Morenshildt I.K tomonidan ishlab chiqarilgan. guruh 1.45.36 Frunzenskiy tumani 314-sonli maktab o'qituvchisi Koroleva O.P. Sankt-Peterburg, 2006 yil * Sankt-Peterburg AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA TELEKOMUNIKATSIYA MARKAZI.

Ko'rsatkichli va logarifmik funksiya Trigonometrik funksiyalar

Asosiy taʼriflar Misol tenglamalar Teskari funksiyalar grafiklari Koʻrsatkichli va logarifmik funksiyalar Sinus va arksinus funksiyalar Kosinus va arkkosinus funksiyalar Tangens va arktangens funksiyalar Kotangens va arktangens funksiyalar Imtihon manbalari Mundarija Tugatish

Qaytariladigan funktsiya Agar y=f (x) funktsiyasi o'zining har bir qiymatini faqat x ning bitta qiymati uchun olsa, u holda bu funktsiya qaytariladigan deyiladi. Bunday funktsiya uchun argument qiymatlari va funktsiya qiymatlari o'rtasidagi teskari munosabatni ifodalash mumkin.

Berilganga teskari funktsiyani qurishga misol Xususiy hol y=3x+5 funksiya berilgan x uchun tenglama x ni y bilan almashtiring (1) va (2) funksiyalar o‘zaro teskari. funktsiya Aniqlangan funksiya x= g (y ) x ni y bilan almashtiring y= g(x) y=f(x) va y=g(x) funksiyalar oʻzaro teskari.

Teskari funksiyalarning grafiklari

Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar y=log a x y=a x y=x a>1

sin x va arcsin x funksiyalari segmentdagi y=sin x funksiyani ko rib chiqaylik Funksiya monoton ortib bormoqda. FZF [-1;1]. y= arcsin x funksiyasi y=sinx funksiyasiga teskari funksiyadir. [ -  ;  ] 2 2

cos x va arccos x funksiyalari segmentdagi y=co s x funksiyani ko'rib chiqaylik Funktsiya monoton kamayib bormoqda. FZF [-1;1]. y=arccos x funksiyasi y=co sx funksiyasiga teskari funksiyadir.

tg x va arctg x funksiyalar y= tg x oraliqda funksiyani ko rib chiqaylik Funksiya monoton ortib bormoqda. ORF - bu R to'plami. y= arctg x funksiya y= tg x funksiyaga teskari funksiyadir. (-  ; ) 2 2

ctg x va arcctg x funksiyalar (0; ) oraliqda y= ctg x funksiyani ko'rib chiqaylik. Funktsiya monoton ravishda kamayadi. GFZ to'plami R. Buning teskarisi y \u003d arcctg x funktsiyasidir.

“O‘zaro teskari funksiyalar” mavzusi bo‘yicha test 1-savol 2-savol 3-savol 4-savol 5-savol Yakunlash

Savol № 1 O‘zaro teskari funksiyalar grafiklari koordinatalar tizimida quyidagilarga nisbatan simmetrik joylashgan: Koordinatalarning kelib chiqishi To‘g‘ridan-to‘g‘ri y \u003d x O‘qlar OY o‘qlari OX.

Savol No 2. Asl va teskari funktsiyaning aniqlanish sohasi qanday bog'langan? Mustaqil o'yin

3-savol Logarifmik funktsiyaning teskarisi nima? Quvvatli chiziqli kvadratik eksponensial

4-savol y=arcctg x funksiya y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x funksiyaga teskari funktsiyadir.

5-savol “Oʻzaro funksiyalar” mavzusi – boshlangʻich sinf Mening sevimli mashgʻulotim oson tushunarli.

Xayr! Xayr! Xayr! Yaxshi olim!

Noto'g'ri javob Boshidan takrorlang!

Noto'g'ri! Sizning javobingizdan jahlim chiqdi!

Algebra manbalari va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov va boshqalar - 12-nashr. - M.: Ma'rifat, 2004. - 384 b. 10-11-sinflarda algebrani o'rganish va tahlilning boshlanishi: Kitob. o'qituvchi uchun / N.E. Fedorova, M.V. Tkachev. - 2-nashr. - M .: Ta'lim, 2004. - 205 b. 10-sinf uchun algebra bo'yicha didaktik materiallar va tahlilning boshlanishi: O'qituvchi uchun qo'llanma / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Shvartsburd. - 2-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. - M.: Ma'rifat, 1998. -143 b. Teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklari http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

Mavzu: “O`zaro teskari funksiyalar”.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

O‘quvchilarning 9-sinfda o‘rganilgan “Funksiya” mavzusi bo‘yicha bilimlarini takrorlash va umumlashtirish. O`zaro teskari funksiyalar bilan tanishish, teskari funksiyaning mavjud bo`lish shartlari va uning xossalarini o`rganish, teskari funksiyalarning grafiklarini qurishni o`rganish.

Rivojlanayotgan:

Talabalarning ijodiy va aqliy faolligini, ularning intellektual fazilatlarini rivojlantirish: muammoni "ko'rish" qobiliyati.

O'z fikrlarini aniq va aniq ifodalash, o'rganish, tahlil qilish, taqqoslash, xulosa chiqarish qobiliyatini shakllantirish.

Talabalarning mustaqil ijodkorlikka qiziqishini rivojlantirish.

Talabalarning fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish.

Tarbiyaviy:

G'ayrioddiy vaziyatda mavjud ma'lumotlar bilan ishlash qobiliyatini rivojlantirish.

Aniqlik va vijdonlilikni tarbiyalash.

Estetik tarbiyani amalga oshirish.

Dars turi: birlashtirilgan.

Uskunalar:

• multimedia proyektori;

  darsga ariza: (Taqdimot.) - elektron tashuvchilarda;

Ta'lim vositalari: kompyuterlar, dasturiy ta'minotexcel, media proyektor, slayd taqdimoti.

Namoyishlar: bir koordinata tizimida qurilgan funksiyalarning grafiklari.

O'quv faoliyatini tashkil etish shakllari: individual, dialog, slayd matni bilan ishlash, daftarda tadqiqot ishlari.

Usullari: vizual, og'zaki grafik, tadqiqot.

Darslar davomida.

1. O`qituvchining kirish so`zi. O'rnatish bo'yicha suhbat. Talabalarning psixologik kayfiyati.

Darsda 9-sinfda o‘rganilgan “Funksiya” mavzusi bo‘yicha bilimlarni takrorlash va umumlashtirish, o‘zaro teskari funksiyalar bilan tanishish, teskari funksiyaning mavjudligi shartlari va uning xossalarini o‘rganish, teskari funktsiyaning grafiklarini qurishni o‘rganishimiz kerak. funktsiyalari. Bir-birimizga muvaffaqiyat va samarali ish tilaymiz.

2. “Funksiyalar va ularning grafiklari” mavzusi bo’yicha o’tilgan materialni takrorlash. Taqdimot.

Slaydlar 2-10. Sinf bilan frontal ish.

3. Yangi materialni o'rganish. Tadqiqot va namoyish elementlari bilan o'quv suhbati (slaydlar 11-24)

Bog'liqlik misoli. Har bir funktsiya qiymati bitta argument qiymatiga mos keladi.

Bunday funktsiyalar uchun argument qiymatlari va funktsiya qiymatlari o'rtasidagi teskari munosabatni ifodalash mumkin.

Mashq qilish.

Oʻzaro teskari funksiyalar sohasi va diapazonini toping.

4. Bilimlarni mustahkamlash.

"Teskari funksiyalar" mavzusi bo'yicha dars konspektlari

1-dars "teskari funktsiya"

Maqsad: Mavzu bo'yicha nazariy apparatni shakllantirish. Kirish

Invertable funksiya haqida tushuncha;

Teskari funksiya haqida tushuncha;

Qaytarilish uchun etarli shartni tuzing va isbotlang

funktsiyalari;

O'zaro teskari funksiyalarning asosiy xossalari.

Ma'ruza dars rejasi

Tashkiliy vaqt.

Talabalarning yangi mavzuni idrok etish uchun zarur bo'lgan bilimlarini dolzarblashtirish.

Yangi material taqdimoti.

Darsni yakunlash.

Darsning borishi-ma'ruza

1. Tashkiliy vaqt.

2. Bilimlarni yangilash. ( Oldingi dars mavzusi bo'yicha frontal so'rov.)

Talabalar uchun interfaol doskada funksiya grafigi ko'rsatilgan (1-rasm). O'qituvchi vazifani tuzadi - funktsiya grafigini ko'rib chiqish va funksiyaning o'rganilgan xususiyatlarini sanab o'tish. Talabalar tadqiqot loyihasiga muvofiq funktsiyaning xususiyatlarini sanab o'tadilar. O'qituvchi funktsiya grafigining o'ng tomonida interfaol doskada marker bilan nomlangan xususiyatlarni yozadi.

Guruch. 1

Funktsiya xususiyatlari:

3. Talabalar uchun maqsadni belgilash.

Tadqiqot oxirida o'qituvchi bugun darsda funktsiyaning yana bir xususiyati - qaytaruvchanlik bilan tanishishlarini xabar qiladi. Yangi materialni mazmunli o'rganish uchun o'qituvchi bolalarni dars oxirida o'quvchilar javob berishi kerak bo'lgan asosiy savollar bilan tanishishga taklif qiladi. Har bir talaba qo‘lida tarqatma qog‘oz ko‘rinishidagi savollar mavjud (dars oldidan tarqatiladi).

Savollar:

1. Qaysi funksiya teskari deyiladi?

2. Qaysi funksiya teskari funksiya deyiladi?

3. To'g'ridan-to'g'ri va teskari funktsiyalarning ta'rif sohalari va qiymatlari to'plami qanday bog'liq?

4. Funksiyaning teskari bo‘lishi uchun yetarli shartni tuzing.

5. O'sish funksiyasining teskarisi kamayib boryaptimi yoki ortib boryaptimi?

6. Teskari toq funksiya juftmi yoki toq?

7. O‘zaro teskari funksiyalarning grafiklari qanday joylashtirilgan?

4. Yangi material taqdimoti.

1) teskari funksiya tushunchasi. Qaytarilish uchun etarli shart.

Interfaol doskada o'qituvchi ta'rif sohalari va qiymatlar to'plami bir xil bo'lgan, ammo funktsiyalardan biri monotonik, ikkinchisi monoton bo'lmagan ikkita funktsiyaning grafiklarini taqqoslaydi (2-rasm). Shunday qilib, funktsiya funksiyaga xos bo'lmagan xususiyatga ega: funktsiya qiymatlari to'plamidan qanday raqam bo'lishidan qat'i nazarf ( x ) uni oling, bu funksiyaning faqat bir nuqtadagi qiymati, shuning uchun o'qituvchi o'quvchilarni inversiyali funktsiya tushunchasiga olib keladi.

Guruch. 2

Shundan so‘ng o‘qituvchi teskari funksiya ta’rifini tuzadi va interfaol doskadagi monoton funksiya grafigi yordamida inversiyalanuvchi funksiya teoremasini isbotlaydi.

Ta'rif 1. Funktsiya chaqiriladiqaytariladigan , agar u o'z qiymatlaridan birini faqat to'plamning bir nuqtasida olsaX .

Teorema. Agar funktsiya to'plamda monotonik bo'lsaX , keyin u teskari bo'ladi.

Isbot:

Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) to'plamda ortadiX qo'yib yubor X 1 ≠x 2 - to'plamning ikkita nuqtasiX .

Aniqlik uchun, ruxsat beringX 1 < X 2 . Keyin nimadanX 1 < X 2 funktsiya ortib borar ekan, bundan kelib chiqadif(x 1 ) < f(x 2 ) .

Shunday qilib, argumentning turli qiymatlari funktsiyaning turli qiymatlariga mos keladi, ya'ni. funksiya teskari.

Teorema kamayuvchi funktsiyada ham xuddi shunday isbotlangan.

(Teoremani isbotlash paytida o'qituvchi chizma bo'yicha marker bilan barcha kerakli tushuntirishlarni beradi)

Teskari funktsiyaning ta'rifini shakllantirishdan oldin o'qituvchi talabalardan taklif qilingan funksiyalarning qaysi biri teskari ekanligini aniqlashni so'raydi? Interfaol doskada funksiyalar grafiklari (3, 4-rasm) ko'rsatilgan va bir nechta analitik belgilangan funksiyalar qayd etilgan:

A ) b )

Guruch. 3-rasm. 4

V ) y=2x+5; G ) y = - + 7.

Izoh. Funktsiyaning monotonligi, ya'niyetarli teskari funksiyaning mavjudligi sharti. Lekin uemas zarur shart.

O`qituvchi funksiya monoton emas, balki qaytar bo`lganda, funksiya monoton bo`lmasa va qaytarilmasa, monoton va qaytar bo`lganda turli vaziyatlarga misollar keltiradi.

2) Teskari funksiya haqida tushuncha. Teskari funksiyani kompilyatsiya qilish algoritmi.

Ta'rif 2. Qaytariladigan funktsiyaga ruxsat beringy=f(x) to'plamda aniqlanadiX va uning diapazoniE(f)=Y . Keling, har biriga mos kelayliky dan Y keyin yagona ma'noX, qaysi vaqtda f(x)=y. Keyin biz belgilangan funktsiyani olamizY, A X – funksiya qiymatlari diapazoni. Bu funksiya belgilanganx=f -1 (y), va qo'ng'iroq qiling teskari funktsiyaga nisbatany=f(x), .

Keyin o‘qituvchi talabalarni analitik berilgan teskari funksiyani topish usuli bilan tanishtiradi.

Funksiya uchun teskari funksiyani kompilyatsiya qilish algoritmi y = f ( x ), .

Funktsiyaga ishonch hosil qilingy=f(x) oraliqda qaytariladiX .

Ekspress o'zgaruvchiX orqali da tenglamadan y=f(x), shuni hisobga olgan holda.

Olingan tenglikda, almashtiringX Va da. O'rniga x=f -1 (y) yozish y=f -1 (x).

Aniq misollar bilan o'qituvchi ushbu algoritmdan qanday foydalanishni ko'rsatadi.

1-misol Funktsiya uchun nima ekanligini ko'rsatingy=2x-5

Yechim . Chiziqli funksiyay=2x-5 da belgilanadi R, tomonidan ortadi R va uning diapazoniR. Shunday qilib, teskari funksiya mavjudR . Uning analitik ifodasini topish uchun tenglamani yechamizy=2x-5 nisbatan X ; olish. O'zgaruvchilar nomini o'zgartiring, biz kerakli teskari funktsiyani olamiz. U R bilan belgilanadi va ortib boradi.

2-misol Funktsiya uchun nima ekanligini ko'rsatingy=x 2 , x ≤ 0 teskari funksiya mavjud va uning analitik ifodasini toping.

Yechim . Funktsiya uzluksiz, ta'rif sohasida monoton, shuning uchun u teskari bo'ladi. Funktsiyaning ta'rif sohalari va qiymatlari to'plamini tahlil qilgandan so'ng, shaklga ega bo'lgan teskari funktsiyaning analitik ifodasi haqida tegishli xulosa chiqariladi.

3) O`zaro teskari funksiyalarning xossalari.

Mulk 1. Agar g ga teskari funksiya hisoblanadi f , keyin va f ga teskari funksiya hisoblanadi g (funktsiyalar o'zaro teskari), esaD ( g )= E ( f ), E ( g )= D ( f ) .

Mulk 2. Agar funktsiya X to'plamida ortib borayotgan (kamayayotgan) bo'lsa va Y funksiyaning diapazoni bo'lsa, u holda teskari funktsiya Y da ortib boradi (kamayadi).

Mulk 3. Funksiyaga teskari funktsiya grafigini olish uchun funksiya grafigini toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik oʻzgartirish kerak.y=x .

Mulk 4. Agar toq funksiya teskari bo'lsa, uning teskarisi ham toq bo'ladi.

Mulk 5. Funktsiyalar bo'lsa f ( x ) Va o'zaro teskari bo'lsa, u har qanday uchun to'g'ri va har qanday uchun to'g'ri.

3-misol Iloji bo'lsa, teskari funktsiyani chizing.

Yechim. Bu funksiya butun ta'rif sohasi bo'yicha teskari xususiyatga ega emas, chunki u monotonik emas. Shuning uchun, funksiya monoton bo'lgan intervalni ko'rib chiqing: , demak, teskari mavjud. Keling, topamizuni . Buning uchun biz bildiramizx orqaliy : . Qayta nomlash - teskari funktsiya. Funksiyalarning grafiklarini tuzamiz (5-rasm) va ularning to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanligiga ishonch hosil qilamiz.y = x .

Guruch. 5

4-misol Agar bilsangiz, har bir o'zaro teskari funktsiyalarning qiymatlari to'plamini toping.

Yechim. O'zaro teskari funktsiyalarning 1-xususiyatiga ko'ra, biz bor.

5 . Xulosa qilish

Diagnostika ishlarini olib borish. Ushbu ishning maqsadi ma'ruzada muhokama qilingan o'quv materialini o'zlashtirish darajasini aniqlashdir. Talabalarga ma'ruza boshida tuzilgan savollarga javob berish taklif etiladi.

6 . Uy vazifasini belgilash.

1. Ma'ruza materialini tushunish, teoremalarning asosiy ta'riflari va formulalarini o'rganish.

2. O`zaro teskari funksiyalarning xossalarini isbotlang.

2-dars Funktsiyaning invertibilligi uchun etarli shart"

Maqsad: mavzu bo‘yicha olingan nazariy bilimlarni masalalar yechishda qo‘llay olish, qaytariluvchanlik uchun funksiyani o‘rganish, teskari funktsiyani qurish masalalarining asosiy turlarini ko‘rib chiqish qobiliyatini shakllantirish.

Seminarning dars rejasi:

1. Tashkiliy moment.

2. Bilimlarni aktuallashtirish (talabalarning frontal ishi).

3. O‘rganilayotgan materialni mustahkamlash (muammo yechish).

4. Darsni yakunlash.

5. Uy vazifasini bayon qilish.

Darslar davomida.

1. Tashkiliy vaqt.

O`qituvchi bilan salomlashish, o`quvchilarning darsga tayyorgarligini tekshirish.

2. Bilimlarni yangilash. ( talabalarning oldingi ishi).

Talabalar quyidagi topshiriqlarni og'zaki bajarishlari so'raladi:

1. Funksiya teskari bo‘lishi uchun yetarli shartni tuzing.

2. Grafiklari rasmda ko'rsatilgan funksiyalar orasidan qaytariladiganlarini ko'rsating.

3. Berilgan funktsiyaga teskari funktsiyani kompilyatsiya qilish algoritmini tuzing.

4. Ma’lumotlarga teskari funksiyalar bormi? Ha bo'lsa, ularni toping:

A) ; b ) ; c ) .

5. Grafiklari rasmda ko'rsatilgan funksiyalar o'zaro teskari bo'ladimi (6-rasm)? Javobni asoslang.

Guruch. 6

3. O'rganilgan materialni mustahkamlash (muammo yechish).

O'rganilayotgan materialni mustahkamlash ikki bosqichdan iborat:

Talabalarning individual mustaqil ishi;

Shaxsiy ish natijalarini sarhisob qilish.

Birinchi bosqichda o'quvchilarga o'zlari bajaradigan vazifalar yozilgan kartalar beriladi.

1-mashq.

Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab teskari bo'ladimi? Ha bo'lsa, uning teskarisini toping.

a) ; b) ; c).

Vazifa 2.

Funktsiyalar o'zaro teskari bo'ladimi:

A) ;

b ) .

Vazifa 3.

Ko'rsatilgan oraliqlarning har biridagi funktsiyani ko'rib chiqing, agar funktsiya ushbu oraliqda teskari bo'lsa, uni analitik tarzda teskari o'rnating, ta'rif sohasini va qiymatlar oralig'ini ko'rsating:

a ) R ; b ) ; d ) [-2;0].

Vazifa 4.

Funktsiyaning qaytarilmasligini isbotlang. Intervalda unga teskari funktsiyani toping va uning grafigini tuzing.

Vazifa 5.

Funksiyaning grafigini tuzing va unga teskari funksiya mavjudligini aniqlang. Ha bo'lsa, xuddi shu chizmaga teskari funktsiyani chizing va uni analitik tarzda o'rnating:

a ) ; b ) .

Talabalarning individual ishi natijalarini sarhisob qilish bosqichida topshiriqlar faqat oraliq natijalarni belgilash bilan tekshiriladi. Eng ko'p qiyinchilik tug'dirgan muammolar kengashda echimlarni qidirishni oshkor qilish yoki butun yechimni qayd etish bilan ko'rib chiqiladi.

4. Darsni yakunlash (reflektsiya).

Talabalarga mini-so'rovnoma taklif etiladi:

Dars menga nima yoqdi?____________________________

Darsning nimasi menga yoqmadi? _____________________________

_________________________________________________________________

Sizga eng mos keladigan bayonotni tanlang:

1) Men teskari funktsiyani mustaqil ravishda tekshira olaman, teskarisini qura olaman va natija to'g'ri ekanligiga ishonchim komil.

2) Men funktsiyani teskariligini tekshira olaman, teskarisini qura olaman, lekin men har doim ham natijaning to'g'riligiga ishonchim komil emas, men o'rtoqlarimning yordamiga muhtojman.

3) Men amalda teskari funktsiyani tekshira olmayman, teskarisini qura olmayman, menga o'qituvchidan qo'shimcha maslahat kerak.

Olingan bilimlarni qayerda qo'llashim mumkin?___________________________________________________________________________________________________

5. Uy vazifasini belgilash.

№ 10.3, 10.6 (c, d), 10.7 (c, d), 10.9 (c, d), 10.13 (c, d), 10.18.(Mordkovich, A.G. Algebra va matematik analizning boshlanishi 10-sinf. 14:00 2-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun topshiriqlar kitobi (profil darajasi) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2014. - 384 b.)

O'zaro teskari funksiyalar va ularning grafiklari

(o'tilgan materialni umumlashtirish)

Grafiklardan qaysi biri funksiya grafigiga mos keladi y=x 3 uning teskarisi bormi?

Grafiklardan qaysi biri funksiya grafigiga mos keladi, uning teskarisi bormi?

Grafiklardan qaysi biri grafikga mos keladi

Uning teskari funksiyasi bormi?

Qaysi grafik funktsiyaga mos keladi?

1-guruh: javob a) sababini tushuntiring

Grafik qaysi funktsiyaga mos keladi? 1 . y \u003d x 3 2. 3 . y \u003d x 4 4. y \u003d x -2 5. 6. y = x -1

funksiya grafigida

D(y)=(-:0) U(0;+)

Buning doirasini belgilang

funksiya grafigida

Berilgan diapazonni belgilang funksiya grafigida

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Berilgan funktsiyaga teskari funktsiyani toping da = g ( x )

Agar (2) funksiya (1) funktsiyaga teskari bo'lsa, unda bunday funktsiyalar o'zaro teskari deyiladi.

Ta'rif sohasini va ushbu funktsiyalar uchun qiymatlar to'plamini toping.

• D (y) \u003d (- ∞ ;2) ∪ (2; + ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (y) \u003d (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Teskari funksiya sohasi g(x) asl qiymatlar to'plamiga to'g'ri keladi funktsiyalari f ( x ) va teskari funktsiyaning qiymatlari to'plami g(x) asl funktsiya sohasiga to'g'ri keladi f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g (x )) = D( f(x )).

• Monotonik funktsiya teskari:

• agar funktsiya f (x) ortadi, keyin uning teskari funktsiyasi g (x) ham ortadi;
• Agar funktsiya f (x) kamayadi, keyin uning teskari funktsiyasi g (x) ham kamayadi.

Berilgan: y = x 3

Bu funksiyaning grafigini tuzing, berilgan funksiyaning teskari funksiyasi formulasini ifodalang va uning grafigini chizing.

3. Agar funktsiya teskari bo'lsa, u holda teskari funktsiyaning grafigi y \u003d x to'g'ri chiziqqa nisbatan ushbu funktsiya grafigiga simmetrik bo'ladi.

Berilgan funktsiyaga teskari funktsiya grafigini tuzing.

Mustaqil ishlashga o'rgatish

II variant

I variant

• Berilgan funktsiyaga teskari funktsiyani toping:

2. Berilganiga teskari funksiyaning aniqlanish sohasi va qiymatlar to‘plamini toping:

3. Berilgan funktsiyaga teskari funktsiya grafigini tuzing:

II variant

I variant

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Uy vazifasi:

hal № 579, № 576 (c, d

irodasi bo'yicha No 581 (1,2)

• Dars davomida men o'rgandim ……………………………
• Darsda meni qiziqtirgan …………………….
• Qiyin edi…………………………………………
• Darsda olgan bilimlarimdan foydalanishim mumkin …………………………………………

R e f e x i s :

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

• dastur materialiga muvofiq yangi mavzu bo'yicha bilimlarni shakllantirish;
• funksiyaning teskari bo‘lish xususiyatini o‘rganish va berilganga teskari funksiyani topishni o‘rgatish;

Rivojlanayotgan:

• o'z-o'zini nazorat qilish ko'nikmalarini, mavzu nutqini rivojlantirish;
• teskari funksiya tushunchasini o‘zlashtirish va teskari funksiyani topish usullarini o‘rganish;

Tarbiyaviy: kommunikativ kompetentsiyani shakllantirish.

Uskunalar: kompyuter, proyektor, ekran, SMART doska interfaol doska, guruhlarda ishlash uchun tarqatma material (mustaqil ish).

Darslar davomida.

1. Tashkiliy moment.

Maqsad – talabalarni sinfda ishlashga tayyorlash:

Yo'q ta'rifi,

Talabalarning mehnatga munosabati, diqqatini tashkil etish;

Darsning mavzusi va maqsadi haqida xabar.

2. Talabalarning asosiy bilimlarini yangilash. oldingi so'rov.

Maqsad - o'rganilayotgan nazariy materialning to'g'riligi va xabardorligini, o'tilgan materialni takrorlashni o'rnatish.<Приложение 1 >

Talabalar uchun interfaol doskada funksiya grafigi ko'rsatilgan. O'qituvchi vazifani tuzadi - funktsiya grafigini ko'rib chiqish va funksiyaning o'rganilgan xususiyatlarini sanab o'tish. Talabalar tadqiqot loyihasiga muvofiq funktsiyaning xususiyatlarini sanab o'tadilar. O'qituvchi funktsiya grafigining o'ng tomonida interfaol doskada marker bilan nomlangan xususiyatlarni yozadi.

Funktsiya xususiyatlari:

Tadqiqot oxirida o'qituvchi bugun darsda funktsiyaning yana bir xususiyati - qaytaruvchanlik bilan tanishishlarini xabar qiladi. Yangi materialni mazmunli o'rganish uchun o'qituvchi bolalarni dars oxirida o'quvchilar javob berishi kerak bo'lgan asosiy savollar bilan tanishishga taklif qiladi. Savollar oddiy doskaga yoziladi va har bir o'quvchiga tarqatma material (dars oldidan tarqatiladi)

1. Qaytariladigan funksiya nima?
2. Har bir funktsiya qayta tiklanadimi?
3. Berilgan teskari funktsiya nima?
4. Ta'rif sohasi va funktsiya qiymatlari to'plami va uning teskari funktsiyasi qanday bog'liq?
5. Agar funktsiya analitik tarzda berilgan bo'lsa, teskari funktsiyani formula bilan qanday aniqlash mumkin?
6. Agar funktsiya grafik tarzda berilgan bo'lsa, uning teskari funksiyasi qanday chiziladi?

3. Yangi materialni tushuntirish.

Maqsad - dastur materialiga muvofiq yangi mavzu bo'yicha bilimlarni shakllantirish; funksiyaning teskari bo‘lish xususiyatini o‘rganish va berilganga teskari funksiyani topishni o‘rgatish; mavzuni ishlab chiqish.

O'qituvchi paragraf materialiga muvofiq materialning taqdimotini o'tkazadi. O'qituvchi interfaol doskada ta'rif sohalari va qiymatlar to'plami bir xil bo'lgan, ammo funktsiyalardan biri monotonik, ikkinchisi esa monoton bo'lmagan ikkita funktsiyaning grafiklarini taqqoslaydi va shu bilan o'quvchilarni inversiyali funktsiya tushunchasiga olib keladi. .

Shundan so‘ng o‘qituvchi teskari funksiya ta’rifini tuzadi va interfaol doskadagi monoton funksiya grafigi yordamida inversiyalanuvchi funksiya teoremasini isbotlaydi.

1-ta’rif: y=f(x), x X funksiya chaqiriladi qaytariladigan, agar u X to'plamining faqat bitta nuqtasida o'z qiymatlaridan birini qabul qilsa.

Teorema: Agar y=f(x) funksiya X to'plamda monoton bo'lsa, u teskari bo'ladi.

Isbot:

1. Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) tomonidan ortadi X qo'yib yubor x 1 ≠ x 2- to'plamning ikkita nuqtasi X.
2. Aniqlik uchun, ruxsat bering x 1< x 2.
   Keyin nimadan x 1< x 2 shunga amal qiladi f(x 1) < f(x 2).
3. Shunday qilib, argumentning turli qiymatlari funktsiyaning turli qiymatlariga mos keladi, ya'ni. funksiya teskari.

(Teoremani isbotlash paytida o'qituvchi chizma bo'yicha marker bilan barcha kerakli tushuntirishlarni beradi)

Teskari funktsiyaning ta'rifini shakllantirishdan oldin o'qituvchi talabalardan taklif qilingan funksiyalarning qaysi biri teskari ekanligini aniqlashni so'raydi? Interfaol doskada funksiyalar grafiklari ko'rsatilgan va bir nechta analitik aniqlangan funksiyalar yozilgan:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

O'qituvchi teskari funktsiyaning ta'rifi bilan tanishtiradi.

Ta'rif 2: teskari funksiya bo'lsin y=f(x) to'plamda aniqlanadi X Va E(f)=Y. Keling, har biriga mos kelaylik y dan Y keyin yagona ma'no X, qaysi vaqtda f(x)=y. Keyin biz belgilangan funktsiyani olamiz Y, A X funksiya diapazoni hisoblanadi

Bu funksiya belgilangan x=f -1 (y) va funksiyaga teskari deyiladi y=f(x).

Talabalarga ta'rif sohasi va teskari funktsiyalar qiymatlari to'plami o'rtasidagi bog'liqlik haqida xulosa chiqarish taklif etiladi.

Berilganning teskari funktsiyasini qanday topish mumkinligi haqidagi savolni ko'rib chiqish uchun o'qituvchi ikkita talabani jalb qildi. Bir kun oldin bolalar o'qituvchidan teskari berilgan funktsiyani topishning analitik va grafik usullarini mustaqil tahlil qilish vazifasini oldilar. O‘qituvchi o‘quvchilarni darsga tayyorlashda maslahatchi vazifasini bajargan.

Birinchi talabaning xabari.

Eslatma: funktsiyaning monotonligi yetarli teskari funksiyaning mavjudligi sharti. Lekin u emas zarur shart.

Talaba funksiya monotonik emas, balki teskari bo‘lgan, funksiya monoton bo‘lmagan va qaytarilmaydigan bo‘lsa, monoton va qaytar bo‘lgan turli holatlarga misollar keltirdi.

Keyin talaba talabalarni analitik berilgan teskari funksiyani topish usuli bilan tanishtiradi.

Algoritmni topish

1. Funktsiya monotonik ekanligiga ishonch hosil qiling.
2. X ni y bilan ifodalang.
3. O'zgaruvchilar nomini o'zgartiring. X \u003d f -1 (y) o'rniga ular y \u003d f -1 (x) yozadilar.

Keyin berilganga teskari funktsiyani topish uchun ikkita misol yechadi.

1-misol: y=5x-3 funksiya uchun teskari funksiya mavjudligini ko‘rsating va uning analitik ifodasini toping.

Yechim. y=5x-3 chiziqli funksiya R da aniqlangan, R da ortadi va uning diapazoni R. Demak, teskari funksiya R da mavjud. Uning analitik ifodasini topish uchun y=5x-3 tenglamani ga nisbatan yechamiz. x; olamiz Bu kerakli teskari funksiya. U R bilan belgilanadi va ortib boradi.

2-misol: y=x 2 , x≤0 funksiya uchun teskari funksiya mavjudligini ko‘rsating va uning analitik ifodasini toping.

Funktsiya uzluksiz, ta'rif sohasida monoton, shuning uchun u teskari bo'ladi. Funktsiyaning ta'rif sohalari va qiymatlari to'plamini tahlil qilib, teskari funktsiyaning analitik ifodasi haqida tegishli xulosa chiqariladi.

Ikkinchi talaba bu haqda taqdimot qiladi grafik teskari funksiyani qanday topish mumkin. Tushuntirish jarayonida talaba interfaol doskaning imkoniyatlaridan foydalanadi.

y=f(x) funksiyaga teskari bo‘lgan y=f -1 (x) funksiya grafigini olish uchun y=f(x) funksiya grafigini to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik o‘zgartirish kerak. y=x.

Interfaol doskada tushuntirish jarayonida quyidagi vazifa bajariladi:

Xuddi shu koordinatalar sistemasidagi funksiya grafigini va uning teskari funksiyasi grafigini tuzing. Teskari funksiya uchun analitik ifodani yozing.

4. Yangi materialni birlamchi mahkamlash.

Maqsad - o'rganilayotgan materialni tushunishning to'g'riligi va xabardorligini o'rnatish, materialni birlamchi tushunishdagi kamchiliklarni aniqlash, ularni tuzatish.

Talabalar juftlarga bo'linadi. Ularga topshiriqlar yozilgan varaqlar beriladi, ularda ular juftlikda ishlaydi. Ishni bajarish vaqti cheklangan (5-7 daqiqa). Bir juft o'quvchi kompyuterda ishlaydi, bu vaqt uchun proyektor o'chirilgan va qolgan bolalar o'quvchilar kompyuterda qanday ishlayotganini ko'ra olmaydi.

Vaqt tugashi bilan (ko'pchilik talabalar ishni bajargan deb taxmin qilinadi) interfaol doskada (proyektor yana yoqiladi) talabalarning ishi ko'rsatiladi, bu erda test davomida topshiriqning o'z vaqtida bajarilganligi aniqlanadi. juftlar. Agar kerak bo'lsa, o'qituvchi tuzatish, tushuntirish ishlarini olib boradi.

Juftlikda mustaqil ishlash<2-ilova >

5. Dars natijasi. Ma'ruza oldidan berilgan savollar bo'yicha. Dars uchun baholarni e'lon qilish.

Uyga vazifa §10. №№ 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Algebra va tahlilning boshlanishi. 10-sinf Ta'lim muassasalari uchun 2 qismda (profil darajasi) / A.G.Mordkovich, L.O.Denishcheva, T.A.Koreshkova va boshqalar; ed. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007 yil