Osnovni pojmi
Najprej se spomnimo definicije sode, lihe in periodične funkcije.
Definicija 2
Soda funkcija je funkcija, ki ne spremeni svoje vrednosti, ko se spremeni predznak neodvisne spremenljivke:
Definicija 3
Funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti v določenem rednem intervalu:
T -- obdobje funkcije.
Sode in lihe trigonometrične funkcije
Razmislite o naslednji sliki (slika 1):
Slika 1.
Tu sta $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ in $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ vektorja enotske dolžine, simetrična glede na os $Ox$.
Očitno je, da so koordinate teh vektorjev povezane z naslednjimi razmerji:
Ker lahko trigonometrični funkciji sinusa in kosinusa določimo z enotskim trigonometričnim krogom, dobimo, da bo sinusna funkcija liha, kosinusna funkcija pa soda funkcija, to je:
Periodičnost trigonometričnih funkcij
Razmislite o naslednji sliki (slika 2).
Slika 2.
Tu je $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ vektor enotske dolžine.
Naredimo popolno revolucijo z vektorjem $\overrightarrow(OA)$. To pomeni, da zavrtimo ta vektor za $2\pi $ radianov. Po tem se bo vektor popolnoma vrnil v prvotni položaj.
Ker lahko trigonometrični funkciji sinusa in kosinusa določimo z enotnim trigonometričnim krogom, dobimo, da
To pomeni, da sta funkciji sinus in kosinus periodični funkciji z najmanjšo periodo $T=2\pi $.
Oglejmo si zdaj funkciji tangensa in kotangensa. Ker je $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, potem
Ker je $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, potem
Primeri problemov z uporabo paritete, lihosti in periodičnosti trigonometričnih funkcij
Primer 1
Dokažite naslednje trditve:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Ker je tangenta periodična funkcija z minimalno periodo $(360)^0$, dobimo
b) $(cos \levo(-13\pi \desno)\ )=-1$
Ker je kosinus soda in periodična funkcija z minimalno periodo $2\pi $, dobimo
\[(cos \left(-13\pi \desno)\ )=(cos\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \desno)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Ker je sinus liha in periodična funkcija z minimalno periodo $(360)^0$, dobimo
Če konstruiramo enotski krog s središčem v izhodišču in nastavimo poljubno vrednost za argument x 0 in štejemo od osi Ox kotiček x 0, potem ta kot na enotskem krogu ustreza določeni točki A(slika 1) in njegovo projekcijo na os Oh bo točka M. Dolžina odseka OM enaka abscisi točke A. Podana vrednost argumenta x 0 preslikana vrednost funkcije l=cos x 0 kot abscisne pike A. V skladu s tem točka IN(x 0 ;pri 0) pripada grafu funkcije pri=cos X(slika 2). Če je točka A je desno od osi OU, Trenutni sinus bo pozitiven, če pa na levo, bo negativen. Ampak vseeno pika A ne more zapustiti kroga. Zato je kosinus v območju od –1 do 1:
–1 = cos x = 1.
Dodatna rotacija pod poljubnim kotom, večkratnik 2 str, povratna točka A na isto mesto. Zato funkcija y = cos xstr:
cos( x+ 2str) = cos x.
Če vzamemo dve vrednosti argumenta, enaki v absolutni vrednosti, vendar nasprotni v predznaku, x In - x, poiščite ustrezne točke na krogu A x in A -x. Kot je razvidno iz sl. 3 njihovo projekcijo na os Oh je ista točka M. Zato
cos(– x) = cos ( x),
tiste. kosinus je soda funkcija, f(–x) = f(x).
To pomeni, da lahko raziskujemo lastnosti funkcije l=cos X na segmentu , in nato upoštevajte njegovo pariteto in periodičnost.
pri X= 0 točk A leži na osi Oh, njegova abscisa je 1, zato je cos 0 = 1. Z naraščanjem X pika A premika po krogu navzgor in v levo, njegova projekcija je seveda le v levo in pri x = str/2 kosinus postane enak 0. Točka A v tem trenutku se dvigne na največjo višino, nato pa se še naprej premika v levo, vendar že pada. Njegova abscisa se zmanjšuje, dokler ne doseže najmanjše vrednosti, ki je enaka –1 at X= str. Tako je na intervalu funkcija pri=cos X monotono pada od 1 do –1 (sl. 4, 5).
Iz parnosti kosinusa sledi, da je na intervalu [– str, 0] funkcija monotono narašča od –1 do 1 in pri tem zavzame ničelno vrednost x =–str/2. Če vzamete več obdobij, dobite valovito krivuljo (slika 6).
Torej funkcija l=cos x na točkah zavzame ničelne vrednosti X= str/2 + kp, Kje k – poljubno celo število. Pri točkah so doseženi maksimumi enaki 1 X= 2kp, tj. v korakih po 2 str in minimumi enaki –1 v točkah X= str + 2kp.
Funkcija y = sin x.
Na vogalu enotskega kroga x 0 ustreza piki A(slika 7), in njegovo projekcijo na os OU bo točka n.Z vrednost funkcije y 0 = greh x 0 definirana kot ordinata točke A. Pika IN(kotiček x 0 ,pri 0) pripada grafu funkcije l= greh x(slika 8). Jasno je, da funkcija y = greh x periodično, njegova doba je 2 str:
greh ( x+ 2str) = greh ( x).
Za dve vrednosti argumenta, X In - , projekcije njihovih ustreznih točk A x in A -x na os OU ki se nahaja simetrično glede na točko O. Zato
greh (– x) = –greh ( x),
tiste. sinus je liha funkcija, f(– x) = –f( x) (slika 9).
Če je točka A vrti glede na točko O pod kotom str/2 v nasprotni smeri urinega kazalca (z drugimi besedami, če je kot X povečati za str/2), potem bo njegova ordinata v novem položaju enaka abscisi v starem. Kar pomeni
greh ( x+ str/2) = cos x.
V nasprotnem primeru je sinus kosinus "pozen" za str/2, ker se bo katera koli vrednost kosinusa "ponovila" v sinusu, ko se argument poveča za str/2. In za izgradnjo sinusnega grafa je dovolj, da premaknete kosinusni graf za str/2 na desno (slika 10). Izredno pomembna lastnost sinusa je izražena z enakostjo
Geometrični pomen enakosti je razviden iz sl. 11. Tukaj X - to je pol loka AB, kot v X - polovico ustreznega akorda. Očitno je, da ko se točke približujejo A in IN dolžina tetive se vse bolj približuje dolžini loka. Iz iste slike je enostavno izpeljati neenakost
|greh x| x|, velja za vse X.
Matematiki formulo (*) imenujejo izjemna meja. Iz nje izhaja zlasti, da greh X» X pri majhnem X.
Funkcije pri= tg x, y=ctg X. Ostali dve trigonometrični funkciji, tangens in kotangens, najlažje definiramo kot razmerja med nam že znanima sinusom in kosinusom:
Tako kot sinus in kosinus sta tudi tangens in kotangens periodični funkciji, vendar sta njuni periodi enaki str, tj. so polovico manjši od sinusa in kosinusa. Razlog za to je jasen: če sinus in kosinus spremenita predznak, se njuno razmerje ne bo spremenilo.
Ker imenovalec tangenta vsebuje kosinus, tangens ni definiran v tistih točkah, kjer je kosinus 0 - ko X= str/2 +kp. Na vseh drugih točkah se monotono povečuje. Neposredno X= str/2 + kp za tangento so navpične asimptote. Na točkah kp tangenta in naklon sta 0 oziroma 1 (slika 12).
Kotangens ni definiran, če je sinus 0 (ko x = kp). Na drugih točkah se zmanjšuje monotono in ravne črte x = kp – njene navpične asimptote. Na točkah x = str/2 +kp kotangens postane 0, naklon v teh točkah pa je enak –1 (slika 13).
Pariteta in periodičnost.
Funkcija se pokliče tudi, če f(–x) = f(x). Funkciji kosinus in sekans sta sodi, funkcije sinus, tangens, kotangens in kosekans pa so lihe:
| sin (–α) = – sin α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Paritetne lastnosti izhajajo iz simetrije točk p a in R-a (slika 14) glede na os X. S takšno simetrijo ordinata točke spremeni predznak (( X;pri) gre v ( X; –у)). Vse funkcije - periodična, sinusna, kosinusna, sekans in kosekans imajo periodo 2 str, in tangens in kotangens - str:
| sin (α + 2 kπ) = sin α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | posteljica (α+ kπ) = cotg α |
| sek (α + 2 kπ) = sekunda α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
Periodičnost sinusa in kosinusa izhaja iz dejstva, da vse točke p a+2 kp, Kje k= 0, ±1, ±2,…, sovpadajo, periodičnost tangensa in kotangensa pa je posledica dejstva, da točke p a+ kp izmenično padajo v dve diametralno nasprotni točki kroga, kar daje isto točko na tangentni osi.
Glavne lastnosti trigonometričnih funkcij lahko povzamemo v tabeli:
| funkcija | Domena | Več pomenov | Pariteta | Področja monotonije ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| greh x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | Čuden | poveča s x O((4 k – 1) str /2, (4k + 1) str/2), se zmanjša pri x O((4 k + 1) str /2, (4k + 3) str/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | celo | Poveča z x O((2 k – 1) str, 2kp), se zmanjša pri x O(2 kp, (2k + 1) str) |
| tg x | x № str/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | Čuden | poveča s x O((2 k – 1) str /2, (2k + 1) str /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | Čuden | zmanjša pri x O ( kp, (k + 1) str) |
| sek x | x № str/2 + p k | (–Ґ , –1] IN [+1, +Ґ ) | celo | Poveča z x O(2 kp, (2k + 1) str), se zmanjša pri x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] IN [+1, +Ґ ) | Čuden | poveča s x O((4 k + 1) str /2, (4k + 3) str/2), se zmanjša pri x O((4 k – 1) str /2, (4k + 1) str /2) |
Redukcijske formule.
V skladu s temi formulami je vrednost trigonometrične funkcije argumenta a, kjer je str/2 a p , se lahko reducira na vrednost argumentske funkcije a , kjer je 0 a p /2, bodisi enaka bodisi ji komplementarna.
| Argument b |  -a |
+ a | str-a | str+ a | + a | + a | 2str-a |
| greh b | ker a | ker a | greh a | – greh a | – ker a | – ker a | – greh a |
| cos b | greh a | – greh a | – ker a | – ker a | – greh a | greh a | ker a |
Zato so v tabelah trigonometričnih funkcij podane vrednosti samo za ostre kote in dovolj je, da se omejimo na primer na sinus in tangento. Tabela prikazuje samo najpogosteje uporabljene formule za sinus in kosinus. Iz njih je enostavno dobiti formule za tangens in kotangens. Pri pretvorbi funkcije iz argumenta oblike kp/2 ± a, kjer k– celo število v funkcijo argumenta a:
1) ime funkcije se shrani, če k celo, in spremembe v "komplementarne", če kČuden;
2) znak na desni strani sovpada z znakom reducibilne funkcije v točki kp/2 ± a, če je kot a oster.
Na primer pri oddaji ctg (a – str/2) zagotovimo, da – str/2 pri 0 a p /2 leži v četrtem kvadrantu, kjer je kotangens negativen, in po pravilu 1 spremenimo ime funkcije: ctg (a – str/2) = –tg a .
Adicijske formule.
Formule za več kotov.
Te formule so izpeljane neposredno iz formul dodajanja:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a ;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Formulo za cos 3a je uporabil François Viète pri reševanju kubične enačbe. Prvi je našel izraze za cos n a in greh n a, ki so jih pozneje dobili na enostavnejši način iz Moivrejeve formule.
Če zamenjate a z /2 v formulah z dvojnim argumentom, jih je mogoče pretvoriti v formule polovičnega kota:
Univerzalne nadomestne formule.
Z uporabo teh formul lahko izraz, ki vključuje različne trigonometrične funkcije istega argumenta, prepišemo kot racionalni izraz ene same funkcije tg (a /2), kar je lahko uporabno pri reševanju nekaterih enačb:
 |
|
 |
 |
Formule za pretvorbo vsot v zmnožke in zmnožke v vsote.
Pred pojavom računalnikov so te formule uporabljali za poenostavitev izračunov. Izračuni so bili narejeni z uporabo logaritemskih tabel, kasneje pa z diapozitivom, ker logaritmi so najprimernejši za množenje števil, zato so bili vsi izvirni izrazi spravljeni v obliko, primerno za logaritmiranje, tj. na dela, na primer:
2 greh a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);
2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 greh a cos b= greh( a–b) + greh ( a+b).
Formule za tangens in kotangens lahko dobite iz zgornjega.
Formule za zmanjšanje stopnje.
Iz formul z več argumenti so izpeljane naslednje formule:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Z uporabo teh formul lahko trigonometrične enačbe reduciramo na enačbe nižjih stopenj. Na enak način lahko izpeljemo redukcijske formule za višje potence sinusa in kosinusa.
| Odvodi in integrali trigonometričnih funkcij | |
| (greh x)` = cos x; | (ker x)` = –greh x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t greh x dx= –cos x + C; | t cos x dx= greh x + C; |
| t tg x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = V|grehu x| + C; |
Vsaka trigonometrična funkcija je na vsaki točki svoje definicijske domene zvezna in neskončno diferencibilna. Poleg tega so odvodi trigonometričnih funkcij trigonometrične funkcije, pri integraciji pa dobimo tudi trigonometrične funkcije ali njihove logaritme. Integrali racionalnih kombinacij trigonometričnih funkcij so vedno elementarne funkcije.
Predstavitev trigonometričnih funkcij v obliki potenčnih vrst in neskončnih produktov.
Vse trigonometrične funkcije je mogoče razširiti v potenčne vrste. V tem primeru gre za funkcije sin x bcos x so predstavljeni v vrsticah. konvergenten za vse vrednosti x:
Te nize je mogoče uporabiti za pridobitev približnih izrazov za greh x in cos x pri majhnih vrednostih x:
pri | x| p/2;
pri 0 x| str
(B n – Bernoullijeva števila).
sin funkcije x in cos x lahko predstavimo v obliki neskončnih produktov:
Trigonometrični sistem 1, cos x,greh x, ker 2 x, greh 2 x,¼,cos nx,greh nx, ¼, tvori na segmentu [– str, str] ortogonalni sistem funkcij, ki omogoča prikaz funkcij v obliki trigonometričnih nizov.
so definirane kot analitična nadaljevanja ustreznih trigonometričnih funkcij realnega argumenta v kompleksno ravnino. Da, greh z in cos z se lahko določi z uporabo serije za greh x in cos x, če namesto tega x postaviti z:
Te serije se stekajo po celotni ravnini, tako da greh z in cos z- celotne funkcije.
Tangens in kotangens sta določena s formulama:
tg funkcije z in ctg z– meromorfne funkcije. tg drogovi z in sek z– enostavne (1. reda) in locirane na točkah z = str/2 + pn, poli ctg z in cosec z– prav tako preprosta in nameščena na točkah z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Vse formule, ki veljajo za trigonometrične funkcije realnega argumenta, veljajo tudi za kompleksnega. Še posebej,
greh (– z) = –greh z,
cos(– z) = cos z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
tiste. soda in liha pariteta sta ohranjeni. Formule so tudi shranjene
greh ( z + 2str) = greh z, (z + 2str) = cos z, (z + str) = tg z, (z + str) = ctg z,
tiste. ohranjena je tudi periodičnost, periode pa so enake kot pri funkcijah pravega argumenta.
Trigonometrične funkcije je mogoče izraziti v smislu eksponentne funkcije povsem imaginarnega argumenta:
nazaj, e iz izraženo s cos z in greh z po formuli:
e iz=cos z + jaz greh z
Te formule imenujemo Eulerjeve formule. Leta 1743 jih je razvil Leonhard Euler.
Trigonometrične funkcije lahko izrazimo tudi s hiperboličnimi funkcijami:
z = –jaz sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
kjer so sh, ch in th hiperbolični sinus, kosinus in tangens.
Trigonometrične funkcije kompleksnega argumenta z = x + iy, Kje x in l– realna števila, se lahko izrazijo s trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami realnih argumentov, na primer:
greh ( x + iy) = greh x pogl l + jaz cos x sh l;
cos( x + iy) = cos x pogl l + jaz greh x sh l.
Sinus in kosinus kompleksnega argumenta lahko sprejmeta realne vrednosti, večje od 1 v absolutni vrednosti. Na primer:
Če neznani kot vstopi v enačbo kot argument trigonometričnih funkcij, se enačba imenuje trigonometrična. Takšne enačbe so tako pogoste, da njihove metode rešitve so zelo podrobne in skrbno zasnovane. Z Z uporabo različnih tehnik in formul se trigonometrične enačbe reducirajo na enačbe oblike f(x)= a, Kje f– katera koli najpreprostejša trigonometrična funkcija: sinus, kosinus, tangens ali kotangens. Nato izrazite argument x to funkcijo skozi njeno znano vrednost A.
Ker so trigonometrične funkcije periodične, enako A iz obsega vrednosti obstaja neskončno veliko vrednosti argumenta in rešitev enačbe ni mogoče zapisati kot eno samo funkcijo A. Zato je v domeni definicije vsake od glavnih trigonometričnih funkcij izbran odsek, v katerem zavzame vse svoje vrednosti, vsaka samo enkrat, in njej inverzna funkcija se nahaja v tem odseku. Takšne funkcije so označene z dodajanjem predpone arc (lok) imenu izvirne funkcije in se imenujejo inverzna trigonometrična funkcije ali preprosto funkcije loka.
Inverzne trigonometrične funkcije.
Za greh X, cos X, tg X in ctg X lahko definiramo inverzne funkcije. V skladu s tem so označeni z arcsin X(beri "arcsinus" x«), arcos x, arktan x in arcctg x. Po definiciji je arcsin X obstaja taka številka y, Kaj
greh pri = X.
Podobno velja za druge inverzne trigonometrične funkcije. Toda ta definicija trpi zaradi nekaterih netočnosti.
Če odsevaš greh X, cos X, tg X in ctg X glede na simetralo prvega in tretjega kvadranta koordinatne ravnine postanejo funkcije zaradi svoje periodičnosti dvoumne: istemu sinusu (kosinus, tangens, kotangens) ustreza neskončno število kotov.
Da se znebite dvoumnosti, odsek krivulje s širino str, je v tem primeru nujno, da se ohrani korespondenca ena proti ena med argumentom in vrednostjo funkcije. Izbrana so območja blizu izhodišča koordinat. Za sinus v Kot "interval ena proti ena" vzamemo segment [– str/2, str/2], na katerem sinus monotono narašča od –1 do 1, za kosinus – segment, za tangens oziroma kotangens pa intervali (– str/2, str/2) in (0, str). Vsaka krivulja na intervalu se odbije glede na simetralo in zdaj je mogoče določiti inverzne trigonometrične funkcije. Na primer, naj bo podana vrednost argumenta x 0, tako da 0 Ј x 0 Ј 1. Nato vrednost funkcije l 0 = arcsin x 0 bo samo en pomen pri 0 , tako da - str/2 Ј pri 0 Ј str/2 in x 0 = greh l 0 .
Tako je arcsin funkcija arcsin A, definirana na intervalu [–1, 1] in enaka za vsakega A na takšno vrednost, – str/2 a p /2 da sin a = A. Zelo priročno ga je prikazati z enotskim krogom (slika 15). Ko | a| 1 na krožnici sta dve točki z ordinato a, simetrično glede na os u. Eden od njih ustreza kotu a= arcsin A, in drugi je vogal p - a. Z ob upoštevanju periodičnosti sinusa, reševanje enačbe sin x= A je zapisano takole:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
Kje n= 0, ±1, ±2,...
Druge preproste trigonometrične enačbe je mogoče rešiti na enak način:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
Kje p= 0, ±1, ±2,... (slika 16);
tg X = a;
x= arktan a + str n,
Kje n = 0, ±1, ±2,... (slika 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + str n,
Kje n = 0, ±1, ±2,... (slika 18).
Osnovne lastnosti inverznih trigonometričnih funkcij:
arcsin X(slika 19): domena definicije – segment [–1, 1]; obseg – [– str/2, str/2], monotono naraščajoča funkcija;
arccos X(slika 20): domena definicije – segment [–1, 1]; razpon vrednosti – ; monotono padajoča funkcija;
arctg X(slika 21): domena definicije – vsa realna števila; območje vrednosti – interval (– str/2, str/2); monotono naraščajoča funkcija; naravnost pri= –str/2 in y = p /2 – horizontalne asimptote;
arcctg X(slika 22): domena definicije – vsa realna števila; obseg vrednosti – interval (0, str); monotono padajoča funkcija; naravnost l= 0 in y = str– horizontalne asimptote.
Ker trigonometrične funkcije kompleksnega argumenta sin z in cos z(za razliko od funkcij realnega argumenta) sprejmejo vse kompleksne vrednosti, potem enačbe sin z = a in cos z = a imajo rešitve za vsak kompleks a x in l so realna števila, veljajo neenakosti
½| e\e y–e-y| ≤|greh z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
od tega pri l Sledijo ® Ґ asimptotske formule (enakomerno glede na x)
|greh z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Trigonometrične funkcije so se prvič pojavile v povezavi z raziskavami v astronomiji in geometriji. Razmerja segmentov v trikotniku in krogu, ki sta v bistvu trigonometrični funkciji, najdemo že v 3. stoletju. pr. n. št e. v delih matematikov stare Grčije – Evklid, Arhimed, Apolonij iz Perge in drugi, vendar te relacije niso bile samostojen predmet preučevanja, zato trigonometričnih funkcij kot takih niso preučevali. Sprva so jih obravnavali kot segmente in v tej obliki so jih uporabljali Aristarh (pozno 4. – 2. polovica 3. stoletja pr. n. št.), Hiparh (2. stoletje pr. n. št.), Menelaj (1. stoletje n. št.) in Ptolemaj (2. stol. n. št.), ko reševanje sferičnih trikotnikov. Ptolomej je sestavil prvo tabelo tetiv za ostre kote vsakih 30" z natančnostjo 10 –6. To je bila prva tabela sinusov. Kot razmerje najdemo funkcijo sin a že pri Aryabhati (konec 5. stoletja). Funkciji tg a in ctg a najdemo pri al-Battaniju (2. polovica 9. - začetek 10. stoletja) in Abul-Vefi (10. stoletje), ki uporablja tudi sec a in cosec a ... Aryabhata je že poznal formulo ( sin 2 a + cos 2 a) = 1 ter formule za sin in cos polovičnega kota, s pomočjo katerih sem sestavil tabele sinusov za kote skozi 3°45"; na podlagi znanih vrednosti trigonometričnih funkcij za najpreprostejše argumente. Bhaskara (12. stoletje) je podal metodo za sestavo tabel v smislu 1 z uporabo adicijskih formul. Formule za pretvorbo vsote in razlike trigonometričnih funkcij različnih argumentov v produkt sta izpeljala Regiomontanus (15. stoletje) in J. Napier v povezavi z izumom logaritmov (1614). Regiomontan je dal tabelo vrednosti sinusa glede na 1 ". Razširitev trigonometričnih funkcij v potenčne serije je pridobil I. Newton (1669). Teorijo trigonometričnih funkcij je v sodobno obliko pripeljal L. Euler ( 18. stoletje) Lastnik je njihova definicija za resnične in zapletene argumente, sprejeta zdaj simbolika, vzpostavljanje povezav z eksponentno funkcijo in ortogonalnostjo sistema sinusov in kosinusov.
|BD| - dolžina krožnega loka s središčem v točki A.
α je kot, izražen v radianih.
Tangenta ( tan α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .
Kotangens ( ctg α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| .
Tangenta
Kje n- cela.
V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
;
;
.
Graf funkcije tangente, y = tan x
Kotangens
Kje n- cela.
V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
.
Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:
;
;
.
Graf funkcije kotangens, y = ctg x
Lastnosti tangensa in kotangensa
Periodičnost
Funkcije y = tg x in y = ctg x so periodični s periodo π.
Pariteta
Funkciji tangens in kotangens sta lihi.
Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje
Funkciji tangens in kotangens sta zvezni v svoji definicijski domeni (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( n- celota).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Obseg in kontinuiteta | ||
| Razpon vrednosti | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Povečanje | - | |
| Sestopanje | - | |
| Ekstremi | - | - |
| Ničle, y = 0 | ||
| Presečišča z ordinatno osjo, x = 0 | y = 0 | - |
Formule
Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa
;
;
;
;
;
Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike
Preostale formule je na primer enostavno dobiti
Produkt tangent
Formula za vsoto in razliko tangent
Ta tabela predstavlja vrednosti tangentov in kotangensov za določene vrednosti argumenta. 
Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila
Izrazi s hiperboličnimi funkcijami
;
;
Odvod
; .
.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>
Integrali
Razširitve serije
Če želite dobiti raztezanje tangente po potencah x, morate vzeti več členov raztezanja v potenco za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, . To ustvari naslednje formule.
Ob .
ob .
Kje Bn- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
;
;
Kje .
Ali po Laplaceovi formuli: 
Inverzne funkcije
Inverzni funkciji tangensa in kotangensa sta arktangens in arkotangens.
Arktangens, arctg
, Kje n- cela.
Arkotangens, arcctg
, Kje n- cela.
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.
G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.
Osnovni pojmi
Najprej se spomnimo definicije sode, lihe in periodične funkcije.
Definicija 2
Soda funkcija je funkcija, ki ne spremeni svoje vrednosti, ko se spremeni predznak neodvisne spremenljivke:
Definicija 3
Funkcija, ki ponavlja svoje vrednosti v določenem rednem intervalu:
T -- obdobje funkcije.
Sode in lihe trigonometrične funkcije
Razmislite o naslednji sliki (slika 1):
Slika 1.
Tu sta $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ in $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ simetrična glede na os $Ox$ vektorji samski dolžina.
Očitno je, da so koordinate teh vektorjev povezane z naslednjimi razmerji:
Ker lahko trigonometrični funkciji sinusa in kosinusa določimo z enotskim trigonometričnim krogom, dobimo, da bo sinusna funkcija liha, kosinusna funkcija pa soda funkcija, to je:
Periodičnost trigonometričnih funkcij
Razmislite o naslednji sliki (slika 2).
Slika 2.
Tu je $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ vektor enotske dolžine.
Naredimo popolno revolucijo z vektorjem $\overrightarrow(OA)$. To pomeni, da zavrtimo ta vektor za $2\pi $ radianov. Po tem se bo vektor popolnoma vrnil v prvotni položaj.
Ker lahko trigonometrični funkciji sinusa in kosinusa določimo z enotnim trigonometričnim krogom, dobimo, da
To pomeni, da sta funkciji sinus in kosinus periodični funkciji z najmanjšo periodo $T=2\pi $.
Oglejmo si zdaj funkciji tangensa in kotangensa. Ker je $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, potem
Ker je $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, potem
Primeri problemov z uporabo paritete, lihosti in periodičnosti trigonometričnih funkcij
Primer 1
Dokažite naslednje trditve:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Ker je tangenta periodična funkcija z minimalno periodo $(360)^0$, dobimo
b) $(cos \levo(-13\pi \desno)\ )=-1$
Ker je kosinus soda in periodična funkcija z minimalno periodo $2\pi $, dobimo
\[(cos \left(-13\pi \desno)\ )=(cos\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \desno)=cos\pi \ )=- 1\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Ker je sinus liha in periodična funkcija z minimalno periodo $(360)^0$, dobimo
