기억하기가 매우 쉽습니다.

글쎄, 우리는 멀리 가지 않을 것이며 즉시 역함수를 고려할 것입니다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연" 로그라고 하며, 이를 위해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

무엇과 같습니까? 물론, .

자연 로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾으십시오.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수와 자연 로그는 도함수 측면에서 독특하게 단순한 함수입니다. 지수함수와 대수함수는 다른 밑수를 가지므로 미분법칙을 거친 후에 나중에 분석할 다른 도함수를 갖게 됩니다.

차별화 규칙

어떤 규칙? 또 새로운 용어, 또?!...

분화도함수를 찾는 과정입니다.

오직 모든 것. 이 과정을 다른 말로 하면? proizvodnovanie가 아니라... 수학의 미분을 함수의 증분이라고 합니다. 이 용어는 라틴어 Differentia - 차이에서 유래합니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 유도할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 함수를 사용합니다. 증분에 대한 공식도 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

If-일부 상수 (상수), 그러면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다. .

그것을 증명합시다. 시키거나 더 쉽게.

예.

함수의 도함수 찾기:

1. 그 시점에;
2. 그 시점에;
3. 그 시점에;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (미분은 선형 함수이기 때문에 모든 지점에서 동일합니다. 기억하십니까?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새 기능을 도입하고 증분을 찾습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 미분 찾기 및;
2. 한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.

솔루션:

지수 함수의 도함수

이제 귀하의 지식은 지수뿐만 아니라 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다(아직 무엇인지 잊으셨습니까?).

그래서 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 가져와 보겠습니다.

이를 위해 다음과 같은 간단한 규칙을 사용합니다. 그 다음에:

글쎄요. 이제 도함수를 찾으려고 노력하고 이 함수가 복잡하다는 것을 잊지 마십시오.

일어난?

여기에서 자신을 확인하십시오.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 남아 있지만 숫자 일뿐 변수가 아닌 요인 만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수 찾기:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자, 즉 더 간단한 형식으로 쓸 수 없는 숫자일 뿐입니다. 따라서 답안에는 이 형태로 남겨둔다.

여기에 두 함수의 몫이 있으므로 적절한 미분 규칙을 적용합니다.

이 예에서 두 함수의 곱은 다음과 같습니다.

대수 함수의 도함수

여기서도 비슷합니다: 여러분은 이미 자연 로그의 도함수를 알고 있습니다:

따라서 밑이 다른 로그에서 임의의 것을 찾으려면, 예를 들면 다음과 같습니다.

이 로그를 밑으로 가져와야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 이 공식을 기억하시기 바랍니다.

대신 지금 만 작성합니다.

분모는 상수(변수가 없는 상수)로 밝혀졌습니다. 미분은 매우 간단합니다.

지수 함수와 대수 함수의 도함수는 시험에서 거의 찾을 수 없지만 알고 있는 것이 불필요하지는 않습니다.

복잡한 함수의 도함수.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 대수도 아니고 아크 탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어려워 보이더라도 "로그" 항목을 읽으면 모든 것이 해결될 것입니다).

작은 컨베이어를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고 두 번째는 리본으로 묶습니다. 리본으로 싸서 묶은 초콜릿 바입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 순서로 반대 단계를 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 그들은 우리에게 숫자(초콜릿)를 주고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 당신은 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수로 첫 번째 작업을 직접 수행한 다음 첫 번째 결과로 발생한 다른 두 번째 작업을 수행합니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

이 예에서는 .

우리는 동일한 작업을 역순으로 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 기능: 작업 순서가 변경되면 기능이 변경됩니다.

두 번째 예: (동일). .

우리가 수행하는 마지막 작업은 "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 각각 "내부" 기능(비공식적인 이름이며 간단한 언어로 자료를 설명하기 위해서만 사용합니다).

어떤 기능이 외부이고 어떤 기능이 내부인지 스스로 결정하십시오.

답변:내부 함수와 외부 함수의 분리는 변수 변경과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 먼저 어떤 조치를 취할까요? 먼저 사인을 계산한 다음 큐브로 올립니다. 따라서 외부 기능이 아닌 내부 기능입니다.
   그리고 원래 기능은 그들의 구성입니다: .
2. 내부: ; 외부: .
   검사: .
3. 내부: ; 외부: .
   검사: .
4. 내부: ; 외부: .
   검사: .
5. 내부: ; 외부: .
   검사: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿을 추출하겠습니다. 파생 상품을 찾으십시오. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예의 경우 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화하겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단한 것 같죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금까지 줄이려고 하지 마세요! 코사인 아래에서 아무 것도 꺼내지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

여기에 3단계 복합 기능이 있다는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 이미 그 자체로 복합 기능이고 우리는 여전히 그것에서 루트를 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 래퍼에 넣습니다). 서류 가방에 리본 포함). 그러나 두려워할 이유는 없습니다. 어쨌든 이 기능을 평소와 같은 순서로 "언패킹"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별한 다음 괄호 안의 표현만 구별합니다. 그런 다음 모두 곱합니다.

이러한 경우 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 어떤 순서로 작업을 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다.

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능이 더 "외부적"이 됩니다. 작업 순서 - 이전과 동일:

여기서 중첩은 일반적으로 4단계입니다. 행동 방침을 결정합시다.

1. 급진적 표현. .

2. 뿌리. .

3. 부비동. .

4. 광장. .

5. 종합:

유도체. 메인에 대해 간단히

함수 미분- 인수의 극미한 증분으로 함수 증분 대 인수 증분의 비율:

기본 파생 상품:

차별화 규칙:

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

합계의 미분:

파생 제품:

몫의 미분:

복잡한 함수의 도함수:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째와 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

아직 수능까지 시간이 많이 남았다고 생각하시나요? 한 달입니까? 둘? 년도? 실습에 따르면 학생이 미리 준비하기 시작하면 시험에 가장 잘 대처할 수 있습니다. 통합 상태 시험에는 학생과 미래의 지원자가 최고 점수를 받는 데 방해가 되는 어려운 작업이 많이 있습니다. 이러한 장애물은 극복하기 위해 배워야 하며, 게다가 그렇게 하는 것은 어렵지 않습니다. 티켓에서 다양한 작업을 수행하는 원리를 이해해야 합니다. 그러면 새로운 문제가 없을 것입니다.

로그는 언뜻 보기에 매우 복잡해 보이지만 자세히 분석하면 상황이 훨씬 간단해집니다. 가장 높은 점수로 시험에 합격하려면 문제의 개념을 이해해야 하며 이 기사에서 제안합니다.

먼저 이러한 정의를 분리해 보겠습니다. 로그(로그)란? 이것은 표시된 숫자를 얻기 위해 베이스를 올려야 하는 힘의 지표입니다. 명확하지 않은 경우 기본적인 예를 분석합니다.

이 경우 숫자 4를 얻으려면 아래 밑면을 2제곱해야 합니다.

이제 두 번째 개념을 다루겠습니다. 어떤 형태로든 함수의 파생물을 주어진 지점에서 함수의 변화를 특징짓는 개념이라고 합니다. 그러나 이것은 학교 커리큘럼이며 이러한 개념에 대해 별도로 문제가 발생하면 주제를 반복 할 가치가 있습니다.

로그의 도함수

이 주제에 대한 USE 과제에서 몇 가지 작업을 예로 들 수 있습니다. 가장 간단한 로그 미분부터 시작하겠습니다. 다음 함수의 도함수를 찾아야 합니다.

다음 파생 상품을 찾아야 합니다.

특별한 공식이 있습니다.

이 경우 x=u, log3x=v입니다. 우리 함수의 값을 수식으로 대체하십시오.

x의 도함수는 1과 같습니다. 로그는 조금 더 어렵습니다. 그러나 값만 대입하면 원리를 이해할 수 있습니다. lg x의 도함수는 십진 로그의 도함수이고 ln x의 도함수는 자연 로그의 도함수(e를 기반으로 함)임을 상기하십시오.

이제 얻은 값을 수식에 대입하면 됩니다. 직접 해보시고 정답을 확인하세요.

여기서 어떤 문제가 있을 수 있습니까? 우리는 자연 로그의 개념을 도입했습니다. 그것에 대해 이야기하고 동시에 문제를 해결하는 방법을 알아 봅시다. 특히 작동 원리를 이해하면 복잡한 것을 볼 수 없습니다. 수학(특히 고등 교육 기관)에서 자주 사용되므로 익숙해져야 합니다.

자연 로그의 도함수

기본적으로 이것은 밑수 e에 대한 로그의 도함수입니다(이는 약 2.7에 해당하는 무리수입니다). 사실, ln은 매우 단순하기 때문에 일반적으로 수학에서 자주 사용됩니다. 사실 그와 함께 문제를 해결하는 것도 문제가 되지 않을 것이다. 밑수 e에 대한 자연 로그의 도함수는 1을 x로 나눈 것과 같다는 것을 기억할 가치가 있습니다. 다음 예제의 솔루션이 가장 잘 나타납니다.

두 개의 간단한 기능으로 구성된 복잡한 기능이라고 상상해보십시오.

변신하기에 충분하다

우리는 x에 대한 u의 도함수를 찾고 있습니다.

두 번째로 계속하자

u=nx를 대입하여 복소 함수의 도함수를 푸는 방법을 사용합니다.

결국 무슨 일이 일어 났니?

이제 이 예에서 n이 의미하는 바를 기억해 봅시다. 이것은 x 이전의 자연 로그에서 발생할 수 있는 모든 숫자입니다. 대답이 그것에 의존하지 않는다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 무엇이든 대체하면 답은 여전히 ​​1/x입니다.

보시다시피 여기에는 복잡한 것이 없으며이 주제에 대한 문제를 빠르고 효율적으로 해결하기 위해 원리를 이해하는 것으로 충분합니다. 이제 이론을 알았으니 실제로 통합하는 것이 남아 있습니다. 문제 푸는 원리를 오래 기억하기 위해 문제 푸는 연습을 합니다. 졸업 후에는 이 지식이 필요하지 않을 수도 있지만 시험에서는 그 어느 때보다 관련성이 높아질 것입니다. 행운을 빕니다!

자연 로그의 도함수와 밑수 a의 로그에 대한 공식의 증명 및 파생. ln 2x, ln 3x 및 ln nx의 도함수 계산의 예. 수학적 귀납법에 의한 n차 로그의 도함수 공식 증명.

콘텐츠

또한보십시오: 대수 - 속성, 공식, 그래프
자연 로그 - 속성, 공식, 그래프

자연 로그의 도함수와 밑수 a의 로그에 대한 공식 유도

x의 자연 로그의 도함수는 1을 x로 나눈 것과 같습니다.
(1) (lnx)' =.

밑수 a에 대한 로그의 도함수는 1을 변수 x로 나누고 a의 자연 로그를 곱한 것과 같습니다.
(2) (로그 x)' =.

증거

1이 아닌 양수가 있다고 하자. 기본 로그인 변수 x 에 의존하는 함수를 고려하십시오.
.
이 함수는 로 정의됩니다. x에 대한 도함수를 찾아봅시다. 정의에 따라 미분은 다음 극한입니다.
(3) .

이 표현을 알려진 수학적 속성 및 규칙으로 축소하도록 변환해 보겠습니다. 이를 위해서는 다음과 같은 사실을 알아야 합니다.
ㅏ)로그의 속성. 다음 공식이 필요합니다.
(4) ;
(5) ;
(6) ;
비)연속 함수에 대한 로그의 연속성과 극한의 속성:
(7) .
여기에 극한이 있고 이 극한이 양수인 함수가 있습니다.
안에)두 번째 경이로운 한계의 ​​의미:
(8) .

우리는 이러한 사실을 우리의 한계에 적용합니다. 먼저 대수식을 변환합니다.
.
이를 위해 속성 (4)와 (5)를 적용합니다.

.

속성(7)과 두 번째 놀라운 극한(8)을 사용합니다.
.

마지막으로 속성(6)을 적용합니다.
.
밑이 로그 이자형~라고 불리는 자연 로그. 다음과 같이 표시됩니다.
.
그 다음에 ;
.

따라서 우리는 로그의 미분에 대한 공식 (2)를 얻었습니다.

자연 로그의 도함수

다시 한 번 밑수 a에서 로그의 도함수에 대한 공식을 작성합니다.
.
이 수식은 자연 로그에 대해 가장 간단한 형식을 가지며, , . 그 다음에
(1) .

이러한 단순성 때문에 자연 로그는 미적분학 및 미분학 관련 수학의 다른 영역에서 매우 널리 사용됩니다. 밑이 다른 로그 함수는 속성 (6)을 사용하여 자연 로그로 표현할 수 있습니다.
.

로그의 기본 도함수는 미분 기호에서 상수를 빼면 식 (1)에서 찾을 수 있습니다.
.

로그의 도함수를 증명하는 다른 방법

여기서 우리는 지수의 도함수에 대한 공식을 알고 있다고 가정합니다.
(9) .
그러면 로그가 지수의 역수라는 점에서 자연 로그의 도함수 공식을 유도할 수 있습니다.

자연 로그의 도함수 공식을 증명해 보겠습니다. 역함수의 도함수 공식 적용:
.
우리의 경우 . 자연 로그의 역수는 지수입니다:
.
그것의 도함수는 식(9)에 의해 결정된다. 변수는 임의의 문자로 표시할 수 있습니다. 공식 (9)에서 변수 x를 y로 바꿉니다.
.
그때부터
.
그 다음에
.
공식이 입증되었습니다.

이제 우리는 다음을 사용하여 자연 로그의 도함수 공식을 증명합니다. 복합 함수를 구별하기 위한 규칙. 함수 와 는 서로 반대이므로
.
변수 x에 대해 이 방정식을 미분합니다.
(10) .
x의 도함수는 1과 같습니다.
.
복잡한 함수의 미분 규칙을 적용합니다.
.
여기 . (10)으로 대체:
.
여기에서
.

예

파생 상품 찾기 ln 2x, ln 3x그리고 ln nx.

원래 함수는 유사한 형태를 가집니다. 따라서 우리는 함수의 미분을 찾을 것입니다 y = 로그 nx. 그런 다음 n = 2 및 n = 3으로 대체합니다. 따라서, 우리는 ln 2x그리고 ln 3x .

그래서 우리는 함수의 도함수를 찾고 있습니다.
y = 로그 nx .
이 함수를 두 함수로 구성된 복잡한 함수로 표현해 보겠습니다.
1) 변수 종속 함수 : ;
2) 변수 종속 함수: .
그런 다음 원래 기능은 다음과 같은 기능으로 구성됩니다.
.

변수 x에 대한 함수의 도함수를 찾아봅시다.
.
변수에 대한 함수의 도함수를 찾아봅시다:
.
복소 함수의 미분 공식을 적용합니다.
.
여기서 우리는 .

그래서 우리는 다음을 찾았습니다.
(11) .
도함수가 n에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 이 결과는 곱의 로그 공식을 사용하여 원래 함수를 변환하면 매우 자연스럽습니다.
.
- 상수입니다. 미분은 0입니다. 그런 다음 합의 미분 규칙에 따라 다음을 얻습니다.
.

; ; .

로그 모듈로 x의 도함수

또 다른 매우 중요한 함수인 x 모듈의 자연 로그의 도함수를 찾아봅시다.
(12) .

경우를 생각해 봅시다. 그러면 함수는 다음과 같습니다.
.
그 도함수는 공식 (1)에 의해 결정됩니다.
.

이제 경우를 고려하십시오. 그러면 함수는 다음과 같습니다.
,
어디 .
그러나 우리는 또한 위의 예에서 이 함수의 도함수를 찾았습니다. n에 의존하지 않고 다음과 같습니다.
.
그 다음에
.

이 두 가지 경우를 하나의 공식으로 결합합니다.
.

따라서 밑수 a에 대한 로그에 대해 다음을 얻습니다.
.

자연 로그의 고차 도함수

기능을 고려하십시오
.
우리는 그것의 1차 미분을 찾았습니다:
(13) .

2차 도함수를 구해봅시다:
.
3차 도함수를 찾아봅시다:
.
네 번째 차수의 도함수를 찾아봅시다.
.

n차 도함수는 다음과 같은 형식을 가짐을 알 수 있습니다.
(14) .
이것을 수학적 귀납법으로 증명해 보자.

증거

값 n = 1을 공식 (14)에 대입해 보겠습니다.
.
이므로 n = 1 , 공식 (14)가 유효합니다.

n = k에 대해 식(14)이 만족된다고 가정하자. 공식이 n = k에 대해 유효하다는 것이 이것으로부터 따른다는 것을 증명합시다. + 1 .

실제로 n = k에 대해 우리는 다음을 얻습니다.
.
x에 대해 미분합니다.

.
그래서 우리는:
.
이 공식은 n = k +에 대한 공식 (14)와 일치합니다. 1 . 따라서 공식 (14)가 n = k에 대해 유효하다는 가정에서 공식 (14)는 n = k +에 대해 유효합니다. 1 .

따라서 n차 도함수에 대한 식(14)은 모든 n에 대해 유효합니다.

a를 밑으로 하는 로그의 고차 도함수

기본 로그 a 의 n차 도함수를 찾으려면 자연 로그로 표현해야 합니다.
.
공식 (14)를 적용하여 n차 도함수를 찾습니다.
.

또한보십시오:

복잡한 파생 상품. 로그 미분.
지수 함수의 도함수

차별화 기술을 지속적으로 개선하고 있습니다. 이 단원에서는 다루는 자료를 통합하고 더 복잡한 도함수를 고려하며 특히 로그 도함수를 사용하여 도함수를 찾는 새로운 요령과 요령에 대해 알아봅니다.

준비 수준이 낮은 독자는 기사를 참조하십시오. 미분을 찾는 방법? 솔루션 예시거의 처음부터 기술을 향상시킬 수 있습니다. 다음으로 페이지를 주의 깊게 연구해야 합니다. 복잡한 함수의 도함수, 이해하고 해결 모두내가 준 예. 이 레슨은 논리적으로 세 번째이며 마스터한 후에는 상당히 복잡한 기능을 자신 있게 구별할 수 있습니다. “다른 곳은 어디입니까?”라는 입장을 고수하는 것은 바람직하지 않습니다. 예, 충분합니다!”, 모든 예제와 솔루션은 실제 테스트에서 가져오고 실제로 자주 발견되기 때문입니다.

반복부터 시작합시다. 수업에서 복잡한 함수의 도함수자세한 설명과 함께 여러 가지 예를 살펴보았습니다. 미분학 및 수학적 분석의 다른 섹션을 공부하는 과정에서 매우 자주 미분해야 하며 예를 아주 자세하게 그리는 것이 항상 편리한 것은 아닙니다(항상 필요한 것은 아닙니다). 따라서 파생상품의 구술발견을 실습합니다. 이에 가장 적합한 "후보"는 가장 단순한 복잡한 함수의 파생물입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

복소 함수의 미분 법칙에 따라 :

앞으로 다른 마탄 주제를 공부할 때 이러한 자세한 기록은 대부분 필요하지 않으며 학생이 자동 조종 장치에서 유사한 파생물을 찾을 수 있다고 가정합니다. 아침 3시에 전화가 울리고 유쾌한 목소리가 "2 x의 탄젠트에서 미분은 무엇입니까? "라고 묻는다고 상상해보십시오. 거의 즉각적이고 정중한 응답이 뒤따라야 합니다. .

첫 번째 예는 즉시 독립적인 솔루션을 위한 것입니다.

예 1

예를 들어 다음과 같은 파생 상품을 구두로 한 번에 찾으십시오. . 작업을 완료하려면 다음을 사용하기만 하면 됩니다. 기본 함수의 도함수 표(그녀가 아직 기억하지 못한 경우). 어려운 점이 있으면 강의를 다시 읽는 것이 좋습니다. 복잡한 함수의 도함수.

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수업이 끝날 때 답변

복합 파생상품

예비 포병 준비 후 3-4-5 기능 첨부 예제는 덜 무섭습니다. 아마도 다음 두 가지 예는 일부에게는 복잡해 보일 수 있지만 이해한다면 (누군가는 고통을 겪습니다) 미분학의 거의 모든 것이 어린이 농담처럼 보일 것입니다.

예 2

함수의 도함수 찾기

이미 언급한 바와 같이 복소함수의 도함수를 구하려면 우선 오른쪽투자를 이해하십시오. 의심스러운 경우 유용한 트릭을 상기시켜 드리겠습니다. 예를 들어 실험적 값 "x"를 사용하고 (정신적으로 또는 초안에서)이 값을 "끔찍한 표현"으로 대체하려고 시도합니다.

1) 먼저 식을 계산해야 하므로 합이 가장 깊은 중첩입니다.

2) 그런 다음 로그를 계산해야 합니다.

4) 그런 다음 코사인을 세제곱합니다.

5) 다섯 번째 단계에서 차이점은 다음과 같습니다.

6) 마지막으로 가장 바깥쪽 함수는 제곱근입니다.

복소 함수 미분 공식 가장 바깥쪽 함수에서 가장 안쪽 함수까지 역순으로 적용됩니다. 우리는 다음을 결정합니다.

오류가 없는듯...

(1) 제곱근의 도함수를 취합니다.

(2) 규칙을 사용하여 차이의 미분을 취합니다.

(3) 트리플의 도함수는 0과 같습니다. 두 번째 항에서는 차수(큐브)의 미분을 취합니다.

(4) 코사인의 도함수를 취합니다.

(5) 로그의 미분을 취합니다.

(6) 마지막으로 가장 깊은 중첩의 파생물을 취합니다.

너무 어려워 보일 수 있지만 이것은 가장 잔인한 예가 아닙니다. 예를 들어 Kuznetsov의 컬렉션을 살펴보면 분석된 파생 상품의 모든 매력과 단순성을 높이 평가할 것입니다. 나는 학생들이 복잡한 함수의 미분을 찾는 방법을 이해하는지 또는 이해하지 못하는지 확인하기 위해 시험에서 비슷한 것을 제공하는 것을 좋아한다는 것을 알았습니다.

다음 예는 독립 실행형 솔루션에 대한 것입니다.

예 3

함수의 도함수 찾기

힌트: 먼저 제품의 선형 규칙과 미분 규칙을 적용합니다.

수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변.

더 작고 더 예쁜 것으로 넘어갈 때입니다.
예를 들어 함수가 둘이 아니라 셋인 곱셈이 주어진 상황은 드문 일이 아니다. 세 요인 곱의 미분을 찾는 방법은 무엇입니까?

예 4

함수의 도함수 찾기

먼저 살펴보는데, 세 가지 기능의 곱을 두 가지 기능의 곱으로 바꾸는 것이 가능할까요? 예를 들어 제품에 두 개의 다항식이 있는 경우 괄호를 열 수 있습니다. 하지만 이 예에서는 차수, 지수, 로그 등 모든 함수가 다릅니다.

이러한 경우에 필요한 차례로제품 차별화 규칙 적용 두 배

비결은 "y"의 경우 두 함수의 곱을 나타내는 것입니다. , "ve"의 경우 - 대수:. 왜 이것이 가능합니까? 인가요 -이것은 두 가지 요소의 곱이 아니며 규칙이 작동하지 않습니까?! 복잡한 것은 없습니다.

이제 규칙을 두 번째로 적용해야 합니다. 대괄호로:

여전히 괄호에서 무언가를 왜곡하고 꺼낼 수 있지만이 경우이 형식으로 답을 남겨 두는 것이 좋습니다. 확인하기가 더 쉬울 것입니다.

위의 예는 두 번째 방법으로 해결할 수 있습니다.

두 솔루션 모두 절대적으로 동일합니다.

실시예 5

함수의 도함수 찾기

이것은 독립 솔루션의 예이며 샘플에서는 첫 번째 방법으로 해결됩니다.

분수와 유사한 예를 고려하십시오.

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기에서 여러 가지 방법으로 이동할 수 있습니다.

또는 다음과 같이:

그러나 먼저 몫의 미분 규칙을 사용하면 솔루션을 더 간단하게 작성할 수 있습니다. , 전체 분자에 대해:

원칙적으로 예제는 풀고, 이 형태로 남겨두면 오류가 없을 것입니다. 그러나 시간이 있으면 항상 초안을 확인하는 것이 좋지만 답변을 단순화할 수 있습니까? 우리는 분자의 표현을 공통 분모로 가져오고 3층 부분을 없애다:

추가 단순화의 단점은 파생물을 찾을 때가 아니라 진부한 학교 변형을 찾을 때 실수 할 위험이 있다는 것입니다. 반면에 교사는 종종 과제를 거부하고 파생물을 "생각나게 하라"고 요청합니다.

DIY 솔루션의 간단한 예:

실시예 7

함수의 도함수 찾기

우리는 도함수를 찾는 기술을 계속해서 습득하고 이제 미분을 위해 "끔찍한" 로그가 제안되는 전형적인 경우를 고려할 것입니다.

실시예 8

함수의 도함수 찾기

여기에서 복잡한 함수의 미분 규칙을 사용하여 먼 길을 갈 수 있습니다.

그러나 첫 번째 단계는 즉시 당신을 낙담하게 만듭니다. 당신은 분수 정도의 불쾌한 파생물을 취한 다음 분수에서 가져와야합니다.

그래서 ~ 전에잘 알려진 학교 속성을 사용하여 이전에 단순화된 "멋진" 로그의 파생물을 얻는 방법:

! 연습용 공책이 있으면 바로 이 공식을 복사하십시오. 공책이 없다면 종이에 그립니다. 수업의 나머지 예제는 이 공식을 중심으로 진행됩니다.

솔루션 자체는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.

함수를 변환해 보겠습니다.

미분을 찾습니다.

함수 자체의 예비 변환은 솔루션을 크게 단순화했습니다. 따라서 미분을 위해 유사한 로그가 제안되면 항상 "분할"하는 것이 좋습니다.

이제 독립 솔루션에 대한 몇 가지 간단한 예가 있습니다.

실시예 9

함수의 도함수 찾기

실시예 10

함수의 도함수 찾기

수업이 끝날 때 모든 변형 및 답변.

로그 미분

로그의 도함수가 그렇게 감미로운 음악이라면 어떤 경우에는 로그를 인위적으로 구성하는 것이 가능한가라는 질문이 생깁니다. 할 수 있다! 그리고 심지어 필요합니다.

실시예 11

함수의 도함수 찾기

우리가 최근에 고려한 유사한 예. 무엇을 해야 합니까? 몫의 미분법칙과 곱의 미분법칙을 순차적으로 적용할 수 있습니다. 이 방법의 단점은 처리하고 싶지 않은 거대한 3층 부분을 얻게 된다는 것입니다.

그러나 이론과 실제에서 대수 도함수와 같은 놀라운 것이 있습니다. 로그는 양쪽에 "매달아" 인위적으로 구성할 수 있습니다.

메모 : 왜냐하면 함수는 음수 값을 가질 수 있으므로 일반적으로 모듈을 사용해야 합니다. , 분화의 결과로 사라집니다. 그러나 현재 디자인도 허용 가능하며 기본적으로 복잡한가치. 그러나 엄밀히 말하면 두 경우 모두 다음을 예약해야합니다..

이제 가능한 한 우변의 로그를 "파괴"해야 합니다(눈 앞의 공식?). 이 과정을 자세히 설명하겠습니다.

차별화부터 시작하겠습니다.
스트로크로 두 부분을 모두 마무리합니다.

우변의 도함수는 매우 간단합니다. 이에 대해서는 언급하지 않겠습니다. 이 텍스트를 읽고 있다면 안심하고 다룰 수 있어야 하기 때문입니다.

왼쪽은 어떻습니까?

왼쪽에는 복잡한 기능. 나는 "왜 로그 아래에 하나의 문자 "y"가 있습니까?"라는 질문을 예상합니다.

사실 이 "한 글자 y"는 - 그 자체로 기능입니다(명확하지 않은 경우 암시적으로 지정된 함수 파생 ​​문서 참조). 따라서 로그는 외부 함수이고 "y"는 내부 함수입니다. 그리고 우리는 복합 함수 미분 규칙을 사용합니다. :

왼편에는 마술처럼 도함수가 있습니다. 또한 비율의 규칙에 따라 왼쪽 분모에서 오른쪽 상단으로 "y"를 던집니다.

그리고 이제 우리는 미분할 때 어떤 종류의 "게임" 기능에 대해 이야기했는지 기억합니까? 조건을 살펴보겠습니다.

최종 답변:

실시예 12

함수의 도함수 찾기

이것은 DIY 예제입니다. 수업이 끝날 때 이러한 유형의 예에 대한 샘플 디자인.

대수 미분의 도움으로 예제 번호 4-7 중 하나를 해결할 수 있었으며 또 다른 점은 함수가 더 간단하고 아마도 대수 미분의 사용이 그다지 정당하지 않다는 것입니다.

지수 함수의 도함수

우리는 아직 이 기능을 고려하지 않았습니다. 지수 함수는 다음을 갖는 함수입니다. 차수와 기준은 "x"에 따라 달라집니다.. 모든 교과서나 강의에서 제공되는 고전적인 예:

지수 함수의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

방금 고려한 기술인 대수 도함수를 사용해야 합니다. 양쪽에 로그를 걸었습니다.

원칙적으로 오른쪽의 로그 아래에서 차수를 가져옵니다.

결과적으로 오른쪽에는 표준 공식에 따라 구별되는 두 가지 기능의 곱이 있습니다. .

미분을 찾았습니다. 이를 위해 두 부분을 스트로크로 묶습니다.

다음 단계는 쉽습니다.

마지막으로:

일부 변환이 완전히 명확하지 않은 경우 예 11의 설명을 주의 깊게 다시 읽으십시오.

실제 작업에서 지수 함수는 고려된 강의 예제보다 항상 더 복잡합니다.

실시예 13

함수의 도함수 찾기

로그 미분을 사용합니다.

오른쪽에는 상수와 "x"와 "x의 로그의 로그"라는 두 요소의 곱이 있습니다(또 다른 로그는 로그 아래에 중첩되어 있습니다). 우리가 기억하는 것처럼 상수를 미분할 때 방해가 되지 않도록 미분 부호에서 즉시 빼는 것이 좋습니다. 물론 익숙한 규칙을 적용합니다. :

도함수를 찾는 작업을 미분이라고 합니다.

미분을 인수의 증분에 대한 증분의 비율의 극한으로 정의하여 가장 간단한 (그리고 매우 간단하지 않은) 함수의 미분을 찾는 문제를 해결 한 결과 미분 테이블과 정확하게 정의 된 미분 규칙이 나타났습니다. . Isaac Newton(1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)는 파생 상품을 찾는 분야에서 처음으로 일했습니다.

따라서 우리 시대에 어떤 함수의 도함수를 찾기 위해서는 위에서 언급한 인수의 증분에 대한 함수의 증분 비율의 한계를 계산할 필요가 없고 표를 사용하기만 하면 됩니다. 미분법칙과 미분법칙. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

미분을 찾으려면, 스트로크 기호 아래에 표현식이 필요합니다. 간단한 함수 분해그리고 어떤 행동을 결정 (곱, 합계, 몫)이러한 기능은 관련이 있습니다. 또한 미분 규칙에서 미분 표에서 기본 함수의 미분을 찾고 곱, 합계 및 몫의 미분 공식을 찾습니다. 도함수 표와 미분 규칙은 처음 두 예제 다음에 제공됩니다.

예 1함수의 도함수 찾기

해결책. 미분 규칙에서 우리는 함수 합의 도함수는 함수 도함수 합, 즉

미분 표에서 "X"의 미분은 1이고 사인의 미분은 코사인임을 알 수 있습니다. 이 값을 파생 상품의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 파생 상품을 찾습니다.

예 2함수의 도함수 찾기

해결책. 합계의 도함수로 미분합니다. 여기서 상수 인수가 있는 두 번째 항은 도함수의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

무언가가 어디에서 왔는지에 대한 질문이 여전히 있으면 일반적으로 파생 상품 표와 가장 간단한 차별화 규칙을 읽은 후에 명확해집니다. 우리는 지금 그들에게 가고 있습니다.

단순 함수의 도함수 표

1. 상수(숫자)의 미분. 함수 표현식에 있는 모든 숫자(1, 2, 5, 200...). 항상 0입니다. 매우 자주 필요하므로 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립 변수의 미분. 가장 자주 "x". 항상 1과 같습니다. 이것은 또한 기억하는 것이 중요합니다
3. 학위의 미분. 문제를 풀 때 비제곱근을 거듭제곱으로 변환해야 합니다.
4. -1의 거듭제곱에 대한 변수의 도함수
5. 제곱근의 도함수
6. 사인 미분
7. 코사인 미분
8. 탄젠트 미분
9. 코탄젠트의 도함수
10. 아크사인의 도함수
11. 아크코사인의 도함수
12. 아크탄젠트의 미분
13. 역탄젠트의 도함수
14. 자연로그의 도함수
15. 대수 함수의 도함수
16. 지수의 미분
17. 지수 함수의 도함수

차별화 규칙

1. 합 또는 차의 미분
2. 파생 상품
2a. 상수 인수를 곱한 식의 도함수
3. 몫의 도함수
4. 복소함수의 도함수

규칙 1함수인 경우

어떤 지점에서 미분 가능하고 같은 지점에서 함수

그리고

저것들. 함수의 대수적 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수적 합과 같습니다.

결과. 두 개의 미분 가능 함수가 상수만큼 다른 경우 해당 미분은 다음과 같습니다., 즉.

규칙 2함수인 경우

가 어떤 점에서 미분가능하다면 그들의 곱도 같은 점에서 미분가능합니다.

그리고

저것들. 두 함수의 곱의 미분은 이러한 각 함수의 곱과 다른 함수의 곱의 합과 같습니다.

결과 1. 미분의 부호에서 상수 요소를 제거할 수 있습니다.:

결과 2. 미분 가능한 여러 함수의 곱의 도함수는 각 인수와 다른 모든 함수의 도함수의 곱의 합과 같습니다.

예를 들어 3개의 곱셈기의 경우:

규칙 3함수인 경우

어느 시점에서 미분 가능 그리고 , 그런 다음 이 시점에서 그들의 몫도 미분 가능합니다.u/v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분자가 분모와 분자의 도함수의 곱과 분자와 분모의 도함수의 차이인 분수와 같고 분모는 이전 분자의 제곱입니다. .

다른 페이지에서 볼 수 있는 위치

실제 문제에서 곱의 도함수와 몫을 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 한 번에 적용해야 하므로 이러한 도함수에 대한 더 많은 예제가 기사에 있습니다."곱과 몫의 도함수".

논평.상수(즉, 숫자)를 합계의 항과 상수 요소로 혼동해서는 안 됩니다! 항의 경우 그 도함수는 0이고, 상수인 경우에는 도함수의 부호에서 빼준다. 이는 도함수 공부 초기 단계에서 흔히 발생하는 전형적인 실수인데, 일반 학생이 일-이성분 예제를 여러 개 풀면서 일반 학생은 더 이상 이런 실수를 하지 않습니다.

그리고 곱이나 몫을 구별할 때 용어가 있는 경우 유"V, 여기서 유- 예를 들어 2 또는 5와 같은 숫자, 즉 상수인 경우 이 숫자의 도함수는 0이 되므로 전체 용어는 0이 됩니다(이러한 경우는 예 10에서 분석됨). .

또 다른 일반적인 실수는 복소 함수의 도함수를 단순 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그래서 복소 함수의 도함수별도의 기사에 전념합니다. 그러나 먼저 간단한 함수의 도함수를 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현의 변형 없이는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 Windows 설명서에서 열어야 할 수 있습니다. 힘과 뿌리가 있는 행동그리고 분수가 있는 작업 .

거듭제곱과 근이 있는 도함수에 대한 솔루션을 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때 , 그런 다음 " 거듭제곱과 근을 가진 분수의 합의 도함수" 수업을 따르십시오.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , "단순 삼각 함수의 도함수" 수업에 있습니다.

단계별 예 - 미분을 찾는 방법

예 3함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현의 부분을 결정합니다. 전체 표현은 곱을 나타내고 그 요소는 합계이며, 두 번째는 항 중 하나에 상수 요소가 포함되어 있습니다. 제품 차별화 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 미분은 이러한 각 함수의 곱과 다른 함수의 곱의 합과 같습니다.

다음으로, 합의 미분 규칙을 적용합니다. 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 빼기 기호가 있는 두 번째 용어입니다. 각각의 합에서 우리는 미분이 1인 독립 변수와 미분이 0인 상수(숫자)를 모두 봅니다. 따라서 "x"는 1로, 마이너스 5는 0으로 바뀝니다. 두 번째 식에서 "x"는 2를 곱하므로 "x"의 미분과 같은 단위로 2를 곱합니다. 파생 상품의 다음 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

그리고 미분에서 문제의 해를 확인할 수 있습니다.

예 4함수의 도함수 찾기

해결책. 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 몫을 미분하기 위한 공식을 적용합니다: 두 함수의 몫의 도함수는 분자가 분모의 곱과 분자의 도함수 및 분자와 분모의 도함수의 차이인 분수와 같습니다. 분모는 이전 분자의 제곱입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

우리는 이미 예 2에서 분자의 인수의 도함수를 찾았습니다. 또한 현재 예에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호로 취해진 것을 잊지 마십시오.

예를 들어 다음과 같이 근과 도의 연속 더미가 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 솔루션을 찾고 있다면 다음과 같습니다. 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근을 가진 분수의 합의 도함수" .

사인, 코사인, 탄젠트 및 기타 삼각 함수의 도함수에 대해 자세히 알아야 하는 경우, 즉 함수가 다음과 같은 경우 , 그럼 당신은 수업이 있습니다 "단순 삼각함수의 도함수" .

실시예 5함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 독립 변수의 제곱근인 요인 중 하나인 제품을 봅니다. 파생 상품 테이블에서 친숙한 파생 상품이 있습니다. 제품 차별화 규칙과 제곱근 미분의 표 값에 따라 다음을 얻습니다.

에서 미분 문제의 솔루션을 확인할 수 있습니다. 파생 계산기 온라인 .

실시예 6함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 배당금이 독립 변수의 제곱근인 몫을 봅니다. 예 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근 미분의 표 값에 따라 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 제거하려면 분자와 분모에 .