В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали :
$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$
Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$
Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.
Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Ответ.
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение.
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения . Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$
Решение. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right| \leftarrow=a_{11} \cdot A_{11}+a_{12} \cdot A_{12}+a_{13} \cdot A_{13}=$
$1 \cdot(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {6} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+2 \cdot(-1)^{1+2} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {6} \\ {7} & {9}\end{array}\right|+3 \cdot(-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$
Ответ.
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя : из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$
$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя , сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:
$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:
$$\left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {0} & {4} & {8}\end{array}\right|=4 \cdot(-1)^{2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя , равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$
$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
1.Теорема разложения:
Всякий определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.
Для i- й строки:
или для j -го столбца:
Пример 7.1. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки:
1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+
3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=
Теорема разложения позволяет заменить вычисление одного определителя n- го порядка вычислением n определителей (n- 1)-го порядка.
Однако для упрощения вычислений целесообразно для определителей высоких порядков использовать метод «размножения нулей», основанный на свойстве 6 раздела 5. Его идея:
Сначала «размножить нули» в некотором ряду, т.е. получить ряд, в котором только один элемент не равен нулю, остальные нули;
Затем разложить определитель по элементам этого ряда.
Следовательно, на основании теоремы разложения исходный определитель равен произведению ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.
Пример7.2. Вычислить определитель:
.
«Размножим нули» в первом столбце.
От второй строки вычтем первую, умноженную на 2, от третьей строки вычтем первую, умноженную на 3, а от четвертой строки вычтем первую, умноженную на 4. При таких преобразованиях величина определителя не изменится.
По свойству 4 раздела 5 можем вынести за знак определителя из 1-го столбца, из 2-го столбца и из 3-го столбца.
Следствие: Определитель с нулевым рядом равен нулю.
2. Теорема замещения:
Сумма парных произведений каких-либо чисел на алгебраические дополнения некоторого ряда определителя равна тому определителю, который получается из данного, если в нем заменить элементы этого ряда взятыми числами.
Для -й строки:
1. Теорема аннулирования:
Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
Действительно, по теореме замещения получаем определитель, у которого в k -й строке стоят те же элементы, что и в i -й строке
Но по свойству 3 раздела 5 такой определитель равен нулю.
Т.о., теорему разложения и ее следствия можно записать следующим образом:
8. Общие сведения о матрицах. Основные определения.
Определение 8.1 . Матрицей называется следующая прямоугольная таблица:
Применяют также следующие обозначения матрицы: 
, или , или .
Строки и столбцы матрицы именуются рядами.
Величина называется размером матрицы.
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу, называемую транспонированной . Матрица, транспонированнаяс , обычно обозначается символом .
Например:
Определение 8.2 . Две матрицы A и B называются равными , если
1) обе матрицы одинаковых размеров, т.е. 
и ;
2) все их соответствующие элементы равны, т.е.
Тогда . (8.2)
Здесь одно матричное равенство (8.2) эквивалентно скалярных равенств (8.1).
9. Разновидности матриц.
1) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей:
2) Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой, например . Аналогично этому матрица, имеющая только один столбец, именуется матрицей-столбцом, например .
Транспонирование переводит матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.
3) Если m = n , то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.
Диагональ членов квадратной матрицы, идущая из левого верхнего угла в ее правый нижний угол, называется главной . Другая же диагональ ее членов, идущая из левого нижнего угла в ее правый верхний угол, именуется побочной .
Для квадратной матрицы может быть вычислен определитель det(A) .
Часто в ВУЗе попадаются задачи по высшей математики, в которых необходимо вычислить определитель матрицы . К слову, определитель может быть только в квадратных матрицах. Ниже рассмотрим основные определения, какими свойствами обладает определитель и как его правильно вычислить.. Также на примерах покажем подробное решение.
Что такое определитель матрицы: вычисление определителя при помощи определения
Определитель матрицы
Второго порядка – это число .
Определитель матрицы обозначается – (сокращенно от латинского названия детерминант), или .
Если:, тогда получается
Напомним ещё несколько вспомогательных определений:
Определение
Упорядоченный набор чисел, который состоит из элементов называется перестановкой порядка .
Для множества, которое содержит элементов есть факториал (n), который всегда обозначается восклицательным знаком: . Перестановки отличаются друг от друга всего лишь порядком следования. Чтобы вам было понятнее, приведём пример:
Рассмотрим множество из трёх элементов {3, 6, 7}. Всего перестановок 6, так как .:
Определение
Инверсия в перестановке порядка – это упорядоченный набор чисел (его ещё называют биекцией), где из них два числа образуют некий беспорядок. Это когда большее из чисел в данной перестановке расположено левее меньшего числа.
Выше мы рассматривали пример с инверсией перестановки, где были числа . Так вот, возьмём вторую строку, где судя по данным числам получается, что , а , так как второй элемент больше третьего элемента . Возьмём для сравнения шестую строку, где расположены числа: . Здесь есть три пары: , а , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.
Саму инверсию мы изучать не будем, а вот перестановки нам очень пригодятся в дальнейшем рассмотрении темы.
Определение
Определитель матрицы x – число:
– перестановка чисел от 1 до бесконечного числа , а – число инверсий в перестановке. Таким образом, в определитель входит слагаемых, которые называются “членами определителя”.
Можно вычислять определитель матрицы второго порядка, третьего и даже четвёртого. Также стоит упомянуть:
Определение
определитель матрицы – это число, которое равняется
Чтобы понять данную формулу, опишем её более подробно. Определитель квадратной матрицы x – это сумма, которая содержит слагаемых, а каждое слагаемое является собой произведением определённого количества элементов матрицы. При этом, в каждом произведении есть элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы.
Перед определённым слагаемым может появится в том случае, если элементы матрицы в произведении идут по порядку (по номеру строку), а количество инверсий в перестановке множество номеров столбцов нечётно.
Выше упоминалось о том, что определитель матрицы обозначается или , то есть, определитель часто называют детерминантом.
Итак, вернёмся к формуле:
Из формулы видно, что определитель матрицы первого порядка – это элемент этой же матрицы .
Вычисление определителя матрицы второго порядка
Чаще всего на практике определитель матрицы решается методами второго, третьего и реже, четвёртого порядка. Рассмотрим, как вычисляется определитель матрицы второго порядка:
В матрице второго порядка , отсюда следует, что факториал . Прежде чем применить формулу
Необходимо определить, какие данные у нас получаются:
2. перестановки множеств: и ;
3. количество инверсий в перестановке : и , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;
4. соответствующие произведения : и .
Получается:
Исходя из вышесказанного мы получаем формулу для вычисления определителя квадратной матрицы второго порядка, то есть x :
Рассмотрим на конкретном примере, как вычислять определитель квадратной матрицы второго порядка:
Пример
Задача
Вычислить определитель матрицы x :
Решение
Итак, у нас получается , , , .
Для решения необходимо воспользоваться ранее рассмотренной формулой:
Подставляем числа с примера и находим:
Ответ
Определитель матрицы второго порядка = .
Вычисление определителя матрицы третьего порядка: пример и решение по формуле
Определение
Определитель матрицы третьего порядка – это число, полученное из девяти заданных чисел, расположенных в виде квадратной таблицы,
Определитель третьего порядка находится почти так же, как и определитель второго порядка. Разница лишь в формуле. Поэтому, если хорошо ориентироваться в формуле, тогда и проблем с решением не будет.
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка * :
Исходя из данной матрицы, понимаем, что , соответственно, факториал = , а это значит, что всего перестановок получается
Чтобы применить правильно формулу , необходимо найти данные:
Итак, всего перестановок множества :
Количество инверсий в перестановке , а соответствующие произведения = ;
Количество инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;
Инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;
. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение =
. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение =
. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .
Теперь у нас получается:
Таким образом у нас получена формула для вычисления определителя матрицы порядка x :
Нахождение матрицы третьего порядка по правилу треугольника (правило Саррюса)
Как говорилось выше, элементы определителя 3-го порядка расположены в трёх строках и трёх столбцах. Если ввести обозначение общего элемента , тогда первый элемент обозначает номер строки, а второй элемент из индексов – номер столбца. Есть главная (элементы ) и побочная (элементы ) диагонали определителя. Слагаемые в правой части называются членами определителя).
Видно, что каждый член определителя находится в схеме только по одному элементу в каждой строке и каждого столбца.
Вычислять определитель можно при помощи правила прямоугольника, который изображён в виде схемы. Красным цветом выделены члены определителя из элементов главной диагонали, а также члены из элементов, которые находятся в вершине треугольников, что имеют по одной стороне, параллельны главной диагонали (лева схема), беруться со знаком .
Члены с синими стрелками из элементов побочной диагонали, а также из элементов, которые находятся в вершинах треугольников, что имеют стороны, параллельные побочной диагонали (правая схема) берутся со знаком .
На следующем примере научимся, как вычислять определитель квадратной матрицы третьего порядка.
Пример
Задача
Вычислить определитель матрицы третьего порядка:
Решение
В этом примере:
Вычисляем определитель, применяя формулу или схему, которые рассматривались выше:
Ответ
Определитель матрицы третьего порядка =
Основные свойства определителей матрицы третьего порядка
На основании предыдущих определений и формул рассмотрим основные свойства определителя матрицы .
1. Размер определителя не изменится при замене соответствующих строк, столбцов (такая замена называется транспонированием).
На примере убедимся, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы:
Вспомним формулу для вычисления определителя:
Транспонируем матрицу:
Вычисляем определитель транспонированной матрицы:
Мы убедились, что определитель транспортированной матрицы равен исходной матрице, что говорит о правильном решении.
2. Знак определителя изменится на противоположный, если в нём поменять местами любые два его столбца или две строки.
Рассмотрим на примере:
Даны две матрицы третьего порядка ( x ):
Нужно показать, что определители данных матриц противоположные.
Решение
В матрице и в матрице поменялись строки (третья с первой, и с первой на третью). Согласно второму свойству определители двух матриц должны отличаться знаком. То есть, одна матрица с положительным знаком, а вторая – с отрицательным. давайте проверим данное свойство, применив формулу для вычисления определителя.
Свойство верно, так как .
3. Определитель равняется нулю, если в нём есть одинаковые соответствующие элементы в двух строках (столбцах). Пусть у определителя одинаковые элементы первого и второго столбцов:
Поменяв местами одинаковые столбцы, мы, согласно свойству 2 получим новый определитель: = . С другой стороны, новый определитель совпадает с изначальным, поскольку одинаковые ответы элементы, то есть = . Из этих равенств у нас получается: = .
4. Определитель равняется нулю, если все элементы одной строки (столбца) нули. Это утверждение выплывает из того, что у каждого члена определителя по формуле (1) есть по одному, и только по одному элементу с каждой строки (столбца), у которого одни нули.
Рассмотрим на примере:
Покажем, что определитель матрицы равен нулю:
В нашей матрицы есть два одинаковых столбца (второй и третий), поэтому, исходя из данного свойства, определитель должен равняться нулю. Проверим:
И действительно, определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равняется нулю.
5. Общий множитель элементов первой строки (столбца) можно вынести за знак определителя:
6. Если элементы одной строки или одного столбца определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки (столбца), тогда такой определитель равняется нулю.
Действительно, за свойством 5 коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, и тогда воспользоваться свойством 3.
7. Если каждый из элементов строк (столбцов) определителя является суммой двух слагаемых, то этот определитель можно подать в виде суммы соответствующих определителей:
Для проверки достаточно записать в развёрнутом виде по (1) определитель, что в левой части равенства, тогда отдельно сгруппировать члены, в которых содержатся элементы и .Каждая из полученных групп слагаемых будет соответственно первым и вторым определителем с правой части равенства.
8. Значения определения не изменятся, если к элементу одной строки или одного столбца прибавить соответствующие элементы второй строки (столбца), умноженные на одно и то же число:
Это равенство получается исходя из свойств 6 и 7.
9. Определитель матрицы , , равняется сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Здесь по подразумевается алгебраическое дополнение элемента матрицы . При помощи данного свойства можно вычислять не только матрицы третьего порядка, но и матрицы более высших порядков ( x или x ).Другими словами – это рекуррентная формула, которая нужна для того, чтобы вычислить определитель матрицы любого порядка. Запомните её, так как она часто применяется на практике.
Стоит сказать, что при помощи девятого свойства можно вычислять определители матриц не только четвёртого порядка, но и более высших порядков. Однако, при этом нужно совершать очень много вычислительных операций и быть внимательным, так как малейшая ошибка в знаках приведёт к неверному решению. Матрицы высших порядков удобнее всего решать методом Гаусса, и об этом поговорим позже.
10. Определитель произведения матриц одного порядка равен произведению их определителей.
Рассмотрим на примере:
Пример
Задача
Убедитесь, что определитель двух матриц и равен произведению их определителей. Даны две матрицы:
Решение
Сначала находим произведение определителей двух матриц и .
Теперь выполним умножение обеих матриц и таким образом, вычислим определитель:
Ответ
Мы убедились, что
Вычисление определителя матрицы при помощи метода Гаусса
Определитель матрицы обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру
Напомним теорему Лапласа:
Теорема Лапласа:
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Для вычисления определителей в общем случае k берут равным 1. Т.е. в определителе d порядка n произвольно выбрана строка (или столбец). Тогда сумма произведений всех элементов, содержащихся в выбранной строке (или столбце), на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример:
Вычислить определитель
Решение:
Выберем произвольную строку или столбец. По причине, которая станет очевидной чуть позже, ограничим свой выбор или третьей строкой или четвертым столбцом. И остановимся на третьей строке.
Воспользуемся теоремой Лапласа.
Первый элемент выбранной строки равен 10, он стоит в третьей строке и первом столбце. Вычислим алгебраическое дополнение к нему, т.е. найдем определитель, полученный вычеркиванием столбца и строки, на которых стоит этот элемент (10) и выясним знак.
«плюс, если сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M четна, и минус, если эта сумма нечетна.»
А минор мы взяли состоящий из одного единственного элемента 10, который стоит в первом столбце третьей строки.
Итак:
Четвертое слагаемое этой суммы равно 0, именно поэтому стоит выбирать строки или столбцы с максимальным числом нулевых элементов.
Ответ:
-1228
Пример:
Вычислить определитель:
Решение:
Выберем первый столбец, т.к. два элемента в нем равны 0. Разложим определитель по первому столбцу.
Каждый из определителей третьего порядка разложим по первой второй строке
Каждый из определителей второго порядка разложим по первому столбцу
Ответ:
48
Замечание:
при решении этой задачи не использовались формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Использовалось только разложение по строке или столбцу. Которое приводит к понижению порядка определителей.
