조합론은 고등 수학의 독립적인 분야(터버의 일부가 아님)이며 이 분야에 대한 중요한 교과서가 작성되었으며 그 내용은 때때로 추상 대수학보다 쉽지 않습니다. 그러나 우리에게는 이론적 지식의 작은 부분만으로도 충분할 것이며, 이 기사에서는 일반적인 조합 문제가 있는 주제의 기본을 접근 가능한 형태로 분석하려고 노력할 것입니다. 그리고 많은 분들이 저를 도와주실 거예요 ;-)
우리 뭐 할까? 좁은 의미에서 조합론은 특정 집합에서 만들 수 있는 다양한 조합을 계산하는 것입니다. 이산적인사물. 객체는 사람, 동물, 버섯, 식물, 곤충 등 고립된 객체 또는 살아있는 존재로 이해됩니다. 동시에 조합론은 세트가 양질의 거친 밀가루 죽 한 접시, 납땜 인두 및 늪 개구리로 구성되어 있다는 사실을 전혀 신경 쓰지 않습니다. 이러한 개체를 열거할 수 있다는 것이 근본적으로 중요합니다. 그중 세 개가 있습니다. (분별력)중요한 것은 그들 중 어느 것도 동일하지 않다는 것입니다.
지금까지 우리는 조합에 관해 많은 것을 다루었습니다. 가장 일반적인 유형의 조합은 개체의 순열, 집합에서의 개체 선택(조합) 및 배포(배치)입니다. 지금 당장 이런 일이 어떻게 일어나는지 살펴보겠습니다.
반복 없는 순열, 조합 및 배치
모호한 용어를 두려워하지 마십시오. 특히 그 중 일부는 실제로 그다지 좋지 않기 때문에 더욱 그렇습니다. 제목의 꼬리부터 시작하겠습니다. " 반복 없음"? 이는 이 섹션에서 다음으로 구성된 세트를 고려할 것임을 의미합니다. 다양한사물. 예를 들어 ... 아니요, 납땜 인두와 개구리가 들어간 죽을 제공하지 않습니다. 더 맛있는 것을 먹는 것이 좋습니다 =) 사과, 배, 바나나가 앞 테이블에 구체화되었다고 상상해보십시오 ( 가지고 있다면 상황을 현실로 시뮬레이션할 수 있습니다.) 다음 순서로 과일을 왼쪽에서 오른쪽으로 배치합니다.
사과/배/바나나
질문 1: 몇 가지 방법으로 재배열할 수 있나요?
하나의 조합은 이미 위에 작성되었으며 나머지 조합에는 문제가 없습니다.
사과 / 바나나 / 배
배 / 사과 / 바나나
배 / 바나나 / 사과
바나나 / 사과 / 배
바나나 / 배 / 사과
총: 6개 조합 또는 6개 순열.
자, 가능한 경우를 모두 나열하는 것은 어렵지 않았지만, 객체가 더 많다면 어떨까요? 네 가지 과일만으로 조합의 수가 크게 늘어납니다!
참고자료를 열어주세요 (설명서를 인쇄해 놓으면 편해요)그리고 2번 지점에서 순열 수에 대한 공식을 찾으세요.
번거로움이 없습니다. 3개의 개체를 서로 다른 방식으로 재배열할 수 있습니다.
질문 2: a) 과일 하나, b) 과일 두 개, c) 과일 세 개, d) 적어도 하나의 과일을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
왜 선택합니까? 그래서 우리는 이전 시점에서 먹기 위해 식욕을 돋웠습니다! =)
a) 하나의 과일은 분명히 세 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 사과, 배 또는 바나나를 섭취하십시오. 공식적인 계산은 다음과 같이 수행됩니다. 조합 수 공식:
이 경우 항목은 다음과 같이 이해되어야 합니다. "3개 중 1개의 과일을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?"
b) 두 과일의 가능한 모든 조합을 나열해 보겠습니다.
사과와 배;
사과와 바나나;
배와 바나나.
동일한 공식을 사용하여 조합 수를 쉽게 확인할 수 있습니다.
항목은 비슷한 방식으로 이해됩니다. "3개 중 2개의 과일을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?"
c) 그리고 마지막으로 세 가지 과일을 선택하는 방법은 단 하나뿐입니다.
그건 그렇고, 조합 수에 대한 공식은 빈 샘플에 대해 의미가 있습니다.
이런 식으로 과일 하나도 선택할 수 없습니다. 실제로는 아무것도 선택하지 않고 그게 전부입니다.
d) 몇 가지 방법으로 취할 수 있나요? 적어도 하나과일? "적어도 하나"라는 조건은 우리가 과일 1개(아무거나) 또는 과일 2개 또는 과일 3개 모두에 만족함을 의미합니다.
이 방법을 사용하면 적어도 하나의 과일을 선택할 수 있습니다.
개론강의를 꼼꼼히 읽어주신 독자 여러분 확률 이론, 우리는 이미 뭔가를 추측했습니다. 그러나 더하기 기호의 의미에 대해서는 나중에 자세히 설명합니다.
다음 질문에 대답하려면 두 명의 자원 봉사자가 필요합니다... ...아무도 원하지 않으니 이사회로 전화하겠습니다 =)
질문 3: 다샤와 나타샤에게 각각 과일 하나씩을 나눠줄 수 있는 방법은 몇 가지인가요?
두 개의 과일을 분배하려면 먼저 과일을 선택해야 합니다. 이전 질문의 "be" 단락에 따르면 이는 여러 가지 방법으로 수행될 수 있습니다. 다시 작성하겠습니다.
사과와 배;
사과와 바나나;
배와 바나나.
하지만 이제는 조합이 두 배나 많아질 것입니다. 예를 들어, 첫 번째 과일 쌍을 생각해 보십시오.
Dasha는 사과로, Natasha는 배로 치료할 수 있습니다.
또는 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. Dasha는 배를 얻고 Natasha는 사과를 얻습니다.
그리고 그러한 순열은 각 과일 쌍에 대해 가능합니다.
댄스 파티에 갔던 동일한 학생 그룹을 생각해 보십시오. 남자아이와 여자아이는 몇 가지 방법으로 짝을 이룰 수 있나요?
어떤 방법으로든 청년 1명을 선택할 수 있습니다.
여자 1명을 선택할 수 있는 방법입니다.
그리하여 한 청년은 그리고한 명의 소녀를 선택할 수 있습니다: 
방법.
각 세트에서 1개의 개체를 선택하면 조합 계산에 대한 다음 원칙이 유효합니다. 모든한 세트의 개체가 쌍을 형성할 수 있음 모든다른 세트의 개체입니다."
즉, Oleg는 13명의 소녀 중 누구라도 춤을 추도록 초대할 수 있고 Evgeny는 13명 중 누구라도 초대할 수 있으며 나머지 젊은이들도 비슷한 선택을 할 수 있습니다. 전체: 가능한 쌍.
이 예에서 쌍 형성의 "역사"는 중요하지 않습니다. 그러나 주도권을 고려한다면 13명의 소녀 각각이 어떤 소년이라도 춤추도록 초대할 수 있기 때문에 조합의 수는 두 배로 늘어나야 합니다. 그것은 모두 특정 작업의 조건에 따라 다릅니다!
더 복잡한 조합에도 유사한 원칙이 적용됩니다. 예를 들어 두 명의 청년을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 그리고 KVN 촌극에 두 명의 소녀가 참여하나요?
노동 조합 그리고조합을 곱해야 함을 분명히 암시합니다.
가능한 아티스트 그룹.
다시 말해서, 각한 쌍의 소년(45개의 독특한 쌍)이 함께 공연할 수 있습니다. 어느한 쌍의 소녀(78개의 독특한 쌍). 그리고 참가자 간의 역할 분배를 고려하면 더 많은 조합이 있을 것입니다. ...정말 그러고 싶지만, 학생 생활에 대한 혐오감을 심어주지 않기 위해 계속하는 것은 자제하겠습니다 =).
조합을 곱하는 규칙은 더 많은 수의 승수에도 적용됩니다.
문제 8
5로 나누어 떨어지는 세 자리 수는 모두 몇 개입니까?
해결책: 명확성을 위해 이 숫자를 세 개의 별표로 표시하겠습니다. ***
안에 수백 곳숫자(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 또는 9)를 쓸 수 있습니다. 0은 적합하지 않습니다. 이 경우 숫자가 세 자리 숫자가 아니기 때문입니다.
하지만 십자리(“가운데”) 10자리 숫자 중 하나를 선택할 수 있습니다: .
조건에 따라 숫자는 5로 나누어야 합니다. 숫자는 5나 0으로 끝나야 5로 나누어집니다. 따라서 최하위 숫자 2자리이면 만족합니다.
전체적으로는: 5로 나누어지는 세 자리 숫자.
이 경우 작품은 다음과 같이 해석됩니다. “숫자를 선택할 수 있는 9가지 방법 수백 곳 그리고숫자를 선택하는 10가지 방법 십자리 그리고 2가지 방법으로 단위 자리»
아니면 더 간단하게: “ 각 9자리부터 수백 곳결합하다 각각 10자리 십자리 그리고 각각두자리부터 단위 자리».
답변: 180
그리고 지금…
예, Bor, Dima 및 Volodya가 서로 다른 방식으로 각각 한 장의 카드를 받을 수 있는 문제 5번에 대한 약속된 설명을 거의 잊었습니다. 여기서 곱셈은 같은 의미입니다: 덱에서 카드 3장을 제거하는 방법 그리고 각샘플을 여러 가지 방법으로 재배열해 보세요.
이제 스스로 해결해야 할 문제가 생겼습니다... 이제 좀 더 흥미로운 것을 생각해 보겠습니다... 동일한 러시아 버전의 블랙잭에 대해 설명하겠습니다.
문제 9
"포인트" 플레이 시 2장의 카드로 승리하는 조합은 몇 개나 되나요?
모르시는 분들을 위해 말씀드리자면 승리 조합은 10 + ACE(11점) = 21점이고, 두 에이스의 승리 조합을 생각해 보겠습니다.
(한 쌍의 카드 순서는 중요하지 않습니다.)
수업이 끝나면 간단한 해결책과 답변을 제공합니다.
그건 그렇고, 예제 프리미티브를 고려하지 마십시오. 블랙잭은 카지노를 이길 수 있는 수학 기반 알고리즘이 있는 거의 유일한 게임입니다. 관심 있는 사람들은 최적의 전략과 전술에 대한 풍부한 정보를 쉽게 찾을 수 있습니다. 사실, 그러한 마스터는 모든 시설의 블랙리스트에 아주 빨리 올라갑니다 =)
이제 몇 가지 견고한 작업으로 다루는 자료를 통합할 시간입니다.
문제 10
Vasya에는 집에 고양이 4마리가 있습니다.
a) 방 구석에 고양이를 앉힐 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
b) 고양이를 산책시키려면 몇 가지 방법이 있나요?
c) Vasya는 고양이 두 마리(한 마리는 왼쪽에, 다른 한 마리는 오른쪽에 있음)를 몇 가지 방법으로 집을 수 있습니까?
결정하자: 첫째, 문제가 다루는 사실에 다시 한 번 주의를 기울여야 합니다. 다른(고양이가 일란성 쌍둥이인 경우에도) 이것은 매우 중요한 조건입니다!
a) 고양이의 침묵. 이번 처형의 대상 모든 고양이가 한꺼번에
+ 위치가 중요하므로 여기에 순열이 있습니다.
이 방법을 사용하면 고양이를 방 구석에 배치할 수 있습니다.
순열할 때 다른 객체의 수와 상대적 위치만 중요하다는 점을 반복합니다. Vasya의 기분에 따라 동물을 소파 위 반원형으로 앉히거나 창턱에 일렬로 앉히는 등의 작업을 할 수 있습니다. – 모든 경우에 24개의 순열이 있습니다. 편의를 위해 관심 있는 사람들은 고양이가 여러 가지 색상(예: 흰색, 검은색, 빨간색, 얼룩무늬)이라고 상상하고 가능한 모든 조합을 나열할 수 있습니다.
b) 고양이를 산책시키려면 몇 가지 방법이 있나요?
고양이는 문을 통해서만 산책을 한다고 가정하며, 질문은 동물의 수에 대한 무관심을 암시합니다. 1, 2, 3 또는 4마리의 고양이 모두가 산책을 할 수 있습니다.
가능한 모든 조합을 계산합니다.
어떤 방법으로든 고양이 한 마리(네 마리 중 아무거나)를 산책시키도록 할 수 있습니다. 
고양이 두 마리를 산책시키도록 하는 방법(옵션을 직접 나열하세요)
고양이 세 마리를 산책시키도록 할 수도 있습니다(네 마리 중 한 마리는 집에 있습니다).
이렇게 하면 모든 고양이를 풀어줄 수 있습니다.
아마도 결과 값을 요약해야 한다고 짐작했을 것입니다.
고양이를 산책시키려면 어떻게 해야 할까요?
매니아들을 위해 저는 문제의 복잡한 버전을 제안합니다. 어떤 샘플의 고양이라도 10층의 문과 창문을 통해 무작위로 밖으로 나갈 수 있는 경우입니다. 조합이 눈에 띄게 늘어날 거예요!
c) Vasya는 몇 가지 방법으로 고양이 두 마리를 집을 수 있습니까?
상황에는 동물 2마리를 선택하는 것뿐만 아니라 각 손에 동물을 배치하는 것도 포함됩니다.
이런 방법으로 고양이 2마리를 태울 수 있습니다.
두 번째 해결 방법: 방법을 사용하여 고양이 두 마리를 선택할 수 있습니다. 그리고심는 방법 모든한 쌍의 손에: 
답변: a) 24, b) 15, c) 12
음, 양심을 깨끗하게 하기 위해 조합 곱셈에 대해 좀 더 구체적인 내용이 있습니다... Vasya에게 고양이 5마리를 더 키우게 해주세요 =) 고양이 2마리를 산책시키려면 몇 가지 방법이 있나요? 그리고고양이 1마리?
즉, 각고양이 두 마리를 풀어줄 수 있어요 모든고양이.
독립적인 솔루션을 위한 또 다른 버튼 아코디언:
문제 11
승객 3명이 12층 건물의 엘리베이터에 탑승했습니다. 모든 사람은 다른 사람과 관계없이 동일한 확률로 어느 층(2층부터 시작)으로든 나갈 수 있습니다. 몇 가지 방법으로:
1) 승객은 같은 층에서 하차할 수 있습니다. (퇴출 순서는 중요하지 않습니다);
2) 한 층에서는 두 사람이 내릴 수 있고, 다른 층에서는 세 번째 사람이 내릴 수 있습니다.
3) 사람들은 다른 층으로 나갈 수 있습니다.
4) 승객이 엘리베이터에서 내릴 수 있습니까?
그리고 여기서 그들은 종종 다시 묻습니다. 2~3명이 같은 층에서 나가면 나가는 순서는 중요하지 않습니다. 조합을 더하거나 곱하기 위해 생각하고 공식과 규칙을 사용하세요. 어려움이 있는 경우 승객이 이름을 지정하고 어떤 조합으로 엘리베이터에서 나갈 수 있는지 추측하는 것이 유용합니다. 예를 들어, 문제가 해결되지 않더라도 화를 낼 필요는 없습니다. 예를 들어 2번 항목은 매우 교활하지만 독자 중 한 명이 간단한 해결책을 찾았으며 귀하의 편지에 다시 한 번 감사를 표합니다!
강의가 끝나면 자세한 설명이 포함된 전체 솔루션입니다.
마지막 단락은 자주 발생하는 조합에 대해 설명합니다. 주관적인 평가에 따르면 조합 문제의 약 20-30%에서 발생합니다.
반복이 있는 순열, 조합 및 배치
나열된 조합 유형은 참고 자료의 단락 번호 5에 설명되어 있습니다. 조합론의 기본 공식그러나 그 중 일부는 처음 읽을 때 명확하지 않을 수 있습니다. 이 경우 먼저 실제 예를 숙지한 다음 일반적인 공식을 이해하는 것이 좋습니다. 가다:
반복이 있는 순열
"일반적인" 순열에서와 같이 반복이 포함된 순열에서는 많은 개체를 동시에, 그러나 한 가지가 있습니다. 이 세트에는 하나 이상의 요소(객체)가 반복됩니다. 다음 표준을 충족하십시오.
문제 12
K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K 문자로 카드를 재배열하면 얼마나 많은 문자 조합을 얻을 수 있습니까?
해결책: 모든 문자가 다른 경우 간단한 공식을 적용해야 하지만 제안된 카드 세트의 경우 일부 조작이 "유휴"로 작동한다는 것은 완전히 분명합니다. 예를 들어 두 카드를 교환하는 경우 어떤 단어에든 "K" " 문자가 있으면 같은 단어가 됩니다. 더욱이, 카드는 물리적으로 매우 다를 수 있습니다. 하나는 문자 "K"가 인쇄된 둥근 모양일 수 있고, 다른 하나는 문자 "K"가 그려진 정사각형 모양일 수 있습니다. 하지만 작업의 의미에 따라 그러한 카드도 같은 것으로 간주됩니다, 조건이 문자 조합에 대해 묻기 때문입니다.
모든 것이 매우 간단합니다. 편지를 포함하여 카드가 11장뿐입니다.
K – 3번 반복;
O – 3번 반복;
L – 2번 반복;
b – 1회 반복;
H – 1회 반복;
그리고 - 1회 반복되었습니다.
확인: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, 이는 확인이 필요한 것입니다.
공식에 따르면 반복이 있는 순열의 수:
다양한 문자 조합을 얻을 수 있습니다. 50만 이상!
큰 계승값을 빠르게 계산하려면 표준 Excel 기능을 사용하는 것이 편리합니다. 아무 셀에나 입력하세요. =사실(11)그리고 누르세요 입력하다.
실제로는 일반 공식을 작성하지 않고 단위 계승을 생략하는 것도 허용됩니다. 
하지만 반복되는 문자에 대해서는 사전 코멘트가 필요합니다!
답변: 554400
반복을 통한 순열의 또 다른 전형적인 예는 창고에서 찾을 수 있는 체스 말 배치 문제에서 발생합니다. 기성 솔루션해당 pdf에 있습니다. 그리고 독립적인 솔루션을 위해 덜 공식적인 작업을 생각해냈습니다.
문제 13
Alexey는 스포츠에 참여하고 일주일에 4일 – 운동 경기, 2일 – 근력 운동 및 1일 휴식을 취합니다. 그는 자신을 위한 주간 일정을 몇 가지 방법으로 만들 수 있습니까?
이 공식은 우연한 교환(예: 수요일의 근력 운동을 목요일의 근력 운동으로 바꾸는 것)을 고려하기 때문에 여기서는 작동하지 않습니다. 그리고 다시 말하지만, 실제로 동일한 2개의 근력 훈련 세션은 서로 매우 다를 수 있지만 작업의 맥락에서는(일정의 관점에서) 동일한 요소로 간주됩니다.
수업이 끝나면 두 줄의 솔루션과 답변이 제공됩니다.
반복과의 조합
이러한 유형의 조합의 특징은 샘플이 동일한 개체로 구성된 여러 그룹에서 추출된다는 것입니다.
오늘 모두들 고생 많으셨으니 이제 재충전의 시간을 가져보겠습니다.
문제 14
학생 식당에서는 반죽에 담긴 소시지, 치즈케이크, 도넛을 판매합니다. 파이 5개를 살 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
해결책: 반복과의 조합에 대한 일반적인 기준에 즉시주의하십시오. 조건에 따라 선택을 위해 제공되는 개체 집합은 아니지만 다른 종류사물; 판매되는 핫도그 5개, 치즈케이크 5개, 도넛 5개 이상이 있다고 가정합니다. 물론 각 그룹의 파이는 다릅니다. 완전히 동일한 도넛은 컴퓨터에서만 시뮬레이션할 수 있기 때문입니다 =) 그러나 파이의 물리적 특성은 문제의 목적에 비해 중요하지 않으며 핫도그 / 치즈케이크 / 해당 그룹의 도넛은 동일한 것으로 간주됩니다.
샘플에는 무엇이 포함될 수 있나요? 우선, 샘플에는 확실히 동일한 파이가 있을 것이라는 점에 유의해야 합니다(우리는 5개 조각을 선택하고 선택할 수 있는 유형은 3개이므로). 핫도그 5개, 치즈케이크 5개, 도넛 5개, 핫도그 3개 + 치즈케이크 2개, 핫도그 1개 + 치즈케이크 2개 + 도넛 2개 등 모든 취향에 맞는 옵션이 있습니다.
"일반" 조합과 마찬가지로 선택 순서와 선택 항목에서 파이 배치는 중요하지 않습니다. 방금 5개 조각을 선택하면 그게 전부입니다.
우리는 공식을 사용합니다 
반복이 포함된 조합 수: 
이 방법을 사용하면 파이 5개를 구입할 수 있습니다.
많이 드세요!
답변: 21
많은 조합 문제에서 어떤 결론을 이끌어낼 수 있습니까?
때로는 상태를 이해하는 것이 가장 어려운 일입니다.
독립적인 솔루션에 대한 유사한 예:
문제 15
지갑에는 상당히 많은 수의 1, 2, 5 및 10 루블 동전이 들어 있습니다. 지갑에서 동전 3개를 꺼낼 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
자기 통제를 위해 몇 가지 간단한 질문에 답해 보세요.
1) 샘플에 포함된 동전이 모두 다를 수 있나요?
2) "가장 싼" 동전과 가장 "비싼" 동전의 조합을 말해보세요.
수업이 끝나면 솔루션과 답변이 제공됩니다.
내 개인적인 경험에 따르면 반복이 있는 조합은 실제로 가장 드문 손님이며 다음 유형의 조합에 대해서는 말할 수 없습니다.
반복이 있는 게재위치
요소들로 구성된 집합에서 요소가 선택되며, 각 선택에서 요소의 순서가 중요합니다. 그리고 모든 것이 괜찮을 것입니다. 그러나 다소 예상치 못한 농담은 우리가 원하는 만큼 여러 번 원본 세트의 개체를 선택할 수 있다는 것입니다. 비유적으로 말하면, “무리가 줄어들지 아니하리라.”
언제 이런 일이 발생합니까? 일반적인 예는 여러 개의 디스크가 포함된 조합 잠금 장치이지만 기술 발전으로 인해 디지털 하위 항목을 고려하는 것이 더 적절합니다.
문제 16
4자리 PIN 코드는 몇 개입니까?
해결책: 실제로 문제를 해결하려면 조합 규칙에 대한 지식이면 충분합니다. PIN 코드의 첫 번째 숫자를 선택할 수 있습니다. 그리고방법 - PIN 코드의 두 번째 숫자 그리고여러 가지 면에서 - 세 번째 그리고같은 숫자 - 네 번째. 따라서 조합의 곱셈 규칙에 따라 4자리 핀 코드는 다음과 같은 방식으로 구성될 수 있습니다.
이제 공식을 사용합니다. 조건에 따라 일련의 숫자가 제공되며, 그 중에서 숫자를 선택하고 배열합니다. 특정 순서로, 샘플의 숫자는 반복될 수 있습니다. (즉, 원래 세트의 모든 숫자는 임의의 횟수만큼 사용될 수 있습니다). 반복되는 배치 수에 대한 공식에 따르면: 
답변: 10000
여기서 생각나는 것은... ...세 번째 PIN 코드 입력 시도가 실패한 후 ATM이 카드를 "먹는" 경우 무작위로 카드를 집어들 가능성은 매우 희박합니다.
그리고 누가 조합론이 실질적인 의미가 없다고 말했습니까? 사이트의 모든 독자를 위한 인지 작업:
문제 17
국가 표준에 따르면 자동차 번호판은 3개의 숫자와 3개의 문자로 구성됩니다. 이 경우 0이 3개 있는 숫자는 허용되지 않으며 문자는 A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X 세트에서 선택됩니다. (철자가 라틴 문자와 일치하는 키릴 문자만 사용됩니다).
지역별로 번호판을 몇 개나 만들 수 있나요?
그건 그렇고, 그다지 많지는 않습니다. 넓은 지역에서는 그러한 양이 충분하지 않으므로 RUS 비문에 대한 여러 코드가 있습니다.
정답과 정답은 강의 마지막에 있습니다. 조합론의 규칙을 사용하는 것을 잊지 마세요 ;-) ...배타적인 것을 과시하고 싶었지만 배타적이지 않은 것으로 판명되었습니다 =) Wikipedia를 봤습니다. 코멘트는 없지만 계산이 있습니다. 교육 목적으로 해결한 사람은 거의 없을 것입니다.
우리의 흥미진진한 수업이 끝났습니다. 마지막으로 저는 여러분이 시간을 낭비하지 않았다고 말하고 싶습니다. 조합 공식이 또 다른 중요한 실제 적용을 찾는 이유는 다음과 같습니다. 확률 이론,
그리고 확률의 고전적 결정과 관련된 문제– 특히 자주 =)
적극적으로 참여해주신 모든 분들께 감사드리며, 곧 뵙겠습니다!
솔루션 및 답변:
작업 2: 해결책: 4장의 카드에서 가능한 모든 순열의 수를 구합니다.
0이 붙은 카드를 1위에 올리면 숫자가 세 자리가 되기 때문에 이러한 조합은 제외되어야 합니다. 0을 첫 번째 자리에 놓고 하위 숫자의 나머지 3자리를 다른 방식으로 재배열할 수 있습니다.
메모
: 왜냐하면 카드가 몇 개뿐이므로 여기에 모든 옵션을 쉽게 나열할 수 있습니다.
0579
0597
0759
0795
0957
0975
따라서 제안된 세트에서 다음을 만들 수 있습니다.
24 – 6 = 4자리 숫자 18개
답변
: 18
작업 4: 해결책: 어떤 방법으로든 36장의 카드 중 3장을 선택할 수 있습니다.그리고
2) "가장 저렴한" 세트에는 3개의 루블 동전이 포함되어 있고, 가장 "비싼" 세트에는 3개의 10루블 동전이 포함되어 있습니다.
문제 17: 해결책: 
이러한 방법을 사용하면 자동차 번호의 디지털 조합을 생성할 수 있지만 그 중 하나(000)는 제외되어야 합니다.
이러한 방법을 사용하면 자동차 번호판 번호의 문자 조합을 만들 수 있습니다.
조합을 곱하는 규칙에 따라 합계를 만들 수 있습니다.
번호판
(각디지털 조합이 결합되었습니다 각각문자 조합).
답변
: 1726272
5학년 수학 수업
«
조합론을 만나보세요"
수업 주제:
수업의 목적
:
가능한 옵션을 검색하여 조합 문제의 초기 기술을 공식화합니다.수업 목표:
교육적인:
옵션의 철저한 열거 방법을 사용하여 조합 문제를 해결하는 능력 개발
특정 상황에서 수학 이론을 적용하는 능력을 개발합니다.
학생들에게 수학과 관련된 인문학 요소를 소개합니다.
해결 방법을 독립적으로 선택하는 능력과 선택을 정당화하는 능력 개발
논리적 추론만을 사용하여 문제를 해결하는 능력을 개발합니다.
합리적인 코딩 방법을 선택하는 능력 개발
학생들의 의사소통 및 창의적 능력 개발.
- 수행된 작업의 품질과 결과에 대한 책임감을 키우십시오. 일에 대한 의식적인 태도를 심어주십시오.
- 최종 결과에 대한 책임을 만들어라.
- 대화형 보드; 유인물(색상 줄무늬: 흰색, 파란색, 빨간색); 작업 카드.
- 정리 시간. 새로운 자료를 학습합니다. 실용적인 부분. 반사 마킹 숙제
- 정리 시간.
- 주제와 동기를 업데이트합니다.
- 50 루블, 100 루블, 50 루블, 100 루블; 50 루블, 50 루블, 100 루블, 100 루블 (슬라이드 2 번 및 3 번).
- 새로운 자료를 학습
.
조합론 주어진 규칙에 따라 주어진 요소를 선택하고 배열하는 문제를 해결하는 데 전념하는 수학의 한 분야입니다.
조합 문제의 일반적인 질문은 " 얼마나 많은 방법으로 ...?" 또는
« 옵션이 몇개야? …?»
선생님 : 다시 한 번 플래그 문제로 돌아가서 가능한 옵션의 열거를 사용하여 문제를 해결해 보겠습니다. (슬라이드 번호 7) KBS KSB BSK BKS SBC SKB답변: 6가지 옵션이 있습니다. 그래서 이 문제를 해결하면서 우리는 가능한 옵션을 열거할 수 있는 방법을 찾고 있었습니다. ~ 안에많은 경우 옵션을 나열하는 다이어그램인 그림을 구성하는 것이 유용한 것으로 나타났습니다. 이는 첫째로 분명하며, 둘째로 모든 것을 고려하고 아무것도 놓치지 않을 수 있게 해줍니다.솔루션 플래그
옵션 BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB.
답변: 6가지 옵션이 있습니다.
모든 사람이 답을 알아야 하는 질문: 제시된 깃발 옵션 중 어느 것이 러시아 연방의 국기인지 (슬라이드 번호 7)러시아 국기에만 이 세 가지 색상이 있는 것은 아닙니다. 국기의 색깔이 같은 주가 있습니다.
KBS - 룩셈부르크,
네덜란드.
프랑스 SKB
선생님: 이러한 문제를 논리적 추론을 통해 해결하는 규칙을 찾아보자.
컬러 줄무늬의 예를 살펴보겠습니다. 흰색 줄무늬를 선택하겠습니다. 3번 재배열할 수 있고, 파란색 줄무늬를 사용합니다. 2번만 재배열할 수 있습니다. 장소 중 하나가 이미 흰색 줄무늬로 채워져 있으면 빨간색 줄무늬를 사용하십시오. 한 번만 배치할 수 있습니다.
합계: 3 x 2 x 1=6
작업의 기본 규칙 :
곱셈 규칙: 조합의 첫 번째 요소를 어떤 방식으로 선택할 수 있고 두 번째 요소를 b 방식으로 선택할 수 있으면 총 조합 수는 a x b와 같습니다. . (슬라이드 번호 8)
눈을 위한 운동. (슬라이드 번호 9)
"모양"을 연습하십시오.
눈으로 정사각형, 원, 삼각형, 타원형, 마름모를 시계 방향으로 그린 다음 시계 반대 방향으로 그립니다.
실용적인 부분
선생님: 이제 수학적 문제로 넘어가겠습니다. (과제와 함께 카드를 배포합니다)
꽤 유명한 총사 한 명은 옷장에 우아한 모자 3개, 멋진 망토 4개, 뛰어난 부츠 2켤레를 가지고 있습니다. 그는 얼마나 많은 의상 옵션을 만들 수 있나요? (우리는 세 세트에서 하나의 요소를 선택합니다. 즉, "3"을 만듭니다. 이는 곱셈 규칙에 따라 3 4 2 = 24개의 의상 옵션을 얻음을 의미합니다.)
축구팀에는 11명이 있습니다. 선장과 그의 대리인을 선택해야합니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까? (총 11명이므로 주장을 11가지 방법으로 선택할 수 있으며, 부주장을 선택할 수 있는 선수는 10명이 남습니다. 따라서 주장과 부주장 쌍은 11 10 = 110 에서 선택할 수 있습니다. 방법.)
1, 4, 7이라는 숫자가 반복되면 몇 개의 서로 다른 두 자리 숫자를 만들 수 있나요? (두 자리 숫자를 얻어야 합니다. 두 위치만 있어야 합니다. 첫 번째 위치에는 제안된 숫자 중 하나를 넣을 수 있습니다. 두 번째 위치에는 숫자 반복 가능성을 고려하여 선택할 수 있는 3가지 옵션도 있습니다. 3가지 선택 옵션 즉, 3 3 = 9가지 방법으로 숫자 쌍을 구성한다는 의미입니다. 즉, 9개의 숫자를 얻게 됩니다.
숫자 1, 2, 3, 4, 5에서 반복되는 숫자가 없다면 몇 개의 서로 다른 세 자리 숫자를 만들 수 있습니까? (세 자리 숫자: 첫 번째 위치 - 숫자에 대한 5개 옵션, 숫자 반복 제외를 고려한 두 번째 위치 - 4개 옵션, 세 번째 위치 - 3개 옵션. 5 4 3 = 60개의 숫자를 얻습니다.)
숫자가 다음과 같은 경우 숫자 0, 1, 2, 3에서 몇 개의 서로 다른 두 자리 숫자를 만들 수 있습니까? a) 반복될 수 있습니다. b) 반복할 수 없나요? (a) 여러 자리 숫자와 마찬가지로 두 자리 숫자는 0으로 시작할 수 없습니다. 따라서 첫 번째 위치에는 반복을 고려하여 사용 가능한 4자리 숫자 중 3개 선택 항목 3개만 두 번째 위치에 넣을 수 있습니다. , 원하는 숫자를 입력할 수 있습니다. 4가지 옵션 중에서 선택할 수 있습니다. 따라서 3 4 = 12개의 숫자가 나옵니다. b) 첫 번째 위치 – 3개 옵션, 두 번째 위치 – 3개 옵션 반복은 제외됩니다. 우리는 3 3 = 9개의 숫자를 얻습니다.)
안전 코드는 5개의 서로 다른 숫자로 구성됩니다. 암호를 생성하는 데는 몇 가지 옵션이 있습니까? (5 4 3 2 1 = 120가지 옵션.) 6개의 수저가 있는 테이블에 6명이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? (6 5 4 3 2 1 = 720가지 방법.)
6개 장치?(6 5 4 3 2 1 = 720가지 방법.)
(8 7 6 5 4 = 6720 옵션.)
(사용되는 숫자는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - 총 10자리입니다. 관례에 따라 숫자 시작 부분의 0과 9는 제외됩니다. 반복하면 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8,000,000개의 숫자를 얻습니다.)
- 반사
선생님: 여러분, 우리 수업이 곧 끝나갑니다. 오늘 우리가 목표를 달성했다고 생각하시나요? 그 이유는 무엇인가요? 수업에서 어려웠던 점은 무엇이었나요? 어떻게 대처할 수 있나요? 당신의 일과 일에 대해 생각하고 자신에게 표시를 하고, 스스로 입력하십시오. 누구도 이 표시를 볼 수 없으며 자신에게 솔직해지도록 노력하십시오. 수업에 충분히 참여하셨나요? 더 나은 결과를 얻으려면 어떻게 해야 합니까?
또한 학생들은 3가지 간단한 질문에 답해야 합니다.
오늘 수업에서 나는... (쉽다, 보통, 어렵다)
나는… (배웠고 적용할 수 있었고, 배웠지만 적용하기 어려웠고, 배우지 않았다)
수업에 대한 자부심..
위 질문에 대한 답변에는 서명할 필요가 없습니다. 주요 기능은 교사가 수업과 그 결과를 분석하도록 돕는 것입니다.
요약 . 마킹
선생님: 오늘 많은 분들이 잘 공부하시고 새로운 것을 많이 배워서 정말 기쁘지만, 다음 수업에서는 모두들 집에서 열심히 공부하시고 나쁜 성적을 받지 않으셨으면 좋겠습니다.
7. 숙제 :
1) 수업에 관한 문제를 만들어 보세요.
2) 몇몇 국가에서는 흰색, 파란색, 빨간색 등 다양한 너비, 다양한 색상의 3개 가로 줄무늬 형태로 국기 기호를 사용하기로 결정했습니다. 각 국가마다 고유한 국기가 있다면 얼마나 많은 국가에서 이러한 기호를 사용할 수 있습니까?
3) a) 1, 3, 5, 7, 9의 숫자로 두 자리 숫자를 몇 개 만들 수 있나요?
b) 숫자가 반복되어서는 안된다면 숫자 1, 3, 5, 7, 9에서 두 자리 숫자를 몇 개 만들 수 있습니까?
선생님 : 그래서 만나서 반가웠고, 수학에 관심을 가져주셔서, 의심할 여지 없이 여러분의 생각과 행동에 긍정적인 방식으로 반영될 것입니다. 수업이 끝났습니다. 모두에게 감사드립니다. 안녕히 가세요.
문학:
E.A.부니모비치, V.A. Bulychev. 일반 교육 학교 수학 과정의 확률과 통계: 강의 1-4, 5 – 8. – M.: 교육 대학 “9월 1일”, 2006.
Vilenkin N.Ya. 수학. 5학년: 일반 교육용 교과서. 기관 / N.Ya Vilenkin 및 기타 - M.: Mnemosyna, 2009.
스미칼로바 E.V. 5학년 학생들을 위한 수학에 관한 추가 장. SPb: SMIO. 언론, 2006.
5 학년. "수학-5", I.I. 주바레바, A.G. 모르드코비치, 2004.
작업(카드)
0과 9로 시작하는 숫자를 제외하면 7자리 전화번호는 몇 개나 만들 수 있나요?
꽤 유명한 총사 한 명은 옷장에 우아한 모자 3개, 멋진 망토 4개, 뛰어난 부츠 2켤레를 가지고 있습니다. 그는 얼마나 많은 의상 옵션을 만들 수 있나요?
축구팀에는 11명이 있습니다. 선장과 그의 대리인을 선택해야합니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?
1, 4, 7의 숫자가 반복되면 몇 개의 서로 다른 두 자리 숫자를 만들 수 있는가?
숫자 1, 2, 3, 4, 5에서 반복되는 숫자가 없다면 몇 개의 서로 다른 세 자리 숫자를 만들 수 있습니까?
숫자가 다음과 같은 경우 숫자 0, 1, 2, 3에서 몇 개의 서로 다른 두 자리 숫자를 만들 수 있습니까? a) 반복될 수 있습니다. b) 반복할 수 없나요?
안전 코드는 5개의 서로 다른 숫자로 구성됩니다. 암호를 생성하는 데는 몇 가지 옵션이 있습니까?
다음과 같은 테이블에 6명이 앉을 수 있는 방법의 수는 무엇입니까? 6개 장치?
5학년에서는 8과목을 공부합니다. 이 날에 5개의 수업이 있고 모든 수업이 다른 경우 월요일에 몇 가지 다른 일정 옵션을 만들 수 있습니까?답변
6 5 4 3 2 1 = 720가지 방법
8 7 6 5 4 = 6720 옵션
사용되는 숫자는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - 총 10자리입니다. 규칙에 따라 반복 가능성을 고려하여 숫자 시작 부분의 0과 9를 제외합니다. , 우리는 8 10 10 10 10 10 10 = 8,000,000개의 숫자를 얻습니다.
우리는 세 세트에서 하나의 요소를 선택합니다. 즉, "3"을 구성합니다. 이는 곱셈 규칙에 따라 3 4 2 = 24개의 의상 옵션을 얻음을 의미합니다.
총 11명이 있는데, 즉 주장을 11가지 방법으로 선택할 수 있으며, 부주장을 선택할 수 있는 선수는 10명입니다. 따라서 선장과 부관 한 쌍은 11 10 = 110가지 방법으로 선택될 수 있습니다.
두 자리 숫자(단 두 자리)를 얻어야 합니다. 첫 번째 위치에는 제안된 숫자 중 하나를 넣을 수 있습니다. 3개의 선택 사항이 있고, 두 번째 위치에는 숫자 반복 가능성을 고려하여 3개의 선택 사항도 있습니다. 이는 3 3 = 9 방식으로 숫자 쌍을 구성한다는 의미입니다. 9개의 숫자를 얻게 됩니다.
세 자리 숫자: 첫 번째 위치 - 숫자에 대한 5개 옵션, 두 번째 위치(숫자 반복 제외 고려) - 4개 옵션, 세 번째 위치 - 3개 옵션. 5 4 3 = 60개의 숫자를 얻습니다.
(a) 여러 자리 숫자와 마찬가지로 두 자리 숫자는 0으로 시작할 수 없습니다. 따라서 첫 번째 위치에는 반복을 고려하여 사용 가능한 4자리 숫자 중 3개 선택 항목 3개만 두 번째 위치에 넣을 수 있습니다. , 원하는 숫자를 입력할 수 있습니다. 4가지 옵션 중에서 선택할 수 있습니다. 따라서 3 4 = 12개의 숫자가 나옵니다. b) 첫 번째 위치 – 3개 옵션, 두 번째 위치 – 3개 옵션 반복은 제외됩니다. 우리는 3 3 = 9개의 숫자를 얻습니다.
5 4 3 2 1 = 120가지 옵션.많은 실제적인 문제를 해결하려면 요소의 조합을 사용하고, 주어진 세트에서 특정 속성을 가진 요소를 선택하고, 이를 특정 순서로 배치해야 합니다. 이러한 작업을 호출합니다. 조합의. 주어진 조건에 따라 요소를 선택하고 배열하는 문제를 해결하는 데 전념하는 수학 분야를 조합론이라고 합니다. "조합론"이라는 용어는 라틴어 단어에서 유래되었습니다. "콤비나", 러시아어로 번역되면 "결합하다", "연결하다"를 의미합니다.
선택된 요소 그룹을 연결이라고 합니다. 연결의 모든 요소가 다른 경우 반복 없이 연결을 얻습니다. 이에 대해서는 아래에서 살펴보겠습니다.
대부분의 조합 문제는 두 가지 기본 규칙을 사용하여 해결됩니다. 합계 규칙과 곱 규칙.
작업 1.
Everything for Tea 매장에는 6개의 다양한 컵과 4개의 받침이 있습니다. 몇 개의 컵과 접시 옵션을 구입할 수 있나요?
해결책.
컵은 6가지 방법으로, 접시는 4가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 컵과 접시 한 쌍을 구입해야 하므로 6 · 4 = 24가지 방법으로 이를 수행할 수 있습니다(제품 규칙에 따라).
답: 24.
조합 문제를 성공적으로 해결하려면 필요한 화합물의 수를 찾는 데 사용할 올바른 공식도 선택해야 합니다. 다음 다이어그램이 이에 도움이 될 것입니다. 
반복하지 않고 다양한 유형의 연결에 대한 여러 문제를 해결하는 것을 고려해 보겠습니다.
작업 2.
숫자가 반복될 수 없는 경우 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 숫자로 만들 수 있는 세 자리 숫자의 개수를 찾아보세요.
해결책.
수식을 선택하려면 구성할 숫자에 대해 순서가 고려되고 모든 요소가 동시에 선택되지는 않는다는 것을 알 수 있습니다. 이는 이 연결이 각각 3개씩 7개의 요소로 구성된 배열임을 의미합니다. 배치 수에 대한 공식을 사용하겠습니다: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210개의 숫자.
답: 210.
작업 3.
모든 숫자가 다르고 0으로 시작할 수 없는 7자리 전화번호는 몇 개입니까?
해결책.
언뜻 보면 이 작업은 이전 작업과 동일하지만 처음부터 시작되는 연결을 고려해서는 안 된다는 점이 어렵습니다. 즉, 기존 10자리 전화번호에서 7자리 전화번호를 모두 구성한 다음, 결과 숫자에서 0으로 시작하는 숫자의 수를 빼야 한다는 뜻입니다. 수식은 다음과 같습니다.
A 10 7 – A 9 6 = 10 9 8 7 6 5 4 – 9 8 7 6 5 4 = 544,320.
답: 544 320.
작업 4.
12권의 책을 선반에 배열하고 그 중 5권은 시집을 나란히 배열할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
해결책.
먼저 5권의 모음집이 나란히 있어야 하므로 조건부로 한 권의 책으로 간주하겠습니다. 조합에는 순서가 필수이고 모든 요소가 사용되므로 이는 8요소(7권 + 기존 1권)의 순열임을 의미합니다. 그들의 번호는 R 8입니다. 다음으로 우리끼리 시집만 재배열하겠습니다. 이는 5가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 컬렉션과 기타 도서를 모두 정리해야 하므로 상품 규칙을 사용하겠습니다. 따라서 P 8 · P 5 = 8! · 5!. 방법의 수가 많아질 것이므로 답은 계승의 곱의 형태로 남을 수 있습니다.
답: 8! · 5!
문제 5.
학급에는 남학생 16명, 여학생 12명이 있습니다. 학교 근처를 청소하려면 남학생 4명과 여학생 3명이 필요합니다. 학급의 모든 학생 중에서 몇 가지 방법으로 선택할 수 있습니까?
해결책.
먼저 16명 중 남학생 4명, 여학생 12명 중 3명을 별도로 선택합니다. 배치 순서를 고려하지 않으므로 해당 화합물은 반복이 없는 조합입니다. 남학생과 여학생을 동시에 선택해야 하는 경우 제품 규칙을 사용합니다. 결과적으로, 방법의 수는 다음과 같이 계산됩니다.
C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
답: 400400.
따라서 조합 문제의 성공적인 해결은 조건의 올바른 분석, 구성될 화합물의 유형 결정, 양을 계산하기 위한 적절한 공식의 선택에 달려 있습니다.
아직도 질문이 있으신가요? 조합 문제를 해결하는 방법을 모르시나요?
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많은 조합 문제에서 관심 있는 옵션의 수를 직접 찾는 것은 어려운 것으로 나타났습니다. 그러나 문제 조건이 일부 변경되면 알려진 횟수만큼 원본을 초과하는 여러 옵션을 찾을 수 있습니다. 이 기술을 다중 계산 방법.
1. CLASS라는 단어에는 몇 개의 아나그램이 있습니까?
어려운 점은 이 단어에 두 개의 동일한 문자 C가 있다는 것입니다. 일시적으로 서로 다른 것으로 간주하고 C 1과 C 2를 표시합니다. 그러면 철자 바꾸기 수는 5가 됩니다! = 120. 그러나 문자 C 1과 C 2를 재배열해야만 서로 다른 단어는 실제로 동일한 철자법입니다! 따라서 120개의 철자 바꾸기는 동일한 쌍으로 나누어집니다. 필요한 철자 바꾸기 수는 120/2 = 60입니다.
2. CHARADA라는 단어에는 몇 개의 아나그램이 있습니까?
세 글자 A를 서로 다른 글자 A 1, A 2, A 3으로 세면 6이 됩니다! 철자 바꾸기 그러나 A 1, A 2, A 3 문자를 재배열해야만 서로 만들어진 단어는 실제로 동일한 철자법입니다. 3개가 있으니까! 문자 A 1, A 2, A 3의 순열은 원래 6을 얻었습니다! 철자 바꾸기는 3개의 그룹으로 나뉩니다! 동일하며 서로 다른 철자 바꾸기 수는 6!/3! = 120.
3. 짝수가 하나 이상 포함된 네 자리 숫자는 모두 몇 개입니까?
기록에 홀수만 포함되어 있는 "불필요한" 네 자리 숫자의 수를 찾아보겠습니다. 이러한 숫자는 5 4 = 625개이지만, 4자리 숫자는 총 9000개이므로 필요한 숫자는 9000 – 625 = 8375입니다.
- VERESK, BALAGAN, CITYMAN이라는 단어에 대한 철자 바꾸기 수를 찾으세요.
- BAOBAB, BALLAD, TURN, ANAGRAM, MATHEMATICS, COMBINATORICS, DEFENSE 단어에 대한 철자 바꾸기 수를 찾으세요.
- 1인실, 2인실, 4인실의 3개 호텔 객실에서 7명의 방문객을 수용할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
- 냉장고에 사과 2개, 배 3개, 오렌지 4개가 있습니다. 9일 연속으로 매일 Petya에게 과일 한 조각이 제공됩니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?
- 도시 대회에 참가하려면 학교 최고의 스키 선수 7명 중에서 3명으로 구성된 팀을 선택해야 합니다. 이것은 얼마나 많은 방법으로 이루어질 수 있습니까?
- 시험 전, 교수는 수험생 중 절반에게 나쁜 성적을 주기로 약속했다. 시험에는 20명의 학생이 왔습니다. 그분은 얼마나 많은 방법으로 약속을 이행하실 수 있습니까?
- 다섯 글자 A에서 최대 세 글자 B로 만들 수 있는 단어는 몇 개입니까?
- 초콜릿, 딸기, 우유 아이스크림이 있습니다. 아이스크림 세 개를 살 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
- 피자를 만들 때 치즈에 다양한 성분을 첨가해 특별한 맛을 더한다. Bill은 양파, 버섯, 토마토, 고추, 멸치를 마음대로 사용할 수 있으며 그의 의견으로는 모두 치즈에 추가할 수 있습니다. Bill은 몇 종류의 피자를 만들 수 있나요?
- 범죄 대결의 목격자는 범죄자들이 Mercedes를 타고 도망쳤다는 것을 기억했는데, 그 차량의 번호판에는 문자 T, Z, U와 숫자 3, 7이 포함되어 있습니다(숫자는 처음에 세 개의 문자가 포함되고 그 다음에는 세 개의 숫자가 포함된 줄입니다). . 그러한 숫자는 몇 개입니까?
- 볼록형에는 대각선이 몇 개 있나요? N-정사각형?
- 얼마나 많은 것들이 있나요? N-디지털 숫자?
- 최소한 두 개의 동일한 숫자가 있는 10자리 숫자는 몇 개입니까?
- 주사위는 세 번 던져집니다. 가능한 모든 결과 시퀀스 중에서 6이 적어도 한 번 굴러가는 결과가 있습니다. 몇 개나 있나요?
- 표기법에 숫자 1이 포함된 다섯 자리 숫자는 모두 몇 개입니까?
- 흰색과 검은색 왕이 서로 부딪히지 않고 체스판 위에 놓일 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
- 숫자 10800의 약수는 몇 개입니까?
주제에 대한 요약:
10학년 학생 “B”가 완성함
중등 학교 번호 53
글루호프 미하일 알렉산드로비치
나베레즈니예 첼니
2002년
콘텐츠
| 조합론의 역사에서_______________________________________________ | 3 |
| 합계 규칙_________________________________________________________ | 4 |
| - | |
| 제품 규칙_____________________________________________ | 4 |
| 작업의 예__________________________________________________________ | - |
| 교차 집합_______________________________________________ | 5 |
| 작업의 예__________________________________________________________ | - |
| 오일러 원______________________________________________________________ | - |
| 반복되지 않는 게재위치_____________________________________________ | 6 |
| 작업의 예__________________________________________________________ | - |
| 반복 없는 순열________________________________________________ | 7 |
| 작업의 예__________________________________________________________ | - |
| 반복 없는 조합_______________________________________________ | 8 |
| 작업의 예__________________________________________________________ | - |
| 반복 없는 배치 및 조합______________________________ | 9 |
| 작업의 예__________________________________________________________ | - |
| 반복이 있는 순열________________________________________________ | 9 |
| 작업의 예__________________________________________________________ | - |
| 독립적인 솔루션의 문제점________________________________ | 10 |
| 서지___________________________________ | 11 |
조합론의 역사에서
조합론은 유한 집합의 요소로부터 형성될 수 있는 다양한 유형의 연결을 다룹니다. 조합론의 일부 요소는 2세기 초 인도에서 알려졌습니다. 기원전 이자형. Nydians는 현재 "조합"이라고 불리는 숫자를 계산하는 방법을 알고있었습니다. 12세기에. Bhaskara는 몇 가지 유형의 조합과 순열을 계산했습니다. 인도 과학자들은 시학에서의 사용, 운문 구조 및 시적 작품의 연구와 관련하여 화합물을 연구했다고 믿어집니다. 예를 들어, n 음절 피트의 강세(긴) 및 강세 없는(짧은) 음절의 가능한 조합 계산과 관련됩니다. 과학 분야로서 조합론은 17세기에 형성되었습니다. "산술의 이론과 실제"(1656)라는 책에서 프랑스 작가 A.는 전체 장을 조합과 순열에 할애합니다.
B. Pascal은 그의 "산술 삼각형에 관한 논문"과 "수치 순서에 관한 논문"(1665)에서 이항 계수의 교리를 설명했습니다. P. Fermat는 화합물 이론을 통해 수학적 제곱과 숫자 사이의 연관성을 알고 있었습니다. "조합론"이라는 용어는 라이프니츠가 1665년에 처음으로 조합과 순열 이론의 과학적 기초를 제공한 "조합 기술에 관한 담론"을 출판한 이후 사용되기 시작했습니다. J. Bernoulli는 1713년 자신의 저서 "Ars conjectandi"(예측 기술)의 두 번째 부분에서 처음으로 배치를 연구했습니다. 조합의 현대 상징주의는 19세기에야 교육 매뉴얼의 다양한 저자에 의해 제안되었습니다.
다양한 조합 공식은 유한 집합에 관한 두 가지 기본 설명, 즉 합 규칙과 곱 규칙에서 파생될 수 있습니다.
합계 규칙
유한 집합이 교차하지 않으면 X U Y(또는)의 요소 수는 집합 X의 요소 수와 집합 Y의 요소 수의 합과 같습니다.
즉, 첫 번째 선반에 X책이 있고 두 번째 선반에 Y책이 있는 경우 X+Y 방식으로 첫 번째 또는 두 번째 선반에서 책을 선택할 수 있습니다.
샘플 문제
학생은 수학 분야의 실제 작업을 완료해야 합니다. 그에게는 대수학 17개 주제, 기하학 13개 주제 중에서 선택할 수 있는 기회가 주어졌습니다. 실무를 위해 하나의 주제를 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
솔루션: X=17, Y=13
합계 규칙 X U Y=17+13=30개 주제에 따라.
현금 복권 5장, 스포츠 복권 6장, 자동차 복권 10장이 있습니다. 스포츠 로또나 자동차 복권에서 하나의 티켓을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
해결책: 현금 및 의류 복권은 선택에 관여하지 않으므로 선택지는 6 + 10 = 16개뿐입니다.
상품규칙
요소 X가 k 방식으로 선택되고 요소 Y가 m 방식으로 선택될 수 있는 경우 (X,Y) 쌍은 k*m 방식으로 선택될 수 있습니다.
즉, 첫 번째 선반에 5권의 책이 있고 두 번째 선반에 10권의 책이 있다면 5 * 10 = 50가지 방법으로 첫 번째 선반에서 한 권, 두 번째 선반에서 한 권을 선택할 수 있습니다.
샘플 문제
제본업자는 빨간색, 녹색, 갈색 제본으로 12권의 책을 제본해야 합니다. 그는 얼마나 많은 방법으로 이것을 할 수 있습니까?
해결 방법: 12권, 3색이 있습니다. 즉, 제품 규정에 따라 12*3=36제본 옵션이 가능하다는 의미입니다.
왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어도 같은 다섯 자리 숫자는 모두 몇 개 있습니까?
해결책: 이러한 숫자에서 마지막 숫자는 첫 번째 숫자와 같고 끝에서 두 번째 숫자는 두 번째 숫자와 같습니다. 세 번째 숫자는 무엇이든 됩니다. 이는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다 XYZYX, 여기서 Y와 Z는 임의의 숫자이고 X는 0이 아닙니다. 즉, 곱셈 규칙에 따르면 왼쪽에서 오른쪽으로, 오른쪽에서 왼쪽으로 똑같이 읽을 수 있는 자릿수는 9*10*10=900 옵션입니다.
교차 세트
그러나 집합 X와 Y가 교차하는 경우가 발생하고 다음 공식을 사용합니다.
, 여기서 X와 Y는 세트이며 는 교차 영역입니다. 샘플 문제20명은 영어를 알고 있고 10명은 독일어를 알고 있으며 그 중 5명은 영어와 독일어를 모두 알고 있습니다. 총 몇 명이 있나요?
답: 10+20-5=25명.
오일러 원은 문제를 시각적으로 해결하는 데에도 자주 사용됩니다. 예를 들어:
해외여행을 떠나는 관광객 100명 중 30명은 독일어, 28명은 영어, 42명은 프랑스어를 사용하고, 8명은 영어와 독일어를 동시에 사용하고, 10명은 영어와 프랑스어, 5명은 독일어와 프랑스어, 3명은 세 가지 모두를 사용한다. 언어 관광객들은 어떤 언어도 할 수 없나요?해결책:이 문제의 상태를 그래픽으로 표현해 보겠습니다. 영어를 아는 사람을 원으로 표시하고, 프랑스어를 아는 사람을 다른 원으로, 독일어를 아는 사람을 세 번째 원으로 표시하겠습니다.
세 명의 관광객은 세 가지 언어를 모두 사용합니다. 이는 서클의 일반적인 부분에서 숫자 3을 입력한다는 의미입니다. 10명은 영어와 프랑스어를 사용하고 그 중 3명은 독일어도 사용합니다. 결과적으로 10-3=7명의 사람들은 영어와 프랑스어만 사용합니다.마찬가지로 8-3 = 5명은 영어와 독일어만 구사하고, 5-3 = 2명의 관광객은 독일어와 프랑스어를 구사합니다. 이 데이터를 적절한 부분에 입력합니다.
이제 나열된 언어 중 하나만 사용하는 사람이 몇 명인지 알아보겠습니다. 30명이 독일어를 알고 있지만 그 중 5+3+2=10명이 다른 언어를 사용하므로 독일어를 아는 사람은 20명뿐입니다. 마찬가지로 13명은 영어로 혼자 말하고, 30명은 프랑스어로 혼자 말합니다.문제에 따르면 관광객은 100명에 불과하다. 20+13+30+5+7+2+3=80명의 관광객은 적어도 하나의 언어를 알고 있으므로 20명은 이러한 언어를 전혀 사용하지 않습니다.
반복 없는 게재위치.
6자리 숫자로 모든 숫자가 다르게 만들 수 있는 전화번호는 몇 개입니까?
반복 없는 배치 문제의 예입니다. 여기에는 6개씩 10개의 숫자가 배치되어 있으며, 같은 숫자가 다른 순서로 있는 옵션은 서로 다른 것으로 간주됩니다.
n개의 원소로 구성된 X-집합(m≤n)이라면, 집합 X의 n개의 원소를 m개로 반복하지 않고 배열하는 것을 m개의 원소를 포함하는 순서집합 X라고 하며, m개의 원소를 포함하는 순서집합 X를 호출한다.
n개의 요소가 m으로 배열된 모든 수는 다음과 같이 표시됩니다.
N! - n-팩토리얼(팩토리얼 팩터)은 1부터 임의의 숫자 n까지의 자연 계열 숫자의 곱입니다. 일
남학생 4명이 여학생 6명 중 4명에게 춤을 추도록 요청할 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
해결책: 두 명의 남자가 동시에 같은 여자를 초대할 수 없습니다. 그리고 같은 소녀가 다른 소년과 춤을 추는 옵션은 다른 것으로 간주됩니다.
360가지 옵션이 가능합니다.
반복 없는 순열
n=m인 경우(반복 없는 배치 참조) m의 n 요소를 집합 x의 순열이라고 합니다.
n개 요소의 모든 순열 수는 Pn으로 표시됩니다.
n=m에 유효:
샘플 문제
숫자 0, 1, 2, 3, 4.5에서 숫자가 반복되지 않으면 몇 개의 서로 다른 여섯 자리 숫자를 만들 수 있습니까?
1) 다음 숫자에서 모든 순열의 수를 찾습니다: P 6 =6!=720
2) 0은 숫자 앞에 올 수 없으므로 앞에 0이 오는 순열의 수를 이 숫자에서 빼야 합니다. 그리고 이것은 P 5 =5!=120입니다.
피 6 -피 5 =720-120=600
버릇없는 원숭이
응, 만곡족 미슈카
우리는 4중주 연주를 시작했어요
그만해요, 형제여, 그만해요! –
원숭이가 소리칩니다. - 잠깐만요!
음악은 어떻게 흘러가야 할까요?
결국, 당신은 그렇게 앉아 있지 않습니다 ...
그리고 이런 식으로 그들은 자리를 바꿨습니다. 다시 음악이 잘 나오지 않습니다.
