Цілі уроку:

• освітня:навчання розв'язання систем рівнянь, що містять однорідне рівняння, симетричних систем рівнянь;
• розвиваюча: розвиток мислення, уваги, пам'яті, вміння виділяти головне;
• виховна:розвиток комунікативних навичок.

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

Використовувані технології навчання:

• робота у групах;
• проектний метод.

Обладнання:комп'ютер, мультимедійний проектор.

За тиждень до уроку учні одержують теми творчих завдань (за варіантами).
І варіант. Симетричні системи рівнянь. Способи вирішення.
ІІ варіант. Системи, що містять однорідне рівняння. Способи вирішення.

Кожен учень, використовуючи додаткову навчальну літературу, повинен знайти відповідний навчальний матеріал, підібрати систему рівнянь та розв'язати її.
По одному учню від кожного варіанта створюють мультимедійні презентації на тему творчого завдання. Вчитель у разі потреби проводить консультації для учнів.

I. Мотивація навчальної діяльності учнів

Вступне слово вчителя
На попередньому уроці ми розглядали рішення систем рівнянь шляхом заміни невідомих. Спільного правила вибору нових змінних немає. Однак можна виділити два види систем рівнянь, коли є розумний вибір змінних:

• симетричні системи рівнянь;
• системи рівнянь, одне з яких є однорідним.

ІІ. Вивчення нового матеріалу

Учні II варіанта звітують про виконану домашню роботу.

1. Демонстрація слайдів мультимедійної презентації "Системи, що містять однорідне рівняння" (презентація 1).

2. Робота в парах учнів, що сидять за однією партою: учень II варіанта пояснює сусідові по парті рішення системи, що містить однорідне рівняння.

Звіт учнів I варіанта.

1. Демонстрація слайдів мультимедійної презентації «Симетричні системи рівнянь» (презентація 2).

Учні записують у зошиті:

2. Робота в парах учнів, які сидять за однією партою: учень I варіанта пояснює сусідові по парті рішення симетричної системи рівнянь.

ІІІ. Закріплення вивченого матеріалу

Робота у групах (у групу по 4 учні об'єднуються учні, які сидять за сусідніми партами).
Кожна із 6 груп виконує наступне завдання.

Визначити вид системи та вирішити її:

Учні у групах аналізують системи, визначають їхній вигляд, потім, під час фронтальної роботи обговорюють рішення систем.

а) система

симетрична, введемо нові змінні x+y=u, xy=v

б) система

містить однорідне рівняння.

Пара чисел (0; 0) не є рішенням системи.

IV. Контроль знань учнів

Самостійна робота з варіантів.

Розв'яжіть систему рівнянь:

Учні складають зошити вчителю на перевірку.

V. Домашнє завдання

1. Виконують учні.

Розв'яжіть систему рівнянь:

2.Виконують «сильні» учні.

Розв'яжіть систему рівнянь:

VI. Підсумок уроку

Запитання:
З якими видами систем рівнянь ви познайомилися на уроці?
Який спосіб розв'язання систем рівнянь застосовується при їх розв'язанні?

Повідомлення оцінок, отриманих учнями під час уроку.

Проблема мого проекту полягає в тому, що для успішної здачі ЄДІ потрібно вміння вирішувати різні системи рівнянь, а в курсі середньої школи їм відведено недостатньо часу, необхідного пізнати це питання глибше. Мета роботи: підготуватися до успішного складання ЄДІ. Завдання роботи: Розширити свої знання з математики, пов'язані з поняттям «симетрія». Підвищити свою математичну культуру, використовуючи поняття «симетрія» під час вирішення систем рівнянь, званих симетричними, і навіть інших завдань математики.

Концепція симетрії. Сімметрія - (ін.-грец. συμμετρία), у широкому сенсі - незмінність при будь-яких перетвореннях. Так, наприклад, сферична симетрія тіла означає, що вид тіла не зміниться, якщо його обертати у просторі на довільні кути. Двостороння симетрія означає, що право і ліво щодо будь-якої площини виглядають однаково.

Розв'язання задач за допомогою симетрії. Завдання №1 Двоє по черзі кладуть однакові монети на круглий стіл, причому монети не повинні накривати один одного. Програє той, хто не може вчинити хід. Хто виграє за правильної гри? (Інакше кажучи, який з гравців має виграшну стратегію?)

Способи розв'язання симетричних систем. Симетричні системи можна вирішувати шляхом заміни змінних, у ролі яких виступають основні симетричні многочлены. Симетрична система двох рівнянь із двома невідомими х і у вирішується підстановкою u = х + у, v = ху.

Приклад №2 3 х 2у - 2ху + 3ху 2 = 78, 2х - 3ху + 2у + 8 = 0 За допомогою основних симетричних багаточленів система може записана в наступному вигляді 3uv - 2v = 78, 2u - 3v = -8. Виражаючи з другого рівняння u = і підставляючи його в перше рівняння, отримаємо 9v2– 28v – 156 = 0. Коріння цього рівняння v 1 = 6 і v 2 = дозволяють знайти відповідні їм значення u1 = 5, u2 = - з виразу u = .

Вирішимо тепер наступну сукупність систем Вирішимо тепер наступну сукупність систем х + у = 5, і х + у = - , ху = 6 ху = - . х = 5 - у, і у = -х - , ху = 6 ху = - . х = 5 - у, і у = -х -, у (5 - у) = 6 х (-х -) = -. х = 5 - у, і у = -х - , у 1 = 3, у 2 = 2 х 1 = , х 2 = - х 1 = 2, х 2 = 3, і х 1 = , х 2 = - у 1 = 3, у 2 = 2 у 1 = - , у 2 = Відповідь: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Теореми, що використовуються під час вирішення симетричних систем. Теорема 1. (про симетричні багаточлени) Будь-який симетричний багаточлен від двох змінних представимо у вигляді функції від двох основних симетричних багаточленів Іншими словами, для будь-якого симетричного багаточлена f(x, y) існує така функція двох змінних φ(u, v), що

Теорема 2. (про симетричні багаточлени) Теорема 2. (про симетричні багаточлени) Будь-який симетричний багаточлен від трьох змінних представимо у вигляді функції від трьох основних симетричних багаточленів: Іншими словами, для будь-якого симетричного багаточлена f (x, y) існує така функція θ (u, v, w), що

Найскладніші симетричні системи – системи, містять модуль: | x - y | + y2 = 3, | x - 1 | + | y – 1 | = 2. Розглянемо цю систему окремо при х< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

б) при х ≤ у< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >х) система набуває вигляду - х + у + у 2 = 3, - х + 1 + у – 1 = 2, або - х + у + у 2 = 3, х – у = - 2, звідки знаходимо х 1 = - 3, у 1 = - 1, х 2 = - 1, у 2 = 1. Друга пара чисел належить аналізованої області, тобто є розв'язком цієї системи.

Якщо х ≥ 1, то: Якщо х ≥ 1, то: а) х > у та у< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >у і у ≥ 1 система набуває вигляду х – у + у 2 = 3, х – 1 + у – 1 = 2, або х – у + у 2 = 3, х + у = 4, звідки знаходимо х = 1, у = 3. Ця пара чисел не належить аналізованої області;

в) при х ≤ у (тоді у ≥ 1) система набуває вигляду в) при х ≤ у (тоді у ≥ 1) система набуває вигляду - х + у + у 2 = 3, х – 1 + у – 1 = 2, або - х + у + у 2 = 3, х + у = 4, звідки знаходимо х 1 = 5 + √8, у 1 = - 1 - √8; х 2 = 5 - √8, у 2 = - 1 + √8. Ці пари чисел не належать даній області. Отже, х 1 = - 1, у 1 = 1; х 2 = 1, у 2 = - 1. Відповідь: (- 1; 1); (1; - 1).

Висновок Математика розвиває мислення людини, вчить за допомогою логіки знаходити різні шляхи вирішення. Так, навчившись вирішувати симетричні системи, я зрозуміла, що використовувати їх можна не тільки для виконання конкретних прикладів, а й для вирішення різноманітних завдань. Я думаю, що проект може принести користь не лише мені. Для тих, хто захоче ознайомитися з цією темою, моя робота буде хорошим помічником.

Список використаної літератури: Башмаков М. І., «Алгебра та початки аналізу», 2-е видання, Москва, «Освіта», 1992, 350 стор. », довідник; видання третє, перероблене та доповнене; Київ, Наукова, Думка, 1987, 648 стор. Шаригін І. Ф., «Математика для школярів старших класів», Москва, видавничий дім «Дрофа», 1995, 490 стор. Інтернет-ресурси: http://www.college. ru/

Робота може використовуватися для проведення уроків та доповідей на предмет "Математика"

Готові презентації з математики використовують як наочні посібники, які дозволяють вчителю чи батькові продемонструвати тему, що вивчається, з підручника за допомогою слайдів і таблиць, показати приклади з вирішення завдань і рівнянь, а також перевірити знання. В даному розділі сайту можна знайти та завантажити безліч готових презентацій з математики для учнів 1,2,3,4,5,6 класу, а також презентації з вищої математики для студентів ВНЗ.

Отже, для u отримуємо рівняння Згадаймо теорему про раціональне коріння багаточленів (§ 2.1.5). Раціональне коріння нашого рівняння слід шукати серед дільників числа –4. Перебираючи всі дільники, переконуємося, що раціонального коріння у рівняння немає. Однак ця теорема не була теоремою існування коренів. Зазначена теорема констатувала лише таке: якщо в многочлена з цілими коефіцієнтами існують раціональні коріння (але для них є ще можливість НЕ існувати), то це коріння матиме певний спеціальний вигляд. Той випадок, коли раціонального коріння немає, ця теорема і не описувала.

Спробуймо знайти коріння рівняння вихідної системи серед ірраціональних чисел. Однак для цього доведеться виявити деяку винахідливість: стандартна заміна для симетричних систем тут очевидно не працює.

Зводячи друге рівняння в куб, отримаємо: Таким чином, за теоремою Вієта, і є корінням квадратного рівняння Звідси і Значить,

Вивчаючи додаткову літературу щодо вирішення систем рівнянь, я зустрілася з новим видом систем – симетричною. І я поставила собі за мету:

Узагальнити наукові відомості на тему «Системи рівнянь».

Розібратися та навчитися вирішувати способом запровадження нових змінних;

3) Розглянути основні теорії, пов'язані з симетричними системами рівнянь

4) Навчитися розв'язувати симетричні системи рівнянь.

Історія розв'язання систем рівнянь.

Здавна застосовувалося виключення невідомих із лінійних рівнянь. У 17-18 ст. в. прийоми виключення розробляли Ферма, Ньютон, Лейбніц, Ейлер, Безу, Лагранж.

У сучасному записі система двох лінійних рівнянь із двома невідомими має вигляд: а1х + b1у = с1, а2х + b2х = с2 х = с1b1 – с2b; у = а1с2 – а2с1 Рішення цієї системи виражаються формулами.

а1b2 – а2b1 а1b2 – а2b1

Завдяки методу координат, створеному у 17 ст. Ферма і Декарт, стало можливим вирішувати системи рівнянь графічно.

У давньовавилонських текстах, написаних у 3-2 тисячоліттях до зв. е. , міститься чимало завдань, розв'язуваних за допомогою складання систем рівнянь, які вводять і рівняння другого ступеня.

Приклад №1:

Площі двох своїх квадратів я склав: 25. сторона другого квадрата дорівнює стороні першого та ще 5. Відповідна система рівнянь у відповідному записі має вигляд: х2 + у2 = 25, у = х = 5

Діофант, який не мав позначень для багатьох невідомих, докладав чимало зусиль для вибору невідомого таким чином, щоб звести рішення системи до вирішення одного рівняння.

Приклад №2:

«Знайти два натуральні числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а сума їх квадратів 208».

Завдання так само вирішували упорядкуванням системи рівнянь, х + у = 20, але вирішував х2 + у2 = 208

Діофант, вибираючи як невідомий половину різниці шуканих чисел, тобто.

(х - у) = z, + (х + у) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- не задовольняє умову задачі, тому якщо z = 2х = 12, а у = 8

Поняття системи рівнянь алгебри.

У багатьох завданнях потрібно знайти кілька невідомих величин, знаючи, що інші, утворені з їх допомогою величини (функції від невідомих) рівні один одному або якимось даним величинам. Розглянемо найпростіший приклад.

Прямокутна ділянка землі площею 2400 м2 обгороджена парканом завдовжки 200м. знайти довжину та ширину ділянки. Фактично «алгебраїчною моделлю» цього завдання є система із двох рівнянь та однієї нерівності.

Можливі обмеження-нерівності потрібно мати на увазі завжди. Коли ви вирішуєте завдання складання систем рівнянь. Але все ж таки головне – вирішити самі рівняння. Про методи, які застосовуються, я й розповім.

Почнемо з визначень.

Системою рівнянь називається набір із кількох (більше одного) рівнянь, з'єднаних фігурною дужкою.

Фігурна дужка означає, що всі рівняння системи повинні виконуватися одночасно, і показує, що потрібно знайти таку пару чисел (х; у), яка перетворює кожне рівняння на правильну рівність.

Рішенням системи називають таку пару чисел х і у, які при підстановці в цю систему звертають кожне її рівнянь у правильну числову рівність.

Вирішити систему рівнянь – це означає знайти всі її рішення або встановити, що їх немає.

Метод підстановки.

Спосіб підстановки полягає в тому, що в одному з рівнянь виражають одну змінну через іншу. Отримане вираз підставлять на інше рівняння, яке після цього звертається до рівняння з однією змінною, а потім вирішують його. Значення цієї змінної, що вийшло, підставляють в будь-яке рівняння вихідної системи і знаходять другу змінну.

Алгоритм.

1. Виразити через х з одного рівняння системи.

2. Підставити отримане вираз замість у інше рівняння системи.

3. Вирішити отримане рівняння щодо х.

4. Підставити по черзі кожен із знайдених на третьому кроці коренів рівняння замість х у вираз у х, отримане на першому кроці.

5) Записати відповідь у вигляді пар значень (х; у).

Приклад №1 у = х - 1,

Підставимо до другого рівняння у = х – 1, отримаємо 5х + 2 (х – 1) = 16, звідки х = 2. підставимо отриманий вираз у перше рівняння: у = 2 – 1 = 1.

Відповідь: (2; 1).

Приклад №2:

8у - х = 4, 1) 2 (8у - 4) - 21у = 2

2х - 21у = 2 16у - 8 - 21у = 2

5у = 10 х = 8у - 4, у = -2

2х - 21у = 2

2) х = 8 * (-2) - 4 х = 8у - 4, х = -20

2 (8у - 4) - 21у = 2 х = 8у - 4, у = -2 х = -20, у = -2

Відповідь: (-20; -2).

Приклад №3: х2 + у +8 = ху, 1) х2 + 2х + 8 = х * 2х у - 2х = 0 х2 + 2х + 8 = 2х2

Х2 + 2х + 8 = 0 х2 + у + 8 = ху, х2 - 2х - 8 = 0 - квадратне рівняння у = 2х х1 = -2 х2 = 4 х2 + 2х + 8 = х * 2х 2) у1 = 2 * (-2) у = 2х у1 = -4 у2 = 2 * 4 х1 = -2 у2 = 8 х2 = 4 у = 2х х1 = -2, х2 = 4 у1 = -4, у2 = 8

Отже (-2; -4); (4; 8) – рішення цієї системи.

Спосіб складання.

Метод складання полягає в тому, що якщо дана система складається з рівнянь, які при отриманому додаванні утворюють рівняння з однією змінною, то, вирішивши це рівняння, ми отримаємо значення однієї зі змінних. Значення другої змінної знаходять, як і способі підстановки.

Алгоритм розв'язання систем способом складання.

1. Зрівняти модулі коефіцієнтів за одного з невідомих.

2. Складаючи або віднімаючи отримані рівняння, знайти одне невідоме.

3. Підставляючи знайдене значення одне із рівнянь вихідної системи, знайти друге невідоме.

Приклад №1. Розв'язати систему рівнянь способом додавання: х + у = 20, х – у = 10

Віднімемо з першого рівняння друге, отримаємо

Виразимо з другого виразу х = 20 - у

Підставимо у = 5 у цей вираз: х = 20 – 5 х = 15.

Відповідь: (15; 5).

Приклад №2:

Представимо у вигляді різниці рівняння запропонованої системи, отримаємо

7у = 21, звідки у = 3

Підставимо це значення у виражене з другого рівняння системи х = отримаємо х = 4.

Відповідь: (4; 3).

Приклад №3:

2х + 11у = 15,

10х - 11у = 9

Склавши дані рівняння, маємо:

2х + 10х = 15 + 9

12х = 24х = 2, підставивши це значення у друге рівняння, отримаємо:

10 * 2 - 11у = 9, звідки у = 1.

Рішенням цієї системи є пара: (2; 1).

Графічний спосіб розв'язання систем рівняння.

Алгоритм.

1. Побудувати графіки кожного із рівнянь системи.

2. Наїті координати точки перетину побудованих прямих.

Випадок взаємного розташування прямих на площині.

1. Якщо прямі перетинаються, тобто мають одну загальну точку, тоді система рівнянь має одне рішення.

2. Якщо прямі паралельні, т. е. немає спільних точок, то система рівнянь немає рішень.

3. Якщо прямі збігаються, тобто мають безліч точок, тоді система рівнянь має безліч рішень.

Приклад №1:

Розв'язати графічно систему рівнянь х – у = -1,

Виразимо з першого та другого рівняння у: у = 1 + х, у = 4 - 2х

Побудуємо графіки кожного з рівняння системи:

1) у = 1 + х - графіком функції є пряма х 0 1 (1; 2) у 1 2

2) у = 4 - 2х - графіком функції є пряма х 0 1 у 4 2

Відповідь: (1; 2).

Приклад № 2: у х + 2у = 6,

4у = 8 – 2х х у = , у = у = - графіком функції є пряма х 0 2 у 3 2 у = - графіком функції є пряма х 0 2 у 2 1

Відповідь: рішень немає.

Приклад № 3: у х - 2у = 2,

3х - 6у = 6 х - 2у = 2, х - 2у = 2 х у = - Графіком функції є пряма х 0 2 у -1 0

Відповідь: система має безліч рішень.

Метод запровадження нових змінних.

Метод введення нових змінних полягає в тому, що вводиться нова змінна тільки в одне рівняння або дві нових змінних відразу для обох рівнянь, далі рівняння або рівняння вирішуються щодо нових змінних, після чого залишається вже вирішити простішу систему рівнянь, з якої знаходимо рішення.

Приклад №1:

Х + у = 5

Позначимо = z, тоді =.

Перше рівняння набуде вигляду z + = , воно рівносильне 6z – 13 + 6 = 0. Вирішивши рівняння, що вийшло, маємо z = ; z =. Тоді = або = , тобто перше рівняння розпалося на два рівняння, отже, маємо дві системи:

Х + у = 5 х + у = 5

Рішення цих систем є рішеннями системи.

Рішенням першої системи є пара: (2; 3), а другий-пари (3; 2).

Отже, рішеннями системи + = , х + у = 5

Є пари (2; 3); (3; 2)

Приклад №2:

Нехай = Х, а = У.

Х = , 5 * - 2У = 1

5Х - 2У = 1 2,5 (8 - 3У) - 2У = 1

20 - 7,5У - 2У = 1

Х = , -9,5У = -19

5 * - 2У = 1 У = 2

Зробимо зворотну заміну.

2 х = 1, у = 0,5

Відповідь: (1; 0,5).

Симетричні системи рівнянь.

Система з n невідомими називається симетричною, якщо вона не змінюється під час перестановки невідомих.

Симетрична система двох рівнянь із двома невідомими х і у вирішується підстановкою u = х + у, v = ху. Зауважимо, що вирази, що зустрічаються в симетричних системах виражаються через u і v. Наведемо кілька таких прикладів, що становлять безперечний інтерес для вирішення багатьох симетричних систем: х2 + у2 = (х + у) 2 - 2ху = u2 - 2v, х3 + у3 = (х + у) (х2 -ху + у2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, х2 + ху + у2 = u2 - 2v + v = u2 - v і т.д.

Симетрична система трьох рівнянь щодо невідомих х у z вирішуються підстановкою х + у + z = u, ху + уz + хz = w. Якщо знайдено u, v, w, складається кубічне рівняння t2 – ut2 + vt – w = 0, коріння якого t1, t2, t3 у різних перестановках є рішеннями вихідної системи. Вирази, що найчастіше зустрічаються в таких системах виражаються через u, v, w наступним чином: х2 + у2 + z2 = u2 - 2v х3 + у3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Приклад № 1: х2 + ху + у2 = 13, х + у = 4

Нехай х + у = u, ху = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 - v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Зробимо зворотну заміну.

Відповідь: (1; 3); (3; 1).

Приклад № 2: х3 + у3 = 28, х + у = 4

Нехай х + у = u, ху = v.

u3 - 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Зробимо зворотну заміну.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 - у ху = 3 х = 4 - у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Відповідь: (1; 3); (3; 1).

Приклад № 3: х + у + ху = 7, х2 + у2 + ху = 13

Нехай x = y = u, x = v.

u + v = 7, u2 - v = 13 u2 - v = 13 u2 - 7 + u = 13 u2 + u = 20 v = 7 - u, u (u + 1) = 20 u2 - v = 13 u = 4 v = 7 - u, u = 4 v = 3, u = 4

Зробимо зворотну заміну.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 - у ху = 3 х = 4 - у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Відповідь: (1; 3); (3; 1).

Приклад № 4: х + у = 5, х3 + у3 = 65

Нехай х + у = u, ху = v.

u = 5, u3 - 3uv = 65 u3 - 3uv = 65 125 - 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Зробимо зворотну заміну.

х + у = 5, ху = 4 х = 5 – у, ху = 4 х = 5 – у, у (5 – у) = 4 х = 5 – у у1 = 1, у2 = 4 х1 = 4, х2 = 1, у1 = 1, у2 = 4

Відповідь: (4; 1); (1; 4).

Приклад №5: х2 + ху + у2 = 49, х + у + ху = 23

Зробимо заміну невідомих, система набуде вигляду u2 + v = 49, u + v = 23

Склавши ці рівняння, отримаємо u2 + u - 72 = 0 з корінням u1 = 8, u2 = -9. Відповідно v1 = 15, v2 = 32. Залишається вирішити сукупність систем х + у = 8, х + у = -9, ху = 15 ху = 32

Система х + у = 8 має рішення х1 = 3, у1 = 5; х2=5, у2=3.

Система х + у = -9, дійсних рішень немає.

Відповідь: (3; 5), (5; 3).

Приклад №6. Розв'язати систему рівнянь.

2х2 - 3ху + 2у2 = 16, х + ху + у + 3 = 0

Використовуючи основні симетричні багаточлени u = y + x та v = ху, отримаємо наступну систему рівнянь

2u2 - 7v = 16, u + v = -3

Підставляючи з другого рівняння системи вираз v = -3 - u у перше рівняння, отримаємо наступне рівняння 2u2 + 7u + 5 = 0, корінням якого є u1 = -1 і u2 = -2,5; відповідно їм значення v1 = -2 і v2 = -0,5 виходить з v = -3 – u.

Тепер залишилося вирішити наступну сукупність систем х + у = -1, і х + у = -2,5, ху = -2 ху = -0,5

Рішеннями цієї сукупності систем, отже вихідної системи (з їх еквівалентності), такі: (1; -2), (-2; 1), (;).

Приклад № 7:

3х2у - 2ху + 3ху2 = 78,

2х - 3ху + 2у + 8 = 0

За допомогою основних симетричних багаточленів система може бути записана в наступному вигляді

3uv - 2v = 78,

Виражаючи з другого рівняння u = і підставляючи його в перше рівняння, отримаємо 9v2 - 28v - 156 = 0. Коріння цього рівняння v1 = 6 і v2 = - дозволяють знайти відповідні значення u1 = 5, u2 = - з виразу u =.

Вирішимо тепер наступну сукупність систем х + у = 5, і х + у = - , ху = 6 ху = -.

х = 5 - у, і у = -х - , ху = 6 ху = -.

х = 5 - у, і у = -х -, у (5 - у) = 6 х (-х -) = -.

х = 5 - у, і у = -х - , у1 = 3, у2 = 2 х1 = , х2 = - х1 = 2, х2 = 3, і х1 = , х2 = - у1 = 3, у2 = 2 у1 = -, у2 =

Відповідь: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Висновок.

У процесі написання статті я познайомилася з різними видами систем рівнянь алгебри. Узагальнила наукові відомості на тему «Системи рівнянь».

Розібралася та навчилася вирішувати способом запровадження нових змінних;

Розглянула основні теорії, пов'язані із симетричними системами рівнянь

Навчилася розв'язувати симетричні системи рівнянь.

− 4 1 + 4

−6

27 ≡ 0,

−4 x + 4 y + 27

+(y +6 )

x = 1, x

(x − 1 )

= −6.

y = −6

Зауважимо, що рішення другого рівняння – це ще рішення системи. Отримані числа необхідно підставити в перше рівняння системи, що залишилося. У разі після підстановки отримуємо тотожність.

Відповідь: (1, - 6).

§5. Однорідні рівняння та системи
Функція f (x, y)	називається	однорідний		k , якщо
f (tx, ty) = tk f (x, y).	Наприклад, функція f (x , y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
є однорідним ступенем 4, т. до.		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx) 2 (ty) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2). Рівняння f (x, y) = 0, де				f (x, y) -

однорідна функція називається однорідною. Воно зводиться до рівня-

ня з одним невідомим, якщо ввести нову змінну t = x y .

f(x, y) = a,

Система з двома змінними g (x, y) = b, де f (x, y), g (x, y) –

однорідні функції одного й того ж ступеня називається однорідною. Якщо ab ≠ 0 , помножимо перше рівняння на b , друге – на a та ви-

шануємо одне з іншого – отримаємо рівносильну систему

bf(x, y) – ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

Перше рівняння заміною змінних t =

(або t =

) зведеться до

рівняння з одним невідомим.

Якщо a = 0

(b = 0), то рівняння f (x, y) = 0 (g (x, y) = 0) заміною

змінних t =

(або t =

) зведеться до рівняння з одним невідомим-

− xy + y

21 ,

Приклад 20. (МДУ, 2001, хімфак) Розв'яжіть систему

− 2xy + 15 = 0.

2012-2013 навч. рік, №1, 11 кл. Математика. Алгебраїчні рівняння, нерівності, системи

− xy + y 2 = 21,

− xy + y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = − 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12y 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3 y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3; −

3 ) , (4; 5) ,

(− 4; − 5) . ♦

§6. Симетричні системи

f(x, y)

називається

симетричної,

f(x, y) = f(y, x).

f(x, y) = a

Система рівнянь виду

де f (x, y), g (x, y) - симмет-

g (x, y) = b,

річні, називається симетричною системою. Такі системи вирішують

ються частіше	всього за допомогою введення нових	змінних
x + y = u, xy

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17,

Приклад 21. Розв'яжіть систему рівнянь

x + xy + y = 5.

♦ Ця система алгебри (симетрична), зазвичай вона вирішується заміною x + y = u , xy = v . Помітивши, що

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = (x + y ) (x 2 − xy + y 2 ) + x 3 y 3 =

= (x + y) ((x + y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u (u2 − 3 v) + v3 ,

перепишемо систему у вигляді

© 2012, ЗФТШ МФТІ. Колесникова Софія Іллівна

2012-2013 навч. рік, №1, 11 кл. Математика. Алгебраїчні рівняння, нерівності, системи

− 3 uv + v

u = 5 − v,

6 = 0

V = 5

−5 v

v = 3, u = 2

(У старих змінних)

x + y = 2,

x = 2 − y ,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 − y,

x = 2, y = 1,

y −3 y + 2 = 0

x = 1, y = 2.

xy = 2,

Відповідь: (2;1),

(1; 2) . ♦

Література

1. С. І. Колесникова «Інтенсивний курс підготовки до Єдиного державного іспиту». Москва, Айріс - Прес;

2. "Рішення складних завдань Єдиного Державного іспиту" Москва, Айріс - Прес або "Вако", 2011;

3. Журнал "Потенціал" №№1–2 за 2005 р – статті С. І. Колесникової «Ірраціональні рівняння» та «Ірраціональні нерівності»;

4. С. І. Колесникова «Ірраціональні рівняння», Москва, 2010,

ТОВ «Абетка»;

5. С. І. Колесникова «Ірраціональні нерівності», Москва, 2010, ТОВ «Абетка»;

6. С. І. Колесникова «Рівняння та нерівності, що містять модулі», Москва, 2010, ТОВ «Абетка».

Контрольні питання

1(2). Знайдіть найменшу довжину проміжку, який містить усі розв'язки нерівності 5x + 1 ≥ 2(x − 1) .

2(2). Розв'яжіть нерівність x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (не потрібно вирішувати кубічне рівняння, тому що праворуч і ліворуч є множник x − 2 ).

3(2). Розв'яжіть нерівність 2 − x ≥ x − 3.

4(2). Знайдіть найменшу довжину проміжку, якому належить

тиснуть усі розв'язки нерівності	x2 + 5 x − 84	≤ 0 .
	(x + 13) (x + 14)

5(3). Знайдіть суму квадратів цілих рішень нерівності

© 2012, ЗФТШ МФТІ. Колесникова Софія Іллівна

2012-2013 навч. рік, №1, 11 кл. Математика. Алгебраїчні рівняння, нерівності, системи

4 − x − 8 + x ≤ x +6 .

6(3). Розв'яжіть нерівність 5 + x − 8 − x ≤ 3 − x .

7(3). Розв'яжіть нерівність		− x 3 − x −1			≤ x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8(3). Розв'яжіть нерівність		4 − x −(x + 2 ) )(					≤ 0.
			(x + 1) (x - 2) (x - 3)

9(4). Знайдіть найменшу довжину проміжку, якому належить

тиснуть усі розв'язки нерівності
			x + 5				x + 2				144 − x< 0.
			X −2				4 x −5		6x − 6

10(2). Знайдіть найменшу довжину проміжку, який містить усі розв'язки нерівності 8 x − 8 ≤ 32 + 4x − x 2 .

11(4). Знайдіть суму квадратів всіх цілих рішень нера-

2(2). Знайдіть найменшу довжину проміжку, що містить
			(x − 1 )3 (x + 3 )
всі рішення нерівності										≤ 0 .
			2x − 1				x − 2		) (x − 1 )

3(2). Розв'яжіть нерівність

4 (x − 3 ) 4 ≥ 4 (x − 7 ,5 ) 4 .

4(4). Розв'яжіть нерівність

x2 + 3 x − 4

x 2 − 16

2x 2 + 3x − 20

5(3). Розв'яжіть нерівність (x 2	X +1 ) 2 −2 x 3 + x 2 + x −3 x 2		≥ 0 .
венства 4 − 2x − 1 ≤ 3.	Завдання
	− 5x + 6 + 9 − 2x − 5	≤ 0 .
1(3). Розв'яжіть нерівність
19x 2 − 4x 3 − 4x + 19

10x 2 − 17x − 6

6(4). Знайдіть усі a , при яких рівняння

4 x −

функція f(x) = x 2 + 4x +

x 2 −

x − 1

− a приймає тільки

невід'єм-

тільні значення.

8(4). Розв'яжіть рівняння 4 x − 3

x − 1

5x + 14 − 3

5x + 14 − 1

9(4). Розв'яжіть рівняння

x 2 − 5 +

x 2 −3 = x +1 +

x +3.

24 − x 2

9 2 x

10 (3). Розв'яжіть нерівність

≥ 0 .

x2 − 4 7 x − 10

11(3). Три гонщики стартують одночасно з однієї точки кругової траси та їдуть із постійними швидкостями в одному напрямку. Перший гонщик вперше наздогнав другого, роблячи своє п'яте коло, у точці, діаметрально протилежній старту, а через півгодини після цього він вдруге, крім моменту старту, наздогнав третього гонщика. Другий гонщик уперше наздогнав третю через 3 години після старту. Скільки кіл за годину робить перший гонщик, якщо другий проходить коло не менше ніж за двадцять хвилин?

© 2012, ЗФТШ МФТІ. Колесникова Софія Іллівна