Monotona funkcija je funkcija, ki se spreminja v isto smer.

funkcija poveča , če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Z drugimi besedami, če se vrednost poveča x pomen l tudi narašča, potem je to naraščajoča funkcija.

funkcija zmanjša , če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije. Z drugimi besedami, če se vrednost poveča x pomen l pada, potem je to padajoča funkcija.

Če funkcija narašča ali pada na določenem intervalu, se imenuje monotona na tem intervalu.

funkcija konstantna (nemonotona) , če se niti ne zmanjša niti ne poveča.

Izrek(nujni znak monotonosti):

1. Če diferenciabilna funkcija f(x) v določenem intervalu narašča, potem je njen odvod na tem intervalu nenegativen, tj.

2. Če diferenciabilna funkcija f(x) v določenem intervalu pada, potem je njen odvod na tem intervalu nepozitiven, .

3. Če se funkcija ne spremeni, je njen odvod enak nič, tj. .

Izrek(zadosten znak monotonosti):

Naj bo f(x) zvezen na intervalu (a;b) in ima odvod v vseh točkah, potem:

1. Če je znotraj (a;b) pozitiven, potem f(x) narašča.

2. Če je notranji (a;b) negativen, potem f(x) pada.

3. Če je , potem je f(x) konstantna.

Študij funkcije za ekstreme.

Ekstremum- največja ali najmanjša vrednost funkcije na dani množici. Točka, v kateri je dosežen ekstrem, se imenuje točka ekstrema. V skladu s tem, če je dosežen minimum, se točka ekstrema imenuje točka minimuma, in če je dosežen maksimum, se imenuje točka maksimuma.

1. Poiščite domeno funkcije in intervale, v katerih je funkcija zvezna.

2. Poiščite izpeljanko.

3. Poiščite kritične točke, tj. točke, v katerih je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja.

4. V vsakem od intervalov, na katere je definirano področje razdeljeno s kritičnimi točkami, določite predznak odvoda in naravo spremembe funkcije.

5. Za vsako kritično točko ugotovite, ali je natančen maksimum, minimum ali ni ekstremna točka.

Zapišite rezultat proučevanja funkcijskih intervalov monotonosti in ekstrema.

Največja in najmanjša vrednost funkcije.

Shema za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije, neprekinjene na segmentu.

1. Poiščite izpeljanko.

2. Poiščite kritične točke na tem segmentu.

3. Izračunajte vrednost funkcije na kritičnih točkah in na koncih odseka.

4. Med izračunanimi vrednostmi izberite najmanjšo in največjo.

Konveksnost in konkavnost funkcije.

Lok se imenuje konveksen, če seka katero koli svojo sekanto v največ dveh točkah.

Črte, ki jih tvori konveks navzgor, se imenujejo konveksne, tiste, ki jih tvori konveks navzdol, pa se imenujejo konkavne.

Geometrično je jasno, da konveksni lok leži pod katero koli njeno tangento, konkavni lok pa nad tangento.

Prevojne točke funkcij.

Prevojna točka je točka na črti, ki ločuje konveksni lok od konkavnega.

V prevojni točki tangenta seka premico; v bližini te točke leži premica na obeh straneh tangente.

Interval padanja prvega odvoda ustreza konveksnemu odseku grafa funkcije, interval naraščanja pa konkavnemu odseku.

Izrek(o prevojnih točkah):

Če je drugi odvod povsod v intervalu negativen, potem je lok premice y = f(x), ki ustreza temu intervalu, konveksen. Če je drugi odvod povsod v intervalu pozitiven, potem je lok premice y = f(x), ki ustreza temu intervalu, konkaven.

Potreben znak prevojne točke:

Če je abscisa prevojne točke, potem bodisi ali ne obstaja.

Zadosten znak prevojne točke:

Točka je prevojna točka premice y = f(x), če , in ;

Ko je levo konveksno območje, desno konkavno območje ter levo konkavno območje in desno konveksno območje.

Asimptote.

Opredelitev.

Asimptota grafa funkcije je premica, ki ima lastnost, da se razdalja od točke na grafu funkcije do te premice nagiba k nič, ko se točka grafa neomejeno premika od izhodišča.

Vrste asimptot:

1. Ravna črta se imenuje navpična asimptota grafa funkcije y=f(x), če je vsaj ena od neposrednih vrednosti oz enako ali.

Številčni niz Xšteje simetrično glede na nič, če obstaja xЄ X pomen - X spada tudi v komplet X.

funkcija l = f(XX, šteje celo X xЄ X, f(X) = f(-X).

Za sodo funkcijo je graf simetričen glede na os Oy.

funkcija l = f(X), ki je definiran na nizu X, šteje Čuden, če so izpolnjeni naslednji pogoji: a) niz X simetričen glede na ničlo; b) za vsakogar xЄ X, f(X) = -f(-X).

Za liho funkcijo je graf simetričen glede na izvor.

funkcija pri = f(x), xЄ X, poklical periodično na X, če obstaja številka T (T ≠ 0) (obdobje funkcije), da so izpolnjeni naslednji pogoji:

• X - T in X + T od mnogih X za kogarkoli XЄ X;
• za kogarkoli XЄ X, f(X + T) = f(X - T) = f(X).

V primeru T je obdobje funkcije, potem poljubno število oblike mT, Kje mЄ Z, m≠ 0, to je tudi perioda te funkcije. Najmanjšo pozitivno periodo dane funkcije (če obstaja) imenujemo njena glavna perioda.

V primeru T je glavno obdobje funkcije, potem lahko za sestavo njenega grafa narišete del grafa na katerem koli od intervalov domene določanja dolžine T, nato pa naredite vzporedni prenos tega dela grafa vzdolž osi O X z ± T, ±2 T, ....

funkcija l = f(X), omejeno spodaj na setu X A to za kogarkoli XЄ X, A ≤ f(X). Graf funkcije, ki je na množici omejena spodaj X, se v celoti nahaja nad ravno črto pri = A(to je vodoravna črta).

funkcija pri = f(x), omejena od zgoraj na setu X(mora biti definiran na tem nizu), če obstaja število IN to za kogarkoli XЄ X, f(X) ≤ IN. Graf funkcije, ki je omejena od zgoraj na množici X, se v celoti nahaja pod črto pri = IN(to je vodoravna črta).

Upoštevana funkcija omejeno na setu X(na tej množici mora biti definirana), če je na tej množici omejena od zgoraj in spodaj, tj. obstajajo taka števila A in IN to za kogarkoli XЄ X neenakosti so izpolnjene A ≤ f(x) ≤ B. Graf funkcije, ki je omejena na množico X, se v celoti nahaja med ravnimi črtami pri = A in pri = IN(to so vodoravne črte).

funkcija pri = f (X), velja za omejeno na množici X(mora biti definiran na tem nizu), če obstaja število Z> 0, kar za katero koli xЄ X, │f(X)│≤ Z.

funkcija pri = f(X), XЄ X, poklical naraščajoče (ne padajoče) na podnaboru M Z X ko za vse X 1 in X 2 od M tako da X 1 < X 2, pošteno f(X 1) < f(X 2) (f(X 1) ≤ f(X 2)). Ali pa se pokliče funkcija y povečevanje na setu TO, če večja vrednost argumenta iz tega niza ustreza večji vrednosti funkcije.

funkcija pri = f(X), XЄX, imenovano padajoče (ne naraščajoče) na podnaboru M Z X ko za vse X 1 in X 2 od M tako da X 1 < X 2, pošteno f(X 1) > f(X 2) (f(X 1) ≥ f(X 2)). Ali funkcijo pri se imenuje padanje na množici TO, če večja vrednost argumenta iz tega niza ustreza manjši vrednosti funkcije.

funkcija pri = f(x), XЄ X, poklical monotono na podnaboru M Z X, če pada (ne narašča) ali narašča (ne pada) za M.

Če funkcija pri = f(X), XЄ X, se zmanjšuje ali povečuje na podmnožici M Z X, potem se taka funkcija pokliče strogo monotono na setu M.

številka M klical največja vrednost funkcije y na snemanju TO, če je to število vrednost funkcije pri določeni vrednosti x 0 argument iz nizaTO, in za druge vrednosti argumenta iz množice K vrednost funkcije y ni večja od številaM.

številka m klical najnižja vrednost funkcije y na setu TO, če je to število vrednost funkcije pri določeni vrednosti X 0 argumentov iz niza TO, in za druge vrednosti argumenta x iz množice TO vrednost funkcije y ni manjša od števila m.

Osnovne lastnosti funkcije , od katerega je bolje začeti njegovo proučevanje in raziskovanje, je to področje njegove definicije in pomena. Zapomniti si morate, kako so prikazani grafi elementarnih funkcij. Šele nato lahko nadaljujete s sestavljanjem bolj zapletenih grafov. Tema "Funkcije" ima široko uporabo v ekonomiji in na drugih področjih znanja. Funkcije se preučujejo skozi celoten tečaj matematike in se nadaljujejo visokošolske ustanove . Tam se funkcije preučujejo z uporabo prvega in drugega odvoda.

Ki ne spremeni predznaka, to je bodisi vedno nenegativno ali vedno nepozitivno. Če poleg tega prirastek ni nič, se funkcija pokliče strogo monotono. Monotona funkcija je funkcija, ki se spreminja v isto smer.

Funkcija se poveča, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Funkcija pada, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

Definicije

Naj bo funkcija podana. Potem

. . . .

(Strogo) naraščajoča ali padajoča funkcija se imenuje (strogo) monotona.

Druga terminologija

Včasih se imenujejo naraščajoče funkcije nepadajoča, in padajoče funkcije nenaraščajoča. Strogo naraščajoče funkcije imenujemo preprosto naraščajoče, strogo padajoče funkcije pa preprosto padajoče.

Lastnosti monotonih funkcij

Pogoji, da je funkcija monotona

Obratno na splošno ne drži. Odvod strogo monotone funkcije lahko izniči. Vendar mora biti množica točk, kjer odvod ni enak nič, gosta na intervalu. Natančneje, tako je

Podobno strogo pada na intervalu, če in samo če sta izpolnjena naslednja dva pogoja:

Primeri

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "monotonična funkcija" v drugih slovarjih:

Monotona funkcija- je funkcija f(x), ki je lahko bodisi naraščajoča v določenem intervalu (to pomeni, večja kot je vrednost argumenta na tem intervalu, večja je vrednost funkcije) ali padajoča (v nasprotnem primeru) .... ...

Funkcija, ki se ob povečanju argumenta vedno poveča (ali vsaj ne zmanjša) ali vedno zmanjša (ne poveča) ... Veliki enciklopedični slovar

- (funkcija monotonije) Funkcija, pri kateri se z naraščanjem vrednosti argumenta vrednost funkcije vedno spreminja v isto smer. Če je torej y=f(x), potem je dy/dx 0 za vse vrednosti x, v tem primeru y narašča... ... Ekonomski slovar

- (iz grškega monótonos monokromatski) funkcija, katere prirastki Δf(x) = f(x') f(x) za Δx = x' x > 0 ne spremenijo predznaka, tj. so vedno nenegativni ali vedno nepozitiven. Če se izrazim ne povsem natančno, M. f. to so funkcije, ki se spreminjajo v ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Funkcija, ki ob naraščanju argumenta vedno narašča (ali vsaj ne pada) ali vedno pada (ne narašča). * * * MONOTNA FUNKCIJA MONOTNA FUNKCIJA, funkcija, ki ob povečanju argumenta bodisi vedno poveča (ali... ... enciklopedični slovar

Funkcija ene spremenljivke, definirana na določeni podmnožici realnih števil, prirastek k skupini ne spremeni predznaka, kar pomeni, da je vedno nenegativen ali vedno nepozitiven. Če je strogo večja (manjša od) nič, potem M. f. klical...... Matematična enciklopedija

Funkcija, ki se ob povečanju argumenta vedno poveča (ali vsaj ne zmanjša) ali vedno zmanjša (ne poveča) ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

To je zaporedje, katerega elementi se z naraščanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo. Takšna zaporedja se pogosto srečujejo v raziskavah in imajo številne posebne značilnosti in dodatne lastnosti.... ... Wikipedia

funkcijo- Ekipa ali skupina ljudi ter orodja ali drugi viri, ki jih uporabljajo za izvajanje enega ali več procesov ali dejavnosti. Na primer podpora strankam. Ta izraz ima tudi drug pomen: ... ... Priročnik za tehnične prevajalce

funkcija- 1. Odvisna spremenljivka; 2. Korespondenca y=f(x) med spremenljivimi količinami, zaradi katere vsaki obravnavani vrednosti neke količine x (argument ali neodvisna spremenljivka) ustreza določena vrednost... ... Ekonomski in matematični slovar

Definicija: Za funkcijo pravimo, da narašča v določenem intervalu, če v tem intervalu vsaka večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije.

Def.: Za funkcijo pravimo, da pada v določenem intervalu, če v tem intervalu vsaka večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

Kako narašča . Podobno se padajoče funkcije imenujejo monotone.

Če funkcija ni monotona, potem lahko njeno definicijsko področje razdelimo na končno število intervalov monotonosti, ki se lahko izmenjujejo z intervali konstantnosti funkcije.

Za monotonost funkcije y = f(x) je značilen predznak njenega prvega odvoda f ¤ (x), in sicer, če v nekem intervalu f ¤ (x) > 0, potem funkcija v tem intervalu narašča, če v nek interval f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

Iskanje intervalov monotonosti funkcije y = f(x) se zmanjša na iskanje intervalov konstantnega predznaka njenega prvega odvoda f ¤ (x).

Od tu dobimo pravilo za iskanje intervalov monotonosti funkcije y = f(x)

1. Poiščite ničelne in diskontinuitetne točke f ¤ (x).

2. S poskusno metodo določite predznak f ¤ (x) v intervalih, na katere razdelijo točke, dobljene v 1. koraku, področje definicije funkcije f (x).

primer:

Poiščite intervale monotonosti funkcije y = - x 2 + 10x + 7

Poiščimo f ¤ (x). y¢ = -2x +10

Točka, v kateri je y¢ = 0, je ena in razdeli področje definicije funkcije na naslednja intervala: (– ∞,5) in (5,+ ∞), v vsakem od katerih y¢ ohrani konstanten predznak. Nadomestimo določene vrednosti funkcije v te intervale in določimo predznak y¢ na navedenih intervalih, nato pa:

na intervalu (– ∞,5] y¢ > 0,

na intervalu funkcija narašča, na intervalu I (3 ,+ ∞), v vsakem od katerih y¢ ohranja konstanten predznak. Nadomestimo določene vrednosti funkcije v te intervale in nato določimo predznak y¢ na navedenih intervalih.

Monotona funkcija je funkcija prirastek ki ne spreminja predznaka, torej bodisi vedno nenegativno bodisi vedno nepozitivno. Če poleg tega prirastek ni nič, se funkcija pokliče strogo monotono. Monotona funkcija je funkcija, ki se spreminja v isto smer.

Funkcija se poveča, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Funkcija pada, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.

Naj bo funkcija podana. Potem

(Strogo) naraščajoča ali padajoča funkcija se imenuje (strogo) monotona.

Opredelitev ekstrema

Za funkcijo y = f(x) pravimo, da narašča (pada) v določenem intervalu, če za x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Če diferenciabilna funkcija y = f(x) narašča (zmanjšuje) na intervalu, potem je njen odvod na tem intervalu f "(x) > 0

(f" (x)< 0).

Točka xо se imenuje točka lokalnega maksimuma (minimuma) funkcije f(x), če obstaja soseska točke xо, za katero velja neenakost f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо). )) velja za vse točke.

Najvišje in najmanjše točke se imenujejo ekstremne točke, vrednosti funkcije na teh točkah pa njeni ekstremi.

Ekstremne točke

Nujni pogoji za ekstrem. Če je točka xo ekstremna točka funkcije f(x), potem bodisi f "(xо) = 0 ali f (xо) ne obstaja. Takšne točke imenujemo kritične, sama funkcija pa je definirana na kritični Ekstreme funkcije je treba iskati med njenimi kritičnimi točkami.

Prvi zadostni pogoj. Naj bo xo kritična točka. Če f "(x) pri prehodu skozi točko xo spremeni predznak iz plusa v minus, potem ima v točki xo funkcija maksimum, sicer ima minimum. Če pri prehodu skozi kritično točko odvod ne spremeni predznaka, potem v točki xo ni nobenega ekstrema.

Drugi zadostni pogoj. Naj ima funkcija f(x) odvod f " (x) v okolici točke xо in drugi odvod v sami točki xо. Če je f " (xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Na odseku lahko funkcija y = f(x) doseže svojo najmanjšo ali največjo vrednost na kritičnih točkah ali na koncih odseka.

7. Intervali konveksnosti, funkcije konkavnosti .Prevojne točke.

Graf funkcije l=f(x) klical konveksen na intervalu (a; b), če se nahaja pod katero koli svojo tangento na tem intervalu. Graf funkcije l=f(x) klical konkavno na intervalu (a; b), če se nahaja nad katero koli svojo tangento na tem intervalu. Slika prikazuje krivuljo, ki je konveksna pri (a; b) in konkavno naprej (b;c). Primeri. Razmislimo o zadostnem kriteriju, ki nam omogoča, da ugotovimo, ali bo graf funkcije v danem intervalu konveksen ali konkaven. Izrek. Pustiti l=f(x) razločljiv po (a; b). Če na vseh točkah intervala (a; b) drugi odvod funkcije l = f(x) negativna, tj. f""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – konkavno. Dokaz. Zagotovo predpostavimo, da f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Vzemimo funkcije na grafu y = f(x) poljubna točka M 0 z absciso x 0  (a; b) in nariši skozi točko M 0 tangenta. Njena enačba. Pokazati moramo, da je graf funkcije na (a; b) leži pod to tangento, tj. pri enaki vrednosti x ordinata krivulje y = f(x) bo manjša od ordinate tangente.

Prevojna točka funkcije

Ta izraz ima druge pomene, glej Prevojna točka.

Prevojna točka notranje točke funkcije domena definicije, ki je na tej točki zvezna, je na tej točki končna ali določeno predznačno neskončna izpeljanka, je hkrati konec intervala stroge konveksnosti navzgor in začetek intervala stroge konveksnosti navzdol ali obratno.

Neuradno

V tem primeru je bistvo prevojna točka graf funkcije, to je, da se graf funkcije v točki "pregiba" skozi tangenta na to točko: na tangenti leži pod grafom in nad grafom (ali obratno)

Pogoji obstoja

Nujni pogoj za obstoj prevojne točke: če ima funkcija f(x), dvakrat diferencibilna v neki okolici točke, prevojno točko, potem.

Zadosten pogoj za obstoj prevojne točke: če je funkcija v neki okolici točke zvezno diferenciabilna in je liha in za a, potem ima funkcija prevojno točko.