Video lekcija "Periodičnost funkcij y \u003d sin x, y \u003d cos x" razkriva koncept periodičnosti funkcije, obravnava opis primerov reševanja problemov, ki uporabljajo koncept periodičnosti funkcije. Ta video lekcija je vizualni pripomoček za razlago teme študentom. Prav tako lahko ta priročnik postane samostojen del pouka in učitelja sprosti za individualno delo z učenci.
Prepoznavnost pri predstavitvi te teme je zelo pomembna. Za predstavitev obnašanja funkcije, risbe, jo je treba vizualizirati. Ni vedno mogoče narediti konstrukcij s tablo in kredo, tako da bi bile razumljive vsem učencem. V video vadnici je mogoče pri gradnji poudariti dele slike z barvo, izvesti transformacije z animacijo. Tako postanejo konstrukcije bolj razumljive večini učencev. Tudi možnosti video lekcije prispevajo k boljšemu pomnjenju snovi.
Demonstracija se začne z uvedbo teme lekcije, pa tudi s spominjanjem učencev na snov, ki so se jo naučili v prejšnjih lekcijah. Zlasti je povzet seznam lastnosti, ki so bile identificirane v funkcijah y = sin x in y = cos x. Med lastnostmi obravnavanih funkcij so navedene domena definicije, obseg vrednosti, enakost (nenavadnost), druge lastnosti - omejenost, monotonost, kontinuiteta, točke najmanjše (največje) vrednosti. Učence obveščamo, da se v tej lekciji preučuje še ena lastnost funkcije - periodičnost.
Predstavljena je definicija periodične funkcije y=f(x), kjer je xϵX, pri kateri je za nek T≠0 izpolnjen pogoj f(x-Т)= f(x)= f(x+Т). V nasprotnem primeru se število T imenuje perioda funkcije.
Za obravnavane sinusne in kosinusne funkcije se izpolnjevanje pogoja preveri z redukcijskimi formulami. Očitno je, da oblika identitete sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) ustreza obliki izraza, ki določa pogoj za periodičnost funkcije. Enako enakost lahko opazimo za kosinus cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Zato so te trigonometrične funkcije periodične.
Nadalje je ugotovljeno, kako lastnost periodičnosti pomaga risati periodične funkcije. Upoštevana je funkcija y \u003d sin x. Na zaslonu je zgrajena koordinatna ravnina, na kateri so s korakom π označene abscise od -6π do 8π. Na ravnini je narisan del sinusnega grafa, ki ga predstavlja en val na segmentu. Na sliki je prikazano, kako se oblikuje graf funkcije na celotnem področju definicije s premikom konstruiranega fragmenta in pridobitvijo dolge sinusoide.
Graf funkcije y \u003d cos x je zgrajen z uporabo lastnosti njene periodičnosti. Da bi to naredili, je na sliki zgrajena koordinatna ravnina, na kateri je upodobljen del grafa. Opozoriti je treba, da je običajno tak fragment zgrajen na intervalu [-π/2;3π/2]. Podobno kot pri grafu sinusne funkcije se konstrukcija kosinusnega grafa izvede s premikom fragmenta. Kot rezultat konstrukcije nastane dolg sinusoid.
Risanje periodične funkcije ima funkcije, ki jih je mogoče uporabiti. Zato so podani v posplošeni obliki. Upoštevajte, da je za izgradnjo grafa takšne funkcije najprej zgrajena veja grafa na določenem intervalu dolžine T. Nato je potrebno premakniti zgrajeno vejo v desno in levo za T, 2T, 3T, itd. hkrati pa je poudarjena še ena značilnost periode - za vsako celo število k≠0 je število kT tudi perioda funkcije. Vendar se T imenuje glavno obdobje, ker je najmanjše od vseh. Za trigonometrične funkcije sinusa in kosinusa je glavna perioda 2π. Vendar pa so tudi 4π, 6π itd.
Poleg tega je predlagano, da se razmisli o iskanju glavnega obdobja funkcije y \u003d cos 5x. Rešitev se začne s predpostavko, da je T perioda funkcije. Zato je treba izpolniti pogoj f(x-T)= f(x)= f(x+T). V tej identiteti je f (x) \u003d cos 5x in f (x + T) \u003d cos 5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T). V tem primeru je cos (5x + 5T) \u003d cos 5x, torej 5T \u003d 2πn. Zdaj lahko najdemo Т=2π/5. Problem rešen.
V drugi nalogi je potrebno najti glavno periodo funkcije y=sin(2x/7). Predpostavimo, da je glavno obdobje funkcije T. za to funkcijo f(x)= sin(2x/7), po obdobju pa f(x+T)=sin(2x/7)(x+T)= sin(2x/7 +(2/7)T). po redukciji dobimo (2/7)Т=2πn. Vendar pa moramo najti glavno periodo, zato vzamemo najmanjšo vrednost (2/7)T=2π, iz katere dobimo T=7π. Problem rešen.
Na koncu demonstracije so rezultati primerov povzeti in tvorijo pravilo za določitev glavnega obdobja funkcije. Opozoriti je treba, da sta glavni periodi za funkciji y=sinkx in y=coskx 2π/k.
Video lekcijo "Periodičnost funkcij y \u003d sin x, y \u003d cos x" lahko uporabite v tradicionalni lekciji matematike, da povečate učinkovitost lekcije. Prav tako je priporočljivo, da to gradivo uporablja učitelj, ki izvaja učenje na daljavo, da poveča jasnost razlage. Video lahko priporočite učencu, ki zaostaja, da poglobi razumevanje teme.
INTERPRETACIJA BESEDILA:
"Periodičnost funkcij y = cos x, y = sin x".
Za risanje funkcij y = sin x in y = cos x so bile uporabljene lastnosti funkcij:
1 obseg,
2 vrednostno območje,
3 sodo ali liho,
4 monotonost,
5 omejitev,
6 kontinuiteta,
7 največja in najmanjša vrednost.
Danes bomo preučevali še eno lastnost: periodičnost funkcije.
OPREDELITEV. Funkcija y \u003d f (x), kjer je x ϵ X (y je enak eff od x, kjer x pripada množici x), se imenuje periodična, če obstaja neničelno število T, tako da je za vsak x iz množica X velja dvojna enakost: f (x - T) \u003d f (x) \u003d f (x + T) (ef iz x minus te je enako ef iz x in je enako ef iz x plus te ). Število T, ki izpolnjuje to dvojno enakost, imenujemo perioda funkcije
In ker sta sinus in kosinus definirana na celotni številski premici in so za vsak x izpolnjene enakosti sin (x - 2π) = sin x = sin (x + 2π) (sinus od x minus dva pi je enak sinusu od x in je enak sinusu od x plus dva pi ) And
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (kosinus x minus dva pi je enak kosinusu x in je enak kosinusu x plus dva pi), potem sta sinus in kosinus periodični funkciji s periodo 2π.
Periodičnost vam omogoča hitro risanje funkcijskega grafa. Dejansko je za naris funkcije y \u003d sin x dovolj, da narišemo en val (najpogosteje na segmentu (od nič do dveh pi), nato pa s premikom konstruiranega dela grafa vzdolž osi abscise na desno in levo za 2π, nato za 4π in tako naprej, da dobimo sinusni val.
(pokaži premik v levo in desno za 2π, 4π)
Podobno velja za graf funkcije
y \u003d cos x, samo en val najpogosteje gradimo na segmentu [; ] (od minus pi za dva do tri pi za dva).
Povzemimo zgoraj povedano in naredimo zaključek: če želite narisati graf periodične funkcije z obdobjem T, morate najprej narisati vejo (ali val ali del) grafa na katerem koli intervalu dolžine T (najpogosteje to je interval s koncema v točkah 0 in T ali - in (minus te za dva in te za dva), nato pa premaknite to vejo vzdolž osi x (x) v desno in levo za T, 2T, 3T itd. .
Očitno je, da če je funkcija periodična s periodo T, potem je za vsako celo število k0 (ka ni enako nič) število oblike kT(ka te) tudi perioda te funkcije. Običajno poskušajo izolirati najmanjše pozitivno obdobje, ki se imenuje glavno obdobje.
Kot periodo funkcij y \u003d cos x, y \u003d sin x bi lahko vzeli - 4π, 4π, - 6π, 6π itd. (minus štiri pi, štiri pi, minus šest pi, šest pi in tako na). Toda število 2π je glavna perioda obeh funkcij.
Razmislite o primerih.
PRIMER 1. Poiščite glavno obdobje funkcije y \u003d cos5x (y je enako kosinusu petih x).
rešitev. Naj bo T glavna perioda funkcije y = cos5x. Postavimo
f (x) \u003d cos5x, potem f (x + T) \u003d cos5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T) (ef iz x plus te je enako kosinusu petkratne vsote x in te je enak kosinusu vsote pet x in pet te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Zato je 5Т= 2πn (pet te je enako dvema pi en), vendar glede na pogoj morate najti glavno periodo, kar pomeni 5Т= 2π. Dobimo T=
(perioda te funkcije je dva pi deljeno s pet).
Odgovor: T=.
PRIMER 2. Poiščite glavno obdobje funkcije y \u003d sin (y je enako sinusu količnika dveh x za sedem).
rešitev. Naj bo T glavno obdobje funkcije y \u003d sin. Postavimo
f (x) \u003d sin, potem f (x + T) \u003d sin (x + T) \u003d sin (x + T) (ef od x plus te je enako sinusu produkta dveh sedmin in vsota x in te je enaka sinusu vsote dveh sedmin x in dveh sedmin te).
Da je število T perioda funkcije, mora biti izpolnjena identiteta
sin (x + T) \u003d sin. Zato je T= 2πn (dve sedmini te sta enaki dvema pi en), vendar glede na pogoj morate najti glavno periodo, kar pomeni T= 2π. Dobimo T=7
(perioda te funkcije je sedem pi).
Odgovor: T=7.
Če povzamemo rezultate, dobljene v primerih, lahko sklepamo: glavno obdobje funkcij y \u003d sin kx ali y \u003d cos kx (y je enako sinusu ka x ali y je enako kosinusu ka x) je enako ( dva pi deljeno s ka).
>> Periodičnost funkcij y = sin x, y = cos x
§ 11. Periodičnost funkcij y \u003d sin x, y \u003d cos x
V prejšnjih odstavkih smo uporabili sedem lastnosti funkcije: domena, sodo ali liho, monotonost, omejenost, maksimalne in minimalne vrednosti, zveznost, območje funkcij. Te lastnosti smo uporabili bodisi za izdelavo funkcijskega grafa (kot je bilo na primer v § 9), bodisi za branje zgrajenega grafa (kot je bilo na primer v § 10). Zdaj je prišel ugoden trenutek za uvedbo še ene (osme) lastnosti funkcij, ki je popolnoma vidna na zgoraj konstruiranem lestvice funkcije y \u003d sin x (glej sliko 37), y \u003d cos x (glej sliko 41).
Opredelitev. Funkcijo imenujemo periodična, če obstaja neničelno število T, tako da je za vsak x iz množic dvojna enakost:
Število T, ki izpolnjuje navedeni pogoj, se imenuje obdobje funkcije y \u003d f (x).
Iz tega sledi, da za vsak x veljajo enakosti:
potem so funkcije y \u003d sin x, y \u003d cos x periodične in število 2 p služi kot obdobje obeh funkcij.
Periodičnost funkcije je obljubljena osma lastnost funkcij.
Zdaj si oglejte graf funkcije y \u003d sin x (slika 37). Za izgradnjo sinusoide je dovolj, da zgradimo enega od njegovih valov (na segmentu in nato premaknemo ta val vzdolž osi x za Kot rezultat, z uporabo enega vala, zgradimo celoten graf.
Poglejmo z istega vidika graf funkcije y \u003d cos x (slika 41). Vidimo, da je tudi tukaj za izris grafa dovolj, da najprej narišemo en val (na primer na segmentu
In ga nato premaknite vzdolž osi x za
Če povzamemo, naredimo naslednji zaključek.
Če ima funkcija y \u003d f (x) obdobje T, potem morate za risanje grafa funkcije najprej narisati vejo (val, del) grafa na katerem koli intervalu dolžine T (najpogosteje vzamejo interval s koncem v točkah in nato premaknite to vejo vzdolž osi x v desno in levo na T, 2T, ZT itd.
Periodična funkcija ima neskončno veliko period: če je T period, potem je 2T period in 3T je period in -T je period; na splošno je obdobje poljubno število v obliki KT, kjer je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Običajno, če je mogoče, poskušajo izločiti najmanjše pozitivno obdobje, imenujemo ga glavno obdobje.
Torej, katero koli število v obliki 2pc, kjer je k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, je obdobje funkcij y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p je glavna doba obeh funkcij.
Primer. Poiščite glavno obdobje funkcije:
A) Naj bo T glavno obdobje funkcije y \u003d sin x. Postavimo
Da je število T perioda funkcije, mora veljati identiteta Ho, ker govorimo o iskanju glavne periode, dobimo
b) Naj bo T glavna perioda funkcije y = cos 0,5x. Naj bo f(x)=cos 0,5x. Potem je f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).
Da je število T perioda funkcije, mora biti izpolnjena identiteta cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.
Torej, 0,5t = 2pp. Ker pa govorimo o iskanju glavnega obdobja, dobimo 0,5T = 2 l, T = 4l.
Posplošitev rezultatov, dobljenih v primeru, je naslednja trditev: glavno obdobje funkcije 
A.G. Mordkovič algebra 10. razred
Vsebina lekcije povzetek lekcije podporni okvir predstavitev lekcije pospeševalne metode interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samopreizkus delavnice, treningi, primeri, naloge domače naloge diskusija vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetki in multimedija fotografije, slike grafike, tabele, sheme humor, anekdote, šale, stripi prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki izvlečkičlanki žetoni za radovedne goljufije učbeniki osnovni in dodatni slovarček pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodobitev fragmenta v učbeniku elementi inovativnosti pri pouku zamenjava zastarelega znanja z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za leto metodološka priporočila programa razprave Integrirane lekcijeJulija 2020 NASA začne ekspedicijo na Mars. Vesoljsko plovilo bo na Mars dostavilo elektronski nosilec z imeni vseh registriranih članov odprave.
Prijave udeležencev so odprte. Zagotovite si vstopnico za Mars na tej povezavi.
Če je ta objava rešila vašo težavo ali vam je bila le všeč, delite povezavo do nje s prijatelji na družbenih omrežjih.
Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznake
in ali takoj za oznako . Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno sledi in naloži najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodobiti. Če prilepite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba stalno spremljati posodobitev MathJax.MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte gradnik, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretje osebe, vanj kopirajte prvo ali drugo različico zgornje kode za nalaganje in gradnik postavite bližje začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite označevalne sintakse MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste na vdelavo matematičnih formul na svoje spletne strani.
Še eno silvestrovo... mrzlo vreme in snežinke na okenskih steklih... Vse to me je spodbudilo, da spet pišem o... fraktalih in o tem, kaj Wolfram Alpha ve o njih. Ob tej priložnosti je zanimiv članek, v katerem so primeri dvodimenzionalnih fraktalnih struktur. Tukaj bomo obravnavali bolj zapletene primere tridimenzionalnih fraktalov.
Fraktal lahko vizualno predstavimo (opišemo) kot geometrijski lik ali telo (kar pomeni, da je oboje množica, v tem primeru množica točk), katere detajli imajo enako obliko kot sama originalna figura. To pomeni, da gre za samopodobno strukturo, katere podrobnosti bomo ob povečavi videli enako obliko kot brez povečave. Medtem ko bomo pri navadnem geometrijskem liku (ne fraktalu) ob povečavi videli detajle, ki so enostavnejše oblike kot sam originalni lik. Na primer, pri dovolj veliki povečavi je del elipse videti kot odsek ravne črte. Pri fraktalih se to ne zgodi: s kakršnim koli povečanjem le-teh bomo spet videli isto zapleteno obliko, ki se bo z vsakim povečanjem znova in znova ponavljala.
Benoit Mandelbrot, utemeljitelj znanosti o fraktalih, je v svojem članku Fraktali in umetnost za znanost zapisal: »Fraktali so geometrijske oblike, ki so tako zapletene v svojih podrobnostih kot v svoji celotni obliki. To pomeni, da če bo del fraktala če ga povečate na velikost celote, bo izgledal kot celota ali natančno ali morda z rahlo deformacijo.
Trigonometrična funkcije periodično, torej po določenem obdobju ponoviti. Posledično je dovolj preučiti funkcijo na tem intervalu in razširiti odkrite lastnosti na vsa druga obdobja.
Navodilo
1. Če vam je dan primitiven izraz, v katerem je samo ena trigonometrična funkcija (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) in kot znotraj funkcije ni pomnožen z nobenim številom in sama ni dvignjena na nobeno moč - uporabite definicijo. Za izraze, ki vsebujejo sin, cos, sec, cosec, pogumno nastavite obdobje na 2P, in če je v enačbi tg, ctg, potem P. Recimo, za funkcijo y \u003d 2 sinx + 5 bo obdobje 2P .
2. Če se kot x pod znakom trigonometrične funkcije pomnoži z določenim številom, potem, da bi našli obdobje te funkcije, razdelite tipično obdobje s tem številom. Recimo, da vam je dana funkcija y = sin 5x. Tipično obdobje za sinus je 2P, če ga delite s 5, dobite 2P / 5 - to je želeno obdobje tega izraza.
3. Če želite poiskati periodo trigonometrične funkcije, dvignjene na potenco, ocenite enakomernost potence. Za enakomerno stopnjo prepolovite obdobje vzorčenja. Recimo, če vam je dana funkcija y \u003d 3 cos ^ 2x, potem se bo tipično obdobje 2P zmanjšalo za 2-krat, tako da bo obdobje enako P. Upoštevajte, da sta funkciji tg, ctg periodični v katerem koli obsegu P .
4. Če vam je podana enačba, ki vsebuje produkt ali količnik dveh trigonometričnih funkcij, najprej poiščite periodo za vse posebej. Nato poiščite najmanjše število, ki bi ustrezalo celotnemu številu obeh obdobij. Recimo, da je podana funkcija y=tgx*cos5x. Za tangento je perioda P, za kosinus 5x je perioda 2P/5. Najmanjše dovoljeno število, ki ustreza obema tema obdobjema, je 2P, zato je želeno obdobje 2P.
5. Če vam je težko narediti predlagani način ali dvomite o rezultatu, poskusite narediti po definiciji. Vzemite T kot periodo funkcije, večja je od nič. V enačbo nadomestite izraz (x + T) namesto x in rešite dobljeno enačbo, kot da bi bil T parameter ali število. Kot rezultat boste našli vrednost trigonometrične funkcije in lahko izbrali najmanjšo periodo. Recimo, da kot rezultat olajšanja dobite identitetni greh (T / 2) \u003d 0. Najmanjša vrednost T, pri kateri se izvaja, je 2P in to bo rezultat naloge.
Periodična funkcija je funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti po nekem obdobju, ki ni nič. Perioda funkcije je število, katerega dodatek k argumentu funkcije ne spremeni vrednosti funkcije.
Boste potrebovali
- Poznavanje elementarne matematike in začetki anketiranja.
Navodilo
1. Označimo periodo funkcije f(x) s številom K. Naša naloga je najti to vrednost K. Če želite to narediti, si predstavljajte, da funkcija f(x) z uporabo definicije periodične funkcije enači f (x+K)=f(x).
2. Nastalo enačbo rešimo za neznano K, kot da je x konstanta. Glede na vrednost K bo na voljo več možnosti.
3. Če je K>0, je to perioda vaše funkcije Če je K=0, potem funkcija f(x) ni periodična Če rešitev enačbe f(x+K)=f(x) ne obstaja za kateri koli K, ki ni enak nič, se taka funkcija imenuje aperiodična in tudi nima periode.
Sorodni videoposnetki
Opomba!
Vse trigonometrične funkcije so periodične, vse polinomske funkcije s stopnjo večjo od 2 pa so aperiodične.
Koristen nasvet
Perioda funkcije, sestavljene iz 2 periodičnih funkcij, je najmanjši skupni večkratnik period teh funkcij.
Trigonometrične enačbe so enačbe, ki vsebujejo trigonometrične funkcije neznanega argumenta (na primer: 5sinx-3cosx =7). Če se želite naučiti, kako jih rešiti, morate poznati nekaj metod za to.
Navodilo
1. Rešitev takih enačb je sestavljena iz dveh stopenj.Prva je preoblikovanje enačbe, da dobi svojo najpreprostejšo obliko. Najenostavnejše trigonometrične enačbe se imenujejo: Sinx=a; cosx=a itd.
2. Drugi je rešitev dobljene najenostavnejše trigonometrične enačbe. Obstajajo osnovni načini za reševanje tovrstnih enačb: Reševanje na algebrski način. Ta metoda je znana iz šole, iz tečaja algebre. Drugače se imenuje metoda zamenjave spremenljivke in zamenjave. Z uporabo redukcijskih formul preoblikujemo, zamenjamo, po kateri najdemo korenine.
3. Razgradnja enačbe na faktorje. Najprej vse člene prenesemo v levo in razgradimo na faktorje.
4. Spravi enačbo v homogeno. Enačbe imenujemo homogene enačbe, če so vsi členi iste stopnje in sinus, kosinus enakega kota.Da bi jo rešili, morate: najprej prenesti vse njene člene z desne na levo stran; premakniti vse skupne faktorje iz oklepajev; enači faktorje in oklepaje na nič; enačeni oklepaji dajejo homogeno enačbo nižje stopnje, ki jo je treba deliti s cos (ali sin) na višjo stopnjo; rešite nastalo algebraično enačbo za tan.
5. Naslednji način je, da greste do polovice vogala. Recimo, rešite enačbo: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Preidimo na pol kota: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos? (x / 2) + 5 greh? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , nakar vse člene reduciramo na en del (sicer na desno) in rešimo enačbo.
6. Pomožni kotni vhod. Ko zamenjamo celoštevilsko vrednost cos(a) ali sin(a). Znak "a" je pomožni kot.
7. Način preoblikovanja produkta v vsoto. Tukaj morate uporabiti ustrezne formule. Recimo dano: 2 sin x sin 3x = cos 4x. Rešimo ga tako, da pretvorimo levo stran v vsoto, to je: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.
8. Zadnji način, imenovan večnamenska zamenjava. Izraz transformiramo in zamenjamo, recimo Cos(x/2)=u, nakar rešimo enačbo s parametrom u. Pri pridobivanju vsote vrednost prevedemo v nasprotje.
Sorodni videoposnetki
Če upoštevamo točke na krogu, potem točke x, x + 2π, x + 4π itd. ujemati med seboj. Torej trigonometrija funkcije na ravni liniji občasno ponovi njihov pomen. Če je obdobje slavno funkcije, je dovoljeno zgraditi funkcijo na tem obdobju in jo ponoviti na drugih.
Navodilo
1. Perioda je število T tako, da je f(x) = f(x+T). Če želite poiskati obdobje, rešite ustrezno enačbo, tako da kot argument nadomestite x in x + T. V tem primeru se uporabijo znane periode za funkcije. Za funkciji sinus in kosinus je perioda 2π, za tangens in kotangens pa π.
2. Naj bo dana funkcija f(x) = sin^2(10x). Razmislite o izrazu sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Za zmanjšanje stopnje uporabite formulo: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Nato dobite 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ali cos 20x = cos (20x+20T). Če vemo, da je perioda kosinusa 2π, je 20T = 2π. Zato je T = π/10. T je minimalno pravilno obdobje in funkcija se bo ponovila po 2T in po 3T ter v drugi smeri vzdolž osi: -T, -2T itd.
Koristen nasvet
Uporabite formule za znižanje stopnje funkcije. Če ste bolj seznanjeni z obdobji nekaterih funkcij, poskusite zmanjšati obstoječo funkcijo na znane.
Iskanje funkcije za sodo in liho pomaga zgraditi graf funkcije in razumeti naravo njenega obnašanja. Za to raziskavo morate primerjati dano funkcijo, napisano za argument "x" in za argument "-x".
Navodilo
1. Funkcijo, ki jo želite raziskati, zapišite kot y=y(x).
2. Zamenjajte argument funkcije z "-x". Zamenjajte ta argument v funkcionalni izraz.
3. Poenostavite izraz.
4. Tako imate isto funkcijo, napisano za argumenta "x" in "-x". Poglejte ta dva vnosa. Če je y(-x)=y(x), je to soda funkcija. Če je y(-x)=-y(x), potem je to liha funkcija. Če je nemogoče recimo za funkcijo, da je y (-x)=y(x) ali y(-x)=-y(x), potem je to zaradi lastnosti parnosti funkcija univerzalne oblike. To pomeni, da ni niti sodo niti liho.
5. Zapišite svoje rezultate. Zdaj jih lahko uporabite pri izrisu funkcijskega grafa ali pri prihodnjem analitičnem iskanju lastnosti funkcije.
6. O sodih in lihih funkcijah lahko govorimo tudi v primeru, ko je graf funkcije natančneje definiran. Recimo, da je bil graf rezultat fizičnega eksperimenta. Če je graf funkcije simetričen glede na os y, potem je y(x) soda funkcija. Če je graf funkcije simetričen glede na os x, potem je x(y ) je soda funkcija. x(y) je inverzna funkcija y(x). Če je graf funkcije simetričen glede na izvor (0,0), potem je y(x) liha funkcija. Tudi inverzna funkcija x(y) bo liha.
7. Pomembno si je zapomniti, da je koncept sode in lihe funkcije neposredno povezan z domeno funkcije. Če recimo soda ali liha funkcija ne obstaja za x=5, potem ne obstaja za x=-5, kar pa je nemogoče reči za funkcijo splošne oblike. Pri določanju sodega in lihega bodite pozorni na domeno funkcije.
8. Iskanje sodih in lihih funkcij je v korelaciji z iskanjem nabora funkcijskih vrednosti. Če želite najti nabor vrednosti enakomerne funkcije, je dovolj, da vidite polovico funkcije, desno ali levo od ničle. Če za x>0 soda funkcija y(x) zavzame vrednosti od A do B, potem bo zavzela enake vrednosti za x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 liha funkcija y(x) sprejme obseg vrednosti od A do B, nato za x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
"Trigonometrične" so se nekoč začele imenovati funkcije, ki so določene z odvisnostjo ostrih kotov v pravokotnem trikotniku od dolžin njegovih stranic. Te funkcije vključujejo, najprej, sinus in kosinus, in drugič, sekans in kosekans, ki sta inverzni tem funkcijam, njune tangens in kotangens odvode, kot tudi inverzne funkcije arksinus, arkosinus itd. To je Bolj pozitivno je govoriti ne o "rešitvi" takšnih funkcij, temveč o njihovem "izračunu", to je o iskanju numerične vrednosti.
Navodilo
1. Če argument trigonometrične funkcije ni znan, je dovoljeno izračunati njegovo vrednost s posredno metodo, ki temelji na definicijah teh funkcij. Če želite to narediti, morate poznati dolžine strani trikotnika, katerega trigonometrično funkcijo za enega od kotov želite izračunati. Recimo, po definiciji je sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku razmerje med dolžino kraka nasproti tega kota in dolžino hipotenuze. Iz tega sledi, da je za iskanje sinusa kota dovolj poznati dolžini teh dveh strani. Podobna definicija pravi, da je sinus ostrega kota razmerje med dolžino noge, ki meji na ta kot, in dolžino hipotenuze. Tangens ostrega kota lahko izračunamo tako, da dolžino nasprotnega kraka delimo z dolžino sosednjega, kotangens pa zahteva deljenje dolžine sosednjega kraka z dolžino nasprotnega kota. Če želite izračunati sekans ostrega kota, morate najti razmerje med dolžino hipotenuze in dolžino noge, ki meji na zahtevani kot, kosekans pa je določen z razmerjem med dolžino hipotenuze in dolžino nasprotne noge.
2. Če se izvede argument trigonometrične funkcije, ni treba poznati dolžin strani trikotnika - dovoljeno je uporabljati tabele vrednosti ali kalkulatorje trigonometričnih funkcij. Takšen kalkulator je med standardnimi programi operacijskega sistema Windows. Če ga želite zagnati, lahko pritisnete kombinacijo tipk Win + R, vnesete ukaz calc in kliknete gumb V redu. V programskem vmesniku odprite razdelek »Pogled« in izberite element »Inženiring« ali »Znanstvenik«. Kasneje je dovoljeno uvesti argument trigonometrične funkcije. Če želite izračunati funkcije sinus, kosinus in tangens, raje po vnosu vrednosti kliknite na ustrezen gumb vmesnika (sin, cos, tg), za iskanje njihovih recipročnih vrednosti arksinusa, arkosinusa in arktangensa pa predhodno označite potrditveno polje Inv.
3. Obstajajo tudi alternativne metode. Eden od njih je, da greste na stran iskalnika Nigma ali Google in kot iskalno poizvedbo vnesete želeno funkcijo in njen argument (recimo sin 0,47). Ti iskalniki imajo vgrajene kalkulatorje, zato boste po pošiljanju takšne zahteve prejeli vrednost trigonometrične funkcije, ki ste jo vnesli.
Sorodni videoposnetki
Nasvet 7: Kako zaznati vrednost trigonometričnih funkcij
Trigonometrične funkcije so se najprej pojavile kot orodje za abstraktne matematične izračune odvisnosti velikosti ostrih kotov v pravokotnem trikotniku od dolžin njegovih stranic. Zdaj se pogosto uporabljajo tako na znanstvenih kot tehničnih področjih človeške dejavnosti. Za utilitarne izračune trigonometričnih funkcij iz danih argumentov je dovoljeno uporabljati različna orodja - nekaj najbolj dostopnih med njimi je opisanih spodaj.
Navodilo
1. Uporabite recimo kalkulator, ki je privzeto nameščen skupaj z operacijskim sistemom. Odpre se z izbiro elementa »Kalkulator« v mapi »Pripomočki« v pododdelku »Tipično« v razdelku »Vsi programi«. Ta razdelek najdete tako, da odprete glavni meni operacijskega sistema s klikom na gumb "Start". Če uporabljate različico sistema Windows 7, lahko preprosto vnesete besedo "Kalkulator" v polje "Zaznaj programe in datoteke" v glavnem meniju in nato kliknete ustrezno povezavo v rezultatih iskanja.
2. Vnesite vrednost kota, za katerega želite izračunati trigonometrično funkcijo, in nato kliknite na gumb, ki ustreza tej funkciji - sin, cos ali tan. Če vas skrbijo inverzne trigonometrične funkcije (arkusinus, arkkosinus ali arktangens), potem najprej kliknite gumb z oznako Inv - obrne funkcije, dodeljene kontrolnim gumbom kalkulatorja.
3. V prejšnjih različicah operacijskega sistema (recimo Windows XP) morate za dostop do trigonometričnih funkcij odpreti razdelek »Pogled« v meniju kalkulatorja in izbrati vrstico »Inženiring«. Poleg tega je namesto gumba Inv v vmesniku starih različic programa potrditveno polje z enakim napisom.
4. Če imate dostop do interneta, lahko storite brez kalkulatorja. Na spletu je veliko storitev, ki ponujajo različno organizirane kalkulatorje trigonometričnih funkcij. Ena posebej priročna možnost je vgrajena v iskalnik Nigma. Ko greste na njeno glavno stran, v polje iskalne poizvedbe primitivno vnesite vrednost, ki vas navdušuje - recimo "lok tangens 30 stopinj". Po pritisku na "Odkrij!" iskalnik bo izračunal in prikazal rezultat izračuna - 0,482347907101025.
Sorodni videoposnetki
Trigonometrija je veja matematike za razumevanje funkcij, ki izražajo različne odvisnosti stranic pravokotnega trikotnika od velikosti ostrih kotov pri hipotenuzi. Takšne funkcije imenujemo trigonometrične in za lažje delo z njimi so bile izpeljane trigonometrične funkcije. identitete .
Izvedba identitete v matematiki označuje enakost, ki je izpolnjena za vse vrednosti argumentov funkcij, ki so vanjo vključene. Trigonometrična identitete- to so enakosti trigonometričnih funkcij, potrjene in sprejete za poenostavitev dela s trigonometričnimi formulami.Trigonometrična funkcija je elementarna funkcija odvisnosti ene od nog pravokotnega trikotnika od velikosti ostrega kota pri hipotenuzi. Pogosteje se uporablja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (sekant) in cosec (kosekant). Te funkcije se imenujejo neposredne, obstajajo tudi inverzne funkcije, recimo sinus - arkusin, kosinus - arkosinus itd. Sprva so se trigonometrične funkcije odražale v geometriji, nato pa so se razširile na druga področja znanosti: fizika, kemija, geografija, optika , teorija verjetnosti , pa tudi akustika, glasbena teorija, fonetika, računalniška grafika in mnogi drugi. Zdaj si je težje predstavljati matematične izračune brez teh funkcij, čeprav so jih v daljni preteklosti uporabljali le v astronomiji in arhitekturi. identitete se uporabljajo za poenostavitev dela z dolgimi trigonometričnimi formulami in njihovo prebavljivo obliko. Obstaja šest osnovnih trigonometričnih identitet, ki so povezane z neposrednimi trigonometričnimi funkcijami: tg ? = sin?/cos?; greh^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; sin (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d sin? Te identitete enostavno potrditi iz lastnosti razmerja stranic in kotov v pravokotnem trikotniku: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = b/a Prva identiteta tg ? = greh?/ker? sledi iz razmerja stranic v trikotniku in izključitve stranice c (hipotenuze) pri deljenju sin s cos. Na enak način je definirana identiteta ctg? = cos ?/sin ?, ker ctg ? = 1/tg ?. Po Pitagorovem izreku je a^2 + b^2 = c^2. Če to enakost delimo s c^2, dobimo drugo identiteto: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.Tretji in četrti identitete dobimo z deljenjem z b^2 oziroma a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? ali 1 + ctg^2? \u003d 1 / sin ^ 2?. Peti in šesti glavni identitete se dokazujejo z določitvijo vsote ostrih kotov pravokotnega trikotnika, ki je enaka 90 ° ali? / 2. Težja trigonometrija identitete: formule za seštevanje argumentov, dvojnih in trojnih kotov, znižanje stopnje, preoblikovanje vsote ali zmnožka funkcij, kot tudi trigonometrične substitucijske formule, in sicer izrazi glavnih trigonometričnih funkcij v pol kota tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Potreba po iskanju minimuma pomen matematični funkcije je dejansko zanimiva za reševanje uporabnih problemov, recimo v ekonomiji. Ogromen pomen za podjetniško dejavnost ima minimiziranje izgub.
Navodilo
1. Da bi našli minimum pomen funkcije, je treba ugotoviti, pri kateri vrednosti argumenta x0 bo izpolnjena neenakost y(x0)? y(x), kjer je x? x0. Kot običajno se ta problem rešuje v določenem intervalu ali v vsakem območju vrednosti funkcije, če ta ni nastavljen. Eden od vidikov rešitve je iskanje fiksnih točk.
2. Stacionarna točka se imenuje pomen argument, da izpeljanka funkcije gre na nič. Po Fermatovem izreku, če ima diferenciabilna funkcija ekstrem pomen na neki točki (v tem primeru lokalni minimum), potem ta točka miruje.
3. Najmanjša pomen funkcija pogosto nastopi točno na tej točki, vendar je ni mogoče vedno določiti. Poleg tega ni vedno mogoče natančno reči, kolikšen je minimum funkcije ali sprejme neskončno majhno pomen. Nato, kot običajno, poiščejo mejo, do katere gravitira pri zmanjševanju.
4. Da bi določili minimalno pomen funkcije, je potrebno izvesti zaporedje dejanj, sestavljenih iz štirih stopenj: iskanje domene definicije funkcije, pridobitev fiksnih točk, pregled vrednosti funkcije na teh točkah in na koncih vrzeli je zaznavanje minimuma.
5. Izkaže se, da naj bo neka funkcija y(x) podana na intervalu z mejami v točkah A in B. Poiščite njeno definicijsko domeno in ugotovite, ali je interval njena podmnožica.
6. Izračunajte izpeljanko funkcije. Dobljeni izraz izenačite z nič in poiščite korenine enačbe. Preverite, ali te stacionarne točke spadajo v interval. Če ne, se na naslednji stopnji ne upoštevajo.
7. Poglejte vrzel za vrsto meja: odprta, zaprta, sestavljena ali brezrazsežna. Odvisno od tega, kako najdeš minimum pomen. Recimo, da je segment [A, B] zaprta vrzel. Nadomestite jih v funkcijo in izračunajte vrednosti. Enako storite s stacionarno točko. Izberite najmanjšo vsoto.
8. Z odprtimi in brezmejnimi intervali je situacija nekoliko težja. Tu moramo iskati enostranske meje, ki ne dajejo vedno nedvoumnega rezultata. Recimo, za interval z eno zaprto in eno preluknjano mejo [A, B) bi morali najti funkcijo pri x = A in enostransko mejo lim y pri x? B-0.
