Ena od metod za reševanje kvadratne enačbe je uporaba Formule VIET, ki je dobil ime po FRANCOISU VIETTU.

Bil je znan odvetnik, ki je služil francoskemu kralju v 16. stoletju. V prostem času se je ukvarjal z astronomijo in matematiko. Ugotovil je povezavo med koreni in koeficienti kvadratne enačbe.

Prednosti formule:

1 . Z uporabo formule lahko hitro najdete rešitev. Ker drugega koeficienta ni treba vnesti v kvadrat, nato od njega odšteti 4ac, poiskati diskriminanco in njeno vrednost nadomestiti s formulo za iskanje korenin.

2 . Brez rešitve lahko določite znake korenin in izberete vrednosti korenin.

3 . Po rešitvi sistema dveh zapisov ni težko najti samih korenin. V zgornji kvadratni enačbi je vsota korenin enaka vrednosti drugega koeficienta z znakom minus. Produkt korenin v zgornji kvadratni enačbi je enak vrednosti tretjega koeficienta.

4 . S pomočjo teh korenin zapišite kvadratno enačbo, torej rešite inverzni problem. Ta metoda se na primer uporablja pri reševanju problemov v teoretični mehaniki.

5 . Primerno je uporabiti formulo, ko je vodilni koeficient enak ena.

Napake:

1 . Formula ni univerzalna.

Vietov izrek 8. razred

Formula
Če sta x 1 in x 2 korena reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0, potem:

Primeri
x 1 = -1; x 2 = 3 - korenine enačbe x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Konverzni izrek

Formula
Če so števila x 1, x 2, p, q povezana s pogoji:

Potem sta x 1 in x 2 korena enačbe x 2 + px + q = 0.

Primer
Ustvarimo kvadratno enačbo z uporabo njenih korenin:

X 1 = 2 - ? 3 in x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Zahtevana enačba ima obliko: x 2 - 4x + 1 = 0.

Vietov izrek se pogosto uporablja za preverjanje že najdenih korenin. Če ste našli korene, lahko uporabite formule \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), da izračunate vrednosti \(p \) in \(q\). In če se izkaže, da so enaki kot v prvotni enačbi, potem so korenine pravilno najdene.

Na primer, z uporabo rešimo enačbo \(x^2+x-56=0\) in dobimo korene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Preverimo, ali smo pri reševanju naredili napako. V našem primeru \(p=1\) in \(q=-56\). Po Vietovem izreku imamo:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Obe trditvi sta se zbližali, kar pomeni, da smo enačbo pravilno rešili.

To preverjanje se lahko opravi ustno. Trajalo bo 5 sekund in vas bo rešilo pred neumnimi napakami.

Vietov obratni izrek

Če \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), potem sta \(x_1\) in \(x_2\) korena kvadratne enačbe \ (x^ 2+px+q=0\).

Ali na preprost način: če imate enačbo oblike \(x^2+px+q=0\), potem rešite sistem \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) boste našli njegove korenine.

Zahvaljujoč temu izreku lahko hitro najdete korenine kvadratne enačbe, še posebej, če so te korenine . Ta veščina je pomembna, saj prihrani veliko časa.

Primer . Rešite enačbo \(x^2-5x+6=0\).

rešitev : Z uporabo Vietovega obratnega izreka ugotovimo, da korenine izpolnjujejo pogoje: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Poglejte drugo enačbo sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Na kaj dvoje je mogoče razstaviti število \(6\)? Na \(2\) in \(3\), \(6\) in \(1\) ali \(-2\) in \(-3\) ter \(-6\) in \(- 1\). Prva enačba sistema vam bo povedala, kateri par izbrati: \(x_1+x_2=5\). \(2\) in \(3\) sta podobna, saj \(2+3=5\).
Odgovori : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Primeri . Z uporabo nasprotja Vietovega izreka poiščite korenine kvadratne enačbe:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

rešitev :
a) \(x^2-15x+14=0\) – na katere faktorje se razgradi \(14\)? \(2\) in \(7\), \(-2\) in \(-7\), \(-1\) in \(-14\), \(1\) in \(14\ ). Kateri pari števil dajejo \(15\)? Odgovor: \(1\) in \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – na katere faktorje se razgradi \(-4\)? \(-2\) in \(2\), \(4\) in \(-1\), \(1\) in \(-4\). Seštevek katerih parov števil je \(-3\)? Odgovor: \(1\) in \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na katere faktorje se razgradi \(20\)? \(4\) in \(5\), \(-4\) in \(-5\), \(2\) in \(10\), \(-2\) in \(-10\ ), \(-20\) in \(-1\), \(20\) in \(1\). Seštevek katerih parov števil je \(-9\)? Odgovor: \(-4\) in \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – na katere faktorje razpade \(780\)? \(390\) in \(2\). Bo njihov seštevek enak \(88\)? št. Katere druge množitelje ima \(780\)? \(78\) in \(10\). Bo njihov seštevek enak \(88\)? ja Odgovor: \(78\) in \(10\).

Zadnjega člena ni treba razširiti na vse možne dejavnike (kot v zadnjem primeru). Takoj lahko preverite, ali njihova vsota daje \(-p\).

Pomembno! Vietov izrek in obratni izrek delujeta samo z , to je tistim, za katerega je koeficient \(x^2\) enak ena. Če smo prvotno dobili nereducirano enačbo, jo lahko zmanjšamo tako, da preprosto delimo s koeficientom pred \(x^2\).

Na primer, naj bo podana enačba \(2x^2-4x-6=0\) in želimo uporabiti enega od Vietovih izrekov. Vendar ne moremo, saj je koeficient \(x^2\) enak \(2\). Znebimo se ga tako, da celotno enačbo delimo z \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

pripravljena Zdaj lahko uporabite oba izreka.

Odgovori na pogosto zastavljena vprašanja

vprašanje: Z uporabo Vietovega izreka lahko rešite katero koli ?
odgovor: Žal ne. Če enačba ne vsebuje celih števil ali enačba sploh nima korenin, potem Vietin izrek ne bo pomagal. V tem primeru morate uporabiti diskriminator . Na srečo ima 80 % enačb v šolski matematiki celoštevilske rešitve.

V tem predavanju se bomo seznanili z nenavadnimi razmerji med koreninami kvadratne enačbe in njenimi koeficienti. Te povezave je prvi odkril francoski matematik François Viète (1540-1603).

Na primer, za enačbo 3x 2 - 8x - 6 = 0, ne da bi našli njene korenine, lahko z uporabo Vietovega izreka takoj rečete, da je vsota korenin enaka , produkt korenin pa enak
tj - 2. In za enačbo x 2 - 6x + 8 = 0 sklepamo: vsota korenin je 6, produkt korenin je 8; Mimogrede, ni težko uganiti, čemu so enake korenine: 4 in 2.
Dokaz Vietovega izreka. Koreni x 1 in x 2 kvadratne enačbe ax 2 + bx + c = 0 najdemo po formulah

Kjer je D = b 2 - 4ac diskriminanta enačbe. Ko sem sestavil te korenine,
dobimo

Zdaj pa izračunajmo produkt korenin x 1 in x 2. Imamo

Druga relacija je dokazana:
Komentiraj. Vietov izrek velja tudi v primeru, ko ima kvadratna enačba en koren (to je, ko je D = 0), enostavno se v tem primeru predpostavi, da ima enačba dva enaka korena, za kar veljajo zgornji odnosi.
Posebno preprosto obliko imajo dokazane relacije za reducirano kvadratno enačbo x 2 + px + q = 0. V tem primeru dobimo:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
tiste. vsota korenin reducirane kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu.
Z uporabo Vietovega izreka lahko dobite druga razmerja med koreninami in koeficienti kvadratne enačbe. Naj bosta na primer x 1 in x 2 korenini reducirane kvadratne enačbe x 2 + px + q = 0. Potem

Vendar glavni namen Vietovega izreka ni, da izraža nekatera razmerja med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Veliko bolj pomembno je, da je z uporabo Vietovega izreka izpeljana formula za faktorizacijo kvadratnega trinoma, brez katere v prihodnje ne bomo mogli.

Dokaz. Imamo

Primer 1. Faktoriziraj kvadratni trinom 3x 2 - 10x + 3.
rešitev. Ko rešimo enačbo 3x 2 - 10x + 3 = 0, najdemo korenine kvadratnega trinoma 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Z uporabo izreka 2 dobimo

Namesto tega je smiselno zapisati 3x - 1. Potem končno dobimo 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Upoštevajte, da je dani kvadratni trinom mogoče faktorizirati brez uporabe izreka 2 z uporabo metode združevanja:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Toda, kot vidite, je pri tej metodi uspeh odvisen od tega, ali nam uspe najti uspešno skupino ali ne, medtem ko je pri prvi metodi uspeh zagotovljen.
Primer 1. Zmanjšaj ulomek

rešitev. Iz enačbe 2x 2 + 5x + 2 = 0 najdemo x 1 = - 2,

Iz enačbe x2 - 4x - 12 = 0 dobimo x 1 = 6, x 2 = -2. Zato
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Zdaj pa zmanjšajmo dani ulomek:

Primer 3. Razčlenimo izraze na faktorje:
a)x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Rešitev a) Vstavimo novo spremenljivko y = x2. To vam bo omogočilo, da dani izraz prepišete v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki y 2 + bу + 6.
Po rešitvi enačbe y 2 + bу + 6 = 0 najdemo korenine kvadratnega trinoma y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Zdaj pa uporabimo izrek 2; dobimo

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Zapomniti si je treba, da je y = x 2, tj. vrniti se na dani izraz. Torej,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) Vstavimo novo spremenljivko y = . To vam bo omogočilo, da podani izraz prepišete v obliki kvadratnega trinoma glede na spremenljivko y, in sicer v obliki 2y 2 + y - 3. Ko rešite enačbo
2y 2 + y - 3 = 0, poiščite korenine kvadratnega trinoma 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Nato z uporabo izreka 2 dobimo:

Zapomniti si je treba, da je y = , tj. vrniti se na dani izraz. Torej,

Na koncu razdelka - nekaj sklepanja, ki je spet povezano z Vietovim izrekom ali bolje rečeno z obratno izjavo:
če sta števili x 1, x 2 takšni, da je x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, potem sta ti števili koreni enačbe
S to izjavo lahko ustno rešite veliko kvadratnih enačb brez uporabe okornih korenskih formul in tudi sestavite kvadratne enačbe z danimi koreninami. Navedimo primere.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Zlahka je uganiti, da je x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Zlahka je uganiti, da je x 1 = -5, x 2 = -6.
Upoštevajte, da če je navidezni člen enačbe pozitivno število, sta oba korena pozitivna ali negativna; To je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.

3) x 2 + x - 12 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Zlahka je uganiti, da je x 1 = 3, x2 = -4.
Upoštevajte: če je prosti člen enačbe negativno število, imajo koreni različne predznake; To je pomembno upoštevati pri izbiri korenin.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Preprosto je videti, da x = 1 ustreza enačbi, tj. x 1 = 1 je koren enačbe. Ker je x 1 x 2 = - in x 1 = 1, dobimo, da je x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Tukaj je x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Če ste pozorni na dejstvo, da je 2830 = 283. 10 in 293 = 283 + 10, potem postane jasno, da je x 1 = 283, x 2 = 10 (zdaj pa si predstavljajte, kakšne izračune bi bilo treba izvesti za rešitev te kvadratne enačbe z uporabo standardnih formul).

6) Sestavimo kvadratno enačbo tako, da so njeni koreni števila x 1 = 8, x 2 = - 4. Običajno v takih primerih sestavimo pomanjšano kvadratno enačbo x 2 + px + q = 0.
Imamo x 1 + x 2 = -p, torej 8 - 4 = -p, to je p = -4. Nadalje, x 1 x 2 = q, tj. 8 «(-4) = q, od koder dobimo q = -32. Torej, p = -4, q = -32, kar pomeni, da ima zahtevana kvadratna enačba obliko x 2 -4x-32 = 0.

V osmem razredu se učenci seznanijo s kvadratnimi enačbami in njihovim reševanjem. Hkrati pa, kot kažejo izkušnje, večina študentov pri reševanju popolnih kvadratnih enačb uporablja samo eno metodo - formulo za korenine kvadratne enačbe. Za študente, ki imajo dobre mentalne aritmetične sposobnosti, je ta metoda očitno neracionalna. Dijaki morajo pogosto reševati kvadratne enačbe tudi v srednji šoli in tam je preprosto škoda porabiti čas za izračun diskriminante. Po mojem mnenju je treba pri preučevanju kvadratnih enačb več časa in pozornosti nameniti uporabi Vietovega izreka (v skladu s programom A.G. Mordkovich Algebra-8 sta predvideni le dve uri za preučevanje teme »Vietov izrek. Razgradnja kvadratnega trinom v linearne faktorje«).

V večini učbenikov algebre je ta izrek oblikovan za zmanjšano kvadratno enačbo in pravi, da če ima enačba korenine in , potem so zanje izpolnjene enakosti , . Nato je oblikovana izjava, nasprotna Vietovemu izreku, in na voljo so številni primeri za vadbo te teme.

Vzemimo konkretne primere in izsledimo logiko rešitve z uporabo Vietovega izreka.

Primer 1. Reši enačbo.

Recimo, da ima ta enačba korenine, in sicer in . Potem morajo po Vietovem izreku istočasno veljati enakosti:

Upoštevajte, da je produkt korenin pozitivno število. To pomeni, da so koreni enačbe enakega predznaka. In ker je tudi vsota korenov pozitivno število, sklepamo, da sta oba korena enačbe pozitivna. Vrnimo se spet k produktu korenin. Predpostavimo, da so koreni enačbe pozitivna cela števila. Potem lahko pravilno prvo enakost dobimo samo na dva načina (do vrstnega reda faktorjev): ali . Za predlagane pare števil preverimo izvedljivost druge izjave Vietovega izreka: . Tako števili 2 in 3 izpolnjujeta obe enakosti in sta torej korenini dane enačbe.

Odgovor: 2; 3.

Poudarimo glavne faze sklepanja pri reševanju zgornje kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka:

zapišite trditev Vietovega izreka

(*)

• določite predznake korenin enačbe (Če sta zmnožek in vsota korenin pozitivna, sta oba korena pozitivna števila. Če je zmnožek korenin pozitivno število, vsota korenin pa negativna, potem oba korena sta negativna števila. Če je produkt korenin negativno število, imajo korenine različne predznake. Poleg tega, če je vsota korenin pozitivna, potem je večji koren v modulu pozitivno število, in če je vsota korenin je manjši od nič, potem je večji koren v modulu negativno število);
• izberi pare celih števil, katerih produkt daje pravilno prvo enakost v zapisu (*);
• izmed najdenih parov števil izberi tisti par, ki bo ob zamenjavi v drugo enakost v zapisu (*) dal pravilno enakost;
• v odgovoru navedite najdene korene enačbe.

Navedimo več primerov.

Primer 2: Reši enačbo .

rešitev.

Naj in sta korenini dane enačbe. Nato po Vietovem izreku opazimo, da je produkt pozitiven, vsota pa negativno število. To pomeni, da sta oba korena negativni števili. Izberemo pare faktorjev, ki dajo produkt 10 (-1 in -10; -2 in -5). Seštevek drugega para števil je -7. To pomeni, da sta števili -2 in -5 korenini te enačbe.

odgovor: -2; -5.

Primer 3: Reši enačbo .

rešitev.

Naj in sta korenini dane enačbe. Nato po Vietovem izreku opazimo, da je produkt negativen. To pomeni, da so korenine različnih predznakov. Tudi vsota korenin je negativno število. To pomeni, da je koren z največjim modulom negativen. Izberemo pare faktorjev, ki dajejo zmnožek -10 (1 in -10; 2 in -5). Seštevek drugega para števil je -3. To pomeni, da sta števili 2 in -5 korenini te enačbe.

odgovor: 2; -5.

Upoštevajte, da je Vietin izrek načeloma mogoče formulirati za popolno kvadratno enačbo: če je kvadratna enačba ima korenine in , Potem so enakosti , , izpolnjene za njih. Vendar pa je uporaba tega izreka precej problematična, saj je v popolni kvadratni enačbi vsaj eden od korenov (če sploh obstaja) delno število. In delo z izbiro ulomkov je dolgo in težko. Toda še vedno obstaja izhod.

Razmislite o popolni kvadratni enačbi . Pomnožite obe strani enačbe s prvim koeficientom A in zapiši enačbo v obliki . Vstavimo novo spremenljivko in dobimo reducirano kvadratno enačbo, katere korene in (če so na voljo) lahko najdemo z uporabo Vietovega izreka. Potem bodo korenine prvotne enačbe . Upoštevajte, da je zelo preprosto ustvariti pomožno reducirano enačbo: drugi koeficient se ohrani, tretji koeficient pa je enak produktu ac. Z določeno spretnostjo učenci takoj sestavijo pomožno enačbo, poiščejo njene korene z uporabo Vietovega izreka in navedejo korenine dane popolne enačbe. Navedimo primere.

Primer 4: Reši enačbo .

Ustvarimo pomožno enačbo in z uporabo Vietovega izreka bomo našli njegove korenine. To pomeni, da so korenine prvotne enačbe .

odgovor: .

Primer 5: Reši enačbo .

Pomožna enačba ima obliko . Po Vietovem izreku so njegove korenine . Iskanje korenin izvirne enačbe .

odgovor: .

In še en primer, ko vam uporaba Vietovega izreka omogoča verbalno iskanje korenin popolne kvadratne enačbe. Tega ni težko dokazati število 1 je koren enačbe , če in samo če. Drugi koren enačbe je najden z Vietinim izrekom in je enak . Še ena izjava: tako da je število –1 koren enačbe potrebno in zadostuje za. Potem je drugi koren enačbe po Vietovem izreku enak . Podobne izjave je mogoče formulirati za zmanjšano kvadratno enačbo.

Primer 6: Reši enačbo.

Upoštevajte, da je vsota koeficientov enačbe enaka nič. Torej, korenine enačbe .

odgovor: .

Primer 7. Reši enačbo.

Koeficienti te enačbe izpolnjujejo lastnost (dejansko 1-(-999)+(-1000)=0). Torej, korenine enačbe .

odgovor: ..

Primeri uporabe Vietovega izreka

Naloga 1. Rešite dano kvadratno enačbo z uporabo Vietovega izreka.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Naloga 2. Reši celotno kvadratno enačbo s prehodom na pomožno skrčeno kvadratno enačbo.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Naloga 3. Rešite kvadratno enačbo z uporabo lastnosti.

Pri preučevanju metod za reševanje enačb drugega reda v šolskem tečaju algebre se upoštevajo lastnosti nastalih korenin. Trenutno so znani kot Vietov izrek. Primeri njegove uporabe so navedeni v tem članku.

Kvadratna enačba

Enačba drugega reda je enakost, prikazana na spodnji fotografiji.

Tu so simboli a, b, c nekatera števila, imenovana koeficienti obravnavane enačbe. Če želite rešiti enačbo, morate najti vrednosti x, zaradi katerih je resnična.

Upoštevajte, da je največja potenca, na katero lahko povečamo x, dve, potem je število korenin v splošnem primeru prav tako dve.

Tovrstne enačbe lahko rešimo na več načinov. V tem članku bomo obravnavali eno izmed njih, ki vključuje uporabo tako imenovanega Vieta izreka.

Formulacija Vietovega izreka

Konec 16. stoletja je znameniti matematik Francois Viète (Francoz) pri analizi lastnosti korenov različnih kvadratnih enačb opazil, da nekatere njihove kombinacije zadoščajo določenim razmerjem. Zlasti te kombinacije so njihov produkt in vsota.

Vietov izrek ugotavlja naslednje: korenine kvadratne enačbe, ko se seštejejo, dajejo razmerje med linearnimi in kvadratnimi koeficienti, vzetimi z nasprotnim predznakom, in ko se pomnožijo, vodijo do razmerja med prostim členom in kvadratnim koeficientom .

Če je splošna oblika enačbe zapisana, kot je prikazano na fotografiji v prejšnjem razdelku članka, potem lahko matematično ta izrek zapišemo v obliki dveh enakosti:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Kjer je r 1, r 2 vrednost korenov zadevne enačbe.

Zgornji dve enačbi se lahko uporabita za reševanje številnih različnih matematičnih problemov. Uporaba Vietovega izreka v primerih z rešitvami je podana v naslednjih razdelkih članka.