Виконала Мореншільдт І.К. група 1.45.36 Фрунзенський район Школа №314 Викладач Корольова О.П. Санкт-Петербург 2006р. * Санкт-Петербурзький ЦЕНТР ІНФОРМАЦІЙНИХ технологій та телекомунікацій ВЗАЄМНО ЗВОРОТНІ ФУНКЦІЇ

Показова та логарифмічна функція Тригонометричні функції

Основні визначення Приклад рівнянь Графіки зворотних функцій Показова та логарифмічна функція Функції синус та арксинус Функції косинус та арккосинус Функції тангенс та арктангенс Функції котангенс та арккотангенс Залік Джерела Зміст Закінчити

Обернена функція Якщо функція y=f (x) приймає кожне своє значення лише за одного значення х, то цю функцію називають оборотною. Для такої функції можна виразити залежність значень аргументу від значень функції.

Приклад побудови функції, зворотної даної Частковий випадок Дана функція у = 3х +5 Рівняння щодо х Замінимо х на у Функції (1) і (2) взаємно зворотні Загальний випадок y = f (x) - оборотна функція Визначена функція x = g (y ) Замінимо х на у у = g (x) Функції y = f (x) і у = g (x) взаємно зворотні

Графіки обернених функцій ООФ ОЗФ ОЗФ ООФ Х У Х Y

Показова та логарифмічна функції y=log a x y=a x y=x a>1

Функції sin x та arcsin x Розглянемо функцію y=sin x на відрізку Функція монотонно зростає. ОЗФ [-1; 1]. Функція у = arcsin x є зворотною для функції y = sinx. [ -  ;  ] 2 2

Функції cos x і arccos x Розглянемо функцію у = з s x на відрізку Функція монотонно зменшується. ОЗФ [-1; 1]. Функція y = arccos x є зворотною для функції у = зі sx.

Функції tg x та arctg x Розглянемо функцію y= tg x на інтервалі Функція монотонно зростає. ОЗФ - безліч R . Функція y = arctg x є зворотною для функції y = tg x. (-  ; ) 2 2

Функції ctg x та arcctg x Розглянемо функцію y= ctg x на проміжку (0; ). Функція монотонно зменшується. ОЗФ безліч R . Зворотною є функція у = arcctg x.

Залік по темі «Взаємно зворотні функції» Питання №1 Питання №2 Питання №3 Питання №4 Питання №5 Закінчити Закінчити

Питання № 1 Графіки взаємно зворотних функцій розташовані в системі координат симетрично щодо: Початку координат Прямий у = х Осі OY Осі OX

Питання № 2 Як пов'язані область визначення вихідної та область значень зворотної функції? Збігаються Незалежні

Питання № 3 Яка функція є зворотною до логарифмічної функції? Ступінна Лінійна Квадратична Показова

Питання № 4 Функція y = arcctg x є зворотною для функції y = sin x y = tg x y = ctg x y = cos x

Питання № 5 Тема «Взаємно зворотні функції» є Елементарною Моєю улюбленою Легкою Зрозумілою

Ура! Ура! Ура! Молодець, вчений!

Відповідь неправильна Повтори з початку!

Неправильно! Я обурений твоєю відповіддю!

Джерела Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ/Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін. – 12-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с. Вивчення алгебри та почав аналізу у 10-11 класах: Кн. для вчителя/Н.Є. Федорова, М.В. Ткачева. - 2-ге вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 205 с. Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу для 10 класу: Посібник для вчителя / Б.М. Івлєв, С.М. Саакян, С.І. Шварцбурд. - 2-ге вид., перероб. - М.: Просвітництво, 1998. -143 с. Графіки зворотних тригонометричних функцій http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Тема: "Взаємно зворотні функції".

Цілі уроку:

Освітні:

Повторити та узагальнити знання учнів на тему «Функція», вивчені в 9 класі. Познайомитись із взаємно зворотними функціями, вивчити умови існування зворотної функції та її властивості, навчитися будувати графіки зворотних функцій.

Розвиваючі:

Розвивати творчу та розумову діяльність учнів, їх інтелектуальні якості: здатність до «бачення» проблеми.

Формувати вміння чітко та ясно викладати свої думки, досліджувати, аналізувати, порівнювати, робити висновки.

Розвивати інтерес учнів до самостійної творчості.

Розвивати просторову уяву учнів.

Виховні:

Виховувати вміння працювати з наявною інформацією у незвичайній ситуації.

Виховувати акуратність та сумлінність.

Здійснювати естетичне виховання.

Тип уроку:комбінований.

Обладнання:

• мультимедійний проектор;

  додаток до уроку: (Презентація) на електронному носії;

Засоби навчання: комп'ютери, програмаExcel, медіапроектор, слайдова презентація.

Демонстрації: графіки функцій, побудовані на одній системі координат.

Форми організації навчальної діяльності: індивідуальна, діалог, робота з текстом слайду, дослідницька робота у зошиті.

Методи: наочний, словесний,графічний, дослідницький.

Хід уроку.

1. Вступне слово вчителя. Настановна бесіда. Психологічний настрій учнів.

На уроці ми з вами повинні повторити і узагальнити знання на тему «Функція», вивчені в 9 класі, познайомитися із взаємно зворотними функціями, вивчити умови існування зворотної функції та її властивості, навчитися будувати графіки зворотних функцій. Побажаємо один одному успіхів та плідної роботи.

2. Повторення пройденого матеріалу на тему «Функції та його графіки». презентація.

Слайди 2-10. Фронтальна робота із класом.

3. Вивчення нового матеріалу. Навчальна бесіда з елементами дослідження та демонстрацією (слайди 11-24)

Приклад залежності. Кожному значенню функції відповідає значення аргументу.

Для таких функцій можна виразити залежність значень аргументу від значень функції.

Завдання.

Знайдіть область визначення та область значень взаємно зворотних функцій.

4. Закріплення знань.

Конспекти уроків на тему «Зворотна функція»

Урок 1. Лекція на тему "Зворотна функція"

Ціль: Сформувати теоретичний апарат на тему. Ввести

Поняття оборотної функції;

Поняття зворотної функції;

Сформулювати та довести достатню умову оборотності

функції;

Основні властивості взаємно зворотних функцій.

План уроку-лекції

Організаційний момент.

Актуалізація знань учнів, необхідна сприйняття нової теми.

Викладення нового матеріалу.

Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку-лекції

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація знань. ( Фронтальне опитування на тему попереднього уроку.)

Для учнів на інтерактивній дошці демонструється графік функції (рис. 1). Вчителем формулюється завдання – розглянути графік функції та перерахувати вивчені властивості функції. Учні перераховують властивості функції відповідно до схеми дослідження. Вчитель праворуч від графіка функції маркером на інтерактивній дошці записує ці властивості.

Мал. 1

Властивості функції:

3. Постановка цілі перед учнями.

Після закінчення дослідження вчитель повідомляє, що сьогодні на уроці вони познайомляться ще з однією властивістю функції – оборотністю. Для осмисленого вивчення нового матеріалу вчитель пропонує хлопцям познайомитись з основними питаннями, на які учні повинні дати відповідь після закінчення уроку. Питання як роздавального матеріалу є в кожного учня (лунає до уроку).

Запитання:

1. Яка функція називається оборотною?

2. Яка функція називається зворотною?

3. Як пов'язані між собою області визначення та безлічі значень прямої та зворотної функцій?

4. Сформулюйте достатню умову оборотності функції.

5. Чи функція зворотна зростаючою є спадною чи зростаючою?

6. Чи функція зворотна непарною є парною чи непарною?

7. Як розташовані графіки взаємно зворотних функцій?

4. Викладення нового матеріалу.

1) Поняття оборотної функції. Достатня умова оборотності.

На інтерактивній дошці вчитель проводить порівняння графіків двох функцій, у яких області визначення та безлічі значень однакові, але одна з функцій монотонна, а інша ні (рис.2). Таким чином, функція має властивість, не характерну для функції: яке б число з множини значення функціїf ( x ) не взяти, воно є значенням функції лише в одній точці, тим самим вчитель підводить учнів до поняття оборотної функції.

Мал. 2

Потім вчитель формулює визначення оборотної функції та проводить доказ теореми про оборотну функцію, використовуючи графік монотонної функції на інтерактивній дошці.

Визначення 1. Функцію називаютьоборотний якщо будь-яке своє значення вона приймає тільки в одній точці множиниX .

Теорема. Якщо функція монотонна на множиніX , то вона оборотна.

Доведення:

Нехай функція y=f(x) зростає на безлічіХі нехай х 1 ≠х 2 – дві точки множиниХ .

Для певності нехайх 1 < х 2 . Тоді з того, щох 1 < х 2 в силу зростання функції випливає, щоf(х 1 ) < f(х 2 ) .

Отже, різним значенням аргументу відповідають різні значення функції, тобто. функція оборотна.

Аналогічно доводиться теорема у разі спадної функції.

(По ходу доказу теореми вчитель маркером робить всі необхідні пояснення на кресленні)

Перед тим як сформулювати визначення зворотної функції вчитель просить учнів визначити, яка із запропонованих функцій оборотна? На інтерактивній дошці показано графіки функцій (рис. 3, 4) та записано кілька аналітично заданих функцій:

а ) б )

Мал. 3 Мал. 4

в ) y = 2x + 5; г ) y = - + 7.

Зауваження. Монотонність функції, єдостатнім умовою існування зворотної функції. Але вононе є необхідною умовою.

Вчитель наводить приклади різних ситуацій, коли функція не монотонна, але оборотна, коли функція не монотонна і не оборотна, коли монотонна і оборотна.

2) Поняття зворотної функції. Алгоритм складання зворотної функції.

Визначення 2. Нехай оборотна функціяy=f(x) визначено на безлічіХ та область її значеньЕ(f)=Y . Поставимо у відповідність кожномуyз Y то єдине значеннях, за якого f(x)=y. Тоді отримаємо функцію, яка визначена наY, а Х - Область значень функції. Цю функцію позначаютьx=f -1 (y),і називають зворотній по відношенню до функціїy=f(x), .

Потім вчитель знайомить учнів зі способом перебування зворотної функції, заданої аналітично.

Алгоритм складання зворотної функції для функції y = f ( x ), .

Переконайтеся, що функціяy=f(x) оборотна на проміжкуХ .

Виразити зміннухчерез уз рівняння y=f(x), враховуючи у своїй, що.

В отриманій рівності поміняти місцямихі у. Замість х = f -1 (y)пишуть y=f -1 (x).

На конкретних прикладах вчитель показує, як використовувати даний алгоритм.

приклад 1. Показати, що для функціїy=2x-5

Рішення . Лінійна функціяy=2x-5визначено на R, зростає на R і область її значень єR. Отже, зворотна функція існує наR . Щоб знайти її аналітичний вираз, вирішимо рівнянняy=2x-5щодо х ; отримаємо. Переозначимо змінні, отримаємо потрібну зворотну функцію. Вона визначена та зростає на R.

приклад 2. Показати, що для функціїy=x 2 , х ≤ 0 існує зворотна функція і знайти її аналітичний вираз.

Рішення . Функція безперервна, монотонна у сфері визначення, отже, вона оборотна. Проаналізувавши області визначення та безлічі значень функції, робиться відповідний висновок про аналітичний вираз для зворотної функції, що має вигляд.

3) Властивості взаємно зворотних функцій.

Властивість 1.Якщо g – функція зворотна до f , то й f – функція зворотна до g (функції взаємно зворотні), причомуD ( g )= E ( f ), E ( g )= D ( f ) .

Властивість 2. Якщо функція зростає (зменшується) на множині Х, а У - область значень функції, то зворотна функція зростає (зменшується) на У.

Властивість 3. Щоб отримати графік функції, зворотної до функції, треба графік функції перетворити симетрично щодо прямоїу=х .

Властивість 4. Якщо непарна функція оборотна, то зворотна їй теж непарна.

Властивість 5.Якщо функції f ( x ) і взаємно зворотні, то для кожного справедливо, а для кожного справедливо.

приклад 3. Побудувати графік зворотної функції, якщо це можливо.

Рішення. На всій області визначення дана функція немає зворотної, оскільки вона монотонна. Тому розглянемо проміжок, у якому функція монотонна: отже, існує зворотна. Знайдемоїї . Для цього висловимоx черезy : . Перепозначимо – зворотна функція. Побудуємо графіки функцій (рис. 5) і переконаємося, що вони симетричні щодо прямоїy = x .

Мал. 5

приклад 4. Знайдіть безліч значень кожної із взаємно зворотних функцій, якщо відомо, що.

Рішення. Відповідно до властивості 1 взаємно зворотних функцій, маємо.

5 . Підбиття підсумків

Проведення діагностичної роботи. Метою роботи є визначення рівня засвоєння навчального матеріалу, розглянутого на лекції. Учням пропонується відповісти питання, сформульовані на початку лекції.

6 . Постановка домашнього завдання.

1. Розібратися з матеріалом лекції, вивчити основні визначення та формулювання теорем.

2. Довести властивості взаємно зворотних функцій.

Урок 2. Практикум на тему «Визначення зворотної функції. Достатня умова оборотності функції»

Ціль: сформувати вміння застосовувати теоретичні знання на тему під час вирішення завдань, розглянути основні типи завдань вивчення функції на оборотність, на побудова зворотної функції.

План уроку-практикуму:

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація знань (фронтальна робота учнів).

3. Закріплення вивченого матеріалу (вирішення завдань).

4. Підбиття підсумків уроку.

5. Постановка домашнього завдання.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

Привітання вчителя, перевірка готовності до уроку.

2. Актуалізація знань. ( фронтальна робота учнів).

Учням пропонується виконати усно такі завдання:

1. Сформулюйте достатню умову оборотності функції.

2. Серед функцій, графіки яких зображені на малюнку вкажіть ті, що є оборотними.

3. Сформулюйте алгоритм складання функції, оберненої даної.

4. Чи існують функції, обернені даними? У разі позитивної відповіді знайдіть їх:

а) ; b ) ; c ) .

5. Чи є функції, графіки яких зображені малюнку, взаємно зворотними (рис. 6)? Відповідь обґрунтуйте.

Мал. 6

3. Закріплення вивченого матеріалу (вирішення задач).

Закріплення вивченого матеріалу складається із двох етапів:

Індивідуальна самостійна робота учнів;

Підбиття підсумків індивідуальної роботи.

У першому етапі учням пропонуються картки із завданнями, що вони виконують самостійно.

Завдання 1.

Чи є функції оборотними по всій області визначення? Якщо так, то знайдіть обернену до неї.

a) ; b); c).

Завдання 2.

Чи є взаємно зворотними функціями:

а);

b ) .

Завдання 3.

Розгляньте функцію на кожному із зазначених проміжків, якщо на цьому проміжку функція оборотна, то задайте зворотну їй аналітично, вкажіть область визначення та область значень:

a ) R ; b ) ; d ) [-2;0].

Завдання 4.

Доведіть, що функція необоротна. Знайдіть функцію зворотну на проміжку і побудуйте її графік.

Завдання 5.

Побудуйте графік функції та визначте, чи існує для неї зворотна функція. Якщо так, то на тому самому кресленні побудуйте графік зворотної функції і задайте її аналітично:

a ) ; b ) .

На етапі підбиття підсумків індивідуальної роботи учнів перевірка завдань здійснюється лише з фіксуванням проміжних результатів. Завдання, що викликали найбільше труднощів, розглядаються на дошці або з розкриттям пошуку рішень, або з записом рішення.

4. Підбиття підсумків уроку (рефлексія).

Учням пропонується міні-анкета:

Що мені сподобалося на уроці?______________________________

Що мені не сподобалося на уроці?

_________________________________________________________________

Вкажіть одне найбільш підходяще вам твердження:

1) Я можу самостійно дослідити функцію на оборотність, будувати зворотну та впевнений у правильності результату.

2) Я можу досліджувати функцію на оборотність, будувати зворотну, але не завжди впевнений у правильності результату, потребую допомоги товаришів.

3) практично не можу досліджувати функцію на оборотність, будувати зворотну, потребую додаткової консультації вчителя.

Де я зможу застосовувати отримані знання?____________________ __________________________________________________________________

5. Постановка домашнього завдання.

№ 10.3, 10.6(в, г), 10.7(в, г), 10.9(в, г), 10.13(в, г), 10.18.(Мордковіч, А.Г. Алгебра та початку математичного аналізу.10 клас. О 2 год. Ч.2. Задачник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень)/О.Г. Мордкович, П.В. Семенів. – К.: Мнемозіна, 2014. – 384с.)

Взаємно зворотні функції та їх графіки

(Узагальнююче повторення за пройденим матеріалом)

Який із графіків відповідає графіку функції у=х 3 чи має він зворотну?

Який із графіків відповідає графіку функції, чи має він зворотну?

Який із графіків відповідає графіку

функції має він зворотну

Який графік відповідає функції?

1 група: відповідь а) пояснюють чому

Який функції відповідає графік? 1 . у = х 3 2 . 3 . у = х 44. у = х -2 5. 6 . у = х -1

на графіку функції

D(y)=(-:0) U(0;+)

Вкажіть область визначення даної

на графіку функції

Вкажіть область значень даної на графіку функції

Е (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Знайти функцію, обернену даної у = g ( x )

Якщо функція (2) зворотна до функції (1), такі функції називають взаємно-оборотними.

Знайти область визначення та безліч значень для цих функцій.

• D (у)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
• Е(у)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (у)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. Е(у)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Область визначення зворотної функції g(x) збігається з безліччю значень вихідної функції f ( x ), а безліч значень зворотної функції g(x) збігається з областю визначення вихідної функції f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

• Монотонна функція є оборотною:

• якщо функція f (x) зростає, то зворотна до неї функція g (x) також зростає;
• Якщо функція f (x) зменшується, то зворотна до неї функція g (x) також зменшується.

Дано: у = х3

Побудувати графік цієї функції, висловіть формулу функції зворотної цієї функції і побудуйте її графік.

3. Якщо функція має зворотну, то графік зворотної функції симетричний графіку даної функції щодо прямої у = х.

Побудувати графік функції, оберненої даної.

Навчальна самостійна робота

II варіант

I варіант

• Знайти функцію, зворотну до цієї:

2. Знайти область визначення та безліч значень функції, зворотної до цієї:

3. Побудувати графік функції, зворотної до:

II варіант

I варіант

2. D(y)=(- ; +)

Е (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

Е (y)=(- ; +)

Завдання додому:

вирішити № 579, № 576 (в, г

за бажанням №581(1,2)

• На уроці я навчився(лась)………………………….
• На уроці мені цікаво було …………………....
• Важко було ………………………………………….
• Знання, отримані на уроці, я можу використовувати …………………………………………

Рефлексія:

Цілі уроку:

Освітня:

• формувати знання з нової теми відповідно до програмного матеріалу;
• вивчити властивість оборотності функції та навчити знаходити функцію, обернену даної;

Розвиваюча:

• розвивати навички самоконтролю, предметне мовлення;
• оволодіти поняттям зворотна функція та засвоїти методи знаходження зворотної функції;

Виховна: формувати комунікативну компетентність.

Обладнання:комп'ютер, проектор, екран, інтерактивна дошка SMART Board, роздатковий матеріал для роботи в групі.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

Ціль – підготовка учнів до роботи на уроці:

Визначення відсутніх,

Настрій учнів працювати, організація уваги;

Повідомлення теми та мети уроку.

2. Актуалізація опорних знань учнів.Фронтальне опитування.

Ціль - встановити правильність та усвідомленість вивченого теоретичного матеріалу, повторення пройденого матеріалу.<Приложение 1 >

Для учнів на інтерактивній дошці демонструється графік функції. Вчителем формулюється завдання – розглянути графік функції та перерахувати вивчені властивості функції. Учні перераховують властивості функції відповідно до схеми дослідження. Вчитель праворуч від графіка функції маркером на інтерактивній дошці записує ці властивості.

Властивості функції:

Після закінчення дослідження вчитель повідомляє, що сьогодні на уроці вони познайомляться ще з однією властивістю функції – оборотністю. Для осмисленого вивчення нового матеріалу вчитель пропонує хлопцям познайомитись з основними питаннями, на які учні повинні дати відповідь після закінчення уроку. Запитання записані на звичайній дошці і у вигляді роздавального матеріалу є у кожного учня (лунає до уроку)

1. Яка функція називається оборотною?
2. Чи будь-яка функція оборотна?
3. Яка функція називається зворотною даною?
4. Як пов'язані область визначення та безліч значень функції та зворотної їй функції?
5. Якщо функція задано аналітично, як задати формулою зворотну функцію?
6. Якщо функція задана графічно, як побудувати графік зворотної функції?

3. Пояснення нового матеріалу.

Ціль - формувати знання з нової теми відповідно до програмного матеріалу; вивчити властивість оборотності функції та навчити знаходити функцію, обернену даної; розвивати предметне мовлення.

Вчитель проводить викладення матеріалу відповідно до матеріалу параграфа. На інтерактивній дошці вчитель проводить порівняння графіків двох функцій, у яких області визначення та безлічі значень однакові, але одна з функцій монотонна, а інша ні, тим самим підводить учнів під поняття оборотної функції.

Потім вчитель формулює визначення оборотної функції та проводить доказ теореми про оборотну функцію, використовуючи графік монотонної функції на інтерактивній дошці.

Визначення 1: Функцію y=f(x), x X називають оборотнийякщо будь-яке своє значення вона приймає тільки в одній точці множини X.

Теорема: Якщо функція y=f(x) монотонна на множині X , вона оборотна.

Доведення:

1. Нехай функція y=f(x)зростає на Хі нехай х 1 ≠х 2- дві точки множини Х.
2. Для певності нехай х 1< х 2.
   Тоді з того, що х 1< х 2випливає, що f(х 1) < f(х 2).
3. Отже, різним значенням аргументу відповідають різні значення функції, тобто. функція оборотна.

(По ходу доказу теореми вчитель маркером робить всі необхідні пояснення на кресленні)

Перед тим як сформулювати визначення зворотної функції вчитель просить учнів визначити, яка із запропонованих функцій оборотна? На інтерактивній дошці показано графіки функцій та записано кілька аналітично заданих функцій:

Б)

г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Вчитель вводить визначення зворотної функції.

Визначення 2: Нехай оборотна функція y=f(x)визначено на безлічі Хі Е(f)=Y. Поставимо у відповідність кожному yз Yто єдине значення х, за якого f(x)=y.Тоді отримаємо функцію, яка визначена на Y, а Х– область значень функції

Цю функцію позначають x=f -1 (y)і називають зворотною по відношенню до функції y=f(x).

Учням пропонується зробити висновок про зв'язок між областю визначення та безліччю значень зворотних функцій.

Для розгляду питання про засоби знаходження функції зворотної даної, вчитель залучив двох учнів. Діти напередодні отримали завдання у вчителя самостійно розібрати аналітичний та графічний способи знаходження функції зворотної даної. Вчитель виступив у ролі консультанта під час підготовки учнів до уроку.

Повідомлення першого учня.

Примітка: монотонність функції, є достатнімумовою існування зворотної функції. Але воно не єнеобхідною умовою.

Учень навів приклади різних ситуацій, коли функція не монотонна, але оборотна, коли функція не монотонна і не оборотна, коли монотонна і оборотна

Потім учень знайомить учнів зі способом перебування зворотної функції, заданої аналітично.

Алгоритм знаходження

1. Переконатись, що функція монотонна.
2. Виразити змінну х через у.
3. Позначити змінні. Замість х=f-1(y) пишуть y=f-1(x)

Потім вирішує два приклади перебування функції зворотної даної.

Приклад 1:Показати, що з функції y=5x-3 існує зворотна функція, і її аналітичне вираз.

Рішення. Лінійна функція y=5x-3 визначена на R, зростає на R і область її значень є R. Отже, зворотна функція існує на R. Щоб знайти її аналітичний вираз, розв'яжемо рівняння y=5x-3 щодо х; Отримаємо Це і є потрібна зворотна функція. Вона визначена та зростає на R.

Приклад 2:Показати, що для функції y=x 2 х≤0 існує зворотна функція, і знайти її аналітичний вираз.

Функція безперервна, монотонна у сфері визначення, отже, вона оборотна. Проаналізувавши області визначення та безлічі значень функції, робиться відповідний висновок про аналітичний вираз зворотної функції.

Другий учень виступає з повідомленням про графічномуспосіб знаходження зворотної функції. У результаті пояснення учень використовує можливості інтерактивної дошки.

Щоб отримати графік функції y = f -1 (x), зворотної по відношенню до функції y = f (x), треба графік функції y = f (x) перетворити симетрично щодо прямої y = x.

Під час пояснення на інтерактивній дошці виконується таке завдання:

Побудувати в одній системі координат графік функції та графік зворотної їй функції. Запишіть аналітичний вираз зворотної функції.

4. Первинне закріплення нового матеріалу.

Ціль – встановити правильність і усвідомленість розуміння вивченого матеріалу, виявити прогалини первинного осмислення матеріалу, провести корекцію.

Учні поділяються на пари. Їм лунають листи із завданнями, в яких вони виконують роботу в парах. Час виконання роботи обмежено (5-7 хв). Одна пара учнів працює на комп'ютері, проектор на цей час вимикається і решті не видно, як працюють учні на комп'ютері.

Після закінчення часу (передбачається, що з роботою впоралася більшість учнів) на інтерактивній дошці (знов включається проектор) показується робота учнів, де й з'ясовується під час перевірки правильність виконання завдання у парі. За необхідності вчителем проводиться корекційна робота, що роз'яснює.

Самостійна робота у парах<Додаток 2 >

5. Підсумок уроку.З питань, які були поставлені перед початком лекції. Оголошення оцінок за урок.

Домашнє завдання §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12(б)

Алгебра та початку аналізу. 10 клас У 2-х частинах для загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова та ін; за ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозіна, 2007 рік