Основні поняття
Згадаймо для початку визначення парної, непарної та періодичної функції.
Визначення 2
Четна функція - функція, яка не змінює своє значення при зміні знака незалежної змінної:
Визначення 3
Функція, яка повторює свої значення через певний регулярний проміжок часу:
T - період функції.
Парність та непарність тригонометричних функцій
Розглянемо наступний малюнок (рис. 1):
Малюнок 1.
Тут $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ і $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ -- симетричні щодо осі $Ox$ вектори одиничної довжини.
Очевидно, що координати цих векторів пов'язані з такими співвідношеннями:
Так як тригонометричні функції синуса і косинуса можна визначати за допомогою одиничного тригонометричного кола, то отримуємо, що функція синуса буде непарною, а функція косинуса - парною функцією, тобто:
Періодичність тригонометричних функцій
Розглянемо наступний рисунок (рис. 2).
Малюнок 2.
Тут $ \ overrightarrow (OA) = (x, y) $ - вектор одиничної довжини.
Зробимо повний оборот вектором $ \ overrightarrow (OA) $. Тобто повернемо цей вектор на $2\pi$ радіан. Після цього вектор повністю повернеться до початкового положення.
Так як тригонометричні функції синуса і косинуса можна визначати за допомогою одиничного тригонометричного кола, то отримуємо, що
Тобто функції синуса та косинуса є періодичними функціями з найменшим періодом $ T = 2 pi $.
Розглянемо тепер функції тангенсу та котангенсу. Оскільки $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, то
Оскільки $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, то
Приклади завдань на використання парності, непарності та періодичності тригонометричних функцій
Приклад 1
Довести такі твердження:
а) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $
в) $ sin ((-721) ^ 0) = - sin 1 ^ 0 $
а) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $
Так як тангенс - періодична функція з мінімальним періодом $ (360) ^ 0 $, то отримаємо
б) $ (cos \ left (-13 \ pi \ right) \ ) = -1 $
Оскільки косинус - парна і періодична функція з мінімальним періодом $2\pi$, то отримаємо
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
в) $ sin ((-721) ^ 0) = - sin 1 ^ 0 $
Оскільки синус - непарна та періодична функція з мінімальним періодом $(360)^0$, то отримаємо
Якщо побудувати одиничне коло з центром на початку координат, і задати довільне значення аргументу x 0і відрахувати від осі Oxкут x 0, то цьому кутку на одиничному колі відповідає деяка точка A(Рис. 1) а її проекцією на вісь Охбуде точка М. Довжина відрізка ОМдорівнює абсолютній величині абсциси точки A. Даному значенню аргументу x 0зіставлено значення функції y= cos x 0 як абсциси точки А. Відповідно точка У(x 0 ;у 0) належить графіку функції у= cos х(Рис. 2). Якщо точка Азнаходиться праворуч від осі Оу, токосинус буде позитивним, якщо ж лівіше – негативний. Але в будь-якому випадку крапка Ане може залишити коло. Тому косинус лежить у межах від -1 до 1:
-1 = cos x = 1.
Додатковий поворот на будь-який кут. p, повертає точку Aте саме місце. Тому функція у = cos xp:
cos ( x+ 2p) = cos x.
Якщо взяти два значення аргументу, рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком, xі – x, знайти на колі відповідні точки A xі А -x. Як бачимо на рис. 3 їхньою проекцією на вісь Охє одна й та сама точка М. Тому
cos (– x) = cos ( x),
тобто. косинус – парна функція, f(–x) = f(x).
Отже, можна досліджувати властивості функції y= cos хна відрізку , а потім врахувати її парність та періодичність.
При х= 0 точка Алежить на осі Ох, її абсцис дорівнює 1, а тому cos 0 = 1. Зі збільшенням хкрапка Апересувається по колу вгору і вліво, її проекція, природно, тільки вліво, і за х = p/2 косинус стає рівним 0. Точка Aв цей момент піднімається на максимальну висоту, а потім продовжує рухатись вліво, але вже знижуючись. Її абсцисса все зменшується, поки досягне найменшого значення, рівного –1 при х= p. Таким чином, на відрізку функція у= cos хмонотонно зменшується від 1 до –1 (рис. 4, 5).
З парності косинуса слід, що у відрізку [– p, 0] функція монотонно зростає від -1 до 1, приймаючи нульове значення при х =–p/2. Якщо взяти кілька періодів, вийде хвилеподібна крива (рис. 6).
Отже, функція y= cos xнабуває нульових значень у точках х= p/2 + kp, де k –будь-яке ціле число. Максимуми, рівні 1, досягаються в точках х= 2kp, тобто. з кроком 2 p, а мінімуми, рівні –1, у точках х= p + 2kp.
Функція y = sin x.
На одиничному колі кутку x 0 відповідає точка А(рис. 7), а її проекцією на вісь Оубуде точка N.Знавчання функції у 0 = sin x 0визначається як ордината точки А. Крапка У(кут x 0 ,у 0) належить графіку функції y= sin x(Рис. 8). Зрозуміло, що функція y = sin xперіодична, її період дорівнює 2 p:
sin ( x+ 2p) = sin ( x).
Для двох значень аргументу, хі – , проекції відповідних їм точок А xі А -xна вісь Оурозташовані симетрично щодо точки Про. Тому
sin (– x) = -sin ( x),
тобто. синус - функція непарна, f(- x) = -f ( x) (Рис. 9).
Якщо точку Aповернути щодо точки Прона кут p/2 проти годинникової стрілки (іншими словами, якщо кут хзбільшити на p/2), то її ордината в новому становищі дорівнюватиме абсцисі в старому. А значить,
sin ( x+ p/2) = cos x.
Інакше, синус – це косинус, що «запізнився» на p/2, оскільки будь-яке значення косинуса «повториться» у синусі, коли аргумент зросте на p/2. І щоб побудувати графік синуса, достатньо зрушити графік косинуса на p/2 праворуч (рис. 10). Надзвичайно важлива властивість синуса виражається рівністю
Геометричний сенс рівності видно з рис. 11. Тут х –це половина дуги АВ, а sin х –половина відповідної хорди. Очевидно, що зі зближенням точок Аі УДовжина хорди дедалі точніше наближається до довжини дуги. З того ж малюнку нескладно отримати нерівність
|sin x| x|, вірне за будь-якого х.
Формулу (*) математики називають чудовою межею. З неї, зокрема, випливає, що sin х» хпри малих х.
Функції у= tg х, у= ctg х. Дві інші тригонометричні функції - тангенс і котангенс найпростіше визначити як відносини вже відомих нам синуса та косинуса:
Як синус та косинус, тангенс та котангенс – функції періодичні, але їх періоди рівні p, тобто. вони вдвічі менше, ніж у синуса та косинуса. Причина цього зрозуміла: якщо синус і косинус обоє змінять знаки, їх відношення не зміниться.
Оскільки в знаменнику тангенсу знаходиться косинус, то тангенс не визначений у тих точках, де косинус дорівнює 0, коли х= p/2 + kp. В усіх інших точках він монотонно зростає. Прямі х= p/2 + kpдля тангенсу є вертикальними асимптотами. У точках kpтангенс та кутовий коефіцієнт становлять 0 і 1 відповідно (рис. 12).
Котангенс не визначено там, де синус дорівнює 0 (коли х = kp). В інших точках він монотонно зменшується, а прямі х = kp – його вертикальні асимптоти. У точках х = p/2 + kpкотангенс звертається до 0, а кутовий коефіцієнт у цих точках дорівнює –1 (рис. 13).
Парність та періодичність.
Функція називається парною, якщо f(–x) = f(x). Функції косинус та секанс – парні, а синус, тангенс, котангенс та косеканс – функції непарні:
| sin (–α) = – sin α | tg (-α) = - tg α |
| cos (-α) = cos α | ctg (-α) = - ctg α |
| sec (–α) = sec α | cosec (-α) = - cosec α |
Властивості парності випливають із симетричності точок P a і Р- a (рис. 14) щодо осі х. За такої симетрії ордината точки змінює знак (( х;у) переходить у ( х; -У)). Усі функції – періодичні, синус, косинус, секанс та косеканс мають період 2 p, а тангенс та котангенс – p:
| sin (α + 2 kπ) = sin α | cos (α + 2 kπ) = cos α |
| tg (α + kπ) = tg α | ctg (α + kπ) = ctg α |
| sec (α+2 kπ) = sec α | cosec (α+2 kπ) = cosec α |
Періодичність синуса та косинуса випливає з того, що всі точки P a + 2 kp, де k= 0, ±1, ±2,…, збігаються, а періодичність тангенсу та котангенсу – з того, що точки P a + kpпо черзі потрапляють у дві діаметрально протилежні точки кола, що дають ту саму точку на осі тангенсів.
Основні властивості тригонометричних функцій можуть бути зведені до таблиці:
| Функція | Область визначення | Безліч значень | Парність | Ділянки монотонності ( k= 0, ± 1, ± 2, ...) |
| sin x | -Ґ x Ґ | [–1, +1] | непарна | зростає при xПро ((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/2), зменшується при xПро ((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2) |
| cos x | -Ґ x Ґ | [–1, +1] | парна | Зростає за xПро ((2 k – 1) p, 2kp), зменшується при xПро (2 kp, (2k + 1) p) |
| tg x | x № p/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | непарна | зростає при xПро ((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | непарна | спадає при xПро ( kp, (k + 1) p) |
| sec x | x № p/2 + p k | (–Ґ , –1] І [+1, +Ґ ) | парна | Зростає за xПро (2 kp, (2k + 1) p), зменшується при xПро ((2 k- 1) p , 2 kp) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] І [+1, +Ґ ) | непарна | зростає при xПро ((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2), зменшується при xПро ((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2) |
Формули наведення.
За цими формулами значення тригонометричної функції аргументу a де p/2 a p можна привести до значення функції аргументу a , де 0 a p /2, як тієї ж, так і додаткової до неї.
| Аргумент b |  - a |
+ a | p- a | p+ a | + a | + a | 2p- a |
| sin b | cos a | cos a | sin a | -sin a | -cos a | -cos a | -sin a |
| cos b | sin a | -sin a | -cos a | -cos a | -sin a | sin a | cos a |
Тому в таблицях тригонометричних функцій даються значення лише для гострих кутів, причому достатньо обмежитися, наприклад, синусом та тангенсом. У таблиці дано лише найбільш уживані формули для синуса та косинуса. З них легко отримати формули для тангенсу та котангенсу. При наведенні функції від аргументу виду kp/2 ± a де k– ціле число, до функції аргументу a :
1) назва функції зберігається, якщо kпарне і змінюється на «додаткове», якщо kнепарне;
2) знак у правій частині збігається зі знаком наведеної функції у точці kp/2 ± a якщо кут a гострий.
Наприклад, при наведенні ctg (a – p/2) переконуємося, що a – p/2 при 0 a p /2 лежить у четвертому квадранті, де котангенс негативний, і, за правилом 1, змінюємо назву функції: ctg (a – p/2) = -tg a.
Формули додавання.
Формули кратних кутів.
Ці формули виводяться прямо з формул додавання:
sin 2a = 2 sin a cos a;
cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a;
sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a - 3 cos a;
Формулу для cos 3a використовував Франсуа Вієт при вирішенні кубічного рівняння. Він же вперше знайшов вираз для cos n a і sin n a , які пізніше були отримані більш простим шляхом формули Муавра.
Якщо формулах подвійного аргументу замінити a на a /2, їх можна перетворити на формули половинних кутів:
Формули універсальної підстановки.
Використовуючи ці формули, вираз, що включає різні тригонометричні функції від одного і того ж аргументу, можна переписати як раціональний вираз від однієї функції tg (a/2), це буває корисно при вирішенні деяких рівнянь:
 |
|
 |
 |
Формули перетворення сум на твори та творів на суми.
До появи комп'ютерів ці формули використовувалися спрощення обчислень. Розрахунки проводилися з допомогою логарифмічних таблиць, і потім – логарифмічної лінійки, т.к. логарифми найкраще пристосовані для множення чисел, тому всі вихідні вирази призводили до вигляду, зручному логарифмування, тобто. до творів, наприклад:
2 sin a sin b = cos ( a – b) - cos ( a + b);
2 cos a cos b= cos ( a – b) + cos ( a + b);
2 sin a cos b= sin ( a – b) + sin ( a + b).
Формули для функцій тангенсу та котангенсу можна отримати з вищенаведених.
Формули зниження ступеня.
З формул кратного аргументу виводяться формули:
| sin 2 a = (1 - cos 2a) / 2; | cos 2 a = (1 + cos 2a) / 2; |
| sin 3 a = (3 sin a - sin 3a) / 4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a)/4. |
За допомогою цих формул тригонометричні рівняння можна приводити до рівнянь нижчих ступенів. Так само можна вивести і формули зниження для вищих ступенів синуса і косинуса.
| Похідні та інтеграли тригонометричних функцій | |
| (sin x)` = cos x; | (cos x)` = -sin x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| т sin x dx= -cos x + C; | т cos x dx= sin x + C; |
| т tg x dx= -ln | cos x| + C; | т ctg x dx = ln | sin x| + C; |
Кожна тригонометрична функція у кожній точці своєї області визначення безперервна і нескінченно диференційована. Причому і похідні тригонометричних функцій є тригонометричними функціями, а при інтегруванні виходять також тригонометричні функції або їх логарифми. Інтеграли від раціональних комбінацій тригонометричних функцій є елементарними функціями.
Подання тригонометричних функцій у вигляді статечних рядів та нескінченних творів.
Всі тригонометричні функції допускають розкладання в статечні ряди. При цьому функції sin x b cos xвидаються рядами. що сходяться для всіх значень x:
Ці ряди можна використовувати для отримання наближених виразів sin xта cos xпри малих значеннях x:
за | x| p/2;
за 0 x| p
(B n – числа Бернуллі).
Функції sin xта cos xможуть бути представлені у вигляді нескінченних творів:
Тригонометрична система 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, ¼, cos nx, sin nx, ¼, утворює на відрізку [– p, p] Ортогональну систему функцій, що дає можливість представлення функцій у вигляді тригонометричних рядів.
визначаються як аналітичні продовження відповідних тригонометричних функцій дійсного аргументу комплексну площину. Так, sin zта cos zможуть бути визначені за допомогою рядів для sin xта cos x, якщо замість xпоставити z:
Ці ряди сходяться по всій площині, тому sin zта cos z- Цілі функції.
Тангенс та котангенс визначаються формулами:
Функції tg zта ctg z- Мероморфні функції. Полюси tg zта sec z- Прості (1-го порядку) і знаходяться в точках z = p/2 + p n,полюси ctg zта cosec z– також прості та знаходяться у точках z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Усі формули, справедливі для тригонометричних функцій дійсного аргументу, справедливі й у комплексного. Зокрема,
sin (– z) = -sin z,
cos (– z) = cos z,
tg (- z) = -tg z,
ctg (- z) = -ctg z,
тобто. парність та непарність зберігаються. Зберігаються і формули
sin ( z + 2p) = sin z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,
тобто. періодичність також зберігається, причому періоди такі самі, як і для функцій дійсного аргументу.
Тригонометричні функції можуть бути виражені через показову функцію від суто уявного аргументу:
Назад, e izвиражається через cos zі sin zза формулою:
e iz= cos z + i sin z
Ці формули звуться формул Ейлера. Леонард Ейлер вивів їх у 1743 році.
Тригонометричні функції також можна виразити через гіперболічні функції:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = -i th iz.
де sh, ch та th – гіперболічні синус, косинус та тангенс.
Тригонометричні функції комплексного аргументу z = x + iy, де xі y– дійсні числа, можна виразити через тригонометричні та гіперболічні функції дійсних аргументів, наприклад:
sin ( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y;
cos ( x + iy) = cos x ch y + i sin x sh y.
Синус і косинус комплексного аргументу можуть набувати дійсних значень, що перевищують 1 за абсолютною величиною. Наприклад:
Якщо невідомий кут входить у рівняння як аргумент тригонометричних функцій, то рівняння називається тригонометричним. Такі рівняння настільки часто зустрічаються, що їх методи рішення дуже докладно та ретельно розроблені. Здопомогою різних прийомів і формул тригонометричні рівняння зводять до рівнянь виду f(x)= a, де f- Якась із найпростіших тригонометричних функцій: синус, косинус, тангенс або котангенс. Потім виражають аргумент xцієї функції через її відоме значення а.
Оскільки тригонометричні функції періодичні, тому самому аз області значень відповідає нескінченно багато значень аргументу, і рішення рівняння не можна записати у вигляді однієї функції від а. Тому в області визначення кожної з основних тригонометричних функцій виділяють ділянку, на якій вона набуває всіх своїх значень, причому кожне тільки один раз, і знаходять функцію, обернену їй на цій ділянці. Такі функції позначають, приписуючи приставку АГС (дуга) до назви вихідної функції, і називають зворотними тригонометричними функціями чи просто аркфункціями.
Зворотні тригонометричні функції.
Для sin х, cos х, tg хта ctg хможна визначити обернені функції. Вони позначаються відповідно arcsin х(читається «арксинус x»), arcos x, arctg xта arcctg x. За визначенням, arcsin хє така кількість у,що
sin у = х.
Аналогічно для інших зворотних тригонометричних функцій. Але таке визначення страждає на деяку неточність.
Якщо відобразити sin х, cos х, tg хта ctg хщодо бісектриси першого і третього квадрантів координатної площини, то функції через їх періодичність стають неоднозначними: одному й тому синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) відповідає нескінченна кількість кутів.
Щоб позбутися неоднозначності, з графіка кожної тригонометричної функції виділяється ділянка кривої шириною p, при цьому потрібно, щоб між аргументом та значенням функції дотримувалося взаємно однозначне відповідність. Вибираються ділянки біля початку координат. Для синуса в як «інтервал взаємної однозначності» береться відрізок [– p/2, p/2], на якому синус монотонно зростає від –1 до 1, для косинуса – відрізок , для тангенсу та котангенсу відповідно інтервали (– p/2, p/2) та (0, p). Кожна крива на інтервалі відбивається щодо бісектриси і тепер можна визначити зворотні тригонометричні функції. Наприклад, нехай задано значення аргументу x 0таке, що 0 Ј x 0 Ј 1. Тоді значенням функції y 0 = arcsin x 0 буде єдине значення у 0 , таке, що – p/2 Ј у 0 Ј p/2 і x 0 = sin y 0 .
Таким чином, арксинус – це функція агсsin а, визначена на відрізку [–1, 1] і дорівнює кожному атакому значенню a , – p/2 a p /2, що sin a = а.Її дуже зручно представляти за допомогою одиничного кола (рис. 15). При | а| 1 на колі є дві точки з ординатою a, симетричні щодо осі у.Однією з них відповідає кут a= arcsin а, а інший – кут p – а. Зврахуванням періодичності синуса рішення рівняння sin x= азаписується наступним чином:
х =(–1)n arcsin a + 2p n,
де n= 0, ±1, ±2,...
Також вирішуються інші найпростіші тригонометричні рівняння:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
де п= 0, ±1, ±2,... (рис. 16);
tg х = a;
x= arctg a + p n,
де п = 0, ±1, ±2,... (рис. 17);
ctg х= а;
х= arcctg a + p n,
де п = 0, ±1, ±2,... (рис. 18).
Основні властивості зворотних тригонометричних функцій:
arcsin х(Рис. 19): область визначення - відрізок [-1, 1]; область значень – [– p/2, p/2], монотонно зростаюча функція;
arccos х(Рис. 20): область визначення - відрізок [-1, 1]; область значень -; монотонно спадаюча функція;
arctg х(Рис. 21): область визначення - всі дійсні числа; область значень – інтервал (– p/2, p/2); монотонно зростаюча функція; прямі у= –p/2 і у = p /2 -горизонтальні асимптоти;
arcctg х(Мал. 22): область визначення - всі дійсні числа; область значень – інтервал (0, p); монотонно спадаюча функція; прямі y= 0 і у = p- Горизонтальні асимптоти.
Т.к. тригонометричні функції комплексного аргументу sin zта cos z(на відміну від функцій дійсного аргументу) приймають усі комплексні значення, то й рівняння sin z = aта cos z = aмають рішення для будь-якого комплексного a xі y– дійсні числа, що мають місце нерівності
½| e\e y–e -y| ≤|sin z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e -y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
з яких при y® Ґ витікають асимптотичні формули (рівномірно відносно x)
|sin z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Тригонометричні функції виникли вперше у зв'язку з дослідженнями в астрономії та геометрії. Співвідношення відрізків у трикутнику та кола, що є по суті тригонометричними функціями, зустрічаються вже у 3 ст. до зв. е. у роботах математиків Стародавньої Греції – Евкліда , Архімеда , Аполлонія Пергського та інших, проте ці співвідношення були самостійним об'єктом дослідження, отже тригонометричні функції як такі ними не вивчалися. Вони розглядалися спочатку як відрізки і в такій формі застосовувалися Аристархом (кінець 4 – 2-а половина 3 ст. до н. е.), Гіппархом (2 ст. до н. е.), Менелаєм (1 ст. н. е.). ) і Птолемеєм (2 ст н. е.) при вирішенні сферичних трикутників. Птолемей склав першу таблицю хорд для гострих кутів через 30" з точністю до 10 -6. Це була перша таблиця синусів. Як відношення функція sin a зустрічається вже у Аріабхати (кінець 5 ст.). Функції tg a і ctg a зустрічаються у аль- Баттані (2-я половина 9 – початок 10 ст.) та Абуль-Вефа (10 ст.), який вживає також sec a та cosec a. Аріабхата знав уже формулу (sin 2 a + cos 2 a ) = 1, а також формули sin та cos половинного кута, за допомогою яких побудував таблиці синусів для кутів через 3°45"; виходячи з відомих значень тригонометричних функцій найпростіших аргументів. Бхаскара (12 ст) дав спосіб побудови таблиць через 1 за допомогою формул додавання. Формули перетворення суми та різниці тригонометричних функцій різних аргументів у твір виводилися Регіомонтаном (15 ст.) та Дж. Непером у зв'язку з винаходом останнім логарифмом (1614). Регіомонтан дав таблицю значень синуса через 1". Розкладання тригонометричних функцій у статечні ряди отримано І.Ньютоном (1669). У сучасну форму теорію тригонометричних функцій навів Л.Ейлер (18 ст.). Йому належать їх визначення для дійсного та комплексного аргументів, прийнята нині символіка, встановлення зв'язку з показовою функцією та ортогональністю системи синусів та косинусів.
|BD| - Довжина дуги кола з центром у точці A .
α - кут, виражений у радіанах.
Тангенс ( tg α) - це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини прилеглого катета | AB | .
Котангенс ( ctg α) - це тригонометрична функція, що залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини протилежного катета | BC | .
Тангенс
Де n- ціле.
У західній літературі тангенс позначається так:
.
;
;
.
Графік функції тангенсу, y = tg x
Котангенс
Де n- ціле.
У західній літературі котангенс позначається так:
.
Також прийнято такі позначення:
;
;
.
Графік функції котангенсу, y = ctg x
Властивості тангенсу та котангенсу
Періодичність
Функції y = tg xта y = ctg xперіодичні з періодом π.
Парність
Функції тангенс та котангенс - непарні.
Області визначення та значень, зростання, спадання
Функції тангенс і котангенс безперервні у своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості тангенсу та котангенсу представлені в таблиці ( n- ціле).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Область визначення та безперервність | ||
| Область значень | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Зростання | - | |
| Зменшення | - | |
| Екстремуми | - | - |
| Нулі, y = 0 | ||
| Точки перетину з віссю ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формули
Вирази через синус та косинус
;
;
;
;
;
Формули тангенсу та котангенс від суми та різниці
Інші формули легко отримати, наприклад
Твір тангенсів
Формула суми та різниці тангенсів
У цій таблиці представлені значення тангенсів та котангенсів при деяких значеннях аргументу. 
Вирази через комплексні числа
Вирази через гіперболічні функції
;
;
Похідні
; .
.
Похідна n-го порядку змінної x від функції :
.
Виведення формул для тангенсу >>>; для котангенсу > > >
Інтеграли
Розкладання до лав
Щоб отримати розкладання тангенса за ступенями x, потрібно взяти кілька членів розкладання в степеневий ряд для функцій sin xі cos xі розділити ці багаточлени один на одного. При цьому виходять такі формули.
При .
при .
де B n- Числа Бернуллі. Вони визначаються або з рекурентного співвідношення:
;
;
де.
Або за формулою Лапласа: 
Зворотні функції
Зворотними функціями до тангенсу та котангенсу є арктангенс та арккотангенс відповідно.
Арктангенс, arctg
, де n- ціле.
Арккотангенс, arcctg
, де n- ціле.
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.
Основні поняття
Згадаймо для початку визначення парної, непарної та періодичної функції.
Визначення 2
Четна функція - функція, яка не змінює своє значення при зміні знака незалежної змінної:
Визначення 3
Функція, яка повторює свої значення через певний регулярний проміжок часу:
T - період функції.
Парність та непарність тригонометричних функцій
Розглянемо наступний малюнок (рис. 1):
Малюнок 1.
Тут $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ і $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ -- симетричні щодо осі $Ox$ вектори одиничноюдовжини.
Очевидно, що координати цих векторів пов'язані з такими співвідношеннями:
Так як тригонометричні функції синуса і косинуса можна визначати за допомогою одиничного тригонометричного кола, то отримуємо, що функція синуса буде непарною, а функція косинуса - парною функцією, тобто:
Періодичність тригонометричних функцій
Розглянемо наступний рисунок (рис. 2).
Малюнок 2.
Тут $ \ overrightarrow (OA) = (x, y) $ - вектор одиничної довжини.
Зробимо повний оборот вектором $ \ overrightarrow (OA) $. Тобто повернемо цей вектор на $2\pi$ радіан. Після цього вектор повністю повернеться до початкового положення.
Так як тригонометричні функції синуса і косинуса можна визначати за допомогою одиничного тригонометричного кола, то отримуємо, що
Тобто функції синуса та косинуса є періодичними функціями з найменшим періодом $ T = 2 pi $.
Розглянемо тепер функції тангенсу та котангенсу. Оскільки $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, то
Оскільки $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, то
Приклади завдань на використання парності, непарності та періодичності тригонометричних функцій
Приклад 1
Довести такі твердження:
а) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $
в) $ sin ((-721) ^ 0) = - sin 1 ^ 0 $
а) $ tg (385) ^ 0 = tg (25) ^ 0 $
Так як тангенс - періодична функція з мінімальним періодом $ (360) ^ 0 $, то отримаємо
б) $ (cos \ left (-13 \ pi \ right) \ ) = -1 $
Оскільки косинус - парна і періодична функція з мінімальним періодом $2\pi$, то отримаємо
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- 1\]
в) $ sin ((-721) ^ 0) = - sin 1 ^ 0 $
Оскільки синус - непарна та періодична функція з мінімальним періодом $(360)^0$, то отримаємо
