Izdelal Morenshildt I.K. skupina 1.45.36 Frunzensky okrožje Šola št. 314 Učitelj Koroleva O.P. Sankt Peterburg 2006 * CENTER ZA INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE IN TELEKOMUNIKACIJE St. Petersburg MEDSEBOJNE INVERZNE FUNKCIJE

Eksponentna in logaritemska funkcija Trigonometrične funkcije

Osnovne definicije Primeri enačb Grafi inverznih funkcij Eksponentne in logaritemske funkcije Sinusne in arkusinusne funkcije Kosinusne in arkosinusne funkcije Funkcije tangensa in arktangensa Funkcije kotangensa in arkotangensa Izpit Viri Vsebina Konec

Reverzibilna funkcija Če funkcija y=f (x) prevzame vsako svojo vrednost samo za eno vrednost x, se ta funkcija imenuje reverzibilna. Za takšno funkcijo je mogoče izraziti obratno razmerje med vrednostmi argumenta in vrednostmi funkcije.

Primer konstruiranja funkcije, ki je inverzna na dano. Poseben primer. Dana je funkcija y=3x+5. Enačba za x. Zamenjajte x z y. Funkciji (1) in (2) sta medsebojno inverzni. Splošni primer y=f (x) je obrnljiv funkcija Definirana funkcija x= g (y ) Zamenjaj x z y y= g(x) Funkciji y=f(x) in y=g(x) sta medsebojno inverzni

Grafi inverznih funkcij

Eksponentne in logaritemske funkcije y=log a x y=a x y=x a>1

Funkciji sin x in arcsin x Upoštevajte funkcijo y=sin x na segmentu. Funkcija je monotono naraščajoča. FZF [-1;1]. Funkcija y= arcsin x je obratna funkcija y=sinx. [ -  ;  ] 2 2

Funkciji cos x in arccos x Upoštevajte funkcijo y=co s x na odseku Funkcija je monotono padajoča. FZF [-1;1]. Funkcija y=arccos x je obratna funkcija y=co sx.

Funkciji tg x in arctg x Upoštevajte funkcijo y= tg x na intervalu. Funkcija je monotono naraščajoča. ORF je množica R . Funkcija y= arctg x je obratna funkcija y= tg x . (-  ; ) 2 2

Funkciji ctg x in arcctg x Upoštevajte funkcijo y= ctg x na intervalu (0; ). Funkcija je monotono padajoča. GFZ sklop R . Inverz je funkcija y \u003d arcctg x.

Test na temo "Medsebojno inverzne funkcije" Vprašanje št. 1 Vprašanje št. 2 Vprašanje št. 3 Vprašanje št. 4 Vprašanje št. 5 Končaj Končaj

Vprašanje št. 1 Grafi medsebojno inverznih funkcij se nahajajo v koordinatnem sistemu simetrično glede na: Izvor koordinat Direct y \u003d x Osi OY Osi OX

Vprašanje št. 2 Kako sta povezani domena definicije originala in domena inverzne funkcije? Match Independent

Vprašanje #3 Kaj je inverzna logaritemska funkcija? Moč Linearna Kvadratna Eksponentna

Vprašanje št. 4 Funkcija y=arcctg x je obratna funkcija y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

Vprašanje št. 5 Tema "Vzajemne funkcije" je osnovna, moja najljubša, enostavno razumljiva

Hura! Hura! Hura! Bravo znanstvenik!

Napačen odgovor Ponovi od začetka!

Narobe! Ogorčen sem nad vašim odgovorom!

Viri algebre in začetki analize: Proc. za 10-11 celic. Splošna izobrazba institucije / Sh.A. Alimov, Yu.M. Koljagin, Ju.V. Sidorov in drugi - 12. izd. - M .: Razsvetljenje, 2004. - 384 str. Študij algebre in začetek analize v razredih 10-11: Knjiga. za učitelja / N.E. Fedorova, M.V. Tkačev. - 2. izd. - M .: Izobraževanje, 2004. - 205 str. Didaktična gradiva o algebri in začetki analize za 10. razred: Vodnik za učitelja / B.M. Ivlev, S.M. Sahakjan, S.I. Schwarzburd. - 2. izd., revidirano. - M.: Razsvetljenje, 1998. -143 str. Grafi inverznih trigonometričnih funkcij http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Tema: "Medsebojno inverzne funkcije".

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

Ponovite in povzemite znanje učencev o temi "Funkcija", ki so jo preučevali v 9. razredu. Seznaniti se z medsebojno inverznimi funkcijami, preučiti pogoje za obstoj inverzne funkcije in njene lastnosti, naučiti se graditi grafe inverznih funkcij.

V razvoju:

Razviti ustvarjalno in miselno aktivnost študentov, njihove intelektualne lastnosti: sposobnost "videti" problem.

Oblikovati sposobnost jasnega in jasnega izražanja svojih misli, raziskovanja, analize, primerjave, sklepanja.

Razviti zanimanje študentov za samostojno ustvarjalnost.

Razviti prostorsko domišljijo učencev.

Izobraževalni:

Razviti sposobnost dela z razpoložljivimi informacijami v nenavadnih razmerah.

Gojite natančnost in vestnost.

Izvajati estetsko vzgojo.

Vrsta lekcije: kombinirano.

Oprema:

• multimedijski projektor;

  prijava k lekciji: (Predstavitev.) - na elektronskih medijih;

Sredstva izobraževanja: računalniki, programska opremaexcel, medijski projektor, diapozitiv.

Predstavitve: grafi funkcij zgrajeni v enem koordinatnem sistemu.

Oblike organizacije izobraževalnih dejavnosti: individualno, dialog, delo z besedilom prosojnice, raziskovalno delo v zvezku.

Metode: vizualno, verbalno grafika, raziskovanje.

Med poukom.

1. Uvodni govor učitelja. Pogovor o namestitvi. Psihološko razpoloženje študentov.

V lekciji moramo ponoviti in povzeti znanje o temi "Funkcija", ki smo jo preučevali v 9. razredu, se seznaniti z medsebojno inverznimi funkcijami, preučiti pogoje za obstoj inverzne funkcije in njene lastnosti, naučiti se graditi grafe inverzne funkcije. funkcije. Želimo si uspeha in plodnega dela.

2. Ponovitev gradiva, zajetega na temo "Funkcije in njihovi grafi." Predstavitev.

Diapozitivi 2-10. Frontalno delo z razredom.

3. Učenje nove snovi. Poučni pogovor z elementi raziskovanja in demonstracije (prosojnice 11-24)

Primer odvisnosti. Vsaka vrednost funkcije ustreza eni vrednosti argumenta.

Za takšne funkcije je mogoče izraziti obratno razmerje med vrednostmi argumenta in vrednostmi funkcije.

telovadba.

Poiščite domeno in obseg medsebojno inverznih funkcij.

4. Utrjevanje znanja.

Opombe o lekciji na temo "Inverzne funkcije"

Lekcija 1 "Vzvratna funkcija"

Cilj: Oblikujte teoretični aparat o temi. Vnesite

Pojem invertibilne funkcije;

Pojem inverzne funkcije;

Formulirajte in dokažite zadosten pogoj za reverzibilnost

funkcije;

Osnovne lastnosti medsebojno inverznih funkcij.

Načrt predavanja

Organiziranje časa.

Aktualizacija znanja učencev, ki je potrebno za dojemanje nove teme.

Predstavitev novega gradiva.

Povzetek lekcije.

Potek lekcije-predavanja

1. Organiziranje časa.

2. Posodobitev znanja. ( Frontalna anketa na temo prejšnje lekcije.)

Učencem je na interaktivni tabli prikazan graf funkcije (slika 1). Učitelj oblikuje nalogo - razmisliti o grafu funkcije in našteti preučene lastnosti funkcije. Učenci naštejejo lastnosti funkcije glede na načrt raziskave. Učitelj desno od grafa funkcije zapiše imenovane lastnosti s flomastrom na interaktivno tablo.

riž. 1

Lastnosti funkcije:

3. Postavljanje ciljev za študente.

Na koncu študija učitelj poroča, da se bodo danes pri lekciji seznanili še z eno lastnostjo funkcije - reverzibilnostjo. Za smiselno preučevanje novega gradiva učitelj povabi otroke, da se seznanijo z glavnimi vprašanji, na katera morajo učenci odgovoriti na koncu lekcije. Vsak študent ima vprašanja v obliki izročka (razdeljen pred lekcijo).

vprašanja:

1. Katero funkcijo imenujemo reverzibilna?

2. Katero funkcijo imenujemo inverzna?

3. Kako so povezane domene definicije in množice vrednosti direktnih in inverznih funkcij?

4. Formulirajte zadosten pogoj, da je funkcija obrnljiva.

5. Ali je obratna funkcija naraščajoče funkcije padajoča ali naraščajoča?

6. Ali je inverzna liha funkcija soda ali liha?

7. Kako so urejeni grafi medsebojno inverznih funkcij?

4. Predstavitev novega gradiva.

1) Koncept invertibilne funkcije. Zadosten pogoj za reverzibilnost.

Učitelj na interaktivni tabli primerja grafa dveh funkcij, katerih domene definicije in množice vrednosti so enake, vendar je ena od funkcij monotona, druga pa ne (slika 2). Tako ima funkcija lastnost, ki ni značilna za funkcijo: ne glede na to, katero število iz množice vrednosti funkcijef ( x ) vzemite, je vrednost funkcije samo v eni točki, s čimer učitelj učence pripelje do koncepta invertibilne funkcije.

riž. 2

Učitelj nato oblikuje definicijo invertibilne funkcije in dokaže izrek o invertibilni funkciji z uporabo grafa monotone funkcije na interaktivni tabli.

Definicija 1. Funkcija se imenujereverzibilen , če prevzame katero koli od svojih vrednosti samo na eni točki nizaX .

Izrek. Če je funkcija na množici monotonaX , potem je reverzibilen.

Dokaz:

Naj funkcija y=f(x) poveča na setuX naj gre X 1 ≠x 2 - dve točki nizaX .

Za določnost najX 1 < X 2 . Potem iz česaX 1 < X 2 ko se funkcija povečuje, sledi, daf(x 1 ) < f(x 2 ) .

Tako različne vrednosti argumenta ustrezajo različnim vrednostim funkcije, tj. funkcija je reverzibilna.

Podobno dokazujemo izrek v primeru padajoče funkcije.

(Med dokazom izreka učitelj z flomastrom naredi vsa potrebna pojasnila na risbi)

Preden oblikuje definicijo inverzne funkcije, učitelj prosi učence, da ugotovijo, katera od predlaganih funkcij je reverzibilna? Na interaktivni tabli so prikazani grafi funkcij (sl. 3, 4) in zapisanih je več analitično določenih funkcij:

A ) b )

riž. 3 sl. 4

V ) y=2x+5; G ) y = - + 7.

Komentiraj. Monotonost funkcije jedovolj pogoj za obstoj inverzne funkcije. Ampak toni potreben pogoj.

Učitelj poda primere različnih situacij, ko funkcija ni monotona, ampak reverzibilna, ko funkcija ni monotona in ni reverzibilna, ko je monotona in reverzibilna.

2) Koncept inverzne funkcije. Algoritem za sestavljanje inverzne funkcije.

Definicija 2. Naj reverzibilna funkcijay=f(x) določeno na setuX in njegov obsegE(f)=Y . Povežimo vsakegal od Y potem edini pomenX, pri katerem f(x)=y. Nato dobimo funkcijo, ki je definirana naY, A X – območje funkcijskih vrednosti. Ta funkcija je označenax=f -1 (y), in pokliči vzvratno glede na funkcijoy=f(x), .

Nato učitelj učence uvede v metodo analitičnega iskanja inverzne funkcije.

Algoritem za prevajanje inverzne funkcije za funkcijo l = f ( x ), .

Prepričajte se o funkcijiy=f(x) reverzibilen na intervaluX .

Ekspresna spremenljivkaX skozi pri iz enačbe y=f(x), ob upoštevanju tega.

V dobljeni enakosti zamenjajteX in pri. Namesto x=f -1 (y) pisati y=f -1 (x).

Na konkretnih primerih učitelj pokaže, kako uporabljati ta algoritem.

Primer 1 Pokažite, kaj je za funkcijoy=2x-5

rešitev . Linearna funkcijay=2x-5 določeno na R, se poveča za R in njegov obseg jeR. Inverzna funkcija torej obstaja naR . Da bi našli njen analitični izraz, rešimo enačboy=2x-5 relativno X ; dobiti. Preimenuj spremenljivke, dobimo želeno inverzno funkcijo. Definiran je in narašča z R.

Primer 2 Pokažite, kaj je za funkcijoy=x 2 , x ≤ 0 obstaja inverzna funkcija in najti njen analitični izraz.

rešitev . Funkcija je zvezna, monotona v svoji definicijski domeni, zato je invertibilna. Po analizi domen definicije in nabora vrednosti funkcije se naredi ustrezen zaključek o analitičnem izrazu za inverzno funkcijo, ki ima obliko.

3) Lastnosti medsebojno inverznih funkcij.

Lastnost 1.če g je inverzna funkcija f , potem in f je inverzna funkcija g (funkciji sta medsebojno inverzni), medtem koD ( g )= E ( f ), E ( g )= D ( f ) .

Lastnost 2. Če funkcija narašča (pada) na množici X in je Y obseg funkcije, potem obratna funkcija narašča (pada) na Y.

Nepremičnina 3. Da bi dobili graf funkcije, ki je inverzna funkciji, je treba graf funkcije preoblikovati simetrično glede na ravno črtoy=x .

Lastnina 4. Če je liha funkcija obrnljiva, je liha tudi njena inverzna funkcija.

Lastnina 5.Če funkcije f ( x ) in medsebojno inverzna, potem velja za katero koli in velja za katero koli.

Primer 3 Če je mogoče, narišite inverzno funkcijo.

rešitev. Ta funkcija nima inverza v svoji celotni domeni definicije, ker ni monotona. Zato razmislite o intervalu, na katerem je funkcija monotona: , torej obstaja inverz. Najdimonjo . Za to izražamox skozil : . Preimenuj - inverzna funkcija. Zgradimo grafe funkcij (slika 5) in se prepričajmo, da so simetrični glede na ravno črtol = x .

riž. 5

Primer 4 Poiščite množico vrednosti vsake od medsebojno inverznih funkcij, če to poznate.

rešitev. Glede na lastnost 1 medsebojno inverznih funkcij imamo.

5 . Povzemanje

Izvajanje diagnostičnega dela. Namen tega dela je ugotoviti stopnjo asimilacije učnega gradiva, obravnavanega na predavanju. Študente vabimo, da odgovorijo na vprašanja, zastavljena na začetku predavanja.

6 . Postavljanje domače naloge.

1. Razumeti gradivo predavanj, spoznati osnovne definicije in formulacije izrekov.

2. Dokaži lastnosti medsebojno inverznih funkcij.

Lekcija 2 Zadosten pogoj za invertibilnost funkcije"

Cilj: oblikovati sposobnost uporabe teoretičnega znanja o temi pri reševanju problemov, upoštevati glavne vrste problemov za preučevanje funkcije za reverzibilnost, za izgradnjo inverzne funkcije.

Učni načrt delavnice:

1. Organizacijski trenutek.

2. Aktualizacija znanja (frontalno delo učencev).

3. Utrjevanje preučene snovi (reševanje nalog).

4. Povzetek lekcije.

5. Izjava o domači nalogi.

Med poukom.

1. Organiziranje časa.

Pozdrav učitelja, preverjanje pripravljenosti učencev na lekcijo.

2. Posodobitev znanja. ( sprednje delo študentov).

Učence prosimo, da ustno rešijo naslednje naloge:

1. Formulirajte zadosten pogoj, da je funkcija obrnljiva.

2. Med funkcijami, katerih grafi so prikazani na sliki, označite tiste, ki so reverzibilne.

3. Oblikujte algoritem za prevajanje funkcije, inverzne dani.

4. Ali obstajajo funkcije, inverzne podatkom? Če da, jih poiščite:

A) ; b ) ; c ) .

5. Ali sta funkciji, katerih grafi so prikazani na sliki, medsebojno inverzni (slika 6)? Odgovor utemelji.

riž. 6

3. Utrjevanje preučene snovi (reševanje nalog).

Utrjevanje preučenega gradiva je sestavljeno iz dveh stopenj:

Individualno samostojno delo študentov;

Seštevanje rezultatov individualnega dela.

Na prvi stopnji učenci dobijo kartice z nalogami, ki jih opravijo sami.

1. vaja.

Ali je funkcija reverzibilna čez celotno domeno definicije? Če da, potem poiščite obratno stran.

a) ; b) ; c).

Naloga 2.

Ali sta funkciji medsebojno inverzni:

A) ;

b ) .

Naloga 3.

Upoštevajte funkcijo na vsakem od navedenih intervalov, če je funkcija na tem intervalu obrnljiva, nato analitično določite njen inverz, navedite domeno definicije in obseg vrednosti:

a ) R ; b ) ; d ) [-2;0].

Naloga 4.

Dokaži, da je funkcija ireverzibilna. Poiščite njemu inverzno funkcijo na intervalu in narišite njen graf.

Naloga 5.

Narišite funkcijo in ugotovite, ali zanjo obstaja inverzna funkcija. Če da, potem na isti risbi narišite inverzno funkcijo in jo analitično nastavite:

a ) ; b ) .

Na stopnji seštevanja rezultatov samostojnega dela učencev se naloge preverjajo le s fiksiranjem vmesnih rezultatov. Težave, ki so povzročale največ težav, se obravnavajo na tabli bodisi z razkritjem iskanja rešitev bodisi z zapisom celotne rešitve.

4. Povzetek lekcije (refleksija).

Študentom je na voljo mini vprašalnik:

Kaj mi je bilo pri lekciji všeč?_______________________________________

Kaj mi pri lekciji ni bilo všeč? __________________________

_________________________________________________________________

Izberite eno izjavo, ki vam najbolj ustreza:

1) Znam samostojno raziskati funkcijo za reverzibilnost, sestaviti inverz in prepričan sem, da je rezultat pravilen.

2) Lahko pregledam funkcijo za reverzibilnost, zgradim inverz, vendar nisem vedno prepričan o pravilnosti rezultata, potrebujem pomoč svojih tovarišev.

3) Praktično ne morem raziskati funkcije za reverzibilnost, sestaviti inverza, potrebujem dodaten nasvet učitelja.

Kje lahko uporabim pridobljeno znanje?____________________ _________________________________________________________________

5. Postavljanje domače naloge.

№ 10.3, 10.6 (c, d), 10.7 (c, d), 10.9 (c, d), 10.13 (c, d), 10.18.(Mordkovič, A.G. Algebra in začetki matematične analize 10. razred. Ob 14. uri 2. del. Naloga za študente izobraževalnih ustanov (stopnja profila) / A.G. Mordkovič, P.V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384 str.)

Medsebojno inverzne funkcije in njihovi grafi

(posplošeno ponavljanje obravnavane snovi)

Kateri od grafov ustreza grafu funkcije y=x 3 ali ima obratno?

Kateri od grafov ustreza grafu funkcije, ali ima inverz?

Kateri od grafov ustreza grafu

Ali ima obratno funkcijo?

Kateri graf ustreza funkciji?

1. skupina: odgovori a) pojasni zakaj

Kateri funkciji ustreza graf? 1. y \u003d x 3 2. 3. y \u003d x 4 4. y \u003d x -2 5. 6. y = x -1

na grafu funkcije

D(y)=(-:0) U(0;+)

Določite obseg tega

na grafu funkcije

Določite obseg danega na grafu funkcije

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Poišči funkcijo inverzno dani pri = g ( x )

Če je funkcija (2) inverzna funkciji (1), se takšne funkcije imenujejo medsebojno inverzne.

Poiščite domeno definicije in nabor vrednosti za te funkcije.

• D (y) \u003d (- ∞ ;2) ∪ (2; + ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (y) \u003d (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Domena inverzne funkcije g(x) sovpada z nizom vrednosti izvirnika funkcije f ( x ), in nabor vrednosti inverzne funkcije g(x) sovpada z domeno prvotne funkcije f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

• Monotona funkcija je reverzibilna:

• če funkcija f (x) narašča, nato pa njegova obratna funkcija g (x) tudi poveča;
• Če funkcija f (x) upada, nato pa njegova obratna funkcija g (x) tudi zmanjša.

Podano: y = x 3

Zgradite graf te funkcije, izrazite formulo inverzne funkcije dane funkcije in narišite njen graf.

3. Če ima funkcija inverzno, potem je graf inverzne funkcije simetričen grafu te funkcije glede na ravno črto y \u003d x.

Zgradite graf funkcije, inverzne na dano.

Poučevanje samostojnega dela

II možnost

I možnost

• Poišči funkcijo, inverzno dani:

2. Poiščite domeno definicije in množico vrednosti funkcije, inverzne na dano:

3. Zgradite graf funkcije, inverzne na dano:

II možnost

I možnost

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Domača naloga:

reši št. 579, št. 576 (c, d

po želji št. 581 (1,2)

• Med lekcijo sem se naučil …………………………….
• Pri pouku me je zanimalo ……………………..
• Bilo je težko …………………………………………….
• Znanje, pridobljeno pri pouku, lahko uporabim ……………………………………………

Re f e k s i :

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

• oblikovati znanje o novi temi v skladu s programsko snovjo;
• preučiti lastnost invertibilnosti funkcije in naučiti, kako najti funkcijo, inverzno dani;

V razvoju:

• razvijati sposobnosti samokontrole, predmetni govor;
• obvladajo pojem inverzne funkcije in spoznajo metode iskanja inverzne funkcije;

Izobraževalni: oblikovati komunikacijsko kompetenco.

Oprema: računalnik, projektor, platno, interaktivna tabla SMART Board, izroček (samostojno delo) za skupinsko delo.

Med poukom.

1. Organizacijski trenutek.

Tarča – priprava dijakov na delo v razredu:

Opredelitev odsotnosti,

Odnos študentov do dela, organizacija pozornosti;

Sporočilo o temi in namenu lekcije.

2. Posodabljanje temeljnega znanja učencev. sprednja anketa.

Cilj - ugotavljanje pravilnosti in zavedanja preučene teoretične snovi, ponavljanje obravnavane snovi.<Приложение 1 >

Graf funkcije je prikazan na interaktivni tabli za učence. Učitelj oblikuje nalogo - razmisliti o grafu funkcije in našteti preučene lastnosti funkcije. Učenci naštejejo lastnosti funkcije glede na načrt raziskave. Učitelj desno od grafa funkcije zapiše imenovane lastnosti s flomastrom na interaktivno tablo.

Lastnosti funkcije:

Na koncu študija učitelj poroča, da se bodo danes pri lekciji seznanili še z eno lastnostjo funkcije - reverzibilnostjo. Za smiselno preučevanje novega gradiva učitelj povabi otroke, da se seznanijo z glavnimi vprašanji, na katera morajo učenci odgovoriti na koncu lekcije. Vprašanja so napisana na navadni tabli in vsak študent ima izroček (razdeljen pred lekcijo)

1. Kaj je reverzibilna funkcija?
2. Ali je vsaka funkcija reverzibilna?
3. Kaj je inverzna dana funkcija?
4. Kako sta povezana domena definicije in množica vrednosti funkcije in njene inverzne funkcije?
5. Če je funkcija podana analitično, kako definirate inverzno funkcijo s formulo?
6. Če je funkcija podana grafično, kako narisati njeno obratno funkcijo?

3. Razlaga nove snovi.

Tarča - oblikovati znanje o novi temi v skladu s programsko snovjo; preučiti lastnost invertibilnosti funkcije in naučiti, kako najti funkcijo, inverzno dani; razviti predmet.

Učitelj izvede predstavitev snovi v skladu z gradivom odstavka. Na interaktivni tabli učitelj primerja grafa dveh funkcij, katerih definicijske domene in množice vrednosti so enake, vendar je ena od funkcij monotona, druga pa ne, s čimer učence pripelje pod koncept invertibilne funkcije .

Učitelj nato oblikuje definicijo invertibilne funkcije in dokaže izrek o invertibilni funkciji z uporabo grafa monotone funkcije na interaktivni tabli.

Definicija 1: Pokličemo funkcijo y=f(x), x X reverzibilen, če prevzame katero koli od svojih vrednosti samo na eni točki množice X.

Izrek: Če je funkcija y=f(x) monotona na množici X , potem je obrnljiva.

Dokaz:

1. Naj funkcija y=f(x) poveča za X naj gre x 1 ≠ x 2- dve točki niza X.
2. Za določnost naj x 1< x 2.
   Potem iz česa x 1< x 2 temu sledi f(x 1) < f(x 2).
3. Tako različne vrednosti argumenta ustrezajo različnim vrednostim funkcije, tj. funkcija je reverzibilna.

(Med dokazom izreka učitelj z flomastrom naredi vsa potrebna pojasnila na risbi)

Preden oblikuje definicijo inverzne funkcije, učitelj prosi učence, da ugotovijo, katera od predlaganih funkcij je reverzibilna? Na interaktivni tabli so prikazani grafi funkcij in zapisanih je več analitično definiranih funkcij:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Učitelj predstavi definicijo inverzne funkcije.

Definicija 2: Naj bo invertibilna funkcija y=f(x) določeno na setu X in E(f)=Y. Povežimo vsakega l od Y potem edini pomen X, pri katerem f(x)=y. Nato dobimo funkcijo, ki je definirana na Y, A X je obseg funkcije

Ta funkcija je označena x=f -1 (y) in se imenuje inverzna funkcija y=f(x).

Študente povabimo, da sklepajo o razmerju med domeno definicije in množico vrednosti inverznih funkcij.

Za obravnavo vprašanja, kako najti inverzno funkcijo dane, je učitelj vključil dva učenca. Dan prej so otroci od učiteljice dobili nalogo, da samostojno analizirajo analitično in grafično metodo iskanja inverzne dane funkcije. Učitelj je deloval kot svetovalec pri pripravi učencev na pouk.

Sporočilo prvega študenta.

Opomba: monotonost funkcije je dovolj pogoj za obstoj inverzne funkcije. Ampak to ni potreben pogoj.

Študent je navedel primere različnih situacij, ko funkcija ni monotona, ampak reverzibilna, ko funkcija ni monotona in ni reverzibilna, ko je monotona in reverzibilna.

Nato študent študente seznani z metodo analitičnega iskanja inverzne funkcije.

Algoritem iskanja

1. Prepričajte se, da je funkcija monotona.
2. Izrazi x z y.
3. Preimenuj spremenljivke. Namesto x \u003d f -1 (y) pišejo y \u003d f -1 (x)

Nato reši dva primera, da poišče inverzno funkcijo dane.

Primer 1: Pokažite, da obstaja inverzna funkcija za funkcijo y=5x-3 in poiščite njen analitični izraz.

rešitev. Linearna funkcija y=5x-3 je definirana na R, narašča na R, njen obseg pa je R. Zato obstaja inverzna funkcija na R. Da bi našli njen analitični izraz, rešimo enačbo y=5x-3 glede na x; dobimo To je želena inverzna funkcija. Definiran je in narašča z R.

Primer 2: Pokažite, da obstaja inverzna funkcija za funkcijo y=x 2 , x≤0, in poiščite njen analitični izraz.

Funkcija je zvezna, monotona v svoji definicijski domeni, zato je invertibilna. Po analizi domen definicije in nabora vrednosti funkcije se naredi ustrezen zaključek o analitičnem izrazu za inverzno funkcijo.

Drugi učenec naredi predstavitev o grafični kako najti inverzno funkcijo. Učenec pri razlagi uporablja zmožnosti interaktivne table.

Da bi dobili graf funkcije y=f -1 (x), inverzen funkciji y=f(x), je treba graf funkcije y=f(x) transformirati simetrično glede na premico y=x.

Pri razlagi na interaktivni tabli se izvaja naslednja naloga:

Zgradite graf funkcije in graf njene inverzne funkcije v istem koordinatnem sistemu. Zapišite analitični izraz za inverzno funkcijo.

4. Primarna fiksacija novega materiala.

Cilj - ugotoviti pravilnost in zavest o razumevanju preučenega gradiva, ugotoviti vrzeli v primarnem razumevanju gradiva, jih popraviti.

Učenci so razdeljeni v pare. Dobijo liste z nalogami, pri katerih delajo v parih. Čas za dokončanje dela je omejen (5-7 minut). En par učencev dela na računalniku, projektor je za ta čas izklopljen in ostali otroci ne morejo videti, kako učenci delajo na računalniku.

Po preteku časa (predpostavlja se, da je večina učencev delo opravila) interaktivna tabla (projektor se ponovno vklopi) prikaže delo učencev, kjer se med preizkusom razjasni, da je bila naloga opravljena v parov. Po potrebi učitelj izvaja korektivno, razlagalno delo.

Samostojno delo v parih<Priloga 2 >

5. Rezultat lekcije. Na vprašanja, ki so bila zastavljena pred predavanjem. Razglasitev ocen za lekcijo.

Domača naloga §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra in začetki analize. 10. razred V 2 delih za izobraževalne ustanove (raven profila) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova in drugi; izd. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007