기본 개념
먼저 정의를 떠올려보자 짝수, 홀수 및 주기 함수.
정의 2
짝수 함수(even function)는 독립 변수의 부호가 변할 때 그 값이 변하지 않는 함수입니다:
정의 3
일정한 간격으로 값을 반복하는 함수:
T - 함수의 기간.
짝수 및 홀수 삼각함수
다음 그림을 고려하십시오(그림 1).
그림 1.
여기서 $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ 및 $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$는 $Ox$ 축에 대해 대칭인 단위 길이의 벡터입니다.
이들 벡터의 좌표는 다음 관계에 의해 관련되어 있음이 분명합니다.
사인과 코사인의 삼각 함수는 삼각법 원 단위를 사용하여 결정될 수 있으므로 사인 함수는 홀수이고 코사인 함수는 짝수 함수가 됩니다. 즉, 다음과 같습니다.
삼각함수의 주기성
다음 그림(그림 2)을 살펴보세요.
그림 2.
여기서 $\overrightarrow(OA)=(x,y)$는 단위 길이의 벡터입니다.
벡터 $\overrightarrow(OA)$를 사용하여 완전한 혁명을 만들어 보겠습니다. 즉, 이 벡터를 $2\pi $ 라디안만큼 회전시켜 보겠습니다. 그 후 벡터는 원래 위치로 완전히 돌아갑니다.
사인과 코사인의 삼각 함수는 삼각법 원 단위를 사용하여 결정될 수 있으므로 다음을 얻습니다.
즉, 사인함수와 코사인함수는 주기 $T=2\pi$가 가장 작은 주기함수이다.
이제 탄젠트와 코탄젠트의 기능을 고려해 보겠습니다. $tgx=\frac(sinx)(cosx)$이므로,
$сtgx=\frac(cosx)(sinx)$이므로,
삼각함수의 패리티, 홀수, 주기성을 이용한 문제의 예
실시예 1
다음 진술을 증명하십시오.
가) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
가) $tg(385)^0=tg(25)^0$
탄젠트는 최소 주기 $(360)^0$를 갖는 주기 함수이므로 다음을 얻습니다.
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
코사인은 최소 주기가 $2\pi $인 짝수 주기 함수이므로 다음을 얻습니다.
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
사인은 최소 주기가 $(360)^0$인 홀수 주기 함수이므로 다음을 얻습니다.
원점을 중심으로 단위원을 구성하고 인수에 임의의 값을 설정하면 x 0축에서 계산 황소모서리 엑스 0, 그러면 단위원의 이 각도는 특정 점에 해당합니다. ㅏ(그림 1) 축에 대한 투영 오점이 있을 겁니다 중. 단면 길이 옴점의 가로좌표의 절대값과 같습니다. ㅏ. 주어진 인수 값 x 0함수 값이 매핑되었습니다. 와이=코사인 엑스 0 가로좌표처럼 ㅏ. 이에 따라 포인트 안에(엑스 0 ;~에 0) 함수의 그래프에 속한다 ~에=코사인 엑스(그림 2). 요점이라면 ㅏ축의 오른쪽에 있습니다 OU, 현재 사인은 양수이지만 왼쪽이면 음수가 됩니다. 하지만 어쨌든 기간 ㅏ서클을 떠날 수 없습니다. 따라서 코사인은 –1에서 1 사이의 범위에 있습니다.
-1 = 왜냐하면 엑스 = 1.
임의의 각도에서 추가 회전, 2의 배수 피, 반환점 ㅏ같은 곳으로. 따라서 기능 와이 =코사인 엑스피:
코사인( 엑스+ 2피) = 왜냐하면 엑스.
절대값은 같지만 부호가 반대인 두 가지 인수 값을 취하면, 엑스그리고 - 엑스, 원에서 대응점을 찾아보세요 엑스그리고 A-x. 그림에서 볼 수 있듯이. 삼 축에 대한 투영 오같은 점이다 중. 그렇기 때문에
코사인(- 엑스) = 왜냐하면 ( 엑스),
저것들. 코사인은 짝수 함수입니다. 에프(–엑스) = 에프(엑스).
이는 함수의 속성을 탐색할 수 있음을 의미합니다. 와이=코사인 엑스세그먼트에 , 그런 다음 패리티와 주기성을 고려합니다.
~에 엑스= 0점 ㅏ축에 놓여있다 오, 가로좌표는 1이므로 cos 0 = 1입니다. 엑스점 ㅏ원 주위를 위쪽 및 왼쪽으로 이동하면 자연스럽게 투영은 왼쪽으로만 이루어지며 x = 피/2 코사인은 0이 됩니다. 포인트 ㅏ이 순간 최대 높이까지 상승한 다음 계속 왼쪽으로 이동하지만 이미 하강하고 있습니다. 가로좌표는 -1과 같은 가장 작은 값에 도달할 때까지 감소합니다. 엑스= 피. 따라서 간격에 따라 함수는 ~에=코사인 엑스 1에서 –1까지 단조롭게 감소합니다(그림 4, 5).
코사인의 패리티로부터 간격 [- 피, 0] 함수는 –1에서 1까지 단조롭게 증가하며, 에서 0 값을 취합니다. x =–피/2. 여러 기간을 거치면 물결 모양의 곡선이 나타납니다(그림 6).
그래서 기능은 와이=코사인 엑스포인트에서 0 값을 취합니다. 엑스= 피/2 + kp, 어디 케이 -임의의 정수. 1과 동일한 최대값은 포인트에서 달성됩니다. 엑스= 2kp, 즉. 2단계로 피, 최소값은 지점에서 -1과 같습니다. 엑스= 피 + 2kp.
함수 y = 죄 x.
단위원 코너에 엑스 0은 점에 해당합니다. ㅏ(그림 7), 축에 대한 투영 OU점이 있을 겁니다 N.지함수값 와이 0 =죄 x 0점의 세로좌표로 정의됨 ㅏ. 점 안에(모서리 엑스 0 ,~에 0) 함수의 그래프에 속한다 와이= 죄 엑스(그림 8). 그 기능은 분명하다. 와이 =죄 엑스주기적, 해당 기간은 2입니다. 피:
죄 ( 엑스+ 2피) = 죄 ( 엑스).
두 인수 값의 경우 엑스그리고 - , 해당 지점의 투영 엑스그리고 A-x축당 OU점을 기준으로 대칭으로 위치 에 대한. 그렇기 때문에
죄(- 엑스) = -죄 ( 엑스),
저것들. 사인은 홀수 함수입니다. f(– 엑스) = -f( 엑스) (그림 9).
요점이라면 ㅏ점을 기준으로 회전 에 대한비스듬히 피/2 시계 반대 방향(즉, 각도가 엑스증가하다 피/2), 새 위치의 세로 좌표는 이전 위치의 세로 좌표와 같습니다. 즉
죄 ( 엑스+ 피/2) = 왜냐하면 엑스.
그렇지 않으면 사인은 다음과 같이 "늦은" 코사인이 됩니다. 피/2, 인수가 다음과 같이 증가하면 모든 코사인 값은 사인에서 "반복"되기 때문입니다. 피/2. 그리고 사인 그래프를 만들려면 코사인 그래프를 다음만큼 이동하는 것으로 충분합니다. 피/2 오른쪽 (그림 10). 사인의 매우 중요한 속성은 등식으로 표현됩니다.
평등의 기하학적 의미는 그림에서 볼 수 있습니다. 11. 여기 엑스 -이것은 반 호입니다 AB, 죄 엑스 -해당 코드의 절반. 확실히 포인트가 가까워질수록 ㅏ그리고 안에현의 길이는 점점 호의 길이에 가까워지고 있습니다. 동일한 그림에서 부등식을 도출하는 것은 쉽습니다.
|죄 엑스| x|, 모든 경우에 해당 엑스.
수학자들은 공식(*)을 놀라운 한계라고 부릅니다. 특히 그로부터 다음과 같은 죄가 나온다. 엑스» 엑스작게 엑스.
기능 ~에= TG 엑스, 와이=ctg 엑스. 다른 두 삼각함수인 탄젠트와 코탄젠트는 이미 우리에게 알려진 사인과 코사인의 비율로 가장 쉽게 정의됩니다.
사인, 코사인과 마찬가지로 탄젠트와 코탄젠트는 주기 함수이지만 주기는 동일합니다. 피, 즉. 사인과 코사인의 절반 크기입니다. 그 이유는 분명합니다. 사인과 코사인이 모두 부호를 변경하면 비율은 변경되지 않습니다.
탄젠트의 분모에는 코사인이 포함되어 있으므로 코사인이 0인 지점에서는 탄젠트가 정의되지 않습니다. 엑스= 피/2 +kp. 다른 모든 지점에서는 단조롭게 증가합니다. 직접 엑스= 피/2 + kp접선의 경우 수직 점근선입니다. 포인트에서 kp접선과 기울기는 각각 0과 1입니다(그림 12).
코탄젠트는 사인이 0인 경우 정의되지 않습니다( x = kp). 다른 지점에서는 단조롭게 감소하고 직선 x = kp – 수직 점근선. 포인트에서 x = p/2 +kp코탄젠트는 0이 되고, 이 지점에서의 기울기는 –1과 같습니다(그림 13).
패리티와 주기성.
함수는 다음과 같은 경우에도 호출됩니다. 에프(–엑스) = 에프(엑스). 코사인 및 시컨트 함수는 짝수이고 사인, 탄젠트, 코탄젠트 및 코시컨트 함수는 홀수입니다.
| 죄(–α) = – 죄 α | 탄(–α) = – 탄 α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| 초(–α) = 초 α | cosec (–α) = – cosec α |
패리티 속성은 점의 대칭을 따릅니다. 피와 아르 자형- ㅏ (그림 14) 축을 기준으로 엑스. 이러한 대칭으로 인해 점의 세로 좌표는 부호(( 엑스;~에) 로 이동 ( 엑스; –у)). 모든 함수 - 주기, 사인, 코사인, 시컨트 및 코시컨트의 주기는 2입니다. 피, 탄젠트와 코탄젠트 - 피:
| 죄 (α + 2 크르) = 죄 α | cos(α+2 크르) = cos α |
| tg(α+ 크르) = 탄 α | 유아용침대(α+ 크르) = 코그 α |
| 초(α + 2 크르) = 초 α | 코섹(α+2 크르) = 코초 α |
사인과 코사인의 주기성은 모든 점이 피 a+2 kp, 어디 케이= 0, ±1, ±2,…, 일치하며 탄젠트와 코탄젠트의 주기성은 점들이 피에이+ kp교대로 원의 정반대 두 점으로 떨어지며 접선 축에 동일한 점을 제공합니다.
삼각 함수의 주요 속성은 표로 요약할 수 있습니다.
| 기능 | 도메인 | 여러 의미 | 동등 | 단조로운 영역 ( 케이= 0, ± 1, ± 2,…) |
| 죄 엑스 | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | 이상한 | 증가 엑스오((4 케이 – 1) 피 /2, (4케이 + 1) 피/2), 감소 엑스오((4 케이 + 1) 피 /2, (4케이 + 3) 피/2) |
| 코사인 엑스 | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | 심지어 | 다음으로 증가 엑스오((2 케이 – 1) 피, 2kp), 감소 엑스오(2 kp, (2케이 + 1) 피) |
| tg 엑스 | 엑스 № 피/2 + 피케이 | (–Ґ , +Ґ ) | 이상한 | 증가 엑스오((2 케이 – 1) 피 /2, (2케이 + 1) 피 /2) |
| CTG 엑스 | 엑스 № 피케이 | (–Ґ , +Ґ ) | 이상한 | 감소하다 엑스에 대한 ( kp, (케이 + 1) 피) |
| 비서 엑스 | 엑스 № 피/2 + 피케이 | (–Ґ , –1] AND [+1, +Ґ ) | 심지어 | 다음으로 증가 엑스오(2 kp, (2케이 + 1) 피), 감소 엑스오((2 케이– 1) 피, 2 kp) |
| 코섹 엑스 | 엑스 № 피케이 | (–Ґ , –1] AND [+1, +Ґ ) | 이상한 | 증가 엑스오((4 케이 + 1) 피 /2, (4케이 + 3) 피/2), 감소 엑스오((4 케이 – 1) 피 /2, (4케이 + 1) 피 /2) |
감소 공식.
이 공식에 따르면 인수 a의 삼각 함수 값은 다음과 같습니다. 피/2 a p 는 인수 함수 a 의 값으로 축소될 수 있습니다. 여기서 0 a p /2는 동일하거나 상보적입니다.
| 인수 b |  -ㅏ |
+a | 피-ㅏ | 피+a | +a | +a | 2피-ㅏ |
| 죄 b | 왜냐하면 | 왜냐하면 | 죄를 짓다 | -죄 | -코사인 | -코사인 | -죄 |
| 왜냐하면 B | 죄를 짓다 | -죄 | -코사인 | -코사인 | -죄 | 죄를 짓다 | 왜냐하면 |
따라서 삼각 함수 표에는 예각에 대해서만 값이 제공되며 예를 들어 사인 및 탄젠트로 제한하는 것으로 충분합니다. 표에는 사인과 코사인에 대해 가장 일반적으로 사용되는 공식만 표시되어 있습니다. 이것으로부터 탄젠트와 코탄젠트에 대한 공식을 쉽게 얻을 수 있습니다. 형식의 인수에서 함수를 캐스팅할 때 kp/2 ± a, 여기서 케이– 인수 a의 함수에 대한 정수:
1) 다음과 같은 경우 함수 이름이 저장됩니다. 케이다음과 같은 경우 "보완적"으로 변경됩니다. 케이이상한;
2) 오른쪽의 부호는 해당 지점의 환원 함수 부호와 일치합니다. kp각도 a가 예각이면 /2 ± a입니다.
예를 들어 ctg(a – 피/2) 우리는 – 피/2 at 0 a p /2는 코탄젠트가 음수인 네 번째 사분면에 있으며, 규칙 1에 따라 함수 이름을 ctg(a – 피/2) = -tg a .
추가 공식.
여러 각도에 대한 공식.
이 공식은 덧셈 공식에서 직접 파생됩니다.
죄 2a = 2 죄 a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – 죄 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 죄 2 a ;
죄 3a = 3 죄 a – 4 죄 3 a;
cos 3a = 4 cos 3a – 3 cos a ;
cos 3a의 공식은 François Viète가 삼차 방정식을 풀 때 사용했습니다. 그는 cos에 대한 표현을 처음으로 발견했습니다. N와 죄 N a는 나중에 Moivre의 공식에서 더 간단한 방법으로 얻어졌습니다.
이중 인수 수식에서 a를 /2로 바꾸면 반각 수식으로 변환될 수 있습니다.
범용 대체 공식.
이러한 공식을 사용하면 동일한 인수의 다른 삼각 함수와 관련된 표현식을 단일 함수 tg(a /2)의 유리식으로 다시 작성할 수 있으며, 이는 일부 방정식을 풀 때 유용할 수 있습니다.
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합계를 곱으로, 곱을 합계로 변환하는 공식입니다.
컴퓨터가 출현하기 전에는 이러한 공식을 사용하여 계산을 단순화했습니다. 계산은 로그 테이블을 사용하여 수행되었으며 나중에는 슬라이드 규칙을 사용했습니다. 로그는 숫자를 곱하는 데 가장 적합하므로 원래의 모든 표현식은 로그화에 편리한 형식으로 만들어졌습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
2 죄 ㅏ죄 b = cos ( a~b) – 왜냐하면 ( a+b);
2cos ㅏ코사인 비=코사인( a~b) + 왜냐하면 ( a+b);
2 죄 ㅏ코사인 비= 죄( a~b) + 죄 ( a+b).
탄젠트 및 코탄젠트 함수에 대한 공식은 위에서 얻을 수 있습니다.
학위 감소 공식.
다중 인수 공식에서 다음 공식이 파생됩니다.
| 죄 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2a = (1 + cos 2a )/2; |
| 죄 3a = (3 죄 a – 죄 3a)/4; | 왜냐하면 3A = (3코사인 a + 왜냐하면 3가)/4. |
이러한 공식을 사용하면 삼각 방정식을 더 낮은 방정식으로 줄일 수 있습니다. 같은 방식으로 사인과 코사인의 더 높은 거듭제곱에 대한 감소 공식을 유도할 수 있습니다.
| 삼각함수의 미분과 적분 | |
| (죄 엑스)` = 왜냐하면 엑스; | (코사인 엑스)` = -죄 엑스; |
| (tg 엑스)` = ; | (ctg 엑스)` = – ; |
| 죄를 짓지 않는다 xdx= -cos 엑스 + 씨; | 왜냐하면 xdx= 죄 엑스 + 씨; |
| t tg xdx= –ln|코사인 엑스| + 씨; | tctg xdx = ln|죄 엑스| + 씨; |
정의 영역의 각 지점에서 각 삼각 함수는 연속적이고 무한히 미분 가능합니다. 또한, 삼각함수의 미분은 삼각함수이며, 적분하면 삼각함수 또는 그 로그도 구해진다. 삼각 함수의 합리적인 조합의 적분은 항상 기본 함수입니다.
멱급수와 무한곱의 형태로 삼각함수를 표현합니다.
모든 삼각함수는 멱급수로 확장될 수 있습니다. 이 경우 함수 sin 엑스비코스 엑스행으로 표시됩니다. 모든 값에 대해 수렴 엑스:
이 계열을 사용하여 죄에 대한 대략적인 표현을 얻을 수 있습니다. 엑스그리고 왜냐하면 엑스작은 값으로 엑스:
에서 | 엑스| p/2;
0x에서| 피
(비 n – 베르누이 수).
죄 기능 엑스그리고 왜냐하면 엑스무한한 곱의 형태로 표현될 수 있다:
삼각법 시스템 1, cos 엑스,죄 엑스, 왜냐하면 2 엑스, 죄 2 엑스,¼,cos nx,죄 nx, ¼, 세그먼트에 형성 [- 피, 피] 함수의 직교 시스템으로, 함수를 삼각 급수 형태로 표현하는 것이 가능합니다.
복소 평면에 대한 실수 인수의 해당 삼각 함수의 분석적 연속으로 정의됩니다. 응, 죄야 지그리고 왜냐하면 지죄에 대한 계열을 사용하여 정의할 수 있습니다. 엑스그리고 왜냐하면 엑스, 대신에 엑스놓다 지:
이 급수는 평면 전체에 걸쳐 수렴하므로 죄 지그리고 왜냐하면 지- 전체 기능.
탄젠트와 코탄젠트는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
tg 기능 지그리고 ctg 지– 메로모픽 기능. tg 극 지그리고 초 지– 단순(1차) 및 지점에 위치 z = p/2 + pn,극 ctg 지그리고 코섹 지– 또한 간단하고 지점에 위치 지 = 피엔, n = 0, ±1, ±2,…
실수 인수의 삼각 함수에 유효한 모든 공식은 복소수 함수에도 유효합니다. 특히,
죄(- 지) = -죄 지,
코사인(- 지) = 왜냐하면 지,
tg(- 지) = -tg 지,
CTG(- 지) = –ctg 지,
저것들. 짝수 및 홀수 패리티가 유지됩니다. 수식도 저장됩니다
죄 ( 지 + 2피) = 죄 지, (지 + 2피) = 왜냐하면 지, (지 + 피) = TG 지, (지 + 피) = CTG 지,
저것들. 주기성도 보존되며 주기는 실제 논증의 함수와 동일합니다.
삼각 함수는 순전히 허수 인수의 지수 함수로 표현될 수 있습니다.
뒤쪽에, 이즈 cos로 표현 지그리고 죄 지공식에 따르면:
이즈=코사인 지 + 나죄 지
이러한 공식을 오일러의 공식이라고 합니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 1743년에 이를 개발했습니다.
삼각함수는 쌍곡선 함수로 표현될 수도 있습니다:
지 = –나쉿 이즈, cos z = ch iz, z = –i 번째 iz.
여기서 sh, ch 및 th는 쌍곡선 사인, 코사인 및 탄젠트입니다.
복소수 인수의 삼각 함수 z = x + iy, 어디 엑스그리고 와이– 실수는 실수 인수의 삼각함수와 쌍곡선 함수를 통해 표현될 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
죄 ( x + 나) = 죄 엑스채널 와이 + 나코사인 엑스쉿 와이;
코사인( x + 나) = 왜냐하면 엑스채널 와이 + 나죄 엑스쉿 와이.
복소수 인수의 사인과 코사인은 절대값으로 1보다 큰 실수값을 취할 수 있습니다. 예를 들어:
알 수 없는 각도가 삼각 함수의 인수로 방정식에 입력되면 방정식을 삼각법이라고 합니다. 이러한 방정식은 너무 일반적이어서 해당 방법이 솔루션은 매우 상세하고 신중하게 개발되었습니다. 와 함께다양한 기술과 공식을 사용하여 삼각 방정식은 다음 형식의 방정식으로 축소됩니다. 에프(엑스)=a, 어디 에프– 사인, 코사인, 탄젠트 또는 코탄젠트 등 가장 간단한 삼각 함수 중 하나입니다. 그런 다음 주장을 표현하십시오. 엑스이 함수는 알려진 값을 통해 ㅏ.
삼각함수는 주기적이므로, ㅏ값의 범위에서 인수의 값은 무한히 많으며 방정식의 해는 다음의 단일 함수로 작성할 수 없습니다. ㅏ. 따라서 각 주요 삼각 함수의 정의 영역에서 모든 값을 각각 한 번만 취하는 섹션이 선택되고 이에 반대되는 함수가 이 섹션에서 발견됩니다. 이러한 함수는 원래 함수의 이름에 접두사 arc(arc)를 추가하여 표시되며 역삼각법이라고 합니다. 함수 또는 단순히 호 함수입니다.
역삼각함수.
죄를 위해 엑스, 코사인 엑스, tg 엑스그리고 ctg 엑스역함수를 정의할 수 있습니다. 이에 따라 arcsin으로 표시됩니다. 엑스("아크사인"을 읽어보세요 엑스"), 아르코스 엑스, 아크탄 엑스그리고 arcctg 엑스. 정의에 따르면, 아크신 엑스그런 숫자가 있어요 와이,무엇
죄 ~에 = 엑스.
다른 역삼각함수도 마찬가지입니다. 그러나 이 정의에는 약간의 부정확성이 있습니다.
죄를 반성하면 엑스, 코사인 엑스, tg 엑스그리고 ctg 엑스좌표 평면의 첫 번째 및 세 번째 사분면의 이등분선을 기준으로 하면 주기성으로 인해 함수가 모호해집니다. 무한한 수의 각도가 동일한 사인(코사인, 탄젠트, 코탄젠트)에 해당합니다.
모호함을 없애기 위해 너비가 다음과 같은 곡선 섹션을 사용합니다. 피, 이 경우 인수와 함수 값 사이에 일대일 대응이 유지되어야 합니다. 좌표 원점 근처의 영역이 선택됩니다. 사인의 경우 "일대일 간격"으로 우리는 세그먼트 [- 피/2, 피/2], 코사인에 대해 사인이 -1에서 1로 단조롭게 증가합니다. 세그먼트, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 각각 간격(- 피/2, 피/2) 및 (0, 피). 간격의 각 곡선은 이등분선을 기준으로 반영되며 이제 역삼각 함수를 결정할 수 있습니다. 예를 들어 인수 값을 지정해 보겠습니다. x 0 , 0 Ј 엑스 0 Ј 1. 그러면 함수의 값 와이 0 = 아크신 엑스 0 의미는 하나뿐이겠지 ~에 0 , 그런 - 피/2 Ј ~에 0 Ј 피/2 및 엑스 0 = 죄 와이 0 .
따라서 아크사인은 아크사인의 함수입니다. ㅏ, 구간 [-1, 1]에 정의되고 각각 동일 ㅏ그러한 가치에 – 피/2 a p /2 그 죄 a = ㅏ.단위원을 이용하여 표현하면 매우 편리하다(Fig. 15). 언제 | 에 | 1 원 위에 세로 좌표가 있는 두 점이 있습니다. ㅏ, 축에 대해 대칭 유.그 중 하나는 각도에 해당합니다. ㅏ= 아크신 ㅏ, 그리고 다른 하나는 코너야 p-a. 와 함께사인의 주기성을 고려하여 방정식 sin을 해결합니다. 엑스= ㅏ다음과 같이 작성됩니다.
x =(–1)N아크신 ㅏ + 2피엔,
어디 N= 0, ±1, ±2,...
다른 간단한 삼각 방정식도 같은 방법으로 풀 수 있습니다.
코사인 엑스 = ㅏ, –1 =ㅏ= 1;
x =±아르코스 ㅏ + 2피엔,
어디 피= 0, ±1, ±2,...(그림 16);
tg 엑스 = ㅏ;
엑스= 아크탄 ㅏ + 피 N,
어디 n = 0, ±1, ±2,...(그림 17);
CTG 엑스= ㅏ;
엑스= arcctg ㅏ + 피 N,
어디 n = 0, ±1, ±2,...(그림 18).
역삼각함수의 기본 속성:
아크신 엑스(그림 19): 정의 영역 – 세그먼트 [-1, 1]; 범위 - [- 피/2, 피/2], 단조 증가 함수;
아르코스 엑스(그림 20): 정의 영역 - 세그먼트 [-1, 1]; 범위 - ; 단조 감소 함수;
아크트그 엑스(그림 21): 정의 영역 – 모든 실수; 값의 범위 – 간격 (– 피/2, 피/2); 단조 증가 함수; 똑바로 ~에= –피/2 및 y = p /2 -수평 점근선;
arcctg 엑스(그림 22): 정의 영역 – 모든 실수; 값의 범위 – 간격(0, 피); 단조 감소 함수; 똑바로 와이= 0 및 와이 = 피– 수평 점근선.
왜냐하면 복소수 sin의 삼각 함수 지그리고 왜냐하면 지(실제 인수의 함수와 달리) 모든 복소수 값을 취한 다음 방정식 sin 지 = ㅏ그리고 왜냐하면 지 = ㅏ모든 복잡한 솔루션을 보유하고 있습니다. 엑스그리고 와이실수이고 불평등이 적용됩니다.
½| 이\e y–에-이| ≤|죄 지|≤½( 이 +이-와이),
½| 어이–에-이| ≤|코사인 지|≤½( e y +e -y),
그 중 와이® Ґ 점근식은 다음과 같습니다(균일하게 엑스)
|죄 지| » 1/2 이자형 |와이| ,
|cos 지| » 1/2 이자형 |와이| .
삼각함수는 천문학과 기하학 연구와 관련하여 처음 등장했습니다. 본질적으로 삼각함수인 삼각형과 원의 선분 비율은 이미 3세기에 발견되었습니다. 기원전 이자형. 고대 그리스 수학자들의 작품에서 – 그러나 유클리드, 아르키메데스, 페르가의 아폴로니우스 등은 이러한 관계가 독립적인 연구 대상이 아니었기 때문에 삼각함수 자체를 연구하지 않았습니다. 그들은 처음에는 세그먼트로 간주되었으며 이 형태에서는 Aristarchus(기원전 4세기 후반~3세기 후반), Hipparchus(BC 2세기), Menelaus(AD 1세기) 및 Ptolemy(AD 2세기)가 사용했습니다. 구형 삼각형 풀기. 프톨레마이오스는 30인치마다 10-6의 정확도로 예각에 대한 첫 번째 화음 표를 편집했습니다. 이것이 첫 번째 사인 표였습니다. 비율로 함수 sin a는 이미 Aryabhata(5세기 말)에서 발견됩니다. tg a 및 ctg a 함수는 al- Battani(9세기 후반 - 10세기 초) 및 Abul-Vefa(10세기)에서 발견되며 sec a 및 cosec a도 사용합니다... Aryabhata는 이미 공식을 알고 있었습니다( sin 2 a + cos 2 a) = 1, 그리고 반각의 sin 및 cos 공식을 사용하여 3°45" 각도에 대한 사인 표를 만들었습니다. 가장 간단한 인수에 대해 알려진 삼각 함수 값을 기반으로 합니다. Bhaskara(12세기)는 덧셈 공식을 사용하여 1의 관점에서 표를 구성하는 방법을 제시했습니다. 다양한 논증의 삼각 함수의 합과 차이를 곱으로 변환하는 공식은 Regiomontanus(15세기)와 J. Napier가 로그 발명(1614)과 관련하여 유도했습니다. Regiomontan은 1" 단위의 사인 값 표를 제공했습니다. 삼각 함수를 거듭제곱 계열로 확장한 것은 I. Newton(1669)에 의해 얻어졌습니다. 삼각 함수 이론은 L. Euler( 18세기) 그는 실제적이고 복잡한 논증에 대한 정의를 소유하고 있으며 현재 상징주의로 받아들여지고 지수 함수와 사인 및 코사인 시스템의 직교성과의 연결을 설정합니다.
|BD| - 점 A를 중심으로 하는 원호의 길이.
α는 라디안으로 표시되는 각도입니다.
탄젠트( 황갈색 α)는 직각삼각형의 빗변과 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각함수로, 반대쪽 다리 길이의 비율 |BC| 인접한 다리의 길이에 |AB| .
코탄젠트( CTG α)는 직각 삼각형의 빗변과 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수로, 인접한 다리 길이의 비율 |AB| 반대쪽 다리 길이만큼 |BC| .
접선
어디 N- 전체.
서양 문헌에서 탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
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접선 함수 그래프, y = tan x
코탄젠트
어디 N- 전체.
서양 문헌에서 코탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
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다음 표기법도 허용됩니다.
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;
.
코탄젠트 함수 그래프, y = ctg x
탄젠트와 코탄젠트의 속성
주기성
함수 y = tg x그리고 y = CTG X주기가 π인 주기적입니다.
동등
탄젠트 및 코탄젠트 함수는 홀수입니다.
정의 및 가치의 영역, 증가, 감소
탄젠트 및 코탄젠트 함수는 정의 영역에서 연속입니다(연속성 증명 참조). 탄젠트와 코탄젠트의 주요 속성은 표에 나와 있습니다 ( N- 전체).
| 와이 = tg x | 와이 = CTG X | |
| 범위와 연속성 | ||
| 값의 범위 | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| 증가 | - | |
| 내림차순 | - | |
| 과격한 수단 | - | - |
| 0, y = 0 | ||
| 세로축으로 점을 가로채고, x = 0 | 와이 = 0 | - |
방식
사인과 코사인을 사용한 표현식
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합과 차이의 탄젠트와 코탄젠트 공식
나머지 공식은 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어
접선의 곱
탄젠트의 합과 차이에 대한 공식
이 표는 인수의 특정 값에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값을 나타냅니다. 
복소수를 사용한 표현식
쌍곡선 함수를 통한 표현
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;
파생상품
; .
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함수의 변수 x에 대한 n차 도함수:
.
탄젠트 공식 도출 > > > ; 코탄젠트의 경우 > > >
적분
시리즈 확장
x의 거듭제곱으로 접선의 확장을 얻으려면 함수에 대한 거듭제곱의 확장에 대한 여러 항을 취해야 합니다. 죄 x그리고 왜냐하면 x그리고 이 다항식을 서로 나누면 . 그러면 다음과 같은 공식이 생성됩니다.
에 .
에 .
어디 대- 베르누이 수. 이는 재발 관계에서 결정됩니다.
;
;
어디 .
또는 Laplace의 공식에 따르면: 
역함수
탄젠트와 코탄젠트의 역함수는 각각 아크탄젠트와 아크코탄젠트입니다.
아크탄젠트, arctg
, 어디 N- 전체.
아크코탄젠트, arcctg
, 어디 N- 전체.
참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.
G. Korn, 과학자 및 엔지니어를 위한 수학 핸드북, 2012.
기본 개념
먼저 정의를 떠올려보자 짝수, 홀수 및 주기 함수.
정의 2
짝수 함수(even function)는 독립 변수의 부호가 변할 때 그 값이 변하지 않는 함수입니다:
정의 3
일정한 간격으로 값을 반복하는 함수:
T - 함수의 기간.
짝수 및 홀수 삼각함수
다음 그림을 고려하십시오(그림 1).
그림 1.
여기서 $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ 및 $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$는 $Ox$ 축에 대해 대칭입니다. 벡터 하나의길이.
이들 벡터의 좌표는 다음 관계에 의해 관련되어 있음이 분명합니다.
사인과 코사인의 삼각 함수는 삼각법 원 단위를 사용하여 결정될 수 있으므로 사인 함수는 홀수이고 코사인 함수는 짝수 함수가 됩니다. 즉, 다음과 같습니다.
삼각함수의 주기성
다음 그림(그림 2)을 살펴보세요.
그림 2.
여기서 $\overrightarrow(OA)=(x,y)$는 단위 길이의 벡터입니다.
벡터 $\overrightarrow(OA)$를 사용하여 완전한 혁명을 만들어 보겠습니다. 즉, 이 벡터를 $2\pi $ 라디안만큼 회전시켜 보겠습니다. 그 후 벡터는 원래 위치로 완전히 돌아갑니다.
사인과 코사인의 삼각 함수는 삼각법 원 단위를 사용하여 결정될 수 있으므로 다음을 얻습니다.
즉, 사인함수와 코사인함수는 주기 $T=2\pi$가 가장 작은 주기함수이다.
이제 탄젠트와 코탄젠트의 기능을 고려해 보겠습니다. $tgx=\frac(sinx)(cosx)$이므로,
$сtgx=\frac(cosx)(sinx)$이므로,
삼각함수의 패리티, 홀수, 주기성을 이용한 문제의 예
실시예 1
다음 진술을 증명하십시오.
가) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
가) $tg(385)^0=tg(25)^0$
탄젠트는 최소 주기 $(360)^0$를 갖는 주기 함수이므로 다음을 얻습니다.
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
코사인은 최소 주기가 $2\pi $인 짝수 주기 함수이므로 다음을 얻습니다.
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
사인은 최소 주기가 $(360)^0$인 홀수 주기 함수이므로 다음을 얻습니다.
