Zelo enostavno si ga je zapomniti.

No, ne bomo šli daleč, takoj bomo razmislili o inverzni funkciji. Kaj je inverzna eksponentna funkcija? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni« in zanj uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Eksponent in naravni logaritem sta funkciji, ki sta edinstveno enostavni v smislu odvoda. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo preučili pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Kakšna pravila? Spet nov termin?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

Samo in vse. Kakšna je druga beseda za ta proces? Ne proizvodnovanie... Diferencial matematike se imenuje sam prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka odvoda.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj ali lažje.

Primeri.

Poiščite izpeljanke funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (odvod je v vseh točkah enak, saj je linearna funkcija, se spomnite?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: uvedemo novo funkcijo in poiščemo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite najti odvod katerekoli eksponentne funkcije in ne samo eksponenta (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo prenesti našo funkcijo na novo osnovo:

Za to uporabimo preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bilo, ostaja, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite izpeljanke funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je brez kalkulatorja ni mogoče izračunati, torej je ni mogoče zapisati v enostavnejši obliki. Zato je v odgovoru ostalo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Zato, če želite poiskati poljubno vrednost iz logaritma z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo prenesti na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto zapisali:

Izkazalo se je, da je imenovalec le konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanka je zelo preprosta:

Odvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo na izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse se bo izšlo), vendar z vidika matematike beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s trakom. Izkazalo se je tako sestavljen predmet: čokoladna ploščica, zavita in privezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti nasprotne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej poiščemo kosinus števila, nato pa dobljeno število kvadriramo. Torej, dajo nam številko (čokolado), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), potem pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko, da bi našli njeno vrednost, izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tem, kar se je zgodilo kot rezultat prvega.

Z drugimi besedami, Kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Lahko naredimo ista dejanja v obratnem vrstnem redu: najprej kvadrirate, nato pa poiščem kosinus dobljenega števila:. Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo zadnje dejanje, ki ga izvedemo "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje – oz "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Kaj bomo najprej izvedli? Najprej izračunamo sinus, šele nato ga dvignemo na kocko. Gre torej za notranjo funkcijo, ne za zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo ekstrahirali našo čokolado - poiščite izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Za prvotni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se, da je preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(samo ne poskušajte zmanjšati do zdaj! Nič ni vzeto izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre tukaj za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje še izluščimo koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: tako ali tako bomo to funkcijo "razpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje kot je dejanje izvedeno, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj - kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Izpeljanka funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta z neskončno majhnim prirastkom argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz predznaka odvoda:

Izpeljanka vsote:

Izpeljan izdelek:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo "notranjo" funkcijo, poiščemo njen derivat.
2. Definiramo "zunanjo" funkcijo, poiščemo njen derivat.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Se vam zdi, da je do izpita še veliko časa? Je mesec? dva? leto? Praksa kaže, da se študent najbolje spopade z izpitom, če se nanj začne pripravljati vnaprej. Na Enotnem državnem izpitu je veliko težkih nalog, ki študentu in bodočemu kandidatu ovirajo doseganje najvišjih točk. Te ovire se je treba naučiti premagati, poleg tega pa to ni težko storiti. Razumeti morate načelo dela z različnimi nalogami iz vstopnic. Potem z novimi ne bo težav.

Logaritmi se na prvi pogled zdijo neverjetno zapleteni, vendar ob podrobnejši analizi postane situacija veliko enostavnejša. Če želite opraviti izpit z najvišjo oceno, morate razumeti zadevni koncept, ki ga predlagamo v tem članku.

Najprej ločimo te definicije. Kaj je logaritem (log)? To je indikator moči, na katero je treba dvigniti podstavek, da dobimo navedeno število. Če ni jasno, bomo analizirali elementarni primer.

V tem primeru je treba spodnjo osnovo dvigniti na drugo potenco, da dobimo število 4.

Zdaj pa se posvetimo drugemu konceptu. Odvod funkcije v kakršni koli obliki se imenuje koncept, ki označuje spremembo funkcije na zmanjšani točki. Vendar je to šolski kurikulum in če imate težave s temi koncepti ločeno, je vredno ponoviti temo.

Izpeljava logaritma

V nalogah USE na to temo je mogoče kot primer navesti več nalog. Začnimo z najpreprostejšim logaritemskim odvodom. Najti moramo odvod naslednje funkcije.

Najti moramo naslednjo izpeljanko

Obstaja posebna formula.

V tem primeru x=u, log3x=v. Nadomestite vrednosti iz naše funkcije v formulo.

Odvod x bo enak ena. Logaritem je malo težji. Toda načelo boste razumeli, če samo zamenjate vrednosti. Spomnimo se, da je odvod lg x odvod decimalnega logaritma, odvod ln x pa odvod naravnega logaritma (temelji na e).

Zdaj le nadomestite dobljene vrednosti v formulo. Poskusite sami, nato preverite odgovor.

Kaj bi lahko bil tukaj za nekatere problem? Predstavili smo pojem naravnega logaritma. Pogovorimo se o tem in hkrati ugotovimo, kako rešiti težave z njim. Ne boste videli nič zapletenega, še posebej, če razumete načelo njegovega delovanja. Morali bi se ga navaditi, saj se pogosto uporablja v matematiki (predvsem v visokošolskih ustanovah).

Izpeljanka naravnega logaritma

V svojem bistvu je to odvod logaritma na osnovo e (to je iracionalno število, ki je enako približno 2,7). Pravzaprav je ln zelo preprost, zato se pogosto uporablja v matematiki na splošno. Pravzaprav tudi reševanje problema z njim ne bo problem. Vredno si je zapomniti, da bo odvod naravnega logaritma na osnovo e enak ena deljeno z x. Rešitev naslednjega primera bo najbolj indikativna.

Predstavljajte si ga kot kompleksno funkcijo, sestavljeno iz dveh preprostih.

dovolj za preobrazbo

Iščemo odvod u glede na x

Nadaljujmo z drugim

Uporabljamo metodo reševanja odvoda kompleksne funkcije z zamenjavo u=nx.

Kaj se je zgodilo na koncu?

Zdaj pa se spomnimo, kaj je n pomenil v tem primeru? To je katero koli število, ki se lahko pojavi v naravnem logaritmu pred x. Pomembno je, da razumete, da odgovor ni odvisen od tega. Če zamenjate karkoli, bo odgovor še vedno 1/x.

Kot lahko vidite, tukaj ni nič zapletenega, dovolj je le razumeti načelo, da hitro in učinkovito rešite težave na to temo. Zdaj poznate teorijo, ostalo je, da se utrdite v praksi. Vadite reševanje problemov, da si zapomnite načelo njihovega reševanja za dolgo časa. Morda tega znanja po diplomi ne boste potrebovali, na izpitu pa bo bolj pomembno kot kadarkoli. Srečno!

Dokaz in izpeljava formul za odvod naravnega logaritma in logaritma v osnovi a. Primeri izračunavanja odvodov ln 2x, ln 3x in ln nx. Dokaz formule za odvod logaritma n-tega reda z metodo matematične indukcije.

Vsebina

Poglej tudi: Logaritem - lastnosti, formule, graf
Naravni logaritem - lastnosti, formule, graf

Izpeljava formul za odvode naravnega logaritma in logaritma po osnovi a

Odvod naravnega logaritma x je enak ena deljeno z x:
(1) (lnx)′ =.

Odvod logaritma na osnovo a je enak ena, deljeno s spremenljivko x, pomnoženo z naravnim logaritmom a:
(2) (log x)′ =.

Dokaz

Naj obstaja neko pozitivno število, ki ni enako ena. Razmislite o funkciji, ki je odvisna od spremenljivke x, ki je osnovni logaritem:
.
Ta funkcija je definirana z . Poiščimo njen odvod glede na x. Po definiciji je izpeljanka naslednja meja:
(3) .

Transformirajmo ta izraz, da ga zmanjšamo na znane matematične lastnosti in pravila. Za to moramo poznati naslednja dejstva:
A) Lastnosti logaritma. Potrebujemo naslednje formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Zveznost logaritma in lastnost limitov za zvezno funkcijo:
(7) .
Tukaj je neka funkcija, ki ima limit in ta limit je pozitiven.
IN) Pomen druge čudovite meje:
(8) .

Ta dejstva uporabljamo do svoje meje. Najprej transformiramo algebraični izraz
.
Za to uporabimo lastnosti (4) in (5).

.

Uporabimo lastnost (7) in drugo izjemno mejo (8):
.

In končno, uporabite lastnost (6):
.
osnovni logaritem e klical naravni logaritem. Označeno je takole:
.
Potem ;
.

Tako smo dobili formulo (2) za odvod logaritma.

Izpeljanka naravnega logaritma

Še enkrat zapišemo formulo za odvod logaritma v osnovi a:
.
Ta formula ima najpreprostejšo obliko za naravni logaritem, za katerega je , . Potem
(1) .

Zaradi te preprostosti se naravni logaritem zelo pogosto uporablja v računstvu in na drugih področjih matematike, povezanih z diferencialnim računom. Logaritemske funkcije z drugimi bazami lahko izrazimo z naravnim logaritmom z uporabo lastnosti (6):
.

Osnovni odvod logaritma je mogoče najti iz formule (1), če konstanto vzamemo iz diferenciacijskega znaka:
.

Drugi načini dokazovanja odvoda logaritma

Tukaj predpostavljamo, da poznamo formulo za odvod eksponenta:
(9) .
Nato lahko izpeljemo formulo za odvod naravnega logaritma, če upoštevamo, da je logaritem inverzna eksponentu.

Dokažimo formulo za odvod naravnega logaritma, uporaba formule za odvod inverzne funkcije:
.
V našem primeru. Obratna vrednost naravnega logaritma je eksponent:
.
Njegov derivat je določen s formulo (9). Spremenljivke lahko označimo s poljubno črko. V formuli (9) zamenjamo spremenljivko x z y:
.
Ker torej
.
Potem
.
Formula je dokazana.

Sedaj dokažimo formulo za odvod naravnega logaritma z uporabo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije. Ker sta funkciji in inverzni druga drugi, potem
.
Diferencirajte to enačbo glede na spremenljivko x:
(10) .
Odvod x je enak ena:
.
Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksne funkcije:
.
Tukaj. Nadomestite v (10):
.
Od tod
.

Primer

Poiščite izpeljanke V 2x, V 3x in v nx.

Izvirne funkcije imajo podobno obliko. Zato bomo našli odvod funkcije y = log nx. Nato zamenjamo n = 2 in n = 3 . In tako dobimo formule za derivate V 2x in V 3x .

Torej, iščemo odvod funkcije
y = log nx .
Predstavimo to funkcijo kot kompleksno funkcijo, sestavljeno iz dveh funkcij:
1) Spremenljivke odvisne funkcije : ;
2) Spremenljivke odvisne funkcije : .
Nato je izvirna funkcija sestavljena iz funkcij in :
.

Poiščimo odvod funkcije glede na spremenljivko x:
.
Poiščimo odvod funkcije glede na spremenljivko:
.
Uporabimo formulo za odvod kompleksne funkcije.
.
Tukaj smo zamenjali.

Tako smo ugotovili:
(11) .
Vidimo, da odvod ni odvisen od n. Ta rezultat je povsem naraven, če pretvorimo izvirno funkcijo z uporabo formule logaritma produkta:
.
- je stalnica. Njegov derivat je nič. Potem imamo po pravilu diferenciacije vsote:
.

; ; .

Odvod logaritma po modulu x

Poiščimo odvod še ene zelo pomembne funkcije – naravnega logaritma modula x:
(12) .

Poglejmo primer. Potem je funkcija videti takole:
.
Njegov derivat je določen s formulo (1):
.

Zdaj razmislite o primeru. Potem je funkcija videti takole:
,
Kje .
Našli pa smo tudi izpeljanko te funkcije v zgornjem primeru. Ni odvisna od n in je enaka
.
Potem
.

Ta dva primera združimo v eno formulo:
.

V skladu s tem imamo za logaritem na osnovi a:
.

Odvodi naravnega logaritma višjega reda

Upoštevajte funkcijo
.
Našli smo njegovo izpeljanko prvega reda:
(13) .

Poiščimo odvod drugega reda:
.
Poiščimo odvod tretjega reda:
.
Poiščimo odvod četrtega reda:
.

Vidimo lahko, da ima odvod n-tega reda obliko:
(14) .
Dokažimo to z matematično indukcijo.

Dokaz

V formulo (14) nadomestimo vrednost n = 1:
.
Ker je , potem za n = 1 , velja formula (14).

Predpostavimo, da je formula (14) izpolnjena za n = k. Dokažimo, da iz tega sledi, da formula velja za n = k + 1 .

Dejansko imamo za n = k:
.
Razlikuj glede na x:

.
Torej smo dobili:
.
Ta formula sovpada s formulo (14) za n = k + 1 . Tako iz predpostavke, da formula (14) velja za n = k, sledi, da formula (14) velja za n = k + 1 .

Zato je formula (14) za odvod n-tega reda veljavna za vsak n.

Odvodi višjega reda logaritma na osnovo a

Če želite najti n-ti odvod osnovnega logaritma a, ga morate izraziti z naravnim logaritmom:
.
Z uporabo formule (14) najdemo n-ti odvod:
.

Poglej tudi:

kompleksne izpeljanke. Logaritemski odvod.
Odvod eksponentne funkcije

Še naprej izboljšujemo našo tehniko razlikovanja. V tej lekciji bomo utrdili prejeto snov, obravnavali bolj zapletene odvode, seznanili pa se bomo tudi z novimi triki in triki za iskanje odvoda, predvsem z logaritemskim odvodom.

Tisti bralci, ki imajo nizko stopnjo pripravljenosti, naj se obrnejo na članek Kako najti izpeljanko? Primeri rešitev kar vam bo omogočilo dvigniti svoje sposobnosti skoraj iz nič. Nato morate skrbno preučiti stran Odvod sestavljene funkcije, razumeti in rešiti Vse primere, ki sem jih dal. Ta lekcija je logično tretja po vrsti in ko jo boste obvladali, boste samozavestno razlikovali dokaj zapletene funkcije. Nezaželeno je, da se držimo položaja "Kje drugje? Da, in to je dovolj! «, ​​Ker so vsi primeri in rešitve vzeti iz resničnih testov in jih pogosto najdemo v praksi.

Začnimo s ponavljanjem. Pri lekciji Odvod sestavljene funkcije obravnavali smo številne primere s podrobnimi komentarji. Med študijem diferencialnega računa in drugih delov matematične analize boste morali zelo pogosto razlikovati in ni vedno priročno (in ni vedno potrebno) zelo podrobno slikati primere. Zato se bomo vadili v ustnem iskanju izpeljank. Najprimernejši "kandidati" za to so izpeljanke najpreprostejših kompleksnih funkcij, na primer:

Po pravilu diferenciacije kompleksne funkcije :

Pri študiju drugih matan tem v prihodnosti tako podroben zapis najpogosteje ni potreben, predpostavlja se, da je študent sposoben najti podobne izpeljanke na avtopilotu. Predstavljajmo si, da je ob 3. uri zjutraj zazvonil telefon in prijeten glas je vprašal: "Kolikšen je odvod tangente dveh x?". Temu bi moral slediti skoraj takojšen in vljuden odgovor: .

Prvi primer bo takoj namenjen samostojni rešitvi.

Primer 1

Ustno v enem koraku poišči naslednje izpeljanke, npr. Za dokončanje naloge morate le uporabiti tabela odvodov elementarnih funkcij(če se še ni spomnila). Če imate kakršne koli težave, priporočam, da lekcijo ponovno preberete Odvod sestavljene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na koncu lekcije

Kompleksni derivati

Po predhodni artilerijski pripravi bodo primeri s 3-4-5 priključki funkcij manj strašljivi. Morda se bosta naslednja primera komu zdela zapletena, a če ju razumemo (nekdo trpi), potem se bo skoraj vse ostalo v diferencialnem računu zdelo kot otroška šala.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Kot smo že omenili, je pri iskanju derivata kompleksne funkcije najprej potrebno Prav RAZUMITE NALOŽBE. V primerih, ko obstajajo dvomi, vas spomnim na uporaben trik: vzamemo na primer eksperimentalno vrednost "x" in poskušamo (miselno ali na osnutku) to vrednost nadomestiti v "grozen izraz".

1) Najprej moramo izračunati izraz, tako da je vsota najgloblje gnezdenje.

2) Nato morate izračunati logaritem:

4) Nato kubiramo kosinus:

5) V petem koraku razlika:

6) In končno, najbolj oddaljena funkcija je kvadratni koren:

Formula diferenciacije kompleksne funkcije se uporabljajo v obratnem vrstnem redu, od najbolj zunanje funkcije do najbolj notranje. Odločamo se:

Zdi se, da ni napake ...

(1) Izvlečemo kvadratni koren.

(2) Odvod razlike vzamemo z uporabo pravila

(3) Odvod trojke je enak nič. Pri drugem členu vzamemo odvod stopnje (kocke).

(4) Vzamemo odvod kosinusa.

(5) Vzamemo odvod logaritma.

(6) Na koncu vzamemo izpeljanko najglobljega gnezdenja.

Morda se zdi pretežko, vendar to ni najbolj brutalen primer. Vzemite za primer zbirko Kuznetsova in cenili boste ves čar in preprostost analizirane izpeljanke. Opazil sem, da podobno stvar radi dajo na izpitu, da preverijo, ali študent razume, kako najti odvod kompleksne funkcije, ali ne razume.

Naslednji primer je za samostojno rešitev.

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Namig: Najprej uporabimo pravila linearnosti in pravilo diferenciacije produkta

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Čas je, da preidemo na nekaj bolj kompaktnega in lepšega.
Ni neobičajna situacija, ko je produkt ne dveh, ampak treh funkcij podan na primeru. Kako najti odvod produkta treh faktorjev?

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

Najprej pogledamo, ali je mogoče produkt treh funkcij spremeniti v produkt dveh funkcij? Na primer, če bi imeli v produktu dva polinoma, bi lahko odprli oklepaje. Toda v tem primeru so vse funkcije različne: stopnja, eksponent in logaritem.

V takih primerih je nujno zaporedno uporabite pravilo razlikovanja izdelkov dvakrat

Trik je v tem, da za "y" označimo produkt dveh funkcij: in za "ve" - ​​​​logaritem:. Zakaj je to mogoče? Ali je - to ni produkt dveh faktorjev in pravilo ne deluje?! Nič ni zapleteno:

Zdaj je treba pravilo uporabiti drugič v oklepaj:

Še vedno lahko sprevržete in vzamete nekaj iz oklepajev, vendar je v tem primeru bolje pustiti odgovor v tej obliki - lažje ga boste preverili.

Zgornji primer je mogoče rešiti na drugi način:

Obe rešitvi sta popolnoma enakovredni.

Primer 5

Poiščite odvod funkcije

To je primer za samostojno rešitev, v vzorcu je rešen na prvi način.

Razmislite o podobnih primerih z ulomki.

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko greste na več načinov:

ali takole:

Toda rešitev lahko zapišemo bolj strnjeno, če najprej uporabimo pravilo diferenciacije količnika , za cel števec:

Načeloma je primer rešen in če ga pustimo v tej obliki, ne bo napake. Če imate čas, je vedno priporočljivo preveriti osnutek, vendar je mogoče odgovor poenostaviti? Izraz števca spravimo na skupni imenovalec in znebite se trinadstropne frakcije:

Pomanjkljivost dodatnih poenostavitev je, da obstaja nevarnost napake ne pri iskanju izpeljanke, ampak pri banalnih šolskih preobrazbah. Po drugi strani pa učitelji pogosto zavračajo nalogo in zahtevajo, da se »spomni« na izpeljanko.

Enostavnejši primer za rešitev "naredi sam":

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

Še naprej obvladujemo tehnike iskanja derivata, zdaj pa bomo obravnavali tipičen primer, ko je za diferenciacijo predlagan "grozen" logaritem

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko greste daleč z uporabo pravila diferenciacije kompleksne funkcije:

Toda že prvi korak vas takoj pahne v malodušje - vzeti morate neprijetno izpeljanko delne stopnje, nato pa tudi iz frakcije.

Zato prej kako vzeti izpeljanko "fancy" logaritma, je predhodno poenostavljeno z uporabo znanih šolskih lastnosti:

! Če imate pri roki vadbeni zvezek, prepišite te formule tja. Če nimate zvezka, jih narišite na list papirja, saj se bodo preostali primeri lekcije vrteli okoli teh formul.

Sama rešitev se lahko oblikuje takole:

Preoblikujemo funkcijo:

Najdemo izpeljanko:

Preliminarna transformacija same funkcije je močno poenostavila rešitev. Kadar je torej za diferenciacijo predlagan podoben logaritem, je vedno priporočljivo, da ga "razčlenimo".

In zdaj nekaj preprostih primerov za neodvisno rešitev:

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Vse transformacije in odgovori na koncu lekcije.

logaritemski odvod

Če je izpeljanka logaritmov tako sladka glasba, potem se postavlja vprašanje, ali je v nekaterih primerih mogoče umetno organizirati logaritem? Lahko! In celo potrebno.

Primer 11

Poiščite odvod funkcije

Podobne primere smo nedavno obravnavali. Kaj storiti? Zaporedoma lahko uporabimo pravilo diferenciacije količnika in nato pravilo diferenciacije produkta. Pomanjkljivost te metode je, da dobite ogromen trinadstropni del, s katerim se sploh ne želite ukvarjati.

Toda v teoriji in praksi obstaja tako čudovita stvar, kot je logaritemski derivat. Logaritme je mogoče organizirati umetno tako, da jih "obesite" na obeh straneh:

Opomba : Ker funkcija lahko sprejme negativne vrednosti, potem morate na splošno uporabiti module: , ki izginejo zaradi diferenciacije. Sprejemljiva je tudi trenutna zasnova, kjer je privzeto kompleksen vrednote. Ampak, če z vso strogostjo, potem je v obeh primerih treba narediti pridržek.

Zdaj morate čim bolj "razčleniti" logaritem desne strani (formule pred vašimi očmi?). Ta postopek bom opisal zelo podrobno:

Začnimo z razlikovanjem.
Oba dela zaključimo s potezo:

Izpeljanka desne strani je dokaj enostavna, ne bom je komentiral, ker če berete to besedilo, bi jo morali zanesljivo obvladati.

Kaj pa leva stran?

Na levi strani imamo kompleksna funkcija. Predvidevam vprašanje: "Zakaj, ali je pod logaritmom ena črka "y"?".

Dejstvo je, da ta "ena črka y" - JE SAM po sebi FUNKCIJA(če ni zelo jasno, glejte članek Izpeljava implicitno navedene funkcije). Zato je logaritem zunanja funkcija, "y" pa notranja funkcija. In uporabljamo pravilo diferenciacije sestavljene funkcije :

Na levi strani imamo kot zakleto izpeljanko. Nadalje, v skladu s pravilom sorazmerja, vržemo "y" od imenovalca leve strani do vrha desne strani:

In zdaj se spomnimo, o kakšni "igri"-funkciji smo govorili pri razlikovanju? Poglejmo stanje:

Končni odgovor:

Primer 12

Poiščite odvod funkcije

To je primer "naredi sam". Vzorčna zasnova primera te vrste na koncu lekcije.

S pomočjo logaritemskega odvoda je bilo mogoče rešiti kateri koli od primerov št. 4-7, druga stvar je, da so tam funkcije enostavnejše in morda uporaba logaritemskega odvoda ni zelo upravičena.

Odvod eksponentne funkcije

Te funkcije še nismo upoštevali. Eksponentna funkcija je funkcija, ki ima in stopnja in osnova sta odvisni od "x". Klasičen primer, ki vam bo naveden v katerem koli učbeniku ali na katerem koli predavanju:

Kako najti odvod eksponentne funkcije?

Treba je uporabiti pravkar obravnavano tehniko - logaritemski derivat. Na obeh straneh obesimo logaritme:

Praviloma je stopnja vzeta izpod logaritma na desni strani:

Posledično imamo na desni strani produkt dveh funkcij, ki ju bomo razlikovali po standardni formuli .

Poiščemo izpeljanko, za to oba dela priložimo pod poteze:

Naslednji koraki so enostavni:

Končno:

Če katera transformacija ni povsem jasna, prosimo, da ponovno natančno preberete razlage 11. primera.

Pri praktičnih nalogah bo eksponentna funkcija vedno bolj zapletena kot obravnavani primer predavanja.

Primer 13

Poiščite odvod funkcije

Uporabljamo logaritemski odvod.

Na desni strani imamo konstanto in produkt dveh faktorjev - "x" in "logaritem logaritma od x" (še en logaritem je ugnezden pod logaritem). Pri diferenciranju konstante je, kot se spomnimo, bolje, da jo takoj vzamemo iz predznaka derivata, da ne bo v napoto; in seveda uporabite znano pravilo :

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.

Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov najenostavnejših (in ne zelo preprostih) funkcij z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja prirastka in prirastka argumenta se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacije. . Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) sta prva delala na področju iskanja derivatov.

Zato v našem času, da bi našli odvod katere koli funkcije, ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak je treba uporabiti samo tabelo odvodov in pravila diferenciacije. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem.

Da bi našli izpeljanko, potrebujete izraz pod znakom za črto razčleniti preproste funkcije in določite, katera dejanja (zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nadalje najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika pa v pravilih diferenciacije. Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih.

Primer 1 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je odvod vsote funkcij vsota odvodov funkcij, tj.

Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod "X" enak ena, odvod sinusa pa je kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoti derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:

Primer 2 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Diferenciraj kot izpeljanko vsote, v kateri je drugi člen s konstantnim faktorjem, ga lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke:

Če še vedno obstajajo vprašanja o tem, od kod nekaj prihaja, praviloma postanejo jasni po branju tabele derivatov in najpreprostejših pravil diferenciacije. Prav zdaj gremo k njim.

Tabela odvodov enostavnih funkcij

1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto
2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "x". Vedno enako ena. Tudi to si je pomembno zapomniti
3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potenco.
4. Odvod spremenljivke na potenco -1
5. Izpeljava kvadratnega korena
6. Sinusni odvod
7. Kosinusni odvod
8. Tangentni odvod
9. Odvod kotangensa
10. Odvod arkusina
11. Odvod ark kosinusa
12. Odvod arc tangente
13. Odvod inverzne tangente
14. Odvod naravnega logaritma
15. Odvod logaritemske funkcije
16. Izpeljanka eksponenta
17. Odvod eksponentne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Odvod vsote ali razlike
2. Izpeljanka izdelka
2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem
3. Izpeljava količnika
4. Odvod kompleksne funkcije

1. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilne, nato pa na isti točki funkcije

in

tiste. odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij.

Posledica. Če se dve diferencibilni funkciji razlikujeta za konstanto, potem sta njuna odvoda enaka, tj.

2. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilni, potem je tudi njihov produkt diferencibilen na isti točki

in

tiste. odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.

Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega od faktorjev in vseh ostalih.

Na primer za tri množitelje:

3. praviloČe funkcije

na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov količnik tudi diferenciabilen.u/v in

tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda odštevalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. .

Kje pogledati na drugih straneh

Pri iskanju odvoda zmnožka in količnika v realnih problemih je vedno treba uporabiti več pravil diferenciranja hkrati, zato je več primerov o teh odvodih v članku."Odvod produkta in količnika".

Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot člena v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri konstantnem faktorju pa je vzeta iz predznaka izpeljank. To je tipična napaka, ki se pojavi na začetni stopnji učenja izpeljank, a ko povprečen učenec reši več eno-dvokomponentnih primerov, te napake povprečen študent ne dela več.

In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, v katerem u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo izpeljanka tega števila enaka nič in zato bo celoten izraz enak nič (tak primer je analiziran v primeru 10) .

Druga pogosta napaka je mehansko reševanje odvoda kompleksne funkcije kot odvoda enostavne funkcije. Zato odvod kompleksne funkcije posvečen posebnemu članku. Najprej pa se bomo naučili poiskati izpeljanke enostavnih funkcij.

Na tej poti ne morete brez transformacij izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnike v novem sistemu Windows Dejanja z močmi in koreninami in Dejanja z ulomki .

Če iščete rešitve za izpeljanke s potencami in koreni, torej, kako izgleda funkcija , nato pa sledite lekciji " Odvod vsote ulomkov s potencami in koreni".

Če imate nalogo, kot je , potem ste v lekciji "Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij".

Primeri korak za korakom - kako najti izpeljanko

Primer 3 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Določimo dele izraza funkcije: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije zmnožkov: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge:

Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru je v vsaki vsoti drugi člen z znakom minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "x" spremeni v eno in minus 5 - v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje vrednosti derivatov:

Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:

Rešitev naloge na izpeljanki pa lahko preverite na .

Primer 4 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, in imenovalec je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:

Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je produkt, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:

Če iščete rešitve takšnih problemov, v katerih morate najti odvod funkcije, kjer obstaja zvezen kup korenin in stopenj, kot je npr. potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .

Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometričnih funkcij, to je, ko je funkcija videti kot , potem imaš lekcijo "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5 Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo zmnožek, katerega eden od faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, z odvodom katere smo se seznanili v tabeli odvodov. Glede na pravilo diferenciacije produkta in tabelarno vrednost odvoda kvadratnega korena dobimo:

Rešitev naloge z izpeljavo lahko preverite na spletni kalkulator derivatov .

Primer 6 Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. Glede na pravilo diferenciacije količnika, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarno vrednost odvoda kvadratnega korena dobimo:

Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.