Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri foydalanishdir VIET formulalari, bu FRANCOIS VIETTE sharafiga nomlangan.

U 16-asrda frantsuz qiroliga xizmat qilgan mashhur huquqshunos edi. Bo'sh vaqtida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish va ildizlarni topish uchun uning qiymatini formulaga almashtirish kerak.

2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz va ildizlarning qiymatlarini tanlashingiz mumkin.

3 . Ikkita yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsientning minus belgisi bilan qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Bu ildizlardan foydalanib, kvadrat tenglamani yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.

5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formuladan foydalanish qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formula universal emas.

Vieta teoremasi 8-sinf

Formula
Agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0 bo'lsa, u holda:

Misollar
x 1 = -1; x 2 = 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Qarama-qarshi teorema

Formula
Agar x 1, x 2, p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:

U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.

Misol
Uning ildizlaridan foydalanib, kvadrat tenglama tuzamiz:

X 1 = 2 - ? 3 va x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Kerakli tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.

Vieta teoremasi ko'pincha allaqachon topilgan ildizlarni tekshirish uchun ishlatiladi. Agar siz ildizlarni topgan bo'lsangiz, \(p) qiymatlarini hisoblash uchun \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) formulalaridan foydalanishingiz mumkin. \) va \(q\ ). Va agar ular asl tenglamadagi kabi bo'lib chiqsa, unda ildizlar to'g'ri topilgan.

Masalan, dan foydalanib, \(x^2+x-56=0\) tenglamani yechib, ildizlarini olamiz: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Keling, hal qilish jarayonida xatoga yo'l qo'yganimizni tekshirib ko'ramiz. Bizning holatda, \(p=1\) va \(q=-56\). Vieta teoremasi bo'yicha bizda:

\(\begin(holatlar)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(holatlar)\) \(\Chap o'ng o'q\) \(\begin(holatlar)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(holatlar)\) \(\Chap o'ng o'q\) \(\begin(holatlar)-1=-1\\-56=-56\end(holatlar)\ )

Ikkala bayonot ham birlashdi, ya'ni biz tenglamani to'g'ri yechdik.

Ushbu tekshirish og'zaki ravishda amalga oshirilishi mumkin. Bu 5 soniya davom etadi va sizni ahmoqona xatolardan qutqaradi.

Vietaning qarama-qarshi teoremasi

Agar \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), u holda \(x_1\) va \(x_2\) kvadrat tenglamaning ildizlari \ (x^ 2+px+q=0\).

Yoki oddiy usulda: agar sizda \(x^2+px+q=0\) koʻrinishdagi tenglama boʻlsa, u holda \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot) tizimini yechish. x_2=q\ end(cases)\) uning ildizlarini topasiz.

Ushbu teorema tufayli siz kvadrat tenglamaning ildizlarini tezda topishingiz mumkin, ayniqsa bu ildizlar bo'lsa. Bu mahorat juda muhim, chunki u ko'p vaqtni tejaydi.

Misol . \(x^2-5x+6=0\) tenglamasini yeching.

Yechim : Vietaning teskari teoremasidan foydalanib, biz ildizlarning quyidagi shartlarni qondirishini aniqlaymiz: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tizimning ikkinchi tenglamasiga qarang \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) sonni qaysi ikkitaga ajratish mumkin? \(2\) va \(3\), \(6\) va \(1\) yoki \(-2\) va \(-3\) va \(-6\) va \(- 1\). Tizimning birinchi tenglamasi sizga qaysi juftlikni tanlash kerakligini aytadi: \(x_1+x_2=5\). \(2\) va \(3\) oʻxshash, chunki \(2+3=5\).
Javob : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Misollar . Vyeta teoremasining teskarisidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Yechim :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) qanday omillarga ajraladi? \(2\) va \(7\), \(-2\) va \(-7\), \(-1\) va \(-14\), \(1\) va \(14\ ). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(15\) ga teng? Javob: \(1\) va \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) qanday omillarga ajraladi? \(-2\) va \(2\), \(4\) va \(-1\), \(1\) va \(-4\). Qaysi juft raqamlar qo‘shilsa \(-3\) ga teng? Javob: \(1\) va \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) qanday omillarga ajraladi? \(4\) va \(5\), \(-4\) va \(-5\), \(2\) va \(10\), \(-2\) va \(-10\ ), \(-20\) va \(-1\), \(20\) va \(1\). Qaysi juft raqamlar qo‘shilsa \(-9\) ga teng? Javob: \(-4\) va \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) qanday omillarga ajraladi? \(390\) va \(2\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Yo'q. \(780\) yana qanday koʻpaytiruvchilarga ega? \(78\) va \(10\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Ha. Javob: \(78\) va \(10\).

Oxirgi atamani barcha mumkin bo'lgan omillarga (oxirgi misolda bo'lgani kabi) kengaytirish shart emas. Siz darhol ularning yig'indisi \(-p\) beradimi yoki yo'qligini tekshirishingiz mumkin.

Muhim! Viet teoremasi va teskari teorema faqat , ya'ni \(x^2\) koeffitsienti birga teng bo'lgan teorema bilan ishlaydi. Agar bizga dastlab kamaytirilmagan tenglama berilgan bo'lsa, uni oddiygina \(x^2\) oldidagi koeffitsientga bo'lish orqali qisqartirishimiz mumkin.

Masalan, \(2x^2-4x-6=0\) tenglamasi berilsin va biz Vyeta teoremalaridan birini ishlatmoqchimiz. Lekin biz qila olmaymiz, chunki \(x^2\) koeffitsienti \(2\) ga teng. Keling, butun tenglamani \(2\) ga bo'lish orqali undan xalos bo'laylik.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Tayyor. Endi siz ikkala teoremadan ham foydalanishingiz mumkin.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar

Savol: Vieta teoremasidan foydalanib, siz biron bir narsani hal qila olasizmi?
Javob: Afsuski yo'q. Agar tenglamada butun sonlar bo'lmasa yoki tenglamaning ildizlari bo'lmasa, Viet teoremasi yordam bermaydi. Bunday holda siz foydalanishingiz kerak diskriminant . Yaxshiyamki, maktab matematikasidagi tenglamalarning 80% butun sonli echimlarga ega.

Ushbu ma'ruzada biz kvadrat tenglamaning ildizlari va uning koeffitsientlari o'rtasidagi qiziq bog'lanishlar bilan tanishamiz. Bu munosabatlarni birinchi marta fransuz matematigi Fransua Vyete (1540-1603) kashf etgan.

Masalan, 3x 2 - 8x - 6 = 0 tenglamasi uchun uning ildizlarini topmasdan, Vieta teoremasidan foydalanib, darhol ildizlarning yig'indisi ga, ildizlarning ko'paytmasi esa teng ekanligini aytishingiz mumkin.
ya'ni - 2. Va x 2 - 6x + 8 = 0 tenglama uchun biz xulosa qilamiz: ildizlarning yig'indisi 6, ildizlarning ko'paytmasi 8; Aytgancha, ildizlar nimaga teng ekanligini taxmin qilish qiyin emas: 4 va 2.
Vyeta teoremasining isboti. ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglamaning x 1 va x 2 ildizlari formulalar orqali topiladi.

Bu erda D = b 2 - 4ac tenglamaning diskriminantidir. Bu ildizlarni birlashtirib,
olamiz

Endi x 1 va x 2 ildizlarning mahsulotini hisoblaymiz. Bizda bor

Ikkinchi munosabat isbotlangan:
Izoh. Vyeta teoremasi kvadrat tenglama bitta ildizga ega bo'lganda (ya'ni D = 0 bo'lganda) ham amal qiladi, bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega bo'lib, yuqoridagi munosabatlar qo'llaniladi.
Kiritilgan kvadrat tenglama x 2 + px + q = 0 uchun isbotlangan munosabatlar ayniqsa oddiy ko'rinishga ega bo'ladi.Bu holda biz quyidagilarga erishamiz:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
bular. qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga teng.
Vieta teoremasidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi boshqa munosabatlarni olishingiz mumkin. Masalan, x 1 va x 2 qisqartirilgan x 2 + px + q = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsin.

Biroq, Vyeta teoremasining asosiy maqsadi kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasidagi ba'zi munosabatlarni ifodalash emas. Eng muhimi shundaki, Vyeta teoremasidan foydalanib, kvadratik uch a'zoni faktoringga ajratish formulasi olinadi, biz kelajakda buni qilolmaymiz.

Isbot. Bizda ... bor

1-misol. 3x 2 - 10x + 3 kvadrat uch a'zoni ko'paytiring.
Yechim. 3x 2 - 10x + 3 = 0 tenglamasini yechib, 3x 2 - 10x + 3 kvadrat trinomining ildizlarini topamiz: x 1 = 3, x2 = .
2-teoremadan foydalanib, biz olamiz

Buning o'rniga 3x - 1 yozish mantiqan to'g'ri keladi.Shunda biz nihoyat 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1) ni olamiz.
E'tibor bering, berilgan kvadrat uch a'zoni guruhlash usuli yordamida 2-teoremani qo'llamasdan koeffitsientlarga ajratish mumkin:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Ammo, ko'rib turganingizdek, bu usul bilan muvaffaqiyat biz muvaffaqiyatli guruhlashni topa olamizmi yoki yo'qligimizga bog'liq, birinchi usul bilan esa muvaffaqiyat kafolatlanadi.
1-misol. Fraksiyani kamaytiring

Yechim. 2x 2 + 5x + 2 = 0 tenglamasidan x 1 = - 2 ni topamiz,

x2 - 4x - 12 = 0 tenglamasidan x 1 = 6, x 2 = -2 ni topamiz. Shunung uchun
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Endi berilgan kasrni kamaytiramiz:

3-misol. Ifodalar omiliga ko'ra:
a)x4 + 5x 2 +6; b) 2x+-3
Yechish.a) Yangi o‘zgaruvchini y = x2 kiritamiz. Bu sizga berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadratik uch a’zo ko‘rinishida, ya’ni y 2 + by + 6 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi.
y 2 + by + 6 = 0 tenglamasini yechib, kvadrat uchburchak y 2 + 5u + 6 ildizlarini topamiz: y 1 = - 2, y 2 = -3. Endi 2-teoremadan foydalanamiz; olamiz

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Shuni esda tutish kerakki, y = x 2, ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) y = yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Bu sizga berilgan ifodani y o‘zgaruvchisiga nisbatan kvadratik uch a’zo ko‘rinishida, ya’ni 2y 2 + y – 3 ko‘rinishida qayta yozish imkonini beradi. Tenglamani yechgandan so‘ng
2y 2 + y - 3 = 0, 2y 2 + y - 3 kvadrat trinomining ildizlarini toping:
y 1 = 1, y 2 =. Keyinchalik, 2-teoremadan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Shuni esda tutish kerakki, y = , ya'ni berilgan ifodaga qaytish. Shunday qilib,

Bo'lim oxirida - yana Vyeta teoremasiga, aniqrog'i, qarama-qarshi fikrga bog'liq bo'lgan ba'zi mulohazalar:
agar x 1, x 2 raqamlari x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q bo'lsa, bu raqamlar tenglamaning ildizlari bo'ladi.
Ushbu bayonotdan foydalanib, siz ko'p kvadrat tenglamalarni og'zaki, og'ir ildiz formulalaridan foydalanmasdan yechishingiz mumkin, shuningdek, berilgan ildizlar bilan kvadrat tenglamalar tuzishingiz mumkin. Keling, misollar keltiraylik.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. X 1 = 8, x 2 = 3 ekanligini taxmin qilish oson.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. X 1 = -5, x 2 = -6 ekanligini taxmin qilish oson.
E'tibor bering, agar tenglamaning soxta hadi musbat son bo'lsa, u holda ikkala ildiz ham ijobiy yoki salbiy; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.

3) x 2 + x - 12 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. X 1 = 3, x2 = -4 ekanligini taxmin qilish oson.
Iltimos, diqqat qiling: agar tenglamaning erkin muddati manfiy son bo'lsa, unda ildizlar turli xil belgilarga ega; Bu ildizlarni tanlashda e'tiborga olish muhimdir.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. X = 1 tenglamani qanoatlantirishini ko'rish oson, ya'ni. x 1 = 1 - tenglamaning ildizi. X 1 x 2 = - va x 1 = 1 bo'lgani uchun biz x 2 = - ni olamiz.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Bu erda x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Agar 2830 = 283 ekanligiga e'tibor qaratsangiz. 10 va 293 = 283 + 10 bo'lsa, x 1 = 283, x 2 = 10 ekanligi ayon bo'ladi (endi bu kvadrat tenglamani standart formulalar yordamida yechish uchun qanday hisob-kitoblarni bajarish kerakligini tasavvur qiling).

6) Kvadrat tenglamani shunday tuzamizki, uning ildizlari sonlar x 1 = 8, x 2 = - 4. Odatda bunday hollarda biz x 2 + px + q = 0 qisqartirilgan kvadrat tenglamani tuzamiz.
Bizda x 1 + x 2 = -p bor, shuning uchun 8 - 4 = -p, ya'ni p = -4. Keyinchalik, x 1 x 2 = q, ya'ni. 8 «(-4) = q, qaerdan q = -32 ni olamiz. Demak, p = -4, q = -32, ya'ni kerakli kvadrat tenglama x 2 -4x-32 = 0 ko'rinishga ega.

Sakkizinchi sinfda o‘quvchilar kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari bilan tanishadilar. Shu bilan birga, tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'pchilik o'quvchilar to'liq kvadrat tenglamalarni echishda faqat bitta usuldan - kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanadilar. Yaxshi aqliy arifmetik ko'nikmalarga ega bo'lgan talabalar uchun bu usul aniq mantiqiy emas. Talabalar ko'pincha o'rta maktabda ham kvadrat tenglamalarni echishga majbur bo'lishadi va u erda diskriminantni hisoblash uchun vaqt sarflash juda achinarli. Menimcha, kvadrat tenglamalarni o‘rganishda Vyeta teoremasini qo‘llashga ko‘proq vaqt va e’tibor qaratish lozim (A.G. Mordkovich “Algebra-8” dasturiga ko‘ra “Vyeta teoremasi. Kvadratning parchalanishi” mavzusini o‘rganish uchun bor-yo‘g‘i ikki soat rejalashtirilgan. trinomial chiziqli omillarga").

Aksariyat algebra darsliklarida bu teorema qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun tuzilgan va shunday deyilgan: agar tenglamaning va ildizlari bo'lsa, ular uchun , , tengliklari qanoatlantiriladi. Keyin Vyeta teoremasiga qarama-qarshi fikr shakllantiriladi va bu mavzu ustida ishlash uchun bir qancha misollar taklif etiladi.

Keling, aniq misollar keltiramiz va Viet teoremasidan foydalanib, yechim mantiqini kuzatamiz.

Misol 1. Tenglamani yeching.

Aytaylik, bu tenglamaning ildizlari bor, ya'ni, va. Keyin, Veta teoremasiga ko'ra, tengliklar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak:

Iltimos, ildizlarning mahsuloti ijobiy raqam ekanligini unutmang. Demak, tenglamaning ildizlari bir xil belgiga ega. Va ildizlarning yig'indisi ham musbat son bo'lganligi sababli, tenglamaning ikkala ildizi ham musbat degan xulosaga kelamiz. Keling, yana ildizlarning mahsulotiga qaytaylik. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizlari musbat sonlar. Keyin to'g'ri birinchi tenglikni faqat ikkita usulda olish mumkin (omillar tartibiga qadar): yoki . Keling, taklif qilingan raqamlar juftligini Veta teoremasining ikkinchi bayonotining maqsadga muvofiqligini tekshirib ko'ramiz: . Shunday qilib, 2 va 3 raqamlari ikkala tenglikni qanoatlantiradi va shuning uchun berilgan tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; 3.

Yuqoridagi kvadrat tenglamani Viet teoremasi yordamida yechishda fikrlashning asosiy bosqichlarini ajratib ko‘rsatamiz:

Vyeta teoremasining bayonini yozing

(*)

• tenglama ildizlarining belgilarini aniqlang (Agar ko‘paytma va ildizlarning yig‘indisi musbat bo‘lsa, ikkala ildiz ham musbat sonlar bo‘ladi. Agar ildizlarning ko‘paytmasi musbat son, ildizlarning yig‘indisi manfiy bo‘lsa, u holda ikkala ildiz ham manfiy sonlar.Agar ildizlarning koʻpaytmasi manfiy son boʻlsa, unda ildizlar turli belgilarga ega boʻladi.Bundan tashqari, agar ildizlarning yigʻindisi musbat boʻlsa, modul boʻyicha kattaroq ildiz musbat son, yigʻindisi esa ildizlarning noldan kichik bo'lsa, moduldagi katta ildiz manfiy sondir);
• ko'paytmasi yozuvda (*) to'g'ri birinchi tenglikni beradigan butun sonlar juftlarini tanlang;
• topilgan sonlar juftligidan (*) yozuvdagi ikkinchi tenglikka almashtirilganda toʻgʻri tenglikni beradigan juftni tanlang;
• javobingizda tenglamaning topilgan ildizlarini ko'rsating.

Keling, ko'proq misollar keltiraylik.

2-misol: Tenglamani yeching .

Yechim.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot ijobiy, yig'indisi esa manfiy son ekanligini ta'kidlaymiz. Bu ikkala ildiz manfiy sonlar ekanligini anglatadi. 10 (-1 va -10; -2 va -5) ko'paytmasini beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -7 ga qo'shiladi. Bu -2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi.

Javob: -2; -5.

3-misol: Tenglamani yeching .

Yechim.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot salbiy ekanligini ta'kidlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlar turli belgilarga ega. Ildizlarning yig'indisi ham manfiy sondir. Bu eng katta modulga ega bo'lgan ildiz salbiy ekanligini anglatadi. Mahsulotni -10 (1 va -10; 2 va -5) beradigan juft omillarni tanlaymiz. Ikkinchi raqamlar juftligi -3 ga qo'shiladi. Bu 2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi.

Javob: 2; -5.

E'tibor bering, Vieta teoremasi, qoida tariqasida, to'liq kvadrat tenglama uchun shakllantirilishi mumkin: kvadrat tenglama bo'lsa ildizlari bor va ular uchun , , tengliklari qanoatlantiriladi. Biroq, bu teoremani qo'llash juda muammoli, chunki to'liq kvadrat tenglamada ildizlardan kamida bittasi (agar mavjud bo'lsa, albatta) kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash uzoq va qiyin. Ammo hali ham chiqish yo'li bor.

To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing . Tenglamaning ikkala tomonini birinchi koeffitsientga ko'paytiring A va tenglamani shaklda yozing . Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz va qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz, uning ildizlarini va (agar mavjud bo'lsa) Viet teoremasi yordamida topish mumkin. Keyin asl tenglamaning ildizlari bo'ladi. Yordamchi qisqartirilgan tenglamani yaratish juda oddiy ekanligini unutmang: ikkinchi koeffitsient saqlanib qoladi, uchinchi koeffitsient esa mahsulotga teng. ac. Talabalar ma'lum mahorat bilan darhol yordamchi tenglama tuzadilar, Vyeta teoremasidan foydalanib uning ildizlarini topadilar va berilgan to'liq tenglamaning ildizlarini ko'rsatadilar. Keling, misollar keltiraylik.

4-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama tuzamiz va Viet teoremasidan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Bu degani, asl tenglamaning ildizlari .

Javob: .

5-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama shaklga ega. Vyeta teoremasiga ko'ra, uning ildizlari . Asl tenglamaning ildizlarini topish .

Javob: .

Vyeta teoremasini qo'llash to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini og'zaki ravishda topishga imkon beradigan yana bir holat. Buni isbotlash qiyin emas 1 raqami tenglamaning ildizidir , agar va faqat agar. Tenglamaning ikkinchi ildizi Vyeta teoremasi bilan topiladi va ga teng. Yana bir bayonot: shunday qilib -1 raqami tenglamaning ildizi bo'lsin zarur va yetarli. U holda Vyeta teoremasi bo'yicha tenglamaning ikkinchi ildizi ga teng bo'ladi. Shu kabi gaplarni qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun ham tuzish mumkin.

6-misol: Tenglamani yeching.

E'tibor bering, tenglama koeffitsientlarining yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: .

7-misol. Tenglamani yeching.

Bu tenglamaning koeffitsientlari xossani qanoatlantiradi (haqiqatdan ham, 1-(-999)+(-1000)=0). Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: ..

Vyeta teoremasini qo'llashga misollar

1-topshiriq. Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasidan foydalanib yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

2-topshiriq. To‘liq kvadrat tenglamani yordamchi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o‘tish orqali yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3-topshiriq. Kvadrat tenglamani xossasidan foydalanib yeching.

Maktab algebrasi kursida ikkinchi tartibli tenglamalarni yechish usullarini o'rganishda hosil bo'lgan ildizlarning xossalari hisobga olinadi. Ular hozirda Vyeta teoremasi sifatida tanilgan. Uni ishlatish misollari ushbu maqolada keltirilgan.

Kvadrat tenglama

Ikkinchi tartibli tenglama quyidagi fotosuratda ko'rsatilgan tenglikdir.

Bu erda a, b, c belgilari ko'rib chiqilayotgan tenglamaning koeffitsientlari deb ataladigan ba'zi raqamlardir. Tenglikni echish uchun uni to'g'ri qiladigan x qiymatlarini topish kerak.

E'tibor bering, x ko'tarilishi mumkin bo'lgan maksimal quvvat ikkita bo'lganligi sababli, umumiy holatda ildizlar soni ham ikkitadir.

Ushbu turdagi tenglikni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Ushbu maqolada biz ulardan birini ko'rib chiqamiz, bu Vieta teoremasi deb ataladigan narsadan foydalanishni o'z ichiga oladi.

Vyeta teoremasini shakllantirish

16-asr oxirida mashhur matematik Fransua Vyet (frantsuz) turli kvadrat tenglamalar ildizlarining xossalarini tahlil qilar ekan, ularning maʼlum birikmalari oʻziga xos munosabatlarni qanoatlantirishini payqagan. Xususan, bu kombinatsiyalar ularning mahsuloti va yig'indisidir.

Viet teoremasi quyidagilarni o'rnatadi: kvadrat tenglamaning ildizlari yig'ilganda, qarama-qarshi belgi bilan olingan chiziqli va kvadrat koeffitsientlarning nisbatini beradi va ular ko'paytirilganda, ular bo'sh hadning kvadratik koeffitsientga nisbatiga olib keladi. .

Agar tenglamaning umumiy shakli maqolaning oldingi qismidagi fotosuratda ko'rsatilganidek yozilgan bo'lsa, matematik jihatdan bu teorema ikkita tenglik shaklida yozilishi mumkin:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Bu erda r 1, r 2 - ko'rib chiqilayotgan tenglama ildizlarining qiymati.

Yuqoridagi ikkita tenglikdan bir qancha turli matematik muammolarni hal qilish uchun foydalanish mumkin. Yechimli misollarda Viet teoremasidan foydalanish maqolaning keyingi bo'limlarida keltirilgan.