숫자원에 사인 2가 있습니다. 방정식은 sin x = a입니다. 원 안의 사인과 코사인의 값을 구하는 훈련을 하고 있습니다

운동.
에서 x의 값을 구합니다.

해결책.
임의의 값과 동일한 함수 인수의 값을 찾는 것은 사인 값이 조건에 표시된 것과 정확히 일치하는 인수를 결정하는 것을 의미합니다.
이 경우 사인 값이 1/2과 같은 값을 찾아야 합니다. 이는 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다.
예를 들어, 사인 함수가 1/2과 같은 x 값을 결정하는 데 사용됩니다.
또 다른 방법은 을 사용하는 것입니다. 사인 값은 Oy 축에 있다는 점을 상기시켜 드리겠습니다.
가장 일반적인 방법은 특히 1/2과 같이 이 함수의 표준이 되는 값을 다룰 때 를 사용하는 것입니다.
모든 경우에 사인의 가장 중요한 속성 중 하나인 기간을 잊어서는 안됩니다.
표에서 사인의 값 1/2을 찾고 이에 해당하는 인수가 무엇인지 살펴보겠습니다. 우리가 관심을 갖고 있는 인수는 Pi/6과 5Pi/6입니다.
주어진 방정식을 만족하는 모든 근을 적어 봅시다. 이를 위해 관심 있는 알 수 없는 인수 x와 표에서 얻은 인수 값 중 하나, 즉 Pi/6을 기록합니다. 사인 기간을 고려하여 이에 대해 기록합니다. , 인수의 모든 값:

두 번째 값을 가져와 이전 사례와 동일한 단계를 따르겠습니다.

원래 방정식에 대한 완전한 해는 다음과 같습니다.
그리고
큐모든 정수 값을 사용할 수 있습니다.

삼각법 원에서는 각도 외에도 가 관찰됩니다.

라디안에 대한 추가 정보:

라디안은 길이가 반지름과 같은 호의 각도 값으로 정의됩니다. 따라서 원주는 다음과 같으므로 , 그러면 라디안이 원에 맞는 것이 분명합니다.

1라드 ≒ 57.295779513° ≒ 57°17′44.806″ ≒ 206265″.

모두가 라디안이 무엇인지 알고 있습니다.

예를 들어 , 및 . 그렇게 우리는 라디안을 각도로 변환하는 방법을 배웠습니다..

이제는 반대 방향이 되었습니다. 각도를 라디안으로 변환해 봅시다.

라디안으로 변환해야 한다고 가정해 보겠습니다. 그것은 우리에게 도움이 될 것입니다. 우리는 다음과 같이 진행합니다:

라디안이므로 표를 채워보겠습니다.

원 안의 사인과 코사인의 값을 구하는 훈련을 하고 있습니다

다음을 명확히합시다.

글쎄요, 예를 들어 계산하라는 요청을 받으면 일반적으로 여기에는 혼란이 없습니다. 모두가 먼저 원을보기 시작합니다.

그리고 예를 들어 계산하라는 요청을 받으면... 많은 사람들이 갑자기 이 0을 어디서 찾아야 하는지 이해하지 못하기 시작합니다... 그들은 종종 원점에서 그것을 찾습니다. 왜?

1) 한번에 동의합시다! or 뒤에 오는 것은 인수 = 각도이며, 우리 코너가 위치해 있어요 원에서는 축에서 찾지 마세요!(개별 점이 원과 축 모두에 위치한다는 점만 다를 뿐입니다...) 그리고 축에서 사인과 코사인 자체의 값을 찾습니다!

2) 그리고 한 가지 더!"시작" 지점에서 벗어나면 시계 반대방향(삼각원을 횡단하는 주요 방향), 그런 다음 각도의 양수 값을 연기합니다., 이 방향으로 움직일 때 각도 값이 증가합니다.

"시작" 지점에서 벗어나면 시계 방향으로 음의 각도 값을 플롯합니다.

예시 1.

가치를 찾아보세요.

해결책:

우리는 그것을 원에서 찾습니다. 점을 사인 축에 투영합니다(즉, 점에서 사인 축(oy)에 수직을 그립니다).

우리는 0에 도착합니다. 따라서 .

예시 2.

가치를 찾아보세요.

해결책:

우리는 그것을 원에서 찾습니다(시계 반대 방향으로 계속해서 이동합니다). 점을 사인 축에 투영합니다(그리고 이미사인축에 위치함).

사인 축을 따라 -1에 도달합니다.

점 뒤에는 (시계 방향으로 표시된 점으로 갈 수 있음)과 같은 "숨겨진" 점과 무한히 많은 다른 점이 있다는 점에 유의하십시오.

우리는 다음과 같은 비유를 할 수 있습니다:

경기장의 육상 트랙으로 삼각원을 상상해 봅시다.

예를 들어 시계 반대 방향으로 시작하여 300m를 달리거나 시계 방향으로 100m를 달리면 "플래그" 지점에 있을 수 있습니다(트랙 길이는 400m라고 가정합니다).

시계 반대 방향으로 700m, 1100m, 1500m 등을 달리면 (시작 후) 플래그 포인트에 도착할 수도 있습니다. 처음부터 시계 방향으로 500m, 900m 등을 달리면 플래그 포인트에 도착할 수 있습니다.

정신적으로 경기장 런닝머신을 수직선으로 바꿔보세요. 예를 들어 이 줄에서 300, 700, 1100, 1500 등의 값이 어디에 있을지 상상해 보세요. 우리는 서로 동일한 간격으로 수직선에 있는 점들을 볼 것입니다. 다시 원으로 돌아가자. 포인트가 하나로 "함께 붙어" 있습니다.

삼각법 원도 마찬가지입니다. 각 지점 뒤에는 무한히 많은 다른 지점이 숨겨져 있습니다.

각도 , , 등을 가정해 봅시다. 하나의 점으로 표현됩니다. 그리고 사인과 코사인의 값은 물론 일치합니다. (혹은 덧셈/뺄셈을 한 것을 보셨나요? 이것은 사인과 코사인 함수의 주기입니다.)

예시 3.

가치를 찾아보세요.

해결책:

단순화를 위해 도로 변환해 보겠습니다.

(나중에 삼각법 원에 익숙해지면 라디안을 도로 변환할 필요가 없습니다):

우리는 지점에서 시계 방향으로 움직일 것입니다. 우리는 반원 ()으로 갈 것입니다.

우리는 사인 값이 사인 값과 일치하고 다음과 같다는 것을 이해합니다.

예를 들어 or 등을 취하면 동일한 사인 값을 얻게 됩니다.

예시 4.

가치를 찾아보세요.

해결책:

그러나 이전 예제와 같이 라디안을 각도로 변환하지는 않습니다.

즉, 시계 반대 방향으로 원의 반을 그리고 또 다른 1/4은 원을 그리며 결과 점을 코사인 축(수평 축)에 투영해야 합니다.

실시예 5.

가치를 찾아보세요.

해결책:

삼각법 원에 그리는 방법은 무엇입니까?

통과하거나 적어도 "시작"으로 지정한 지점에 우리 자신을 발견하게 될 것입니다. 따라서 원의 한 지점으로 즉시 이동할 수 있습니다.

실시예 6.

가치를 찾아보세요.

해결책:

우리는 그 지점에 도달하게 될 것입니다(여전히 0 지점으로 갈 것입니다). 우리는 원의 점을 코사인 축에 투영합니다(삼각법 원 참조). 그건 .

삼각법 원은 당신의 손에 있습니다

가장 중요한 것은 1분기의 삼각 함수 값을 기억하는 것이라는 것을 이미 이해하고 있습니다. 나머지 분기에서는 모든 것이 유사하므로 표지판을 따라가기만 하면 됩니다. 그리고 삼각함수 값의 '사다리 사슬'을 잊지 마시기 바랍니다.

찾는 방법 탄젠트 및 코탄젠트 값주요 각도.

이후 탄젠트와 코탄젠트의 기본 값을 숙지한 후, 넌 합격할 수 있어

빈 원 템플릿에. 기차!

사인 값은 간격 [-1; 1], 즉 -1 ≤ sin α ≤ 1. 따라서 |a| > 1이면 방정식 sin x = a에는 근이 없습니다. 예를 들어 방정식 sin x = 2에는 근이 없습니다.

몇 가지 문제를 살펴보겠습니다.

방정식 sin x = 1/2을 푼다.

해결책.

sin x는 원점을 중심으로 각도 x만큼 점 P(1; 0)를 회전하여 얻은 단위원 위 점의 세로 좌표입니다.

원 M 1과 M 2의 두 점에 ½에 해당하는 세로 좌표가 있습니다.

1/2 = sin π/6이므로 점 M 1은 각도 x 1 = π/6 및 각도 x = π/6 + 2πk만큼 회전하여 점 P (1; 0)에서 얻습니다. 여기서 k = +/-1, +/-2, …

점 M 2는 각도 x 2 = 5π/6 및 각도 x = 5π/6 + 2πk에 의한 회전의 결과로 점 P (1; 0)에서 얻습니다. 여기서 k = +/-1, + /-2, ..., 즉 각도 x = π – π/6 + 2πk, 여기서 k = +/-1, +/-2, …

따라서 방정식 sin x = 1/2의 모든 근은 x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. 여기서 k € Z입니다.

이러한 공식은 하나로 결합될 수 있습니다: x = (-1) n π/6 + πn, 여기서 n € Z (1).

실제로 n이 짝수인 경우, 즉 n = 2k이면 식 (1)에서 x = π/6 + 2πk를 얻고 n이 홀수이면 즉 n = 2k + 1이면 식 (1)에서 x = π – π/6 + 2πk를 얻습니다.

답변. x = (-1) n π/6 + πn, 여기서 n € Z.

방정식 sin x = -1/2를 풉니다.

해결책.

세로좌표 -1/2에는 단위원 M 1 및 M 2의 두 점이 있습니다. 여기서 x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6입니다. 결과적으로 방정식 sin x = -1/2의 모든 근은 공식 x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z를 사용하여 찾을 수 있습니다.

이 공식을 하나로 결합할 수 있습니다: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).

실제로, n = 2k이면 공식 (2)를 사용하여 x = -π/6 + 2πk를 얻고, n = 2k – 1이면 공식 (2)를 사용하여 x = -5π/6 + 2πk를 찾습니다.

답변. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.

따라서 각 방정식 sin x = 1/2 및 sin x = -1/2는 무한한 수의 근을 갖습니다.

세그먼트 -π/2 ≤ x ≤ π/2에서 다음 방정식 각각에는 단 하나의 근이 있습니다.
x 1 = π/6은 방정식 sin x = 1/2의 근이고 x 1 = -π/6은 방정식 sin x = -1/2의 근입니다.

숫자 π/6을 숫자 1/2의 아크사인이라고 하며 다음과 같이 씁니다. 아크사인 1/2 = π/6; 숫자 -π/6을 숫자 -1/2의 아크사인이라고 하며 다음과 같이 씁니다. 아크사인(-1/2) = -π/6.

일반적으로 방정식 sin x = a(여기서 -1 ≤ a ≤ 1)는 -π/2 ≤ x ≤ π/2 세그먼트에 단 하나의 근을 갖습니다. a ≥ 0이면 근이 구간에 포함됩니다. 만약< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

따라서 숫자 a € [-1; 1] 그러한 숫자를 € [-π/2; π/2], 사인은 a와 같습니다.

аrcsin а = α, sin α = а이고 -π/2 ≤ x ≤ π/2인 경우(3).

예를 들어, аrcsin √2/2 = π/4입니다. 왜냐하면 sin π/4 = √2/2이고 - π/2 ≤ π/4 ≤ π/2이기 때문입니다.
аrcsin (-√3/2) = -π/3, 왜냐하면 sin (-π/3) = -√3/2이고 – π/2 ≤이기 때문입니다. – π/3 ≤ π/2.

문제 1과 2를 풀 때와 같은 방식으로 방정식 sin x = a의 근이 표시될 수 있습니다. 여기서 |a| ≤ 1, 공식으로 표현

x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

우리는 또한 € [-1; 1] аrcsin (-а) = -аrcsin а 공식이 유효합니다.

공식 (4)로부터 방정식의 근은 다음과 같습니다.
a = 0, a = 1, a = -1에 대한 sin x = a는 더 간단한 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

죄 x = 0 x = πn, n € Z (5)

죄 x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)

죄 x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)

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간단한 삼각 방정식을 푼다.

모든 복잡성 수준의 삼각 방정식을 푸는 것은 궁극적으로 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다. 그리고 여기에서 삼각법 원이 다시 최고의 조수로 밝혀졌습니다.

코사인과 사인의 정의를 기억해 봅시다.

각도의 코사인은 주어진 각도를 통한 회전에 해당하는 단위원 위 점의 가로좌표(즉, 축을 따른 좌표)입니다.

각도의 사인은 주어진 각도를 통한 회전에 해당하는 단위원 위 점의 세로 좌표(즉, 축을 따른 좌표)입니다.

삼각원의 양의 이동 방향은 시계 반대 방향입니다. 0도(또는 0라디안)의 회전은 좌표가 (1;0)인 점에 해당합니다.

우리는 간단한 삼각 방정식을 풀기 위해 이러한 정의를 사용합니다.

1. 방정식을 푼다

이 방정식은 세로 좌표가 와 같은 원의 점에 해당하는 회전 각도의 모든 값에 의해 충족됩니다.

세로축에 세로좌표로 점을 표시해 보겠습니다.

원과 교차할 때까지 x축과 평행한 수평선을 그립니다. 우리는 원 위에 놓여 있고 세로 좌표를 갖는 두 개의 점을 얻습니다. 이러한 점은 회전 각도(단위: 및 라디안)에 해당합니다.

라디안당 회전 각도에 해당하는 점을 떠나 완전한 원을 그리면 라디안당 회전 각도에 해당하고 동일한 세로 좌표를 갖는 점에 도달하게 됩니다. 즉, 이 회전 각도도 우리의 방정식을 만족합니다. 우리는 원하는 만큼 많은 "유휴" 회전을 할 수 있으며 동일한 지점으로 돌아갈 수 있으며 이러한 모든 각도 값은 우리의 방정식을 만족시킬 것입니다. "유휴" 회전 수는 문자 (또는)로 표시됩니다. 양의 방향과 음의 방향 모두에서 이러한 회전을 할 수 있으므로 (또는) 모든 정수 값을 취할 수 있습니다.

즉, 원래 방정식에 대한 첫 번째 일련의 해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

, , - 정수 집합(1)