Sinus 2 na številskem krogu. Enačba sin x = a. Urimo se iskanja vrednosti sinusa in kosinusa v krogu

telovadba.
Poiščite vrednost x pri .

rešitev.
Najti vrednost argumenta funkcije, pri kateri je enaka neki vrednosti, pomeni določiti, za katere argumente bo vrednost sinusa popolnoma enaka, kot je navedeno v pogoju.
V tem primeru moramo ugotoviti, pri katerih vrednostih bo vrednost sinusa enaka 1/2. To lahko naredimo na več načinov.
Uporabite na primer , s katerim določite, pri katerih vrednostih x bo sinusna funkcija enaka 1/2.
Drug način je uporaba. Naj vas spomnim, da vrednosti sinusov ležijo na osi Oy.
Najpogostejši način je uporaba, zlasti ko gre za tako standardne vrednosti za to funkcijo, kot je 1/2.
V nobenem primeru ne smemo pozabiti na eno najpomembnejših lastnosti sinusa - njegovo obdobje.
Poiščimo vrednost 1/2 za sinus v tabeli in poglejmo, kateri argumenti ji ustrezajo. Argumenta, ki nas zanimata, sta Pi / 6 in 5Pi / 6.
Zapiši vse korene, ki ustrezajo dani enačbi. Da bi to naredili, zapišemo neznani argument x, ki nas zanima, in eno od vrednosti argumenta, pridobljenega iz tabele, to je Pi / 6. Zapišemo za to, ob upoštevanju sinusnega obdobja, vse vrednosti argumenta:

Vzemimo drugo vrednost in sledimo istim korakom kot v prejšnjem primeru:

Popolna rešitev prvotne enačbe bo:
in
q lahko sprejme vrednost katerega koli celega števila.

Na trigonometričnem krogu poleg kotov v stopinjah opazujemo.

Več o radianih:

Radian je opredeljen kot kotna vrednost loka, katerega dolžina je enaka njegovemu polmeru. Skladno s tem, saj je obseg , potem je očitno, da se radian prilega krogu, tj

1 rad ≈ 57,295779513° ≈ 57°17′44,806″ ≈ 206265″.

Vsi vedo, da je radian

Tako je na primer , a . Tako smo mi Naučite se pretvoriti radiane v kote.

Zdaj pa obratno pretvorimo stopinje v radiane.

Recimo, da moramo pretvoriti v radiane. nam bo pomagal. Nadaljujemo takole:

Ker, radian, potem izpolni tabelo:

Urimo se iskanja vrednosti sinusa in kosinusa v krogu

Naj razjasnimo naslednje.

No, dobro je, če nas prosijo, da izračunamo, recimo, - običajno tukaj ni zmede - vsi začnejo najprej gledati na krog.

In če jih prosijo, da na primer izračunajo ... Mnogi nenadoma začnejo ne razumeti, kje naj iščejo to ničlo ... Pogosto jo iščejo pri izvoru. Zakaj?

1) Dogovorimo se enkrat za vselej! Kaj sledi ali je argument=kot in naši koti so na krogu, ne iščite jih na x osi!(Samo posamezne točke padejo tako na krog kot na os ...) In vrednosti samih sinusov in kosinusov - iščemo na oseh!

2) In še več!Če se oddaljimo od izhodišča v nasprotni smeri urnega kazalca(glavna smer obvoza trigonometričnega kroga), potem odložimo pozitivne vrednosti kotov, se koti povečujejo, ko se premikamo v to smer.

Če se oddaljimo od izhodišča v smeri urinega kazalca, nato pa odložimo negativne vrednosti kotov.

Primer 1

Najdi vrednost.

rešitev:

Najdemo na krogu. Točko projiciramo na sinusno os (to pomeni, da iz točke narišemo navpično na sinusno os (oy)).

Pridemo do 0. Torej, .

Primer 2

Najdi vrednost.

rešitev:

Najdemo na krogu (mimo v nasprotni smeri urinega kazalca in več). Projiciramo točko na sinusno os (in jo že leži na sinusni osi).

Pademo v -1 vzdolž sinusne osi.

Upoštevajte, da so za točko "skrite" točke, kot so (lahko gremo do točke, označene kot , v smeri urinega kazalca, kar pomeni, da se pojavi znak minus), in neskončno veliko drugih.

Lahko naredimo naslednjo analogijo:

Predstavljajte si trigonometrični krog kot tekalno stezo na stadionu.

Navsezadnje lahko končate na točki »Zastava«, začnem v nasprotni smeri urinega kazalca, tečem, recimo, 300 m ali tečem, recimo, 100 m v smeri urinega kazalca (upoštevamo, da je dolžina proge 400 m).

Na točki »Zastava« (po »startu«) lahko končate tudi tako, da pretečete recimo 700 m, 1100 m, 1500 m itd. v nasprotni smeri urinega kazalca. Točko zastavice lahko dosežete tako, da od začetka pretečete 500 m ali 900 m itd. v smeri urinega kazalca.

Mentalno razširite tekalno stezo stadiona v številsko črto. Predstavljajte si, kje v tej vrstici bodo na primer vrednosti 300, 700, 1100, 1500 itd. Na številski premici bomo videli točke, enako oddaljene druga od druge. Obrnimo se nazaj. Pike se »zlepijo« v eno.

Tako je tudi s trigonometričnim krogom. Za vsako točko je neskončno veliko drugih.

Recimo koti , , , itd. prikazan kot ena pika. In vrednosti sinusa, kosinusa v njih so seveda enake. (Ste opazili, da smo seštevali/odštevali ali? To je obdobje za sinusno in kosinusno funkcijo.)

Primer 3

Najdi vrednost.

rešitev:

Za poenostavitev pretvorimo v stopinje.

(kasneje, ko se navadite na trigonometrični krog, vam radianov ne bo treba pretvarjati v stopinje):

Premaknili se bomo v smeri urinega kazalca od točke Gremo pol kroga () in več

Razumemo, da vrednost sinusa sovpada z vrednostjo sinusa in je enaka

Upoštevajte, da če bi vzeli, na primer, ali itd., potem bi dobili enako sinusno vrednost.

Primer 4

Najdi vrednost.

rešitev:

Vendar radianov ne bomo pretvorili v stopinje, kot v prejšnjem primeru.

To pomeni, da moramo iti v nasprotni smeri urinega kazalca polovico kroga in drugo četrtino polkroga ter projicirati nastalo točko na kosinusno os (vodoravna os).

Primer 5

Najdi vrednost.

rešitev:

Kako narisati trigonometrični krog?

Če bomo mimo ali, da, vsaj, bomo še vedno končali na točki, ki smo jo določili kot "start". Zato lahko takoj preidete na točko na krogu

Primer 6

Najdi vrednost.

rešitev:

Končali bomo na točki (vseeno nas bo pripeljalo do točke nič). Točko kroga projiciramo na kosinusno os (glej trigonometrični krog), pridemo v. To je .

Trigonometrični krog - v vaših rokah

Že ste razumeli, da je glavna stvar, da se spomnite vrednosti trigonometričnih funkcij prve četrtine. V preostalih četrtih je vse podobno, le slediti je treba tablam. In upam, da ne boste pozabili na "verižno lestev" vrednosti trigonometričnih funkcij.

Kako najti vrednosti tangensa in kotangensa glavni koti.

Po tem, ko se seznanite z osnovnimi vrednostmi tangente in kotangensa, lahko preneseš

Na predlogi praznega kroga. vlak!

Vrednosti sinusa so v območju [-1; 1], tj. -1 ≤ sin α ≤ 1. Torej, če |a| > 1, potem enačba sin x = a nima korenin. Na primer, enačba sin x = 2 nima korenin.

Pojdimo k nekaterim nalogam.

Rešite enačbo sin x = 1/2.

rešitev.

Upoštevajte, da je sin x ordinata točke enotskega kroga, ki jo dobimo kot rezultat vrtenja točke Р (1; 0) za kot x okoli izhodišča.

Na dveh točkah krožnice M 1 in M 2 je prisotna ordinata, enaka ½.

Ker je 1/2 \u003d sin π / 6, se točka M 1 dobi iz točke P (1; 0) z vrtenjem skozi kot x 1 \u003d π / 6, pa tudi skozi kota x \u003d π / 6 + 2πk, kjer je k \u003d +/-1, +/-2, …

Točko M 2 dobimo iz točke P (1; 0) kot rezultat vrtenja skozi kot x 2 = 5π/6, kot tudi skozi kote x = 5π/6 + 2πk, kjer je k = +/- 1, +/-2, ... , tj. pri kotih x = π – π/6 + 2πk, kjer je k = +/-1, +/-2, ….

Torej lahko vse korene enačbe sin x = 1/2 najdemo s formulami x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, kjer je k € Z.

Te formule je mogoče združiti v eno: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kjer je n € Z (1).

Dejansko, če je n sodo število, tj. n = 2k, potem iz formule (1) dobimo х = π/6 + 2πk, in če je n liho število, tj. n = 2k + 1, potem iz formule (1) dobimo х = π – π/6 + 2πk.

Odgovori. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kjer je n € Z.

Rešite enačbo sin x = -1/2.

rešitev.

Ordinata -1/2 imata dve točki enotskega kroga M 1 in M 2, kjer je x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Zato lahko vse korene enačbe sin x = -1/2 najdemo po formulah x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.

Te formule lahko združimo v eno: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).

Dejansko, če je n = 2k, potem s formulo (2) dobimo x = -π/6 + 2πk, in če je n = 2k – 1, potem s formulo (2) dobimo x = -5π/6 + 2πk.

Odgovori. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.

Tako ima vsaka od enačb sin x = 1/2 in sin x = -1/2 neskončno število korenov.

Na segmentu -π/2 ≤ x ≤ π/2 ima vsaka od teh enačb samo en koren:
x 1 \u003d π / 6 - koren enačbe sin x \u003d 1/2 in x 1 \u003d -π / 6 - koren enačbe sin x \u003d -1/2.

Število π/6 imenujemo arcsinus števila 1/2 in ga zapišemo: arcsin 1/2 = π/6; število -π/6 imenujemo arksinus števila -1/2 in zapišemo: arcsin (-1/2) = -π/6.

Na splošno ima enačba sin x \u003d a, kjer je -1 ≤ a ≤ 1, na segmentu -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 samo en koren. Če je a ≥ 0, je koren zaprt v intervalu; če< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Tako je arksinus števila a € [–1; 1] takšno število imenujemo € [–π/2; π/2], katerega sinus je a.

arcsin a = α, če je sin α = a in -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

Na primer, arcsin √2/2 = π/4, ker je sin π/4 = √2/2 in – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, ker je sin (-π/3) = -√3/2 in – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

Podobno kot pri reševanju nalog 1 in 2 lahko pokažemo, da so koreni enačbe sin x = a, kjer je |a| ≤ 1 so izraženi s formulo

x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).

Lahko tudi dokažemo, da je za vsak a € [-1; 1] velja formula arcsin (-a) = -arcsin a.

Iz formule (4) sledi, da so koreni enačbe
sin x \u003d a za a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 lahko najdete z enostavnejšimi formulami:

sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)

sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)

sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb.

Rešitev trigonometričnih enačb katere koli stopnje kompleksnosti se na koncu zmanjša na reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb. In pri tem se trigonometrični krog ponovno izkaže za najboljšega pomočnika.

Spomnimo se definicij kosinusa in sinusa.

Kosinus kota je abscisa (to je koordinata vzdolž osi) točke na enotskem krogu, ki ustreza vrtenju za dani kot.

Sinus kota je ordinata (to je koordinata vzdolž osi) točke na enotskem krogu, ki ustreza rotaciji za dani kot.

Za pozitivno smer gibanja vzdolž trigonometričnega kroga se šteje gibanje v nasprotni smeri urinega kazalca. Rotacija za 0 stopinj (ali 0 radianov) ustreza točki s koordinatami (1; 0)

Te definicije uporabljamo za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb.

1. Reši enačbo

To enačbo izpolnjujejo vse take vrednosti kota vrtenja , ki ustrezajo točkam kroga, katerih ordinata je enaka .

Označimo točko z ordinato na y-osi:

Narišite vodoravno črto, vzporedno z osjo x, dokler se ne seka s krogom. Dobili bomo dve točki, ki ležita na krožnici in imata ordinato. Te točke ustrezajo rotacijskim kotom in radianom:

Če zapustimo točko, ki ustreza kotu vrtenja na radian, obkrožimo cel krog, potem pridemo do točke, ki ustreza kotu vrtenja na radian in ima isto ordinato. To pomeni, da tudi ta kot zasuka izpolnjuje našo enačbo. Naredimo lahko toliko "prostih" obratov, kolikor želimo, in se vrnemo na isto točko, in vse te kotne vrednosti bodo zadovoljile našo enačbo. Število vrtljajev v "prostem teku" je označeno s črko (ali). Ker lahko te vrtljaje izvajamo tako v pozitivni kot v negativni smeri, lahko (ali ) prevzame poljubne celoštevilske vrednosti.

To pomeni, da ima prva serija rešitev prvotne enačbe obliko:

, , - niz celih števil (1)

Podobno ima druga serija rešitev obliko:

, Kje , . (2)

Kot ste uganili, ta niz rešitev temelji na točki kroga, ki ustreza kotu vrtenja za .

Ti dve seriji rešitev je mogoče združiti v en vnos:

Če vzamemo ta vnos (torej celo), potem bomo dobili prvo serijo rešitev.

Če vzamemo ta vnos (to je liho), potem bomo dobili drugo serijo rešitev.

2. Zdaj pa rešimo enačbo

Ker je abscisa točke enotskega kroga, ki jo dobimo z vrtenjem za kot, označimo na osi točko z absciso:

Narišite navpično črto vzporedno z osjo, dokler se ne seka s krogom. Dobili bomo dve točki, ki ležita na krožnici in imata absciso. Te točke ustrezajo rotacijskim kotom in radianom. Spomnimo se, da pri premikanju v smeri urinega kazalca dobimo negativni kot vrtenja:

Zapišemo dve seriji rešitev:

(Na pravo točko pridemo s prehodom iz glavnega polnega kroga, tj.

Združimo ti dve seriji v eno objavo:

3. Reši enačbo

Premica tangent poteka skozi točko s koordinatami (1,0) enotskega kroga vzporedno z osjo OY

Na njej označimo točko z ordinato, ki je enaka 1 (iščemo tangens katerih kotov je 1):

Povežite to točko z izhodiščem z ravno črto in označite presečišča črte z enotskim krogom. Presečišča premice in kroga ustrezajo kotom vrtenja na in :

Ker so točke, ki ustrezajo rotacijskim kotom, ki ustrezajo naši enačbi, oddaljene radianov, lahko rešitev zapišemo takole:

4. Reši enačbo

Premica kotangensov poteka skozi točko s koordinatami enotskega kroga vzporedno z osjo.

Na premici kotangensov označimo točko z absciso -1:

Povežite to točko z izhodiščem ravne črte in jo nadaljujte, dokler se ne preseka s krogom. Ta črta bo sekala krog v točkah, ki ustrezajo rotacijskim kotom in radianom:

Ker so te točke med seboj ločene z razdaljo, ki je enaka , potem lahko splošno rešitev te enačbe zapišemo takole:

V danih primerih, ki ponazarjajo rešitev najpreprostejših trigonometričnih enačb, so bile uporabljene tabelarične vrednosti trigonometričnih funkcij.

Če pa je na desni strani enačbe netabelarna vrednost, jo nadomestimo v splošni rešitvi enačbe: