Reševanje neenačb s parametrom.

Neenačbe, ki imajo obliko ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются linearne neenakosti.

Načela reševanja linearnih neenačb s parametrom so zelo podobna načelom reševanja linearnih enačb s parametrom.

Primer 1

Rešite neenačbo 5x - a > ax + 3.

rešitev.

Najprej transformirajmo prvotno neenakost:

5x - ax > a + 3, x vzamemo iz oklepaja na levi strani neenakosti:

(5 - a) x > a + 3. Zdaj razmislite o možnih primerih za parameter a:

Če je a > 5, potem x< (а + 3) / (5 – а).

Če je a = 5, potem ni rešitev.

Če< 5, то x >(a + 3) / (5 - a).

Ta rešitev bo odgovor na neenakost.

Primer 2

Rešite neenačbo x(a - 2) / (a ​​​​- 1) - 2a / 3 ≤ 2x - a za a ≠ 1.

rešitev.

Transformirajmo izvirno neenakost:

x(a - 2) / (a ​​​​- 1) - 2x ≤ 2a/3 - a;

Ah/(a – 1) ≤ -a/3. Pomnožimo z (-1) oba dela neenakosti, dobimo:

ax/(a – 1) ≥ a/3. Raziščimo možne primere za parameter a:

1 primer. Naj bo a/(a – 1) > 0 ali a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Potem je x ≥ (а – 1)/3.

2. primer. Naj bo a/(а – 1) = 0, tj. a = 0. Potem je x poljubno realno število.

3. primer. Naj bo a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Odgovor: x € [(a - 1) / 3; +∞) za € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
x € [-∞; (a – 1)/3] za € (0; 1);
x € R za a = 0.

Primer 3

Rešite neenačbo |1 + x| ≤ ax glede na x.

rešitev.

Iz pogoja sledi, da mora biti desna stran osi neenakosti nenegativna, tj. ax ≥ 0. Po pravilu razširitve modula iz neenačbe |1 + x| ≤ ax imamo dvojno neenakost

Ax ≤ 1 + x ≤ ax. Rezultat prepišemo v obliki sistema:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Pretvorimo v obliko:

((а – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.

Nastali sistem preiskujemo na intervalih in točkah (slika 1):

Za a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a - 1)].

Pri -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

Ko je \u003d 0 x \u003d -1.

Pri 0< а ≤ 1 решений нет.

Grafična metoda za reševanje neenačb

Risanje močno poenostavi rešitev enačb, ki vsebujejo parameter. Še bolj nazorna in smotrna je uporaba grafične metode pri reševanju neenačb s parametrom.

Grafično reševanje neenačb oblike f(x) ≥ g(x) pomeni iskanje vrednosti spremenljivke x, pri katerih graf funkcije f(x) leži nad grafom funkcije g(x). Za to je vedno potrebno najti presečišča grafov (če obstajajo).

Primer 1

Rešite neenačbo |x + 5|< bx.

rešitev.

Gradimo grafe funkcij y = |x + 5| in y = bx (slika 2). Rešitev neenačbe bodo tiste vrednosti spremenljivke x, za katere je graf funkcije y = |x + 5| bo pod grafom funkcije y = bx.

Slika prikazuje:

1) Pri b > 1 se premice sekajo. Abscisa presečišča grafov teh funkcij je rešitev enačbe x + 5 = bx, od koder je x = 5/(b - 1). Graf y \u003d bx je višji za x iz intervala (5 / (b - 1); +∞), kar pomeni, da je ta niz rešitev neenačbe.

2) Podobno ugotovimo, da je pri -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) Za b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b - 1)).

4) Pri 0 ≤ b ≤ 1 se grafa ne sekata, kar pomeni, da neenačba nima rešitev.

Odgovor: x € (-∞; 5/(b - 1)) za b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) pri -1< b < 0;
za 0 ≤ b ≤ 1 ni rešitev; x € (5/(b – 1); +∞) za b > 1.

Primer 2

Rešite neenačbo a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

rešitev.

1) Poiščimo "kontrolne" vrednosti za parameter a: a 1 = 0, a 2 = -1.

2) Rešimo to neenačbo na vsaki podmnožici realnih števil: (-∞; -1); (-1); (-10); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a \u003d -1, potem bo ta neenakost v obliki 0 x > 0 - ni rešitev;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, potem ima ta neenačba obliko 0 x > 4 – ni rešitev;

e) a > 0, ta neenakost pomeni, da je x > (a + 4)/a.

Primer 3

Rešite neenačbo |2 – |x||< a – x.

rešitev.

Narišemo funkcijo y = |2 – |x|| (slika 3) in upoštevajte vse možne primere lokacije črte y \u003d -x + a.

Odgovor: neenačba nima rešitev za a ≤ -2;
x € (-∞; (a - 2)/2) z a € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) za a > 2.

Pri reševanju različnih problemov, enačb in neenačb s parametri se odpre precejšnje število hevrističnih tehnik, ki jih lahko nato uspešno uporabimo v kateri koli drugi veji matematike.

Težave s parametri igrajo pomembno vlogo pri oblikovanju logičnega mišljenja in matematične kulture. Zato se boste, ko boste obvladali metode reševanja problemov s parametri, uspešno spopadli z drugimi problemi.

Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako rešiti neenačbe?
Za pomoč mentorja - registrirajte se.
Prva lekcija je brezplačna!

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Tečajna naloga

Umetnik: Bugrov S.K.

Preučevanje številnih fizičnih procesov in geometrijskih vzorcev pogosto vodi do rešitve problemov s parametri. Nekatere univerze v izpitne karte vključujejo tudi enačbe, neenačbe in njihove sisteme, ki so pogosto zelo zapleteni in zahtevajo nestandarden pristop k reševanju. V šoli se ta eden najtežjih delov šolskega tečaja matematike obravnava le pri nekaj izbirnih razredih.

Pri pripravi tega dela sem si zadal cilj poglobljene študije te teme, pri čemer najdem najbolj racionalno rešitev, ki hitro pripelje do odgovora. Po mojem mnenju je grafična metoda priročen in hiter način reševanja enačb in neenačb s parametri.

V mojem eseju so obravnavane pogoste vrste enačb, neenačb in njihovih sistemov, in upam, da mi bo znanje, ki sem ga pridobil v procesu dela, pomagalo pri opravljanju šolskih izpitov in vpisu na univerzo.

§ 1. Osnovne definicije

Razmislite o enačbi

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

kjer so a, b, c, …, k, x spremenljivke.

Vsak sistem spremenljivih vrednosti

a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

pod katerim imata tako levi kot desni del te enačbe realne vrednosti, se imenuje sistem dopustnih vrednosti spremenljivk a, b, c, ..., k, x. Naj bo A množica vseh dopustnih vrednosti a, B množica vseh dopustnih vrednosti b itd., X množica vseh dopustnih vrednosti x, tj. aОА, bОB, …, xОX. Če vsaka od množic A, B, C, …, K izbere in fiksira po eno vrednost a, b, c, …, k in jih nadomesti v enačbo (1), potem dobimo enačbo za x, tj. enačba z eno neznanko.

Spremenljivke a, b, c, ..., k, ki jih pri reševanju enačbe smatramo za konstante, imenujemo parametri, samo enačbo pa enačba s parametri.

Parametre označujemo s prvimi črkami latinice: a, b, c, d, …, k, l, m, n, neznane pa s črkami x, y, z.

Rešiti enačbo s parametri pomeni navesti, pri katerih vrednostih parametrov obstajajo rešitve in kakšne so.

Za dve enačbi z enakimi parametri pravimo, da sta enakovredni, če:

a) so smiselni za enake vrednosti parametrov;

b) vsaka rešitev prve enačbe je rešitev druge in obratno.

§ 2. Algoritem rešitve.

Poiščite domeno enačbe.

Izrazimo a kot funkcijo x.

V koordinatnem sistemu xOa zgradimo graf funkcije a=¦(x) za tiste vrednosti x, ki so vključene v domeno definicije te enačbe.

Poiščemo presečišča premice a=c, kjer je cÎ(-¥;+¥) z grafom funkcije a=¦(x).Če premica a=c seka graf a=¦(x) , nato pa določimo abscise presečišč. Če želite to narediti, je dovolj, da rešite enačbo a=¦(x) glede na x.

Odgovor zapišemo.

I. Reši enačbo

(1)

Ker x \u003d 0 ni koren enačbe, lahko rešimo enačbo za a:

oz

Funkcijski graf sta dve "zlepljeni" hiperboli. Število rešitev izvorne enačbe je določeno s številom presečišč konstruirane premice in premice y=a.

Če je O (-¥;-1]И(1;+¥)И

, potem premica y=a seka graf enačbe (1) v eni točki. Absciso te točke najdemo pri reševanju enačbe za x.

Tako ima na tem intervalu enačba (1) rešitev

. , potem premica y=a seka graf enačbe (1) v dveh točkah. Abscise teh točk lahko najdemo iz enačb in , dobimo in . , potem premica y=a ne seka grafa enačbe (1), zato ni rešitev.

Če je O (-¥;-1]И(1;+¥)И

, To ; , To , ; , potem ni rešitev.

II. Poiščite vse vrednosti parametra a, za katere velja enačba

ima tri različne korenine.

Enačbo prepišemo kot

in če upoštevate par funkcij, lahko vidite, da bodo želene vrednosti parametra a in le te ustrezale tistim položajem grafa funkcije, na katerih ima natanko tri točke presečišča z grafom funkcije .

V koordinatni sistem xOy narišemo funkcijo

). Da bi to naredili, jo lahko predstavimo v obliki in ob upoštevanju štirih nastalih primerov to funkcijo zapišemo v obliki

Ker je graf funkcije

- to je ravna črta, ki ima kot nagiba na os Ox enak , in seka os Oy v točki s koordinatami (0, a), sklepamo, da lahko tri navedene presečišča dobimo le, če ta premica dotika grafa funkcije. Zato najdemo izpeljanko.

III. Poiščite vse vrednosti parametra a, za vsako od katerih je sistem enačb

ima rešitve.

Iz prve enačbe sistema dobimo

pri Zato ta enačba definira družino "polparabol" - desne veje parabole "drsijo" s svojimi vrhovi vzdolž abscisne osi.

Izberite polne kvadrate na levi strani druge enačbe in jo faktorizirajte

Množica točk ravnine

ki izpolnjujeta drugo enačbo, sta dve ravni črti in

Ugotovimo, za katere vrednosti parametra a ima krivulja iz družine "polparabol" vsaj eno skupno točko z eno od dobljenih ravnih črt.

Državna proračunska izobraževalna ustanova

Srednje splošno izobraževanje Samarske regije

šola številka 2 im. V. Maskina železnica Umetnost. Klyavlino

občinski okraj Klyavlinsky

regija Samara

«Enačbe

in

neenakosti

s parametri"

vadnica

Klyavlino

Vadnica

"Enačbe in neenačbe s parametri" za učence 10.-11

ta priročnik je dodatek k programu izbirnega predmeta "Enačbe in neenačbe s parametri", ki je opravil zunanji preizkus (znanstveni in metodološki strokovni svet Ministrstva za izobraževanje in znanost Samarske regije z dne 19. decembra 2008 je bil priporočen za uporabo v izobraževalnih ustanovah Samarske regije)

Avtorji

Romadanova Irina Vladimirovna

Učiteljica matematike, srednje splošno izobraževanje Klyavlinskaya

šola številka 2 jim. V. Maskina, okrožje Klyavlinsky, regija Samara

Serbaeva Irina Alekseevna

Uvod………………………………………………………………3-4

Linearne enačbe in neenačbe s parametri……………..4-7

Kvadratne enačbe in neenačbe s parametri……………7-9

Ulomke racionalnih enačb s parametri……………..10-11

Iracionalne enačbe in neenačbe s parametri……11-13

Trigonometrične enačbe in neenačbe s parametri.14-15

Eksponentne enačbe in neenačbe s parametri………16-17

Logaritemske enačbe in neenačbe s parametri ...... 16-18

Naloge enotnega državnega izpita…………………………………………………………...18-20

Naloge za samostojno delo…………………………...21-28

Uvod.

Enačbe in neenačbe s parametri.

Če v enačbi ali neenačbi nekateri koeficienti niso podani s posebnimi številskimi vrednostmi, ampak so označeni s črkami, se imenujejo parametri, in sama enačba ali neenakost parametrični.

Če želite rešiti enačbo ali neenačbo s parametri, morate:

Označite poseben pomen- to je vrednost parametra, v katerem ali pri prehodu skozi katerega se spremeni rešitev enačbe ali neenakosti.

Določite dovoljene vrednosti so vrednosti parametrov, pri katerih je enačba ali neenakost smiselna.

Reševanje enačbe ali neenačbe s parametri pomeni:

1) ugotovite, pri katerih vrednostih parametrov obstajajo rešitve;

2) za vsak dopusten sistem vrednosti parametrov poiščite ustrezen niz rešitev.

Enačbo s parametrom lahko rešimo z naslednjimi metodami: analitično ali grafično.

Analitična metoda prevzame nalogo raziskovanja enačbe z upoštevanjem več primerov, od katerih ne more spregledati nobenega.

Rešitev enačbe in neenakosti s parametri vsake vrste z analitično metodo vključuje podrobno analizo situacije in dosledno študijo, med katero se pojavi potreba "nežno ravnanje" s parametrom.

Grafična metoda vključuje konstrukcijo grafa enačbe, s katerim je mogoče ugotoviti, kako sprememba parametra vpliva na rešitev enačbe. Graf včasih omogoča analitično oblikovanje potrebnih in zadostnih pogojev za reševanje postavljenih nalog. Metoda grafične rešitve je še posebej učinkovita, ko je treba ugotoviti, koliko korenin ima enačba glede na parameter, in ima nedvomno prednost, da to vidimo vizualno.

§ 1. Linearne enačbe in neenačbe.

Linearna enačba A x = b , zapisano v splošni obliki, lahko obravnavamo kot enačbo s parametri, kjer x – neznano , a , b - opcije. Za to enačbo je posebna ali kontrolna vrednost parametra tista, pri kateri koeficient izgine v neznano.

Pri reševanju linearne enačbe s parametrom se upoštevajo primeri, ko je parameter enak svoji posebni vrednosti in se od nje razlikuje.

Posebna vrednost parametra a je vrednost A = 0.

b = 0 je posebna vrednost parametra b .

pri b ¹ 0 enačba nima rešitev.

pri b = 0 enačba bo imela obliko: 0x = 0. Rešitev te enačbe je poljubno realno število.

Neenakosti oblike ah > b in sekira < b (a ≠ 0) imenujemo linearne neenakosti. Množica rešitev neenačbe ah >b– interval

(; +), če a > 0 , In (-;) , Če A< 0 . Podobno velja za neenakost

Oh< b niz rešitev - interval(-;), če a > 0, in (; +), če A< 0.

Primer 1 reši enačbo sekira = 5

rešitev: To je linearna enačba.

če a = 0, nato enačba 0 × x = 5 nima rešitve.

če A¹ 0, x =- rešitev enačbe.

Odgovori: pri A¹ 0, x=

za a = 0 ni rešitve.

Primer 2 reši enačbo sekira - 6 \u003d 2a - 3x.

rešitev: To je linearna enačba sekira - 6 \u003d 2a - 3x (1)

sekira + 3x = 2a +6

Enačbo prepišemo kot (a+3)x = 2(a+3) Razmislimo o dveh primerih:

a= -3 in A¹ -3.

če a= -3, potem poljubno realno število X je koren enačbe (1). če A¹ -3 , enačba (1) ima en sam koren x = 2.

odgovor: pri a = -3, x R ; pri A ¹ -3, x = 2.

Primer 3 Pri katerih vrednostih parametra A med koreni enačbe

2x - 4x - a 2 + 4а – 4 = 0 več je korenin 1 ?

rešitev: Reši enačbo 2x - 4x - a 2 + 4а – 4 = 0– linearna enačba

2 (a - 2) x \u003d a 2 - 4a +4

2(a - 2) x \u003d (a - 2) 2

pri a = 2 rešitev enačbe 0x = 0 biti poljubno število, celo večje od 1.

pri A¹ 2 x =
. Po stanju x > 1, to je
>1, a > 4.

odgovor: pri A (2) U(4;∞).

Primer 4 . Za vsako vrednost parametra A poiščite število korenov enačbe sekira=8.

rešitev. sekira = 8 je linearna enačba.

l = a– družina vodoravnih črt;

l = - graf je hiperbola. Sestavimo grafe teh funkcij.

Odgovor: Če a = 0, potem enačba nima rešitev. če a ≠ 0, potem ima enačba eno rešitev.

Primer 5 . S pomočjo grafov ugotovite, koliko korenin ima enačba:

|x| = sekira - 1.

y=| x | ,

l = sekira - 1- graf je premica, ki poteka skozi točko (0;-1).

Sestavimo grafe teh funkcij.

Odgovor: Kdaj |a|>1- en koren

pri | a|≤1 Enačba nima korenin.

Primer 6 . Reši neenačbo sekira + 4 > 2x + a 2

rešitev : sekira + 4 > 2x + a 2
(а – 2) х >A 2 – 4. Razmislite o treh primerih.

Odgovori. x > a + 2 pri a > 2; X<а + 2, pri A< 2; pri a=2 ni rešitev.

§ 2. Kvadratne enačbe in neenačbe

Kvadratna enačba je enačba oblike Oh ² + b x + c = 0 , Kje a≠ 0,

A, b , z - opcije.

Če želite rešiti kvadratne enačbe s parametrom, lahko uporabite standardne metode reševanja z uporabo naslednjih formul:

1 ) diskriminanta kvadratne enačbe: D = b ² - 4 ac , (
²- ac)

2) formule korenin kvadratne enačbe:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Kvadratne neenakosti imenujemo neenakosti oblike

a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)

a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

Množico rešitev neenačbe (3) dobimo s kombinacijo množic rešitev neenačbe (1) in enačbe , a X 2 + b x + c=0. Množico rešitev neenačbe (4) najdemo podobno.

Če je diskriminant kvadratnega trinoma a X 2 + b x + c manj kot nič, potem je za a > 0 trinom pozitiven za vse x R.

Če ima kvadratni trinom korenine (x 1 < х 2 ), potem je za a > 0 pozitiven na množici(-; x 2 )
(X 2; +) in negativno na intervalu

(x 1; x 2 ). Če< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; x 2 ) in je negativen za vse x (-; x 1 )
(X 2; +).

Primer 1 reši enačbo ax² - 2 (a - 1) x - 4 \u003d 0.

To je kvadratna enačba

rešitev: Poseben pomen a = 0.

pri a = 0 dobimo linearno enačbo 2x - 4 = 0. Ima eno samo korenino x = 2.

pri a ≠ 0. Poiščimo diskriminanco.

D \u003d (a-1)² + 4a \u003d (a + 1)²

če a = -1, to D = 0 - en koren.

Poiščite koren z zamenjavo a = -1.

-x² + 4x - 4 \u003d 0, to je x² -4x + 4 = 0, ugotovimo, da x=2.

če a ≠ - 1, To D >0 . Po korenski formuli dobimo:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

odgovor: pri a=0 in a=-1 enačba ima en koren x = 2; pri a ≠ 0 in

A ≠ - 1 enačba ima dva korenaX 1 =2, x 2 =-.

Primer 2 Poiščite število korenov dane enačbe x²-2x-8-a=0 odvisno od vrednosti parametrov A.

rešitev. Zapišimo to enačbo v obliki x²-2x-8=a

l \u003d x²-2x-8- graf je parabola;

l =a- družina vodoravnih črt.

Zgradimo grafe funkcij.

Odgovor: Kdaj A<-9 , enačba nima rešitev; ko je a=-9, ima enačba eno rešitev; pri a>-9, ima enačba dve rešitvi.

Primer 3 Pri čem A neenakost (a - 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 velja za vse vrednosti x?

rešitev. Kvadratni trinom je pozitiven za vse vrednosti x if

a-3 > 0 in D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, od koder sledi, daa > 6 .

Odgovori.a > 6

§ 3. Ulomno-racionalne enačbe s parametrom,

zmanjšana na linearno

Postopek reševanja ulomljenih enačb poteka po običajni shemi: ulomek nadomestimo s celim številom tako, da oba dela enačbe pomnožimo s skupnim imenovalcem njenega levega in desnega dela. Po tem se reši celotna enačba, brez tujih korenov, to je števil, ki spremenijo imenovalec na nič.

V primeru enačb s parametrom je ta problem bolj zapleten. Tu je za "odpravo" tujih korenin potrebno najti vrednost parametra, ki spremeni skupni imenovalec na nič, torej rešiti ustrezne enačbe za parameter.

Primer 1 reši enačbo
= 0

rešitev: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x - a \u003d 0, x \u003d a.

odgovor: pri a ≠ - 2, x=a

pri a = -2 ni korenin.

Primer 2 . reši enačbo
-
=
(1)

To je ulomljena racionalna enačba

rešitev: Pomen a = 0 je poseben. pri a = 0 enačba izgubi pomen in zato nima korenin. če a ≠ 0, potem bo po transformacijah enačba dobila obliko: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a - 3 = 0 (2)- kvadratna enačba.

Poiščimo diskriminanco \u003d (1 - a)² - (a² - 2a - 3) \u003d 4, poišči korenine enačbeX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

Pri prehodu z enačbe (1) na enačbo (2) se je domena definicije enačbe (1) razširila, kar bi lahko povzročilo pojav tujih korenov. Zato je preverjanje potrebno.

Pregled. Izključi iz najdenih vrednosti X tiste, v katerih

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

če X 1 +1=0, to je (a+1) + 1= 0, To a = -2. torej

pri a= -2 , X 1 -

če X 1 +2=0, to je (a+1)+2=0, to a = - 3. Tako pri a \u003d - 3, x 1 - zunanji koren enačbe. (1).

če X 2 +1=0, to je (a - 3) + 1 = 0, To a = 2. Tako pri a = 2 x 2 - tuj koren enačbe (1).

če X 2 +2=0, to je ( a – 3) + 2 = 0, to a=1. Tako pri a = 1,

X 2 - zunanji koren enačbe (1).

V skladu s tem je a = - 3 dobimo x \u003d - 3 - 3 \u003d -6;

pri a \u003d - 2 x \u003d -2 – 3= - 5;

pri a \u003d 1 x \u003d 1 + 1 \u003d 2;

pri a \u003d 2 x \u003d 2 + 1 \u003d 3.

Odgovor lahko zapišete.

odgovor: 1) če a= -3, to x= -6; 2) če a= -2, To x= -5; 3) če a=0, potem ni korenin; 4) če a=1, To x=2; 5) če a=2, To x=3; 6) če a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ 2, nato x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. Iracionalne enačbe in neenačbe

Enačbe in neenačbe, v katerih je spremenljivka pod znakom korena, se imenujejo neracionalno.

Reševanje iracionalnih enačb se zreducira na prehod iz iracionalne v racionalno enačbo z dvigom obeh strani enačbe na potenco ali s spremembo spremenljivke. Ko sta obe strani enačbe dvignjeni na sodo potenco, se lahko pojavijo tuji koreni. Zato je treba pri uporabi te metode vse najdene korenine preveriti s substitucijo v izvirno enačbo ob upoštevanju sprememb vrednosti parametrov.

Vrsta enačbe
=g (x ) je enakovreden sistemu

Neenakost f (x) ≥ 0 izhaja iz enačbe f (x) = g 2 (x).

Pri reševanju iracionalnih neenačb bomo uporabili naslednje ekvivalentne transformacije:

≤ g(x)


≥g(x)

Primer 1 Reši enačbo
= x + 1 (3)

To je iracionalna enačba

rešitev: Po definiciji aritmetičnega korena je enačba (3) enakovredna sistemu
.

pri a = 2 prva enačba sistema ima obliko 0 x = 5, to pomeni, da nima rešitev.

pri a≠ 2 x=
. Ugotovimo, za katere vrednostiA najdeno vrednostX zadovoljuje neenakostx ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

kje a ≤ oz a > 2.

odgovor: pri a≤, a > 2 x=
, pri < а ≤ 2 enačba nima rešitev.

Primer 2 reši enačbo
= a (Priloga 4)

rešitev. l =

l = a je družina vodoravnih črt.

Zgradimo grafe funkcij.

Odgovori: pri A<0 - ni rešitev

pri A≥ 0 - ena rešitev.

Primer 3 . Rešimo neenačbo(a+1)
<1.

rešitev. O.D.Z. x ≤ 2. če a+1 ≤0, potem neenakost velja za vse dopustne vrednosti X. če a+1>0, To

(a+1)
<1.

<

kje X (2-
2

Odgovori. X (- ;2pri a (-;-1, X (2-
2

pri A (-1;+).

§ 5. Trigonometrične enačbe in neenačbe.

Tukaj so formule za reševanje najpreprostejših trigonometričnih enačb:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ± arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

če >1, potem enačbi (1) in (2) nimata rešitev.

tan x = a
x= arctg a + πn, n Z, a R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, a R

Za vsako standardno neenačbo navedemo množico rešitev:

1. sin x > a
arcsin a + 2 n Z,

pri a <-1, x R ; pri a ≥ 1, ni rešitev.

2. . greh x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

za a≤-1 ni rešitev; ko je a>1,x R

3. cos x > a
- arccos a + 2 pn < x < arccos a + 2 pn , n Z ,

pri A<-1, x R ; pri a ≥ 1 , ni rešitev.

4. cos x lok a+ 2 nZ,

pri a≤-1 , ni rešitev; pria > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + πnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

Primer1. Najti A, za katero ima ta enačba rešitev:

Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 - 4a - 5 \u003d 0.

rešitev. Enačbo zapišemo v obliki

zos 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(а+1) =0,če ga rešimo kot kvadrat, dobimo cosx = 5-A in cosx = -a-1.

Enačba cosx = 5- A ima na voljo rešitve -1≤ 5-A ≤1
4≤ A≤ 6 in enačbo cosx = - a-1 podano -1≤ -1-A ≤ 1
-2 ≤ A ≤0.

Odgovori. A -2; 0
4; 6

Primer 2 Pri čem bobstaja taka, da neenakost
+ b> 0 je izpolnjeno za vse x ≠pn , n Z .

rešitev. Postavimo A= 0. Neenakost velja za b >0. Pokažimo zdaj, da noben b ≤0 ne izpolnjuje pogojev problema. Dejansko zadostuje, če postavimo x = π /2, če A <0, и х = - π /2 pri A ≥0.

Odgovori.b > 0

§ 6. Eksponentne enačbe in neenačbe

1. Enačba h(x) f ( x ) = h(x) g ( x) pri h(x) > 0 je enakovredna kombinaciji dveh sistemov
in

2. V določenem primeru (h (x)= a ) enačba A f(x) = A g(x) pri A> 0, je enakovredna kombinaciji dveh sistemov

in

3. Enačba A f(x) = b , Kje A > 0, a ≠1, b>0, je enakovredna enačbi

f(x)= log a b. Dogajanje A=1 se obravnavajo ločeno.

Rešitev najenostavnejših eksponentnih neenačb temelji na lastnosti stopnje. Neenakost oblikef(a x ) > 0 s spremembo spremenljivket= a x zmanjša na reševanje sistema neenačb
nato pa k rešitvi ustreznih najenostavnejših eksponentnih neenačb.

Pri reševanju nestroge neenačbe je treba množici rešitev stroge neenačbe dodati korenine ustrezne enačbe. Kot pri reševanju enačb v vseh primerih, ki vsebujejo izraz A f (x), predpostavimo A> 0. Primer A= 1 se obravnavajo ločeno.

Primer 1 . Pri čem A enačba 8 x =
ima samo pozitivne korenine?

rešitev. Po lastnosti eksponentne funkcije z bazo, večjo od ena, imamo x>0
8 X >1

>1

>0, od koda (1,5;4).

Odgovori. a (1,5;4).

Primer 2 Reši neenačbo a 2 ∙2 x > a

rešitev. Razmislite o treh primerih:

1. A< 0 . Ker je leva stran neenakosti pozitivna in desna stran negativna, neenakost velja za vsak x R.

2. a=0. Ni rešitev.

3. A > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > -log 2 a

Odgovori. X R pri A > 0; ni rešitev za a =0; X (- dnevnik 2 a; +) pria > 0 .

§ 7. Logaritemske enačbe in neenačbe

Predstavimo nekaj enakovrednosti, ki se uporabljajo pri reševanju logaritemske enačbe in neenačbe.

1. Enačba log f (x) g (x) \u003d log f (x) h (x) je enakovredna sistemu

Še posebej, če A >0, A≠1, torej

dnevnik a g(x)=log a h(x)

2. Enačba dnevnik a g(x)=b
g(x)=a b ( A >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Neenakost dnevnik f ( x ) g (x) ≤ dnevnik f ( x ) h(x) je enakovredna kombinaciji dveh sistemov:
in

Če, b so števila, a >0, a ≠1, potem

dnevnik a f(x) ≤ b

dnevnik a f(x) > b

Primer 1 Reši enačbo

rešitev. Poiščimo ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Transformiraj enačbo

dnevnik x - 2 = 4 - dnevnik a x
dnevnik x + dnevnik a x– 6 = 0, od koder dnevnik a x = - 3

x = A-3 in dnevnik a x = 2
x = A 2. Pogoj x = A 4
A – 3 = A 4 oz A 2 = A 4 ne izvajajo na ODZ.

odgovor: x = A-3, x = A 2 pri A (0; 1)
(1; ).

Primer 2 . Poiščite najvišjo vrednost A, za katero velja enačba

2 dnevnik -
+ a = 0 ima rešitve.

rešitev. Zamenjajmo
= tin dobimo kvadratno enačbo 2t 2 – t + a = 0. Reševanje, najdemoD = 1-8 a . Razmislite D≥0, 1-8 A ≥0
A ≤.

pri A = kvadratna enačba ima korent= >0.

Odgovori. A =

Primer 3 . Reši neenačbodnevnik(x 2 – 2 x + a ) > - 3

rešitev. Rešimo sistem neenačb

Korenine kvadratnih trinomov x 1,2 = 1 ±
njihov 3,4 = 1 ±
.

Kritične vrednosti parametrov: A= 1 in A= 9.

Naj sta torej X 1 in X 2 množici rešitev prve in druge neenačbe

X 1
X 2 = X je rešitev prvotne neenačbe.

Pri 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), priA> 1 x 1 = (-;+).

Pri 0< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), priA≥9 Х 2 – ni rešitev.

Razmislite o treh primerih:

1. 0< a ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 Х – ni rešitev.

USE naloge

Visoka stopnja C1, C2

Primer 1 Poiščite vse vrednosti R, za katero velja enačba

R ∙ ctg 2x+2sinx+ str= 3 ima vsaj en koren.

rešitev. Transformirajmo enačbo

R ∙ (
-1)+2sinx+ str\u003d 3, sinx \u003d t, t
, t 0.

- str+ 2t + str = 3, + 2t = 3, 3 -2t = , 3t2 – 2t3 = str .

Pustiti f(l) = 3 t 2 – 2 t 3 . Poiščimo množico funkcijskih vrednostif(x) vklopljeno


. pri / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

pri t
, E(f) =
,

pri t
, E(f) =
, torej ko t


, E(f) =
.

K enačbi 3t 2 – 2 t 3 = str (torej dano) imel vsaj en koren potreben in zadostenstr E(f), to je str
.

Odgovori.
.

Primer 2

Pri katerih vrednostih parametraA enačba dnevnik
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 ima točno en koren?

rešitev. Enačbo pretvorimo v enakovredno:

4x 2 - 4 a + a 2 +7 \u003d (x 2 + 2) 2.

Upoštevajte, da če je določeno število x koren nastale enačbe, potem je število - x tudi koren te enačbe. Po pogoju to ni izvedljivo, zato je edini koren število 0.

Najdimo A.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Pregled.

1) a 1 = 1. Potem ima enačba obliko:dnevnik
(4 x 2 +4) =2. Mi rešujemo

4x 2 + 4 \u003d (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 \u003d x 4 + 4x 2 + 4, x 4 \u003d 0, x \u003d 0 je edini koren.

2) a 2 = 3. Enačba izgleda takole:dnevnik
(4 x 2 +4) =2
x = 0 je edini koren.

Odgovori. 1; 3

Visoka stopnja C4, C5

Primer 3 Poiščite vse vrednosti R, pod katero je enačba

x 2 - ( R+ 3)x + 1= 0 ima cele korene in ti koreni so rešitve neenačbe: x 3 - 7 R x 2 + 2 x 2 - 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.

rešitev. Naj bo x 1, X 2 so celi koreni enačbe x 2 – (R + 3)x + 1= 0. Potem je po formuli Vieta x 1 + x 2 = R + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Zmnožek dveh celih števil x 1 , X 2 je lahko enaka ena samo v dveh primerih: x 1 = x 2 = 1 ali x 1 = x 2 = - 1. Če je x 1 = x 2 = 1, torejR + 3 = 1+1 = 2
R = - 1; če x 1 = x 2 = - 1, torejR + 3 = - 1 – 1 = - 2
R = - 5. Preverite, ali so koreni enačbe x 2 – (R + 3)x + 1= 0 v primerih, ki jih opisujejo rešitve te neenačbe. Za primerR = - 1, x 1 = x 2 = 1 imamo

1 3 - 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2 ∙ 1 2 - 14 ∙ (- 1) ∙ 1 - 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 - drži; za to priložnost R\u003d - 5, x 1 \u003d x 2 \u003d - 1 imamo (- 1) 3 - 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 - 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 je pravilno. Torej je izpolnjen le pogoj problema R= - 1 in R = - 5.

Odgovori.R 1 = - 1 in R 2 = - 5.

Primer 4 Poiščite vse pozitivne vrednosti parametrov A, za katero število 1 pripada domeni funkcije

pri = (A
- A
).

Vrsta dela: 18

Pogoj

Za katere vrednosti parametra a velja neenakost

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 velja za vse vrednosti x?

Prikaži rešitev

rešitev

Ta neenakost je enakovredna dvojni neenakosti 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Naj \sin x=t, potem dobimo neenakost:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , ki mora veljati za vse vrednosti -1 \leq t \leq 1 . Če je a=0, potem neenakost (*) velja za vsak t\in [-1;1] .

Naj bo \neq 0 . Funkcija f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t narašča na intervalu [-1;1], ker je odvod f"(t)=3t^(2)+ 4at +5a^(2) > 0 za vse vrednosti t \in \mathbb(R) in a \neq 0 (diskriminanta D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Neenakost (*) bo veljala za t \in [-1;1] pod pogoji

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\:\leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(cases)\:\leftrightarrow \begin(cases) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5) \leq a< 0 .

Torej je pogoj izpolnjen, ko je -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Odgovori

\levo [-\frac(2)(5); 0\desno]

Vir: "Matematika. Priprave na izpit-2016. ravni profila. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuhova.

Vrsta dela: 18
Tema: Neenačbe s parametrom

Pogoj

Poiščite vse vrednosti parametra a , za vsako od katerih velja neenakost

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

ima edinstveno rešitev.

Prikaži rešitev

rešitev

Neenakost je enakovredna nizu sistemov neenakosti

\left[\!\!\begin(matrika)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(matrika)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(matrika)\right.

V koordinatnem sistemu Oxa gradimo grafe funkcij a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Nastala množica je zadoščena s točkami, ki so obdane med funkcijskimi grafi a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x pri x\in (osenčeno območje).

Glede na graf ugotovimo: izvirna neenačba ima enolično rešitev za a=-4 in a=5, saj bo v osenčenem območju ena sama točka z ordinato a enako -4 in enako 5.

V tej lekciji bomo preučili algoritem za reševanje neenačb s parametri in se ga naučili uporabiti pri reševanju tovrstnih nalog.

Definicija ena.

Rešiti neenačbo s parametrom pomeni za vsako vrednost parametra poiskati množico vseh rešitev te neenačbe ali dokazati, da rešitev ni.

Razmislite o linearnih neenakostih.

Definicija dve.

Neenakosti oblike a x plus so večje od nič, večje ali enake nič, manjše od nič, manjše ali enake nič, kjer a in b sta realna števila, X— spremenljivko imenujemo neenakosti prve stopnje (linearne neenakosti).

Algoritem za reševanje linearne neenačbe s parametrom, na primer neenakost x plus b je večja od nič, kjer a in b sta realna števila, X- spremenljivka. Razmislite o naslednjih primerih:

Prvi primer:a večji od nič, potem je x večji od minus ba deljeno z a.

Posledično je množica rešitev neenačbe odprt numerični žarek od minus deljen z a do plus neskončno.

Drugi primer:a manj kot nič, potem je x manjši od minus ba deljeno z a

in posledično je množica rešitev neenačbe odprt numerični žarek od minus neskončnosti do minus, deljen z a.

Tretji primer: a je enako nič, potem bo neenakost v obliki: nič, pomnoženo z x plus be je večje od nič in za bae večje od nič, je vsako realno število rešitev neenačbe in kdaj bae manjša ali enaka nič, neenačba nima rešitev.

Preostale neenačbe rešujemo podobno.

Razmislite o primerih.

1. vaja

Rešite neenačbo in x je manjši ali enak ena.

rešitev

Odvisno od znaka a razmislite o treh primerih.

Prvi primer: če a večji od nič, potem je x manjši ali enak ena deljeno z a;

Drugi primer: če a manj kot nič, potem je x večji ali enak ena deljeno z a;

Tretji primer: če a je enako nič, potem bo neenakost dobila obliko: nič, pomnožena z x, je manjša ali enaka ena in je zato vsako realno število rešitev prvotne neenakosti.

Torej, če A večji od nič, potem x pripada žarku od minus neskončnosti do enote, deljeno z a.

če a a enako nič,

to x

Odgovor: če A večji od nič, potem x pripada žarku od minus neskončnosti do enote, deljeno z a;

če a manj kot nič, potem x pripada žarku od enote, deljene z a do plus neskončnosti, in če a enako nič,

to x x pripada množici realnih števil.

Naloga 2

Rešite neenačbo mod x minus dva je večje od minus kvadrata razlike med a in ena.

rešitev

Upoštevajte, da je modulo x minus dva večji ali enak nič za katero koli realno X in minus kvadrat razlike med a in enoto je manjši ali enak nič za katero koli vrednost parametra a. Zato, če a je enako ena, potem katera koli X— realno število, ki ni dve, je rešitev neenačbe in če a ni enako ena, potem je vsako realno število rešitev neenačbe.

Odgovor: če a je enak ena, potem x pripada uniji dveh odprtih številskih žarkov od minus neskončnosti do dva in od dva do plus neskončnosti,

in če a pripada uniji dveh odprtih številskih žarkov od minus neskončnosti do ena in od ena do plus neskončnosti, potem X pripada množici realnih števil.

Naloga 3

Rešite neenačbo tri, pomnoženo z razliko štiri a in x manj kot dva a x plus tri.

rešitev

Po elementarnih transformacijah te neenakosti dobimo neenačbo: x krat vsota dveh a in tri je večja od trikratne razlike štirih a in ena.

Prvi primer: če je dva plus tri večje od nič, tj a več kot minus tri sekunde, potem je x večji od ulomka, katerega števec je trikratna razlika štirih a in ena, imenovalec pa dva plus tri.

Drugi primer: če je dva plus tri manj kot nič, tj a manj kot minus tri sekunde, potem je x manjši od ulomka, katerega števec je trikratna razlika štirih a in ena, imenovalec pa dva plus tri.

Tretji primer: če je dva a plus tri enako nič, tj a je enako minus tri sekunde,

vsako realno število je rešitev prvotne neenakosti.

Torej, če a pripada odprtemu številskemu žarku od minus tri sekunde do plus neskončnosti, potem je x

pripada odprtemu številskemu žarku iz ulomka, katerega števec je trikratna razlika štiri a in ena, imenovalec pa dva plus tri, do plus neskončnosti.

Če a pripada odprtemu številskemu žarku od minus neskončnosti do minus tri sekunde, potem x pripada odprtemu številskemu žarku od minus neskončnosti do ulomka, katerega števec je trikratna razlika štiri a in ena, imenovalec pa dva a plus tri;

če a je enako minus tri sekunde, torej X pripada množici realnih števil.

Odgovor: če a pripada odprtemu številskemu žarku od minus tri sekunde do plus neskončnosti, potem x

pripada odprtemu številskemu žarku iz ulomka, katerega števec je trikratna razlika štiri a in ena, imenovalec pa dva a plus tri do plus neskončno;

če a pripada odprtemu številskemu žarku od minus neskončnosti do minus tri sekunde, potem x pripada odprtemu številskemu žarku od minus neskončnosti do ulomka, katerega števec je trikratna razlika štirih a in ena, imenovalec pa dva a plus tri;

če a je enako minus tri sekunde, torej X pripada množici realnih števil.

Naloga 4

Za vse veljavne vrednosti parametrov A reši neenačbo kvadratni koren iz x minus a plus kvadratni koren iz dva a minus x plus kvadratni koren iz minus ena plus kvadratni koren iz tri minus a večji od nič.

rešitev

Poiščite domeno parametra A. Določen je s sistemom neenačb, pri reševanju katerega ugotovimo, da a pripada segmentu od ena do tri.

Ta neenačba je enakovredna sistemu neenačb, pri reševanju katerega ugotovimo, da x pripada odseku od a do dveh a.

Če a pripada odseku od ena do tri, potem je rešitev prvotne neenačbe odsek od a do dva a.

Odgovor: če a pripada odseku od ena do tri, potem x pripada odseku od a do dva a.

Naloga 5

Najdi vse A, za katero velja neenakost

kvadratni koren iz x na kvadrat minus x minus dva plus kvadratni koren ulomka, katerega števec je dva minus x in katerega imenovalec je x plus štiri večji ali enak a x plus dva minus kvadratni koren ulomka, katerega števec je x plus ena a imenovalec je pet minus x nima rešitve.

rešitev

najprej Izračunajmo domeno definicije te neenakosti. Določena je s sistemom neenačb, katerih rešitev sta dve števili: x je enako minus ena in x je enako dve.

drugič Poiščimo vse vrednosti a, za katere ima ta neenakost rešitve. Da bi to naredili, bomo našli vse A, za katerega je x enak minus ena in x enak dva - to je rešitev te neenakosti. Razmislite in rešite množico dveh sistemov. Rešitev je združiti dva številska žarka od minus neskončnosti do minus ene sekunde in od ena do plus neskončnosti.

Zato ima ta neenačba rešitev, če a pripada uniji dveh številskih žarkov iz minusa

od neskončnosti do minus ene sekunde in od ene do plus neskončnosti.

Tretjič. Zato ta neenačba nima rešitve, če a pripada intervalu od minus ene sekunde do ena.

Odgovor: neenačba nima rešitve, če a pripada intervalu od minus ene sekunde do ena.