번. 마지막으로 연습 시스템을 통해 학생들은 y = x 및 y = x 그래프를 이해하게 됩니다. 주제 전반에 걸쳐 저자는 근을 추출하는 도구뿐만 아니라 특정 이론적 아이디어를 설명하기 위한 수단으로 계산기를 광범위하게 사용한다고 가정합니다. 세제곱 근을 추출하기 위해 계산기를 사용해야 하기 때문에 n 양수의 근에 대한 또 다른 지정(a = a 1 n)이 도입되었습니다. V. Olkhov의 기사는 "제곱근" 섹션을 연구할 때 복잡한 근수 변환에 특별한 주의를 기울여야 한다는 사실에 주목합니다. 저자는 주제를 공부할 때 학생과 함께 작업하는 개별 형태의 예를 제공하면서 다음 방법론을 제안합니다. 수학 수업을 듣는 학생은 Vieta의 정리를 사용하여 방정식 x - 7x + 10의 근을 선택하여 찾도록 요청 받았습니다. = 0, 그는 별 어려움 없이 해냈습니다: X 1 = 5, X = (질문의 단순함에 약간 기분이 상하기도 했습니다). 그런 다음 표현식 7 ± 10을 단순화하는 것이 제안되었습니다. 여기서 근호 아래에 완전한 정사각형이 표시되어야 합니다. 그는 이전에 A ± B = A A B ± A A B의 번거로운 공식을 적어 놓은 후 (1) 여기에 특정 수치 값을 대입하여 ± = 5 ±를 얻었습니다. 그러나 이전 예제 7=5 +, 10=5*, 즉 7 ± 10= 5 + ± 5 = (5 ±) = 5 ±와 직접적인 비유가 있습니다. 그 후 학생은 여러 예제를 독립적으로 풀었습니다. 8 29 6 ± 4 = 6 ± 8 = 4 + ± 4 =±, 1 ± 48= 1 ± 1 = ± 1 1= 1 ± 1, 18 ± 18= 18 ± = 16 + ± 16 =4±, 7 ± 4 = 7 ± 1 = 4 + ± 4 =± 그리고 이제 그는 공식 (1)이 어떻게 나왔는지 이해했다고 말했습니다. 비록 그것을 구체적으로 기억할 필요는 없지만 말입니다. A ± B= A ± B 4. 방정식을 만들어 보겠습니다. X AX + B = 0. 4 X 1 = A+ A B, X = A A B ; A ± B= A ± B 4 = X 1 + X ± X 1 X = X 1 ± X = A+ A B ± A A B, 여기서 A>0, B>0, A -B>0이고 A일 때 공식은 단순화됩니다. - 정확한 정사각형에서. 연습 1. = ; = 1 + 기사 작성자 V.I. Sedakova는 제곱근 추출과 같은 작업을 머릿속으로 빠르게 수행할 수 있는 간단한 방법을 제공합니다. 이러한 방법은 교실에서 생산성을 높일 수 있습니다. 왜냐하면 말하기 및 반구술 연습을 통해 수업에서 많은 양의 자료를 공부할 수 있고 교사가 9학년의 준비 상태를 판단할 수 있기 때문입니다. 30 새로운 자료를 학습합니다. 이 자료는 미래의 수학 교사에게 유용합니다. 학교에서 수학 과정을 가르치는 주요 목표 중 하나는 학생들의 의식적이고 강력한 계산 능력을 개발하는 것입니다. 계산 능력은 수학적 능력의 중요한 구성 요소입니다. 구두 산술 주제는 컴퓨팅 장치 사용이 허용되지 않는 주 최종 인증(FSE) 및 통합 주 시험(USE) 중에 특히 관련이 있습니다. 다른 형태의 작업과 결합하여 구강 연습을 통해 사고, 말하기, 운동 능력 등 다양한 유형의 학생 활동이 활성화되는 조건을 만들 수 있습니다. 그렇기 때문에 매 수학 수업마다 암산 연습을 위해 최대 10분을 할당해야 합니다. 컴퓨팅 기술을 구축하는 것은 복잡하고 체계적인 과정입니다. 다음 단계로 구성됩니다. 스킬 형성의 첫 번째 단계는 스킬 숙달입니다. 두 번째 단계는 스킬 자동화 단계이다. 기술 자동화는 실제로 메모, 메모 등을하지 않고 구두로 운동을 수행 할 때 결과를 얻는 것입니다. 학생들을 위한 '제곱근'이라는 주제로 암산법을 소개하겠습니다. 여러 자리 자연수의 제곱근을 추출합니다. 먼저, 자연수를 다룰 때 사용할 수 있는 일반적인 형태의 제곱근을 추출하는 알고리즘을 적어보겠습니다. 1. 각 그룹에 인접한 두 개의 숫자를 포함하여 숫자를 그룹으로 나눕니다(마지막 숫자부터 시작하여 오른쪽에서 왼쪽으로). 이 경우 마지막 그룹에는 1자리(홀수인 경우), 짝수인 경우 2자리가 포함될 수 있습니다. 이 숫자의 그룹 수는 결과의 자릿수를 나타냅니다. 31. 우리는 그 제곱이 마지막 그룹의 숫자(오른쪽에서 왼쪽으로 계산)를 초과하지 않도록 가장 큰 숫자를 선택합니다. 이것이 결과의 첫 번째 숫자입니다. 결과의 첫 번째 숫자를 제곱하고 마지막 그룹에서 결과 숫자를 뺀 다음 두 번째 그룹을 오른쪽의 찾은 차이에 추가하겠습니다. 우리는 특정 숫자 A를 얻습니다. 결과의 기존 부분을 두 배로 늘리면 숫자 a를 얻습니다. 이제 숫자 a와 x의 곱이 숫자 A를 초과하지 않는 숫자 x를 선택해 보겠습니다. 숫자 x는 결과의 두 번째 숫자입니다. 4. 숫자 A에서 x로 숫자 a의 곱을 빼고 오른쪽에 있는 차이에 세 번째 그룹을 추가하면 특정 숫자 B를 얻습니다. 결과의 기존 부분을 두 배로 늘리면 숫자 b를 얻습니다. 이제 y와 숫자의 곱이 숫자 B를 초과하지 않도록 가장 큰 숫자 y를 선택하겠습니다. 숫자 y는 결과의 세 번째 숫자입니다. 5. 규칙의 다음 단계에서는 4단계를 반복합니다. 이는 첫 번째 숫자 그룹이 사용될 때까지 계속됩니다. 예제 14. 더 간단한 예제를 사용하여 이 알고리즘을 시연해 보겠습니다. 그 결과는 분명합니다. 144를 계산해 봅시다. 20 이내의 자연수 제곱 표에서 144 = 1이라는 것이 알려져 있습니다. 숫자 144에서는 두 자리를 오른쪽에서 왼쪽으로 1/44로 구분합니다. 두 개의 숫자 그룹이 있으므로 결과는 두 자리 숫자가 됩니다. 우리는 제곱이 두 번째 그룹의 숫자(오른쪽에서 왼쪽으로 계산)를 초과하지 않는 숫자를 선택합니다. 이것이 숫자 1입니다. 우리의 경우 이 숫자는 숫자 1이 됩니다. 그 제곱은 1과 같습니다. 즉, 답에는 십의 자리에 숫자 1이 포함된다는 뜻입니다. 숫자 144에서 결과 숫자인 십의 자리를 빼고 나머지는 숫자 44가 됩니다. 답에서 일의 숫자를 결정해 봅시다. 이를 위해 왼쪽에서 결과 10 자리를 곱하면 얻습니다. 이것을 선택하자 1 32는 숫자이며 그 자체와 결과 숫자를 곱하면 결과는 44입니다. 따라서 이 숫자는 144의 제곱근을 취하면 숫자 1을 얻습니다. 답의 숫자 1_을 선택합니다. 답: 144=1. 예제 15. 다섯 자리 숫자에서 제곱근을 추출하는 과정을 고려하여 답 4의 숫자를 선택하세요 답: 54756=4. 첫 번째 장에 대한 결론 1장에서는 Federal State Educational Standards LLC 및 수학 프로그램을 기반으로 한 기본 학교의 대수 과정에서 "제곱근"이라는 주제를 가르치는 주요 목표와 목적을 고려했습니다. 이 주제에 대한 8학년 대수학 교과서의 이론 및 문제 기반 자료를 분석한 결과, 교과서 작성자는 제곱근 개념과 제곱근 계산 능력 개발을 목표로 하는 연습 시스템을 소개하는 데 다양한 접근 방식을 사용하는 것으로 나타났습니다. 숫자 표현을 단순화합니다. 기사와 교재를 바탕으로 "제곱근"이라는 주제를 연구하는 실제 경험을 분석하면 해당 주제가 학생들에게 매우 어렵다는 결론을 내릴 수 있습니다. 그러나 적절한 연습과 특별한 기술을 사용하면 제곱근의 개념과 기본 속성을 확실하게 이해할 수 있습니다. 33 제2장. 기본 학교 대수 과정에서 "제곱근" 주제 교육을 조직하기 위한 방법론적 권장 사항 4. 기본 학교 대수 과정의 기본 지식 및 기술 수준에 초점을 맞춘 "제곱근" 주제에 대한 문제 "제곱근" 주제에 대한 모든 작업 8학년 대수학 교과서에 나오는 '근'은 조건에 따라 4개의 그룹으로 나눌 수 있습니다. 그룹 1. 제곱근이 포함된 표현의 의미를 찾는 작업입니다. 그룹. 산술 제곱근을 사용하여 이차 방정식을 푸는 문제입니다. 그룹. 제곱근을 포함하는 표현식의 단순화 및 비교와 관련된 문제입니다. 그룹 4. 제곱근 문제. 문제의 예를 살펴보겠습니다: 그룹 1. 제곱근을 포함하는 표현식의 값을 찾는 문제. 예 1. 표현식의 값을 찾습니다. a) 1.5 0.1 0.5 b) 9 c) 16,. 해결책: a) 산술근의 정의로부터 5 > 0이고 5 = 1.5이므로 1.5=.5라는 결론이 나옵니다. 0.5= 0.5, 왜냐면 0.5 > 0 및 0.5 = 0.5..5 0.1 0.5 = 7 0.05= 6.95 b) 9 = 9, 왜냐하면 9 = 9 = 9 34 c) 어떤 숫자의 제곱도 음수가 아니기 때문에 이 표현은 의미가 없습니다. 답: a) 6.95; b) 9; c) 표현이 의미가 없습니다 예. 분모에서 불합리성을 제거합니다: 1 a) 4 b) 7 c) 해결책: 1 a) (1())() 4 1 b) 7 4 (7 4(7)() 7) 4(7 7) 4( 7 4) 7 c) ((5 5 7)(7)(5 5 7) 7) (5 5 7) (5 6) 5 6 (분모의 불합리성을 없애는 새로운 방법을 사용함 - 공액으로 곱셈). 답: a) + b) 7 + c) 5 6 그룹. 산술 제곱근 예를 사용하여 이차 방정식 풀기. 10x 14 = 11이라는 표현에서 x의 값을 구하세요. 4 35 10x 15 x 1.5 풀이: 10x x 14 x 15:10 10x x 확인: , 답: x = 1.5. 4 x x 예 4. 표현식 4 x = 1에서 x의 값을 찾습니다. 풀이: x 1 확인: 답: x 그룹. 이 그룹에서는 표현식 단순화 작업을 결합합니다. 예 5: 식을 단순화합니다: 5 36 6 해결 방법: 분수의 분모의 비합리성을 제거하려면 분모에 차이가 있는 경우 이 분수의 분자와 분모에 합계를 곱하고, 다음과 같은 경우에는 이 분수의 분자와 분모에 차이를 곱해야 합니다. 분모에는 합계가 포함됨) () ())(( ))(() ())(())(())(())((답: 4 6 예 6. 식을 단순화합니다: 8 4 풀이: 답 : 6 예 7. 식을 단순화합니다: .5 8 풀이: .5 8 (곱의 산술 제곱근을 사용합니다.) 답: 5 37 그룹 4. 제곱근. 이 그룹에서는 추출 문제를 제시하겠습니다. 예 8. 표현식의 근 추출 풀이: 5a 6 49 분수의 산술 제곱근 추출에 관한 정리를 사용하겠습니다. 5a a a a a 7 6 곱의 산술 제곱근을 추출하는 것에 관한 정리를 사용해 보겠습니다. 5a a a a 6 다음으로 다음 정리를 사용합니다. 임의의 숫자 a에 대해 다음 동등성이 유지됩니다. a a a 5a 5a 5 a 5 (a) 5 a 5 a 답: a가 0이면 a< 0, то 5 a 7 5 a a 5 7 a Пример 9. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) a a 1) x x 5 7 38 1) a 해법: a a a a a a (곱의 산술 제곱근을 반대 방향으로 취하는 정리를 사용합니다.) x x x x x x x x (곱의 산술 제곱근을 반대 방향으로 취하는 정리를 사용합니다.) 답: 1) a) x 11x 4 1) 64 예 10. 근을 추출합니다: x) 400 a, 여기서 a< 0 Решение: 1) 11x x x 4 11 (x 8) 11 x 8 11x 8 1 x 8) 400 a a a a 0 a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: a a). Ответ: 1) 1 x 8 0 a 8 39 이 기사는 근으로 수치 표현을 단순화하는 것을 목표로 하는 다변수 교훈 자료(카드의 작업)를 제안합니다. 독립적인 작업이나 시험 작업을 조직할 때 수학 교사에게 의심할 여지 없이 도움이 될 것입니다. 옵션에 대한 할당을 해보자. 선택지 1 1. 단순화: 단순화: 분모의 불합리성 제거: 수식을 단순화합니다. 계산: 7 * 수식 6+4를 단순화합니다. 4, 수식의 값을 찾습니다. 8. 계산: * 수식의 값을 찾습니다. 10. 단순화합니다. ()(75 7) 표현식을 사용하여 결과 숫자가 방정식 x 0 = 0의 근임을 증명합니다. 옵션 1. 단순화: 8개 수업의 대수 실무 프로그램(일반 교육 수준) 편집자: Tikhonov V.A., 수학 교사; 프로그램 시행 기간 : 1년 작업 프로그램은 연방정부 수학 설명 노트 이 작업 프로그램은 기본 일반 교육에 대한 주 교육 표준의 연방 구성 요소와 기본 일반 교육 프로그램을 기반으로 개발되었습니다. 펜자 소재 MBOU 중등학교 30번(5학년)의 수학 기본 일반 교육 작업 프로그램 설명 메모 문서 상태 5학년 수학 기본 일반 교육 작업 프로그램 5학년 수학 학습 프로그램 개요. 설명 노트 5학년 2016-2017학년도 수학 작업 프로그램은 다음을 기반으로 작성되었습니다. 1. 연방법 273 연방법 2012년 12월 29일 설명 노트 수학 작업 프로그램은 다음 규제 문서 및 방법론적 권장 사항을 기반으로 작성되었습니다. 1. 기본에 대한 연방 주 교육 표준 설명 메모. 이 작업 프로그램은 8학년 학생들을 대상으로 하며 다음 문서를 기반으로 구현됩니다. 1차 일반, 기본 일반 및 2차의 국가 표준 실무 커리큘럼 수학 5-6학년 2017-2018 학년도 개요 이 실무 프로그램은 연방 주 교육법의 기본 조항에 따라 개발되었습니다. Belgorod "Agreed"의 시립 예산 교육 기관 "중등 학교 17" N.A. Ilminskaya 교육 학교장 20분의 "Agreed" 부국장 5학년 수학 작업 프로그램 설명 참고 5학년 학생을 위한 수학 작업 프로그램은 러시아 연방 국방부와 저자의 승인을 받은 2007년 러시아 연방 국방부 프로그램을 기반으로 개발되었습니다. 모스크바 지역 회의에서 문화 및 MKOU LSOSH 1 기술 활동 교사 이사 M.M. Kostin 및 SPL 서비스 주문 109 Minutes 01(2017년 9월 1일자)이 고려되었습니다. 2017년 9월 1일부터 기본 일반 교육의 기본 교육 프로그램에 대한 부록, 208년 8월 30일자 명령 488os. 튜멘 지역 Khanty-Mansi 자치 Okrug Yugra Nizhnevartovsk 지역 지방 자치 예산 1. 설명 노트 9학년 대수학 작업 프로그램은 규제 문서, 정보 및 방법론 자료를 기반으로 작성되었습니다. 1. 러시아 연방 교육에 대해: 연방 8학년 대수학 교육 자료의 달력 주제별 계획. 설명 노트 8학년 대수학의 달력 주제 계획은 예제 프로그램을 기반으로 작성되었습니다. 기본 일반 교육 학생의 준비 수준 요구 사항: 학생들은 다음을 알고 이해해야 합니다. - 이론과 실제에서 발생하는 문제를 해결하기 위한 수리 과학의 중요성; 폭이 넓으며 동시에 작업 프로그램 8 교육 과정을 공부하는 수업(수준) 과목 영역 수학과 컴퓨터 과학 학과 과목 수학(대수학) 학년도 2017-2018 연간 시간 수 102 힘키의 시립 예산 교육 기관 체육관 4 승인자: MBOU 체육관 4 이사 / N.N. Kozelskaya / 2015년 대수학 작업 프로그램 명령(기초 수준) 8학년 2009년 학교 교육 협의회 회의에서 고려됨. "동의함" 교육 기관 MBOSHI "KSHI" Minnekhanova G.R.의 학교 부국장. 2009년 MBOSHI "KSHI" Taipova A.R.의 "승인" 이사. 2009년 고려 사항: 모스크바 지역 회의에서 / ZYUMurtazaeva Pr AGREED BY: 교육 기관 부국장 / EKKhairetdinova 승인자: 교장 / LMAmetova Pr WORK PROGRAM 대수학 8 A MBOU "Starokrymskaya OSH" 콘텐츠. 설명 노트 3 페이지 커리큘럼에서 학문 과목의 위치에 대한 설명 교육 및 방법론 세트 통제 과목 형태를 숙달 한 계획 결과 2. 교육 주제의 내용 시립 예산 교육 기관 중등 학교 40 청각 장애가 있는 8학년 학생들을 위한 대수학 LIPETSK 실무 프로그램 설명 노트 일반 교육 기관 8학년 학생들을 위한 학과목 "대수학"의 이 작업 프로그램은 저자의 기본 일반 교육 프로그램을 기반으로 개발되었습니다. 설명 노트 이 8학년 기본 중등학교를 위한 대수 프로그램은 기본 일반 교육에 대한 주 표준의 연방 구성 요소를 기반으로 작성되었습니다. 1. 학업 과목 습득 계획 결과 6 학년 "수학" 과목 공부의 과목 결과는 다음 기술의 형성입니다. 과목 영역 "산술": 수행 무르만스크 지역, 콜라 지역 수학 작업 프로그램 부록, p. 민키노 주립 지방 예산 교육 기관 "민키노 교정 기숙 학교" 수학 6학년을 위한 작업 프로그램. 1. 달력 주제 수업 계획 교육 섹션 및 주제 날짜 시간 1분기(42회) 1. 숫자의 가분성(20회) 1.09-28.09 1-3 약수 계획된 결과 개인 메타주제 현상과 과정을 모델링하는 수단인 과학과 기술의 보편적 언어인 수학의 아이디어와 방법에 대한 초기 아이디어를 주제로 합니다. 1 설명 참고 9학년의 "대수" 과목에 대한 작업 프로그램은 기본 일반 교육에 대한 주 표준의 연방 구성 요소를 기반으로 작성되었습니다. 이번 작업 프로그램 설명 노트 8학년 대수학 작업 프로그램은 초등 일반, 기본 일반 및 중등(완전) 일반의 주 교육 표준의 연방 구성 요소에 해당합니다. 설명 참고 작업 프로그램은 다음을 기반으로 작성되었습니다. - 수학 기본 일반 교육에 대한 주 교육 표준의 연방 구성 요소 - 수학 모델 프로그램. 대수학 소개.. 정사각형 삼차식... 합계와 곱에서 두 숫자를 찾는 바빌로니아 문제입니다. 대수학에서 가장 오래된 문제 중 하나가 바빌론에서 제안되었으며, 그곳에서 널리 퍼졌습니다. 설명 메모. 일반 교육 기관의 6학년 학생들을 위한 "수학" 과목의 이 작업 프로그램은 S.M.의 저자 프로그램을 기반으로 개발되었습니다. 니콜스키, M.K. 포타포프, 설명 노트. (수학 5학년) 이 작업 프로그램은 러시아 연방 교육부의 일반 교육 기관을 위한 수학 국가 프로그램에 따라 작성되었습니다. 설명 참고 대수학 작업 프로그램은 다음 규제 법률 문서를 기반으로 개발되었습니다. 2012년 12월 29일 연방법 273-FZ "러시아 연방 교육에 관한"; 주문하다 설명 노트 8학년 대수학 작업 프로그램은 2세대 기본 일반 교육을 위한 연방 주 교육 표준의 조항에 따라 작성되었습니다. 문서 상태 설명 메모 기본 일반 교육 학교의 8학년(고급 수준)을 위한 대수학 작업 프로그램은 주의 연방 구성 요소를 기반으로 작성되었습니다. 검토 수락 수락 회의에서 모스크바 수학 교사 협회 승인 시립 교육 기관 중등 학교 회의록 1 of 26.08. 2014. 교육학 p. Poima 국방부 장관 Praslova O.M. Rodionova O.I. 프로토콜 1 사립 교육 기관 Lyceum 1 "Sputnik" 고려 Lyceum 1 "Sputnik" 방법론 협의회 회의에서 2017년 회의록 Lyceum 1 "Sputnik" Ursul 방법론 협의회 의장 8학년 작업 프로그램 요약, 대수학 설명 참고 8학년 기초 중등학교를 위한 대수학 작업 프로그램은 다음을 기반으로 작성되었습니다. 1. 설명문. 대수학 작업 프로그램은 저자의 프로그램인 "대수학 8학년"을 기반으로 합니다. 자동 주 구성 요소의 교육 과목 내용에 따른 Makarychev 및 기타 2018 2019 학년도 프로그램 개발자 교사 Viktor Aleksandrovich Palenny 2018 작업 프로그램의 특징: 적응된 7개 "A" 클래스에 대한 대수 및 기하학 작업 프로그램 시립 예산 교육 기관 중등 학교 4 교육위원회에서 고려한 31.08의 1 회의록. 2017년 2017년 8월 31일의 명령 162 승인자: 이사 2018년 7학년 수학 중급 인증을 위한 테스트 및 측정 자료 설명 참고 작업 내용은 다음과 같이 구성됩니다. 러시아 연방 연방법 설명 메모 규제 문서 작업 프로그램은 다음을 기반으로 작성되었습니다. 9..0 73-FZ "러시아 연방 교육에 관한"연방 구성 요소인 러시아 연방법 설명 참고 작업 프로그램은 다음을 기반으로 작성되었습니다. 2004년 3월 5일 1089일자 러시아 연방 교육부 명령 "주 교육 표준의 연방 구성 요소 승인 시" 1. 과목 습득을 위한 계획된 결과 초등학교에서 수학을 공부하면 학생들은 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 개인 발전 방향에서: - 명확하게, 설명 참고 8학년을 위한 대수학 작업 프로그램은 2세대 기본 일반 교육을 위한 연방 주 교육 표준의 조항에 따라 작성되었습니다. 8학년 대수학 교육 프로그램 부록 "ALGEBRA 8", 저자 Yu. N. Makarychev 및 기타, S. A. Telyakovsky 편집 교사: Dudnikova 설명 초등학교 대수학 프로그램은 다음 요구 사항에 따라 작성되었습니다. - 기본 일반 교육에 대한 주 교육 표준의 연방 구성 요소 설명 노트 8학년 대수학 작업 프로그램(심층 연구)은 주 교육 표준의 연방 구성 요소인 대수 프로그램에 따라 작성되었습니다. 러시아 연방 교육 과학부 노보시비르스크 주립 대학교 전문 교육 및 연구 센터 수학 8학년 다항식 노보시비르스크 다항식 유리수 작업 프로그램은 규제 문서에 따라 작성됩니다. 2020년 2월 29일자 연방법 273-FZ "러시아 연방 교육에 관한", 연방 주립 교육 기관의 요구 사항 설명 참고 이 작업 프로그램 "대수학"은 다음을 기반으로 개발되었습니다. - 2012년 12월 29일자 연방법 273-FZ(2015년 7월 13일 개정) "러시아 연방 교육에 관한"; - 저작권에 근거하여 작업 프로그램은 규제 문서: 29.2.202 273-FZ "러시아 연방 교육" 연방법에 따라 작성되었습니다. 2. 러시아 연방 교육과학부 명령 카자흐스탄 공화국 일반 및 전문 교육부 주 예산 교육 기관 로스토프 지역의 초등 직업 교육 전문학교 제5호 실무 EDP 분야에서. 01."수학: 대수학과 원리
수학적 분석; 기하학"
이 주제에 대해:
“근, 거듭제곱, 로그를 포함하는 표현식의 변환».
을 위한재학생 나강의 G. 로스토프나도누 2017년 섹션 번호 1.
대수학.
주제 1.2.
근, 거듭제곱 및 로그.
실습 1번.
주제:
"근, 거듭제곱, 로그를 포함하는 표현의 변환." 표적:알다
근호, 거듭제곱 및 로그의 속성; 언제 적용할 수 있는지
근, 거듭제곱, 로그가 포함된 표현식에 대한 변환을 수행합니다. 시간
: 1 시간. 이론적인 자료.
뿌리.
루트를 찾는 작업N-차급, 뿌리 추출이라고 함N-학위. 정의.
자연 학위의 산술 루트N음수가 아닌 수 a의 ≥ 2를 음수가 아닌 수라고 하며,N번째 차수는 a와 같습니다. 2차 산술근을 제곱근이라고도 하고, 3차 근을 세제곱근이라고도 합니다. 예를 들어. 계산하다: 산술근N-학위에는 다음과 같은 속성이 있습니다. a ≥ 0이면 b > 0이고 N,
중- 자연수, 그리고N ≥ 2,
중≥ 2이면 1. 3.
2. 4.
산술근의 속성을 사용하는 예입니다. 유리수 지수가 있는 학위의 속성입니다.
임의의 유리수 p 및 k와 a > 0 및 b > 0에 대해 등식은 참입니다. 1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. .
학위 속성 사용의 예: 1). 7*
4). .
숫자의 로그
정의.
양수의 로그비베이스 a로, 여기서ㅏ > 0,
ㅏ≠ 1은 숫자를 올려야 하는 지수라고 합니다.ㅏ, 얻으려면 비.
ㅏ
=
비
기본 로그 항등식입니다. 로그의 속성
허락하다 ㅏ > 0,
ㅏ ≠ 1,
비>0, c >0, k – 임의의 실수. 그러면 다음 공식이 유효합니다. 1
.
통나무
(
기원전
) =
로그
+
로그
, 4.
로그
=
,
2.
로그 = logb - 로그
다, 5.통나무
a = 1
,
3.
통나무
비
= ~로 *
로그
, 6.
통나무
0 = 1
.
수식 사용 예: 로그2 + 로그 18
= 로그( 2 * 18
)
=
통나무 36 = 2;
통나무 48
- 통나무 4
=로그=
통나무 12 = 1;
통나무 9 = *
통나무 9
= .
스스로 결정하세요
.
작업. 옵션 1개
1. 계산:
1) ; 4)
통나무 ;
2) ; 5) 0,5;
3) ; 6) 3
통나무 2 -
통나무 64.
x = 7이면 2입니다. 3. 숫자를 비교하십시오.통나무 11 및 통나무 19.
4. 단순화하십시오: 1) ; 2) . 5. 계산: 통나무통나무통나무 3.
_________________________________________________________________
옵션 2
1. 계산:
1) ; 4)
통나무 64;
2) ; 5) ;
3) ; 6) 2
통나무 3 -
통나무 81.
2. 표현의 의미를 찾으십시오. y = 2이면 3입니다. 3. 숫자를 비교하십시오.통나무그리고 통나무.
4. 단순화하십시오: 1) ; 2) . 5. 계산: 통나무통나무통나무 2.
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평가 기준:
11개의 올바른 작업 - "5"; 9 - 10개의 올바른 작업 - "4"; 7 - 8개의 올바른 작업 - "3". Bashmakov. M.I. 수학: NPO 및 SPO를 위한 교과서입니다. - 중.: 출판 센터 "아카데미", 2013. 알리모프 Sh.A. 기타 대수학과 분석의 시작. 10 (11) 셀 – M.: 2012. 대수학. 9학년: 교양교과서, 문제집. 기관/ A.G. Mordkovich 등 - M.: Mnemosyne, 2009. 대수학. 8학년: 교양교과서, 문제집. 기관/ A.G. Mordkovich 등 - M.: Mnemosyne, 2008. 대수학. 7학년: 교양교과서, 문제집. 기관/ A.G. Mordkovich 등 - M.: Mnemosyne, 2007. 보고 양식:
선생님의 과제 완료 확인 실제로 루트 추출 작업을 성공적으로 사용하려면 이 작업의 속성을 숙지해야 합니다. 정리 1.
음수가 아닌 두 칩의 곱의 n제곱근(n=2, 3, 4,...)은 다음 숫자의 n제곱근의 곱과 같습니다.
논평:
1.
정리 1은 근호 표현이 2개 이상의 음수가 아닌 숫자의 곱인 경우에 유효합니다. 정리 2.만약에,
n이 1보다 큰 자연수이면 평등은 참입니다. 정리 1을 사용하면 t를 곱할 수 있습니다. 같은 정도의 뿌리만
, 즉. 동일한 인덱스를 가진 루트만 가능합니다. 정리 3.If
,k는 자연수이고 n은 1보다 큰 자연수이면 동등성이 참입니다. 즉, 자연의 힘에 뿌리를 내리기 위해서는 이 힘에 대한 급진적인 표현을 키우는 것만으로도 충분하다. 정리 4.If
,k, n이 1보다 큰 자연수이면 동등성은 참입니다. 즉, 뿌리에서 뿌리를 추출하려면 뿌리의 지표를 곱하면 충분합니다. 조심하세요!우리는 곱셈, 나눗셈, 지수화, 근 추출(근에서)이라는 네 가지 연산을 근에서 수행할 수 있다는 것을 배웠습니다. 하지만 근을 더하고 빼는 것은 어떨까요? 안 돼요. 정리 5.If
근과 근수 표현의 지표에 동일한 자연수를 곱하거나 나누면 근의 값은 변경되지 않습니다. 문제 해결의 예 예시 2.계산하다 예시 3.계산하다: 해결책.잘 아시다시피 대수학의 모든 공식은 "왼쪽에서 오른쪽으로"뿐만 아니라 "오른쪽에서 왼쪽으로"에도 사용됩니다. 따라서 근의 첫 번째 속성은 형태로 표현될 수 있고 반대로 표현으로 대체될 수 있음을 의미합니다. 뿌리의 두 번째 속성에도 동일하게 적용됩니다. 이를 고려하여 계산을 해보겠습니다. 축하합니다: 오늘은 8학년의 가장 놀라운 주제 중 하나인 뿌리에 대해 살펴보겠습니다. :) 많은 사람들이 뿌리에 대해 혼란스러워합니다. 뿌리가 복잡하기 때문이 아니라(몇 가지 정의와 몇 가지 속성이 너무 복잡하기 때문입니다) 대부분의 학교 교과서에서 뿌리는 교과서의 저자만이 정글을 통해 정의하기 때문입니다. 스스로 이 글을 이해할 수 있을 것이다. 그리고 심지어 좋은 위스키 한 병만 있으면 됩니다. :) 그러므로 이제 나는 당신이 정말로 기억해야 할 유일한 뿌리에 대한 가장 정확하고 가장 유능한 정의를 제공할 것입니다. 그런 다음 이 모든 것이 필요한 이유와 이를 실제로 적용하는 방법을 설명하겠습니다. 하지만 먼저, 어떤 이유로든 많은 교과서 편집자들이 "잊는" 한 가지 중요한 점을 기억하십시오. 루트는 짝수 차수(우리가 가장 좋아하는 $\sqrt(a)$, 모든 종류의 $\sqrt(a)$, 심지어 $\sqrt(a)$)일 수도 있고 홀수 차수(모든 종류의 $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ 등). 그리고 홀수차근의 정의는 짝수차근과 다소 다릅니다. 아마도 뿌리와 관련된 모든 오류와 오해의 95%는 이 빌어먹을 "다소 다르다"에 숨겨져 있을 것입니다. 그럼 일단 용어를 정리해보자: 정의. 심지어 루트 N숫자 $a$에서 임의의 음수가 아닌$b$라는 숫자는 $((b)^(n))=a$와 같습니다. 그리고 같은 숫자 $a$의 홀수근은 일반적으로 $((b)^(n))=a$와 같이 동일한 등식이 성립하는 임의의 숫자 $b$입니다. 어쨌든 루트는 다음과 같이 표시됩니다. \(ㅏ)\] 이러한 표기법에서 숫자 $n$을 근 지수라고 하고 숫자 $a$를 근호 표현이라고 합니다. 특히, $n=2$에 대해 우리는 "가장 좋아하는" 제곱근을 얻고(그런데 이것은 짝수의 근입니다), $n=3$에 대해 우리는 삼차근(홀수차)을 얻습니다. 문제나 방정식에서도 자주 발견됩니다. 예. 제곱근의 전형적인 예: \[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(정렬)\] 그런데 $\sqrt(0)=0$, $\sqrt(1)=1$입니다. $((0)^(2))=0$ 및 $((1)^(2))=1$이므로 이는 매우 논리적입니다. 큐브 루트도 일반적이므로 두려워할 필요가 없습니다. \[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(정렬)\] 음, 몇 가지 "이국적인 예": \[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(정렬)\] 짝수와 홀수 학위의 차이점을 이해하지 못한다면 정의를 다시 읽어보세요. 매우 중요합니다! 그 동안 우리는 짝수 지수와 홀수 지수에 대한 별도의 정의를 도입해야 하는 근의 불쾌한 특징 중 하나를 고려할 것입니다. 정의를 읽은 후 많은 학생들은 "수학자들이 이것을 생각해냈을 때 무엇을 피우고 있었나요?"라고 질문할 것입니다. 그리고 정말로, 이 모든 뿌리가 왜 필요한가요? 이 질문에 답하기 위해 잠시 초등학교로 돌아가 보겠습니다. 기억하세요: 나무가 더 푸르고 만두가 더 맛있던 그 먼 시절에 우리의 주요 관심사는 숫자를 정확하게 곱하는 것이었습니다. 음, "5 x 5 – 25" 같은 것이 전부입니다. 그러나 숫자를 쌍으로 곱하는 것이 아니라 삼중, 사중 및 일반적으로 전체 집합으로 곱할 수 있습니다. \[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\] 그러나 이것이 요점이 아닙니다. 트릭은 다릅니다. 수학자들은 게으른 사람들이기 때문에 다음과 같이 10 5의 곱셈을 적는 데 어려움을 겪었습니다. 그래서 그들은 학위를 생각해 냈습니다. 긴 문자열 대신 위 첨자로 요소 수를 작성하면 어떨까요? 이 같은: 매우 편리합니다! 모든 계산이 크게 줄어들고 약 5,183개를 기록하기 위해 많은 양피지와 공책을 낭비할 필요가 없습니다. 이 기록은 숫자의 거듭제곱이라고 불리며 그 안에 많은 속성이 발견되었지만 행복은 오래 가지 못했습니다. 단지 도의 '발견'을 위해 조직된 거창한 술자리가 끝난 후, 유난히 고집이 센 어떤 수학자는 갑자기 이렇게 물었습니다. "우리가 숫자의 정도를 알지만 숫자 자체를 모른다면 어떻게 될까요?" 이제 실제로 특정 숫자 $b$의 5제곱이 243이라는 것을 안다면 숫자 $b$ 자체가 무엇인지 어떻게 추측할 수 있습니까? 이 문제는 언뜻 보이는 것보다 훨씬 더 글로벌한 것으로 판명되었습니다. 대부분의 "기성" 권한에는 그러한 "초기"번호가 없다는 것이 밝혀 졌기 때문입니다. 스스로 판단하십시오. \[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(정렬)\] $((b)^(3))=50$이면 어떻게 되나요? 우리는 그 자체를 세 번 곱하면 50이 되는 특정 숫자를 찾아야 한다는 것이 밝혀졌습니다. 그런데 이 숫자는 무엇입니까? 3 3 = 27이므로 분명히 3보다 큽니다.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. 즉 이 숫자는 3과 4 사이에 있지만 그것이 무엇인지 이해하지 못할 것입니다. 이것이 바로 수학자들이 $n$번째 근을 생각해낸 이유입니다. 이것이 바로 근호 기호 $\sqrt(*)$가 도입된 이유입니다. 표시된 정도까지 이전에 알려진 값을 제공하는 바로 그 숫자 $b$를 지정하려면 \[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\] 나는 논쟁하지 않습니다. 종종 이러한 뿌리는 쉽게 계산됩니다. 위에서 그러한 예를 몇 가지 보았습니다. 그러나 여전히 대부분의 경우 임의의 숫자를 생각한 다음 그 숫자에서 임의의 도의 근을 추출하려고 하면 끔찍한 당황에 빠질 것입니다. 어떤이! 가장 단순하고 친숙한 $\sqrt(2)$조차도 일반적인 형식(정수 또는 분수)으로 표현할 수 없습니다. 이 숫자를 계산기에 입력하면 다음과 같이 표시됩니다. \[\sqrt(2)=1.414213562...\] 보시다시피 소수점 뒤에는 어떤 논리도 따르지 않는 끝없는 숫자 시퀀스가 있습니다. 물론 이 숫자를 반올림하여 다른 숫자와 빠르게 비교할 수도 있습니다. 예를 들어: \[\sqrt(2)=1.4142...\약 1.4 \lt 1.5\] 아니면 또 다른 예가 있습니다: \[\sqrt(3)=1.73205...\약 1.7 \gt 1.5\] 그러나 이러한 모든 반올림은 첫째로 매우 거칠습니다. 둘째, 대략적인 값으로 작업할 수 있어야 합니다. 그렇지 않으면 명확하지 않은 여러 오류를 발견할 수 있습니다(단, 통합 상태 검사 프로필에서 테스트하려면 비교 및 반올림 기술이 필요합니다). 따라서 심각한 수학에서는 근 없이는 할 수 없습니다. 이는 오랫동안 우리에게 친숙했던 분수 및 정수와 마찬가지로 모든 실수 $\mathbb(R)$ 집합의 동일한 대표자입니다. $\frac(p)(q)$ 형식의 분수로 근을 표현할 수 없다는 것은 이 근이 유리수가 아니라는 것을 의미합니다. 이러한 숫자는 무리수라고 하며, 이를 위해 특별히 고안된 근수 또는 기타 구조(로그, 거듭제곱, 극한 등)를 사용하지 않고는 정확하게 표현할 수 없습니다. 그러나 이에 대해서는 다음에 더 자세히 설명하겠습니다. 모든 계산 후에도 무리수가 여전히 답에 남아 있는 몇 가지 예를 고려해 보겠습니다. \[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\about 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\대략 -1.2599... \\ \end(정렬)\] 당연히 루트의 모양에서 소수점 뒤에 어떤 숫자가 올지 추측하는 것은 거의 불가능합니다. 그러나 계산기를 사용할 수는 있지만 가장 발전된 날짜 계산기라도 무리수의 처음 몇 자리만 제공합니다. 따라서 $\sqrt(5)$ 및 $\sqrt(-2)$ 형식으로 답을 작성하는 것이 훨씬 더 정확합니다. 이것이 바로 그들이 발명된 이유입니다. 답변을 편리하게 녹음합니다. 세심한 독자라면 아마도 예제에 주어진 모든 제곱근이 양수에서 가져온 것임을 이미 알아차렸을 것입니다. 글쎄, 적어도 처음부터. 그러나 큐브 루트는 양수이든 음수이든 상관없이 절대적으로 모든 숫자에서 차분하게 추출될 수 있습니다. 왜 이런 일이 발생합니까? $y=((x)^(2))$ 함수의 그래프를 살펴보십시오. 이 그래프를 사용하여 $\sqrt(4)$를 계산해 보겠습니다. 이를 위해 그래프에 수평선 $y=4$가 그려지고(빨간색으로 표시됨) $((x)_(1))=2$ 및 $((x) 두 지점에서 포물선과 교차합니다. )_(2)) =-2$. 이것은 매우 논리적이다. 첫 번째 숫자로 모든 것이 명확해집니다. 양수이므로 루트입니다. 그러면 두 번째 요점은 어떻게 해야 할까요? 4개가 동시에 두 개의 뿌리를 갖고 있는 것처럼요? 결국 숫자 −2를 제곱하면 4도 얻게 됩니다. 그러면 $\sqrt(4)=-2$라고 쓰면 어떨까요? 그런데 선생님들은 왜 그런 글을 먹겠다는 듯이 보시나요? :) 문제는 추가 조건을 적용하지 않으면 쿼드에 양수와 음수라는 두 개의 제곱근이 있다는 것입니다. 그리고 어떤 양수에도 그 중 두 개가 있을 것입니다. 그러나 음수에는 뿌리가 전혀 없습니다. 포물선이 축 아래로 떨어지지 않기 때문에 동일한 그래프에서 볼 수 있습니다. 와이, 즉. 음수 값은 허용되지 않습니다. 짝수 지수를 갖는 모든 근에 대해 비슷한 문제가 발생합니다. 그렇기 때문에 짝수 $n$의 근 정의에서 답이 음수가 아니어야 한다고 구체적으로 규정되어 있습니다. 이것이 우리가 모호함을 없애는 방법입니다. 그러나 홀수 $n$에는 그런 문제가 없습니다. 이를 확인하기 위해 $y=((x)^(3))$ 함수의 그래프를 살펴보겠습니다. 이 그래프에서 두 가지 결론을 도출할 수 있습니다. 이런 간단한 것들이 대부분의 교과서에 설명되어 있지 않다는 것은 유감입니다. 대신, 우리의 두뇌는 온갖 종류의 산술근과 그 속성으로 솟아오르기 시작합니다. 예, 저는 논쟁하지 않습니다. 산술근이 무엇인지 알아야 합니다. 이에 대해서는 별도의 강의에서 자세히 설명하겠습니다. 오늘 우리는 그것에 대해서도 이야기할 것입니다. 왜냐하면 그것 없이는 $n$-번째 다중성의 뿌리에 대한 모든 생각이 불완전할 것이기 때문입니다. 하지만 먼저 위에서 제시한 정의를 명확하게 이해해야 합니다. 그렇지 않으면 용어가 풍부하기 때문에 머리 속에서 혼란이 시작되어 결국 아무것도 이해하지 못할 것입니다. 당신이 해야 할 일은 짝수 지표와 홀수 지표의 차이를 이해하는 것뿐입니다. 그러므로 뿌리에 대해 실제로 알아야 할 모든 것을 다시 한 번 수집해 보겠습니다. 그거 어렵 니? 아니요, 어렵지 않습니다. 알았습니다? 예, 완전히 명백합니다! 이제 계산을 조금 연습하겠습니다. 뿌리에는 이상한 속성과 제한 사항이 많이 있습니다. 이에 대해서는 별도의 강의에서 논의하겠습니다. 따라서 이제 우리는 짝수 인덱스를 가진 루트에만 적용되는 가장 중요한 "트릭"만 고려할 것입니다. 이 속성을 수식으로 작성해 보겠습니다. \[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\오른쪽|\] 즉, 숫자를 짝수의 거듭제곱으로 올린 다음 동일한 거듭제곱의 근을 추출하면 원래 숫자가 아니라 모듈러스를 얻게 됩니다. 이것은 쉽게 증명할 수 있는 간단한 정리입니다(음수가 아닌 $x$를 별도로 고려한 다음 음수를 별도로 고려하는 것으로 충분합니다). 교사들은 그것에 대해 끊임없이 이야기하며 모든 학교 교과서에 나와 있습니다. 그러나 비합리적인 방정식(즉, 근호가 포함된 방정식)을 풀 때 학생들은 만장일치로 이 공식을 잊어버립니다. 문제를 자세히 이해하기 위해 잠시 동안 모든 공식을 잊어버리고 두 숫자를 바로 계산해 보겠습니다. \[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\] 이것은 매우 간단한 예입니다. 대부분의 사람들은 첫 번째 예를 풀지만, 많은 사람들이 두 번째 예에서 막히게 됩니다. 문제 없이 이러한 문제를 해결하려면 항상 다음 절차를 고려하십시오. 첫 번째 표현식인 $\sqrt(((3)^(4)))$를 살펴보겠습니다. 분명히, 먼저 루트 아래의 표현식을 계산해야 합니다. \[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\] 그런 다음 숫자 81의 네 번째 근을 추출합니다. 이제 두 번째 표현식에도 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 먼저 숫자 −3을 4제곱으로 올립니다. 이를 위해서는 그 자체를 4번 곱해야 합니다. \[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ 왼쪽(-3 \오른쪽)=81\] 제품의 총 마이너스 수는 4이고 모두 서로 상쇄되므로 양수를 얻었습니다. 결국 마이너스에 대한 마이너스는 플러스를 제공합니다. 그런 다음 루트를 다시 추출합니다. 원칙적으로 이 줄은 작성할 수 없었습니다. 대답이 같을 것이라는 것은 당연한 일이기 때문입니다. 저것들. 동일한 짝수 전력의 짝수 루트는 마이너스를 "태우며" 이러한 의미에서 결과는 일반 모듈과 구별할 수 없습니다. \[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \오른쪽|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \오른쪽|=3. \\ \end(정렬)\] 이러한 계산은 짝수 근의 정의와 잘 일치합니다. 결과는 항상 음수가 아니며 근호에도 항상 음수가 아닌 숫자가 포함됩니다. 그렇지 않으면 루트가 정의되지 않습니다. 따라서 어떤 경우에도 무분별하게 뿌리와 차수를 줄여서 원래 표현을 "단순화"해서는 안 됩니다. 근이 음수이고 지수가 짝수이면 많은 문제가 발생하기 때문입니다. 그러나 이러한 모든 문제는 짝수 지표에만 관련됩니다. 당연히 홀수 지수를 갖는 근은 원칙적으로 짝수 지수에는 존재하지 않는 고유한 특징을 갖습니다. 즉: \[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\] 즉, 홀수 도의 근 기호 아래에서 마이너스를 제거할 수 있습니다. 이는 모든 단점을 "버릴" 수 있는 매우 유용한 속성입니다. \[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \끝(정렬)\] 이 간단한 속성은 많은 계산을 크게 단순화합니다. 이제 걱정할 필요가 없습니다. 루트 아래에 부정적인 표현이 숨겨져 있지만 루트의 정도가 균일한 것으로 밝혀지면 어떻게 될까요? 뿌리 외부의 모든 마이너스를 "버리는" 것만으로도 충분합니다. 그 후에는 서로 곱하고 나눌 수 있으며 일반적으로 "고전적인"뿌리의 경우 우리를 다음으로 이끄는 많은 의심스러운 일을 할 수 있습니다. 오류. 그리고 여기에 또 다른 정의가 등장합니다. 대부분의 학교에서 비합리적인 표현에 대한 연구를 시작하는 것과 동일한 정의입니다. 이것이 없다면 우리의 추론은 불완전할 것입니다. 만나다! 루트 기호 아래에는 양수만 있거나 극단적인 경우에는 0만 있을 수 있다고 가정해 보겠습니다. 짝수/홀수 표시자에 대해서는 잊어버리고 위에 제공된 모든 정의도 잊어버리십시오. 우리는 음수가 아닌 숫자에 대해서만 작업할 것입니다. 그럼 어쩌지? 그런 다음 산술 루트를 얻습니다. 이는 "표준"정의와 부분적으로 겹치지만 여전히 다릅니다. 정의. 음수가 아닌 숫자 $a$의 $n$번째 차수의 산술근은 $((b)^(n))=a$와 같은 음수가 아닌 숫자 $b$입니다. 보시다시피 우리는 더 이상 패리티에 관심이 없습니다. 대신 새로운 제한 사항이 나타났습니다. 이제 급진적 표현은 항상 음수가 아니며 어근 자체도 음수가 아닙니다. 산술근이 일반적인 것과 어떻게 다른지 더 잘 이해하려면 우리에게 이미 익숙한 제곱 및 3차 포물선 그래프를 살펴보세요. 보시다시피, 지금부터 우리는 $x$ 및 $y$ 좌표가 양수(또는 적어도 0)인 첫 번째 좌표 분기에 위치한 그래프 조각에만 관심이 있습니다. 루트 아래에 음수를 넣을 권리가 있는지 여부를 이해하기 위해 더 이상 표시기를 볼 필요가 없습니다. 원칙적으로 음수는 더 이상 고려되지 않기 때문입니다. 당신은 이렇게 물을 수 있습니다: "글쎄, 왜 그렇게 중성화된 정의가 필요한가요?" 또는: "위에 주어진 표준 정의를 왜 따라갈 수 없나요?" 글쎄요, 저는 새로운 정의가 적절해지는 속성을 하나만 제시하겠습니다. 예를 들어, 지수화 규칙은 다음과 같습니다. \[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\] 참고: 근호 표현을 임의의 거듭제곱으로 올릴 수 있으며 동시에 루트 지수에 동일한 거듭제곱을 곱할 수 있습니다. 그러면 결과는 같은 숫자가 됩니다! 예는 다음과 같습니다. \[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(정렬)\] 그래서 큰 문제는 무엇입니까? 왜 우리는 이것을 더 일찍 할 수 없었습니까? 이유는 다음과 같습니다. 간단한 표현을 생각해 봅시다: $\sqrt(-2)$ - 이 숫자는 우리의 고전적인 이해에서는 꽤 정상이지만 산술근의 관점에서는 절대 받아들일 수 없습니다. 변환해 봅시다: $\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$ 보시다시피, 첫 번째 경우에는 근호 아래에서 마이너스를 제거했고(지수가 홀수이므로 모든 권리가 있습니다) 두 번째 경우에는 위의 공식을 사용했습니다. 저것들. 수학적 관점에서 볼 때 모든 것은 규칙에 따라 이루어집니다. 뭐야?! 어떻게 같은 숫자가 양수이기도 하고 음수도 될 수 있나요? 안 돼요. 양수와 0에 대해 잘 작동하는 지수 공식이 음수의 경우 완전한 이단을 생성하기 시작한다는 것입니다. 산술근이 발명된 것은 그러한 모호함을 없애기 위해서였습니다. 모든 속성을 자세히 고려하는 별도의 대규모 수업이 제공됩니다. 따라서 우리는 지금 그것에 대해 자세히 설명하지 않을 것입니다. 수업이 이미 너무 길었습니다. 이 주제를 별도의 단락에 넣을지 말지 오랫동안 고민했습니다. 결국 여기에 남겨두기로 결정했습니다. 이 자료는 더 이상 평균적인 "학교" 수준이 아니라 올림피아드 수준에 가까운 수준에서 뿌리를 더 잘 이해하려는 사람들을 위한 것입니다. 따라서 숫자의 $n$번째 근에 대한 "고전적인" 정의와 짝수 및 홀수 지수로의 관련 분할 외에도 패리티 및 기타 미묘함에 전혀 의존하지 않는 보다 "성인적인" 정의가 있습니다. 이것을 대수근이라고 합니다. 정의. $a$의 대수 $n$번째 근은 $((b)^(n))=a$와 같은 모든 숫자 $b$의 집합입니다. 이러한 어근에 대해 정해진 지정이 없으므로 맨 위에 대시만 표시하겠습니다. \[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \] 수업 시작 부분에 제공된 표준 정의와의 근본적인 차이점은 대수근이 특정 숫자가 아니라 집합이라는 것입니다. 그리고 우리는 실수로 작업하기 때문에 이 세트는 세 가지 유형으로만 제공됩니다. 마지막 사례는 더 자세히 고려할 가치가 있습니다. 차이점을 이해하기 위해 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 예. 표현식을 평가합니다. \[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\] 해결책. 첫 번째 표현은 간단합니다. \[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\] 세트의 일부인 두 개의 숫자입니다. 각각의 제곱은 4를 제공하기 때문입니다. \[\overline(\sqrt(-27))=\왼쪽\( -3 \오른쪽\)\] 여기서는 단 하나의 숫자로만 구성된 집합을 볼 수 있습니다. 근 지수가 홀수이기 때문에 이것은 매우 논리적입니다. 마지막으로 마지막 표현은 다음과 같습니다. \[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \] 우리는 빈 세트를 받았습니다. 왜냐하면 4승(즉 짝수!)으로 올리면 음수 -16이 되는 실수가 하나도 없기 때문입니다. 최종 메모. 참고 사항: 우리가 실수로 작업한다는 사실을 모든 곳에서 언급한 것은 우연이 아닙니다. 복소수도 있기 때문에 $\sqrt(-16)$를 계산하는 것이 가능하며 다른 많은 이상한 것들이 있습니다. 그러나 현대 학교 수학 과정에서는 복소수가 거의 나타나지 않습니다. 우리 공무원들이 이 주제를 “이해하기 너무 어렵다”고 생각하기 때문에 대부분의 교과서에서 해당 내용이 삭제되었습니다. 그게 다야. 다음 수업에서는 근의 주요 속성을 모두 살펴보고 마지막으로 비합리식을 단순화하는 방법을 배우겠습니다. :)
모든 속성은 근의 부호 아래에 포함된 변수의 음수가 아닌 값에 대해서만 공식화되고 입증됩니다.
짧은(비록 부정확하긴 하지만) 실제로 사용하기 더 편리한 공식: 분수의 근은 근의 분수와 같습니다.
이는 정리 1의 결과입니다. 실제로 예를 들어 k = 3인 경우 다음을 얻습니다. 지수 k의 다른 자연값의 경우에도 정확히 동일한 방식으로 추론할 수 있습니다.
예를 들어,
예를 들어, 정말이라고 쓰는 대신에
예시 1.계산하다
해결책.근의 첫 번째 속성(정리 1)을 사용하여 다음을 얻습니다.
해결책.대분수를 가분수로 변환하세요.
우리는 근의 두 번째 속성을 사용합니다( 정리 2
), 우리는 다음을 얻습니다:
뿌리가 왜 필요한가요?
두 가지 정의가 필요한 이유는 무엇입니까?
이차 함수의 그래프는 양수와 음수라는 두 가지 근을 제공합니다. 
세제곱 포물선은 어떤 값이든 가질 수 있으므로 세제곱근은 어떤 숫자에서든 얻을 수 있습니다.
기본 속성 및 제한 사항
절차에 관한 참고사항
루트 기호 아래에서 빼기 기호 제거
산술근
산술근 검색 영역 - 음수가 아닌 숫자 대수근: 더 알고 싶은 사람들을 위한
