3 v različnih stopnjah. Formule potenc in korenov. Lastnosti aritmetične progresije

REFERENČNO GRADIVO ZA ALGEBRO ZA 7.-11. RAZRED.

Dragi starši!Če iščete inštruktorja matematike za vašega otroka, potem je ta oglas za vas. Ponujam Skype mentorstvo: priprava na OGE, enotni državni izpit, odprava vrzeli v znanju. Vaše prednosti so jasne:

1) Vaš otrok je doma in ste lahko mirni zanj;

2) Pouk poteka v času, ki je primeren za otroka, in se lahko celo udeležite teh razredov. Razlagam preprosto in jasno na običajni šolski tabli.

3) Druge pomembne prednosti tečajev Skype si lahko omislite sami!

  • delo n faktorjev, od katerih je vsak enak A klical n-ta potenca števila A in označeno An.
  • Operacija, s katero se najde produkt več enakih faktorjev, se imenuje potenciranje. Število, ki je dvignjeno na potenco, se imenuje osnova potence. Število, ki pove, na kakšno potenco je dvignjena osnova, se imenuje eksponent. Torej, An- stopnja, A- osnova diplome n- eksponent.
  • in 0 =1
  • a 1 = a
  • a m∙ a n= a m + n
  • a m: a n= a m — n
  • (a m) n= amn
  • (a ∙ b) n =a n ∙ b n
  • (a/ b) n= a n/ b n Pri povišanju ulomka na potenco sta tako števec kot imenovalec ulomka povišana na to potenco.
  • (- n) -te stopnje (n - naravna) števila A, ki ni enako nič, se število šteje za recipročno vrednost n-ta potenca števila A, tj. . a — n=1/ a n. (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
  • (a/ b) — n=(b/ a) n
  • Lastnosti stopnje z naravnim eksponentom veljajo tudi za stopnje s poljubnim eksponentom.

Zelo velika in zelo majhna števila so običajno zapisana v standardni obliki: a∙10 n, Kje 1≤a<10 in n(naravno ali celo število) - je vrstni red števila, zapisanega v standardni obliki.

  • Izrazi, ki so sestavljeni iz števil, spremenljivk in njihovih potenc s pomočjo množenja, se imenujejo monomi.
  • Takšen tip monoma, ko je na prvem mestu numerični faktor (koeficient), ki mu sledijo spremenljivke s svojimi potencami, imenujemo standardni tip monoma. Vsoto eksponentov vseh spremenljivk, ki sestavljajo monom, imenujemo stopnja monoma.
  • Monome, ki imajo enak črkovni del, imenujemo podobni monomi.
  • Vsoto monomov imenujemo polinom. Monome, ki sestavljajo polinom, imenujemo člani polinoma.
  • Binom je polinom, sestavljen iz dveh členov (monomov).
  • Trinom je polinom, sestavljen iz treh členov (monomov).
  • Stopnja polinoma je največja izmed stopenj njegovih monomov.
  • Polinom standardne oblike ne vsebuje takih členov in je zapisan v padajočem vrstnem redu potenc svojih členov.
  • Če želite monom pomnožiti s polinomom, je treba vsak člen polinoma pomnožiti s tem monomom in nastale produkte sešteti.
  • Predstavitev polinoma kot zmnožka dveh ali več polinomov imenujemo faktoring polinoma.
  • Izvzem skupnega faktorja iz oklepaja je najenostavnejši način faktorizacije polinoma.
  • Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega polinoma in dobljene produkte zapisati kot vsoto monomov. Po potrebi dodajte podobne izraze.
  • (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2Kvadrat vsote dveh izrazov je enako kvadratu prvega izraza plus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.
  • (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Kvadrat razlike dveh izrazov je enako kvadratu prvega izraza minus dvakratni produkt prvega izraza in drugega plus kvadrat drugega izraza.
  • a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Razlika kvadratov dveh izrazov je enak zmnožku razlike med samimi izrazi in njihovo vsoto.
  • (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Kocka vsote dveh izrazov je enako kocki prvega izraza plus trikrat kvadrat prvega izraza, pomnožen z drugim plus trikrat produkt prvega izraza, pomnožen s kvadratom drugega plus kub drugega izraza.
  • (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Diferencialna kocka dveh izrazov je enako kocki prvega izraza minus trikratni produkt kvadrata prvega izraza in drugega plus trikratni produkt prvega izraza in kvadrat drugega minus kub drugega izraza.
  • a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Vsota kock dveh izrazov je enak produktu vsote samih izrazov in nepopolnega kvadrata njihove razlike.
  • a 3 -b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2) Razlika kock dveh izrazov je enak produktu razlike samih izrazov in nepopolnega kvadrata njihove vsote.
  • (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Kvadrat vsote treh izrazov je enak vsoti kvadratov teh izrazov in vseh možnih podvojenih produktov parov samih izrazov.
  • Referenca. Celoten kvadrat vsote dveh izrazov: a 2 + 2ab + b 2

Nepopoln kvadrat vsote dveh izrazov: a 2 + ab + b 2

Ogled funkcije y=x2 se imenuje kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije je parabola z vrhom v izhodišču. Veje parabole y=x² usmerjen navzgor.

Ogled funkcije y=x 3 imenujemo kubična funkcija. Graf kubične funkcije je kubična parabola, ki poteka skozi izhodišče. Veje kubične parabole y=x³ so v I in III četrtini.

Celotna funkcija.

funkcija f se pokliče tudi, če skupaj z vsako vrednostjo spremenljivke X -X f(- x)= f(x). Graf sode funkcije je simetričen glede na os y. Funkcija y=x 2 je soda.

nenavadna funkcija.

funkcija f imenujemo liho, če skupaj z vsako vrednostjo spremenljivke X iz obsega vrednosti funkcije ( -X) je prav tako vključen v obseg te funkcije in velja naslednja enakost: f(- x)=- f(x) . Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor. Funkcija y=x 3 je liha.

Kvadratna enačba.

Opredelitev. Vrsta enačbe ax2+bx+c=0, Kje a, b in c so katera koli realna števila in a≠0, x spremenljivko imenujemo kvadratna enačba.

a- prvi koeficient, b je drugi koeficient, c- brezplačen član.

Rešitev nepopolnih kvadratnih enačb.

  • ax2=0 – nepopolna kvadratna enačba (b=0, c=0 ). Rešitev: x=0. Odgovor: 0.
  • ax2+bx=0 –nepopolna kvadratna enačba (s=0 ). Rešitev: x (ax+b)=0 → x 1 =0 ali ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odgovor: 0; -b/a.
  • ax2+c=0 –nepopolna kvadratna enačba (b=0 ); Rešitev: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

če (-c/a)<0 , potem ni pravih korenin. če (-s/a)>0

  • ax2+bx+c=0- kvadratna enačba splošni pogled

Diskriminator D \u003d b 2 - 4ac.

če D>0, potem imamo dva prava korena:

če D=0, potem imamo en sam koren (ali dva enaka korena) x=-b/(2a).

Če D<0, то действительных корней нет.

  • ax2+bx+c=0 – kvadratna enačba posebne oblike za celo sekundo

Koeficient b


  • ax2+bx+c=0 – kvadratna enačba zasebni tip, pod pogojem : a-b+c=0.

Prvi koren je vedno minus ena, drugi koren pa minus z deljeno s A:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

  • ax2+bx+c=0 – kvadratna enačba zasebni tip, pod pogojem: a+b+c=0 .

Prvi koren je vedno enak ena, drugi koren pa je enak z deljeno s A:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Rešitev podanih kvadratnih enačb.

  • x 2 +px+q=0 – reducirana kvadratna enačba (prvi koeficient je enak ena).

Vsota korenin reducirane kvadratne enačbe x 2 +px+q=0 je enak drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je enak prostemu členu:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Kje x 1, x 2- korenine kvadratne enačbe ax2+bx+c=0.

Funkcijo naravnega argumenta imenujemo številsko zaporedje, števila, ki tvorijo zaporedje, pa člane zaporedja.

Številčno zaporedje je mogoče določiti na naslednje načine: verbalno, analitično, ponavljajoče se, grafično.

Številčno zaporedje, katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu, dodano enako število za to zaporedje d se imenuje aritmetična progresija. številka d se imenuje razlika aritmetične progresije. V aritmetični progresiji (a n), tj. v aritmetičnem napredovanju s členi: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , … po definiciji: a 2 = a 1 + d; a 3 = a 2 + d; a 4 = a 3 + d; a 5 = a 4 + d; …; a n \u003d a n-1 + d; …

Formula n-tega člana aritmetične progresije.

a n \u003d a 1 + (n-1) d.

Lastnosti aritmetične progresije.

  • Vsak člen aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini članov, ki so mu sosednji:

a n =(a n-1 +a n+1):2;

  • Vsak člen aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini članov, ki so od njega enako oddaljeni:

a n \u003d (a n-k + a n + k): 2.

Formule za vsoto prvih n členov aritmetične progresije.

1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n \u003d (2a 1 + (n-1) d) ∙ n / 2

Geometrijsko napredovanje.

Definicija geometrijske progresije.

Številčno zaporedje, katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu, pomnoženo z enakim številom za to zaporedje q, se imenuje geometrijsko napredovanje. številka q imenujemo imenovalec geometrijskega napredovanja. V eksponentni progresiji (b n), tj. eksponentno b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , … , b n , … po definiciji: b 2 =b 1 ∙q; b 3 \u003d b 2 ∙q; b 4 \u003d b 3 ∙q; … ; b n \u003d b n -1 ∙q.

Formula n-tega člana geometrijske progresije.

b n \u003d b 1 ∙ q n -1.

Lastnosti geometrijske progresije.

Formula za vsoto prvegan členi geometrijske progresije.

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije.

Neskončna periodična decimalka je enaka navadnemu ulomku, v števcu je razlika med celim številom za decimalno vejico in številom za decimalno vejico pred ulomkom, imenovalec pa je sestavljen iz "devetk" in "ničl", poleg tega je toliko "devetk". «, kolikor je števk v piki, in toliko »ničl«, kolikor je števk za decimalno vejico do ulomka. primer:

Sinus, kosinus, tangens in kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika.

(α+β=90°)

Imamo: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Ker je β=90°-α, potem

sin(90°-α)=cosα; cos(90°-α)=sinα;

tg(90°-α)=ctgα; ctg(90°-α)=tgα.

Kofunkcije kotov, ki se dopolnjujejo do 90°, so med seboj enake.

Adicijske formule.

9) sin(α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;

10) sin(α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

11) cos(α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

12) cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

Dvojne in trojne argumentne formule.

17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;

19) 1+cos2α=2cos2α; 20) 1-cos2α=2sin 2α

21) sin3α=3sinα-4sin 3α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;

Formule za pretvorbo vsote (razlike) v zmnožek.

Formule za pretvorbo zmnožka v vsoto (razliko).

Formule pol argumentov.

Sinus in kosinus katerega koli kota.

Sode (lihe) trigonometrične funkcije.

Od trigonometričnih funkcij je le ena soda: y=cosx, ostale tri so lihe, to je cos (-α)=cosα;

sin(-α)=-sinα; tg(-α)=-tgα; ctg(-α)=-ctgα.

Znaki trigonometričnih funkcij v koordinatnih četrtinah.

Vrednosti trigonometričnih funkcij nekaterih kotov.

Radiani.

1) 1 radian je vrednost središčnega kota, ki temelji na loku, katerega dolžina je enaka polmeru danega kroga. 1 rad.≈57°.

2) Pretvarjanje stopinjske mere kota v radian.

3) Pretvarjanje radianske mere kota v stopinje.

Formule za ulivanje.

Mnemotehnično pravilo:

1. Pred zmanjšano funkcijo postavite znak reducibilne.

2. Če je v zapisu argumenta π/2 (90°) vzeto liho število krat, se funkcija spremeni v kofunkcijo.

Inverzne trigonometrične funkcije.

Arksinus števila a (arcsin a) je kot iz intervala [-π/2; π / 2], katerega sinus je enak a.

arc greh(- a)=- arc greha.

Arkosinus števila a (arccos a) je kot iz intervala, katerega kosinus je enak a.

arccos(-a)=π – arccosa.

Arkus tangens števila a (arctg a) je kot iz intervala (-π / 2; π / 2), katerega tangens je a.

arctg(- a)=- arctga.

Arkus tangens števila a (arcctg a) je kot iz intervala (0; π), katerega kotangens je enak a.

arcctg(-a)=π – arcctg a.

Rešitev najenostavnejših trigonometričnih enačb.

Splošne formule.

1) sin t=a, 0

2) sin t = - a, 0

3) cos t=a, 0

4) cos t = -a, 0

5) tg t =a, a>0, potem t=arctg a + πn, nϵZ;

6) tg t \u003d -a, a> 0, nato t \u003d - arctg a + πn, nϵZ;

7) ctg t=a, a>0, potem t=arcctg a + πn, nϵZ;

8) ctg t= -a, a>0, potem je t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

Posebne formule.

1) sin t =0, potem t=πn, nϵZ;

2) sin t=1, potem t= π/2 +2πn, nϵZ;

3) sin t= -1, potem t= - π/2 +2πn, nϵZ;

4) cos t=0, potem je t= π/2+ πn, nϵZ;

5) cos t=1, potem t=2πn, nϵZ;

6) cos t=1, potem t=π +2πn, nϵZ;

7) tg t =0, potem je t = πn, nϵZ;

8) ctg t=0, potem je t = π/2+πn, nϵZ.

Rešitev najenostavnejših trigonometričnih neenačb.

1) sint

2) sint>a (|a|<1), arcsina+2πn

3) stroški

4) stroški>a (|a|<1), -arccosa+2πn

5) tgt

6) tgt>a, arctga+πn

7) ctgt

8) ctgt>a, πn

Ravna črta na ravnini.

  • Splošna enačba premice: Ax+By+C=0.
  • Enačba premice z naklonom: y=kx+b (k je naklon).
  • Ostri kot med črtama y \u003d k 1 x + b 1 in y \u003d k 2 x + b 2 je določen s formulo:

  • k 1 \u003d k 2 - pogoj za vzporedne črte y \u003d k 1 x + b 1 in y \u003d k 2 x + b 2.
  • Pogoj pravokotnosti istih črt:
  • Enačba premice z naklonom k ​​in poteka skozi

skozi točko M (x 1; y 1), ima obliko: y-y 1 \u003d k (x-x 1).

  • Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki (x 1; y 1) in (x 2; y 2), ima obliko:

  • Dolžina segmenta M 1 M 2 s konci na točkah M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2):
  • Koordinate točke M (x o; y o) - sredina segmenta M 1 M 2

  • Koordinate točke C (x; y), ki deli segment M 1 M 2 v danem razmerju λ med točkama M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2):

  • Razdalja od točke M(x o; y o) do premice ax+by+c=0:

Krožna enačba.

  • Krog s središčem v izhodišču: x 2 +y 2 =r 2 , r je polmer kroga.
  • Krog s središčem v točki (a; b) in polmerom r: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .

Omejitve.

Transformacija (konstrukcija) grafov funkcij.

  • Funkcijski graf l=- f(x) dobimo iz grafa funkcije y=f (x) z zrcalnim odbojem od osi x.
  • Funkcijski graf l=| f(x)| dobimo z zrcalnim odbojem od abscise tistega dela grafa funkcije y \u003d f (x), ki leži pod absciso.
  • Funkcijski graf l= f(| x|) dobimo iz grafa funkcije y=f (x) na naslednji način: pustimo del grafa desno od osi y in prikažemo isti del simetrično samemu sebi glede na os y.
  • Funkcijski graf l= A∙ f(x) dobimo iz grafa funkcije y=f (x) z raztezanjem A-krat vzdolž osi y. (Ordinata vsake točke grafa funkcije y \u003d f (x) se pomnoži s številom A).
  • Funkcijski graf l= f(k∙ x) dobljeno iz grafa funkcije y=f (x) s k-kratnim krčenjem pri k>1 ali k-kratnim raztezanjem pri 0
  • Funkcijski graf l= f(x-m) dobimo iz grafa funkcije y=f (x) z vzporednim prevajanjem v m enotskih segmentov vzdolž osi x.
  • Funkcijski graf l= f(x)+ n se dobi iz grafa funkcije y=f (x) z vzporednim prevajanjem v n enotskih segmentov vzdolž osi y.

Periodična funkcija.

  • funkcija f imenujemo periodična funkcija z obdobjem Т≠0,če za kateri koli x iz področja definicije vrednosti te funkcije v točkah x, T-xinT+ x so enaki, tj. enakost : f(x)= f(T-x)= f(T+ x)
  • Če funkcija f periodično in ima obdobje T, potem funkcija l= Af(k∙ x+ b), Kje A, k in b konstantno in k≠0 , je prav tako periodičen in njegovo obdobje je enako T/| k|.

Meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ko se slednji nagiba k nič, se imenuje odvod funkcije v dani točki:

  • Funkcija oblike y=a x, kjer je a>0, a≠1, x poljubno število eksponentna funkcija.
  • Domena eksponentna funkcija: D (y)= R - množica vseh realnih števil.
  • Razpon vrednosti eksponentna funkcija: E (y)= R+-množica vseh pozitivnih števil.
  • Eksponentna funkcija y=a x se poveča za a>1.
  • Eksponentna funkcija y=a x se zmanjša pri 0 .

Veljavne so vse lastnosti potenčne funkcije :

  • in 0 =1 Vsako število (razen nič) na ničelno potenco je enako ena.
  • a 1 = a Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi.
  • a x∙al=ax + l Pri množenju potenc z isto osnovo ostane osnova enaka, eksponenti pa se seštejejo.
  • a x:al=ax-l Pri deljenju potenc z isto osnovo ostane osnova enaka, eksponent delitelja pa se odšteje od eksponenta dividende.
  • (ax) l=axy Pri dvigovanju potence na potenco ostane osnova enaka, eksponenti pa se pomnožijo
  • (a∙b)x=ax∙bl Pri povišanju produkta na potenco se vsak faktor povzdigne na to potenco.
  • (a/b)x=ax/bl Pri povišanju ulomka na potenco sta tako števec kot imenovalec ulomka povišana na to potenco.
  • a -x \u003d 1 / ax
  • (a/b)-x=(b/a)x.

Logaritem števila b z razlogom A (dnevnik a b) je eksponent, na katerega je treba povečati število. A da dobiš številko b.

dnevnik a b= n, Če a n= b. Primeri: 1) log 2 8= 3 , ker je 2 3 =8;

2) log 5 (1/25)= -2 , ker 5 -2 \u003d 1/5 2 \u003d 1/25; 3) log 7 1= 0 , saj je 7 0 =1.

Pod znakom logaritma lahko samo pozitivna števila, poleg tega je osnova logaritma število a≠1. Vrednost logaritma je lahko poljubno število.

Ta istovetnost izhaja iz definicije logaritma: ker je logaritem eksponent ( n), nato z zvišanjem številke A, dobimo številko b.

osnovni logaritem 10 se imenuje decimalni logaritem in pri pisanju sta osnova 10 in črka "o" izpuščeni v zapisu besede "log".

lg7 = log 10 7, lg7 je decimalni logaritem števila 7.

osnovni logaritem e(Napierjevo število e≈2,7) imenujemo naravni logaritem.

ln7 = log e 7, ln7 je naravni logaritem števila 7.

Lastnosti logaritmov velja za logaritme na katero koli osnovo.

dnevnik a1=0 Logaritem enote je nič (a>0, a≠1).

log a a=1 Logaritem števila A z razlogom A je enako ena (a>0, a≠1).

log a (x∙y)=log a x+log a y

Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov faktorjev.

dnevnik a(x/ l)= dnevnik x— prijavite se

Logaritem količnika je enak razliki med logaritmama dividende in delitelja.

log a b=log c b/log c a

Logaritem števila b z razlogom A je enak logaritmu števila b na novi osnovi z deljeno z logaritmom stare osnove A na novi osnovi z.

log a b k= k∙ dnevnik a b Stopinjski logaritem ( b k) je enak produktu eksponenta ( k) na logaritem osnove ( b) te stopnje.

log a n b=(1/ n)∙ dnevnik a b Logaritem števila b z razlogom a n enak zmnožku ulomka 1/ n na logaritem števila b z razlogom a.

log a n b k=(k/ n)∙ dnevnik a b Formula je kombinacija prejšnjih dveh formul.

log a r b r =log a b oz dnevnik a b= log a r b r

Vrednost logaritma se ne spremeni, če osnovo logaritma in število pod znakom logaritma dvignemo na isto potenco.

  • Funkcija F (x) se imenuje antiderivacija za funkcijo f (x) na danem intervalu, če za vse x iz tega intervala F "(x) \u003d f (x).
  • Katerikoli antiodvod za funkcijo f (x) na danem intervalu lahko zapišemo kot F (x) + C, kjer je F (x) eden od antiodvodov za funkcijo f (x), C pa poljubna konstanta.
  • Množico vseh antiodvodov F (x) + C funkcije f (x) na obravnavanem intervalu imenujemo nedoločen integral in ga označimo z ∫f (x) dx, kjer je f (x) integrand, f ( x) dx je integrand, x je integracija spremenljivke.

1) (∫f(x)dx)"=f(x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k ∫f (x) dx;

4) ∫dF (x) dx=F (x)+C ali ∫F"(x) dx=F (x)+C;

5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

6) ∫f (kx+b) dx=(1/k) F (kx+b)+C.

Tabela integralov.

Prostornina vrtilnega telesa.

Dragi obiskovalci moje strani, vsi osnovne formule matematike 7-11 dobite (popolnoma brezplačno) s klikom na povezavo.

Skupno je v algebri in geometriji 431 formul. Svetujem vam, da nastalo pdf datoteko natisnete v obliki knjižice. Kako to storiti - Uspešen študij, prijatelji!

Formule moči uporablja se v procesu zmanjševanja in poenostavljanja kompleksnih izrazov, pri reševanju enačb in neenačb.

številka c je n-ta potenca števila a Kdaj:

Operacije s stopinjami.

1. Z množenjem stopinj z isto osnovo se njihovi indikatorji seštejejo:

a ma n = a m + n.

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi kazalniki odštejejo:

3. Stopnja produkta 2 ali več faktorjev je enaka produktu stopenj teh faktorjev:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stopnja ulomka je enaka razmerju stopenj dividende in delitelja:

(a/b) n = a n / b n.

5. Povečanje moči na moč, se eksponenti pomnožijo:

(am) n = a m n .

Vsaka zgornja formula je pravilna v smeri od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s koreninami.

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenin:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da dvignete število korena na to potenco:

4. Če povečamo stopnjo korena v n enkrat in hkrati dvigniti na n th potenca je korensko število, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšamo stopnjo korena v n root hkrati n stopnje od radikalnega števila, se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Stopnja števila z nepozitivnim (celim) eksponentom je opredeljena kot ena, deljena s stopnjo istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti nepozitivnega eksponenta:

Formula a m:a n = a m - n se lahko uporablja ne samo za m> n, ampak tudi pri m< n.

Na primer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulo a m:a n = a m - n postal pošten pri m=n, potrebujete prisotnost ničelne stopnje.

Stopnja z ničelnim eksponentom. Potenca katerega koli neničelnega števila z ničelnim eksponentom je enaka ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Zvišati realno številko A do stopnje m/n, morate izvleči koren n th stopnjo m potenco tega števila A.

Na youtube kanal našega spletnega mesta, da boste seznanjeni z vsemi novimi video lekcijami.

Najprej se spomnimo osnovnih formul stopinj in njihovih lastnosti.

Produkt števila a zgodi sam od sebe n-krat, lahko ta izraz zapišemo kot a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potenčne ali eksponentne enačbe- to so enačbe, v katerih so spremenljivke v potencah (ali eksponentih), osnova pa je število.

Primeri eksponentnih enačb:

V tem primeru je številka 6 osnova, vedno je na dnu in spremenljivka x stopnja ali mera.

Navedimo več primerov eksponentnih enačb.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Zdaj pa poglejmo, kako se rešujejo eksponentne enačbe?

Vzemimo preprosto enačbo:

2 x = 2 3

Takšen primer je mogoče rešiti tudi v mislih. Vidimo lahko, da je x=3. Konec koncev, da bi bili leva in desna stran enaki, morate namesto x postaviti številko 3.
Zdaj pa poglejmo, kako je treba sprejeti to odločitev:

2 x = 2 3
x = 3

Za rešitev te enačbe smo odstranili isti razlogi(to je dvojke) in zapisal, kar je ostalo, to so stopinje. Dobili smo odgovor, ki smo ga iskali.

Zdaj pa povzamemo našo rešitev.

Algoritem za reševanje eksponentne enačbe:
1. Treba je preveriti enako ali sta osnovi enačbe na desni in na levi. Če razlogi niso enaki, iščemo možnosti za rešitev tega primera.
2. Ko so osnove enake, enačiti stopnjo in rešite nastalo novo enačbo.

Zdaj pa rešimo nekaj primerov:

Začnimo preprosto.

Osnovi na levi in ​​desni strani sta enaki številu 2, kar pomeni, da osnovo lahko zavržemo in njuni stopnji izenačimo.

x+2=4 Izkazala se je najpreprostejša enačba.
x=4 - 2
x=2
Odgovor: x=2

V naslednjem primeru lahko vidite, da sta osnovi različni, to sta 3 in 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Za začetek prenesemo devet na desno stran, dobimo:

Zdaj morate narediti enake podlage. Vemo, da je 9=3 2 . Uporabimo formulo za stopnjo (a n) m = a nm.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dobimo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 zdaj je jasno, da sta osnovi na levi in ​​desni strani enaki in enaki tri, kar pomeni, da ju lahko zavržemo in stopnji izenačimo.

3x=2x+16 dobimo najpreprostejšo enačbo
3x-2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Poglejmo si naslednji primer:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Najprej pogledamo baze, baze so različne dve in štiri. In moramo biti enaki. Četverico transformiramo po formuli (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

In uporabimo tudi eno formulo a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj v enačbo:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Iz istih razlogov smo dali primer. Motijo ​​pa nas druge številke 10 in 24. Kaj storiti z njima? Če pogledate natančno, vidite, da na levi strani ponavljamo 2 2x, tukaj je odgovor - 2 2x lahko damo iz oklepaja:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz v oklepajih:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celotno enačbo delimo s 6:

Predstavljajte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 sta osnovi enaki, zavrzite ju in izenačite stopnje.
Izkazalo se je, da je 2x \u003d 2 najpreprostejša enačba. Delimo z 2, dobimo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Rešimo enačbo:

9 x - 12*3 x +27= 0

Preobrazimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobimo enačbo:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naši osnovi sta enaki, enaki 3. V tem primeru je jasno, da ima prva trojka stopnjo dvakrat (2x) kot druga (samo x). V tem primeru se lahko odločite substitucijska metoda. Število z najmanjšo stopnjo se nadomesti z:

Nato 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Vse stopnje zamenjamo z x v enačbi s t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Dobimo kvadratno enačbo. Rešujemo preko diskriminante, dobimo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Nazaj na spremenljivko x.

Vzamemo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

to je

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Najden je bil en koren. Iščemo drugega, iz t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na spletnem mestu lahko v razdelku POMAGAJTE ODLOČITI postavite vprašanja, ki vas zanimajo, zagotovo vam bomo odgovorili.

Pridružite se skupini

stopnja

številka c (\displaystyle c) klical n-ta potenca števila a (\displaystyle a), Če

c = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n (\displaystyle c=\underbrace (a\cdot a\cdot ...\cdot a) _(n)).

Lastnosti:

  1. (a b) n = a n b n (\displaystyle \left(ab\desno)^(n)=a^(n)b^(n))
  2. (a b) n = a n b n (\displaystyle \left((a \over b)\desno)^(n)=((a^(n)) \over (b^(n))))
  3. a n a m = a n + m (\displaystyle a^(n)a^(m)=a^(n+m))
  4. a n a m = a n − m (\displaystyle \left.(a^(n) \nad (a^(m)))\desno.=a^(n-m))
  5. (a n) m = a n m (\displaystyle \left(a^(n)\desno)^(m)=a^(nm))
  6. zapis nima lastnosti asociativnosti (kompatibilnosti), to pomeni, da v splošnem primeru leva asociativnost ni enaka desni asociativnosti (a n) m ≠ a (n m) (\displaystyle (a^(n))^(m)\neq a^(\levo((n^(m))\desno))), bo rezultat odvisen od zaporedja dejanj, npr. (2 2) 3 = 4 3 = 64 (\displaystyle (2^(2))^(3)=4^(3)=64), A 2 (2 3) = 2 8 = 256 (\displaystyle 2^(\levo((2^(3))\desno))=2^(8)=256). Običajno je upoštevati zapis a n m (\displaystyle a^(n^(m))) enakovreden a (n m) (\displaystyle a^(\levo((n^(m))\desno))), ampak namesto (a n) m (\displaystyle (a^(n))^(m)) lahko samo pišeš a n m (\displaystyle a^(nm)) z uporabo prejšnje lastnosti. Vendar pa nekateri programski jeziki ne upoštevajo te konvencije (glejte );
  7. potenciranje nima lastnosti komutativnosti  (premika): na splošno, a b ≠ b a (\displaystyle a^(b)\neq b^(a)), na primer 2 5 = 32 (\displaystyle 2^(5)=32), Ampak 5 2 = 25 (\displaystyle 5^(2)=25).

prava diploma

Pustiti a ≥ 0 , r (\displaystyle a\geqslant 0,r) so realna števila in r (\displaystyle r) je iracionalno število. Določimo vrednost na naslednji način.

Kot veste, je mogoče vsako realno število približati od zgoraj in spodaj z dvema racionalnima številoma, kar pomeni, da lahko izberete r (\displaystyle r) racionalni interval [p, q] (\displaystyle) s poljubno stopnjo natančnosti. Nato skupni del vseh ustreznih intervalov [a p, a q] (\displaystyle) je sestavljen iz ene točke, ki se vzame kot a r (\displaystyle a^(r)).

Drug pristop temelji na teoriji vrst in logaritmov (glej).

Potenciranje

Kompleksna diploma

Najprej pokažimo, kako se izračuna eksponent e z (\displaystyle e^(z)), Kje e- Eulerjevo število, z- poljubno kompleksno število, z = x + y i (\displaystyle z=x+yi).

e z = e x e y i = e x (cos ⁡ y + i sin ⁡ y) = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y . (\displaystyle e^(z)=e^(x)e^(yi)=e^(x)(\cos y+i\sin y)=e^(x)\cos y+ie^(x) \sin y.)

Zdaj razmislite o splošnem primeru, kjer a , b (\displaystyle a,b) oboje je kompleksno število. Najlažji način za to je, da si predstavljate a (\displaystyle a) v eksponentni obliki in z uporabo identitete a b = e b Ln ⁡ (a) (\displaystyle a^(b)=e^(b\ \operatorname (Ln) (a))), Kje Ln (\displaystyle \ime operaterja (Ln) )- kompleksni logaritem:

a b = (r e θ i) b = (e Ln ⁡ (r) + θ i) b = e (Ln ⁡ (r) + θ i) b . (\displaystyle a^(b)=(re^((\theta )i))^(b)=(e^(\operatorname (Ln) (r)+(\theta )i))^(b)= e^((\imeoperatorja (Ln) (r)+(\theta )i)b).)

Upoštevati je treba, da je kompleksni logaritem funkcija z več vrednostmi, tako da na splošno kompleksna moč ni enolično definirana.

Stopnja kot funkcija

Ker izraz uporablja dva znaka ( x (\displaystyle x) in y (\displaystyle y)), potem se lahko šteje za eno od treh funkcij:

Uporabne formule

X y = a y log a ⁡ x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x)) x y = e y ln ⁡ x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x)) x y = 10 y lg ⁡ x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x))

Zadnji dve formuli se uporabljata za dvig pozitivnih števil na poljubno potenco na elektronskih kalkulatorjih (vključno z računalniškimi programi), ki nimajo vgrajene funkcije x y (\displaystyle x^(y)).

Uporaba v ustnem govoru

Snemanje a n (\displaystyle a^(n)) običajno se bere kot " a V n (\displaystyle n) stopnja" ali " a do te mere n". na primer 10 4 (\displaystyle 10^(4)) se bere kot "deset na četrto potenco" 10 3 / 2 (\displaystyle 10^(3/2)) brati kot "deset na potenco treh sekund (ali: ena in pol)."

Za drugo in tretjo stopnjo obstajata posebna imena: kvadrat in kocka. na primer 10 2 (\displaystyle 10^(2)) se bere kot "deset na kvadrat" 10 3 (\displaystyle 10^(3)) se bere kot "deset kock". Ta terminologija izvira iz starogrške matematike. Stari Grki so algebraične konstrukcije oblikovali v jeziku geometrijske algebre (Angleščina) ruski. Zlasti namesto besede "množenje" so govorili o območju a 3 (\displaystyle a^(3)) - to je " a pomnožena sama s seboj tri krat", ob upoštevanju treh dejavnikov a (\displaystyle a). To ni povsem natančno in lahko povzroči dvoumnost, saj bo število množenj eno manj: a 3 = a ⋅ a ⋅ a (\displaystyle a^(3)=a\cdot a\cdot a)(trije faktorji, vendar dva množenja). Pogosto, ko rečejo, "upodobljeno kot x I V (\displaystyle x^(IV)) oz. Začenši z Descartesom je bila stopnja označena z "dvonadstropnim" zapisom oblike a b (\displaystyle a^(b)).

S pojavom računalnikov in računalniških programov se je pojavila težava, da v besedilo računalniških programov ni mogoče zapisati diplome v »dvonadstropni« obliki. V zvezi s tem so bile izumljene posebne ikone, ki označujejo delovanje potenciranja. Prva taka ikona sta bili dve zvezdici.

Nekateri znaki potenciranja v programskih jezikih in računalniških sistemih.

Potenčna funkcija je funkcija oblike y=x n (beri kot y enako x na potenco n), kjer je n neko dano število. Posebni primeri potenčnih funkcij so funkcije oblike y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x in mnoge druge. Pogovorimo se več o vsakem od njih.

Linearna funkcija y=x 1 (y=x)

Graf je ravna črta, ki poteka skozi točko (0; 0) pod kotom 45 stopinj na pozitivno smer osi Ox.

Graf je prikazan spodaj.

Osnovne lastnosti linearne funkcije:

  • Funkcija narašča in je definirana na celi številski osi.
  • Nima maksimalne in minimalne vrednosti.

Kvadratna funkcija y=x 2

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Osnovne lastnosti kvadratne funkcije:

  • 1. Za x=0, y=0 in y>0 za x0
  • 2. Kvadratna funkcija doseže najmanjšo vrednost na svojem oglišču. Ymin pri x=0; Upoštevati je treba tudi, da največja vrednost funkcije ne obstaja.
  • 3. Funkcija pada na intervalu (-∞; 0] in narašča na intervalu )

Preberite tudi

© 2023. iro-to.ru. Pametnice in pametnjakovičke - Izobraževalni portal.