매개변수로 부등식을 해결합니다.

형식이 ax > b, ax인 부등식< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются 선형 불평등.

매개변수로 선형 부등식을 푸는 원리는 매개변수로 선형 방정식을 푸는 원리와 매우 유사합니다.

예 1

부등식 5x - a > ax + 3을 풉니다.

해결책.

먼저 원래 부등식을 변환해 보겠습니다.

5x - ax > a + 3, 부등식의 왼쪽에 있는 대괄호에서 x를 꺼냅니다.

(5 - a) x > a + 3. 이제 매개변수 a에 대해 가능한 경우를 고려하십시오.

a > 5이면 x< (а + 3) / (5 – а).

a = 5이면 솔루션이 없습니다.

만약< 5, то x >(a + 3) / (5 - a).

이 솔루션은 불평등에 대한 답이 될 것입니다.

예 2

부등식 x(a - 2) / (a - 1) - 2a / 3 ≤ 2x - a ≠ 1에 대해 해결하십시오.

해결책.

원래 부등식을 변환해 보겠습니다.

엑스(아 - 2) / (아 - 1) - 2x ≤ 2a/3 - 아;

아/(a – 1) ≤ -a/3. 부등식의 두 부분에 (-1)을 곱하면 다음을 얻습니다.

ax/(a – 1) ≥ a/3. 매개변수 a에 대해 가능한 경우를 살펴보겠습니다.

1건. a/(a – 1) > 0 또는 a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞)라고 합니다. 그러면 x ≥ (а – 1)/3입니다.

두 번째 경우. a/(а – 1) = 0, 즉 a = 0. 그러면 x는 임의의 실수입니다.

세 번째 경우. 하자 a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

답: x € [(a - 1) / 3; +∞) €의 경우 (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] €의 경우 (0; 1);
x € R for a = 0.

예 3

부등식 |1 + x| ≤ x에 대한 ax.

해결책.

이는 부등식 도끼의 오른쪽이 음수가 아니어야 한다는 조건에서 따릅니다. ax ≥ 0. 모듈 확장 규칙에 따라 |1 + x| ≤ 도끼 이중 부등식

도끼 ≤ 1 + x ≤ 도끼. 결과를 시스템 형식으로 다시 작성합니다.

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

다음 형식으로 변환해 보겠습니다.

((а – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

간격과 지점에서 결과 시스템을 조사합니다. (그림 1):

a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a - 1)]의 경우.

-1에서< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

a \u003d 0 x \u003d -1일 때.

0에서< а ≤ 1 решений нет.

불평등을 해결하기 위한 그래픽 방법

플로팅은 매개변수를 포함하는 방정식의 해를 크게 단순화합니다. 매개변수를 사용하여 부등식을 해결하는 데 그래픽 방법을 사용하는 것이 훨씬 더 명확하고 편리합니다.

형식의 부등식에 대한 그래픽 솔루션 에프(엑스) ≥ 지(엑스) 함수의 그래프가있는 변수 x의 값을 찾는 것을 의미합니다 에프(엑스) 함수의 그래프 위에 놓이는 지(엑스). 이렇게 하려면 항상 그래프의 교차점을 찾아야 합니다(존재하는 경우).

예 1

부등식 |x + 5|< bx.

해결책.

우리는 함수 y = |x + 5|의 그래프를 만듭니다. 그리고 y = bx (그림 2). 부등식의 해는 함수 y = |x + 5| 함수 y = bx의 그래프 아래에 있습니다.

그림은 다음을 보여줍니다.

1) b > 1인 경우 선이 교차합니다. 이러한 함수 그래프의 교차점의 가로 좌표는 x = 5/(b - 1)인 방정식 x + 5 = bx의 해입니다. 그래프 y \u003d bx는 간격 (5 / (b - 1); +∞)에서 x에 대해 더 높으며, 이는 이 세트가 불평등에 대한 솔루션임을 의미합니다.

2) 마찬가지로 -1에서 찾을 수 있습니다.< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b - 1))인 경우.

4) 0 ≤ b ≤ 1인 경우 그래프가 교차하지 않으므로 부등식에 해가 없습니다.

답: b ≤ -1인 경우 x € (-∞; 5/(b - 1));
-1에서 x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1))< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1에 대한 해가 없습니다. b > 1인 경우 x € (5/(b – 1); +∞).

예 2

부등식 a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4)를 풉니다.

해결책.

1) 파라미터 a에 대한 "제어" 값을 찾아봅시다: a 1 = 0, a 2 = -1.

2) 실수의 각 하위 집합에 대해 이 부등식을 해결해 봅시다: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

가) 가< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a \u003d -1이면이 부등식은 0 x > 0 형식을 취합니다. 솔루션이 없습니다.

c)-1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0이면 이 부등식의 형식은 0 x > 4입니다. 해가 없습니다.

e) a > 0, 이 부등식은 x > (a + 4)/a를 의미합니다.

예 3

부등식 |2 – |x||< a – x.

해결책.

함수 y = |2 – |x|| (그림 3) y \u003d -x + a 라인 위치의 가능한 모든 경우를 고려하십시오.

답변: 부등식에는 a ≤ -2에 대한 해가 없습니다.
x € (-∞; (a - 2)/2) 와 € (-2; 2];
a > 2인 경우 x € (-∞; (a + 2)/2).

매개 변수를 사용하여 다양한 문제, 방정식 및 부등식을 해결할 때 상당한 수의 휴리스틱 기술이 열리고 다른 수학 분야에도 성공적으로 적용될 수 있습니다.

매개변수 문제는 논리적 사고와 수학적 문화 형성에 중요한 역할을 합니다. 그렇기 때문에 매개 변수로 문제를 해결하는 방법을 마스터하면 다른 문제에 성공적으로 대처할 수 있습니다.

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코스 작업

아티스트: Bugrov S.K.

많은 물리적 프로세스와 기하학적 패턴에 대한 연구는 종종 매개변수 문제의 해결로 이어집니다. 일부 대학은 또한 시험 티켓에 방정식, 부등식 및 해당 시스템을 포함하는데, 이는 종종 매우 복잡하고 해결에 비표준 접근 방식이 필요합니다. 학교에서는 학교 수학 과정에서 가장 어려운 부분 중 하나인 이 부분을 일부 선택 수업에서만 고려합니다.

이 작업을 준비하면서 나는 이 주제에 대한 더 깊은 연구를 목표로 설정하여 신속하게 답변으로 이어지는 가장 합리적인 솔루션을 식별했습니다. 내 생각에 그래픽 방법은 방정식과 매개변수가 있는 부등식을 푸는 편리하고 빠른 방법입니다.

제 에세이에서는 자주 접하는 방정식의 종류와 부등식, 그 체계에 대해 살펴보았고, 일을 하면서 얻은 지식이 수능과 대학 진학에 도움이 되었으면 합니다.

§ 1. 기본 정의

방정식을 고려하십시오

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

여기서 a, b, c, …, k, x는 변수입니다.

변수 값의 모든 시스템

a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

이 방정식의 왼쪽과 오른쪽 부분이 모두 실제 값을 취하는 것을 변수 a, b, c, ..., k, x의 허용 가능한 값 시스템이라고합니다. A는 a의 모든 허용 값 집합, B는 b의 모든 허용 값 집합 등, X는 x의 모든 허용 값 집합, 즉 aОА, bОB, ..., xОX. 집합 A, B, C, …, K 각각이 하나의 값 a, b, c, … 미지수가 하나인 방정식.

방정식을 풀 때 상수로 간주되는 변수 a, b, c, ..., k를 매개변수라고 하며 방정식 자체를 매개변수를 포함하는 방정식이라고 합니다.

매개 변수는 a, b, c, d, …, k, l, m, n과 같이 라틴 알파벳의 첫 글자로 표시되고 알 수 없는 문자는 x, y, z로 표시됩니다.

매개 변수가 있는 방정식을 푸는 것은 매개 변수 솔루션의 어떤 값이 존재하고 무엇인지를 나타내는 것을 의미합니다.

동일한 매개변수를 포함하는 두 방정식은 다음과 같은 경우 동일하다고 합니다.

a) 매개 변수의 동일한 값에 대해 의미가 있습니다.

b) 첫 번째 방정식의 모든 해는 두 번째 방정식의 해이며 그 반대도 마찬가지입니다.

§ 2. 솔루션 알고리즘.

방정식의 도메인을 찾으십시오.

우리는 a를 x의 함수로 표현합니다.

xOa 좌표계에서 우리는 이 방정식의 정의 영역에 포함된 x 값에 대해 함수 a=¦(x)의 그래프를 작성합니다.

우리는 함수 a=¦(x)의 그래프와 cΔ(-¥;+¥)인 a=c 선의 교차점을 찾습니다. 선 a=c가 그래프 a=¦(x)와 교차하면 , 그런 다음 교차점의 가로 좌표를 결정합니다. 이를 위해서는 x에 대한 방정식 a=¦(x)를 푸는 것으로 충분합니다.

우리는 답을 적습니다.

I. 방정식 풀기

(1)

x \u003d 0은 방정식의 근이 아니므로 a에 대한 방정식을 풀 수 있습니다.

또는

함수 그래프는 두 개의 "접착된" 쌍곡선입니다. 원래 방정식의 해의 수는 작도선과 직선 y=a의 교점 수에 의해 결정됩니다.

If a О (-¥;-1]И(1;+¥)И

, 그러면 선 y=a는 한 지점에서 방정식 (1)의 그래프와 교차합니다. x에 대한 방정식을 풀 때 이 점의 가로 좌표를 찾습니다.

따라서 이 구간에서 방정식 (1)의 해는 다음과 같습니다.

. , 그러면 선 y=a는 방정식 (1)의 그래프와 두 지점에서 교차합니다. 이 점의 가로 좌표는 방정식에서 찾을 수 있습니다. , y=a 선은 방정식 (1)의 그래프와 교차하지 않으므로 해가 없습니다.

If a О (-¥;-1]И(1;+¥)И

, 저것 ; , 저것 , ; , 솔루션이 없습니다.

II. 방정식에 대한 매개 변수 a의 모든 값을 찾으십시오.

세 가지 다른 뿌리가 있습니다.

방정식을 다음과 같이 다시 작성

한 쌍의 함수를 고려하면 매개 변수 a의 원하는 값이 함수 그래프와 정확히 세 개의 교차점을 갖는 함수 그래프의 해당 위치에 해당한다는 것을 알 수 있습니다 .

xOy 좌표계에서 함수를 플로팅합니다.

). 이를 위해 우리는 그것을 형식으로 나타낼 수 있으며, 네 가지 발생 사례를 고려하여 이 함수를 형식으로 작성합니다.

함수의 그래프부터

- 이것은 Ox축에 대한 경사각이 와 같은 직선이고, 좌표가 (0,a)인 점에서 Oy축과 교차합니다. 우리는 이 직선이 함수의 그래프를 터치합니다. 따라서 미분을 찾습니다.

III. 방정식 시스템 각각에 대해 매개 변수 a의 모든 값을 찾습니다.

솔루션이 있습니다.

우리가 얻는 시스템의 첫 번째 방정식에서

따라서 이 방정식은 가로축을 따라 정점이 있는 포물선 "미끄러짐"의 오른쪽 분기인 "반포물선" 계열을 정의합니다.

두 번째 방정식의 왼쪽에 있는 전체 사각형을 선택하고 인수분해합니다.

평면의 점 집합

두 번째 방정식을 만족하는 것은 두 개의 직선이고

"반 포물선" 계열의 곡선이 얻은 직선 중 하나와 적어도 하나의 공통점을 갖는 매개 변수의 값을 알아 보겠습니다.

주 예산 교육 기관

사마라 지역 중등 일반 교육

학교 번호 2 im. V. 마스키나 철도 미술. 클리야블리노

시립 지구 Klyavlinsky

사마라 지역

« 방정식

그리고

불평등

매개변수 포함"

지도 시간

클리야블리노

지도 시간

"매개변수가 있는 방정식과 부등식" 10-11학년 학생들을 위한

이 매뉴얼은 외부 시험을 통과한 "매개변수가 있는 방정식과 부등식" 선택 과정 프로그램의 부록입니다(2008년 12월 19일자 사마라 지역 교육 과학부의 과학 및 방법론 전문가 협의회가 권장됨). 사마라 지역의 교육 기관에서 사용)

저자

로마다노바 이리나 블라디미로브나

수학 교사, Klyavlinskaya Secondary General Education

학교 번호 2 그들. V. Maskina, Klyavlinsky 지구, 사마라 지역

세르바예바 이리나 알렉세예브나

소개 ..................................................................................3-4

매개변수가 있는 선형 방정식과 부등식...........4-7

이차방정식과 매개변수의 부등식...........7-9

매개 변수가 있는 분수 유리 방정식 ...........10-11

무리수 방정식과 매개변수의 부등식...11-13

매개변수가 있는 삼각방정식과 부등식.14-15

매개변수가 있는 지수 방정식과 부등식...............16-17

매개변수를 사용한 대수 방정식 및 부등식 ...... 16-18

통합 국가 시험의 임무 ..................................................................................18-20

독립 작업을 위한 작업 ..................................21-28

소개.

매개변수가 있는 방정식 및 부등식.

방정식이나 부등식에서 일부 계수가 특정 숫자 값으로 지정되지 않고 문자로 표시되면 계수라고 합니다. 매개변수,방정식 또는 부등식 자체 파라메트릭.

매개변수를 사용하여 방정식 또는 부등식을 풀려면 다음을 수행해야 합니다.

가장 밝은 부분 특별한 의미- 방정식이나 부등식의 해가 변하는 매개변수의 값입니다.

정의하다 허용되는 값방정식 또는 부등식이 의미가 있는 매개변수 값입니다.

매개변수로 방정식 또는 부등식을 푸는 것은 다음을 의미합니다.

1) 솔루션이 존재하는 매개 변수 값을 결정합니다.

2) 매개변수 값의 허용 가능한 각 시스템에 대해 해당 솔루션 세트를 찾으십시오.

매개변수가 있는 방정식은 분석 또는 그래픽 방법으로 풀 수 있습니다.

분석 방법 놓칠 수 없는 몇 가지 경우를 고려하여 방정식을 조사하는 작업을 가정합니다.

분석적 방법에 의한 각 유형의 매개변수에 의한 방정식과 부등식의 해결은 상황에 대한 상세한 분석과 일관된 연구를 포함하며, 그 동안 필요성이 발생합니다. "부드러운 핸들링"매개변수와 함께.

그래픽 방식 매개 변수의 변화가 방정식의 해에 어떻게 영향을 미치는지 결정할 수있는 방정식의 그래프 구성을 포함합니다. 그래프는 때로 정해진 과제를 해결하기 위한 필요충분조건을 분석적으로 공식화할 수 있게 해준다. 그래픽 솔루션 방법은 매개변수에 따라 방정식의 근 수를 설정해야 할 때 특히 효과적이며 이를 시각적으로 볼 수 있다는 확실한 이점이 있습니다.

§ 1. 선형 방정식 및 부등식.

일차 방정식 ㅏ 엑스 = 비 , 일반적인 형식으로 작성된 방정식은 매개변수가 있는 방정식으로 간주할 수 있습니다. 여기서 엑스 - 알려지지 않은 , ㅏ , 비 - 옵션. 이 방정식의 경우 매개변수의 특수 또는 제어 값은 계수가 미지수에서 사라지는 값입니다.

매개변수를 사용하여 선형 방정식을 풀 때 매개변수가 특정 값과 같거나 다른 경우를 고려합니다.

특수 매개변수 값 ㅏ 가치 ㅏ = 0.

비 = 0 특수 매개변수 값입니다. 비 .

~에 비 ¹ 0 방정식에는 해가 없습니다.

~에 비 = 0 방정식은 다음 형식을 취합니다. 0x = 0. 이 방정식의 해는 임의의 실수입니다.

형식의 불평등 아 > 비 그리고 도끼 < 비 (a ≠ 0)선형 부등식이라고 합니다. 불평등에 대한 솔루션 세트 아 >비- 간격

(; +), 만약에 ㅏ > 0 , 그리고 (-;) , 만약에 ㅏ< 0 . 불평등에 대해서도 마찬가지로

오< 비 솔루션 세트 - 간격(-;), 만약에 ㅏ > 0, 그리고 (; +), 만약에 ㅏ< 0.

예 1 방정식을 풀다 도끼 = 5

해결책: 선형 방정식입니다.

만약에 a = 0, 방정식 0 × 엑스 = 5해결책이 없습니다.

만약에 ㅏ¹ 0, 엑스 =- 방정식의 해.

답변: 에 ㅏ¹ 0, 엑스=

a = 0의 경우 솔루션이 없습니다.

예 2 방정식을 풀다 도끼-6 \u003d 2a-3x.

해결책:이것은 선형 방정식입니다 도끼-6 \u003d 2a-3x (1)

도끼 + 3x = 2a +6

방정식을 다음과 같이 다시 작성 (a+3)x = 2(a+3)두 가지 경우를 살펴보겠습니다.

a= -3그리고 ㅏ¹ -3.

만약에 a= -3, 임의의 실수 엑스방정식 (1)의 근입니다. 만약에 ㅏ¹ -3 , 방정식 (1)에는 단일 루트가 있습니다. x = 2.

답변:~에 a = -3, 엑스 아르 자형 ; ~에 ㅏ ¹ -3, x = 2.

예 3 매개 변수의 어떤 값에서 ㅏ방정식의 근 중에서

2배 - 4배 - 2 + 4а – 4 = 0더 많은 뿌리가 있습니다 1 ?

해결책: 방정식을 풀다 2배 - 4배 - 2 + 4а – 4 = 0- 일차 방정식

2 (a-2) x \u003d a 2-4a +4

2(a-2) x \u003d (a-2) 2

~에 a = 2방정식의 해 0x = 0 1보다 큰 숫자여야 합니다.

~에 ㅏ¹ 2배 =
. 조건별 엑스 > 1, 그건
>1, a > 4.

답변:~에 ㅏ (2) U(4;∞).

예 4 . 각 매개변수 값에 대해 ㅏ방정식의 근의 수를 찾으십시오 도끼=8.

해결책. 도끼 = 8선형 방정식입니다.

와이 = ㅏ- 수평선의 계열;

와이 = - 그래프는 쌍곡선입니다. 이러한 함수의 그래프를 구성합니다.

답: 만약 a = 0이면 방정식에 해가 없습니다. 만약에 ≠ 0이면 방정식에 하나의 솔루션이 있습니다.

실시예 5 . 그래프를 사용하여 방정식의 근 수를 확인하십시오.

|엑스| = 도끼 - 1.

와이=| 엑스 | ,

와이 = 도끼 - 1- 그래프는 한 점을 지나는 직선이다. (0;-1).

이러한 함수의 그래프를 구성합니다.

답:언제 |a|>1- 하나의 루트

~에 | 가|≤1 방정식에는 근이 없습니다.

예 6 . 불평등 해결 도끼 + 4 > 2x + 에이 2

해결책 : 도끼 + 4 > 2x + 에이 2
(а – 2) х >ㅏ 2 – 4. 세 가지 경우를 고려하십시오.

답변. x > a + 2~에 a > 2; 엑스<а + 2, ~에 ㅏ< 2; ~에 a=2해결책이 없습니다.

§ 2. 이차방정식과 부등식

이차 방정식형식의 방정식입니다. 오 ² + 비 엑스 + 씨 = 0 , 어디 a≠ 0,

ㅏ, 비 , 와 함께 - 옵션.

매개변수를 사용하여 이차 방정식을 풀려면 다음 수식을 사용하여 표준 해결 방법을 사용할 수 있습니다.

1 ) 이차 방정식의 판별식: 디 = 비 ² - 4 교류 , (
²- 교류)

2) 이차 방정식의 근의 공식:엑스 1 =
, X 2 =
,

(엑스 1,2 =
)

제곱 부등식은 다음 형식의 부등식이라고 합니다.

ㅏ 엑스 2 + 비 x + c > 0,ㅏ 엑스 2 + 비 엑스 + 씨< 0, (1), (2)

ㅏ 엑스 2 + 비 x + c ≥ 0,ㅏ 엑스 2 + 비 x + c ≤ 0,(3), (4)

부등식(3)에 대한 해 세트는 부등식(1)에 대한 해 세트와 방정식을 결합하여 얻습니다. , ㅏ 엑스 2 + 비 x + c=0.불평등에 대한 솔루션 세트(4)도 유사하게 발견됩니다.

제곱 삼항식의 판별식인 경우 ㅏ 엑스 2 + 비 엑스 + 씨 0보다 작은 경우 a > 0의 경우 삼항식은 모든 x에 대해 양수입니다. 아르 자형.

제곱 삼항식이 근(x 1 < х 2 ), a > 0의 경우 집합에서 양수입니다.(-; × 2 )
(엑스 2; +) 음수 구간

(x 1; x 2 ). 만약< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; × 2 ) 모든 x에 대해 음수입니다. (-; × 1 )
(엑스 2; +).

예 1 방정식을 풀다 ax² - 2 (a - 1) x - 4 \u003d 0.

이것은 이차 방정식입니다.

해결책: 특별한 의미 a = 0.

~에 a = 0우리는 선형 방정식을 얻습니다 2x - 4 = 0. 하나의 뿌리를 가지고 있습니다. x = 2.

~에 ≠ 0.판별식을 찾아봅시다.

디 \u003d (a-1)² + 4a \u003d (a + 1)²

만약에 a = -1,저것 디 = 0 - 하나의 뿌리.

대체하여 루트 찾기 a = -1.

-x² + 4x-4 \u003d 0,그건 x² -4x + 4 = 0,우리는 그것을 발견 x=2.

만약에 ≠ - 1, 저것 디 >0 . 루트 공식에 따르면 다음을 얻습니다.엑스=
;

엑스 1 =2, 엑스 2 = -.

답변:~에 a=0 및 a=-1방정식에는 하나의 근이 있습니다 x = 2;~에 ≠ 0 및

ㅏ ≠ - 1 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.엑스 1 =2, 엑스 2 =-.

예 2 주어진 방정식의 근수 찾기 x²-2x-8-a=0매개변수 값에 따라 ㅏ.

해결책. 이 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. x²-2x-8=a

와이 \u003d x²-2x-8- 그래프는 포물선입니다.

와이 =a- 수평선의 가족.

함수 그래프를 만들어 봅시다.

답: 언제 ㅏ<-9 , 방정식에는 해가 없습니다. a=-9일 때 방정식에는 하나의 해가 있습니다. ~에 a>-9, 방정식에는 두 가지 솔루션이 있습니다.

예 3 무엇에 ㅏ불평등 (a-3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 x의 모든 값을 유지합니까?

해결책.제곱 삼항식은 다음과 같은 경우 x의 모든 값에 대해 양수입니다.

a-3 > 0 그리고 디<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, 그것이 따르는 곳ㅏ > 6 .

답변.ㅏ > 6

§ 삼. 매개변수가 있는 분수 유리 방정식,

선형으로 감소

분수 방정식을 푸는 과정은 일반적인 계획에 따라 수행됩니다. 분수는 방정식의 두 부분에 왼쪽과 오른쪽 부분의 공통 분모를 곱하여 정수로 대체됩니다. 그 후 외부 근, 즉 분모를 0으로 만드는 숫자를 제외하고 전체 방정식이 해결됩니다.

매개변수가 있는 방정식의 경우 이 문제는 더 복잡합니다. 여기서 불필요한 근을 "제거"하려면 공통 분모를 0으로 만드는 매개 변수의 값을 찾아야합니다. 즉 매개 변수에 해당하는 방정식을 풀어야합니다.

예 1 방정식을 풀다
= 0

해결책: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x-a \u003d 0, x \u003d a.

답변:~에 ≠ - 2, x=a

~에 a = -2뿌리가 없습니다.

예 2 . 방정식을 풀다
-
=
(1)

이것은 분수 합리적 방정식입니다

해결책:의미 a = 0특별하다. ~에 a = 0방정식은 의미를 잃고 따라서 근이 없습니다. 만약에 ≠ 0,그런 다음 변환 후 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x² + 2 (1-a) x + a² - 2a - 3 = 0 (2)- 이차 방정식.

판별식을 찾아보자 \u003d (1-a)²-(a²-2a-3) \u003d 4, 방정식의 근을 찾으십시오엑스 1 = + 1, 엑스 2 = a - 3.

방정식 (1)에서 방정식 (2)로 넘어갈 때 방정식 (1)의 정의 영역이 확장되어 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 검증이 필요합니다.

시험.찾은 값에서 제외 엑스그

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

만약에 엑스 1 +1=0, 그건 (a+1) + 1= 0, 저것 a = -2.따라서,

~에 a= -2 , 엑스 1 -

만약에 엑스 1 +2=0, 그건 (a+1)+2=0,저것 a = - 3. 따라서, a \u003d-3, x 1 - 방정식의 외부 근. (1).

만약에 엑스 2 +1=0, 그건 (a - 3) + 1= 0, 저것 a = 2. 따라서, = 2 × 2 - 방정식 (1)의 외부 루트.

만약에 엑스 2 +2=0, 그건 ( a – 3) + 2 = 0,저것 a=1. 따라서, a = 1,

엑스 2 - 방정식 (1)의 외부 루트.

이에 따라 시 a = - 3우리는 얻는다 x \u003d-3-3 \u003d -6;

~에 a \u003d-2 x \u003d -2 – 3= - 5;

~에 a \u003d 1 x \u003d 1 + 1 \u003d 2;

~에 a \u003d 2 x \u003d 2 + 1 \u003d 3.

답을 적을 수 있습니다.

답변: 1) 만약 a= -3,저것 x= -6; 2) 만일 a= -2, 저것 엑스= -5; 3) 만일 a=0, 그러면 뿌리가 없습니다. 4) 만일 a=1, 저것 x=2; 5) 만일 a=2, 저것 x=3; 6) 만일 a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, x 1 = + 1, 엑스 2 = a-3.

§4. 무리수 방정식과 부등식

변수가 근 부호 아래에 포함된 방정식과 부등식을 호출합니다. 비합리적이다.

비합리 방정식의 해는 방정식의 양변을 거듭제곱하거나 변수를 변경하여 비합리 방정식에서 합리적 방정식으로의 전환으로 축소됩니다. 방정식의 양쪽을 짝수로 거듭제곱하면 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 이 방법을 사용할 때 매개변수 값의 변화를 고려하여 원래 방정식에 대입하여 찾은 모든 근을 확인해야 합니다.

유형 방정식
=g(x)는 시스템과 동일합니다.

부등식 f(x) ≥ 0은 방정식 f(x) = g 2 (x)에서 따릅니다.

비합리적 부등식을 풀 때 다음과 같은 등가 변환을 사용합니다.

≤ 지(엑스)

≥g(엑스)

예 1 방정식 풀기
= x + 1 (3)

이것은 무리수 방정식입니다

해결책: 산술 루트의 정의에 따라 방정식 (3)은 시스템과 동일합니다.
.

~에 a = 2시스템의 첫 번째 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 0x = 5, 즉 솔루션이 없습니다.

~에 ≠ 2 엑스=
. 어떤 가치가 있는지 알아보자ㅏ 찾은 값엑스 불평등을 만족x ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

어디 ≤또는 가 > 2.

답변:~에 a≤, a > 2 x=
, ~에 < а ≤ 2 방정식에는 해가 없습니다.

예 2 방정식을 풀다
= (부록 4)

해결책. 와이 =

와이 =수평선의 가족입니다.

함수 그래프를 만들어 봅시다.

답변: 에 ㅏ<0 - 해결책이 없다

~에 ㅏ≥ 0 - 하나의 솔루션.

예 3 . 불평등을 해결하자(a+1)
<1.

해결책. O.D.Z. x ≤ 2. 만약에 a+1 ≤0, 부등식은 허용 가능한 모든 값에 대해 유지됩니다. 엑스. 만약에 +1>0, 저것

(a+1)
<1.

<

어디 엑스 (2-
2

답변. 엑스 (- ;2에 (-;-1, 엑스 (2-
2

~에 ㅏ (-1;+).

§ 5. 삼각 방정식 및 부등식.

가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 공식은 다음과 같습니다.

Sinx = 에이
엑스= (-1) N 아크사인 a+πn, n 지, ≤1, (1)

코사인 x = a
x = ± arccos a + 2 πn, n 지, ≤1. (2)

만약에 >1이면 방정식 (1)과 (2)에 해가 없습니다.

황갈색 x = a
x= arctg + πn, n 지, 에이 아르 자형

ctg x = 에이
x = arcctg + πn, n 지, 에이 아르 자형

각 표준 부등식에 대해 솔루션 세트를 나타냅니다.

1. 죄 x > a
아크사인 a + 2n 지,

~에 ㅏ <-1, 엑스 아르 자형 ; ~에 ㅏ ≥ 1, 해결책이 없습니다.

2. . 죄 x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

a≤-1의 경우 해가 없습니다. a>1일 때,엑스 아르 자형

3. 코사인 엑스 > ㅏ
- 아르코스 ㅏ + 2 pn < 엑스 < 아르코스 ㅏ + 2 pn , N 지 ,

~에 ㅏ<-1, 엑스 아르 자형 ; ~에 ㅏ ≥ 1 , 솔루션이 없습니다.

4. 코사인 x arccos a+ 2nZ,

~에 a≤-1 , 해결책이 없습니다. ~에ㅏ > 1, 엑스 아르 자형

5. tg x > a, arctg a + πnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

예1. 찾다 ㅏ, 이 방정식에는 솔루션이 있습니다.

코사인 2 엑스 + 2(a-2) 코사인 + 에이 2 - 4a - 5 \u003d 0.

해결책.우리는 방정식을 다음과 같은 형식으로 씁니다.

와 함께OS 2 엑스 + (2 ㅏ -4) 코스엑스 +(ㅏ – 5)(a+1) =0,그것을 정사각형으로 풀면, 우리는 코스엑스 = 5-ㅏ그리고 코스엑스 = -가-1.

방정식 코스엑스 = 5- ㅏ 솔루션 제공 -1≤ 5-ㅏ ≤1
4≤ ㅏ≤ 6, 방정식 코스엑스 = - a-1 단 -1≤ -1-ㅏ ≤ 1
-2 ≤ ㅏ ≤0.

답변. ㅏ -2; 0
4; 6

예 2 무엇에 비불평등이 존재합니다
+ 비> 0은 모든 x ≠에 대해 만족합니다.pn , N 지 .

해결책.넣어 보자 ㅏ= 0. 부등식은 b >0에 대해 유지됩니다. 이제 문제의 조건을 만족하는 b ≤0이 없음을 보여드리겠습니다. 실제로, x =를 넣는 것으로 충분합니다. π /2, 만약에 ㅏ <0, и х = - π /2 ~에 ㅏ ≥0.

답변.b > 0

§ 6. 지수 방정식 및 부등식

1. 방정식 시간(엑스) 에프 ( 엑스 ) = 시간(엑스) g ( 엑스) 에 시간(엑스) > 0은 두 시스템의 조합과 동일합니다.
그리고

2. 특정한 경우에 (h(x)= ㅏ ) 방정식 ㅏ에프(엑스) = ㅏ g(x)에서 ㅏ> 0, 두 시스템의 조합과 동일

그리고

3. 방정식 ㅏ에프(엑스) = 비 , 어디 ㅏ > 0, ㅏ ≠1, 비>0, 방정식과 동일

f(x)= 로그 a b . 사고 ㅏ=1은 별도로 간주됩니다.

가장 간단한 지수 부등식의 솔루션은 차수 속성을 기반으로 합니다. 형태의 불평등에프(ㅏ 엑스 ) > 0 변수를 변경하여티= ㅏ 엑스 불평등 시스템을 해결하는 것으로 축소
그런 다음 해당하는 가장 간단한 지수 부등식의 해를 구합니다.

엄격하지 않은 부등식을 풀 때 엄격한 부등식의 해 집합에 해당 방정식의 근을 추가해야 합니다. 식을 포함하는 모든 예에서 방정식을 푸는 것과 마찬가지로 ㅏ f (x ) , 우리는 가정 ㅏ> 0. 케이스 ㅏ= 1은 별도로 간주됩니다.

예 1 . 무엇에 ㅏ방정식 8 x =
긍정적 인 뿌리 만 있습니까?

해결책. 밑이 1보다 큰 지수 함수의 속성에 의해 x>0
8 엑스 >1

>1

>0, 어디서ㅏ (1,5;4).

답변. ㅏ (1,5;4).

예 2 불평등 해결 ㅏ 2 ∙2 엑스 > ㅏ

해결책. 세 가지 경우를 고려하십시오.

1. ㅏ< 0 . 부등식의 왼쪽은 양수이고 오른쪽은 음수이므로 부등식은 모든 x에 대해 성립합니다. 아르 자형.

2. ㅏ=0. 해결책이 없습니다.

3. ㅏ > 0 . ㅏ 2 ∙2 엑스 >
2 엑스 >
x > -로그 2 ㅏ

답변. 엑스 아르 자형~에 ㅏ > 0; 솔루션 없음 ㅏ =0; 엑스 (- 통나무 2 ㅏ; +) 에a > 0 .

§ 7. 대수 방정식 및 부등식

해결에 사용되는 몇 가지 동등성을 제시하겠습니다. 대수 방정식과 부등식.

1. 방정식 log f (x) g (x) \u003d log f (x) h (x)는 시스템과 동일합니다.

특히, 만약 ㅏ >0, ㅏ≠1이면

통나무 ㅏ g(x)=로그 ㅏ h(엑스)

2. 방정식 통나무 ㅏ 지(엑스)=비
지(엑스)=ㅏ 비 ( ㅏ >0, ≠ 1, g(x) >0).

3. 불평등 통나무 에프 ( 엑스 ) g (엑스) ≤ 통나무 에프 ( 엑스 ) 시간(엑스)는 다음 두 시스템의 조합과 동일합니다.
그리고

만약, b는 숫자, a >0, a ≠1, 다음

통나무 ㅏ 에프(엑스) ≤ b

통나무 ㅏ 에프(엑스) > b

예 1 방정식 풀기

해결책. ODZ를 찾자: x > 0, x ≠ ㅏ 4 , ㅏ > 0, ㅏ≠ 1. 방정식 변환

통나무 엑스 - 2 = 4 - 통나무 ㅏ 엑스
통나무 엑스 + 통나무 ㅏ 엑스– 6 = 0, 여기서 통나무 ㅏ 엑스 = - 3

엑스 = ㅏ-3 및 통나무 ㅏ 엑스 = 2
엑스 = ㅏ 2. 조건 x = ㅏ 4
ㅏ – 3 = ㅏ 4 또는 ㅏ 2 = ㅏ 4 ODZ에서는 수행되지 않습니다.

답변:엑스 = ㅏ-3, 엑스 = ㅏ 2시에 ㅏ (0; 1)
(1; ).

예 2 . 가장 높은 값 찾기 ㅏ, 방정식

2 통나무 -
+ ㅏ = 0에는 솔루션이 있습니다.

해결책. 교체하자
= 티이차 방정식 2를 구하십시오.티 2 – 티 + ㅏ = 0. 해결하면 찾을 수 있습니다.디 = 1-8 ㅏ . 고려하다 디≥0, 1-8 ㅏ ≥0
ㅏ ≤.

~에 ㅏ = 이차 방정식에는 근이 있습니다.티= >0.

답변. ㅏ =

예 3 . 불평등 해결통나무(엑스 2 – 2 엑스 + ㅏ ) > - 3

해결책. 불평등의 시스템을 해결하자

제곱근 x 1,2 = 1 ±
그들의 3,4 = 1 ±
.

중요한 매개변수 값: ㅏ= 1 및 ㅏ= 9.

X 1과 X 2를 첫 번째 부등식과 두 번째 부등식의 해 집합이라고 하고

× 1
엑스 2 = X는 원래 부등식의 해입니다.

0에서< ㅏ <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), 에ㅏ> 1x1 = (-;+).

0에서< ㅏ < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), 에ㅏ≥9 Х 2 - 용액 없음.

세 가지 경우를 고려하십시오.

1. 0< ㅏ ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < ㅏ < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. ㅏ≥ 9 Х – 솔루션이 없습니다.

사용 작업

높은 수준의 C1, C2

예 1 모든 값 찾기 아르 자형, 방정식

아르 자형 ∙ ctg 2x+2sinx+ 피= 3은 적어도 하나의 루트를 가집니다.

해결책.방정식을 변형시키자

아르 자형 ∙ (
-1)+2sinx+ 피\u003d 3, sinx \u003d t, 티
, 티 0.

- 피+ 2t + 피 = 3, + 2t = 3, 3 -2t = , 3t2 – 2t3 = 피 .

허락하다 에프(와이) = 3 티 2 – 2 티 3 . 함수 값 집합을 찾아봅시다.에프(엑스) 에

. ~에 / = 6 티 – 6 티 2 , 6 티 - 6 티 2 = 0, 티 1 =0, 티 2 = 1. 에프(-1) = 5, 에프(1) = 1.

~에 티
, 이자형(에프) =
,

~에 티
, 이자형(에프) =
즉, 언제 티

, 이자형(에프) =
.

방정식 3으로티 2 – 2 티 3 = 피 (따라서 주어진) 적어도 하나의 필요하고 충분한 뿌리를 가졌습니다.피 이자형(에프), 그건 피
.

답변.
.

예 2

매개 변수의 어떤 값에서ㅏ방정식 통나무
(4 엑스 2 – 4 ㅏ + ㅏ 2 +7) = 2는 정확히 하나의 근을 가집니까?

해결책.방정식을 등가 방정식으로 변환해 보겠습니다.

4× 2 - 4 ㅏ + ㅏ 2 +7 \u003d (x 2 + 2) 2.

특정 숫자 x가 결과 방정식의 근이라면 숫자 - x도 이 방정식의 근입니다. 조건상 이것은 불가능하므로 유일한 루트는 숫자 0입니다.

찾아보자 ㅏ.

4∙ 0 2 - 4ㅏ + ㅏ 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

ㅏ 2 - 4ㅏ +7 = 4, ㅏ 2 - 4ㅏ +3 = 0, ㅏ 1 = 1, ㅏ 2 = 3.

시험.

1) ㅏ 1 = 1. 방정식의 형식은 다음과 같습니다.통나무
(4 엑스 2 +4) =2. 우리는 그것을 해결

4x 2 + 4 \u003d (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 \u003d x 4 + 4x 2 + 4, x 4 \u003d 0, x \u003d 0은 유일한 루트입니다.

2) ㅏ 2 = 3. 방정식은 다음과 같습니다.통나무
(4 엑스 2 +4) =2
x = 0이 유일한 루트입니다.

답변. 1; 3

높은 수준의 C4, C5

예 3 모든 값 찾기 아르 자형,방정식

× 2 - ( 아르 자형+ 3)x + 1= 0은 정수 근을 가지며 이 근은 부등식에 대한 해입니다: x 3 - 7 아르 자형 2배 + 2배 2 - 14 아르 자형 x - 3x +21 아르 자형 ≤ 0.

해결책. x하자 1, 엑스 2 방정식 x의 정수 근입니다. 2 – (아르 자형 + 3)x + 1= 0. 그런 다음 Vieta 공식에 의해 x 1 + 엑스 2 = 아르 자형 + 3, 엑스 1 ∙ 엑스 2 = 1. 두 정수 x의 곱 1 , X 2 다음 두 가지 경우에만 1과 같을 수 있습니다. x 1 = 엑스 2 = 1 또는 x 1 = 엑스 2 = - 1. 만약 x 1 = 엑스 2 = 1이면아르 자형 + 3 = 1+1 = 2
아르 자형 = - 1; 만약 x 1 = 엑스 2 = - 1이면아르 자형 + 3 = - 1 – 1 = - 2
아르 자형 = - 5. 방정식 x의 근이 2 – (아르 자형 + 3)x + 1= 이 부등식의 솔루션으로 설명된 경우 0입니다. 행사를 위해아르 자형 = - 1, 엑스 1 = 엑스 2 = 1 우리는

1 3 - 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2 ∙ 1 2 - 14 ∙ (- 1) ∙ 1 - 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 - 참; 행사를 위해 아르 자형\u003d-5, x 1 \u003d x 2 \u003d-1 우리는 (-1) 3-7 ∙ (-5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2-14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 이 맞습니다. 따라서 문제의 조건만 만족하면 된다. 아르 자형= - 1 및 아르 자형 = - 5.

답변.아르 자형 1 = - 1 및 아르 자형 2 = - 5.

예 4 모든 양수 매개변수 값 찾기 ㅏ, 숫자 1은 함수의 도메인에 속합니다.

~에 = (ㅏ
- ㅏ
).

직업 유형: 18

상태

매개 변수 a의 어떤 값에 대해 불평등이 발생합니까?

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 x의 모든 값을 유지합니까?

솔루션 표시

해결책

이 부등식은 이중 부등식과 동일합니다. 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

\sin x=t 라고 하면 부등식을 얻습니다.

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , -1 \leq t \leq 1 의 모든 값에 대해 유지되어야 합니다. a=0 이면 부등식(*)이 모든 t\in [-1;1] 에 적용됩니다.

\neq 0 이라고 하자. 함수 f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t는 도함수가 f"(t)=3t^(2)+ 4at +5a^(2) > 0 t \in \mathbb(R)의 모든 값과 a \neq 0(판별자 D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

부등식(*)은 다음 조건에서 t \in [-1;1]에 대해 유지됩니다.

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\:\leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\:\leftrightarrow \begin(케이스) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5) \leq a< 0 .

따라서 -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 일 때 조건이 충족됩니다.

답변

\left [-\frac(2)(5); 0\오른쪽]

출처: "수학. 시험 준비 - 2016. 프로필 수준. 에드. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

직업 유형: 18
주제: 매개변수가 있는 부등식

상태

매개 변수 a의 모든 값을 찾으십시오. 각각에 대해 부등식

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

독창적인 솔루션을 가지고 있습니다.

솔루션 표시

해결책

불평등은 일련의 불평등 체계와 같다

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(케이스) \\ \begin(케이스)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(케이스) \\ \begin(케이스)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

Oxa 좌표계에서 함수 그래프를 구성합니다. a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

결과 집합은 함수 그래프 사이에 포함된 점에 의해 충족됩니다. a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x x\in(음영 영역)에서.

그래프에 따르면 다음을 결정합니다. 원래 부등식은 a=-4 및 a=5에 대한 고유한 솔루션을 가집니다. 음영 영역에는 세로 좌표 a가 -4이고 5인 단일 점이 있기 때문입니다.

이번 강의에서는 매개변수로 부등식을 풀기 위한 알고리즘을 공부하고 이런 유형의 작업을 풀 때 적용하는 방법을 배웁니다.

정의 1.

매개변수로 부등식을 해결한다는 것은 매개변수의 각 값에 대해 이 부등식의 모든 해 집합을 찾거나 해가 없음을 증명하는 것을 의미합니다.

선형 부등식을 고려하십시오.

정의 2.

a x plus 형식의 부등식은 0보다 크고, 0보다 크거나 같고, 0보다 작거나, 0보다 작거나 같습니다. 여기서 ㅏ b는 실수이고, 엑스— 변수를 1차 부등식(선형 부등식)이라고 합니다.

예를 들어, 부등식 x 더하기 b는 0보다 큽니다. 여기서 ㅏ b는 실수이고, 엑스- 변수. 다음과 같은 경우를 고려하십시오.

첫 번째 경우:ㅏ 0보다 크면 x는 마이너스 ba를 a로 나눈 값보다 큽니다.

결과적으로 부등식에 대한 해의 집합은 마이너스에서 플러스 무한대로 나누어지는 열린 숫자 광선입니다.

두 번째 경우:ㅏ 0보다 작은 경우 x는 마이너스 ba를 a로 나눈 값보다 작습니다.

결과적으로 부등식에 대한 해의 집합은 마이너스 무한대에서 마이너스를 a로 나누는 열린 수치 광선입니다.

세 번째 경우:가 0이면 부등식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 0 곱하기 x 더하기 be는 0보다 크고 for 배 0보다 크면 모든 실수가 부등식의 해가 됩니다. 배 0보다 작거나 같으면 부등식에 해가 없습니다.

나머지 불평등은 유사하게 해결됩니다.

예를 고려하십시오.

연습 1

부등식을 풀고 x는 1보다 작거나 같습니다.

해결책

기호에 따라 ㅏ세 가지 경우를 고려하십시오.

첫 번째 경우: if ㅏ 0보다 크면 x는 1을 a로 나눈 값보다 작거나 같습니다.

두 번째 경우: if ㅏ 0보다 작으면 x는 1을 a로 나눈 값보다 크거나 같습니다.

세 번째 경우: if ㅏ가 0이면 부등식은 다음 형식을 취합니다. 0 곱하기 x는 1보다 작거나 같으므로 모든 실수는 원래 부등식의 해입니다.

따라서 만약 ㅏ 0보다 크면 x는 마이너스 무한대에서 1까지의 광선을 a로 나눈 값에 속합니다.

만약에 ㅏ ㅏ 0,

저것 엑스

답: 만약 ㅏ 0보다 크면 x는 마이너스 무한대에서 1까지의 광선을 a로 나눈 값에 속합니다.

만약에 ㅏ 0보다 작으면 x는 1에서 a로 나눈 값에서 +무한까지의 광선에 속합니다. ㅏ 0,

저것 엑스 x는 실수 집합에 속합니다.

작업 2

부등식 mod x 빼기 2는 a와 1 차이의 빼기 제곱보다 큽니다.

해결책

모듈로 x 빼기 2는 모든 실수에 대해 0보다 크거나 같습니다. 엑스매개변수의 모든 값에 대해 a와 단위 간의 차의 제곱을 뺀 값이 0보다 작거나 같습니다. ㅏ. 그러므로 만약 ㅏ 1과 같으면 임의 엑스— 2가 아닌 실수는 부등식에 대한 해이며, ㅏ가 1이 아니면 모든 실수가 부등식의 해가 됩니다.

답: 만약 ㅏ 1과 같으면 x는 마이너스 무한대에서 2로, 2에서 플러스 무한대로 두 개의 열린 수치 광선의 합집합에 속합니다.

그리고 만약 ㅏ마이너스 무한에서 1로, 1에서 플러스 무한대로 두 개의 열린 수치 광선의 합집합에 속합니다. 엑스실수 집합에 속합니다.

작업 3

부등식 3 곱하기 4 a의 차이와 2 a x 더하기 3보다 작은 x를 풉니다.

해결책

이 부등식의 기본 변환 후, 우리는 부등식을 얻습니다: 2개의 a와 3의 합 x는 4개의 a와 1의 차이의 3배보다 큽니다.

첫 번째 경우: 2 a 더하기 3이 0보다 크면 ㅏ-3초보다 크면 x는 분자가 4a와 1의 차이의 3배이고 분모가 2a 더하기 3인 분수보다 큽니다.

두 번째 경우: 2 a 더하기 3이 0보다 작으면 ㅏ마이너스 3초 미만이면 x는 분자가 4a와 1의 차이의 3배이고 분모가 2a 더하기 3인 분수보다 작습니다.

세 번째 경우: 2a 더하기 3이 0이면, 즉 ㅏ마이너스 3초와 같습니다.

모든 실수는 원래 부등식에 대한 솔루션입니다.

따라서 a가 -3초에서 +무한까지의 열린 숫자 광선에 속하면 x

분수의 열린 수치 광선에 속하며 분자는 4 a와 1의 차이의 3 배이고 분모는 2 a 더하기 3, 최대 플러스 무한대입니다.

a가 마이너스 무한대에서 마이너스 3초까지의 열린 수치 광선에 속하는 경우 x는 마이너스 무한대에서 분자가 4 a와 1의 차이의 3배이고 분모가 2 a 플러스인 분수까지의 열린 수치 광선에 속합니다. 삼;

만약에 ㅏ마이너스 3초와 같다면 엑스실수 집합에 속합니다.

답: a가 -3초에서 +무한까지의 열린 숫자 광선에 속하면 x

분수의 열린 수치 광선에 속하며 분자는 4 a와 1의 차이의 3 배이고 분모는 2 a 더하기 3에서 더하기 무한대입니다.

만약에 ㅏ마이너스 3초와 같다면 엑스실수 집합에 속합니다.

작업 4

모든 유효한 매개변수 값 ㅏ부등식 x의 제곱근 빼기 더하기 루트 2 a 빼기 x 더하기 루트 a 빼기 1 더하기 루트 3 빼기 0보다 큰 a를 풉니다.

해결책

매개변수의 도메인 찾기 ㅏ. 그것은 부등식 시스템에 의해 결정되며, 우리는 a가 1에서 3까지의 세그먼트에 속한다는 것을 발견합니다.

이 부등식은 부등식 시스템과 동일하며 x가 a에서 2 a까지의 세그먼트에 속한다는 것을 알 수 있습니다.

a가 1에서 3까지의 세그먼트에 속하는 경우 원래 부등식에 대한 솔루션은 a에서 2 a까지의 세그먼트입니다.

답: a가 1에서 3까지의 세그먼트에 속한다면 x는 a에서 2까지의 세그먼트 a에 속합니다.

작업 5

모두 찾기 ㅏ, 불평등

x의 제곱근 빼기 x 빼기 2 더하기 분자가 2 빼기 x이고 분모가 x 더하기 4인 분수의 제곱근 a x 더하기 2 빼기 분자가 x 더하기 1인 분수의 제곱근 a 분모가 5 빼기 x에는 해가 없습니다.

해결책

첫 번째. 이 부등식의 정의 영역을 계산해 봅시다. 그것은 불평등 시스템에 의해 결정되며 그 솔루션은 두 개의 숫자입니다. x는 마이너스 1이고 x는 2입니다.

두번째. 이 부등식에 해가 있는 a의 모든 값을 찾아봅시다. 이를 위해 우리는 모든 것을 찾을 것입니다 ㅏ, 여기서 x는 마이너스 1이고 x는 2입니다. 이것이 이 불평등에 대한 해결책입니다. 두 시스템 집합을 고려하고 해결합니다. 해결책은 마이너스 무한대에서 마이너스 1초까지, 그리고 1에서 플러스 무한대까지 두 개의 수치 광선을 결합하는 것입니다.

따라서 이 부등식은 만약 a가 마이너스에서 나온 두 수치 광선의 합집합에 속한다면 해를 가집니다.

무한대에서 마이너스 1초로, 1에서 플러스 무한대로.