단조로운 일정. 함수의 단조성 간격. §1. 증가 및 감소 기능

단조함수같은 방향으로 변화하는 함수이다.

기능 증가하다 , 더 큰 인수 값이 더 큰 함수 값에 해당하는 경우. 즉, 값이 증가하면 엑스의미 와이또한 증가하면 증가 함수입니다.

기능 감소하다 , 더 큰 인수 값이 더 작은 함수 값에 해당하는 경우. 즉, 값이 증가하면 엑스의미 와이감소하면 감소하는 함수입니다.

함수가 특정 구간에서 증가하거나 감소하는 경우 이 구간에서 함수를 단조라고 합니다.

기능 상수(비단조) , 감소하지도 증가하지도 않는 경우.

정리(단조로움의 필수 표시):

1. 미분 가능 함수 f(x)가 특정 구간에서 증가하면 이 구간의 도함수는 음수가 아닙니다.

2. 미분 가능 함수 f(x)가 특정 구간에서 감소하면 이 구간의 도함수는 양수가 아닙니다.

3. 함수가 변경되지 않으면 그 미분은 0과 같습니다. .

정리(단조로움의 충분한 표시):

f(x)가 구간 (a;b)에서 연속이고 모든 점에서 도함수를 갖는다고 가정하면 다음과 같습니다.

1. 내부 (a;b)가 양수이면 f(x)가 증가합니다.

2. 내부 (a;b)가 음수이면 f(x)는 감소합니다.

3. 이면 f(x)는 일정합니다.

극한값에 대한 함수 연구.

극한- 주어진 세트에 대한 함수의 최대 또는 최소값. 극한점에 도달하는 지점을 극점점이라고 합니다. 따라서, 최소값에 도달한 경우 극한점을 최소점, 최대값에 도달한 경우 최대점이라고 합니다.

1. 함수의 정의역과 함수가 연속되는 구간을 구합니다.

2. 파생 상품을 찾으십시오.

3. 중요한 점을 찾으십시오. 함수의 도함수가 0이 되거나 존재하지 않는 지점.

4. 정의 영역이 임계점으로 나누어지는 각 간격에서 도함수의 부호와 함수 변화의 성격을 결정합니다.

5. 각 임계점에 대해 정확한 최대값, 최소값 또는 극값이 아닌지 확인합니다.

단조성과 극값의 함수 구간을 연구한 결과를 적어보세요.

함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다.

세그먼트에서 연속되는 함수의 최대값과 최소값을 찾는 방식입니다.

1. 파생상품을 찾아보세요.

2. 이 세그먼트에서 중요한 지점을 찾으십시오.

3. 임계점과 세그먼트 끝에서 함수 값을 계산합니다.

4. 계산된 값에서 가장 작은 값과 가장 큰 값을 선택합니다.

함수의 볼록함과 오목함.

호가 두 점 이하에서 할선과 교차하는 경우 호를 볼록하다고 합니다.

위쪽으로 볼록하게 형성된 선을 볼록형, 아래쪽으로 볼록하게 형성된 선을 오목형이라고 합니다.

볼록한 호는 접선 아래에 있고 오목한 호는 접선 위에 있다는 것이 기하학적으로 분명합니다.

기능 변곡점.

변곡점은 볼록한 호와 오목한 호를 구분하는 선상의 점입니다.

변곡점에서 접선은 선과 교차하며, 이 점 부근에서는 선이 접선의 양쪽에 놓입니다.

1차 도함수의 감소 구간은 함수 그래프의 볼록한 부분에 해당하고, 증가하는 구간은 오목한 부분에 해당합니다.

정리(변곡점에 대해):

2차 도함수가 구간 내 모든 곳에서 음수이면 이 구간에 해당하는 선 y = f(x)의 호는 볼록합니다. 2차 도함수가 구간 내 모든 곳에서 양수이면 이 구간에 해당하는 선 y = f(x)의 호는 오목합니다.

변곡점의 필수 부호:

변곡점의 가로좌표이면 또는 존재하지 않습니다.

변곡점의 충분한 신호:

점은 직선 y = f(x), if , 및 의 변곡점입니다.

왼쪽에 볼록한 영역이 있고 오른쪽에 오목한 영역이 있고 왼쪽에 오목한 영역과 오른쪽에 볼록한 영역이 있는 경우입니다.

점근선.

정의.

함수 그래프의 점근선은 그래프 점이 원점에서 무한정 이동할 때 함수 그래프의 한 점에서 이 직선까지의 거리가 0이 되는 성질을 갖는 직선입니다.

점근선의 유형:

1. 직접 값 중 적어도 하나가 다음과 같은 경우 직선을 함수 y=f(x) 그래프의 수직 점근선이라고 합니다. 또는 같음 또는 .

숫자 세트 엑스카운트 대칭 0에 상대적인 경우(있는 경우) 엑스Є 엑스의미 - 엑스또한 세트에 속합니다. 엑스.

기능 와이 = 에프(엑스엑스, 개수 심지어 엑스 엑스Є 엑스, 에프(엑스) = 에프(-엑스).

짝수 함수의 경우 그래프는 Oy 축을 기준으로 대칭입니다.

기능 와이 = 에프(엑스), 이는 세트에 정의되어 있습니다. 엑스, 개수 이상한, 다음 조건이 충족되는 경우: a) 설정 엑스 0에 대해 대칭; b) 누구에게나 엑스Є 엑스, 에프(엑스) = -에프(-엑스).

홀수 함수의 경우 그래프는 원점을 기준으로 대칭입니다.

기능 ~에 = 에프(엑스), 엑스Є 엑스, 라고 불리는 주기적~에 엑스, 숫자가 있는 경우 티 (티 ≠ 0) (기간기능) 다음 조건이 충족되어야 합니다.

엑스 - 티그리고 엑스 + 티많은 사람들로부터 엑스누구에게나 엑스Є 엑스;
누구에게나 엑스Є 엑스, 에프(엑스 + 티) = 에프(엑스 - 티) = 에프(엑스).

경우에 티함수의 기간이고 다음 형식의 임의의 수입니다. 산, 어디 중Є 지, 중≠ 0, 이 함수의 주기이기도 합니다. 주어진 함수의 가장 작은 양의 기간(존재하는 경우)을 주 기간이라고 합니다.

경우에 티는 함수의 주요 기간이고, 그래프를 구성하려면 길이를 결정하는 영역의 임의의 간격에 그래프의 일부를 그릴 수 있습니다. 티, 그리고 O축을 따라 그래프의 이 부분을 평행하게 이동합니다. 엑스±로 티, ±2 티, ....

기능 와이 = 에프(엑스), 아래로 제한됨세트에 엑스 ㅏ그건 누구에게나 엑스Є 엑스, ㅏ ≤ 에프(엑스). 집합 아래에 제한된 함수의 그래프 엑스, 완전히 직선 위에 위치합니다. ~에 = ㅏ(이것은 수평선입니다).

기능 ~에 = 에프(엑스), 위에서 경계세트에 엑스(이 세트에 정의되어야 함), 숫자가 있는 경우 안에그건 누구에게나 엑스Є 엑스, 에프(엑스) ≤ 안에. 집합 X 위에서 위에서 경계를 이루는 함수의 그래프는 완전히 선 아래에 위치합니다. ~에 = 안에(이것은 수평선입니다).

고려된 기능 제한된세트에 엑스(이 세트에서 정의되어야 함) 위와 아래에서 이 세트에 제한되어 있는 경우, 즉 그러한 숫자가 있는 경우 ㅏ그리고 안에그건 누구에게나 엑스Є 엑스불평등이 충족된다 ㅏ ≤ 에프(엑스) ≤ 비. 집합에 국한된 함수의 그래프 엑스, 완전히 직선 사이에 위치합니다. ~에 = ㅏ그리고 ~에 = 안에(이것은 수평선입니다).

기능 ~에 = 에프 (엑스)은 세트에 제한된 것으로 간주됩니다. 엑스(이 세트에 정의되어야 함), 숫자가 있는 경우 와 함께> 0, 이는 엑스Є 엑스, │에프(엑스)│≤ 와 함께.

기능 ~에 = 에프(엑스), 엑스Є 엑스, 라고 불리는 증가 (감소하지 않음)하위 집합에 중와 함께 엑스모두를 위한 때 엑스 1과 엑스 2개 중그렇게 엑스 1 < 엑스 2, 공정한 에프(엑스 1) < 에프(엑스 2) (에프(엑스 1) ≤ 에프(엑스 2)). 또는 함수 y가 호출됩니다. 증가세트에 에게, 이 세트의 인수 중 더 큰 값이 함수의 더 큰 값에 해당하는 경우.

기능 ~에 = 에프(엑스), 엑스ЄX, 호출됨 감소(증가하지 않음)하위 집합에 중와 함께 엑스모두를 위한 때 엑스 1과 엑스 2개 중그렇게 엑스 1 < 엑스 2, 공정한 에프(엑스 1) > 에프(엑스 2) (에프(엑스 1) ≥ 에프(엑스 2)). 아니면 기능 ~에세트에서 감소라고 합니다. 에게, 이 집합의 인수 중 더 큰 값이 함수의 더 작은 값에 해당하는 경우.

기능 ~에 = 에프(엑스), 엑스Є 엑스, 라고 불리는 단조로운하위 집합에 중와 함께 엑스, 다음과 같이 감소(증가하지 않음)하거나 증가(감소하지 않음)하는 경우 중.

기능의 경우 ~에 = 에프(엑스), 엑스Є 엑스, 하위 집합에서 감소하거나 증가하고 있습니다. 중와 함께 엑스, 그런 다음 그러한 함수가 호출됩니다 엄격하게 단조롭다세트에 중.

숫자 중~라고 불리는 함수의 가장 큰 값 y 세트장에 있어 에게, 이 숫자가 특정 x 값에서의 함수 값인 경우 0 집합의 인수에게, 집합 K의 인수의 다른 값의 경우 함수 y의 값은 숫자보다 크지 않습니다.중.

숫자 중~라고 불리는 가장 낮은 값세트의 y 기능 에게, 이 숫자가 특정 값에서의 함수 값인 경우 엑스세트에서 인수가 0개 있습니다. 에게, 그리고 세트의 인수 x의 다른 값에 대해서는 에게함수 y의 값은 숫자보다 작지 않습니다. 중.

함수의 기본 속성 , 연구와 연구를 시작하는 것이 더 나은 곳에서 이것이 정의와 중요성의 영역입니다. 기본 함수의 그래프가 어떻게 표시되는지 기억해야 합니다. 그래야만 더 복잡한 그래프를 구성할 수 있습니다. "기능"이라는 주제는 경제 및 기타 지식 분야에 폭넓게 적용됩니다. 함수는 수학 과정 전반에 걸쳐 학습되며 계속해서 수학 과정에서 학습됩니다.고등 교육 기관 . 여기서는 1차 도함수와 2차 도함수를 사용하여 함수를 연구합니다.

부호는 변경되지 않습니다. 즉, 항상 음수가 아니거나 항상 양수가 아닙니다. 추가로 증분이 0이 아닌 경우 함수가 호출됩니다. 엄격하게 단조롭다. 단조함수는 같은 방향으로 변화하는 함수이다.

더 큰 인수 값이 더 큰 함수 값에 해당하면 함수가 증가합니다. 인수의 더 큰 값이 함수의 더 작은 값에 해당하면 함수가 감소합니다.

정의

함수를 주어보자.그러면

. . . .

(엄격하게) 증가하거나 감소하는 함수를 (엄격하게) 단조롭다고 합니다.

기타 용어

때때로 증가 함수가 호출됩니다. 비감소및 감소하는 함수 비증가. 엄격하게 증가하는 함수를 간단히 증가라고 하고, 엄격하게 감소하는 함수를 간단히 감소라고 합니다.

단조 함수의 속성

함수가 단조롭기 위한 조건

일반적으로 말하면 그 반대는 사실이 아닙니다. 엄격하게 단조로운 함수의 도함수는 사라질 수 있습니다. 그러나 도함수가 0이 아닌 점 집합은 해당 구간에서 밀집되어 있어야 합니다.

마찬가지로 다음 두 조건이 충족되는 경우에만 일정 간격으로 엄격하게 감소합니다.

예

또한보십시오

위키미디어 재단. 2010.

다른 사전에 "단조 함수"가 무엇인지 확인하십시오.

단조함수- 함수 f(x)는 특정 간격에 걸쳐 증가하거나(즉, 이 간격에 대한 인수 값이 클수록 함수 값도 커짐) 감소(반대의 경우)될 수 있습니다. .... ...

인수가 증가하면 항상 증가(또는 적어도 감소하지 않음)하거나 항상 감소(증가하지 않음)하는 함수... 큰 백과사전

- (단조함수) 인수의 값이 증가함에 따라 함수의 값이 항상 같은 방향으로 변하는 함수. 따라서 y=f(x)이면 x의 모든 값에 대해 dy/dx 0이 되고, 이 경우 y는 증가합니다... ... 경제사전

- (그리스어 monochromatic에서) Δx = x' x > 0에 대한 증분 Δf(x) = f(x') f(x)가 부호를 변경하지 않는 함수, 즉 항상 음수가 아니거나 항상 비긍정적. 완전히 정확하지는 않지만 M.f. 이것들은 다음과 같이 변화하는 기능입니다... ... 위대한 소련 백과사전

인수가 증가하면 항상 증가하거나(또는 적어도 감소하지 않음) 항상 감소(증가하지 않음)하는 함수입니다. * * * 단조함수 단조함수, 인수가 증가하면 항상 증가하는 함수(또는... ... 백과사전

실수의 특정 하위 집합에 정의된 하나의 변수 함수는 그룹의 증분은 부호를 변경하지 않습니다. 즉, 항상 음수가 아니거나 항상 양수가 아닙니다. 0보다 크거나 작다면 M.f. 라고 불리는... ... 수학백과사전

인수가 증가하면 항상 증가(또는 적어도 감소하지 않음)하거나 항상 감소(증가하지 않음)하는 함수... 자연 과학. 백과사전

숫자가 증가해도 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 수열입니다. 이러한 서열은 연구에서 종종 발견되며 여러 가지 독특한 특징과 추가 속성을 가지고 있습니다.... ... Wikipedia

기능- 하나 이상의 프로세스나 활동을 수행하는 데 사용하는 팀이나 그룹, 도구나 기타 리소스입니다. 예를 들어 고객 지원. 이 용어에는 또 다른 의미도 있습니다. ... ... 기술 번역가 가이드

기능- 1. 종속변수 2. 가변 수량 간의 대응 y=f(x), 이로 인해 일부 수량 x(인수 또는 독립 변수)의 고려된 각 값이 특정 값에 해당합니다... ... 경제 및 수학 사전

정의: 이 간격에서 인수의 더 큰 값이 함수의 더 큰 값에 해당하는 경우 함수는 특정 간격에 걸쳐 증가한다고 합니다.

정의: 이 간격에서 인수의 더 큰 값이 함수의 더 작은 값에 해당하는 경우 함수는 특정 간격에 걸쳐 감소한다고 합니다.

얼마나 증가하는가 . 마찬가지로 감소 함수를 단조 함수라고 합니다.

함수가 단조적이지 않으면 정의 영역은 유한한 수의 단조성 간격으로 나눌 수 있으며 이는 함수의 불변성 간격과 번갈아 나타날 수 있습니다.

함수 y = f(x)의 단조성은 1차 도함수 f ¤ (x)의 부호로 특징 지어집니다. 즉, 어떤 간격 f ¤ (x) > 0이면 함수는 이 간격에서 증가합니다. 어떤 간격 f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

함수 y = f(x)의 단조성 구간을 찾는 것은 1차 도함수 f ¤ (x)의 상수 부호 구간을 찾는 것으로 축소됩니다.

여기에서 우리는 함수 y = f(x)의 단조성 간격을 찾는 규칙을 얻습니다.

1. f ¤ (x)의 영점과 불연속점을 찾습니다.

2. 1단계에서 얻은 점들이 함수 f(x)의 정의 영역을 나누는 간격에서 f ¤(x)의 부호를 시험 방법으로 결정합니다.

예:

함수 y = - x 2 + 10x + 7의 단조성 간격을 구합니다.

f ¤(x)를 구해보자. y¢ = -2x +10

y¢ = 0인 지점은 1이고 함수 정의 영역을 다음 간격으로 나눕니다: (– ,5) 및 (5,+ ), 각 간격에서 y¢는 상수 부호를 유지합니다. 함수의 특정 값을 이러한 간격으로 대체하고 표시된 간격에서 y¢의 부호를 결정한 다음:

간격 (– ,5] y¢ > 0,

구간에서 함수는 증가하고 구간 I (3 ,+ )에서 각각 y¢는 상수 부호를 유지합니다. 그러면 함수의 특정 값을 이 간격에 대입하고 표시된 간격에서 y¢의 부호를 결정해 보겠습니다.

단조함수함수이다 증가이는 부호를 변경하지 않습니다. 즉, 항상 음수가 아니거나 항상 양수가 아닙니다. 추가로 증분이 0이 아닌 경우 함수가 호출됩니다. 엄격하게 단조롭다. 단조함수는 같은 방향으로 변화하는 함수이다.

더 큰 인수 값이 더 큰 함수 값에 해당하면 함수가 증가합니다. 인수의 더 큰 값이 함수의 더 작은 값에 해당하면 함수가 감소합니다.

함수를 주어보자.그러면

(엄격하게) 증가하거나 감소하는 함수를 (엄격하게) 단조롭다고 합니다.

극한의 정의

함수 y = f(x)는 x1에 대해 특정 구간에서 증가(감소)한다고 합니다.< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

미분 가능 함수 y = f(x)가 구간에서 증가(감소)하면 이 구간의 도함수 f "(x) > 0

(f" (x)< 0).

부등식 f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)인 점 xо의 이웃이 있는 경우 점 xо를 함수 f(x)의 국소 최대(최소) 점이라고 합니다. ))는 모든 점에 적용됩니다.

최대점과 최소점을 극점(extremum point)이라고 하며, 이 점의 함수 값을 극점(extrema)이라고 합니다.

극점

극한의 필요 조건. 점 x®가 함수 f(x)의 극점인 경우 f "(x®) = 0이거나 f(x®)는 존재하지 않습니다. 이러한 점을 임계라고 하며 함수 자체는 임계에서 정의됩니다. 함수의 극값은 임계점 중에서 찾아야 합니다.

첫 번째 충분조건. xo를 임계점으로 둡니다. f "(x)가 점 xo를 통과할 때 플러스에서 마이너스로 부호가 변경되면 점 xo에서 함수는 최대값을 가지며, 그렇지 않으면 최소값을 갖습니다. 임계점을 통과할 때 도함수가 부호를 변경하지 않으면, 그러면 xo 지점에는 극한값이 없습니다.

두 번째 충분조건. 함수 f(x)가 점 xо 근처에서 도함수 f " (x)를 갖고 점 xо 자체에서 2차 도함수를 갖습니다. If f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

세그먼트에서 함수 y = f(x)는 임계 지점이나 세그먼트 끝에서 최소값 또는 최대값에 도달할 수 있습니다.

7. 볼록함수, 오목함수 간격 .변곡점.

함수 그래프 와이=에프엑스(f(x))~라고 불리는 볼록한간격에 (a; b), 이 간격의 접선 아래에 있는 경우.

함수 그래프 와이=에프엑스(f(x))~라고 불리는 오목한간격에 (a; b), 이 간격의 접선 위에 위치하는 경우.

그림은 볼록한 곡선을 보여줍니다. (a; b)그리고 오목하다 (기원전).

예.

주어진 구간에서 함수 그래프가 볼록형인지 오목형인지를 결정할 수 있는 충분한 기준을 생각해 보겠습니다.

정리. 허락하다 와이=에프엑스(f(x))로 구별 가능 (a; b). 간격의 모든 지점에 있는 경우 (a; b)함수의 2차 도함수 와이 = 에프엑스(f(x))부정적, 즉 에프""(엑스) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же 에프""(엑스) > 0 - 오목함.

증거. 확실성을 가정해보자. 에프""(엑스) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

그래프의 함수를 살펴보자 y = f(x)임의의 점 중 0 가로좌표 포함 엑스 0  (ㅏ; 비) 그리고 점을 통해 그립니다. 중 0 접선. 그녀의 방정식. 우리는 함수의 그래프가 다음과 같다는 것을 보여야 합니다. (a; b)이 접선 아래에 있습니다. 즉 같은 값으로 엑스곡선의 세로좌표 y = f(x)접선의 세로좌표보다 작습니다.