Вирішення нерівностей з параметром.

Нерівності, які мають вигляд ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются лінійними нерівностями.

Принципи розв'язання лінійних нерівностей з параметром дуже схожі з принципами розв'язання лінійних рівнянь із параметром.

приклад 1.

Вирішити нерівність 5х - а > ax + 3.

Рішення.

Для початку перетворимо вихідну нерівність:

5х – ах > a + 3, винесемо за дужки х у лівій частині нерівності:

(5 – а)х > a + 3. Тепер розглянемо можливі випадки для параметра а:

Якщо a> 5, то x< (а + 3) / (5 – а).

Якщо а = 5, то рішень немає.

Якщо а< 5, то x >(а + 3) / (5 – а).

Дане рішення і буде відповідати нерівності.

приклад 2.

Розв'язати нерівність х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а за а ≠ 1.

Рішення.

Перетворимо вихідну нерівність:

х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножимо на (-1) обидві частини нерівності, отримаємо:

ах/(а – 1) ≥ а/3. Досліджуємо можливі випадки для параметра:

1 випадок. Нехай a/(а – 1) > 0 чи а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тоді x ≥ (а – 1)/3.

2 випадок. Нехай a/(а – 1) = 0, тобто. а = 0. Тоді x – будь-яке дійсне число.

3 випадок. Нехай a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Відповідь: х € [(а - 1) / 3; +∞) при € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при € (0; 1);
х € R при а = 0.

приклад 3.

Розв'язати нерівність |1 + х| ≤ аx щодо х.

Рішення.

З умови випливає, права частина нерівності ах мусить бути негативна, тобто. ах ≥ 0. За правилом розкриття модуля з нерівності |1 + x| ≤ аx маємо подвійну нерівність

Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишемо результат у вигляді системи:

(аx ≥ 1 + x;
(-ах ≤ 1 + x.

Перетворюємо на вигляд:

((а – 1)x ≥ 1;
((а + 1)х ≥ -1.

Досліджуємо отриману систему на інтервалах та в точках (Рис. 1):

При а ≤ -1 x € (-∞; 1/(а – 1)].

При -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

За а = 0 x = -1.

При 0< а ≤ 1 решений нет.

Графічний метод розв'язання нерівностей

Побудова графіків значно полегшує розв'язання рівнянь, що містять параметр. Використання графічного методу під час вирішення нерівностей з параметром ще наочніше і доцільніше.

Графічне вирішення нерівностей виду f(x) ≥ g(x) означає знаходження значень змінної х, при яких графік функції f(x) лежить вище за графік функції g(x). Для цього завжди необхідно знайти точки перетину графіків (якщо вони є).

приклад 1.

Вирішити нерівність | x + 5 |< bx.

Рішення.

Будуємо графіки функцій у = | x + 5 | і у = bx (Рис. 2). Розв'язанням нерівності будуть значення змінної х, у яких графік функції у = |x + 5| буде перебувати нижче графіка функції у = bx.

На малюнку видно:

1) За b > 1 прямі перетинаються. Абсцис точки перетину графіків цих функцій є рішення рівняння х + 5 = bx, звідки х = 5/(b – 1). Графік у = bx перебуває вище при х з інтервалу (5/(b – 1); +∞), отже це безліч і є розв'язання нерівності.

2) Аналогічно знаходимо, що за -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графіки не перетинаються, а значить, і розв'язків у нерівності немає.

Відповідь: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1< b < 0;
рішень немає при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) за b > 1.

приклад 2.

Розв'язати нерівність а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).

Рішення.

1) Знайдемо «контрольні» значення параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.

2) Вирішимо цю нерівність на кожному підмножині дійсних чисел: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, тоді дана нерівність набуде вигляду 0х 0 - рішень немає;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тоді ця нерівність має вигляд 0 · х > 4 – рішень немає;

e) a > 0, з цієї нерівності випливає, що х > (a + 4)/a.

приклад 3.

Вирішити нерівність | 2 - | x | |< a – x.

Рішення.

Будуємо графік функції у = | 2 - | x | | (Рис. 3)і розглядаємо всі можливі випадки розташування прямої у = -x + а.

Відповідь: рішень у нерівності немає при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.

При розв'язанні різних завдань, рівнянь і нерівностей з параметрами відкривається значна кількість евристичних прийомів, які потім успішно можуть бути застосовані в будь-яких інших розділах математики.

Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення та математичної культури. Саме тому, опанувавши методи розв'язання задач з параметрами, ви успішно впораєтеся і з іншими завданнями.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати нерівності?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Курсова робота

Виконавець: Бугров З К.

Вивчення багатьох фізичних процесів та геометричних закономірностей часто призводить до вирішення задач з параметрами. Деякі ВНЗ також включають до екзаменаційних квитків рівняння, нерівності та їх системи, які часто бувають дуже складними та потребують нестандартного підходу до вирішення. У школі цей один із найважчих розділів шкільного курсу математики розглядається лише на нечисленних факультативних заняттях.

Готуючи цю роботу, я ставив за мету більш глибокого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко приводить до відповіді. На мій погляд графічний метод є зручним та швидким способом розв'язання рівнянь та нерівностей з параметрами.

У моєму рефераті розглянуті типи рівнянь, нерівностей та їх систем, що часто зустрічаються, і, я сподіваюся, що знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть мені при здачі шкільних іспитів і при вступі а ВНЗ.

§ 1. Основні визначення

Розглянемо рівняння

(a, b, c, …, k, x) = j (a, b, c, …, k, x), (1)

де a, b, c, …, k, x-змінні величини.

Будь-яка система значень змінних

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при якій і ліва і права частини цього рівняння набувають дійсних значень, називається системою допустимих значень змінних a, b, c, …, k, x. Нехай А - множина всіх допустимих значень а, B - множина всіх допустимих значень b, і т.д., Х - множина всіх допустимих значень х, тобто. аÎА, bÎB, …, xÎX. Якщо кожного з множин A, B, C, …, K вибрати і зафіксувати відповідно за одним значенням a, b, c, …, k і підставити в рівняння (1), то отримаємо рівняння щодо x, тобто. рівняння з одним невідомим.

Змінні a, b, c, …, k, які при вирішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.

Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а невідомі – літерами x, y, z.

Вирішити рівняння з параметрами означає вказати, при яких значеннях параметрів існують рішення і які вони.

Два рівняння, що містять одні й самі параметри, називаються рівносильними, якщо:

а) вони мають сенс при тих самих значеннях параметрів;

б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого та навпаки.

§ 2. Алгоритм рішення.

Знаходимо область визначення рівняння.

Висловлюємо як функцію від х.

У системі координат хОа будуємо графік функції а = | (х) для тих значень х, які входять в область визначення даного рівняння.

Знаходимо точки перетину прямої а=с, де сÎ(-¥;+¥) з графіком функції а=¦(х).Якщо пряма а=с перетинає графік а=¦(х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього достатньо вирішити рівняння а = (х) щодо х.

Записуємо відповідь.

I. Вирішити рівняння

(1)

Оскільки х=0 не є коренем рівняння, можна дозволити рівняння щодо а:

або

Графік функції - дві "склеєних" гіперболи. Кількість рішень вихідного рівняння визначається кількістю точок перетину побудованої лінії та прямої у=а.

Якщо а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то пряма у = перетинає графік рівняння (1) в одній точці. Абсцис цієї точки знайдемо при вирішенні рівняння щодо х.

Таким чином, на цьому проміжку рівняння (1) має рішення

. , то пряма у=а перетинає графік рівняння (1) у двох точках. Абсцис цих точок можна знайти з рівнянь і , отримуємо і . , то пряма у=а не перетинає графік рівняння (1), отже, рішень немає.

Якщо а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то; , то ; , то рішень немає.

ІІ. Знайти всі значення параметра а, за яких рівняння

має три різні корені.

Переписавши рівняння у вигляді

і розглянувши пару функцій , можна помітити, що значення параметра а і тільки вони будуть відповідати тим положенням графіка функції , при яких він має точно три точки перетину з графіком функції .

У системі координат хОу побудуємо графік функції

). Для цього можна уявити її у вигляді і, розглянувши чотири випадки, що виникають, запишемо цю функцію у вигляді

Оскільки графік функції

– це пряма, що має кут нахилу до осі Ох, рівний і перетинає вісь Оу в точці з координатами (0 , а), укладаємо, що три зазначені точки перетину можна отримати лише у випадку, коли ця пряма стосується графіка функції . Тому знаходимо похідну.

ІІІ. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рішення.

З першого рівняння системи отримаємо

Отже, це рівняння задає сімейство "напівпарабол" - праві гілки параболи "ковзають" вершинами по осі абсцис.

Виділимо в лівій частині другого рівняння повні квадрати і розкладемо її на множники

Безліч точок площини

, що задовольняють друге рівняння, є дві прямі і

З'ясуємо, при яких значеннях параметра крива з сімейства “напівпарабол” має хоча б одну загальну точку з однією з отриманих прямих.

Державна бюджетна загальноосвітня установа

Самарської області середня загальноосвітня

школа №2 ім. В. Маскіна ж.-д. ст. Клявліне

муніципального району Клявлинський

Самарської області

« Рівняння

і

нерівності

з параметрами»

навчальний посібник

Клявліне

Навчальний посібник

«Рівняння та нерівності з параметрами»для учнів 10-11 класів

цей посібник є додатком до програми елективного курсу «Рівняння та нерівності з параметрами», яка пройшла зовнішню експертизу (науково-методичною експертною радою міністерства освіти та науки Самарської області від 19 грудня 2008 року балу рекомендована до використання в освітніх установах Самарської області)

Автори

Ромаданова Ірина Володимирівна

вчитель математики МОУ Клявлінської середньої загальноосвітньої

школи №2 ім. В.Маскіна Клявлинського району Самарської області

Сербаєва Ірина Олексіївна

Вступ……………………………………………………………3-4

Лінійні рівняння та нерівності з параметрами……………..4-7

Квадратні рівняння та нерівності з параметрами……………7-9

Дробно-раціональні рівняння з параметрами……………..10-11

Ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами……11-13

Тригонометричні рівняння та нерівності з параметрами.14-15

Показові рівняння та нерівності з параметрами………16-17

Логарифмічні рівняння та нерівності з параметрами…...16-18

Завдання ЄДІ………………………………………………………...18-20

Завдання для самостійної роботи…………………………...21-28

Вступ.

Рівняння та нерівності з параметрами.

Якщо у рівнянні чи нерівності деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені літерами, вони називаються параметрами,а саме рівняння чи нерівність параметричним.

Для того, щоб вирішити рівняння або нерівність із параметрами необхідно:

Виділити особливе значення- це значення параметра, в якому або при переході через яке змінюється рішення рівняння або нерівності.

Визначити допустимі значення– це значення параметра, у яких рівняння чи нерівність має сенс.

Вирішити рівняння або нерівність з параметрами означає:

1) визначити, за яких значеннях параметрів існують рішення;

2) кожної допустимої системи значень параметрів знайти відповідне безліч рішень.

Вирішити рівняння з параметром можна такими методами: аналітичним чи графічним.

Аналітичний метод передбачає завдання дослідження рівняння розглядом кількох випадків, жоден з яких не можна упустити.

Рішення рівняння та нерівності з параметрами кожного виду аналітичним методом передбачає докладний аналіз ситуації та послідовне дослідження, в ході якого виникає необхідність «акуратного звернення»із параметром.

Графічний метод передбачає побудову графіка рівняння, яким можна визначити, як впливає відповідно, рішення рівняння зміна параметра. Графік часом дозволяє аналітично сформулювати необхідні та достатні умови для вирішення поставлених завдань. Графічний метод рішення особливо ефективний тоді, коли потрібно встановити, скільки коренів має рівняння в залежності від параметра і має безперечну перевагу побачити це наочно.

§ 1. Лінійні рівняння та нерівності.

Лінійне рівняння а x = b , записане в загальному вигляді, можна розглядати як рівняння з параметрами, де x – невідоме , a , b - Параметри. Для цього рівняння особливим або контрольним значенням параметра є те, при якому перетворюється на нуль коефіцієнт при невідомому.

При розв'язанні лінійного рівняння з параметром розглядаються випадки, коли параметр дорівнює своєму особливому значенню і відрізняється від нього.

Особливим значенням параметра a є значення а = 0.

b = 0 є особливим значенням параметра b .

При b ¹ 0 рівняння рішень немає.

При b = 0 рівняння набуде вигляду: 0х = 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке дійсне число.

Нерівності виду ах > b і ax < b (а ≠ 0)називаються лінійними нерівностями. Безліч рішень нерівності ах >b- Проміжок

(; +), якщо a > 0 , і (-;) , якщо а< 0 . Аналогічно для нерівності

ах< b безліч рішень – проміжок(-;), якщо a > 0, і (; +), якщо а< 0.

приклад 1. Вирішити рівняння ах = 5

Рішення: Це лінійне рівняння

Якщо а = 0, то рівняння 0 × х = 5рішення немає.

Якщо а¹ 0, х =- вирішення рівняння.

Відповідь: при а¹ 0, х =

при а = 0 рішення немає.

приклад 2. Вирішити рівняння ах - 6 = 2а - 3х.

Рішення:Це лінійне рівняння, ах - 6 = 2а - 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписавши рівняння у вигляді (а+3)х = 2(а+3), розглянемо два випадки:

а=-3і а¹ -3.

Якщо а=-3, то будь-яке дійсне число хє коренем рівняння (1). Якщо ж а¹ -3 , рівняння (1) має єдиний корінь х = 2.

Відповідь:При а = -3, х R ; при а ¹ -3 Х = 2.

приклад 3. При яких значеннях параметра асеред коренів рівняння

2ах – 4х – а 2 + 4а - 4 = 0є коріння більше 1 ?

Рішення: Розв'яжемо рівняння 2ах – 4х – а 2 + 4а - 4 = 0- Лінійне рівняння

2(а - 2) х = а 2 - 4а +4

2(а - 2) х = (а - 2) 2

При а = 2рішенням рівняння 0х = 0буде будь-яке число, у тому числі й більше 1.

При а¹ 2 х =
. За умовою х > 1, тобто
>1, а > 4.

Відповідь:При а (2) U (4;∞).

Приклад 4 . Для кожного значення параметра азнайти кількість коренів рівняння ах = 8.

Рішення. ах = 8- Лінійне рівняння.

y = a- Сімейство горизонтальних прямих;

y = - графіком є ​​гіпербола. Збудуємо графіки цих функцій.

Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння рішень немає. Якщо а ≠ 0то рівняння має одне рішення.

Приклад 5 . За допомогою графіків з'ясувати, скільки коренів має рівняння:

|х| = ах - 1.

y =| х | ,

y = ах - 1- Графіком є ​​пряма, що проходить через точку (0;-1).

Збудуємо графіки цих функцій.

Відповідь:Прі |а|>1- один корінь

при | а|≤1 - Рівняння коренів не має.

приклад 6 . Розв'язати нерівність ах + 4 > 2х + а 2

Рішення : ах + 4 > 2х + а 2
(а – 2) х >а 2 - 4. Розглянемо три випадки.

Відповідь. х > а + 2при а > 2; х<а + 2, при а< 2; при а=2рішень немає.

§ 2. Квадратні рівняння та нерівності

Квадратне рівняння– це рівняння виду ах ² + b х + с = 0 , де а≠ 0,

а, b , з - Параметри.

Для вирішення квадратних рівнянь з параметром можна використовувати стандартні способи розв'язання застосування таких формул:

1 ) дискримінанта квадратного рівняння: D = b ² - 4 ac , (
²- ас)

2) формул коренів квадратного рівняння:х 1 =
х 2 =
,

(х 1,2 =
)

Квадратними називаються нерівності виду

a х 2 + b х + с > 0,a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)

a х 2 + b х + з ≥ 0,a х 2 + b х + с ≤ 0,(3), (4)

Безліч рішень нерівності (3) виходить об'єднанням множин рішень нерівності (1) і рівняння , a х 2 + b х + з = 0.Аналогічно є безліч рішень нерівності (4).

Якщо дискримінант квадратного тричлена a х 2 + b х + с менше нуля, то при а >0 тричлен позитивний при всіх х R.

Якщо квадратний тричлен має коріння (х 1 < х 2 ), то при а > 0 він позитивний на множині(-; х 2 )
(х 2; +) і негативний на інтервалі

(х 1; х 2 ). Якщо а< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1; х 2 ) і від'ємний при всіх х (-; х 1 )
(х 2; +).

приклад 1. Вирішити рівняння ах² - 2 (а - 1)х - 4 = 0.

Це квадратне рівняння

Рішення: Особливе значення а = 0.

При а = 0отримаємо лінійне рівняння 2х - 4 = 0. Воно має єдине коріння х = 2.

При а ≠ 0.Знайдемо дискримінант.

D = (а-1)² + 4а = (а+1)²

Якщо а = -1,то D = 0 - Один корінь.

Знайдемо корінь, підставивши замість а = -1.

-х ² + 4х - 4 = 0,тобто х² -4х + 4 = 0,знаходимо, що х = 2.

Якщо а ≠ - 1, то D >0 . За формулою коріння отримаємо:х=
;

х 1 =2, х 2 = -.

Відповідь:При а = 0 і а = -1рівняння має один корінь х = 2;при а ≠ 0 та

а ≠ - 1 рівняння має два кореніх 1 =2, х 2 =-.

приклад 2. Знайдіть кількість коренів цього рівняння х²-2х-8-а = 0залежно від значень параметра а.

Рішення. Перепишемо це рівняння у вигляді х²-2х-8=а

y = х²-2х-8- графіком є ​​парабола;

y =а- Сімейство горизонтальних прямих.

Побудуємо графіки функцій.

Відповідь: При а<-9 , Рівняння рішень не має; при а=-9 рівняння має одне рішення; при а>-9, Рівняння має два рішення.

приклад 3. При яких анерівність (а – 3) х 2 - 2ах + 3а - 6 >0виконується всім значень х?

Рішення.Квадратний тричлен позитивний при всіх значеннях, якщо

а-3 > 0 та D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, звідки випливає, щоa > 6 .

Відповідь.a > 6

§ 3. Дробно-раціональні рівняння з параметром,

що зводяться до лінійних

Процес розв'язання дробових рівнянь виконується за звичайною схемою: дробове замінюється цілим шляхом множення обох частин рівняння на загальний знаменник лівої та правої його частин. Після чого вирішується ціле рівняння, виключаючи стороннє коріння, тобто числа, які перетворюють знаменник на нуль.

У разі рівнянь із параметром це завдання складніше. Тут, щоб «виключити» стороннє коріння, потрібно знайти значення параметра, що обертає загальний знаменник на нуль, тобто вирішити відповідні рівняння щодо параметра.

приклад 1. Вирішити рівняння
= 0

Рішення: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

х – а = 0, х = а.

Відповідь:При а ≠ - 2, х = а

При а = -2коріння немає.

Приклад 2 . Вирішити рівняння
-
=
(1)

Це дробораціональне рівняння

Рішення:Значення а = 0є особливим. При а = 0рівняння втрачає сенс і, отже, немає коріння. Якщо а ≠ 0,то після перетворень рівняння набуде вигляду: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2)- квадратне рівняння.

Знайдемо дискримінант = (1 - а) ² - (а ² - 2а - 3) = 4, знаходимо коріння рівняннях 1 = а + 1, х 2 = а – 3.

При переході від рівняння (1) до рівняння (2) розширилася сфера визначення рівняння (1), що могло призвести до появи сторонніх коренів. Тому необхідна перевірка.

Провірка.Виключимо зі знайдених значень хтакі, за яких

х 1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.

Якщо х 1 +1=0, тобто (а+1) + 1=0, то а = -2.Таким чином,

при а=-2 , х 1 -

Якщо х 1 +2=0, тобто (а+1)+2=0,то а = - 3. Таким чином, при а = - 3, х 1 - сторонній корінь рівняння. (1).

Якщо х 2 +1=0, тобто (а - 3) + 1 = 0, то а = 2. Таким чином, при а = 2 х 2 - сторонній корінь рівняння (1).

Якщо х 2 +2=0, тобто ( а - 3) + 2 = 0,то а=1. Таким чином, при а = 1,

х 2 - сторонній корінь рівняння (1).

Відповідно до цього при а = - 3отримуємо х = - 3 - 3 = -6;

при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;

при а = 1 х = 1 + 1 = 2;

при а = 2 х = 2 +1 = 3.

Можна записати відповідь.

Відповідь: 1) якщо а = -3,то х = -6; 2) якщо а=-2, то х = -5; 3) якщо а = 0, то коріння немає; 4) якщо а = 1, то х = 2; 5) якщо а=2, то х = 3; 6) якщо а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а ≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.

§4. Ірраціональні рівняння та нерівності

Рівняння та нерівності, в яких змінна міститься під знаком кореня, називається ірраціональним.

Рішення ірраціональних рівнянь зводиться до переходу від ірраціонального рівняння до раціонального шляхом зведення в ступінь обох частин рівняння або заміни змінної. При зведенні обох частин рівняння на парний ступінь можлива поява сторонніх коренів. Тому при використанні зазначеного методу слід перевірити все знайдене коріння підстановкою у вихідне рівняння, враховуючи при цьому зміни значень параметра.

Рівняння виду
= g (x) рівносильно системі

Нерівність f(x) ≥ 0 випливає з рівняння f(x) = g2(x).

При вирішенні ірраціональних нерівностей будемо використовувати наступні рівносильні перетворення:

≤ g(x)


≥g(x)

приклад 1. Розв'яжіть рівняння
= х + 1 (3)

Це ірраціональне рівняння

Рішення: За визначенням арифметичного кореня рівняння (3) рівносильне системі
.

При а = 2перше рівняння системи має вигляд 0 х = 5, тобто немає рішень.

При а≠ 2 х=
. З'ясуємо, за яких значеньа знайдене значеннях задовольняє нерівностіх ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

звідки а ≤або а > 2.

Відповідь:При а?, а > 2 х=
, при < а ≤ 2 рівняння рішень немає.

приклад 2. Вирішити рівняння
= а (Додаток 4)

Рішення. y =

y = а- Сімейство горизонтальних прямих.

Побудуємо графіки функцій.

Відповідь: при а<0 -Рішень немає;

при а≥ 0 – одне рішення.

Приклад 3 . Вирішимо нерівність(а+1)
<1.

Рішення.О.Д.З. х ≤ 2. Якщо а+1 ≤0, то нерівність виконується за всіх допустимих значеннях х. Якщо ж а+1>0, то

(а+1)
<1.

<

звідки х (2-
2

Відповідь. х (- ;2при а (-;-1, х (2-
2

при а (-1;+).

§ 5. Тригонометричні рівняння та нерівності.

Наведемо формули розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь:

Sinx = a
x=(-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ± arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Якщо >1, то рівняння (1) і (2) рішень немає.

tg x = a
x = arctg a + πn, n Z, a R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, a R

Для кожної стандартної нерівності вкажемо безліч рішень:

1. sin x > a
arcsin a + 2 πn Z,

при a <-1, x R ; при a ≥ 1, рішень немає.

2. . sin x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

при а?-1, рішень немає; при а >1,x R

3. cos x > a
- arccos a + 2 πn < x < arccos a + 2 πn , n Z ,

при а<-1, x R ; при a ≥ 1 , рішень немає.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

при а≤-1 , рішень немає; приa > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + πnZ

6. tg x< a, -π/2 + πn Z

Приклад1. Знайти а, При яких дане рівняння має рішення:

Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 - 4a - 5 = 0.

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді

зos 2 x + (2 a -4) cosx +(a - 5) (а +1) = 0,вирішуючи його як квадратне, отримуємо cosx = 5-аі cosx = -а-1.

Рівняння cosx = 5- а має рішення за умови -1≤ 5-а ≤1
4≤ а≤ 6, а рівняння cosx = - а-1 за умови -1≤-1-а ≤ 1
-2 ≤ а ≤0.

Відповідь. а -2; 0
4; 6

приклад 2. При яких bзнайдеться таке, що нерівність
+ b> 0 виконується за всіх х ≠πn , n Z .

Рішення.Покладемо а= 0. Нерівність виконується за b >0. Покажемо тепер, що жодне b ≤0 не задовольняє умови завдання. Дійсно, достатньо покласти х = π /2, якщо а <0, и х = - π /2 при а ≥0.

Відповідь.b> 0

§ 6. Показові рівняння та нерівності

1. Рівняння h(x) f ( x ) = h(x) g ( x) при h(x) > 0 рівносильно сукупності двох систем
і

2. У окремому випадку (h (x )= a ) рівняння а f(x) = а g (x ) при а> 0, рівносильно сукупності двох систем

і

3. Рівняння а f(x) = b , де а > 0, a ≠1, b>0, рівносильно рівнянню

f (x) = log a b. Випадок а=1 розглядаємо окремо.

Вирішення найпростіших показових нерівностей засноване на властивості ступеня. Нерівність видуf(a x ) > 0 за допомогою заміни змінноїt= a x зводиться до розв'язання системи нерівностей
а потім до розв'язання відповідних найпростіших показових нерівностей.

При розв'язанні нестрогої нерівності необхідно до безлічі рішень суворої нерівності приєднати коріння відповідного рівняння. Як і при вирішенні рівнянь у всіх прикладах, що містять вираз а f (x), припускаємо а> 0. Випадок а= 1 розглядаємо окремо.

Приклад 1 . При яких арівняння 8 х =
має тільки позитивне коріння?

Рішення. За властивістю показової функції з основою, великою одиниці, маємо х>0
8 х >1

>1

>0, звідкиa (1,5;4).

Відповідь. a (1,5;4).

приклад 2. Розв'язати нерівність a 2 ∙2 x > a

Рішення. Розглянемо три випадки:

1. а< 0 . Оскільки ліва частина нерівності позитивна, а права негативна, то нерівність виконується для будь-яких х R.

2. a=0. Рішень немає.

3. а > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > - log 2 a

Відповідь. х Rпри а > 0; рішень немає при a =0; х (- log 2 a; +) приа> 0 .

§ 7. Логарифмічні рівняння та нерівності

Наведемо деякі еквівалентності, які використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

1. Рівняння log f (x) g (x) = log f (x) h (x) рівносильне системі

Зокрема, якщо а >0, а≠1, то

log a g (x) = log a h(x)

2. Рівняння log a g (x) = b
g(x)=a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Нерівність log f ( x ) g (x) ≤ log f ( x ) h(x) рівносильно сукупності двох систем:
і

Якщо а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log a f(x) ≤ b

log a f(x) > b

приклад 1. Розв'яжіть рівняння

Рішення. Знайдемо ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а≠ 1. Перетворимо рівняння

log х – 2 = 4 – log a x
log х + log a x- 6 = 0, звідки log a x = - 3

х = а-3 та log a x = 2
х = а 2 . Умова х = а 4
а – 3 = а 4 або а 2 = а 4 не виконується на ОДЗ.

Відповідь:х = а-3 х = а 2 при а (0; 1)
(1; ).

Приклад 2 . Знайдіть найбільше значення а, при якому рівняння

2 log -
+ a = 0 має рішення.

Рішення. Виконаємо заміну
= tі отримаємо квадратне рівняння 2t 2 – t + a = 0. Вирішуючи, знайдемоD = 1-8 a . Розглянемо D≥0, 1-8 а ≥0
а ≤.

При а = квадратне рівняння має коріньt= >0.

Відповідь. а =

Приклад 3 . Розв'язати нерівністьlog(x 2 – 2 x + a ) > - 3

Рішення. Розв'яжемо систему нерівностей

Коріння квадратних тричленів х 1,2 = 1 ±
і х 3,4 = 1 ±
.

Критичні значення параметра: а= 1 і а= 9.

Нехай Х 1 і Х 2 – безліч рішень першої та другої нерівностей, тоді

Х 1
Х 2 = Х - Вирішення вихідної нерівності.

При 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), приа> 1 Х 1 = (-;+).

При 0< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), приа≥9 Х 2 – рішень немає.

Розглянемо три випадки:

1. 0< a ≤1 Х = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 Х – рішень немає.

Завдання ЄДІ

Високий рівень С1, С2

приклад 1. Знайдіть усі значення р, при яких рівняння

р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p= 3 має хоча б один корінь.

Рішення.Перетворимо рівняння

р ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx = t, t
, t 0.

- p+ 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 - 2t 3 = p .

Нехай f(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Знайдемо безліч значень функціїf(x) на


. у / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

При t
, E(f) =
,

При t
, E(f) =
, тобто при t


, E(f) =
.

Щоб рівняння 3t 2 – 2 t 3 = p (Отже, і це) мало хоча б один корінь необхідно і достатньоp E(f), тобто p
.

Відповідь.
.

приклад 2.

При яких значеннях параметраарівняння log
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 має рівно один корінь?

Рішення.Перетворимо рівняння на рівносильне даному:

4x 2 – 4 a + a 2+7 = (х 2+2) 2 .

Зазначимо, що й деяке число х є коренем отриманого рівняння, то число – х також є коренем цього рівняння. За умовою це неможливо, тому єдиним коренем є число 0.

Знайдемо а.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Перевірка.

1) a 1 = 1. Тоді рівняння має вигляд:log
(4 x 2 +4) =2. Вирішуємо його

4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 - єдиний корінь.

2) a 2 = 3. Рівняння має вигляд:log
(4 x 2 +4) =2
х = 0 – єдиний корінь.

Відповідь. 1; 3

Високий рівень С4, С5

приклад 3. Знайдіть усі значення р,при яких рівняння

х 2 – ( р+ 3)х + 1= 0 має цілі коріння і це коріння є рішеннями нерівності: х 3 – 7 рх 2 + 2х 2 – 14 рх - 3х +21 р ≤ 0.

Рішення. Нехай х 1, х 2 - Цілі корені рівняння х 2 – (р + 3) х + 1 = 0. Тоді за формулою Вієта справедливі рівності х 1 + х 2 = р + 3, х 1 ∙ х 2 = 1. Добуток двох цілих чисел х 1 х 2 може дорівнювати одиниці тільки у двох випадках: х 1 = х 2 = 1 або х 1 = х 2 = - 1. Якщо х 1 = х 2 = 1, тор + 3 = 1+1 = 2
р = - 1; якщо х 1 = х 2 = - 1, тор + 3 = - 1 – 1 = - 2
р = - 5. Перевіримо чи є коріння рівняння х 2 – (р + 3) х + 1 = 0 в описаних випадках рішеннями даної нерівності. Для випадкур = - 1, х 1 = х 2 = 1 маємо

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – вірно; для випадку р= - 5, х 1 = х 2 = - 1 маємо (-1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – вірно. Отже, умові завдання задовольняють лише р= - 1 і р = - 5.

Відповідь.р 1 = - 1 і р 2 = - 5.

приклад 4. Знайдіть усі позитивні значення параметра а, при яких число 1 належить області визначення функції

у = (а
- а
).

Тип завдання: 18

Умова

При яких значеннях параметра a нерівність

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1виконується за всіх значеннях x ?

Показати рішення

Рішення

Ця нерівність рівносильна подвійній нерівності 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

Нехай \sin x=t тоді отримаємо нерівність:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , яке має виконуватися за всіх значень -1 \leq t \leq 1 . Якщо a = 0, то нерівність (*) виконується для будь-якого t in [-1; 1].

Нехай a \neq 0 . Функція f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t зростає на проміжку [-1;1] , оскільки похідна f"(t)=3t^(2)+4at +5a^(2) > 0 при всіх значеннях t \in \mathbb(R) та a \neq 0 (дискримінант D< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Нерівність (*) виконуватиметься для t \in [-1;1] за умов

\begin(cases) f(-1) > -4, f(1) \leq 1, a \neq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \1+2a+5a^(2) \leq 1, \a aneq 0; \end(cases)\: \Leftrightarrow \begin(cases) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5) \leq a< 0 .

Отже, умова виконується при -frac(2)(5) \leq a \leq 0 .

Відповідь

\left [-\frac(2)(5); 0 \right ]

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2016. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 18
Тема: Нерівності з параметром

Умова

Знайдіть усі значення параметра a , при кожному з яких нерівність

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

має єдине рішення.

Показати рішення

Рішення

Нерівність рівносильна сукупності систем нерівностей

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(cases) \\ \begin(cases)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(cases)\end(array)\right.

У системі координат Oxa побудуємо графіки функцій a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Отриманої сукупності задовольняють точки, укладені між графіками функцій a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2xна проміжку x\in (заштрихована область).

За графіком визначаємо: вихідна нерівність має єдине рішення при a = -4 і a = 5, так як у заштрихованій області буде єдина точка з ординатою a, що дорівнює -4 і дорівнює 5.

На цьому уроці ми вивчимо алгоритм розв'язання нерівностей із параметрами та навчимося застосовувати його при вирішенні такого типу завдань.

Визначення перше.

Вирішити нерівність з параметром — означає для кожного значення параметра знайти безліч усіх розв'язків цієї нерівності або довести, що розв'язків немає.

Розглянемо лінійні нерівності.

Визначення друге.

Нерівності виду а ікс плюс бе більше нуля, більше або дорівнює нулю, менше нуля, менше або дорівнює нулю, де aі бе - дійсні числа, ікс- Змінна, називаються нерівностями першого ступеня (лінійними нерівностями).

Алгоритм розв'язання лінійної нерівності з параметром, наприклад, нерівності а ікс плюс бе більше нуля, де aі бе - дійсні числа, ікс- Змінна. Розглянемо такі випадки:

Перший випадок:aбільше нуля, тоді ікс більше мінус бе ділене на а.

Отже, безліч розв'язків нерівності є відкритий числовий промінь від мінус бе ділене на а до плюс нескінченності.

Другий випадок:aменше нуля, тоді ікс менше мінус бе ділене на а

і, отже, безліч рішень нерівності є відкритий числовий промінь від мінус нескінченності до мінус бе ділене на а.

Третій випадок: aі нулю, тоді нерівність набуде вигляду: нуль помножений на ікс плюс б більше нуля і для бебольшенуля будь-яке дійсне число є рішення нерівності, а при беменшим чи рівним нулю нерівність немає рішень.

Інші нерівності вирішуються аналогічно.

Розглянемо приклади.

Завдання 1

Вирішити нерівність а іксменше або дорівнює одиниці.

Рішення

Залежно від знаку aрозглянемо три випадки.

Перший випадок: якщо aбільше нуля, то ікс менше або одно ділене на а;

Другий випадок: якщо aменше нуля, то ікс більше або одно ділене на а;

Третій випадок: якщо aодно нулю, то нерівність набуде вигляду: нуль помножене на ікс менше, або одно одиниці і, отже, будь-яке дійсне число є рішенням вихідної нерівності.

Таким чином, якщо абільше за нуль, то ікс належить променю від мінус нескінченності до одиниці, поділеної на а.

Якщо a aодно нулю,

то x

Відповідь: якщо абільше за нуль, то ікс належить променю від мінус нескінченності до одиниці, поділеної на а;

якщо aменше нуля, то ікс належить променю від одиниці, поділеної на а, до плюс нескінченності, і якщо aодно нулю,

то xікс належить безлічі дійсних чисел.

Завдання 2

Розв'язати нерівність модуль ікс мінус два більше мінус квадрата різниці а та одиниці.

Рішення

Зауважимо, що модуль ікс мінус два більше або дорівнює нулю для будь-якого дійсного іксі мінус квадрат різниці а і одиниці менше або дорівнює нулю для будь-якого значення параметра a. Отже, якщо aодно одиниці, то будь-яке ікс— дійсне число, відмінне від двох, є рішенням нерівності, а якщо aне одно одному, то будь-яке дійсне число є рішенням нерівності.

Відповідь: якщо aодно одному, то ікс належить об'єднанню двох відкритих числових променів від мінус нескінченності до двох і від двох до плюс нескінченності,

а якщо aналежить об'єднанню двох відкритих числових променів від мінус нескінченності до одиниці та від одного до плюс нескінченності, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Завдання 3

Вирішити нерівність три помножене на різницю чотирьох а і ікс менше двох а ікс плюс три.

Рішення

Після елементарних перетворень даної нерівності, отримаємо нерівність: ікс помножене на суму двох а і трьох більше трьох помножене на різницю чотирьох а та одного.

Перший випадок: якщо два плюс три більше нуля, тобто aбільше мінус трьох других, то ікс більше дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох і одиниці, а знаменник — два плюс три.

Другий випадок: якщо два плюс три менше нуля, тобто aменше мінус трьох других, то ікс менше дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох і одного, а знаменник два а плюс три.

Третій випадок: якщо два а плюс три дорівнює нулю, тобто aодно мінус три других,

будь-яке дійсне число є рішенням вихідної нерівності.

Отже, якщо належить окритому числовому променю від мінус трьох других до плюс нескінченності, то ікс

належить відкритому числовому променю від дробу, чисельник якого - три помножене на різницю чотирьох а і одного, а знаменник - два а плюс три, до плюс нескінченності.

Якщо ж належить відкритому числовому променю від мінус нескінченності до мінус трьох других, то ікс належить відкритому числовому променю від мінус нескінченності до дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а та одиниці, а знаменник — два а плюс три;

якщо aі мінус трьом других, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Відповідь: якщо а належить відкритому числовому променю від мінус трьох других до плюс нескінченності, то ікс

належить відкритому числовому променю від дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а і одиниці, а знаменник — два плюс три до плюс нескінченності;

якщо а належить відкритого числового променя від мінус нескінченності до мінус трьох других, то ікс належить відкритого числового променя від мінус нескінченності до дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а і одиниці, а знаменник два плюс три;

якщо aі мінус трьом других, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Завдання 4

Для всіх допустимих значень параметра авирішити нерівність квадратний корінь із ікс мінус а плюс квадратний корінь із двох а мінус ікс плюс квадратний корінь із а мінус один плюс квадратний корінь із трьох мінус а більше нуля.

Рішення

Знайдемо область визначення параметра а. Вона визначається системою нерівностей, вирішивши яку знаходимо, що належить відрізку від однієї до трьох.

Ця нерівність рівнозначна системі нерівностей, вирішуючи яку знаходимо, що ікс належить відрізку від а до двох а.

Якщо належить відрізку від одиниці до трьох, то рішенням вихідної нерівності є відрізок від а до двох а.

Відповідь: якщо належить відрізку від одного до трьох, тоікс належить відрізку від а до двох а.

Завдання 5

Знайти все а, при яких нерівність

кв. знаменник – п'ять мінус ікс не має рішення.

Рішення

Перше. Обчислимо область визначення даної нерівності. Вона визначається системою нерівностей, розв'язанням якої є два числа: ікс дорівнює мінус одиниці та ікс дорівнює двом.

Друге. Знайдемо всі значення а, у яких ця нерівність має рішення. Для цього знайдемо все а, При яких ікс дорівнює мінус одиниці та ікс дорівнює двом - це вирішення даної нерівності. Розглянемо та вирішимо сукупність двох систем. Рішенням є об'єднання двох числових променів від мінус нескінченності до мінус однієї другої, і від одиниці до плюс нескінченності.

Значить, ця нерівність має рішення, якщо належить об'єднанню двох числових променів від мінус

нескінченності до мінус однієї другої, і від одиниці до плюс нескінченності.

Третє. Отже, ця нерівність не має рішення, якщо належить інтервалу від мінус однієї другої до одиниці.

Відповідь: нерівність немає рішення, якщо належить інтервалу від мінус однієї другої до одиниці.