Транскрипт

1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «Тольяттінський державний університет» інститут математики, фізики та інформаційних технологій кафедра «Алгебра та геометрія» МЕТОДИКА НАВЧАННЯ УЧАЧНИКІВ ГЕБРИ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ Б А К А Л А В Р С К А Я Р А Б О Т А Напрям підготовки бакалавра: Педагогічна освіта Спрямованість (профіль): Математика та інформатика Студент В.В. Назаров Науковий керівник: д.п.н., проф. Р.А. Утєєва Допустити до захисту Завідувач кафедри: д.п.н., проф. Р.А. Утєєва 016 р. Тольятті - 016

2 ЗМІСТ ВСТУП... РОЗДІЛ I. МЕТОДИЧНА СИСТЕМА НАВЧАННЯ ТЕМІ «КВАДРАТНІ КОРНІ» В КУРСІ АЛГЕБРИ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ Основні цілі та завдання навчання темі «Квадратні корені» в курсі гебри основний школи Форми, методи та засоби навчання темі «Квадратне коріння» в курсі алгебри основної школи... 5 Висновок за I розділом... РОЗДІЛ II. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ПО ОРГАНІЗАЦІЇ НАВЧАННЯ ТЕМІ «КВАДРАТНІ КОРНІ» В КУРСІ АЛГЕБРИ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ Завдання по темі «Квадратні корені», орієнтовані на базовий рівень знань та умінь підготовку до підсумкової атестації та здачі ОДЕ з математики Висновок по II розділі ВИСНОВОК СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ... 58

3 ВСТУП Актуальність дослідження. Тема «Квадратне коріння» є однією з традиційних тем шкільного курсу алгебри основної школи. Її вивчення числах, отриманих в базується на знаннях та вміннях учнів про раціональний курс математики 6 класу. Удосконалення навичок виконання операцій над раціональними числами відбувається у курсі алгебри 7 класу. Значимість та місце вивчення теми «Квадратне коріння» в курсі алгебри 8 класу пов'язана з необхідністю подальшого розширення безлічі раціональних чисел та введення ірраціональних чисел. Мотивацією вивчення теми може бути відоме практичне завдання про знаходження сторони (довжини сторони) квадрата за заданою площею, на вирішення якої відомих раніше чисел недостатньо. Крім того, при вирішенні багатьох геометричних завдань, задач з фізики, хімії та біології виникає необхідність розв'язування рівнянь, що містять квадратне коріння. Тому важливо знати правила дій з квадратним корінням і навчитися перетворювати вирази, що їх містять. Звернемося до історії виникнення поняття квадратного кореня та його позначення, складену з урахуванням наступних джерел . n Сучасна форма знака квадратного кореня x і x з'явилася відразу. Еволюція знака радикала тривала майже п'ять століть, починаючи з XIII ст., коли італійські та деякі європейські математики вперше називали квадратний корінь латинським словом Radix (корінь) або скорочено R. У XV ст. Н.Шюке писав R 1 замість 1. Сучасний знак кореня походить від позначення, застосовуваного німецькими математиками XV-XVI ст. (Математики XII-XV ст. писали всі свої праці виключно латинською мовою. Вони називали невідоме res (річ).

4 Італійські математики переклали слово res як cosa. Останній термін запозичували німці, від яких і з'явилося косисти і кос.) У XV ст. деякі німецькі косисти для позначення квадратного кореня користувалися точкою перед виразом чи числом. У скорописі ці точки замінювалися рисочками, а пізніше вони перейшли в символ. Один такий знак означав звичайний квадратний корінь. Якщо потрібно було позначити корінь четвертого ступеня, то застосовувався здвоєний знак. Залишається тільки гадати, як саме позначалося коріння восьмого ступеня. Якщо брати аналогію з четвертим ступенем, цей знак повинен був ототожнювати триразове вилучення квадратного кореня, тобто для цього потрібно було поставити три квадратики. Однак це позначення зайняте кубічним коренем. Швидше за все, згодом від таких позначень якраз і утворився знак V, близький до знайомого школярам сучасного знаку, але без верхньої риси. Вперше цей знак був помічений у німецькій алгебрі «Гарний і швидкий рахунок за допомогою вправних правил алгебри». Автором цієї праці був викладач математики з Відня, уродженець Чехії Криштоф Рудольф. Книга мала великий успіх і постійно перевидавалася протягом усього XVI ст. і після аж до 1615р. Знаком кореня, запропонованого Криштофом, користувалися А.Жирар, С.Стевін (він писав показник кореня праворуч від знака радикалду в гуртку: V() або V()). Така форма запису почала витісняти колишній знак R. Однак деякий час знак кореня писали розриваючи верхню межу, а саме так: a + b. І тільки в 167 році Рене Декарт поєднав горизонтальну межу з галочкою, застосувавши нове позначення у своїй книзі "Геометрія", але й тут не було точної копії сучасної форми. Запис Декарта дещо відрізнявся від тієї, до якої ми з вами звикли, однією деталлю.

5 було записано: C + 1 q qq p, де буква З, поставлена ​​відразу після радикала, вказувала на запис кубічного кореня. У сучасному вигляді цей вираз виглядав би так: C + 1 q q p. Найближче до сучасного написання радикала застосовував Ньютон у своїй «Універсальної арифметиці» (1685г.) Вперше запис кореня, що повністю збігається з сьогоднішньою, зустрічається у книзі французького математика Ролля «Керівництво алгебри», що вийшла 1690р. Тільки через деякий час після її написання математики планети прийняли, нарешті, єдину і остаточну форму запису квадратного кореня. Проблема дослідження: які методичні особливості навчання темі «Квадратне коріння» школи? 5 у курсі алгебри 8 класу основний Об'єктом дослідження є процес навчання алгебри учнів основної школи. Предмет дослідження методична система навчання темі «Квадратне коріння». Мета бакалаврської роботи розкрити методичну систему навчання темі «Квадратне коріння». Завдання дослідження: 1. Виділити основні цілі та завдання навчання темі «Квадратне коріння» в курсі алгебри основної школи (цільовий компонент методичної системи).. Проаналізувати зміст теми «Квадратне коріння» у підручниках алгебри основної школи (змістовний компонент методичної системи). різні форми, методи та засоби навчання темі «Квадратне коріння» в курсі алгебри основної школи (організаційний

6 компонент методичної системи). 4. Сформулювати методичні рекомендації щодо навчання темі «Квадратне коріння». Методи дослідження: аналіз науково-методичної літератури, програм з математики, шкільних підручників алгебри на тему дослідження, аналіз, систематизація та узагальнення матеріалу. Практична значимість даної роботи полягає в тому, що в ній представлено методичну систему навчання темі «Квадратне коріння» в курсі алгебри основної школи та сформульовано методичні рекомендації, які можуть бути використані вчителями математики, а також бакалаврами в період педагогічної практики в школі. Подані результати та висновки бакалаврської роботи можуть бути покладені в основу подальшої розробки методики навчання учнів теми «Квадратне коріння». На захист виноситься: методична система навчання темі «Квадратне коріння» в курсі алгебри основної школи. Структура роботи. Бакалаврська робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури. 6

7 РОЗДІЛ I. МЕТОДИЧНА СИСТЕМА НАВЧАННЯ ТЕМІ «КВАДРАТНІ КОРНІ» В КУРСІ АЛГЕБРИ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ 1. Основні цілі та завдання навчання темі «Квадратні корені» в курсі алгебри основної школи У федеральному державному предметної галузі «Математика» має забезпечити: 1) формування уявлень про математику як про метод пізнання дійсності, що дозволяє описувати та вивчати реальні процеси та явища;) розвиток умінь працювати з навчальним математичним текстом (аналізувати, отримувати необхідну інформацію), точно та грамотно висловлювати свої думки із застосуванням математичної термінології та символіки, проводити класифікації, логічні обґрунтування, докази математичних тверджень;) розвиток уявлень про кількість і числові системи від натуральних до дійсних чисел; оволодіння навичками усних, письмових, інструментальних обчислень; 4) оволодіння символьною мовою алгебри, прийомами виконання тотожних перетворень виразів, розв'язання рівнянь, систем рівнянь, нерівностей та систем нерівностей; вміння моделювати реальні ситуації мовою алгебри, досліджувати побудовані моделі з використанням апарату алгебри, інтерпретувати отриманий результат; У програмі з математики автор виділяє такі цілі та завдання вивчення теми «Квадратне коріння»: Розширення безлічі раціональних чисел, введення поняття ірраціонального та дійсного числа, вивчення квадратних коренів та дій з ними. 7

8 В результаті вивчення теми учні повинні знати: 1. Визначення періодичних і неперіодичних нескінченних десяткових дробів. Функцію y=x, її властивості та графік. Поняття квадратного кореня 4. Властивості арифметичних квадратних коренів. 5. Безліч дійсних, раціональних та ірраціональних чисел. В результаті вивчення теми учні повинні вміти: 1. Звертати звичайний дріб у десятковий і назад. Порівнювати дійсні, раціональні та ірраціональні числа. 4. Вносити та виносити множник з-під знака кореня. 5. Виконувати дії з квадратним корінням. У програмі з математики автор виділяє такі цілі та завдання вивчення теми «Квадратне коріння» (до підручника Макаричева): Систематизувати відомості про раціональні числа і дати уявлення про ірраціональні числа, розширивши тим самим поняття числа; виробити вміння виконувати найпростіші перетворення виразів, що містять квадратне коріння. В результаті вивчення теми учні повинні знати: 1. Натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні та дійсні числа. Модуль числа a.. Арифметичний квадратний корінь та його властивості. 4. Функцію y= x, її властивості та графік. В результаті вивчення теми учні повинні вміти: 1. Розв'язувати найпростіші квадратні рівняння. 8

9 . Вносити та виносити множник з-під знака кореня. Знаходити наближені значення квадратного коріння. 4. Витягувати квадратний корінь зі ступеня числа. 5. Перетворювати ірраціональні вирази. У програмі з математики автор виділяє такі цілі та завдання вивчення теми «Квадратне коріння» в підручнику Алімова: Систематизувати відомості про раціональні числа і дати уявлення про ірраціональні числа, розширивши тим самим поняття числа; виробити вміння виконувати найпростіші перетворення виразів, що містять квадратне коріння. В результаті вивчення теми учні повинні знати: 1. Поняття арифметичного квадратного кореня. Дійсні числа У результаті вивчення теми учні повинні вміти знаходити квадратний корінь зі ступеня, твору та дробу. У статті С. Мінаєвої [, С. 4-7] зазначається, що вивчення розділу «Квадратне коріння» має такі цілі: навчити виконувати перетворення виразів, що містять квадратне коріння; з прикладу квадратного і кубічного кореня сформувати початкові ставлення до корені n-го ступеня. У зразковій основній освітній програмі основної загальної освіти від 8 квітня 015 р. сказано, що випускник має навчитися у 8 класі (для використання у повсякденному житті, при вивченні інших предметів та забезпечення можливості успішного продовження освіти на базовому рівні): 1. Оперувати на базовому рівні рівні поняттями: натуральне число, ціле число, звичайний дріб, десятковий дріб, змішаний дріб, раціональне число, арифметичний квадратний корінь. Оцінювати значення квадратного кореня з позитивного цілого числа. 9

10 . Розпізнавати раціональні та ірраціональні числа. 4. Порівнювати числа. 5. Розуміти зміст запису числа у стандартному вигляді. 6. Розв'язувати квадратні рівняння за формулою коренів квадратного рівняння. 7. Зображати розв'язання нерівностей та їх систем на числовій прямій. Випускник отримає можливість навчитися у 8 класі для забезпечення можливості успішного продовження освіти на базовому та поглибленому рівнях: 1. Оперувати поняттями: безліч натуральних чисел, безліч цілих чисел, безліч раціональних чисел, ірраціональне число, квадратний корінь, безліч дійсних чисел, геометрична інтерпретація натуральних, цілих, раціональних, дійсних чисел. Виконувати обчислення, у тому числі з використанням прийомів раціональних обчислень. Порівнювати раціональні та ірраціональні числа. 4. Подавати раціональне число у вигляді десяткового дробу. 5. Виконувати перетворення виразів, що містять квадратне коріння. 6. Виділяти квадрат суми або різниці двочлена у виразах, що містять квадратне коріння. поняття безлічі раціональних чисел та його позначення; 10 та курсу

11 основні дії (операції) із раціональними числами; функція у = х. Нові (введені) знання: поняття квадратного кореня із числа; поняття арифметичного квадратного кореня; властивості арифметичних квадратних коренів; внесення та винесення множника з під знака кореня; дії з квадратним корінням. Аналіз змісту теми «Квадратне коріння» у різних підручниках алгебри 8 класу представлений у Таблицях 1-4. У підручнику Ю.М. Макарічева виділяється більше ніж в інші години на вивчення розділу «Квадратне коріння», весь розділ розділений на 4 параграфи. Порушено тему вивчення наближеного знаходження квадратного коріння, але пропущено тему періодичних десяткових дробів. У підручнику Г.К. Муравіна та О.В. Муравиною на розділ «Квадратне коріння» виділено трохи менше 18 годин, розділ складається з параграфів, порушена тема періодичних десяткових дробів, але немає наближеного знаходження квадратного коріння. У підручнику Микільського розділ «Квадратне коріння» складається всього з одного параграфу та 5 пунктів, багато тем та понять не представлені. У підручнику Г.В. Дорофєєва включена тема присвячена теоремі Піфагора, яка відсутня у всіх вищезгаданих. Тут також торкнуться вивчення кубічного кореня. В усіх підручниках вивчення розділу починається з дійсних та ірраціональних чисел, але у кожного автора свій підхід. Потім йде вивчення безпосередньо квадратного кореня та арифметичного квадратного кореня, властивостей та дій над ними. 11

12 Автори підручника Ю.М. Макарічев, Н.Г. Міндюк, К.І. Нєшков, С.Б. Суворова Назва розділів і параграфів 4. Справжні числа 9. Раціональні числа 10. Ірраціональні числа 5. Арифметичний квадратний корінь 11. Квадратне коріння. Арифметичний квадратний корінь. 1. Рівняння x = a. 1. Знаходження наближених значень квадратного кореня. 14. Функція y = x та її графік. 6. Властивості арифметичного квадратного кореня. 15. Квадратний корінь із твору та дробу. 16. Квадратний корінь із ступеня. 7. Використання властивостей арифметичного квадратного кореня 17. Винесення множника з-під знака кореня. Внесення множника під кореневий знак. 18. Перетворення виразів, що містять квадратне коріння. Таблиця 1 Кількість годин Всього Таблиця Автори підручника Г.К. Муравін, К.С. Муравін, О.В. Муравина Назва розділів і параграфів 5. Дійсні числа 14. Раціональні та ірраціональні числа. 15. Періодичні та неперіодичні нескінченні десяткові дроби. 6. Квадратне коріння. 16. Функція y=x та її графік. 17. Поняття квадратного кореня. 18. Властивості арифметичних квадратних коренів. 19. Внесення та винесення множника з-під знака кореня. 0. Дії з квадратним корінням. Кількість годин Всього 18 Таблиця Автори підручника С.М. Микільський, М.К. Потапов, Н.М. Решетніков, А.В. Шевкін Назва глав і параграфів. Квадратне коріння.1 Поняття квадратного кореня.. Арифметичний квадратний корінь.. Квадратне коріння з натурального числа..4 Наближене обчислення квадратного коріння..5 Властивості арифметичного квадратного коріння. 1

13 Таблиця 4 Автори підручника Назва розділів і параграфів Кількість годин Г.В. Дорофєєв.1 Завдання про знаходження сторони квадрата. Ірраціональні числа. Теорема Піфагора.4 Квадратний корінь (алгебраїчний підхід).5 Властивості квадратного коріння.6 Перетворення виразів, що містять квадратне коріння.7 Кубічний корінь Всього 18 Вивчення теми «Квадратне коріння» на базі підручника алгебри за 8 клас авторів Муравіних. На початку дається розширення безлічі раціональних чисел, вводяться поняття ірраціонального та дійсного числа, розглядається перехід від звичайного дробу до десяткових і назад. На раціональні та ірраціональні числа відводиться ч. У пункті 14. «Раціональні та ірраціональні числа» розказано історію їх виникнення та мету вивчення теми. Визначення дано виходячи з прикладів, відносин довжин відрізків. Визначення 1: якщо два відрізки мають загальну міру, яка в m разів укладається в одному відрізку і n разів в іншому, то їхнє відношення m, n є раціональним числом . Визначення ірраціонального числа дано з прикладу 1: Приклад 1: d = (m n) =. Звідси (m n) =. Знаменник дробу, що стоїть у лівій частині рівності, відмінний від одиниці, тому, щоб дріб виявився рівною цілому числу, вона повинна скорочуватися на n. Але натуральні числа m і n немає спільних дільників, тому немає спільних дільників і їх квадратів. Отже, рівність m = неправильно, тобто. число d дробовим не є. n 1

14 Приклад довів, що число d не є раціональним числом, це означає, що діагональ квадрата не має загального заходу з його стороною, число d є ірраціональним числом. Наступний пункт присвячений періодичним та неперіодичним дробам, вводиться поняття періоду та обґрунтовується неминучість появи періоду при перекладі. На цей пункт відводиться ч. У параграфі 15, йде вивчення періодичних та неперіодичних десяткових дробів, розглядається тема наближеного знаходження кореня до раціональних та ірраціональних чисел. Потім на розглянутих прикладах дано визначення кінцевого та нескінченного десяткового дробу. Приклад: Переведемо 1 в десятковий дріб, виходить: 0, Цифру, яка нескінченно повторюється в записі називають періодом, а саму дріб називають періодичною. Властивість 1: будь-яке раціональне число можна подати у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу (вірно і зворотне твердження). Визначення: Будь-яке ірраціональне число записується нескінченним неперіодичним десятковим дробом, а будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб є ірраціональним числом . Визначення: Нескінченний періодичний десятковий дріб є раціональним, а нескінченний неперіодичний десятковий дріб ірраціональним числом. Після цього йде перехід безпосередньо до вивчення теми «Квадратне коріння». Вивчення починається з параграфа «Функція y=x та її графік». Йде повторення матеріалу про функції та графіки. Відводиться ч. Спершу будується графік функції y=x по точках в системі декартової координат, проводиться її дослідження і дається назва графіка: Визначення 4: графік функції y=x називають параболою . 14

15 Перехід до поняття квадратного кореня відбувається через розв'язання квадратного рівняння x = a, аргументує це тим, що такий метод дозволяє пояснити природу терміна. Відводиться ч. У наступному пункті 17 вводиться поняття квадратного кореня. Визначення 5: Коріння рівняння x = a називають квадратним корінням з числа а. Визначення 6: Невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а, називають арифметичним квадратним коренем а і позначають а. . Запроваджується знак радикала і дається історія його виникнення. Потім автори переходять до вивчення властивостей арифметичних квадратних коренів, у цьому пункті починається відпрацювання умінь перетворювати вирази з квадратним корінням. Відводиться ч. У 18 параграфі наведено властивості арифметичних квадратних коренів: Властивість: Для будь-якого числа а а = а . Властивість: Для будь-яких невід'ємних чисел a та b: ab= a b . Після вивчається та відпрацьовується тема внесення та винесення множника з-під знака кореня. Продовжується робота з квадратним корінням. Як зазначають автори, в учнів можуть виникнути труднощі у перетворенні буквених виразів, тому що саме в цій ситуації істотний знак модуля при винесенні множника з-під знака кореня. Відводиться ч. У 19 параграфі вивчається внесення та винесення множника з мод знака кореня, дано властивість: Властивість 4: При невід'ємних значеннях b a b = a * b = a * b . Далі автори переходять до дій з квадратним корінням, у цьому пункті, практикуючись в основному в перетворенні числових виразів, 15

16 школярі поглиблюють знання з цієї теми. Вивчення можна розбити на дві частини: 1. Робота з квадратним корінням з чисел. Перетворення буквених виразів. Така модель вивчення не задає послідовність вивчення, можна сказати, що друга частина хоч і корисна на даному етапі, але все ж таки здійснює пропедевтику матеріалу 9 класу, де спеціально вивчатиметься перетворення буквених виразів з радикалами. Відводиться 4г. У 0 та заключному параграфі вивчаються дії з квадратним корінням. Згадуються вивчені раніше властивості та використовують їх у перетворенні числових виразів. Розглянуто такі дії, як: звільнення від ірраціональності у знаменнику, розкладання на множники, спрощення виразу. Усього вивчення розділу автори відводять 19 годин, після кожного розділу відбувається перевірна чи самостійна робота, наприкінці глави контрольна робота. Вивчення теми «Квадратне коріння» на базі підручника алгебри за 8 клас автора Ю.М. Макарічева. Вивчення розділу «Квадратне коріння» починається з повторення дійсних чисел. Спочатку йде нагадування основних відомостей про безліч натуральних чисел, ділимості натуральних чисел та розгляд типових завдань на тему. Відводиться год. Потім відводиться один урок на повторення основних відомостей про цілі числа і розгляд типових завдань, а після урок, присвячений безлічі раціональних чисел. Далі йде урок, на якому дається поняття про ірраціональні числа і безліч дійсних чисел. Після проведення згаданих вище уроків, починається 16

17 безпосереднє вивчення квадратних коренів, приділяється уроку, на яких розглядаються поняття квадратного кореня та арифметичного квадратного кореня. Потім уроки присвячені вирішенню найпростіших квадратних рівнянь x = a і далі 1 урок, на якому вивчається знаходження наближених значень квадратних коренів. Наступні уроку відводяться на розгляд функції y = x, її властивостей та графіка. Далі йдуть уроки, які можна віднести до властивостей арифметичного квадратного кореня. На 1 уроці розглядаються властивості квадратного кореня з добутку та дробу, наступний урок - вилучення квадратного кореня зі ступеня числа. На цьому етапі автор пропонує відвести кілька уроків на контрольну роботу та її перевірку, а потім перейти до уроків, які стосуються застосування властивостей арифметичного квадратного кореня. 1 урок на розгляд та відпрацювання навичок внесення та винесення множника з-під знака кореня. Потім урок, у якому розглядаються основні прийоми перетворення ірраціональних выражений. Наприкінці автор пропонує провести підсумкову контрольну роботу на тему «Квадратне коріння». Усього вивчення цього розділу відводиться години. А тепер розглянемо рекомендації С. Мінаєвої щодо введення поняття квадратного кореня на уроках алгебри за підручником Г.В. Дорофєєва в 8 класі: 1. Завдання про знаходження сторони квадрата (уроку) Для введення поняття квадратного кореня використовується характерний для даного курсу змістовний підхід, що висуває на перший план мотиваційний та смисловий аспекти. Матеріал викладається так: учням відома формула S=а, з допомогою якої з боку квадрата можна обчислити його площу S; але в математиці є формула і для вирішення зворотної задачі знаходження сторони квадрата а по 17

18 заданої площі S, яка записується так: а = S. Символом S позначена сторона квадрата, площа якого дорівнює S. Якщо, наприклад, S = 100, а = 100. Так як 100 = 10, то а = 100 = 10. Щоб учні засвоїли новий символ, можна запропонувати кілька запитань на кшталт: нехай площа квадрата дорівнює 81 м: запишіть, використовуючи символ, вираз для сторони цього квадрата; Чому дорівнює довжина сторони квадрата? Переходячи з геометричної мови на алгебраїчну, значення символу S можна описати так: S це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює S. (Адже довжина негативним числом виражатися не може!) Таким чином, ми приходимо до «робочого» формулювання, яким і будемо користуватися при знаходження значень квадратного коріння. Звертаємо увагу вчителя на те, як читається символ S: квадратний корінь із S. Прикметник «арифметичний» тут є зайвим, тому що в цьому місці теми ми працюємо лише з позитивним корінням. Однак пізніше термін використовуватиметься. Ірраціональні числа (уроку) У цьому пункті можна виділити два аспекти: ідейний та практичний. Ідейний полягає у першому знайомстві з ірраціональними числами; практичний - у формуванні вміння оцінювати «невитягується» коріння, знаходити їх наближені значення як за допомогою оцінки, так і за допомогою калькулятора. До необхідності введення ірраціональних чисел учні приходять у результаті розгляду вже знайомого завдання про знаходження сторони квадрата на його площі. У підручнику на рисунку.10 зображено два квадрати. Один із них одиничний, його площа дорівнює 1 кв. од. У другого квадрата стороною служить діагональ першого, і його площа вдвічі більша. (Справді, маленький квадрат складається з двох рівних трикутників, а великий - із чотирьох таких 18

19 трикутників.) Отже, площа великого квадрата дорівнює кв. од. А якою є довжина сторони цього квадрата? Позначимо її через a. Використовуючи знак квадратного кореня, можна записати, що =. Учні досі мали справу тільки з корінням, що «витягується». Потрібно дати їм пару хвилин те що, щоб вони й у разі спробували витягти корінь, щоб переконатися, що значення а = 1 - недостатньо, і якщо взяти а =, це вже занадто багато; спробували б підібрати десятковий дріб і побачили, що 1,4<, а 1,5 >. Далі проводиться досить нескладний доказ того, що немає цілого, ні дробового числа, квадрат якого дорівнює (с. 7 підручника). Таким чином, немає раціонального числа, що точно виражає довжину сторони нашого квадрата. Хотілося б, щоб учні усвідомили разючу відкриття, до якого прийшли математики давнини (відрізок є, а довжини в нього немає!), а також те, що цей факт дав поштовх розвитку математики (потрібно було ввести у вживання нові числа!). Учням повідомляється, що число, що виражає довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює кв. од., належить до класу про ірраціональних чисел: - це позитивне ірраціональне число, квадрат якого дорівнює, тобто правильна рівність () =. Вони повинні вміти називати й інші ірраціональні числа виду і виконувати перетворення типу (a) =a для конкретних позитивних значень а, причому в обидві сторони. Отже, перше знайомство з ірраціональними числами підпорядковане досить вузької мети: воно відбувається у зв'язку з вивченням квадратних коренів і забезпечує насамперед потреби цієї теми. Крім інформації, описаної вище (а саме: серед раціональних чисел немає числа, що виражає довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює; крім раціональних чисел є ще й так звані ірраціональні 19

20 числа; до ірраціональних відносяться всі числа виду a, якщо a не є квадратом цілого або дробового числа), учні дізнаються, що існує нескінченно багато ірраціональних чисел іншої природи (приклад - число z), що ірраціональні числа можуть бути і негативними, і що на практиці їх замінюють (наближено) десятковими дробами. Більш ґрунтовні відомості про ірраціональні та дійсні числа учні отримують у «другому проході» в курсі 9-го класу. Для демонстрації принципової можливості знаходження десяткового наближення ірраціонального числа виду a у підручнику використовується метод оцінки: знаходяться наближені значення з недоліком та надлишком, виражені послідовними цілими числами (тобто з точністю до 1), послідовними десятковими дробами з одним знаком після коми (тобто з точністю до 0,1) і т. д. Основу цього методу становить твердження: якщо a і b позитивні числа та а

21 У зв'язку із застосуванням теореми Піфагора для обчислення довжини гіпотенузи прямокутного трикутника за його катетами (приклад 1 на с. 84) у підручнику згадуються «піфагорові трійки». Зауважимо, що хоча їх безліч, трійка, складена з послідовних натуральних чисел, тільки одна. Бажано, щоб побудова за допомогою циркуля та лінійки відрізків з ірраціональними довжинами (або точок на координатній прямій з ірраціональними абсцисами) була не просто розібрана за текстом підручника (с. 85), а й реально виконана кожним учнем у зошиті. Таку роботу можна запропонувати, наприклад, як домашнє завдання. Учнів треба попередити, що креслення має бути акуратним, досить великим і легко читається. Проведемо аналіз задачного матеріалу в підручниках і виділимо основні типи завдань, що використовуються в темі «Квадратне коріння». У статті виділені вправи на тему «Квадратне коріння» з підручника Г.В. Дорофєєва, що охоплюють всі істотні аспекти цього вступного фрагмента теми. Основне призначення вправ це оволодіння новим поняттям, вироблення вміння використовувати радикальний знак. Звертається увага завдання, і 7. Вміння перейти від рівності виду a=b до рівності b = а навпаки потрібно дуже часто. Вправи 8 - на обчислення значень числових і буквених виразів, що містять квадратне коріння. Учні повинні засвоїти, що знак кореня, як і дужки, є символом, що групує. У вправах 4-7 та подальший розвиток отримує розпочата раніше (і надзвичайно важлива з погляду додатків) робота з формулами. Тепер це формули, що містять радикали або вимагають використання радикалів при вираженні будь-якої змінної через інші. Такі завдання часто викликають у учнів труднощі, тому частково їх можна виконати щодо наступних пунктів. Крім 1

22 того, до них корисно повертатися. Завдання 8 і 9 з групи Б на цьому етапі відносяться до складних; вони, безперечно, не для всіх школярів. У класах з невисоким рівнем підготовки можна виконати завдання групи А, а також, за можливості, 41 і 44. Розглянемо приклад із підручника: Знайти наближене значення 60. Рішення: Квадрат числа укладено між двома «точними» квадратами - числами 49 та 64: 49<(60), то есть 7 <(60) <8. Значит как 7 <(60), то 7< 60; так как (60) <8, то 60<8. Значит 7< 60<8. Очевидно, что 60 ближе к 8, чем к 7, то есть Рассмотренный способ нахождения приближенного значения корня, в силу своей громоздкости, имеет, в основном, теоретическое значение; учащимся достаточно лишь уметь указывать два целых числа, между которыми заключено значение данного корня. А при решении задач предполагается широкое использование калькулятора. Упражнения к пункту предназначены, прежде всего, для осознанного восприятия этого сложного для учащихся материала (46-51). Кроме того, использование калькулятора позволяет, с помощью наблюдений, прийти к некоторым теоретическим обобщениям, например к выводу о возрастании значения корня с увеличением подкоренного выражения (5-54). В образце к упражнению 6 показаны приемы сравнения, которыми должны овладеть учащиеся. Упражнения 65 и 66 направлены на формирование умения выполнять преобразование выражений, содержащих квадратные корни, с использованием равенства (a) =а, где a 0. В классах с невысоким уровнем подготовки достаточно упражнений группы А. Вообще, в этом блоке дана представительная группа заданий,

23 якої цілком можна обмежитися. Вправа 57. Спосіб I. За допомогою калькулятора знаходимо наближені значення коріння: 5,4; 6,45; 7,65. Значить, кожне з даних чисел належить відрізку з кінцями в точках і, і розташовуються вони на цьому відрізку в такому порядку: 5, 6, 7. Далі: число 5 належить відрізку з кінцями в точках і; число 6 належить відрізку з кінцями у точках,4 і,5; число 7 належить відрізку з кінцями у точках,6 і,7. Спосіб ІІ. До того ж, результату приходимо за допомогою оцінки. Наприклад, для 5 маємо:<(5) <, то есть < 5<;, <(5) <, то есть,< 5<,. Упражнение 59. Очевидно, что точке К соответствует число 0,4, так как 0< 0,4< 1. Точно так же легко понять, что число лишнее, так как на отрезке с концами х=1 и х точка не отмечена. Сложнее с точкой L: ведь каждое из оставшихся чисел 5 и 7 располагается на отрезке с концами и. Но точка L расположена в левой половине отрезка, значит число, которое ей соответствует, должно быть меньше,5. Ответ почти очевиден: это 5. Но все же какое-то объяснение необходимо. Можно обратиться к калькулятору, а можно рассуждать так:,5 = 6,5; так как (5) <,5, то 5 <,5. Упражнение 70. а) Сначала находим, что 8< 7,5 < 9, а затем сравниваем числа 8,5 и 7,5. Так как 8,5 = 7,5<7,5, то 8,5< 7,5,

24 і означає, число 7,5 ближче до 9. При розв'язанні задач, природно, передбачається використання калькулятора. У класах з невисоким рівнем підготовки групи А можна обмежитися завданнями (вони відповідають рівню обов'язкових вимог), і навіть розглянути завдання-дослідження 91. Вправа 86. Завдання вирішується з опорою на рисунок.7 підручника. З наочних міркувань ясно, що відрізок найбільшої довжини діагональ паралелепіпеда. Порівняємо довжину діагоналі з довжиною тростини. Спочатку знайдемо довжину діагоналі основи l: l = a + b = = 700 (см). Тепер знайдемо довжину діагоналі паралелепіпеда d: d = (700) + 50 = 9800 (см). Оскільки 9800< 10000=100, то трость данных размеров поместить в коробку нельзя. Упражнение 90. Геометрически выражение a + b + c можно истолковать как длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого a, b и с. В самом деле, из прямоугольного треугольника LMN имеем, что LM= a + b. А из прямоугольного треугольника KLN получим, что NM= c + (a + b) = a + b + c По неравенству треугольника a + b + c

25 10 = + 1; 1 = +; 17= Але можна й інакше. Так, відрізок завдовжки 10 одержати за таким алгоритмом: 10 = (5) + (5). У підручнику з алгебри за 8 клас автори Муравини пропонують вивчення розділу починати з наступних вправ: Вправа 15. Чи проходить графік функції y=x через точку: А(-;4) В(-,5;1) С(;59) D (-6,5; 4,5). Відповідь: A-так, B-ні C-так D-так. У пункті 17 наведено вправи на обчислення квадратного кореня Приклад. Обчислити Рішення відбувається через розкладання числа 1105 прості множники. 1105= *5 * = 5 7 = (5 7) =*5*7=105 Відповідь: 105. У пункті 18 вводяться властивості арифметичних квадратних коренів та завдання на їх застосування, спрощення підкорених виразів та їх обчислення. Приклад 4. (стор.100) Спростити (5). (5) = - 5 = 5-. Відповідь: 5-. Приклад 5. Обчислити 0 = 0 = 0,8 * 4 * 5 = 80. Відповідь 80. Приклад 6. Обчислити = =4 7. Відповідь: 4 7. У 19 пункті розглянуті вправи на внесення та винесення множника з-під знака кореня, так само порушено завдання порівняння значень виразів. 5

26 Приклад 7. Винести множник з-під знака кореня у виразі Розкладемо числа 10 та 90 на прості множники: 10= **5, 90=* *5. Звідси 10 * 90 = 4 * * = 4 5 = ** 5 * = 60. Відповідь: =, 5.. Відповідь:, 5. Приклад 8. (Стор. 105) Спростити вираз = 5 = 5 = Приклад 9. (Стор. 105) Внести множник під знак кореня: 5 0,4. 5 0,4 = 5 0,4 = 5 0,4 = 10. Відповідь: 10. Приклад 10. (Стор. 106) Порівняти значення виразів і. = 9 = 18 та = 4 = 1. >. Відповідь: >. 0 пункт присвячений діям із квадратним корінням, перетворенню дробів із квадратним корінням, спрощенню виразів, звільненню від ірраціональності. Приклад 11. (Стор. 108) Перетворити дріб 54 так, щоб його знаменник не містив радикала. Відповідь: = 54 = 1 7 = 1 = 4 = =. 9 Приклад 1. (стор. 109) Спростити вираз =5 6 96=4 6 = = ==() 6=1 6 Відповідь:

27 Приклад 1. (стор. 109) Звільнити дріб від ірраціональності у знаменнику. =(). Відповідь: (). 6 = 6 (1 + 10) 1 10 (1 10) (1 + 10) = 6 (1 + 10) = 6 (1 + 10) =. Форми, методи та засоби навчання темі «Квадратне коріння» в курсі алгебри основної школи У цьому параграфі проведемо аналіз практичного досвіду вивчення теми на основі опублікованих статей та навчально-методичних посібників. У статті С. Мінаєвої зазначається, що поняття квадратного кореня «виникає» в курсі, що вивчається при обговоренні двох завдань - геометричної (про знаходження довжини сторони квадрата по його площі) і алгебраїчної (про кількість коренів рівняння виду х = а, де а - довільне число ). У зв'язку з розглядом першого завдання учні отримують початкові уявлення про ірраціональні числа. У зміст глави автор включив нетрадиційне для алгебри питання - теорему Піфагора. Це зроблено з метою демонстрації природного застосування квадратних коренів для відшукання довжин відрізків, побудови відрізків з ірраціональними довжинами та точок з ірраціональними координатами. У цьому немає принципового значення, де учні вперше почують про теорему Піфагора - у курсі геометрії чи курсі алгебри. Також автор стверджує, що найважливішим результатом навчання, крім ідейних аспектів, є вміння виконувати деякі перетворення виразів, що містять квадратні корені (передусім числових). Учні знайомляться також із поняттям кубічного кореня; одночасно з цим у них формуються початкові уявлення про корені 7

28 n-го ступеня. Нарешті, через систему вправ учні отримують уявлення графіки залежностей y = x і y = x. Протягом усієї теми автор передбачає активне використання калькулятора, причому як інструмент для вилучення коренів, а й як засіб, що дозволяє проілюструвати деякі теоретичні ідеї. У зв'язку з необхідністю застосування калькулятора для отримання кубічних коренів вводиться інше позначення кореня з n позитивного числа: a = a 1 n. У статті В. Ольхова звертається увага на те, що при вивченні розділу «Квадратне коріння» потрібно особливу увагу приділити перетворенню складного радикала. Автор пропонує наступну методику, навівши приклад індивідуальної форми роботи з учнем при вивченні теми: Учневі математичного класу було запропоновано за теоремою Вієта знайти підбором коріння в рівнянні х - 7х + 10 = 0, що він зробив без особливих зусиль: X 1 = 5, X = (навіть трохи образився простоті питання). Потім запропонували спростити вираз 7 ± 10. Тут слід побачити під радикалом повний квадрат. Попередньо записавши громіздку формулу A ± B= A A B ± A A B, (1) він підставив до неї конкретні числові значення та отримав ± = 5 ±. Адже існує пряма аналогія з попереднім прикладом 7 = 5 +, 10 = 5 *, тобто 7 ± 10 = 5 + ± 5 = (5 ±) = 5 ± Після цього учень вже самостійно вирішив кілька прикладів: 8

29 6 ± 4 = 6 ± 8 = 4 + ± 4 = ±, 1 ± 48 = 1 ± 1 = ± 1 1 = 1 ± 1, 18 ± 18 = 18 ± = 16 + ± 16 = 4±, 7 ± 4 = 7 ± 1 = 4 + ± 4 =± і сказав, що тепер йому зрозуміло, як виникла формула (1), хоча спеціально її запам'ятовувати необов'язково. A ± B= A ± B 4. Складемо рівняння: X AX + B = 0, 4 X 1 = A+ A B, X = A A B ; A ± B= A ± B 4 = X 1 + X ± X 1 X = X 1 ± X = A+ A B ± A A B, де A>0, В>0, А -В>0, причому формула спрощення, коли А - Точний квадрат. Вправа 1. Показати, що =; = 1 + Автор статті, В.І. Седакова пропонує прості методи, що дозволяють швидко розуміти виконувати такі дії, як вилучення квадратних коренів. Ці методи можуть підвищити продуктивність на уроках, адже усні та напівусні вправи дають можливість вивчити на уроці великий за обсягом матеріал, дозволять вчителю судити про готовність класу 9

30 вивчення нового матеріалу. Цей матеріал корисний майбутнім вчителям математикам. Однією з основних завдань викладання курсу математики у шкільництві є формування в учнів свідомих та міцних обчислювальних навичок. Обчислювальні навички є важливою складовою математичних навичок. Особливо тема усного рахунку є актуальною при проведенні державної підсумкової атестації (ОДЕ) та єдиного державного іспиту (ЄДІ), де використання обчислювальних приладів не допускається. У поєднанні з іншими формами роботи усні вправи дозволяють створити умови, за яких активізуються різні види діяльності учнів: мислення, мова, моторика. Ось чому необхідно на кожному уроці математики відводити до 10 хвилин для вправ з усними обчисленнями. Формування обчислювальних навичок складний та систематичний процес. Він складається з наступних етапів: Перший етап формування навички оволодіння вмінням. Другий етап – етап автоматизації вміння. Автоматизація вміння у тому, щоб отримувати результати під час виконання вправ усно, мало виробляючи записів, позначок тощо. Представимо прийом усного рахунку у темі «Квадратне коріння» для учнів. Вилучення квадратного кореня із багатозначного натурального числа. Спочатку запишемо алгоритм отримання квадратного кореня в загальному вигляді, який можна використовувати при роботі з натуральними числами. 1. Розіб'ємо число на групи (справа ліворуч, починаючи з останньої цифри), включаючи в кожну групу по дві цифри, що стоять поряд. При цьому може опинитися в останній групі одна цифра (якщо серед числа непарна кількість цифр) і дві цифри якщо число парне. Кількість груп у такому числі вказує кількість цифр результату.

31 . Підбираємо найбільшу цифру, таку, щоб її квадрат не перевищував числа, що знаходиться в останній групі (вважаючи праворуч наліво); це цифра перша цифра результату.. Зведемо першу цифру результату квадрат, віднімемо отримане число з останньої групи, припишемо до знайденої різниці праворуч передостанню групу. Вийде кілька А. Подвоївши наявну частину результату, отримаємо число а. Тепер підберемо таку цифру х, щоб добуток числа a на х не перевершував числа А. Цифра х друга цифра результату. 4. Добуток числа a на х віднімемо з числа А, припишемо до знайденої різниці праворуч третю групу, вийде деяке число В. Подвоївши наявну частину результату, отримаємо число b. Тепер підберемо таку найбільшу цифру, щоб добуток числа by на у не перевищував числа В. Цифра у третя цифра результату. 5. Наступний крок правила повторює 4 крок. Це продовжується доти, доки не використовується найперша група числа. Приклад 14. Продемонструємо даний алгоритм більш простому прикладі, результат якого очевидний. Обчислимо 144. З таблиці квадратів натуральних чисел у межах двох десятків відомо, що 144 = 1. У числі 144 праворуч відокремлюємо дві цифри, 1/44. Отримали дві групи цифр, тому в результаті буде двозначне число. Підбираємо число, квадрат якого вбирається у числа, що стоїть у другій групі (вважаємо праворуч наліво), це число 1. У разі таким числом буде число 1, т.к. його квадрат дорівнює одиниці. Отже, у відповіді у розряді десятків буде число 1. З числа 144 віднімемо отримане число десятків, у залишку отримаємо число 44. Визначимо цифру одиниць у відповіді. Для цього ліворуч помножимо отриману цифру десятків на отримаємо. Підберемо таке 1

32 число, при множенні якого самого на себе та на отримане число вийде 44. Таким числом є, отже, при витягуванні квадратного кореня з 144 отримаємо число 1. Підбираємо цифри відповіді 1_. Відповідь: 144 = 1. Приклад 15. Розглянемо процес вилучення квадратних коренів із п'ятизначного числа Підбираємо цифри відповіді 4 Відповідь: 54756=4. Висновки за першим розділом У 1 розділі були розглянуті основні цілі та завдання навчання темі «Квадратне коріння» в курсі алгебри основної школи на основі ФГОС ТОВ та програм з математики. Аналіз теоретичного та задачного матеріалу в підручниках алгебри за 8 клас за темою показав, що автори підручників використовують різні підходи до введення як самого поняття квадратного кореня, так і системи вправ, орієнтованих формування умінь обчислювати квадратні коріння і спрощувати числові висловлювання. Аналіз практичного досвіду вивчення теми «Квадратне коріння» на основі статей та навчально-методичних посібників дозволяє зробити висновок про те, що тема досить важка для учнів. Однак за допомогою відповідних вправ і спеціальної методики можна досягти міцного засвоєння поняття квадратного кореня та його основних властивостей.

33 РОЗДІЛ ІІ. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ З ОРГАНІЗАЦІЇ НАВЧАННЯ ТЕМІ «КВАДРАТНІ КОРНІ» У КУРСІ АЛГЕБРИ ОСНОВНОЇ ШКОЛИ 4. Завдання по темі «Квадратні корені», орієнтовані на базовий рівень знань у підручниках алгебри 8 класу можна умовно об'єднати у 4 групи: Група 1. Завдання знаходження значення виразів, містять квадратне коріння. Група. Завдання на розв'язання квадратних рівнянь із використанням арифметичного квадратного кореня. Група. Завдання на спрощення та порівняння виразів, що містять квадратне коріння. Група 4. Завдання на вилучення квадратного кореня. Розглянемо приклади задач: Група 1. Завдання знаходження значення виразів, містять квадратне коріння. Приклад 1. Знайдіть значення виразу: а) 1,5 0,1 0,5 б) 9 в) 16,. Рішення: а) З визначення арифметичного кореня слід, що 1,5 =, 5, т.к., 5> 0 і, 5 = 1,5; 0,5 = 0,5, т.к. 0,5> 0 і 0,5 = 0,5.,5 0,1 0,5 = 7 0,05 = 6,95 б) 9 = 9, т.к. 9 = 9 = 9

34 в) Дане вираз немає сенсу, т. к. квадрат будь-якого числа є неотрицательным числом. Відповідь: а) 6,95; б) 9; в) вираз немає сенсу Приклад. Виключити ірраціональність із знаменника: 1 а) 4 б) 7 в) Рішення: 1 а) (1())() 4 1 б) 7 4 (7 4(7)() 7) 4(7 7) 4(7 4) 7 в) ((5 5 7)(7)(5 5 7) 7) (5 5 7) (5 6) 5 6 (Використовується новий спосіб позбавлення ірраціональності в знаменнику дробу - множення на сполучене). Відповідь: а) + б) 7 + в) 5 6 Група. Розв'язання квадратних рівнянь з використанням арифметичного квадратного кореня Приклад. Знайдіть значення x у виразі 10x 14 = 11. 4

35 10x 15 x 1,5 Рішення: 10x x 14 x 15:10 10x x Перевірка: , Відповідь: х = 1,5. 4 x x Приклад 4. Знайдіть значення x у виразі 4 x = 1. Рішення: x 1 Перевірка: Відповідь: x Група. У цій групі об'єднаємо завдання на спрощення виразів. Приклад 5. Спростіть вираз: 5

36 6 Рішення: Щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику дробу, потрібно чисельник і знаменник цього дробу помножити на суму, якщо в знаменнику стоїть різницю або чисельник і знаменник цього дробу помножити на різницю, якщо в знаменнику коштує сума) () ())(( ))(() ())(())(())(())((Відповідь: 4 6 Приклад 6. Спростіть вираз: 8 4 Рішення: Відповідь: 6 Приклад 7. Спростити вираз: ,5 8 Рішення: ,5 8 (Використовується теорема про вилучення арифметичного квадратного кореня з твору.) Відповідь: 5

37 Група 4. Квадратного кореня. У цій групі запропонуємо завдання на вилучення Приклад 8. Вийміть корінь із виразу Рішення: 5a 6 49 Скористаємося теоремою про вилучення арифметичного квадратного кореня з дробу. 5a a a a a 7 6 Скористаємося теоремою про вилучення арифметичного квадратного кореня з твору. 5a a a a 6 Далі використовуємо наступну теорему: для будь-якого числа а справедлива рівність a a a 5a 5a 5 a 5 (a) 5 a 5 a Відповідь: Якщо а 0, то Якщо а< 0, то 5 a 7 5 a a 5 7 a Пример 9. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа): 1) a a 1) x x 5 7

38 1) a Рішення: a a a a a a (Використовується теорема про вилучення арифметичного квадратного кореня з твору у зворотний бік). Відповідь: 1) a) x 11x 4 1) 64 Приклад 10. Вийняти корінь: x) 400 a де а< 0 Решение: 1) 11x x x 4 11 (x 8) 11 x 8 11x 8 1 x 8) 400 a a a a 0 a (Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: a a). Ответ: 1) 1 x 8 0 a 8

39 У статті запропоновані багатоваріантні дидактичні матеріали (Завдання у картках), націлені на спрощення числових виразів з корінням. Вони безперечно нададуть допомогу вчителю математики при організації самостійної чи перевірочної роботи. Наведемо завдання варіантів. Варіант 1 1. Спростіть: Спростіть: Позбавтеся ірраціональності в знаменнику: Спростіть вираз Обчисліть: 7 * Спростіть вираз 6+4 4, Знайдіть значення виразу 8. Обчисліть: * Знайдіть значення виразу 10. Спростіть вираз ()(75 7) і доведіть , Що отримане число є коренем рівняння x 0 = 0. Варіант 1. Спростіть:

РОБОЧА ПРОГРАМА ПО АЛГЕБРІ ДЛЯ 8 КЛАСІВ (загальноосвітній рівень) Упорядники: Тихонов В.А., вчитель математики; Термін реалізації програми: 1 рік Робоча програма складена на основі федерального

МАТЕМАТИКА ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Ця робоча програма розроблена на основі Федерального компонента Державного освітнього стандарту основної загальної освіти та Програми основної спільної

Робоча програма основної загальної освіти з математики в МБОУ ЗОШ 30 р. Пензи (5 клас) Пояснювальна записка Статус документа Робоча програма основної загальної освіти з математики для 5 класу

Анотація до робочої програми з математики у 5 класі. Пояснювальна записка Робоча програма з математики на 2016-2017 навчальний рік у 5 класі складена на основі: 1. Федерального закону 273 ФЗ 29.12.2012

Пояснювальна записка Робоча програма з математики складена на основі наступних нормативних документів та методичних рекомендацій: 1.Федеральний державний освітній стандарт основного

Пояснювальна записка. Ця робоча програма орієнтована на учнів 8 класу та реалізується на основі наступних документів: . Державний стандарт початкового загального, основного загального та середнього

Робоча навчальна програма МАТЕМАТИКА 5-6 класи 2017-2018 навчальний рік АННОТАЦІЯ Ця робоча програма розроблена відповідно до основних положень Федерального державного освітнього

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа «Середня загальноосвітня школа 17» м. Білгорода «Узгоджено» Керівник ШМО Н.А.Ільмінська Протокол від 20 м. «Узгоджено» Заступник директора

Робоча програма з математики для 5 класу ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Робоча програма з математики для учнів 5 класу розроблена на основі Програми МО РФ 2007 року, затвердженої МО РФ та авторської

Розглянуто на Затверджую на засіданні МО директор учителів культурно-МКОУ ЛСОШ 1 технологічної діяльності М.М.Костіна та СПЛ служби Наказ 109 Протокол 01 від «01» вересня 2017р. від "01" вересня 2017р.

Додаток до основної освітньої програми основної загальної освіти наказ 488ос від 30.08.208г. Тюменська область Ханти-Мансійський автономний округ Югра Нижньовартівський район Муніципальне бюджетне

1. Пояснювальна записка Робоча програма з алгебри для 9 класу складена на підставі нормативних документів та інформаційно-методичних матеріалів: 1. Про освіту в Російській Федерації: Федеральний

Календарно-тематичне планування навчального матеріалу з алгебри для 8 класу. Календарно-тематичне планування з алгебри для 8 класу складено на основі зразкової програми

Вимоги до рівня підготовки учнів основної загальної освіти: Учні повинні знати/розуміти: - значення математичної науки для вирішення завдань, що виникають у теорії та практиці; широту і водночас

РОБОЧА ПРОГРАМА Клас (рівень), на якому 8 вивчається навчальний курс Предметна галузь Математика та інформатика Навчальний предмет Математика (алгебра) Навчальний рік 2017-2018 Кількість годин на рік 102

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа Гімназія 4 р. Хімки СТВЕРДЖУЮ: Директор МБОУ Гімназія 4 /Н.М. Козельська / Наказ від 2015 р. Робоча програма з алгебри (базовий рівень) 8 клас

Розглянуто на засіданні педагогічної ради школи 2009 р. «Узгоджено» Заступник директора школи з УР МБОШІ «КШІ» Міннеханова Г.Р. 2009 р. «Затверджено» Директор МБОШІ «КШІ» Таїпова О.Р. 2009 р.

РОЗГЛЯДЕНО: на засіданні МО /ЗЮМуртазаєва Пр від ПОГОДЖЕНО: заступник директора з УВР / ЕКХайретдінова СТВЕРДЖУЮ: Директор школи /ЛМАметова Пр від РОБОЧА ПРОГРАМА З алгебри в 8 А МБОУ «Старо

Зміст. Пояснювальна записка 3 стор. опис місця навчального предмета у навчальному плані навчально-методичний комплект заплановані результати освоєння предмета форми контролю 2. Зміст тем навчального предмета

МУНІЦИПАЛЬНЕ БЮДЖЕТНЕ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА 40 р.

Пояснювальна записка Дана робоча програма навчального предмета «Алгебра» для 8 класу загальноосвітньої установи, що навчаються, розроблена на основі авторської програми основної загальної освіти

Пояснювальна записка Ця програма з алгебри для основної загальноосвітньої школи 8 класу складена на основі федерального компонента державного стандарту основної загальної освіти

1.Плановані результати освоєння навчального предмета Предметними результатами вивчення предмета «Математика» у 6 класі є сформованість наступних умінь: Предметна область «Арифметика»: виконувати

Додаток до робочої програми з математики Мурманська обл., Кольський р-н, с. Мінькине Державна обласна бюджетна загальноосвітня установа «Мінькінська корекційна школа-інтернат»

Робоча програма з математики 6 клас. 1. Календарно-тематичний план уроку Навчальні розділи та теми Дата проведення Кількість годин I чверть (42 уроки) 1. Подільність чисел (20 уроків) 1.09-28.09 1-3 Дільники

ПЛАНУЮЧІ РЕЗУЛЬТАТИ Особистісні Метапредметні Предметні первісні уявлення про ідеї та методи математики як універсальну мову науки і техніки, засіб моделювання явищ і процесів;

1 ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Робоча програма з предмету «Алгебра» у 9 класі складено з урахуванням федерального компонента державного стандарту основного загальної освіти. Ця робоча програма

Пояснювальна записка Робоча програма з алгебри 8 класу відповідає Федеральному компоненту державного освітнього стандарту початкового загального, основного загального та середнього (повного) загального

Пояснювальна записка Робоча програма складена на основі: - Федерального компонента державного освітнього стандарту основної загальної освіти з математики; - Зразкові програми з математики.

Розділ ВВЕДЕННЯ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНИЙ ТРИХЧЛЕН... Вавилонське завдання про знаходження двох чисел за їхньою сумою та твором. Одне з найдавніших завдань алгебри було запропоновано у Вавилоні, де було поширено

Пояснювальна записка. Дана робоча програма з предмету «Математика» для 6 класу загальноосвітнього закладу, що навчаються, розроблена на основі авторської програми С.М. Нікольського, М.К.Потапова,

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА. (Математика 5 клас) Ця робоча програма складена відповідно до Державної програми з математики для загальноосвітніх установ Міністерства освіти Російської Федерації.

Пояснювальна записка Робоча програма з алгебри розроблена на підставі наступних нормативних правових документів: Федеральний закон від 29.12.2012 273-ФЗ "Про освіту в Російській Федерації"; Наказ

Пояснювальна записка Робоча програма з алгебри для 8 класу складена відповідно до положень Федерального державного освітнього стандарту основної загальної освіти другого покоління,

Статус документа Пояснювальна записка Ця робоча програма з алгебри для 8 класу (поглиблений рівень) основної загальної загальноосвітньої школи складена на основі федерального компонента державного

Розглянуто Прийнято Стверджую На МО вчителів математики на засіданні Директор МОУ ЗОШ Протокол 1 від 26.08. 2014. педагогічного с. Поіма Керівник МО Праслова О.М. ради Родіонова О.І. Протокол 1

Приватна загальноосвітня установа Ліцей 1 «Супутник» РОЗДІЛЕНО На засіданні методичної Ради Ліцею 1 «Супутник» Протокол від 2017р. Голова методичної ради Ліцею 1 «Супутник» Урсул

Анотація до робочої програми 8 клас, алгебра ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Робоча програма з алгебри для основної загальноосвітньої школи 8 класу складена на основі: Федерального компонента державного

1.Пояснювальна записка. Робоча програма з алгебри складена на основі авторської програми "Алгебра 8кл." авт. Макарічев та ін. відповідно до змісту наповнення навчальних предметів компонента державного

РОБОЧА ПРОГРАМА ПО АЛГЕБРІ І ГЕОМЕТРІЇ ДЛЯ 7 «А» КЛАСУ НА 2018 2019 НАВЧАЛЬНИЙ РІК Розробник програми вчитель Паленний Віктор Олександрович 2018 Відмінні риси робочої програми: В адаптованій

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа Середня загальноосвітня школа 4 Розглянуто на педагогічній раді Протокол 1 від 31.08. 2017 р. Наказ 162 від 31.08.2017 СТВЕРДЖУЮ: Директор

Контрольно вимірювальні матеріали для проведення проміжної атестації з математики в 2018 році 7 клас

Пояснювальна записка Нормативні документи Робоча програма складена на основі: федерального закону Російської Федерації від 9..0 року 73-ФЗ «Про освіту в Російській Федерації» федерального компонента

Пояснювальна записка Робоча програма складена з урахуванням: Наказу Міністерства освіти РФ від 05.03.2004г 1089 «Про затвердження Федерального компонента державних освітніх стандартів

1. ПЛАНУЮЧІ РЕЗУЛЬТАТИ ОСВОЄННЯ НАВЧАЛЬНОГО ПРЕДМЕТА Вивчення математики в основній школі дає можливість тим, хто навчається, досягти наступних результатів: У напрямку особистісного розвитку: - вміння ясно,

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Робоча програма з алгебри для 8 класу складена відповідно до положень Федерального державного освітнього стандарту основної загальної освіти другого покоління,

ДОДАТОК до освітньої програми КАЛЕНДАРНО ТЕМАТИЧНЕ ПЛАНУВАННЯ з алгебри в 8 класі Підручник «АЛГЕБРА 8», автор Ю. Н. Макарічев та інші, за редакцією С. А. Теляковського Вчитель: Дудникова

Пояснювальна записка Програма з алгебри для основної школи складена відповідно до вимог: - Федерального компонента державного освітнього стандарту основної загальної освіти

Пояснювальна записка Робоча програма з алгебри для 8 класу (поглиблене вивчення) складена відповідно до федерального компонента державного освітнього стандарту, програми з алгебри

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ СПЕЦІАЛІЗОВАНИЙ НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ ЦЕНТР Математика 8 клас Многочлени Новосибірськ

Робоча програма складена відповідно до нормативних документів:. Федеральним законом від 29.2.202 273-ФЗ «Про освіту в Російській Федерації», вимогами Федерального державного освітнього

Пояснювальна записка Ця робоча програма «Алгебра» розроблена на основі: - Федерального закону від 29.12.2012 273-ФЗ (ред. від 13.07.2015) «Про освіту в Російській Федерації»; - на основі авторської

Робоча програма складена відповідно до нормативних документів: федеральний закон від 29.2.202 273-ФЗ «Про освіту в Російській Федерації». 2. Наказ Міністерства освіти і науки України

Міністерство загальної та професійної освіти РВ

державна бюджетна освітня установа

початкової професійної освіти Ростовської області

професійне училище №5

Практична робота

з дисципліни ОДП. 01."Математика: алгебра та початки

математичного аналізу; геометрія"

по темі: «Перетворення виразів, що містять коріння, ступеня та логарифми».

дляучнів Iкурсу

м. Ростов-на-Дону

2017 р.

Розділ №1. Алгебра.

Тема 1.2. Коріння, ступеня та логарифми.

Практичне заняття №1.

Тема: «Перетворення виразів, що містять коріння, ступеня та логарифми».

Ціль:знати властивості радикалів, ступенів та логарифмів; вміти їх застосовувати при виконанні перетворень виразів, що містять коріння, ступеня та логарифми.

Кількість годин : 1 год.

Теоретичний матеріал.

Коріння.

Дія, за допомогою якого знаходиться коріньn-ой ступеня, називається вилученням кореняn-ого ступеня.

Визначення. Арифметичним коренем натурального ступеняn≥ 2 з невід'ємного числа а називається невід'ємне число,n-а ступінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь другого ступеня називається квадратним коренем, а корінь третього ступеня - кубічним коренем.

Наприклад.

Обчислити:

Арифметичний коріньn-ой ступеня має такі властивості:

якщо а ≥ 0, > 0 і n, m- натуральні числа, причомуn ≥ 2, m≥ 2, то

1. 3.

2. 4.

Приклади застосування властивостей арифметичного кореня.

Властивості ступеня із раціональним показником.

Для будь-яких раціональних чисел і будь-яких а > 0 і в > 0 вірні рівності:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Приклади застосування властивостей ступеня:

1). 7*

4). .

Логарифм числа

Визначення. Логарифмом позитивного числаbна підставі а, деa > 0, a≠ 1, називається показник ступеня, в який треба звести числоa, Щоб отримати b.

a = b - Основне логарифмічне тотожність.

Властивості логарифмів

Нехай a > 0, a ≠ 1, b>0, з >0, до – будь-яке дійсне число. Тоді справедливі формули:

1 . log ( bc ) = logb + logc , 4. logb = ,

2. log = logb - log c, 5.log а = 1 ,

3. log b = до * logb , 6. log 0 = 1 .

Приклади застосування формул:

log2 + log 18 = log ( 2 * 18 ) = log 36 = 2;

log 48 - log 4 = log= log 12 = 1;

log 9 = * log 9 = .

Вирішити самостійно .

Завдання.

1 варіант

1. Обчисліть:

1) ; 4) log ;

2) ; 5) 0,5;

3) ; 6) 3 log 2 - log 64.

2 якщо х = 7.

3. Порівняйте числа:log 11 і log 19.

4. Спростіть: 1); 2).

5. Обчисліть: logloglog 3.

_________________________________________________________________

2 варіант

1. Обчисліть:

1) ; 4) log 64;

2) ; 5) ;

3) ; 6) 2 log 3 - log 81.

2. Знайдіть значення виразу: 3 якщо у = 2.

3. Порівняйте числа:logі log.

4. Спростіть: 1); 2).

5. Обчисліть: logloglog 2.

__________________________________________________________________

Критерії оцінки:

11 правильних завдань – «5»;

9 – 10 правильних завдань – «4»;

7 – 8 правильних завдань – «3».

Черевики. М. І. Математика: підручник для НУО та СПО. - М.:

Видавничий центр "Академія", 2013.

Алімов Ш.А. та ін Алгебра та початку аналізу. 10(11) кл. - М.: 2012.

Алгебра. 9 кл.: Підручник, задачник для загальноосвіт. установ/

А.Г. Мордкович та ін - М.: Мнемозіна, 2009.

Алгебра. 8 кл.: Підручник, задачник для загальноосвіт. установ/

А.Г. Мордкович та ін - М.: Мнемозіна, 2008.

Алгебра. 7 кл.: Підручник, задачник для загальноосвіт. установ/

А.Г. Мордкович та ін - М.: Мнемозіна, 2007.

Форма звітності: перевірка виконання завдань викладачем

Щоб успішно використовувати практично операцію вилучення кореня, потрібно познайомитися з властивостями цієї операції.
Усі властивості формулюються і доводяться лише для невід'ємних значень змінних, які під знаками коренів.

Теорема 1. Корінь n-го ступеня (n=2, 3, 4,...) з добутку двох невід'ємних чіпсел дорівнює добутку коріння n-го ступеня з цих чисел:

Примітка:

1. Теорема 1 залишається справедливою і для випадку, коли підкорене вираз є твір більш ніж двох невід'ємних чисел.

Теорема 2.Якщо, і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Коротка(хоча й неточне) формулювання, яке зручніше використовувати на практиці: корінь із дробу дорівнює дробу від коріння.

Теорема 1 дозволяє нам перемножувати т тільки коріння однакового ступеня , тобто. лише коріння з однаковим показником.

Теорема 3.Якщо ,k - натуральне число і n - натуральне число, більше 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб звести корінь у натуральний ступінь, достатньо звести в цей ступінь підкорене вираз.
Це - наслідок теореми 1. Справді, наприклад, для к = 3 отримуємо: Так само можна міркувати у разі будь-якого іншого натурального значення показника до.

Теорема 4.Якщо ,k, n - натуральні числа, більші за 1, то справедлива рівність

Іншими словами, щоб витягти корінь з кореня, достатньо перемножити показники коріння.
Наприклад,

Будьте уважні!Ми дізналися, що над корінням можна здійснювати чотири операції: множення, розподіл, зведення в ступінь та вилучення кореня (з кореня). А як же справа зі складанням і відніманням коренів? Ніяк.
Наприклад, замість не можна написати Справді, Але ж очевидно, що

Теорема 5. Якщо показники кореня і підкореного виразу помножити чи розділити одне і те натуральне число, то значення кореня зміниться, тобто.

Приклади вирішення завдань

приклад 1.Обчислити

Рішення.Скориставшись першою властивістю коріння (теорема 1), отримаємо:

приклад 2.Обчислити
Рішення.Обернемо змішане число в неправильний дріб.
Маємо Скориставшись другою властивістю коренів ( теорема 2 ), отримаємо:

приклад 3.Обчислити:

Рішення.Будь-яка формула в алгебрі, як вам добре відомо, використовується не лише «зліва направо», а й «справа наліво». Так, перша властивість коренів означає, що можна уявити у вигляді і, навпаки, можна замінити виразом . Те саме стосується і другої властивості коренів. Враховуючи це, виконаємо обчислення.

Вітаю: сьогодні ми розбиратимемо коріння — одну з найбільш мозкових тем 8-го класу.:)

Багато хто плутається в корінні не тому, що воно складне (чого там складного — пара визначень і ще пара властивостей), а тому що в більшості шкільних підручників коріння визначається через такі нетрі, що розібратися в цій писанині можуть хіба самі автори підручників. Та й то лише з пляшкою гарного віскі.

Тому зараз я дам найправильніше і найписьменніше визначення кореня - єдине, яке вам справді слід запам'ятати. А вже потім поясню: навіщо все це потрібно і як застосовувати на практиці.

Але спочатку запам'ятайте один важливий момент, про який багато укладачів підручників чомусь «забувають»:

Коріння буває парного ступеня (наш улюблений $\sqrt(a)$, а також всякі $\sqrt(a)$ і навіть $\sqrt(a)$) і непарного ступеня (всякі $\sqrt(a)$, $\ sqrt(a)$ і т.д.). І визначення кореня непарного ступеня дещо відрізняється від парного.

Ось у цьому гребінці «дещо відрізняється» приховано, напевно, 95% всіх помилок і непорозуміння, пов'язаного з корінням. Тому давайте раз і назавжди розберемося з термінологією:

Визначення. Корінь парного ступеня nз $a$ - це будь-яке невід'ємнечисло $b$ таке, що $((b)^(n))=a$. А корінь непарного ступеня з того ж числа $a$ - це взагалі будь-яке число $b$, для якого виконується та ж рівність: $((b)^(n))=a$.

У будь-якому випадку корінь позначається так:

\(a)\]

Число $n$ у такому записі називається показником кореня, а число $a$ - підкореним виразом. Зокрема, при $n=2$ отримаємо наш «улюблений» квадратний корінь (до речі, це корінь парного ступеня), а за $n=3$ — кубічний (ступінь непарний), який теж часто зустрічається в завданнях та рівняннях.

приклади. Класичні приклади квадратного коріння:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \ \ & \ sqrt (81) = 9; \ & \ sqrt (256) = 16. \\ \end(align)\]

До речі, $ sqrt (0) = 0 $, а $ sqrt (1) = 1 $. Це цілком логічно, оскільки $((0)^(2))=0$ і $((1)^(2))=1$.

Кубічні коріння теж часто зустрічаються — не треба їх боятися:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ \sqrt(-64)=-4; \ \ \ \ sqrt (343) = 7. \\ \end(align)\]

Ну, і парочка «екзотичних прикладів»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Якщо ви не зрозуміли, у чому різниця між парним та непарним ступенем — перечитайте визначення ще раз. Це дуже важливо!

А ми тим часом розглянемо одну неприємну особливість коренів, через яку нам потрібно було вводити роздільне визначення для парних і непарних показників.

Навіщо взагалі потрібне коріння?

Прочитавши визначення, багато учнів запитають: Що курили математики, коли це вигадували? І справді: навіщо взагалі потрібне все це коріння?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на хвилинку до початкових класів. Згадайте: у ті далекі часи, коли дерева були зеленішими, а пельмені смачнішими, основна наша турбота була в тому, щоб правильно множити числа. Ну, щось у дусі «п'ять на п'ять-двадцять п'ять», ось це все. Але можна множити числа не парами, а трійками, четвірками і взагалі цілими комплектами:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \ \ 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Однак суть не в цьому. Фішка в іншому: математики - люди ліниві, тому їм було в лом записувати множення десяти п'ятірок ось так:

Тому вони вигадали ступеня. Чому б замість довгого рядка не записати кількість множників у вигляді верхнього індексу? Типу такого:

Це дуже зручно! Всі обчислення скорочуються в рази, і можна не витрачати купу аркушів пергаменту блокнотиків на запис якогось 5 183 . Такий запис назвали ступенем числа, у нього знайшли купу властивостей, але щастя виявилося недовгим.

Після грандіозної п'янки, яку організували саме з приводу «відкриття» ступенів, якийсь особливо затятий математик раптом запитав: «А що, якщо нам відомий ступінь числа, але невідомо саме число?» Ось, дійсно, якщо нам відомо, що деяке число $b$, припустимо, в 5-му ступені дає 243, то як нам здогадатися, чому одно число $b$?

Проблема ця виявилася набагато глобальнішою, ніж може здатися на перший погляд. Тому що з'ясувалося, що для більшості готових ступенів таких вихідних чисел немає. Судіть самі:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27Rightarrow b=3cdot 3cdot 3Rightarrow b=3; \ & ((b) ^ (3)) = 64 Rightarrow b = 4 cdot 4 cdot 4 Rightarrow b = 4. \\ \end(align)\]

А що якщо $((b)^(3))=50$? Виходить, що потрібно знайти якесь число, яке тричі помножене саме на себе дасть нам 50. Але що це за число? Воно явно більше 3, оскільки 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тобто. це число лежить десь між трійкою і четвіркою, але чому воно одно - фіг зрозумієш.

Саме для цього математики і придумали коріння $n$-го ступеня. Саме для цього ввели піктограму радикала $\sqrt(*)$. Щоб позначити те саме число $b$, яке в даній мірі дасть нам заздалегідь відому величину

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Не сперечаюся: найчастіше це коріння легко вважається — ми бачили кілька таких прикладів вище. Але все-таки в більшості випадків, якщо ви загадаєте довільне число, а потім спробуєте витягти з нього корінь довільного ступеня, на вас чекає жорстокий облом.

Та що там! Навіть найпростіший і всім знайомий $\sqrt(2)$ не можна уявити у звичному нам вигляді - як ціле число або дрібничка. А якщо ви вб'єте це число в калькулятор, то побачите це:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Як бачите, після коми йде нескінченна послідовність цифр, які не підкоряються жодній логіці. Можна, звичайно, округлити це число, щоб швидко порівняти з іншими числами. Наприклад:

\[\sqrt(2)=1,4142...\approx 1,4 \lt 1,5\]

Або ось ще приклад:

\[\sqrt(3)=1,73205...\approx 1,7 \gt 1,5\]

Але ці округлення, по-перше, досить грубі; а по-друге, працювати з приблизними значеннями теж треба вміти, інакше можна зловити купу неочевидних помилок (до речі, навик порівняння та округлення обов'язково перевіряють на профільному ЄДІ).

Тому в серйозній математиці без коріння не обійтися - вони є такими ж рівноправними представниками багатьох дійсних чисел $\mathbb(R)$, як і давно знайомі нам дроби і цілі числа.

Неможливість уявити корінь як дробу виду $\frac(p)(q)$ означає, що це корінь перестав бути раціональним числом. Такі числа називаються ірраціональними, і їх не можна точно уявити інакше як за допомогою радикала або інших спеціально призначених для цього конструкцій (логарифмів, ступенів, меж тощо). Але про це — іншого разу.

Розглянемо кілька прикладів, де після всіх обчислень ірраціональні числа все ж таки залишаться у відповіді.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Природно, на вигляд кореня практично неможливо здогадатися про те, які числа будуть йти після коми. Втім, можна порахувати на калькуляторі, але навіть найдосконаліший калькулятор дат нам лише кілька перших цифр ірраціонального числа. Тому набагато правильніше записати відповіді у вигляді $sqrt(5)$ і $sqrt(-2)$.

Саме для цього їх і вигадали. Щоб зручно записувати відповіді.

Чому потрібні два визначення?

Уважний читач уже напевно помітив, що всі квадратні корені, наведені в прикладах, витягуються з позитивних чисел. Ну, принаймні з нуля. А ось кубічні корені незворушно витягуються абсолютно з будь-якого числа — хоч позитивного, хоч негативного.

Чому так відбувається? Подивіться графік функції $y=((x)^(2))$:

Графік квадратичної функції дає два корені: позитивний та негативний

Спробуємо за допомогою цього графіка порахувати $sqrt (4) $. Для цього на графіку проведено горизонтальну лінію $y=4$ (позначено червоним кольором), яка перетинається з параболою у двох точках:$((x)_(1))=2$ і $((x)_(2)) =-2 $. Це цілком логічно, оскільки

З першим числом все зрозуміло — воно позитивне, тому воно є корінь:

Але що робити тоді з другою точкою? Типу у четвірки відразу два корені? Адже якщо звести до квадрата число −2, ми теж отримаємо 4. Чому б тоді не записати $\sqrt(4)=-2$? І чому вчителі дивляться на такі записи так, ніби хочуть вас зжерти?:)

У тому й біда, що якщо не накладати жодних додаткових умов, то квадратного коріння у четвірки буде два — позитивне і негативне. І в будь-якого позитивного числа їх також буде два. А ось у негативних чисел коріння взагалі не буде — це видно все за тим же графіком, оскільки парабола ніде не опускається нижче за осю y, тобто. не набуває негативних значень.

Подібна проблема виникає у всіх коренів з парним показником:

1. Строго кажучи, коріння з парним показником $n$ у кожного позитивного числа буде відразу дві штуки;
2. З негативних чисел корінь із парним $n$ взагалі не витягується.

Саме тому у визначенні кореня парного ступеня $n$ спеціально обговорюється, що відповідь має бути невід'ємною кількістю. Так ми позбавляємося неоднозначності.

Зате для непарних $n$ такої проблеми немає. Щоб переконатися в цьому, погляньмо на графік функції $y=((x)^(3))$:

Кубічна парабола набуває будь-яких значень, тому кубічний корінь витягується з будь-якого числа.

З цього графіка можна зробити два висновки:

1. Гілки кубічної параболи, на відміну від звичайної, йдуть на нескінченність в обидві сторони - і вгору, і вниз. Тому на якій би висоті ми не проводили горизонтальну пряму, ця пряма обов'язково перетнеться з нашим графіком. Отже, кубічний корінь можна отримати завжди, абсолютно з будь-якого числа;
2. Крім того, таке перетин завжди буде єдиним, тому не потрібно думати, яке число вважати «правильним» коренем, а на яке забити. Саме тому визначення коренів для непарного ступеня простіше, ніж для парної (відсутня вимога невід'ємності).

Жаль, що ці прості речі не пояснюють у більшості підручників. Натомість нам починають ширяти мозок усілякими арифметичними корінням та їх властивостями.

Так, я не сперечаюся: що таке арифметичний корінь теж треба знати. І я докладно розповім про це в окремому уроці. Сьогодні ми теж поговоримо про нього, оскільки без нього всі роздуми про коріння $n$-ї кратності були б неповними.

Але спочатку треба чітко засвоїти те визначення, яке я дав вище. Інакше через велику кількість термінів у голові почнеться така каша, що в результаті взагалі нічого не зрозумієте.

А всього й треба зрозуміти різницю між парними та непарними показниками. Тому ще раз зберемо все, що дійсно потрібно знати про коріння:

1. Корінь парного ступеня існує лише з невід'ємного числа і сам є невід'ємним числом. Для негативних чисел такий корінь невизначений.
2. А ось корінь непарного ступеня існує з будь-якого числа і може бути будь-яким числом: для позитивних чисел він позитивний, а для негативних — як натякає кеп, негативний.

Хіба це складно? Ні, не складно. Зрозуміло? Та взагалі очевидно! Тому зараз ми трохи потренуємось із обчисленнями.

Основні властивості та обмеження

Коріння має багато дивних властивостей і обмежень — про це буде окремий урок. Тому зараз ми розглянемо лише найважливішу «фішку», яка стосується лише коріння з парним показником. Запишемо цю властивість у вигляді формули:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x \right|\]

Іншими словами, якщо звести число в парний ступінь, а потім з цього витягти корінь того ж ступеня, ми отримаємо не вихідне число, яке модуль . Це проста теорема, яка легко доводиться (досить окремо розглянути невід'ємні $x$, а потім окремо негативні). Про неї постійно товкмачать вчителі, її дають у кожному шкільному підручнику. Але як тільки справа доходить до вирішення ірраціональних рівнянь (тобто рівнянь, що містять знак радикала), учні дружно забувають цю формулу.

Щоб детально розібратися в питанні, давайте на хвилину забудемо всі формули і спробуємо порахувати два числа напролом:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Це дуже звичайні приклади. Перший приклад вирішить більшість людей, а ось на другому багато хто залипає. Щоб без проблем вирішити будь-яку подібну хрень, завжди враховуйте порядок дій:

1. Спочатку число зводиться у четвертий ступінь. Ну, це нескладно. Вийде нове число, яке навіть у таблиці множення можна знайти;
2. І ось уже з цього нового числа необхідно витягти корінь четвертого ступеня. Тобто. ніякого «скорочення» коріння та ступенів не відбувається — це послідовні дії.

Розберемося з першим виразом: $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Очевидно, що спочатку треба порахувати вираз, що стоїть під коренем:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Потім витягаємо корінь четвертого ступеня з числа 81:

Тепер зробимо те саме з другим виразом. Спочатку зводимо число −3 у четверту міру, навіщо потрібно помножити його саме він 4 разу:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Отримали позитивне число, оскільки загальна кількість мінусів у творі — 4 штуки, і всі вони взаємно знищиться (адже мінус на мінус дає плюс). Далі знову витягаємо корінь:

У принципі, цей рядок можна було не писати, оскільки і їжу зрозуміло, що відповідь вийде одна й та сама. Тобто. парний корінь з тієї ж парної міри «спалює» мінуси, і в цьому сенсі результат не відрізняється від звичайного модуля:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Ці обчислення добре узгоджуються з визначенням кореня парного ступеня: результат завжди негативний, та й під знаком радикала теж завжди стоїть невід'ємне число. В іншому випадку корінь не визначений.

Зауваження щодо порядку дій

1. Запис $\sqrt(((a)^(2)))$ означає, що ми спочатку зводимо число $a$ у квадрат, а потім витягуємо з отриманого значення квадратний корінь. Отже, ми можемо бути впевнені, що під знаком кореня завжди сидить невід'ємне число, оскільки $((a)^(2))\ge 0$ у будь-якому випадку;
2. А ось запис $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, навпаки, означає, що ми спочатку витягаємо корінь з деякого числа $a$ і лише потім зводимо результат у квадрат. Тому число $a$ в жодному разі не може бути негативним - це обов'язкова вимога, закладена у визначення.

Таким чином, у жодному разі не можна бездумно скорочувати коріння та ступеня, тим самим нібито «спрощуючи» вихідний вираз. Тому що якщо під коренем стоїть негативне число, а його показник є парним, ми отримаємо купу проблем.

Втім, всі ці проблеми є актуальними лише для парних показників.

Винесення мінуса з-під знака кореня

Природно, коріння з непарними показниками теж має свою фішку, якої в принципі не буває у парних. А саме:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Коротше кажучи, можна виносити мінус з-під знаку коріння непарного ступеня. Це дуже корисна властивість, яка дозволяє «викинути» всі мінуси назовні:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \ sqrt (32) = \ \ & = 3 \ cdot 2 = 6. \end(align)\]

Ця проста властивість значно спрощує багато обчислень. Тепер не треба переживати: раптом під коренем затесався негативний вираз, а ступінь у кореня виявився парним? Достатньо лише «викинути» всі мінуси за межі коріння, після чого їх можна буде множити один на одного, ділити і взагалі робити багато підозрілих речей, які у випадку з «класичним» корінням гарантовано приведуть нас до помилки.

І ось тут на сцену виходить ще одне визначення — те саме, з якого в більшості шкіл починають вивчення ірраціональних виразів. І без якого наші міркування були б неповними. Зустрічайте!

Арифметичний корінь

Давайте припустимо на хвилинку, що під знаком кореня можуть бути лише позитивні числа або в крайньому випадку нуль. Заб'ємо на парні/непарні показники, заб'ємо на всі визначення, наведені вище - працюватимемо тільки з невід'ємними числами. Що тоді?

А тоді ми отримаємо арифметичний корінь — він частково перетинається з нашими «стандартними» визначеннями, але все ж таки відрізняється від них.

Визначення. Арифметичним коренем $n$-го ступеня з невід'ємного числа $a$ називається таке невід'ємне число $b$, що $((b)^(n))=a$.

Як бачимо, нас більше не цікавить парність. Натомість її з'явилося нове обмеження: підкорене вираз тепер завжди невід'ємно, та й сам корінь теж негативний.

Щоб краще зрозуміти, чим арифметичний корінь відрізняється від звичайного, погляньте на вже знайомі нам графіки квадратної та кубічної параболи:

Область пошуку арифметичного кореня – невід'ємні числа

Як бачите, відтепер нас цікавлять ті шматки графіків, які розташовані в першій координатній чверті — там, де координати $x$ і $y$ позитивні (або хоча б нуль). Більше не потрібно дивитися на показник, щоб зрозуміти: чи маємо ми право ставити під корінь негативне число чи ні. Тому що негативні числа більше, у принципі, не розглядаються.

Можливо, ви запитаєте: "Ну і навіщо нам таке кастроване визначення?" Або: «Чому не можна обійтися стандартним визначенням, даним вище?»

Що ж, наведу лише одну властивість, через яку нове визначення стає доцільним. Наприклад, правило зведення в ступінь:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Зверніть увагу: ми можемо звести підкорене вираз у будь-який ступінь і одночасно помножити на цей самий ступінь показник кореня — і в результаті вийде те саме число! Ось приклади:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Ну, і що в цьому такого? Чому ми не могли це зробити раніше? А ось чому. Розглянемо простий вираз: $\sqrt(-2)$ — це цілком нормальне у нашому класичному розумінні, але абсолютно неприпустимо з погляду арифметичного кореня. Спробуємо перетворити його:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Як бачите, у першому випадку ми винесли мінус з-під радикала (маємо повне право, тому що показник непарний), а в другому — скористалися зазначеною формулою. Тобто. з погляду математики все зроблено за правилами.

WTF?! Як одне й те число може бути і позитивним, і негативним? Ніяк. Просто формула зведення в ступінь, який чудово працює для позитивних чисел і нуля, починає видавати повну брехню у випадку з негативними числами.

Ось для того, щоб позбутися подібної неоднозначності, і вигадали арифметичні коріння. Їм присвячений окремий великий урок, де ми докладно розглядаємо всі властивості. Отже зараз не будемо на них зупинятися — урок і так вийшов занадто затягнутим.

Алгебраїчне коріння: для тих, хто хоче знати більше

Довго думав: виносити цю тему до окремого параграфу чи ні. Зрештою вирішив залишити тут. Цей матеріал призначений для тих, хто хоче зрозуміти коріння ще краще – вже не на середньому «шкільному» рівні, а на наближеному до олімпіадного.

Так ось: крім «класичного» визначення кореня $n$-го ступеня з числа та пов'язаного з ним поділу на парні та непарні показники є більш «доросле» визначення, яке взагалі не залежить від парності та інших тонкощів. Це називається алгебраїчним коренем.

Визначення. Алгебраїчний корінь $n$-го ступеня з-поміж будь-якого $a$ — це безліч всіх чисел $b$ таких, що $((b)^(n))=a$. Для такого коріння немає усталеного позначення, тому просто поставимо рису зверху:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Принципова відмінність від стандартного визначення, наведеного на початку уроку, полягає в тому, що корінь алгебри — це не конкретне число, а безліч. Оскільки ми працюємо з дійсними числами, це безліч буває лише трьох типів:

1. Порожня безліч. Виникає у разі, коли потрібно знайти алгебраїчний корінь парного ступеня негативного числа;
2. Безліч, що складається з одного-єдиного елемента. Усі коріння непарних ступенів, а також корені парних ступенів з нуля потрапляють до цієї категорії;
3. Нарешті, безліч може включати два числа - ті самі $((x)_(1))$ і $((x)_(2))=-((x)_(1))$, яке ми бачили на графіку квадратичні функції. Відповідно, такий розклад можливий лише за вилучення кореня парного ступеня з позитивного числа.

Останній випадок заслуговує на докладніший розгляд. Порахуємо кілька прикладів, щоб зрозуміти різницю.

приклад. Обчисліть вирази:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Рішення. З першим виразом все просто:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Саме два числа входять до складу множини. Тому що кожен із них у квадраті дає четвірку.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тут бачимо безліч, що складається лише з одного числа. Це цілком логічно, оскільки показник кореня непарний.

Нарешті, останній вираз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Отримали порожню множину. Тому що немає жодного дійсного числа, яке при зведенні в четвертий (тобто парний!) ступінь дасть нам негативне число −16.

Фінальне зауваження. Зверніть увагу: я не випадково скрізь зазначав, що ми працюємо з дійсними числами. Тому що є ще комплексні числа — там цілком можна порахувати і $sqrt(-16)$, і багато інших дивних речей.

Однак у сучасному шкільному курсі математики комплексні числа майже зустрічаються. Їх викреслили з більшості підручників, оскільки наші чиновники вважають цю тему «надто складною для розуміння».

На цьому все. У наступному уроці ми розглянемо всі ключові властивості коренів і навчимося, нарешті, спрощувати ірраціональні вирази.