Kjer so bile obravnavane naloge za reševanje pravokotnega trikotnika, sem obljubil, da bom predstavil tehniko za pomnjenje definicij sinusa in kosinusa. Z njegovo uporabo se boste vedno hitro spomnili, kateri krak pripada hipotenuzi (sosednji ali nasprotni). Odločila sem se, da ne bom odlašala v nedogled, potrebno gradivo je spodaj, preberite ga 😉

Dejstvo je, da sem večkrat opazil, kako si učenci v 10.-11. razredu težko zapomnijo te definicije. Dobro se spomnijo, da se noga nanaša na hipotenuzo, a katero- pozabi in zmeden. Cena napake je, kot veste na izpitu, izgubljen rezultat.

Informacija, ki jo bom predstavil neposredno z matematiko, nima nobene zveze. Povezan je s figurativnim mišljenjem in z metodami verbalno-logične povezave. Tako je, tudi sam sem se enkrat za vselej spomnildefinicijski podatki. Če jih še vedno pozabite, potem si jih je s pomočjo predstavljenih tehnik vedno enostavno zapomniti.

Naj vas spomnim na definiciji sinusa in kosinusa v pravokotnem trikotniku:

Kosinus ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:

Sinus ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo:

Torej, kakšne asociacije v vas vzbuja beseda kosinus?

Verjetno ima vsak svojegaZapomni si povezavo:

Tako boste takoj imeli izraz v spominu -

«… razmerje SODNJEGA kraka in hipotenuze».

Problem z definicijo kosinusa je rešen.

Če se morate spomniti definicije sinusa v pravokotnem trikotniku, potem ko se spomnite definicije kosinusa, lahko zlahka ugotovite, da je sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno nogo in hipotenuzo. Navsezadnje sta samo dve nogi, če je sosednja noga "zasedena" s kosinusom, potem za sinus ostane samo nasprotna stran.

Kaj pa tangens in kotangens? Enaka zmeda. Učenci vedo, da je to razmerje krakov, vendar je težava zapomniti si, kateri se na katerega nanaša - ali nasproti sosednjim ali obratno.

Definicije:

Tangenta ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim:

Kotangens ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim:

Kako si zapomniti? Obstajata dva načina. Eden uporablja tudi verbalno-logično povezavo, drugi pa matematično.

MATEMATIČNA METODA

Obstaja taka definicija - tangens ostrega kota je razmerje med sinusom kota in njegovim kosinusom:

* Če se spomnite formule, lahko vedno ugotovite, da je tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med nasprotno nogo in sosednjo.

Prav tako.Kotangens ostrega kota je razmerje med kosinusom kota in njegovim sinusom:

torej! Če se spomnite teh formul, lahko vedno ugotovite, da:

- tangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim

- kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim.

VERBALNO-LOGIČNA METODA

O tangenti. Zapomni si povezavo:

Če se morate spomniti definicije tangente, se lahko z uporabo te logične povezave zlahka spomnite, kaj je

"... razmerje med nasprotno in sosednjo nogo"

Če gre za kotangens, potem če se spomnite definicije tangensa, lahko preprosto izrazite definicijo kotangensa -

"... razmerje med sosednjo nogo in nasprotno"

Na spletnem mestu je zanimiva tehnika pomnjenja tangensa in kotangensa " Matematični tandem " , poglej.

METODA UNIVERZALNA

Lahko samo zmelješ.Toda kot kaže praksa, si človek zaradi verbalno-logičnih povezav dolgo zapomni informacije, ne le matematične.

Upam, da vam je bil material koristen.

S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Hvaležen bi bil, če bi o spletnem mestu povedali v družbenih omrežjih.

Trigonometrija kot veda izvira iz starega vzhoda. Prva trigonometrična razmerja so razvili astronomi, da bi ustvarili natančen koledar in se orientirali po zvezdah. Ti izračuni so se nanašali na sferično trigonometrijo, medtem ko v šolskem tečaju preučujejo razmerje stranic in kota ravnega trikotnika.

Trigonometrija je veja matematike, ki se ukvarja z lastnostmi trigonometričnih funkcij in odnosom med stranicami in koti trikotnikov.

V času razcveta kulture in znanosti v 1. tisočletju našega štetja se je znanje razširilo s starega vzhoda v Grčijo. Toda glavna odkritja trigonometrije so zasluga moških arabskega kalifata. Zlasti turkmenski znanstvenik al-Marazvi je predstavil funkcije, kot sta tangens in kotangens, sestavil prve tabele vrednosti za sinuse, tangente in kotangense. Koncept sinusa in kosinusa so uvedli indijski znanstveniki. Veliko pozornosti je posvečeno trigonometriji v delih tako velikih osebnosti antike, kot so Evklid, Arhimed in Eratosten.

Osnovne količine trigonometrije

Osnovne trigonometrične funkcije numeričnega argumenta so sinus, kosinus, tangens in kotangens. Vsak od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens in kotangens.

Formule za izračun vrednosti teh količin temeljijo na Pitagorejskem izreku. Šolarjem je bolj znan v formulaciji: "Pitagorejske hlače, enake v vseh smereh", saj je dokaz podan na primeru enakokrakega pravokotnega trikotnika.

Sinus, kosinus in druge odvisnosti vzpostavljajo razmerje med ostrimi koti in stranicami katerega koli pravokotnega trikotnika. Podamo formule za izračun teh količin za kot A in sledimo razmerju trigonometričnih funkcij:

Kot lahko vidite, sta tg in ctg inverzni funkciji. Če krak a predstavimo kot zmnožek sin A in hipotenuze c, krak b pa kot cos A * c, potem dobimo naslednji formuli za tangens in kotangens:

trigonometrični krog

Grafično lahko razmerje omenjenih količin predstavimo na naslednji način:

Krog v tem primeru predstavlja vse možne vrednosti kota α - od 0° do 360°. Kot je razvidno iz slike, ima vsaka funkcija negativno ali pozitivno vrednost, odvisno od kota. Na primer, sin α bo z znakom "+", če α pripada I in II četrtini kroga, torej je v območju od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (III. in IV. četrtine) je lahko sin α le negativna vrednost.

Poskusimo sestaviti trigonometrične tabele za določene kote in ugotoviti pomen količin.

Vrednosti α, ki so enake 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° in tako naprej, se imenujejo posebni primeri. Vrednosti trigonometričnih funkcij zanje so izračunane in predstavljene v obliki posebnih tabel.

Ti koti niso bili izbrani naključno. Oznaka π v tabelah je za radiane. Rad je kot, pri katerem dolžina krožnega loka ustreza njegovemu polmeru. Ta vrednost je bila uvedena zaradi vzpostavitve univerzalnega razmerja; pri izračunu v radianih dejanska dolžina polmera v cm ni pomembna.

Koti v tabelah za trigonometrične funkcije ustrezajo radianskim vrednostim:

Torej ni težko uganiti, da je 2π poln krog ali 360°.

Lastnosti trigonometričnih funkcij: sinus in kosinus

Da bi upoštevali in primerjali osnovne lastnosti sinusa in kosinusa, tangensa in kotangensa, je treba narisati njihove funkcije. To je mogoče storiti v obliki krivulje, ki se nahaja v dvodimenzionalnem koordinatnem sistemu.

Razmislite o primerjalni tabeli lastnosti sinusnega in kosinusnega vala:

sinusoida	kosinusni val
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, za x = πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 0, za x = π/2 + πk, kjer je k ϵ Z
sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = 1, za x = 2πk, kjer je k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kjer je k ϵ Z	cos x = - 1, za x = π + 2πk, kjer je k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, tj. liha funkcija	cos (-x) = cos x, kar pomeni, da je funkcija soda
	funkcija je periodična, najmanjša perioda je 2π
sin x › 0, pri čemer x pripada četrtini I in II ali od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pri čemer x pripada četrtinama I in IV ali od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pri čemer x pripada četrtini III in IV ali od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pri čemer x pripada četrtinam II in III ali od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
narašča na intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	narašča na intervalu [-π + 2πk, 2πk]
pada na intervalih [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	zmanjšuje v intervalih
odvod (sin x)' = cos x	derivat (cos x)’ = - sin x

Ugotavljanje, ali je funkcija soda ali ne, je zelo preprosto. Dovolj je, da si predstavljate trigonometrični krog z znaki trigonometričnih količin in miselno "zložite" graf glede na os OX. Če sta predznaka enaka, je funkcija soda, sicer pa liha.

Uvedba radianov in naštevanje glavnih lastnosti sinusoidnega in kosinusnega vala nam omogočata, da prinesemo naslednji vzorec:

Zelo enostavno je preveriti pravilnost formule. Na primer, za x = π/2 je sinus enak 1, prav tako kosinus od x = 0. Preverjanje lahko opravite tako, da pogledate tabele ali sledite krivuljam funkcij za dane vrednosti.

Lastnosti tangentoida in kotangentoida

Grafa tangentne in kotangensne funkcije se bistveno razlikujeta od sinusoidnega in kosinusnega vala. Vrednosti tg in ctg sta inverzni druga drugi.

1. Y = tgx.
2. Tangenta se nagiba k vrednostim y pri x = π/2 + πk, vendar jih nikoli ne doseže.
3. Najmanjša pozitivna perioda tangentoida je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, tj. Funkcija je liha.
5. Tg x = 0, za x = πk.
6. Funkcija se povečuje.
7. Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Izpeljanka (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

Razmislite o grafični predstavitvi kotangentoida spodaj v besedilu.

Glavne lastnosti kotangentoida:

1. Y = ctgx.
2. Za razliko od funkcij sinusa in kosinusa lahko Y v tangentoidu prevzame vrednosti množice vseh realnih števil.
3. Kotangentoid se nagiba k vrednostim y pri x = πk, vendar jih nikoli ne doseže.
4. Najmanjša pozitivna perioda kotangentoida je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, tj. funkcija je liha.
6. Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
7. Funkcija se zmanjšuje.
8. Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Izpeljanka (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij

Opomba. Ta tabela vrednosti za trigonometrične funkcije uporablja znak √ za označevanje kvadratnega korena. Za označevanje ulomka - simbol "/".

Poglej tudi uporabni materiali:

Za določanje vrednosti trigonometrične funkcije, ga poiščite na presečišču črte, ki označuje trigonometrično funkcijo. Na primer, sinus 30 stopinj - iščemo stolpec z naslovom sin (sinus) in najdemo presečišče tega stolpca tabele s črto "30 stopinj", na njihovem presečišču preberemo rezultat - ena drugo. Podobno ugotavljamo kosinus 60 stopnje, sinus 60 stopinj (spet na presečišču stolpca sin (sinus) in vrstice 60 stopinj najdemo vrednost sin 60 = √3/2) itd. Na enak način se najdejo vrednosti sinusov, kosinusov in tangentov drugih "priljubljenih" kotov.

Sinus pi, kosinus pi, tangens pi in drugi koti v radianih

Spodnja tabela kosinusov, sinusov in tangentov je primerna tudi za iskanje vrednosti trigonometričnih funkcij, katerih argument je podano v radianih. Če želite to narediti, uporabite drugi stolpec vrednosti kotov. Zahvaljujoč temu lahko pretvorite vrednost priljubljenih kotov iz stopinj v radiane. Na primer, poiščimo kot 60 stopinj v prvi vrstici in pod njim preberimo njegovo vrednost v radianih. 60 stopinj je enako π/3 radianov.

Število pi enolično izraža odvisnost obsega kroga od stopinjske mere kota. Torej je pi radian enak 180 stopinj.

Vsako število, izraženo s pi (radian), je mogoče zlahka pretvoriti v stopinje tako, da število pi (π) zamenjate s 180.

Primeri:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
tako je sinus pi enak sinusu 180 stopinj in je enak nič.

2. kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
tako je kosinus pi enak kosinusu 180 stopinj in je enak minus ena.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
tako je tangens pi enak tangensu 180 stopinj in je enak nič.

Tabela vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kote 0 - 360 stopinj (pogoste vrednosti)

kot α (stopinje)	kot α v radianih (prek pi)	greh (sinusi)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	vzrok (kosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Če je v tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij namesto vrednosti funkcije označen pomišljaj (tangens (tg) 90 stopinj, kotangens (ctg) 180 stopinj), potem je za dano vrednost mere stopnje kota, funkcija nima določene vrednosti. Če pomišljaja ni, je celica prazna, torej še nismo vnesli želene vrednosti. Zanima nas, po kakšnih zahtevah se uporabniki obračajo k nam in tabelo dopolnjujemo z novimi vrednostmi, kljub temu, da so trenutni podatki o vrednostih kosinusov, sinusov in tangensov najpogostejših vrednosti kotov dovolj za rešitev večine težave.

Tabela vrednosti trigonometričnih funkcij sin, cos, tg za najbolj priljubljene kote
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopinj
(številčne vrednosti "po Bradisovih tabelah")

vrednost kota α (stopinje)	vrednost kota α v radianih	greh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Koncepti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa so glavne kategorije trigonometrije – veje matematike in so neločljivo povezane z definicijo kota. Posedovanje te matematične vede zahteva pomnjenje in razumevanje formul in izrekov ter razvito prostorsko razmišljanje. Zato trigonometrični izračuni pogosto povzročajo težave šolarjem in študentom. Če jih želite premagati, se morate bolje seznaniti s trigonometričnimi funkcijami in formulami.

Pojmi v trigonometriji

Da bi razumeli osnovne koncepte trigonometrije, se morate najprej odločiti, kaj sta pravokotni trikotnik in kot v krogu ter zakaj so vsi osnovni trigonometrični izračuni povezani z njima. Trikotnik, v katerem je eden od kotov 90 stopinj, je pravokoten trikotnik. V zgodovini so to številko pogosto uporabljali ljudje v arhitekturi, navigaciji, umetnosti, astronomiji. V skladu s tem so ljudje s preučevanjem in analizo lastnosti te številke prišli do izračuna ustreznih razmerij njegovih parametrov.

Glavni kategoriji, povezani s pravokotnimi trikotniki, sta hipotenuza in noge. Hipotenuza je stranica trikotnika, ki je nasproti pravemu kotu. Noge so drugi dve strani. Vsota kotov katerega koli trikotnika je vedno 180 stopinj.

Sferična trigonometrija je del trigonometrije, ki se ga ne učijo v šoli, vendar ga znanstveniki uporabljajo v uporabnih vedah, kot sta astronomija in geodezija. Značilnost trikotnika v sferični trigonometriji je, da ima vedno vsota kotov večja od 180 stopinj.

Koti trikotnika

V pravokotnem trikotniku je sinus kota razmerje med krakom nasproti želenega kota in hipotenuzo trikotnika. V skladu s tem je kosinus razmerje med sosednjo nogo in hipotenuzo. Obe vrednosti imata vedno manjšo vrednost od ena, saj je hipotenuza vedno daljša od noge.

Tangens kota je vrednost, ki je enaka razmerju med nasprotnim krakom in sosednjim krakom želenega kota ali razmerju med sinusom in kosinusom. Kotangens pa je razmerje med sosednjim krakom želenega kota in nasprotnim kotom. Kotangens kota lahko dobimo tudi tako, da enoto delimo z vrednostjo tangensa.

enotski krog

Enotski krog v geometriji je krog, katerega polmer je enak ena. Takšen krog je zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu, pri čemer središče krožnice sovpada z izhodiščem, začetni položaj radijnega vektorja pa določa pozitivna smer osi X (abscisna os). Vsaka točka kroga ima dve koordinati: XX in YY, to sta koordinati abscise in ordinate. Če izberemo poljubno točko na krogu v ravnini XX in z nje spustimo navpičnico na os abscise, dobimo pravokotni trikotnik, ki ga tvori polmer na izbrano točko (označimo ga s črko C), navpičnico, narisano na os X (presečišče je označeno s črko G) in odsek abscisne osi med izhodiščem (točka je označena s črko A) in presečiščem G. Nastali trikotnik ACG je pravokoten trikotnik, včrtan krog, kjer je AG hipotenuza, AC in GC pa kraka. Kot med polmerom krožnice AC in odsekom abscisne osi z oznako AG definiramo kot α (alfa). Torej, cos α = AG/AC. Če upoštevamo, da je AC polmer enotskega kroga in je enak ena, se izkaže, da je cos α=AG. Podobno je sin α=CG.

Poleg tega je ob poznavanju teh podatkov mogoče določiti koordinato točke C na krožnici, saj je cos α=AG, sin α=CG, kar pomeni, da ima točka C podane koordinate (cos α; sin α). Če vemo, da je tangens enak razmerju med sinusom in kosinusom, lahko ugotovimo, da je tg α \u003d y / x in ctg α \u003d x / y. Če upoštevamo kote v negativnem koordinatnem sistemu, lahko izračunamo, da so sinusne in kosinusne vrednosti nekaterih kotov lahko negativne.

Izračuni in osnovne formule

Vrednosti trigonometričnih funkcij

Ob upoštevanju bistva trigonometričnih funkcij skozi enotski krog lahko izpeljemo vrednosti teh funkcij za nekatere kote. Vrednosti so navedene v spodnji tabeli.

Najenostavnejše trigonometrične identitete

Enačbe, v katerih je pod znakom trigonometrične funkcije neznana vrednost, imenujemo trigonometrične. Identitete z vrednostjo sin x = α, k je poljubno celo število:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, ni rešitev.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identitete z vrednostjo cos x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, ni rešitev.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identitete z vrednostjo tg x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identitete z vrednostjo ctg x = a, kjer je k poljubno celo število:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Cast formule

Ta kategorija konstantnih formul označuje metode, s katerimi lahko preidete od trigonometričnih funkcij obrazca k funkcijam argumenta, to je, pretvorite sinus, kosinus, tangens in kotangens kota katere koli vrednosti v ustrezne indikatorje kota interval od 0 do 90 stopinj za večje udobje izračunov.

Formule za zmanjšanje funkcij za sinus kota izgledajo takole:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kota:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Uporaba zgornjih formul je možna ob upoštevanju dveh pravil. Prvič, če je kot mogoče predstaviti kot vrednost (π/2 ± a) ali (3π/2 ± a), se vrednost funkcije spremeni:

• od greha do cos;
• od cos do greha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrednost funkcije ostane nespremenjena, če lahko kot predstavimo kot (π ± a) ali (2π ± a).

Drugič, predznak zmanjšane funkcije se ne spremeni: če je bil na začetku pozitiven, ostane tak. Enako velja za negativne funkcije.

Adicijske formule

Te formule izražajo vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vsote in razlike dveh rotacijskih kotov glede na njune trigonometrične funkcije. Koti so običajno označeni kot α in β.

Formule izgledajo takole:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Te formule veljajo za poljubna kota α in β.

Formule dvojnega in trojnega kota

Trigonometrični formuli dvojnega in trojnega kota sta formuli, ki povezujeta funkciji kotov 2α oziroma 3α s trigonometričnimi funkcijami kota α. Izpeljan iz adicijskih formul:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prehod iz vsote v produkt

Če upoštevamo, da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), s poenostavitvijo te formule dobimo istovetnost sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobno je sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prehod od produkta k vsoti

Te formule sledijo iz identitet za prehod vsote v produkt:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule redukcije

V teh identitetah lahko kvadratne in kubične potence sinusa in kosinusa izrazimo s sinusom in kosinusom prve potence večkratnega kota:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamenjava

Univerzalne trigonometrične substitucijske formule izražajo trigonometrične funkcije v smislu tangensa polovičnega kota.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), medtem ko x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kjer je x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kjer x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), medtem ko x \u003d π + 2πn.

Posebni primeri

Spodaj so podani posebni primeri najpreprostejših trigonometričnih enačb (k je poljubno celo število).

Zasebno za sinus:

vrednost sin x	x vrednost
0	pak
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ali 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ali -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ali 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ali -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ali 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ali -2π/3 + 2πk

Kosinusni količniki:

vrednost cos x	x vrednost
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Zasebno za tangento:

tg x vrednost	x vrednost
0	pak
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangens količniki:

vrednost ctg x	x vrednost
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Izreki

Sinusni izrek

Obstajata dve različici teorema - preprosta in razširjena. Preprost sinusni izrek: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tem primeru so a, b, c stranice trikotnika, α, β, γ pa nasprotni koti.

Razširjeni sinusni izrek za poljuben trikotnik: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tej identiteti R označuje polmer kroga, v katerega je vpisan dani trikotnik.

Kosinusni izrek

Identiteta je prikazana na ta način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. V formuli so a, b, c stranice trikotnika, α pa je kot nasproti stranice a.

Tangentni izrek

Formula izraža razmerje med tangentama dveh kotov in dolžinami nasprotnih stranic. Stranice so označene z a, b, c, ustrezni nasprotni koti pa so α, β, γ. Formula tangentnega izreka: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangensov izrek

Poveže polmer kroga, včrtanega v trikotnik, z dolžinami njegovih stranic. Če so a, b, c stranice trikotnika in A, B, C njuni nasprotni koti, r je polmer včrtanega kroga in p polobseg trikotnika, so naslednje identitete drži:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikacije

Trigonometrija ni le teoretična veda, povezana z matematičnimi formulami. Njegove lastnosti, izreke in pravila v praksi uporabljajo različne veje človekove dejavnosti – astronomija, zračna in pomorska navigacija, glasbena teorija, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojništvo, merilna dela, računalniška grafika, kartografija, oceanografija in mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangens in kotangens so osnovni pojmi trigonometrije, s katerimi lahko matematično izrazite razmerje med koti in dolžinami stranic v trikotniku ter poiščete želene količine z identitetami, izreki in pravili.

Osnovne formule trigonometrije so formule, ki vzpostavljajo razmerja med osnovnimi trigonometričnimi funkcijami. Sinus, kosinus, tangens in kotangens so med seboj povezani s številnimi razmerji. Spodaj podajamo glavne trigonometrične formule in jih zaradi udobja združujemo glede na njihov namen. Z uporabo teh formul lahko rešite skoraj vsako težavo iz standardnega tečaja trigonometrije. Takoj ugotavljamo, da so spodaj podane le same formule in ne njihova izpeljava, ki ji bodo posvečeni ločeni članki.

Osnovne identitete trigonometrije

Trigonometrične identitete dajejo razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar omogoča, da se ena funkcija izrazi z drugo.

Trigonometrične identitete

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Te identitete izhajajo neposredno iz definicij enotskega kroga, sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) in kotangensa (ctg).

Cast formule

Formule za ulivanje omogočajo prehod od dela s poljubnimi in poljubno velikimi koti k delu s koti v razponu od 0 do 90 stopinj.

Cast formule

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Redukcijske formule so posledica periodičnosti trigonometričnih funkcij.

Trigonometrične adicijske formule

Aditivne formule v trigonometriji vam omogočajo, da izrazite trigonometrično funkcijo vsote ali razlike kotov v smislu trigonometričnih funkcij teh kotov.

Trigonometrične adicijske formule

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Na podlagi adicijskih formul so izpeljane trigonometrične formule za večkratni kot.

Formule več kotov: dvojni, trojni itd.

Formule dvojnega in trojnega kota

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α s t g 2 α \u003d s t g 2 α - 1 2 s t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule polovičnega kota

Formule polovičnega kota v trigonometriji so posledica formul dvojnega kota in izražajo razmerje med osnovnima funkcijama polovičnega kota in kosinusa celega kota.

Formule polovičnega kota

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule redukcije

Formule redukcije

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Pogosto je pri izračunih neprijetno delovati z okornimi močmi. Formule za zmanjšanje stopnje vam omogočajo zmanjšanje stopnje trigonometrične funkcije s poljubno velike na prvo. Tukaj je njihov splošni pogled:

Splošna oblika redukcijskih formul

za celo n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

za liho n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

Razliko in vsoto trigonometričnih funkcij lahko predstavimo kot produkt. Faktoriziranje razlik sinusov in kosinusov je zelo priročno za uporabo pri reševanju trigonometričnih enačb in poenostavljanju izrazov.

Vsota in razlika trigonometričnih funkcij

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produkt trigonometričnih funkcij

Če vam formule za vsoto in razliko funkcij omogočajo, da greste na njihov produkt, potem formule za produkt trigonometričnih funkcij izvedejo obratni prehod - od produkta do vsote. Upoštevane so formule za zmnožek sinusov, kosinusov in sinus s kosinusom.

Formule za produkt trigonometričnih funkcij

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzalna trigonometrična zamenjava

Vse osnovne trigonometrične funkcije - sinus, kosinus, tangens in kotangens - je mogoče izraziti s tangensom polovičnega kota.

Univerzalna trigonometrična zamenjava

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter