To'g'ri burchakli uchburchakni echish bo'yicha vazifalar ko'rib chiqilganda, men sinus va kosinus ta'riflarini yodlash texnikasini taqdim etishga va'da berdim. Undan foydalanib, siz har doim qaysi oyoq gipotenuzaga tegishli ekanligini tezda eslaysiz (qo'shni yoki qarama-qarshi). Men uni cheksiz muddatga qoldirmaslikka qaror qildim, kerakli material quyida, o'qing 😉

Gap shundaki, men 10-11-sinf o‘quvchilari bu ta’riflarni eslab qolishda qiynalayotganliklarini bir necha bor kuzatganman. Ular oyoqning gipotenuzaga tegishli ekanligini juda yaxshi eslashadi, lekin qaysi biri- unut va chalkash. Xatoning narxi, siz imtihonda bilganingizdek, yo'qolgan balldir.

Men to'g'ridan-to'g'ri matematikaga taqdim etadigan ma'lumotlarning hech qanday aloqasi yo'q. U majoziy fikrlash va og'zaki-mantiqiy bog'lanish usullari bilan bog'liq. To'g'ri, men o'zim ham bir marta esladimta'rif ma'lumotlari. Agar siz hali ham ularni unutib qo'ysangiz, unda taqdim etilgan texnikalar yordamida har doim eslab qolish oson.

To'g'ri burchakli uchburchakda sinus va kosinus ta'riflarini eslatib o'taman:

Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:

Xo'sh, kosinus so'zi sizda qanday assotsiatsiyalarni uyg'otadi?

Ehtimol, har kimning o'zi borHavolani eslang:

Shunday qilib, siz darhol xotirangizda ifodaga ega bo'lasiz -

«… AJACENT oyoqning gipotenuzaga nisbati».

Kosinus ta'rifi bilan bog'liq muammo hal qilindi.

Agar siz to'g'ri uchburchakdagi sinusning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, u holda kosinusning ta'rifini eslab, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin. Axir, faqat ikkita oyoq bor, agar qo'shni oyoq kosinus tomonidan "ishg'ol qilingan" bo'lsa, u holda sinus uchun faqat qarama-qarshi tomon qoladi.

Tangens va kotangens haqida nima deyish mumkin? Xuddi shu chalkashlik. Talabalar bu oyoqlarning nisbati ekanligini bilishadi, ammo muammo qaysi biri qaysi biri bilan bog'liqligini eslashda - qo'shniga qarama-qarshi yoki aksincha.

Ta'riflar:

Tangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:

Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni oyoqning qarama-qarshi tomoniga nisbati:

Qanday eslash kerak? Ikkita yo'l bor. Birida og'zaki-mantiqiy aloqa, ikkinchisi - matematik bog'lanish ham qo'llaniladi.

MATEMATIK USUL

Bunday ta'rif mavjud - o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:

* Formulani eslab, siz har doim to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati ekanligini aniqlashingiz mumkin.

Xuddi shunday.O'tkir burchakning kotangensi - bu burchak kosinusining sinusiga nisbati:

Shunday ekan! Ushbu formulalarni eslab, har doim quyidagilarni aniqlashingiz mumkin:

- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati.

- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi qismiga nisbati.

VERBAL-MANTIQIK USUL

Tangens haqida. Havolani eslang:

Ya'ni, agar siz tangensning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, ushbu mantiqiy aloqadan foydalanib, uning nima ekanligini osongina eslab qolishingiz mumkin.

"... qarama-qarshi oyoqning qo'shniga nisbati"

Agar kotangens haqida gap ketsa, u holda tangens ta'rifini eslab, siz kotangentning ta'rifini osongina ovoz chiqarib qo'yishingiz mumkin -

"... qo'shni oyoqning teskarisiga nisbati"

Saytda tangens va kotangensni yodlashning qiziqarli texnikasi mavjud " Matematik tandem " , qarang.

UNIVERSAL USUL

Siz shunchaki maydalashingiz mumkin.Ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, og'zaki-mantiqiy aloqalar tufayli odam nafaqat matematik, balki uzoq vaqt davomida ma'lumotni eslab qoladi.

Umid qilamanki, material siz uchun foydali bo'ldi.

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix

P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida gapirib bersangiz minnatdor bo'lardim.

Trigonometriya fan sifatida Qadimgi Sharqda vujudga kelgan. Birinchi trigonometrik nisbatlar astronomlar tomonidan aniq taqvim yaratish va yulduzlar tomonidan orientatsiya qilish uchun ishlab chiqilgan. Ushbu hisoblar sferik trigonometriya bilan bog'liq bo'lib, maktab kursida ular tekis uchburchakning tomonlari va burchagi nisbatlarini o'rganadilar.

Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarning xossalari va uchburchaklarning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi munosabatlar bilan shug'ullanadigan matematikaning bo'limi.

Milodiy 1-ming yillikda madaniyat va fanning gullab-yashnagan davrida bilimlar Qadimgi Sharqdan Yunonistonga tarqaldi. Ammo trigonometriyaning asosiy kashfiyotlari Arab xalifaligi odamlarining xizmatlaridir. Xususan, turkman olimi al-Marazviy tangens va kotangens kabi funksiyalarni kiritdi, sinuslar, tangenslar va kotangentlar uchun dastlabki qiymatlar jadvallarini tuzdi. Sinus va kosinus tushunchasi hind olimlari tomonidan kiritilgan. Evklid, Arximed va Eratosfen kabi antik davrning buyuk arboblari asarlarida trigonometriyaga katta e'tibor berilgan.

Trigonometriyaning asosiy miqdorlari

Raqamli argumentning asosiy trigonometrik funktsiyalari sinus, kosinus, tangens va kotangensdir. Ularning har biri o'z grafigiga ega: sinus, kosinus, tangens va kotangens.

Ushbu miqdorlarning qiymatlarini hisoblash uchun formulalar Pifagor teoremasiga asoslanadi. Maktab o'quvchilariga "Hamma yo'nalishda teng Pifagor shimlari" formulasi ko'proq ma'lum, chunki dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak misolida keltirilgan.

Sinus, kosinus va boshqa bog'liqliklar har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari va tomonlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Biz A burchak uchun bu miqdorlarni hisoblash uchun formulalar beramiz va trigonometrik funktsiyalarning munosabatlarini kuzatamiz:

Ko'rib turganingizdek, tg va ctg teskari funktsiyalardir. Agar a oyog'ini sin A va gipotenuza c ko'paytmasi, b oyog'ini cos A * c deb ifodalasak, tangens va kotangens uchun quyidagi formulalarni olamiz:

trigonometrik doira

Grafik jihatdan ko'rsatilgan miqdorlarning nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Aylana, bu holda, a burchagining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ifodalaydi - 0 ° dan 360 ° gacha. Rasmdan ko'rinib turibdiki, har bir funktsiya burchakka qarab manfiy yoki ijobiy qiymat oladi. Misol uchun, agar a aylananing I va II choraklariga tegishli bo'lsa, ya'ni u 0 ° dan 180 ° gacha bo'lsa, sin a "+" belgisi bilan bo'ladi. a bilan 180° dan 360° gacha (III va IV chorak) sin a faqat manfiy qiymat bo'lishi mumkin.

Keling, aniq burchaklar uchun trigonometrik jadvallar tuzishga harakat qilaylik va miqdorlarning ma'nosini bilib olaylik.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° va boshqalarga teng a qiymatlari maxsus holatlar deyiladi. Ular uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va maxsus jadvallar ko'rinishida taqdim etiladi.

Bu burchaklar tasodifan tanlanmagan. Jadvallardagi p belgisi radyanlar uchundir. Rad - aylana yoyning uzunligi uning radiusiga mos keladigan burchak. Ushbu qiymat universal munosabatlarni o'rnatish uchun kiritilgan; radianlarda hisoblashda radiusning smdagi haqiqiy uzunligi muhim emas.

Trigonometrik funktsiyalar jadvalidagi burchaklar radian qiymatlariga mos keladi:

Shunday qilib, 2p to'liq doira yoki 360 ° ekanligini taxmin qilish qiyin emas.

Trigonometrik funksiyalarning xossalari: sinus va kosinus

Sinus va kosinus, tangens va kotangensning asosiy xossalarini ko'rib chiqish va solishtirish uchun ularning funktsiyalarini chizish kerak. Buni ikki o'lchovli koordinatalar tizimida joylashgan egri chiziq shaklida bajarish mumkin.

Sinus to'lqin va kosinus to'lqinlari xususiyatlarining qiyosiy jadvalini ko'rib chiqing:

sinusoid	kosinus to'lqini
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = pk uchun, bu erda k s Z	cos x = 0, x = p/2 + pk uchun, bu erda k s Z
sin x = 1, x = p/2 + 2pk uchun, bu erda k s Z	cos x = 1, x = 2pk uchun, bu erda k s Z
sin x = - 1, x = 3p/2 + 2pk da, bu erda k s Z	cos x = - 1, x = p + 2pk uchun, bu erda k s Z
sin (-x) = - sin x, ya'ni toq funksiya	cos (-x) = cos x, ya'ni funksiya juft
	funksiya davriy, eng kichik davri 2p
sin x › 0, x I va II choraklarga tegishli yoki 0° dan 180° gacha (2pk, p + 2pk)	cos x › 0, x bilan I va IV choraklarga tegishli yoki 270° dan 90° gacha (- p/2 + 2pk, p/2 + 2pk)
sin x ‹ 0, x III va IV choraklarga tegishli yoki 180° dan 360° gacha (p + 2pk, 2p + 2pk)	cos x ‹ 0, x bilan II va III choraklarga tegishli yoki 90° dan 270° gacha (p/2 + 2pk, 3p/2 + 2pk)
[- p/2 + 2pk, p/2 + 2p] oraliqda ortadi	[-p + 2pk, 2pk] oraliqda ortadi
[ p/2 + 2pk, 3p/2 + 2p] oraliqlarda kamayadi	intervallarda kamayadi
hosila (sin x)' = cos x	hosila (cos x)’ = - sin x

Funksiyaning juft yoki juft emasligini aniqlash juda oddiy. Trigonometrik miqdorlar belgilariga ega trigonometrik doirani tasavvur qilish va grafikni OX o'qiga nisbatan aqliy ravishda "katlash" kifoya. Agar belgilar bir xil bo'lsa, funktsiya juft bo'ladi, aks holda u toq bo'ladi.

Radianlarning kiritilishi va sinusoid va kosinus to'lqinlarining asosiy xususiyatlarini sanab o'tish bizga quyidagi naqshni keltirish imkonini beradi:

Formulaning to'g'riligini tekshirish juda oson. Misol uchun, x = p/2 uchun sinus 1 ga teng, x = 0 ning kosinasi kabi. Tekshirish jadvallarni ko'rib chiqish yoki berilgan qiymatlar uchun funktsiya egri chizig'ini kuzatish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Tangentoid va kotangentoidning xossalari

Tangens va kotangens funktsiyalarining grafiklari sinusoid va kosinus to'lqinidan sezilarli darajada farq qiladi. tg va ctg qiymatlari bir-biriga teskari.

1. Y = tgx.
2. Tangens x = p/2 + pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
3. Tangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, ya'ni funksiya g'alati.
5. Tg x = 0, x = p uchun.
6. Funktsiya ortib bormoqda.
7. Tg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
8. Tg x ‹ 0, x s uchun (— p/2 + pk, pk).
9. Hosil (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Matnda quyida kotangentoidning grafik tasvirini ko'rib chiqing.

Kotangentoidning asosiy xususiyatlari:

1. Y = ctgx.
2. Sinus va kosinus funktsiyalaridan farqli o'laroq, tangentoidda Y barcha haqiqiy sonlar to'plamining qiymatlarini olishi mumkin.
3. Kotangentoid x = pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
4. Kotangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, ya'ni funksiya g'alati.
6. Ctg x = 0, x = p/2 + pk uchun.
7. Funktsiya pasaymoqda.
8. Ctg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
9. Ctg x ‹ 0, x s uchun (p/2 + pk, pk).
10. Hosil (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Tuzatish

Trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali

Eslatma. Ushbu trigonometrik funktsiyalar uchun qiymatlar jadvali kvadrat ildizni belgilash uchun √ belgisidan foydalanadi. Kasrni belgilash uchun - "/" belgisi.

Shuningdek qarang foydali materiallar:

Uchun trigonometrik funktsiyaning qiymatini aniqlash, uni trigonometrik funktsiyani ko'rsatuvchi chiziqning kesishmasida toping. Masalan, 30 graduslik sinus - biz sin (sinus) sarlavhasi bilan ustunni qidiramiz va jadvalning ushbu ustunining "30 daraja" chizig'i bilan kesishishini topamiz, ularning kesishmasida biz natijani o'qiymiz - bitta ikkinchi. Xuddi shunday, biz ham topamiz kosinus 60 darajalar, sinus 60 daraja (yana sin (sinus) ustuni va 60 graduslik qatorning kesishmasida biz sin 60 = √3/2 qiymatini topamiz) va hokazo. Xuddi shu tarzda, boshqa "mashhur" burchaklarning sinuslari, kosinuslari va tangenslarining qiymatlari topiladi.

Pi sinusi, pi kosinasi, pi tangensi va radiandagi boshqa burchaklar

Quyidagi kosinuslar, sinuslar va tangenslar jadvali argumenti bo'lgan trigonometrik funktsiyalarning qiymatini topish uchun ham mos keladi. radianlarda berilgan. Buning uchun burchak qiymatlarining ikkinchi ustunidan foydalaning. Buning yordamida siz mashhur burchaklarning qiymatini darajadan radianga o'zgartirishingiz mumkin. Misol uchun, birinchi qatordagi 60 graduslik burchakni topamiz va uning ostidagi radiandagi qiymatini o'qiymiz. 60 daraja p/3 radianga teng.

Pi soni aylana aylanasining burchakning daraja o'lchoviga bog'liqligini o'ziga xos tarzda ifodalaydi. Shunday qilib, pi radianlari 180 darajaga teng.

Pi (radian) bilan ifodalangan har qanday raqamni pi (p) raqamini 180 bilan almashtirish orqali osongina darajalarga aylantirish mumkin..

Misollar:
1. sin pi.
sin p = sin 180 = 0
Shunday qilib, pi ning sinusi 180 graduslik sinus bilan bir xil va nolga teng.

2. kosinus pi.
cos p = cos 180 = -1
Shunday qilib, pi kosinasi 180 daraja kosinus bilan bir xil va minus birga teng.

3. Tangent pi
tg p = tg 180 = 0
shunday qilib, pi tangensi 180 gradus tangensi bilan bir xil va nolga teng.

0 - 360 daraja burchaklar uchun sinus, kosinus, tangens qiymatlari jadvali (tez-tez qiymatlar)

burchak a (darajalar)	burchak a radianlarda (pi orqali)	gunoh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangent)	sek (sekant)	sabab (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	p/12			2 - √3	2 + √3
30	p/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	p/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	p/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5p/12			2 + √3	2 - √3
90	p/2	1	0	-	0	-	1
105	7p/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2p/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3p/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5p/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7p/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4p/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3p/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2p	0	1	0	-	1	-

Agar trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvalida funktsiya qiymati o'rniga chiziqcha (tangens (tg) 90 daraja, kotangent (ctg) 180 daraja) ko'rsatilgan bo'lsa, u holda daraja o'lchovining berilgan qiymati uchun burchak, funksiya aniq qiymatga ega emas. Agar chiziq bo'lmasa, hujayra bo'sh, shuning uchun biz hali kerakli qiymatni kiritmadik. Biz foydalanuvchilarning bizga qanday so'rovlar uchun murojaat qilishlari va jadvalni yangi qiymatlar bilan to'ldirishlari bilan qiziqamiz, garchi kosinuslar, sinuslar va eng keng tarqalgan burchak qiymatlarining tangenslari bo'yicha joriy ma'lumotlar ko'pchilikni hal qilish uchun etarli. muammolar.

Eng mashhur burchaklar uchun sin, cos, tg trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 daraja
(raqamli qiymatlar "Bradis jadvallari bo'yicha")

burchak qiymati a (daraja)	a burchakning radiandagi qiymati	gunoh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7p/18

Sinus, kosinus, tangens va kotangens tushunchalari trigonometriyaning asosiy kategoriyalari – matematikaning bir bo‘limi bo‘lib, burchak ta’rifi bilan uzviy bog‘liqdir. Ushbu matematik fanga ega bo'lish formulalar va teoremalarni yodlash va tushunishni, shuningdek, rivojlangan fazoviy fikrlashni talab qiladi. Shuning uchun trigonometrik hisoblar ko'pincha maktab o'quvchilari va talabalar uchun qiyinchilik tug'diradi. Ularni engish uchun trigonometrik funktsiyalar va formulalar bilan ko'proq tanishishingiz kerak.

Trigonometriyadagi tushunchalar

Trigonometriyaning asosiy tushunchalarini tushunish uchun, avvalo, to'g'ri uchburchak va aylanadagi burchak nima ekanligini va nima uchun barcha asosiy trigonometrik hisoblar ular bilan bog'liqligini hal qilishingiz kerak. Burchaklaridan biri 90 gradus bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchakdir. Tarixiy jihatdan bu raqam ko'pincha arxitektura, navigatsiya, san'at, astronomiyadagi odamlar tomonidan ishlatilgan. Shunga ko'ra, ushbu raqamning xususiyatlarini o'rganib, tahlil qilib, odamlar uning parametrlarining tegishli nisbatlarini hisoblashga kelishdi.

To'g'ri uchburchaklar bilan bog'liq bo'lgan asosiy toifalar gipotenuza va oyoqlardir. Gipotenuza - uchburchakning to'g'ri burchakka qarama-qarshi bo'lgan tomoni. Oyoqlar, o'z navbatida, boshqa ikki tomondir. Har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi har doim 180 darajaga teng.

Sferik trigonometriya - trigonometriyaning maktabda o'rganilmaydigan bo'limi, ammo astronomiya va geodeziya kabi amaliy fanlarda olimlar undan foydalanadilar. Sferik trigonometriyada uchburchakning o'ziga xos xususiyati shundaki, u har doim 180 darajadan katta burchaklar yig'indisiga ega.

Uchburchakning burchaklari

To'g'ri burchakli uchburchakda burchakning sinusi - kerakli burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning uchburchakning gipotenuzasiga nisbati. Shunga ko'ra, kosinus - qo'shni oyoq va gipotenuzaning nisbati. Bu qiymatlarning ikkalasi ham har doim birdan kichik qiymatga ega, chunki gipotenuza har doim oyoqdan uzunroqdir.

Burchakning tangensi - bu qarama-qarshi oyoqning kerakli burchakning qo'shni oyog'iga yoki sinusning kosinusga nisbatiga teng qiymat. Kotangent, o'z navbatida, kerakli burchakning qo'shni oyog'ining qarama-qarshi kaktetga nisbati. Burchakning kotangensini birlikni tangens qiymatiga bo'lish orqali ham olish mumkin.

birlik doirasi

Geometriyada birlik doira radiusi birga teng bo'lgan doiradir. Bunday aylana Dekart koordinata tizimida quriladi, aylananing markazi kelib chiqish nuqtasiga to'g'ri keladi va radius vektorining boshlang'ich holati X o'qining musbat yo'nalishi (abscissa o'qi) bilan belgilanadi. Doiraning har bir nuqtasi ikkita koordinataga ega: XX va YY, ya'ni abscissa va ordinataning koordinatalari. XX tekislikdagi aylananing istalgan nuqtasini tanlab, undan abscissa o'qiga perpendikulyarni tushirib, tanlangan nuqtaga radiusdan hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakni olamiz (uni C harfi bilan belgilaymiz), unga perpendikulyar chizilgan. X o'qi (kesishish nuqtasi G harfi bilan belgilanadi) va abscissa o'qining koordinatalari (nuqta A harfi bilan belgilanadi) va kesishish nuqtasi G o'rtasidagi segment. Olingan uchburchak ACG to'g'ri burchakli uchburchakdir. aylana, bu yerda AG gipotenuza, AC va GC esa oyoqdir. AC aylana radiusi va abscissa o'qining AG belgisi bilan segmenti orasidagi burchakni a (alfa) deb belgilaymiz. Demak, cos a = AG/AC. AC birlik aylanasining radiusi va u birga teng ekanligini hisobga olsak, cos a=AG bo‘lib chiqadi. Xuddi shunday, sin a=CG.

Bundan tashqari, ushbu ma'lumotlarni bilib, aylanadagi S nuqtaning koordinatasini aniqlash mumkin, chunki cos a=AG va sin a=CG, ya'ni S nuqta berilgan koordinatalarga ega (cos a; sin a). Tangens sinusning kosinusga nisbatiga teng ekanligini bilib, biz tg a \u003d y / x va ctg a \u003d x / y ekanligini aniqlashimiz mumkin. Salbiy koordinatalar tizimidagi burchaklarni hisobga olgan holda, ba'zi burchaklarning sinus va kosinus qiymatlari manfiy bo'lishi mumkinligini hisoblash mumkin.

Hisoblash va asosiy formulalar

Trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari

Birlik doirasi orqali trigonometrik funktsiyalarning mohiyatini ko'rib chiqsak, biz ba'zi burchaklar uchun ushbu funktsiyalarning qiymatlarini olishimiz mumkin. Qiymatlar quyidagi jadvalda keltirilgan.

Eng oddiy trigonometrik identifikatsiyalar

Trigonometrik funktsiya belgisi ostida noma'lum qiymat bo'lgan tenglamalar trigonometrik deyiladi. sin x = a qiymatiga ega bo'lgan identifikatsiyalar, k har qanday butun son:

1. sin x = 0, x = p k.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d p / 2 + 2pk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -p / 2 + 2pk.
4. sin x = a, |a| > 1, yechim yo'q.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin a + pk.

cos x = a qiymatiga ega identifikatsiyalar, bu erda k har qanday butun son:

1. cos x = 0, x = p/2 + p k.
2. cos x = 1, x = 2pk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d p + 2pk.
4. cos x = a, |a| > 1, yechim yo'q.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos a + 2pk.

tg x = a qiymatiga ega identifikatsiyalar, bu erda k har qanday butun son:

1. tg x = 0, x = p/2 + p k.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg a + pk.

ctg x = a qiymatiga ega identifikatsiyalar, bu erda k har qanday butun son:

1. ctg x = 0, x = p/2 + pk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg a + pk.

Shakllangan formulalar

Doimiy formulalarning ushbu toifasi trigonometrik funktsiyadan argument funktsiyalariga o'tish, ya'ni har qanday qiymatdagi burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangensini burchakning tegishli ko'rsatkichlariga aylantirish usullarini bildiradi. hisob-kitoblarning qulayligi uchun 0 dan 90 darajagacha bo'lgan oraliq.

Burchak sinusi uchun funksiyalarni kamaytirish formulalari quyidagicha ko'rinadi:

• sin(900 - a) = a;
• sin(900 + a) = cos a;
• sin(1800 - a) = sin a;
• sin(1800 + a) = -sin a;
• sin(2700 - a) = -cos a;
• sin(2700 + a) = -cos a;
• sin(3600 - a) = -sin a;
• sin(3600 + a) = sin a.

Burchakning kosinusu uchun:

• cos(900 - a) = sin a;
• cos(900 + a) = -sin a;
• cos(1800 - a) = -cos a;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - a) = -sin a;
• cos(2700 + a) = sin a;
• cos(3600 - a) = cos a;
• cos(3600 + a) = cos a.

Yuqoridagi formulalardan foydalanish ikkita qoidaga rioya qilgan holda mumkin. Birinchidan, agar burchakni qiymat (p/2 ± a) yoki (3p/2 ± a) sifatida ifodalash mumkin bo'lsa, funktsiyaning qiymati o'zgaradi:

• gunohdan cosga;
• cosdan gunohga;
• tg dan ctg gacha;
• ctg dan tg gacha.

Agar burchakni (p ± a) yoki (2p ± a) ko'rsatish mumkin bo'lsa, funktsiyaning qiymati o'zgarishsiz qoladi.

Ikkinchidan, qisqartirilgan funktsiyaning belgisi o'zgarmaydi: agar u dastlab ijobiy bo'lsa, shunday bo'lib qoladi. Xuddi shu narsa salbiy funktsiyalar uchun ham amal qiladi.

Qo'shimcha formulalar

Ushbu formulalar sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlarini trigonometrik funktsiyalari bo'yicha ikki aylanish burchagi yig'indisi va farqini ifodalaydi. Burchaklar odatda a va b sifatida belgilanadi.

Formulalar quyidagicha ko'rinadi:

1. sin(a ± b) = sin a * cos b ± cos a * sin.
2. cos(a ± b) = cos a * cos b ∓ sin a * sin.
3. tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a * tan b).
4. ctg(a ± b) = (-1 ± ctg a * ctg b) / (ctg a ± ctg b).

Bu formulalar har qanday a va b burchaklar uchun amal qiladi.

Ikki va uch burchak formulalari

Ikki va uch burchakning trigonometrik formulalari mos ravishda 2a va 3a burchaklarning funktsiyalarini a burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan bog'laydigan formulalardir. Qo'shish formulalaridan kelib chiqadi:

1. sin2a = 2sina*kosa.
2. cos2a = 1 - 2sin^2a.
3. tg2a = 2tga / (1 - tg^2 a).
4. sin3a = 3sina - 4sin^3a.
5. cos3a = 4cos^3a - 3cosa.
6. tg3a = (3tga - tg^3 a) / (1-tg^2 a).

Yig'indidan mahsulotga o'tish

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ekanligini hisobga olib, bu formulani soddalashtirib, sina + sinb = 2sin(a + b)/2 * cos(a - b)/2 o'ziga xosligini olamiz. Xuddi shunday, sina - sinb = 2sin(a - b)/2 * cos(a + b)/2; cosa + cosb = 2cos(a + b)/2 * cos(a - b)/2; cosa - cosb = 2sin(a + b)/2 * sin(a - b)/2; tga + tgb = sin(a + b) / cosa * cosb; tga - tgb = sin(a - b) / cosa * cosb; cosa + sina = √2sin(p/4 ∓ a) = √2cos(p/4 ± a).

Mahsulotdan summaga o'tish

Ushbu formulalar yig'indini mahsulotga o'tkazish uchun identifikatsiyalardan kelib chiqadi:

• sina * sinb = 1/2*;
• cosa * cosb = 1/2*;
• sina * cosb = 1/2*.

Qisqartirish formulalari

Ushbu o'ziga xosliklarda sinus va kosinusning kvadrat va kub darajalari ko'p burchakning birinchi darajasining sinusi va kosinasi bilan ifodalanishi mumkin:

• sin^2 a = (1 - cos2a)/2;
• cos^2a = (1 + cos2a)/2;
• sin^3 a = (3 * sina - sin3a)/4;
• cos^3 a = (3 * cosa + cos3a)/4;
• sin^4 a = (3 - 4cos2a + cos4a)/8;
• cos^4 a = (3 + 4cos2a + cos4a)/8.

Universal almashtirish

Universal trigonometrik almashtirish formulalari trigonometrik funktsiyalarni yarim burchakning tangensi bilan ifodalaydi.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), x \u003d p + 2pn esa;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), bu erda x = p + 2pn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), bu erda x \u003d p + 2pn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), x \u003d p + 2pn esa.

Maxsus holatlar

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarning alohida holatlari quyida keltirilgan (k har qanday butun son).

Sinus uchun shaxsiy:

sin x qiymati	x qiymati
0	pk
1	p/2 + 2k
-1	-p/2 + 2k
1/2	p/6 + 2pk yoki 5p/6 + 2pk
-1/2	-p/6 + 2pk yoki -5p/6 + 2pk
√2/2	p/4 + 2pk yoki 3p/4 + 2pk
-√2/2	-p/4 + 2pk yoki -3p/4 + 2pk
√3/2	p/3 + 2pk yoki 2p/3 + 2pk
-√3/2	-p/3 + 2pk yoki -2p/3 + 2pk

Kosinus koeffitsientlari:

cos x qiymati	x qiymati
0	p/2 + 2k
1	2k
-1	2 + 2k
1/2	±p/3 + 2k
-1/2	±2p/3 + 2p
√2/2	±p/4 + 2p
-√2/2	±3p/4 + 2p
√3/2	±p/6 + 2k
-√3/2	±5p/6 + 2p

Tangens uchun shaxsiy:

tg x qiymati	x qiymati
0	pk
1	p/4 + pk
-1	-p/4 + pk
√3/3	p/6 + pk
-√3/3	-p/6 + pk
√3	p/3 + pk
-√3	-p/3 + pk

Kotangent koeffitsientlari:

ctg x qiymati	x qiymati
0	p/2 + pk
1	p/4 + pk
-1	-p/4 + pk
√3	p/6 + pk
-√3	-p/3 + pk
√3/3	p/3 + pk
-√3/3	-p/3 + pk

Teoremalar

Sinus teoremasi

Teoremaning ikkita versiyasi mavjud - oddiy va kengaytirilgan. Oddiy sinus teoremasi: a/sin a = b/sin b = c/sin g. Bunda a, b, c uchburchakning tomonlari, a, b, g esa mos ravishda qarama-qarshi burchaklardir.

Ixtiyoriy uchburchak uchun kengaytirilgan sinus teoremasi: a/sin a = b/sin b = c/sin g = 2R. Bu o'ziga xoslikda R berilgan uchburchak chizilgan aylananing radiusini bildiradi.

Kosinus teoremasi

Identifikatsiya shu tarzda ko'rsatiladi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos a. Formulada a, b, c uchburchakning tomonlari, a esa a tomoniga qarama-qarshi burchakdir.

Tangens teoremasi

Formula ikki burchakning tangenslari va ularga qarama-qarshi tomonlarning uzunligi o'rtasidagi munosabatni ifodalaydi. Yon tomonlari a, b, c deb belgilangan va mos keladigan qarama-qarshi burchaklar a, b, g. Tangens teoremasining formulasi: (a - b) / (a+b) = tg((a - b)/2) / tg((a + b)/2).

Kotangens teoremasi

Uchburchak ichiga chizilgan aylana radiusini uning tomonlari uzunligi bilan bog‘laydi. Agar a, b, c uchburchakning tomonlari va mos ravishda A, B, C ularning qarama-qarshi burchaklari, r - chizilgan aylana radiusi va p - uchburchakning yarim perimetri bo'lsa, quyidagi o'ziga xosliklar mavjud. tutmoq:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Ilovalar

Trigonometriya faqat matematik formulalar bilan bog'liq bo'lgan nazariy fan emas. Её свойствами, теоремами и правилами пользуются на практике разные отрасли человеческой деятельности — астрономия, воздушная и морская навигация, теория музыки, геодезия, химия, акустика, оптика, электроника, архитектура, экономика, машиностроение, измерительные работы, компьютерная графика, картография, океанография, va boshqalar.

Sinus, kosinus, tangens va kotangens trigonometriyaning asosiy tushunchalari boʻlib, ular yordamida uchburchakda tomonlarning burchaklari va uzunligi oʻrtasidagi munosabatni matematik tarzda ifodalash, oʻziga xosliklar, teoremalar va qoidalar orqali kerakli miqdorlarni topish mumkin.

Trigonometriyaning asosiy formulalari asosiy trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatadigan formulalardir. Sinus, kosinus, tangens va kotangens bir-biriga ko'plab munosabatlar bilan bog'langan. Quyida biz asosiy trigonometrik formulalarni beramiz va qulaylik uchun ularni maqsadlariga ko'ra guruhlaymiz. Ushbu formulalardan foydalanib, siz standart trigonometriya kursidan deyarli har qanday muammoni hal qilishingiz mumkin. Darhol ta'kidlaymizki, quyida faqat formulalarning o'zlari keltirilgan, ularning kelib chiqishi emas, balki alohida maqolalar bag'ishlanadi.

Trigonometriyaning asosiy identifikatorlari

Trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni beradi, bu esa bir funktsiyani boshqasi bilan ifodalash imkonini beradi.

Trigonometrik identifikatsiyalar

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g a = sin a cos a , c t g a = cos a sin a t g a c t g a = 1 t g 2 a + 1 = 1 cos 2 a , c t g 2 a + 1 = 1 sin 2a

Bu o'ziga xosliklar to'g'ridan-to'g'ri birlik doirasi, sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg) va kotangens (ctg) ta'riflaridan kelib chiqadi.

Shakllangan formulalar

Quyma formulalari ixtiyoriy va o'zboshimchalik bilan katta burchaklar bilan ishlashdan 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi.

Shakllangan formulalar

sin a + 2 p z = sin a , cos a + 2 p z = cos a t g a + 2 p z = t g a , c t g a + 2 p z = c t g a sin - a + 2 p z = - sin a , cos - a + 2 p z = cos a t g - a + 2 p z = - t g a , c t g - a + 2 p z = - c t g a sin p 2 + a + 2 p z = cos a , cos p 2 + a + 2 p z = - sin a t g p 2 + a + 2 p z = - c t g a , c t g p 2 + a + 2 p z = - t g a sin p 2 - a + 2 p z = cos a , cos p 2 - a + 2 p z = sin a t g p 2 - a + 2 p z = c t g a , c t g p 2 - a + 2 p z = t g a sin p + a + 2 p z = - sin a , cos p + a + 2 p z = - cos a t g p + a + 2 p z = t g a , c t g p + a + 2 p z = c t g a sin p - a + 2 p z = sin a , cos p - + 2 p z = - cos a t g p - a + 2 p z = - t g a , c t g p - a + 2 p z = - c t g a sin 3 p 2 + a + 2 p z = - cos a , cos3 p 2 + a + 2 p z = sin a t g 3 p 2 + a + 2 p z = - c t g a , c t g 3 p 2 + a + 2 p z = - t g a sin 3 p 2 - a + 2 p = - cos a , cos 3 p 2 - a + 2 p z = - sin a t g 3 p 2 - a + 2 p z = c t g a , c t g 3 p 2 - a + 2 p z = t g a

Qisqartirish formulalari trigonometrik funktsiyalarning davriyligining natijasidir.

Trigonometrik qo'shish formulalari

Trigonometriyadagi qo'shish formulalari burchaklar yig'indisining yoki ayirmasining trigonometrik funktsiyasini ushbu burchaklarning trigonometrik funktsiyalari nuqtai nazaridan ifodalash imkonini beradi.

Trigonometrik qo'shish formulalari

sin a ± b = sin a cos b ± cos a sin b cos a + b = cos a cos b - sin a sin b cos a - b = cos a cos b + sin a sin b t g a ± b = t g a± t g b 1 ± t g a t g b c t g a ± b = - 1 ± c t g a c t g b c t g a ± c t g b

Qo'shish formulalari asosida ko'p burchak uchun trigonometrik formulalar olinadi.

Bir nechta burchak formulalari: ikki, uch va boshqalar.

Ikki va uch burchak formulalari

sin 2 a \u003d 2 sin a cos a cos 2 a \u003d cos 2 a - sin 2 a, cos 2 a \u003d 1 - 2 sin 2 a, cos 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 t \ g 2a u003d 2 t g a 1 - t g 2 a bilan t g 2 a \u003d bilan t g 2 a - 1 2 bilan t g a sin 3 a \u003d 3 sin a cos 2 a - sin 3 a, sin 3 a \u003d -a3 4 sin 3 a cos 3 a = cos 3 a - 3 sin 2 a cos a , cos 3 a = - 3 cos a + 4 cos 3 a t g 3 a = 3 t g a - t g 3 a 1 - 3 t g 2 a c t g 3 a = c t g 3 a - 3 c t g a 3 c t g 2 a - 1

Yarim burchak formulalari

Trigonometriyadagi yarim burchak formulalari ikki burchakli formulalarning natijasidir va yarim burchakning asosiy funktsiyalari va butun burchakning kosinusu o'rtasidagi munosabatni ifodalaydi.

Yarim burchak formulalari

sin 2 a 2 = 1 - cos a 2 cos 2 a 2 = 1 + cos a 2 t g 2 a 2 = 1 - cos a 1 + cos a c t g 2 a 2 = 1 + cos a 1 - cos a

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalari

sin 2 a = 1 - cos 2 a 2 cos 2 a = 1 + cos 2 a 2 sin 3 a = 3 sin a - sin 3 a 4 cos 3 a = 3 cos a + cos 3 a 4 sin 4 a = 3 - 4 cos 2 a + cos 4 a 8 cos 4 a = 3 + 4 cos 2 a + cos 4 a 8

Ko'pincha, hisob-kitoblarda, noqulay kuchlar bilan ishlash noqulay. Darajani kamaytirish formulalari trigonometrik funktsiya darajasini o'zboshimchalik bilan kattadan birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi. Mana ularning umumiy ko'rinishi:

Qisqartirish formulalarining umumiy shakli

hatto n uchun

sin n a = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) a) cos n a = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) a)

toq n uchun

sin n a = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) a) cos n a = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) a)

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi

Trigonometrik funktsiyalarning ayirmasi va yig'indisi mahsulot sifatida ifodalanishi mumkin. Trigonometrik tenglamalarni yechishda va ifodalarni soddalashtirishda sinuslar va kosinuslar ayirmalarini faktorlarga ajratish juda qulay.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi

sin a + sin b = 2 sin a + b 2 cos a - b 2 sin a - sin b = 2 sin a - b 2 cos a + b 2 cos a + cos b = 2 cos a + b 2 cos a - b. 2 cos a - cos b \u003d - 2 sin a + b 2 sin a - b 2, cos a - cos b \u003d 2 sin a + b 2 sin b - a 2

Trigonometrik funksiyalarning mahsuloti

Agar funktsiyalar yig'indisi va farqi uchun formulalar ularning mahsulotiga o'tishga imkon bersa, trigonometrik funktsiyalar mahsuloti uchun formulalar teskari o'tishni amalga oshiradi - mahsulotdan yig'indiga. Sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo'yicha ko'paytmasi uchun formulalar ko'rib chiqiladi.

Trigonometrik funksiyalar hosilasi uchun formulalar

sin a sin b = 1 2 (cos (a - b) - cos (a + b)) cos a cos b = 1 2 (cos (a - b) + cos (a + b)) sin a cos b = 1 2 (sin (a - b) + gunoh (a + b))

Universal trigonometrik almashtirish

Barcha asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens - yarim burchakning tangensi bilan ifodalanishi mumkin.

Universal trigonometrik almashtirish

sin a = 2 t g a 2 1 + t g 2 a 2 cos a = 1 - t g 2 a 2 1 + t g 2 a 2 t g a = 2 t g a 2 1 - t g 2 a 2 c t g a = 1 - t g 2 2 t g a 2

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing