Dars maqsadlari:

• tarbiyaviy: bir jinsli tenglamani o'z ichiga olgan tenglamalar tizimini, simmetrik tenglamalar tizimini echishga o'rgatish;
• rivojlanmoqda: fikrlash, e'tibor, xotira, asosiy narsani ta'kidlash qobiliyatini rivojlantirish;
• tarbiyaviy: muloqot qobiliyatlarini rivojlantirish.

Dars turi: yangi materialni o'rganish darsi.

Qo'llaniladigan o'qitish texnologiyalari:

• guruhlarda ishlash;
• dizayn usuli.

Uskunalar: kompyuter, multimedia proyektori.

Darsdan bir hafta oldin talabalar ijodiy topshiriqlar uchun mavzularni oladilar (variantlarga ko'ra).
I variant. Simmetrik tenglamalar sistemasi. Yechimlar.
Variant II. Bir jinsli tenglamani o'z ichiga olgan tizimlar. Yechimlar.

Har bir talaba qo'shimcha o'quv adabiyotlaridan foydalangan holda tegishli o'quv materialini topishi, tenglamalar tizimini tanlashi va uni hal qilishi kerak.
Har bir variantdan bitta talaba ijodiy topshiriq mavzusi bo'yicha multimedia taqdimotlarini yaratadi. Agar kerak bo'lsa, o'qituvchi talabalarga maslahat beradi.

I. O‘quvchilarning o‘quv faoliyati uchun motivatsiya

O'qituvchining kirish nutqi
Oldingi darsda noma’lumlarni almashtirish orqali tenglamalar tizimini yechish usullarini ko‘rib chiqdik. Yangi o'zgaruvchilarni tanlashning umumiy qoidasi yo'q. Biroq, o'zgaruvchilarning oqilona tanlovi mavjud bo'lganda, ikki turdagi tenglamalar tizimini ajratish mumkin:

• simmetrik tenglamalar sistemalari;
• tenglamalar tizimi, ulardan biri bir jinsli.

II. Yangi materialni o'rganish

2-variantdagi talabalar uy vazifasi haqida hisobot berishadi.

1. “Bir hil tenglamani o'z ichiga olgan tizimlar” multimedia taqdimotining slaydlarini ko'rsatish (1-taqdimot).

2. Bir partada o‘tirgan o‘quvchilarning juftligida ishlash: 2-variantdagi o‘quvchi stol qo‘shnisiga bir jinsli tenglamani o‘z ichiga olgan sistemaning yechimini tushuntiradi.

1-variant bo'yicha talabalar hisoboti.

1. “Simmetrik tenglamalar sistemalari” multimedia taqdimoti slaydlarini namoyish qilish (2-taqdimot).

Talabalar daftarlariga yozadilar:

2. Bir partada o‘tirgan o‘quvchilarning juftligida ishlash: 1-variantdagi o‘quvchi stol qo‘shnisiga simmetrik tenglamalar sistemasi yechimini tushuntiradi.

III. O'rganilgan materialni mustahkamlash

Guruhlarda ishlash (qo'shni partalarda o'tirgan talabalar 4 nafar talabadan iborat guruhga birlashtirilgan).
6 ta guruhning har biri quyidagi topshiriqni bajaradi.

Tizim turini aniqlang va uni hal qiling:

Guruhlarda talabalar tizimlarni tahlil qiladilar, ularning turini aniqlaydilar, so'ngra frontal ish paytida tizimlarning echimlarini muhokama qiladilar.

a) tizim

simmetrik, keling, yangi o'zgaruvchilar kiritamiz x+y=u, xy=v

b) tizim

bir hil tenglamani o'z ichiga oladi.

Raqamlar juftligi (0;0) tizimning yechimi emas.

IV. Talabalar bilimini nazorat qilish

Variantlar ustida mustaqil ishlash.

Tenglamalar tizimini yeching:

O‘quvchilar o‘z daftarlarini tekshirish uchun o‘qituvchiga topshiradilar.

V. Uyga vazifa

1. Barcha talabalar tomonidan to‘ldirilgan.

Tenglamalar tizimini yeching:

2. “Kuchli” talabalar tomonidan ijro etiladi.

Tenglamalar tizimini yeching:

VI. Dars xulosasi

Savollar:
Sinfda tenglamalar tizimining qanday turlari bilan tanishdingiz?
Ularni yechish uchun tenglamalar sistemalarini yechishning qanday usuli qo'llaniladi?

Dars davomida talabalar olgan baholar haqida hisobot berish.

Kirish Mening loyihamning muammosi shundaki, Yagona davlat imtihonidan muvaffaqiyatli o'tish uchun turli xil tenglamalar tizimini echish qobiliyati talab qilinadi va o'rta maktab kursida ular bu masalani chuqurroq tushunish uchun etarli vaqtga ega emaslar. Ishning maqsadi: Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirishga tayyorgarlik ko'rish. Ishning maqsadlari: "Simmetriya" tushunchasi bilan bog'liq matematika sohasidagi bilimlaringizni kengaytiring. Simmetrik deb ataladigan tenglamalar tizimini, shuningdek, matematikaning boshqa masalalarini yechishda “simmetriya” tushunchasidan foydalanib, matematik madaniyatingizni oshiring.

Simmetriya haqida tushuncha. Simmetriya - (qadimgi yunoncha symucera), keng ma'noda - har qanday o'zgarishlarda o'zgarmaslik. Masalan, jismning sharsimon simmetriyasi, jismning kosmosda ixtiyoriy burchak ostida aylantirilsa, tashqi ko'rinishi o'zgarmasligini bildiradi. Ikki tomonlama simmetriya ba'zi tekislikka nisbatan o'ng va chap bir xil ko'rinishini anglatadi.

Simmetriya yordamida masalalarni yechish. Vazifa No 1 Ikki kishi navbat bilan bir xil tangalarni dumaloq stolga qo'yadi va tangalar bir-birini qoplamasligi kerak. Harakat qila olmagan kishi yutqazadi. To'g'ri o'ynaganida kim g'alaba qozonadi? (Boshqacha qilib aytganda, qaysi o'yinchi g'alaba qozonish strategiyasiga ega?)

Simmetrik sistemalarni yechish usullari. Simmetrik tizimlar asosiy simmetrik polinomlar tomonidan o'ynaladigan o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali hal qilinishi mumkin. Ikkita noma’lum x va y bo‘lgan ikkita tenglamaning simmetrik sistemasi u = x + y, v = xy o‘rniga qo‘yilgan holda yechiladi.

Misol No 2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 Asosiy simmetrik ko‘phadlardan foydalanib, sistemani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8. . Ikkinchi tenglamadan u = ni ifodalab, uni birinchi tenglamaga almashtirsak, 9v2– 28v – 156 = 0 ni olamiz. Bu tenglamaning ildizlari v 1 = 6 va v 2 = - mos keladigan qiymatlarni topishga imkon beradi u1 = 5, u2= - u = ifodadan.

Keling, quyidagi tizimlar to'plamini yechamiz. Endi quyidagi x + y = 5 va x + y = -, xy = 6 xy = - tizimlar to'plamini yechamiz. x = 5 – y, va y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y, va y = -x - , y (5 – y) = 6 x (-x -) = - . x = 5 – y, va y = -x - , y 1 = 3, y 2 =2 x 1 = , x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3 va x 1 = , x 2 = - y 1= 3, y 2 =2 y 1 = - , y 2= Javob: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Simmetrik sistemalarni yechishda foydalaniladigan teoremalar. Teorema 1. (simmetrik ko'phadlar haqida) Ikki o'zgaruvchidagi har qanday simmetrik ko'phadni ikkita asosiy simmetrik ko'phadning funksiyasi sifatida tasvirlash mumkin.Boshqacha aytganda, har qanday simmetrik ko'phad f (x, y) uchun ikkita ph (u) o'zgaruvchining funksiyasi mavjud. , v) shunday

Teorema 2. (simmetrik ko'phadlar haqida) 2-teorema. (simmetrik ko'phadlar haqida) Uch o'zgaruvchidagi har qanday simmetrik ko'phadni uchta asosiy simmetrik ko'phadning funksiyasi sifatida tasvirlash mumkin: Boshqacha qilib aytganda, har qanday simmetrik ko'phad uchun f (x, y) mavjud. uchta o'zgaruvchining bunday funktsiyasi th (u, v, w), qaysi

Keyinchalik murakkab simmetrik tizimlar - modulni o'z ichiga olgan tizimlar: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | y – 1 | = 2. Bu sistemani x uchun alohida ko'rib chiqamiz< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) x ≤ y uchun< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sistema shaklini oladi - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2 yoki - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2, bu erdan topamiz. x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. Ikkinchi juft sonlar ko'rib chiqilayotgan sohaga tegishli, ya'ni bu tizimning yechimidir.

Agar x ≥ 1 bo'lsa, u holda: Agar x ≥ 1 bo'lsa, u holda: a) x > y va y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y va y ≥ 1 bo'lsa, tizim x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2 yoki x – y + y 2 = 3, x + y = 4 ko'rinishini oladi, bu erda biz x ni topamiz. = 1, y = 3. Bu juft raqamlar ko'rib chiqilayotgan sohaga tegishli emas;

c) x ≤ y (keyin y ≥ 1) uchun sistema c) x ≤ y uchun (keyin y ≥ 1) sistema ko‘rinishini oladi - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2 yoki - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, bu erdan x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8 ni topamiz; x 2 = 5 - √8, y 2 = - 1 + √8. Ushbu juft raqamlar ko'rib chiqilayotgan mintaqaga tegishli emas. Shunday qilib, x 1 = - 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Javob: (- 1; 1); (o'n bitta).

Xulosa Matematika inson tafakkurini rivojlantiradi, mantiq orqali turli yechimlarni topishga o'rgatadi. Shunday qilib, simmetrik tizimlarni echishni o'rganganimdan so'ng, men ulardan nafaqat aniq misollarni to'ldirish, balki har xil turdagi muammolarni hal qilish uchun ham foydalanish mumkinligini angladim. Loyiha nafaqat menga foyda keltirishi mumkin, deb o'ylayman. Ushbu mavzu bilan tanishmoqchi bo'lganlar uchun mening ishim yaxshi yordamchi bo'ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati: Bashmakov M.I., "Algebra va tahlilning boshlanishi", 2-nashr, Moskva, "Prosveshchenie", 1992, 350 b. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., "Algebra va elementar funktsiyalar ", ma'lumotnoma; qayta ko'rib chiqilgan va kengaytirilgan uchinchi nashr; Kiev, Naukova, Dumka, 1987, 648 bet Sharygin I.F., "O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika", Moskva, "Drofa" nashriyoti, 1995, 490 pp. Internet resurslari: http://www.college.ru/

Ishdan "Matematika" fanidan darslar va hisobotlar uchun foydalanish mumkin.

Matematika bo'yicha tayyor taqdimotlar o'qituvchi yoki ota-onalarga slaydlar va jadvallar yordamida darslikdan o'rganilayotgan mavzuni ko'rsatish, masala va tenglamalarni echish misollarini ko'rsatish, shuningdek bilimlarni tekshirish imkonini beradigan ko'rgazmali qurol sifatida ishlatiladi. Saytning ushbu bo'limida siz 1, 2, 3, 4, 5, 6-sinf o'quvchilari uchun matematika bo'yicha ko'plab tayyor taqdimotlarni, shuningdek, oliy o'quv yurtlari talabalari uchun oliy matematika bo'yicha taqdimotlarni topishingiz va yuklab olishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz uchun biz tenglamani olamiz Polinomlarning ratsional ildizlari haqidagi teoremani eslaylik (§ 2.1.5). Tenglamamizning ratsional ildizlarini -4 sonining bo'luvchilari orasidan izlash kerak. Barcha bo'luvchilardan o'tib, biz tenglamaning oqilona ildizlari yo'qligiga amin bo'ldik. Biroq, bu teorema ildizlarning mavjudligi haqidagi teorema emas edi. Bu teorema faqat quyidagilarni bildirgan: agar butun sonli koeffitsientli ko'phadning ratsional ildizlari bo'lsa (lekin ular YO'Q bo'lishi mumkin), u holda bu ildizlar qandaydir maxsus shaklga ega bo'ladi. Bu teorema ratsional ildizlar bo'lmagan holatni tasvirlab bermadi.

Keling, asl tizim tenglamasining ildizlarini irratsional sonlar orasidan topishga harakat qilaylik. Biroq, bu biroz ijodkorlikni talab qiladi: nosimmetrik tizimlarni standart almashtirish bu erda ishlamaydi.

Ikkinchi tenglamani kubga ko'tarib, biz quyidagilarni olamiz: Shunday qilib, Veta teoremasi bo'yicha va kvadrat tenglamaning ildizlari Demak va Demak,

Tenglamalar sistemalarini yechish bo'yicha qo'shimcha adabiyotlarni o'rganar ekanman, tizimning yangi turi - simmetrik tizimga duch keldim. Va men o'z oldimga maqsad qo'ydim:

“Tenglamalar tizimlari” mavzusidagi ilmiy ma’lumotlarni umumlashtirish.

Yangi o‘zgaruvchilarni kiritish orqali tushunish va yechishni o‘rganish;

3) Simmetrik tenglamalar tizimi bilan bog'liq asosiy nazariyalarni ko'rib chiqing

4) Simmetrik tenglamalar tizimini yechishni o'rganing.

Tenglamalar sistemalarini yechish tarixi.

Chiziqli tenglamalardan noma'lumlarni yo'q qilish uzoq vaqtdan beri qo'llanilgan. 17-18-asrlarda. V. istisno qilish texnikasi Fermat, Nyuton, Leybnits, Eyler, Bezout, Lagrange tomonidan ishlab chiqilgan.

Zamonaviy yozuvda ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi ko'rinishga ega: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Bu sistemaning yechimlari formulalar bilan ifodalanadi.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

17-asrda yaratilgan koordinata usuli tufayli. Ferma va Dekart tenglamalar tizimini grafik usulda yechish imkoniga ega bo'ldi.

Miloddan avvalgi 3-2 ming yilliklarda yozilgan qadimgi Bobil matnlarida. e. , ikkinchi darajali tenglamalar ham kiritilgan tenglamalar tizimini qurish orqali echilishi mumkin bo'lgan ko'plab muammolarni o'z ichiga oladi.

1-misol:

Men ikkita kvadratimning maydonlarini qo'shdim: 25. Ikkinchi kvadratning tomoni birinchisining tomoniga teng va yana 5. Tegishli yozuvdagi mos keladigan tenglamalar tizimi quyidagicha ko'rinadi: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Ko'pgina noma'lumlar uchun notalarga ega bo'lmagan Diofant tizimning yechimini bitta tenglamaning yechimiga qisqartiradigan tarzda noma'lumni tanlash uchun juda ko'p harakat qildi.

2-misol:

"Ikkita natural sonni toping, chunki ularning yig'indisi 20 va kvadratlari yig'indisi 208."

Muammo tenglamalar tizimini tuzish orqali ham hal qilindi, x + y = 20, lekin hal qilindi x2 + y2 = 208

Diophantus, kerakli raqamlarning yarmi farqini noma'lum sifatida tanlash, ya'ni.

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- masala shartlarini qanoatlantirmaydi, shuning uchun z = 2x = 12 va y = 8 bo'lsa.

Algebraik tenglamalar sistemasi haqida tushunchalar.

Ko'pgina masalalarda ular yordamida hosil bo'lgan boshqa miqdorlar (noma'lumlarning funktsiyalari) bir-biriga yoki ba'zi berilgan miqdorlarga teng ekanligini bilib, bir nechta noma'lum miqdorlarni topish kerak. Keling, oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

Maydoni 2400 m2 bo'lgan to'rtburchaklar shaklidagi er uchastkasi 200 m uzunlikdagi panjara bilan o'ralgan. uchastkaning uzunligi va kengligini toping. Aslida, bu muammoning "algebraik modeli" ikkita tenglama va bitta tengsizlik tizimidir.

Mumkin bo'lgan tengsizliklarni doimo yodda tutish kerak. Tenglamalar tizimini tuzish bilan bog'liq masalalarni yechishda. Lekin asosiy narsa tenglamalarni o'zlari hal qilishdir. Men sizga qo'llaniladigan usullar haqida aytib beraman.

Keling, ta'riflardan boshlaylik.

Tenglamalar tizimi jingalak qavs bilan bog'langan bir necha (birdan ortiq) tenglamalar to'plamidir.

Jingalak qavs tizimning barcha tenglamalari bir vaqtning o'zida bajarilishi kerakligini anglatadi va har bir tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan juft raqamlarni (x; y) topish kerakligini ko'rsatadi.

Tizim yechimi - bu sistemaga almashtirilganda uning har bir tenglamasini to'g'ri sonli tenglikka aylantiradigan x va y sonlari juftligi.

Tenglamalar sistemasini yechish uning barcha yechimlarini topish yoki yo‘qligini aniqlash demakdir.

O'zgartirish usuli.

O'zgartirish usuli - tenglamalarning birida bir o'zgaruvchining boshqasi bilan ifodalanishi. Olingan ifoda boshqa tenglamaga almashtiriladi, keyin u bir o'zgaruvchili tenglamaga aylanadi va keyin yechiladi. Ushbu o'zgaruvchining natijaviy qiymatlari dastlabki tizimning istalgan tenglamasiga almashtiriladi va ikkinchi o'zgaruvchi topiladi.

Algoritm.

1. Sistemaning bir tenglamasidan y ni x hisobida ifodalang.

2. Olingan ifodani y o‘rniga sistemaning boshqa tenglamasiga almashtiring.

3. X uchun hosil bo‘lgan tenglamani yeching.

4. Birinchi bosqichda olingan y dan x gacha bo'lgan ifodaga x o'rniga uchinchi bosqichda topilgan tenglamaning har bir ildizini navbat bilan almashtiring.

5) Javobni juft qiymatlar (x; y) shaklida yozing.

1-misol y = x – 1,

Ikkinchi tenglamaga y = x - 1 ni qo‘ysak, 5x + 2 (x - 1) = 16 ni olamiz, bundan x = 2. Olingan ifodani birinchi tenglamaga almashtiramiz: y = 2 - 1 = 1.

Javob: (2; 1).

2-misol:

8y – x = 4, 1) 2 (8y – 4) – 21y = 2

2x – 21u = 2 16u – 8 – 21u = 2

5y = 10 x = 8y – 4, y = -2

2x – 21u = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20

2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2

Javob: (-20; -2).

3-misol: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – kvadrat tenglama y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

Shuning uchun (-2; -4); (4; 8) – bu sistemaning yechimlari.

Qo'shish usuli.

Qo'shish usuli shundan iboratki, agar berilgan tizim bir-biriga qo'shilganda bitta o'zgaruvchi bilan tenglama hosil qiladigan tenglamalardan iborat bo'lsa, bu tenglamani yechish orqali biz o'zgaruvchilardan birining qiymatlarini olamiz. Ikkinchi o'zgaruvchining qiymati almashtirish usulida bo'lgani kabi topiladi.

Qo'shish usuli yordamida tizimlarni yechish algoritmi.

1. Noma'lumlardan biri uchun koeffitsientlarning modullarini tenglashtiring.

2. Olingan tenglamalarni qo‘shish yoki ayirish yo‘li bilan bitta noma’lumni toping.

3. Topilgan qiymatni dastlabki sistemaning tenglamalaridan biriga qo‘yib, ikkinchi noma’lumni toping.

Misol № 1. Tenglamalar sistemasini qo‘shish usuli yordamida yeching: x + y = 20, x – y = 10

Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, biz olamiz

Ikkinchi ifodadan x = 20 - y ni ifodalaymiz

Bu ifodaga y = 5 ni almashtiring: x = 20 – 5 x = 15.

Javob: (15; 5).

2-misol:

Taklif etilayotgan tizim tenglamalarini ayirma shaklida ifodalaymiz, olamiz

7y = 21, bundan y = 3

Ushbu qiymatni sistemaning ikkinchi tenglamasidan ifodalangan x = ga almashtiramiz, biz x = 4 ni olamiz.

Javob: (4; 3).

3-misol:

2x + 11y = 15,

10x – 11y = 9

Ushbu tenglamalarni qo'shib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, bu qiymatni ikkinchi tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

10 * 2 – 11y = 9, bundan y = 1.

Bu sistemaning yechimi juft: (2; 1).

Tenglamalar sistemasini yechishning grafik usuli.

Algoritm.

1. Tizim tenglamalarining har birining grafiklarini tuzing.

2. Tuzilgan chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini toping.

Samolyotda chiziqlarning o'zaro joylashishi holati.

1. Agar chiziqlar kesishsa, ya'ni bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, tenglamalar sistemasi bitta yechimga ega bo'ladi.

2. Agar chiziqlar parallel bo'lsa, ya'ni umumiy nuqtalari bo'lmasa, tenglamalar sistemasining yechimlari yo'q.

3. Agar chiziqlar bir-biriga to‘g‘ri kelsa, ya’ni ular ko‘p nuqtaga ega bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz sonli yechimlarga ega bo‘ladi.

1-misol:

x – y = -1 tenglamalar tizimini grafik tarzda yeching,

Birinchi va ikkinchi tenglamalardan y ni ifodalaymiz: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

Keling, har bir tizim tenglamasining grafiklarini tuzamiz:

1) y = 1 + x – funksiya grafigi x 0 1 (1; 2) y 1 2 to‘g‘ri chiziq.

2) y = 4 – 2x – funksiya grafigi x 0 1 y 4 2 to‘g‘ri chiziq.

Javob: (1; 2).

2-misol: y x ​​+ 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y =, y = y = - funksiya grafigi x 0 2 y 3 2 y = - funksiya grafigi x 0 2 y 2 1 to‘g‘ri chiziq.

Javob: hech qanday yechim yo'q.

3-misol: y x ​​– 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - funksiya grafigi x 0 2 y -1 0 to‘g‘ri chiziq.

Javob: tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli.

Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli shundaki, yangi o'zgaruvchi bir vaqtning o'zida faqat bitta tenglamaga yoki ikkala tenglama uchun ikkita yangi o'zgaruvchiga kiritiladi, so'ngra tenglama yoki tenglamalar yangi o'zgaruvchilarga nisbatan echiladi, shundan so'ng oddiyroq tizimni echish qoladi. tenglamalar, ulardan biz kerakli yechimni topamiz.

1-misol:

X + y = 5

= z ni, keyin = ni belgilaymiz.

Birinchi tenglama z + = ko'rinishini oladi, u 6z – 13 + 6 = 0 ga ekvivalentdir. Hosil bo'lgan tenglamani yechib, z = ga ega bo'lamiz; z =. Keyin = yoki =, boshqacha qilib aytganda, birinchi tenglama ikkita tenglamaga bo'linadi, shuning uchun bizda ikkita tizim mavjud:

X + y = 5 x + y = 5

Bu sistemalarning yechimlari berilgan sistemaning yechimlaridir.

Birinchi sistemaning yechimi juftlikdir: (2; 3), ikkinchisi esa (3; 2).

Demak, + =, x + y = 5 sistemaning yechimlari

Bu juftliklar (2; 3); (3; 2)

2-misol:

= X, a = Y bo'lsin.

X = , 5 * - 2U = 1

5X – 2U = 1 2,5 (8 – 3U) – 2U = 1

20 – 7,5U – 2U = 1

X =, -9,5U = -19

5 * - 2U = 1 U = 2

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz.

2 x = 1, y = 0,5

Javob: (1; 0,5).

Simmetrik tenglamalar sistemasi.

Agar noma’lumlar qayta tartiblanganda o‘zgarmasa, n ta noma’lumli sistema simmetrik deyiladi.

Ikkita noma’lum x va y bo‘lgan ikkita tenglamaning simmetrik sistemasi u = x + y, v = xy o‘rniga qo‘yilgan holda yechiladi. E'tibor bering, simmetrik sistemalarda uchraydigan ifodalar u va v bilan ifodalanadi. Ko'pgina simmetrik tizimlarni echishda shubhasiz qiziqish uyg'otadigan bir nechta misollarni keltiramiz: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v va boshqalar.

X y, z noma’lumlar uchun uchta tenglamadan iborat simmetrik sistema x + y + z = u, xy + yz + xz = w ni almashtirish orqali yechiladi. Agar u, v, w topilsa, u holda t2 – ut2 + vt – w = 0 kub tenglama tuziladi, uning ildizlari turli almashtirishlarda t1, t2, t3 asl sistemaning yechimlari hisoblanadi. Bunday sistemalarda eng keng tarqalgan ifodalar u, v, w orqali quyidagicha ifodalanadi: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w.

1-misol: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

x + y = u, xy = v bo'lsin.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz.

Javob: (1; 3); (3; 1).

2-misol: x3 + y3 = 28, x + y = 4

x + y = u, xy = v bo'lsin.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 - 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Javob: (1; 3); (3; 1).

3-misol: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

x =y = u, xy =v bo'lsin.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Javob: (1; 3); (3; 1).

4-misol: x + y = 5, x3 + y3 = 65

x + y = u, xy = v bo'lsin.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Javob: (4; 1); (14).

5-misol: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Noma'lumlarni o'zgartiramiz, sistema u2 + v = 49, u + v = 23 ko'rinishini oladi.

Bu tenglamalarni qo‘shib, ildizlari u1 = 8, u2 = -9 bo‘lgan u2 + u – 72 = 0 ni olamiz. Shunga ko'ra, v1 = 15, v2 = 32. X + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32 tizimlar to'plamini hal qilish qoladi.

Tizim x + y = 8, yechimlari x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

x + y = -9 tizimida haqiqiy echimlar yo'q.

Javob: (3; 5), (5; 3).

Misol № 6. Tenglamalar sistemasini yeching.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

U = y + x va v = xy asosiy simmetrik ko'phadlardan foydalanib, quyidagi tenglamalar tizimini olamiz.

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Sistemaning ikkinchi tenglamasidan v = -3 – u ifodasini birinchi tenglamaga qo'yib, ildizlari u1 = -1 va u2 = -2,5 bo'lgan quyidagi 2u2 + 7u + 5 = 0 tenglamaga ega bo'lamiz; va shunga mos ravishda v1 = -2 va v2 = -0,5 qiymatlari v = -3 – u dan olinadi.

Endi x + y = -1 va x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5 tizimlarning quyidagi to'plamini hal qilish kerak.

Ushbu tizimlar to'plamining echimlari va shuning uchun dastlabki tizim (ularning ekvivalentligi tufayli) quyidagicha: (1; -2), (-2; 1), (;).

7-misol:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

Asosiy simmetrik ko‘phadlardan foydalanib, sistemani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin

3uv - 2v = 78,

Ikkinchi tenglamadan u = ifodalanib, uni birinchi tenglamaga almashtirsak, 9v2 – 28v – 156 = 0 ni olamiz. Ushbu tenglamaning ildizlari v1 = 6 va v2 = - mos keladigan qiymatlarni topishga imkon beradi u1 = 5, u2 = - u = ifodasidan.

Keling, quyidagi x + y = 5 va x + y = -, xy = 6 xy = - tizimlar to'plamini yechamiz.

x = 5 – y, va y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y, va y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y, va y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 va x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Javob: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Xulosa.

Maqolani yozish jarayonida men algebraik tenglamalar sistemalarining har xil turlari bilan tanishdim. “Tenglamalar tizimlari” mavzusi bo'yicha umumlashtirilgan ilmiy ma'lumotlar.

Men buni tushundim va yangi o'zgaruvchilarni kiritish orqali hal qilishni o'rgandim;

Simmetrik tenglamalar tizimi bilan bog'liq asosiy nazariyalarni ko'rib chiqdi

Simmetrik tenglamalar sistemalarini yechishni o'rgandilar.

− 4 1 + 4

−6

27 ≡ 0,

−4 x + 4 y + 27

+(y +6 )

x = 1, x

(x − 1)

= −6.

y = -6

E'tibor bering, ikkinchi tenglamaning yechimi hali tizimning yechimi emas. Olingan raqamlar tizimning qolgan birinchi tenglamasiga almashtirilishi kerak. Bunday holda, almashtirishdan so'ng biz shaxsni olamiz.

Javob: (1, – 6).♦

§5. Bir jinsli tenglamalar va sistemalar
f(x, y) funksiyasi	chaqirdi	bir hil		k agar
f (tx, ty) = tk f (x, y) .	Masalan, f (x, y) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2 funksiyasi
4-darajali bir jinsli, chunki		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx) 2 (ty) 2 = t 4 (4x 3 y - 5xy 3 + x 2 y 2). Tenglama f(x, y) = 0, bu yerda				f (x, y) -

bir jinsli funksiya bir hil deyiladi. Bu tenglamaga tushadi

Agar siz t = x y yangi o'zgaruvchini kiritsangiz, bitta noma'lum bilan tion.

f (x, y) = a,

Ikki o'zgaruvchili tizim g (x, y) = b, bu erda f (x, y), g (x, y) -

bir xil darajadagi bir jinsli funktsiyalar bir jinsli deyiladi. Agar ab ≠ 0 bo'lsa, birinchi tenglamani b ga, ikkinchisini a va ga ko'paytiring

Biz birini boshqasidan olamiz va biz ekvivalent tizimni olamiz

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

O'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali birinchi tenglama t =

(yoki t =

) gacha kamayadi

bitta noma'lum tenglama.

Agar a = 0 bo'lsa

(b = 0), u holda f (x, y) = 0 (g (x, y) = 0) tenglamani almashtirib,

o'zgaruvchilar t =

(yoki t =

) bitta noma'lum tenglamaga keltiriladi

− xy + y

21 ,

20-misol. (MSU, 2001, Kimyo fakulteti) Tizimni yechish

− 2xy + 15 = 0.

2012-2013 o'quv yili yil, №1, 11-sinf. Matematika. Algebraik tenglamalar, tengsizliklar, sistemalar

− xy + y 2 = 21,

− xy + y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = - 15

x ≠ 0, y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12y 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3 y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3; −

3 ) , (4; 5) ,

(− 4; − 5) . ♦

§6. Simmetrik tizimlar

f(x,y)

chaqirdi

nosimmetrik,

f (x, y) = f (y, x) .

f(x, y) = a

Shaklning tenglamalar tizimi

Bu erda f (x, y), g (x, y) - simmetrik

g(x, y) = b,

rik, simmetrik sistema deyiladi. Bunday tizimlar hal qiladi

tez-tez uchraydi	faqat yangisini kiritish orqali	o'zgaruvchilar
x + y = u, xy

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17,

21-misol. Tenglamalar sistemasini yeching

x + xy + y = 5.

♦ Bu algebraik (simmetrik) tizim bo'lib, odatda u x + y = u, xy = v ni almashtirish orqali hal qilinadi. Shuni payqab

x 3 + x 3 y 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) + x 3 y 3 =

= (x + y) ((x + y) 2 - 3 xy) + x3 y3 = u (u2 - 3 v) + v3,

shaklda tizimni qayta yozamiz

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofiya Ilyinichna

2012-2013 o'quv yili yil, №1, 11-sinf. Matematika. Algebraik tenglamalar, tengsizliklar, sistemalar

− 3 uv + v

u = 5 - v,

6 = 0

V =5

−5v

v = 3, u = 2

(eski o'zgaruvchilarda)

x + y = 2,

x = 2 - y ,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 - y,

x = 2, y = 1,

y −3 y + 2 = 0

x = 1, y = 2.

xy = 2,

Javob: (2;1) ,

(1; 2) . ♦

Adabiyot

1. S. I. Kolesnikova "Yagona davlat imtihoniga intensiv tayyorgarlik kursi". Moskva, Iris - Matbuot;

2. "Yagona davlat imtihonining murakkab muammolarini hal qilish" Moskva, Iris - Press yoki "Vaco", 2011;

3. "Potentsial" jurnali №1 2005 yil uchun –2 – S.I.Kolesnikovaning “Irratsional tenglamalar” va “Irratsional tengsizliklar” maqolalari;

4. S. I. Kolesnikova "Irratsional tenglamalar", Moskva, 2010 yil,

“Azbuka” MChJ;

5. S. I. Kolesnikova "Irratsional tengsizliklar", Moskva, 2010 yil, "Azbuka" MChJ;

6. S.I.Kolesnikova "Modullarni o'z ichiga olgan tenglamalar va tengsizliklar", Moskva, 2010 yil, "Azbuka" MChJ.

Nazorat savollari

1(2). 5x + 1 ≥ 2(x − 1) tengsizligining barcha yechimlarini o‘z ichiga olgan oraliqning eng qisqa uzunligini toping.

2(2). x 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 tengsizlikni yeching (kubik tenglamani yechishning hojati yo‘q, chunki o‘ng va chap tomonda x − 2 koeffitsient mavjud).

3(2). 2 − x ≥ x − 3 tengsizlikni yeching.

4(2). Olingan intervalning eng qisqa uzunligini toping

tengsizlikning barcha yechimlarini yig'ib oling	x2 + 5 x − 84	≤ 0 .
	(x + 13 )(x + 14 )

5(3). Tengsizlikning butun sonli yechimlari kvadratlari yig‘indisini toping

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofiya Ilyinichna

2012-2013 o'quv yili yil, №1, 11-sinf. Matematika. Algebraik tenglamalar, tengsizliklar, sistemalar

4 − x − 8 + x ≤ x +6 .

6(3). 5 + x − 8 − x ≤ 3 − x tengsizlikni yeching.

7(3). Tengsizlikni yeching		− x 3 − x −1			≤x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8(3). Tengsizlikni yeching		4 − x −(x + 2 ) )(					≤ 0.
			(x + 1 )(x − 2 )(x − 3 )

9(4). Olingan intervalning eng qisqa uzunligini toping

tengsizlikning barcha yechimlarini yig'ib oling
			x+5				x+2				144 − x< 0.
			X−2				4 x −5		6x − 6

10(2). 8 x − 8 ≤ 32 + 4x − x 2 tengsizligining barcha yechimlarini o‘z ichiga olgan oraliqning eng qisqa uzunligini toping.

11(4). Tengsizliklarning barcha butun yechimlari kvadratlari yig‘indisini toping

2(2). O'z ichiga olgan intervalning eng qisqa uzunligini toping
			(x − 1 )3 (x + 3 )
tengsizlikning barcha yechimlari										≤ 0 .
			2x − 1				x − 2		) (x − 1 )

3(2). Tengsizlikni yeching

4 (x − 3 ) 4 ≥ 4 (x − 7 .5 ) 4 .

4(4). Tengsizlikni yeching

x2 + 3 x − 4

x 2 − 16

2x 2 + 3x - 20

5(3). Tengsizlikni yeching (x 2	X +1 ) 2 −2 x 3 + x 2 + x −3 x 2		≥ 0 .
xossalari 4 − 2x − 1 ≤ 3.	Vazifalar
	− 5x + 6 + 9 − 2x − 5	≤ 0 .
1(3). Tengsizlikni yeching
19x 2 − 4x 3 − 4x + 19

10x 2 − 17x − 6

6(4). Tenglama bo'lgan barcha a toping

4 x −

f (x) = x 2 + 4x + funksiyasi

x 2 −

x − 1

− faqat a qabul qiladi

inkor qilmaslik -

telial ma'nolari.

8(4). 4 x − 3 tenglamani yeching

x − 1

5x + 14 − 3

5x + 14 − 1

9(4). Tenglamani yeching

x 2 − 5 +

x 2 −3 = x +1 +

x + 3.

24 − x 2

9 2 x

10(3). Tengsizlikni yeching

≥ 0 .

x2 − 4 7 x − 10

11(3). Uchta poygachi bir vaqtning o'zida aylanma yo'lda bir nuqtadan boshlanadi va bir xil yo'nalishda doimiy tezlikda harakatlanadi. Birinchi chavandoz startga diametral qarama-qarshi nuqtada beshinchi aylanasini amalga oshirib, ikkinchisiga birinchi marta yetib oldi va yarim soat o‘tgach, startni hisobga olmagan holda ikkinchi marta uchinchi chavandozga yetib oldi. Ikkinchi chavandoz startdan 3 soat o'tib birinchi marta uchinchisiga yetib oldi. Agar ikkinchi haydovchi kamida yigirma daqiqada aylanishni tugatsa, birinchi haydovchi soatiga nechta aylanishni amalga oshiradi?

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesnikova Sofiya Ilyinichna