Монотонна функція- Це функція, що змінюється в тому самому напрямку.

Функція зростає якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Інакше кажучи, якщо при зростанні значення xзначення yтеж зростає, це зростаюча функція.

Функція зменшується якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Інакше кажучи, якщо при зростанні значення xзначення yспадає, то це спадна функція.

Якщо функція зростає або зменшується на певному проміжку, то вона називається монотонною на цьому проміжку.

Функція постійна (немонотонна) , якщо вона не зменшується і не зростає.

Теорема(Необхідна ознака монотонності):

1. Якщо диференційована функція f(x) у певному інтервалі зростає, її похідна цьому інтервалі неотрицательна, тобто .

2. Якщо функція f(x), що диференціюється, в деякому інтервалі зменшується, то її похідна на цьому інтервалі непозитивна, .

3. Якщо функція не змінюється, її похідна дорівнює нулю, тобто. .

Теорема(Достатня ознака монотонності):

Нехай f(x) безперервна на інтервалі (a;b) і має похідну у всіх точках, тоді:

1. Якщо всередині (a; b) позитивна, f (x) зростає.

2. Якщо всередині (a; b) негативна, то f (x) зменшується.

3. Якщо f (x) постійна.

Дослідження функції екстремуми.

Екстремум- максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум, називається точкою екстремуму. Відповідно, якщо досягається мінімум – точка екстремуму називається точкою мінімуму, а якщо максимум – точкою максимуму.

1. Знайдіть область визначення функції та інтервали, на яких безперервна функція.

2. Знайдіть похідну.

3. Знайдіть критичні точки, тобто. точки у яких похідна функції дорівнює нулю чи немає.

4. У кожному з інтервалів на які область визначення розбивається критичними точками, визначити знак похідної та характер зміни функції.

5. Щодо кожної критичної точки визначити, чи вона є точною максимуму, мінімуму чи не є точкою екстремуму.

Записати результат дослідження функції проміжки монотонності та екстремуму.

Найбільше та найменше значення функції.

Схема знаходження найбільшого та найменшого значень функції, безперервної на відрізку.

1. Знайти похідну.

2. Знайти на даному відрізку критичні точки.

3. Обчислити значення функції у критичних точках і кінцях відрізка.

4. З обчислених значень вибрати найменше та найбільше.

Випуклість та увігнутість функції.

Дуга називається опуклою, якщо вона перетинається з будь-якою своєю січною не більше, ніж у двох точках.

Лінії, що утворюються опуклістю вгору, називаються опуклими, а утворені опуклістю вниз - увігнутими.

Геометрично ясно, що опукла дуга лежить під будь-якою своєю дотичною, а увігнута дуга – над дотичною.

Точки перегину функції.

Точкою перегину називається така точка лінії, яка відокремлює опуклу дугу від увігнутої.

У точці перегину дотична перетинає лінію, на околиці цієї точки лінія лежить по обидва боки від дотичної.

Інтервалу зменшення першої похідної відповідає ділянка опуклості графіка функції, а інтервалу зростання - ділянка увігнутості.

Теорема(про точки перегину):

Якщо друга похідна скрізь в інтервалі негативна, то дуга лінії y = f(x), що відповідає цьому інтервалу, опукла. Якщо друга похідна усюди в інтервалі позитивна, то дуга лінії y = f(x), що відповідає цьому інтервалу, увігнута.

Необхідна ознака точки перегину:

Якщо - абсцису точки перегину, то або не існує.

Достатня ознака точки перегину:

Точка є точка перегину лінії y = f(x), якщо , а;

При ліворуч від неї лежить ділянка опуклості, праворуч – ділянка увігнутості, а при ліворуч лежить ділянка увігнутості, а праворуч – опуклості.

Асимптоти.

Визначення.

p align="justify"> Асимптотою графіка функції називається пряма, що володіє тією властивістю, що відстань від точки графіка функції до цієї прямої прагне до нуля при необмеженому видаленні точки графіка від початку координат.

Види асимптот:

1. Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції y = f (x), якщо хоча б одне з прямих значень або одно чи .

Числове безліч Xвважається симетричнимщодо нуля, якщо для будь-кого xЄ Xзначення - хтакож належить безлічі X.

Функція y = f(хX, вважається парної X xЄ X, f(х) = f(-х).

У парної функції графік симетричний щодо осі Оу.

Функція y = f(х), яка задана на безлічі X, вважається непарною, якщо виконуються такі умови: а) безліч Xсиметрично щодо нуля; б) для будь-якого xЄ X, f(х) = -f(-х).

У непарної функції графік симетричний щодо початку координат.

Функція у = f(x), xЄ X, називається періодичноїна Xякщо знайдеться число Т (Т ≠ 0) (періодфункції), що виконуються такі умови:

• х - Ті х + Тз множини Xдля будь-кого хЄ X;
• для будь-кого хЄ X, f(х + T) = f(х - T) = f(х).

У випадку, коли Т- це період функції, будь-яка кількість виду mТ, де mЄ Z, m≠ 0, це також період цієї функції. Найменший із позитивних періодів цієї функції (якщо він існує) називається її основним періодом.

У випадку, коли Т- основний період функції, то для побудови її графіка можна побудувати частину графіка на будь-якому з проміжків області визначення довжини Т, а потім зробити паралельне перенесення цієї ділянки графіка вздовж осі О хна ± Т, ±2 T, ....

Функція y = f(х), обмежена знизуна безлічі Х А, що для будь-кого хЄ X, А ≤ f(х). Графік функції, який обмежений знизу на множині Xповністю розташовується вище прямої у = А(Це горизонтальна пряма).

Функція у = f(x), обмежена зверхуна безлічі Х(вона при цьому має бути визначеною на цій множині), якщо є число У, що для будь-кого хЄ X, f(х) ≤ У. Графік функції, який обмежений зверху на множині X, повністю розташовується нижче прямої у = У(Це горизонтальна лінія).

Функція, вважається обмеженоюна безлічі Х(вона при цьому повинна бути визначеною на цій множині), якщо вона обмежена на цій множині зверху і знизу, тобто існують такі числа Аі У, що для будь-кого хЄ Xвиконуються нерівності A ≤ f(x) ≤ B. Графік функції, яка обмежена на множині Xповністю розташовується в проміжку між прямими у = Аі у = У(Це горизонтальні прямі).

Функція у = f (х), вважається обмеженою на безлічі Х(вона при цьому має бути визначеною на цій множині), якщо знайдеться число З> 0, що для будь-якого xЄ X, │f(х)│≤ З.

Функція у = f(х), хЄ X, називається зростаючою (неубутньою)на підмножині МЗ X, коли для кожних х 1 та х 2 з Мтаких, що х 1 < х 2 , справедливо f(х 1) < f(х 2) (f(х 1) ≤ f(х 2)). Або функція у називається зростаючоюна безлічі Доякщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає більше значення функції.

Функція у = f(х), хЄX, називається спадаючою (незростаючою)на підмножині МЗ X, коли для кожних х 1 та х 2 з Мтаких, що х 1 < х 2 , справедливо f(х 1) > f(х 2) (f(х 1) ≥ f(х 2)). Або функція уназивається спадною на безлічі Доякщо більшому значенню аргументу з цієї множини відповідає менше значення функції.

Функція у = f(x), хЄ X, називається монотонноїна підмножині МЗ X, якщо вона є спадною (незростаючою) або зростаючою (не спадаючою) на М.

Якщо функція у = f(х), хЄ X, є спадною або зростаючою на підмножині МЗ X, то така функція називається суворо монотонноїна безлічі М.

Число Мназивають найбільшим значенням функціїу на безлічі Доякщо це число є значенням функції при певному значенні х 0 аргументу з множиниДо, а при інших значеннях аргументу з множини значення функції у не більше числаМ.

Число mназивають найменшим значеннямфункції у на множині Доякщо це число є значенням функції при певному значенні х 0 аргументу з множини До, а при інших значеннях аргументу х із множини Дозначення функції у не менше числа m.

Основні властивості функції , з яких краще починати її вивчення та дослідження це область її визначення та значення. Слід зазначити, як зображуються графіки елементарних функцій. Тільки потім можна переходити до побудови складніших графіків. Тема "Функції" має широкі програми в економіці та інших галузях знання. Функції вивчають протягом усього курсу математики та продовжують вивчати ввищих навчальних закладах . Там функції досліджуються за допомогою першої та другої похідних.

Який не змінює знака, тобто завжди невід'ємне, або завжди непозитивне. Якщо на додаток збільшення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонної. Монотонна функція - це функція, що змінюється в тому самому напрямку.

Функція зростає, якщо більше значення аргументу відповідає більше значення функції. Функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Визначення

Нехай дана функція Тоді

. . . .

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

Інша термінологія

Іноді зростаючі функції називають невпадаючими, а спадні функції незростаючими. Строго зростаючі функції тоді звуть просто зростаючими, а строго спадають просто меншими.

Властивості монотонних функцій

Умови монотонності функції

Назад, взагалі кажучи, неправильно. Похідна строго монотонної функції може звертатися в нуль. Однак, безліч точок, де похідна не дорівнює нулю, має бути щільно на інтервалі.

Аналогічно, суворо зменшується на інтервалі тоді й лише тоді, коли виконані такі дві умови:

Приклади

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Монотонна функція" в інших словниках:

Монотонна функція- — функція f(x), яка може бути або зростаючою на деякому проміжку (тобто, чим більше будь-яке значення аргументу на цьому проміжку, тим більше значення функції), або меншою (у протилежному випадку).

Функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не зменшується), або завжди зменшується (не зростає). Великий Енциклопедичний словник

- (monotonie function) Функція, у якій зі зростанням значення аргументу значення функції завжди змінюється у тому напрямі. Отже, якщо у=f(x), або dy/dx 0 всім значень х, й у разі у є зростаючою… … Економічний словник

- (Від грец. Monótonos однотонний) функція, збільшення якої Δf(x) = f(x') f(x) при Δx = x' x > 0 не змінюють знака, тобто або завжди невід'ємні, або завжди непозитивні. Висловлюючись не зовсім точно, М. ф. це функції, що змінюються в… Велика Радянська Енциклопедія

Функція, яка при зростанні аргументу або завжди збільшується (або хоча б не зменшується), або завжди зменшується (не збільшується). * * * МОНОТОННА ФУНКЦІЯ МОНОТОННА ФУНКЦІЯ, функція, яка при зростанні аргументу або завжди зростає (або… … Енциклопедичний словник

Функція одного змінного, визначена на деякому підмножині дійсних чисел, приріст до рій не змінює знака, тобто або завжди неотрицательно, або завжди непозитивно. Якщо строго більше (менше) нуля, колись М. ​​ф. зв. Математична енциклопедія

Функція, до раю при зростанні аргументу або завжди зростає (або хоча б не зменшується), або завжди зменшується (не зростає). Природознавство. Енциклопедичний словник

Це послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають. Подібні послідовності часто зустрічаються при дослідженнях і мають ряд відмінних рис і додаткових властивостей.

функція- Команда або група людей, а також інструментарій або інші ресурси, які вони використовують для виконання одного чи кількох процесів чи діяльності. Наприклад, служба підтримки користувачів. Цей термін також має інше значення: … Довідник технічного перекладача

Функція- 1. Залежна змінна величина; 2. Відповідність y=f(x) між змінними величинами, в силу якого кожному значенню, що розглядається, деякої величини x (аргументу або незалежної змінної) відповідає певне значення… … Економіко-математичний словник

Опр.: Функція називається зростаючою на певному проміжку, якщо у цьому проміжку кожному більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Опр.: Функція називається спадною на певному проміжку, якщо у цьому проміжку кожному більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Як зростають . так і спадні функції називаються монотонними.

Якщо функція не є монотонною, область її визначення можна розбити на кінцеве число проміжків монотонності, які можуть чергуватись з проміжками сталості функції.

Монотонність функції y = f(x) характеризується знаком її першої похідної f ¤ (x), а саме якщо в деякому проміжку f ¤ (x) > 0, то функція зростає в цьому проміжку, якщо в деякому проміжку f ¤ (x)< 0, то функция убывает в этом промежутке.

Знаходження проміжків монотонності функції y = f(x) зводиться до знаходження проміжків знаковості її першої похідної f ¤ (x).

Звідси отримуємо правило знаходження проміжків монотонності функції y = f(x)

1. Знайти нулі та точки розриву f ¤ (x).

2. Визначити методом проб знак f ¤ (x) у проміжках, куди отримані у п.1 точки ділять область визначення функції f(x).

Приклад:

Знайти проміжки монотонності функції у = - х 2 + 10х + 7

Знайдемо f¤(x). y¢ = -2х +10

Точка, в якій y¢ = 0 одна і вона ділить область визначення функції на такі проміжки: (– ∞,5) І (5 ,+ ∞), у кожному з яких y¢ зберігає постійний знак. Підставимо у ці проміжки конкретні значення функції та визначимо знак y¢ на зазначених проміжках, тоді:

на проміжку (– ∞,5] y¢ > 0,

на проміжку функція зростає, а на проміжку І (3 ,+ ∞), у кожному з яких y¢ зберігає постійний знак. Підставимо у ці проміжки конкретні значення функції та визначимо знак y¢ на зазначених проміжках, тоді.

Монотонна функція- це функція, прирістякої не змінює знака, тобто завжди невід'ємне, або завжди непозитивне. Якщо на додаток збільшення не дорівнює нулю, то функція називається строго монотонної. Монотонна функція - це функція, що змінюється в тому самому напрямку.

Функція зростає, якщо більше значення аргументу відповідає більше значення функції. Функція зменшується, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Нехай дана функція Тоді

(Строго) зростаюча або спадна функція називається (строго) монотонною.

Визначення екстремуму

Функція y = f(x) називається зростаючою (зменшує) в деякому інтервалі, якщо при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) >f(x2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f(x) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Точка xо називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо існує околиця точки xо, для всіх точок якої правильна нерівність f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Крапки екстремуму

Необхідні умови екстремуму. Якщо точка xо є точкою екстремуму функції f(x), то або f "(xо) = 0, або f(xо) не існує. Такі точки називають критичними, причому сама функція в критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова. Нехай xо – критична точка. Якщо f " (x) при переході через точку xо змінює знак плюс на мінус, то в точці xо функція має максимум, в іншому випадку - мінімум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в точці xо екстремуму немає.

Друга достатня умова. Нехай функція f(x) має похідну f"(x) в околиці точки xо і другу похідну в самій точці xо. Якщо f"(xо) = 0,>0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення у критичних точках, або на кінцях відрізка .

7. Інтервали опуклості, увігнутості функції .Точки перегину.

Графік функції y=f(x)називається опуклимна інтервалі (a; b), якщо він розташований нижче за будь-яку свою дотичну на цьому інтервалі. Графік функції y=f(x)називається увігнутимна інтервалі (a; b)якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі. На малюнку показана крива, опукла на (a; b)і увігнута на (b; c). приклади. Розглянемо достатню ознаку, що дозволяє встановити, чи графік функції у цьому інтервалі опуклим чи увігнутим. Теорема. Нехай y=f(x)диференційована на (a; b). Якщо у всіх точках інтервалу (a; b)друга похідна функції y = f(x)негативна, тобто. f""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – увігнутий. Доказ. Припустимо для певності, що f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым. Візьмемо на графіку функції y = f(x)довільну точку M 0 з абсцисою x 0  (a; b) і проведемо через точку M 0 дотичну. Її рівняння. Ми повинні показати, що графік функції на (a; b)лежить нижче від цієї дотичної, тобто. при тому самому значенні xордината кривої y = f(x)буде менше ординату дотичної.

Точка перегину функції

Цей термін має й інші значення, див. Точка перегину.

Точка перегину функції внутрішня точка області визначення, Така що безперервна в цій точці, існує кінцева або певного знака нескінченна похідна в цій точці, і є одночасно кінцем інтервалу суворої опуклості вгору і початком інтервалу суворої опуклості вниз, або навпаки.

Неофіційне

У цьому випадку точка є точкою перегинуграфіка функції, тобто графік функції у точці «перегинається» через дотичнудо нього в цій точці: при дотична лежить під графіком, а над графіком (або навпаки)

Умови існування

Необхідна умова існування точки перегину: якщо функція f(x), двічі диференційована в околиці точки, має вточку перегину, то.

Достатня умова існування точки перегину: якщо функція в околиці точки раз безперервно диференційована, причому непарно і, і при, а, то функція має вточку перегину.