"Y \u003d sin x, y \u003d cos x funktsiyalarining davriyligi" video darsi funktsiyaning davriyligi tushunchasini ochib beradi, funktsiyaning davriyligi tushunchasidan foydalanadigan muammolarni echish misollari tavsifini ko'rib chiqadi. Ushbu videodars mavzuni talabalarga tushuntirish uchun ko'rgazmali quroldir. Shuningdek, ushbu qo'llanma darsning mustaqil qismiga aylanishi mumkin, o'qituvchini talabalar bilan individual ishlash uchun bo'shatadi.

Ushbu mavzu taqdimotida ko'rinish juda muhimdir. Funksiyaning harakatini tasvirlash, chizma tuzish uchun uni vizualizatsiya qilish kerak. Doska va bo‘r yordamida konstruksiyalarni hamma o‘quvchilarga tushunarli qilib yasash har doim ham mumkin emas. Video darsida, qurishda rasm qismlarini rang bilan ajratib ko'rsatish, animatsiya yordamida o'zgartirishlarni amalga oshirish mumkin. Shunday qilib, konstruktsiyalar ko'pchilik talabalar uchun tushunarli bo'ladi. Shuningdek, video darsning imkoniyatlari materialni yaxshiroq eslab qolishga yordam beradi.

Namoyish dars mavzusini tanishtirish, shuningdek, oldingi darslarda o‘rganilgan materialni o‘quvchilarga eslatishdan boshlanadi. Xususan, y = sin x, shuningdek, y = cos x funktsiyalarida aniqlangan xususiyatlar ro'yxati umumlashtiriladi. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyalarning xossalari orasida aniqlash sohasi, qiymatlar diapazoni, tenglik (g'alatilik), boshqa xususiyatlar - cheklanganlik, monotonlik, uzluksizlik, eng kichik (eng katta) qiymat nuqtalari qayd etilgan. Talabalarga bu darsda funksiyaning yana bir xossasi - davriylik o'rganilayotganligi ma'lum qilinadi.

y=f(x) davriy funktsiyaning ta'rifi, bu erda xsX, ba'zi T≠0 uchun f(x-T)= f(x)= f(x+T) sharti bajariladi. Aks holda, T soni funksiyaning davri deb ataladi.

Ko'rib chiqilayotgan sinus va kosinus funktsiyalari uchun shartning bajarilishi qisqartirish formulalari yordamida tekshiriladi. Ko`rinib turibdiki, sin(x-2p)=sinx=sin(x+2p) birlik shakli funksiyaning davriyligi shartini belgilovchi ifoda shakliga mos keladi. Xuddi shu tenglikni kosinus cos (x-2p)= cos x= cos (x+2p) uchun ham qayd etish mumkin. Demak, bu trigonometrik funksiyalar davriydir.

Davriylik xossasi davriy funksiyalarning grafigini tuzishda qanday yordam berishi ko‘rsatilgan. y \u003d sin x funktsiyasi hisobga olinadi. Ekranda koordinata tekisligi qurilgan bo'lib, unda -6p dan 8p gacha bo'lgan abssissalar p qadam bilan belgilanadi. Sinus grafigining bir qismi segmentda bitta to'lqin bilan ifodalangan tekislikda chizilgan. Rasmda tuzilgan fragmentni siljitish va uzun sinusoid olish orqali butun ta'rif sohasi bo'ylab funktsiya grafigi qanday shakllanganligi ko'rsatilgan.

Y \u003d cos x funktsiyasining grafigi uning davriylik xususiyatidan foydalangan holda tuzilgan. Buning uchun rasmda koordinatali tekislik qurilgan bo'lib, unda grafikning bir qismi tasvirlangan. Qayd etilishicha, odatda bunday fragment [-p/2;3p/2] oraliqda quriladi. Sinus funksiya grafigiga o'xshab, kosinus grafigini qurish fragmentni siljitish orqali amalga oshiriladi. Qurilish natijasida uzun sinusoid hosil bo'ladi.

Davriy funktsiyani chizishda foydalanish mumkin bo'lgan xususiyatlar mavjud. Shuning uchun ular umumlashtirilgan shaklda berilgan. Qayd etilishicha, bunday funktsiyaning grafigini qurish uchun avvalo T uzunlikdagi ma’lum oraliqda grafikning shoxchasi quriladi. Keyin tuzilgan novdani T, 2T, 3T, o‘ngga va chapga siljitish kerak, va boshqalar. shu bilan birga, davrning yana bir xususiyati ko'rsatilgan - har qanday k≠0 butun son uchun kT soni ham funktsiyaning davri hisoblanadi. Biroq, T asosiy davr deb ataladi, chunki u hammadan kichikdir. Sinus va kosinusning trigonometrik funktsiyalari uchun asosiy davr 2p ga teng. Biroq, 4p, 6p va boshqalar ham davr hisoblanadi.

Bundan tashqari, y \u003d cos 5x funktsiyasining asosiy davrini topishni ko'rib chiqish taklif etiladi. Yechim T funksiyaning davri degan farazdan boshlanadi. Demak, f(x-T)= f(x)= f(x+T) shartni bajarish kerak. Bu identifikatsiyada f (x) \u003d cos 5x va f (x + T) \u003d cos 5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T). Bunday holda, cos (5x + 5T) \u003d cos 5x, shuning uchun 5T \u003d 2pn. Endi biz T=2p/5 ni topishimiz mumkin. Muammo hal qilindi.

Ikkinchi vazifada y=sin(2x/7) funksiyaning bosh davrini topish kerak. Bu funksiya uchun T. funksiyaning asosiy davri f(x)= sin(2x/7), davrdan keyin esa f(x+T)=sin(2x/7)(x+T)= deb faraz qilinadi. sin(2x/7 +(2/7)T). qisqargandan keyin (2/7)T=2pn ni olamiz. Biroq, biz asosiy davrni topishimiz kerak, shuning uchun biz eng kichik qiymatni (2/7)T=2p olamiz, undan T=7p topamiz. Muammo hal qilindi.

Namoyish oxirida funksiyaning asosiy davrini aniqlash qoidasini shakllantirib, misollar natijalari umumlashtiriladi. y=sinkx va y=coskx funktsiyalari uchun asosiy davrlar 2p/k ekanligi qayd etilgan.

Dars samaradorligini oshirish uchun an'anaviy matematika darsida "Y \u003d sin x, y \u003d cos x funktsiyalarining davriyligi" video darsidan foydalanish mumkin. Shuningdek, ushbu materialdan tushuntirishning ravshanligini oshirish uchun masofaviy ta'limni ta'minlaydigan o'qituvchi tomonidan foydalanish tavsiya etiladi. Mavzuni chuqurroq tushunish uchun orqada qolgan o‘quvchiga videoni tavsiya etish mumkin.

MATN TASHHRI:

“y = cos x, y = sin x funksiyalarning davriyligi”.

y = sin x va y = cos x funksiyalarining grafigini tuzish uchun funksiyalarning xossalaridan foydalanilgan:

1 ta doira,

2 qiymat maydoni,

3 juft yoki toq,

4 monotonlik,

5 cheklov,

6 uzluksizlik,

7 eng katta va eng kichik qiymat.

Bugun biz yana bir xususiyatni o'rganamiz: funktsiyaning davriyligi.

TA'RIF. y \u003d f (x) funktsiyasi, bu erda x s X (y x dan eff ga teng, bu erda x x to'plamga tegishli), agar nolga teng bo'lmagan T soni mavjud bo'lsa, davriy deyiladi. X to'plami ikki tomonlama tenglik to'g'ri: f (x - T) \u003d f (x) \u003d f (x + T) (x dan ef minus te x dan ef ga teng va x plyus te dan ef ga teng ). Ushbu qo'sh tenglikni qanoatlantiradigan T soni funktsiya davri deb ataladi

Va sinus va kosinus butun son chizig'ida aniqlanganligi sababli va har qanday x uchun sin (x - 2p) = sin x = sin (x + 2p) tengliklari bajariladi (x minus ikki pi sinus sinusga teng. x ning sinusiga teng va x plus ikkita pi ) Va

cos (x- 2p)= cos x = cos (x+ 2p) (x minus ikki pi kosinasi x kosinusiga teng va x plyus ikki pi kosinusiga teng), u holda sinus va kosinus davriy funksiyalardir. 2p davr bilan.

Davriylik funksiya grafigini tezda tuzish imkonini beradi. Darhaqiqat, y \u003d sin x funktsiyasini chizish uchun bitta to'lqinni (ko'pincha segmentda (noldan ikki pigacha)) chizish kifoya, so'ngra grafikning tuzilgan qismini abscissa o'qi bo'ylab siljitish kifoya. o'ngga va chapga 2p ga, keyin 4p ga va sinus to'lqinini olish uchun.

(chapga va o'ngga siljishni 2p, 4p ga ko'rsatish)

Xuddi shunday funktsiya grafigi uchun

y \u003d cos x, biz faqat bitta to'lqinni ko'pincha segmentda quramiz [; ] (minus pi dan ikkiga uch pi ikkiga).

Keling, yuqorida aytilganlarni umumlashtirib, xulosa qilaylik: davriy funktsiyaning T davri bilan grafigini tuzish uchun, avvalo, grafikning shoxini (yoki to'lqinini yoki qismini) T uzunlikdagi istalgan intervalda (ko'pincha) chizishingiz kerak. bu 0 va T yoki - va (minus te ikkiga va te ikkiga) nuqtalarda tugaydigan oraliq va keyin bu novdani x (x) o'qi bo'ylab o'ngga va chapga T, 2T, 3T va hokazolarga siljiting. .

Shubhasiz, agar funktsiya T davri bilan davriy bo'lsa, u holda har qanday k0 (ka nolga teng emas) butun soni uchun kT(ka te) ko'rinishdagi raqam ham ushbu funktsiyaning davri hisoblanadi. Odatda ular asosiy davr deb ataladigan eng kichik ijobiy davrni ajratishga harakat qilishadi.

y \u003d cos x, y \u003d sin x funksiyalarining davri sifatida - 4p, 4p, - 6p, 6p va hokazolarni olish mumkin (minus to'rt pi, to'rt pi, minus olti pi, olti pi va boshqalar). yoqilgan). Lekin 2p soni ikkala funksiyaning asosiy davri hisoblanadi.

Misollarni ko'rib chiqing.

O'RNAK 1. y \u003d cos5x funktsiyasining asosiy davrini toping (y besh x kosinusiga teng).

Yechim. y = cos5x funksiyaning bosh davri T bo‘lsin. Keling, qo'ying

f (x) \u003d cos5x, so'ngra f (x + T) \u003d cos5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T) (x plus te dan ef, x va ning yig'indisining besh marta kosinusiga teng. te besh x va besh te yig'indisining kosinusiga teng).

cos (5x + 5T) = cos5x. Demak, 5T= 2pn (besh te ikki pi enga teng), lekin shartga ko'ra, asosiy davrni topish kerak, ya'ni 5T= 2p. Biz T = olamiz

(bu funktsiyaning davri ikki pi beshga bo'lingan).

Javob: T=.

O'RNAK 2. y \u003d sin funktsiyasining asosiy davrini toping (y ikki x bo'linmasining sinusiga yettiga teng).

Yechim. T y \u003d sin funktsiyasining asosiy davri bo'lsin. Keling, qo'ying

f (x) \u003d gunoh, keyin f (x + T) \u003d sin (x + T) \u003d sin (x + T) (ef dan x plyus te ettinchi ikkisining ko'paytmasining sinusiga teng va x va te yig'indisi ikki ettinchi x va ikki ettinchi te) yig'indisining sinusiga teng.

T soni funksiyaning davri bo'lishi uchun identifikatsiya qanoatlantirilishi kerak

gunoh (x + T) \u003d gunoh. Demak, T= 2pn (ikki yettidan te ikki pi enga teng), lekin shartga ko‘ra, asosiy davrni topish kerak, ya’ni T= 2p. Biz T=7 olamiz

(bu funksiyaning davri yetti pi).

Javob: T=7.

Misollarda olingan natijalarni umumlashtirib, xulosa qilishimiz mumkin: y \u003d sin kx yoki y \u003d cos kx funktsiyalarining asosiy davri (y sinus ka x yoki y kosinus ka x ga teng) ga teng ( ka ga bo'lingan ikkita pi).

>> y = sin x, y = cos x funksiyalarning davriyligi

§ 11. y \u003d sin x, y \u003d cos x funksiyalarining davriyligi

Oldingi paragraflarda biz ettita xususiyatdan foydalanganmiz funktsiyalari: soha, juft yoki toq, monotonlik, chegaralanganlik, maksimal va minimal qiymatlar, uzluksizlik, funksiyalar diapazoni. Biz bu xususiyatlardan yoki funktsiya grafigini qurish uchun (masalan, 9-bandda bo'lgani kabi) yoki tuzilgan grafikni o'qish uchun (masalan, § 10-da bo'lgani kabi) foydalandik. Endi funksiyalarning yana bir (sakkizinchi) xossasini joriy qilish uchun qulay vaqt keldi, bu yuqorida tuzilgan. grafikalar y \u003d sin x funktsiyalari (37-rasmga qarang), y \u003d cos x (41-rasmga qarang).

Ta'rif. Funktsiya davriy deyiladi, agar T soni nolga teng bo'lsa, to'plamdagi har qanday x uchun ikki barobar bo'ladi. tenglik:

Belgilangan shartni qondiradigan T raqami y \u003d f (x) funktsiyasining davri deb ataladi.
Bundan kelib chiqadiki, har qanday x uchun tengliklar to'g'ri bo'ladi:

u holda y \u003d sin x, y \u003d cos x funktsiyalari davriy va 2 raqami P ikkala funktsiyaning davri bo'lib xizmat qiladi.
Funktsiyaning davriyligi funksiyalarning va'da qilingan sakkizinchi xossasidir.

Endi y \u003d sin x funksiyasining grafigiga qarang (37-rasm). Sinusoidni qurish uchun uning to'lqinlaridan birini qurish kifoya (segmentda va keyin bu to'lqinni x o'qi bo'ylab siljitish) Natijada, bitta to'lqin yordamida biz butun grafikni quramiz.

Xuddi shu nuqtai nazardan y \u003d cos x funksiya grafigiga qaraylik (41-rasm). Ko'ramizki, bu erda ham grafik chizish uchun avvaliga bitta to'lqinni (masalan, segmentda) chizish kifoya.

Va keyin uni x o'qi bo'ylab harakatlantiring
Xulosa qilib, biz quyidagi xulosaga kelamiz.

Agar y \u003d f (x) funktsiyasi T davriga ega bo'lsa, u holda funktsiya grafigini chizish uchun birinchi navbatda grafikning shoxini (to'lqini, qismi) T uzunligining istalgan oralig'ida chizishingiz kerak (ko'pincha ular nuqtalarda tugaydigan oraliq va keyin bu shoxni x o'qi bo'ylab o'ngga va chapga T, 2T, ZT va boshqalarga siljiting.
Davriy funktsiya cheksiz ko'p davrlarga ega: agar T - davr bo'lsa, 2T - davr, 3 T - davr, -T - davr; umuman olganda, davr KT shaklidagi istalgan raqam bo'lib, bu erda k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Odatda, iloji bo'lsa, ular eng kichik ijobiy davrni ajratib ko'rsatishga harakat qilishadi, u asosiy davr deb ataladi.
Shunday qilib, 2pc shaklidagi har qanday raqam, bu erda k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, y \u003d sinn x, y \u003d cos x funktsiyalari davri; 2p - ikkala funktsiyaning asosiy davri.

Misol. Funktsiyaning asosiy davrini toping:

A) T y \u003d sin x funktsiyasining asosiy davri bo'lsin. Keling, qo'ying

T soni funksiyaning davri bo'lishi uchun Ho identifikatoriga ega bo'lishi kerak, chunki biz asosiy davrni topish haqida gapiramiz, biz olamiz
b) y = cos 0,5x funksiyaning bosh davri T bo‘lsin. f(x)=cos 0,5x bo‘lsin. Keyin f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

T soni funksiyaning davri bo'lishi uchun cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x identifikatsiyasi bajarilishi kerak.

Shunday qilib, 0,5t = 2pp. Ammo, biz asosiy davrni topish haqida gapirayotganimiz uchun biz 0,5T = 2 l, T = 4l ni olamiz.

Misolda olingan natijalarni umumlashtirish quyidagi bayonotdir: funktsiyaning asosiy davri

A.G. Mordkovich algebra 10-sinf

Dars mazmuni dars xulosasi qo'llab-quvvatlash ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlar, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar grafikasi, jadvallar, sxemalar hazil, latifalar, hazillar, komikslar, matallar, krossvordlar, tirnoqlar Qo'shimchalar tezislar maqolalar, qiziquvchan varaqlar uchun chiplar darsliklar, asosiy va qo'shimcha atamalarning lug'ati Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani yangilash darsdagi innovatsiya elementlarini eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar yil uchun kalendar rejasi muhokama dasturining uslubiy tavsiyalari Integratsiyalashgan darslar

2020-yil iyul oyida NASA Marsga ekspeditsiyani boshlaydi. Koinot kemasi Marsga ekspeditsiyaning barcha ro‘yxatdan o‘tgan a’zolarining ismlari yozilgan elektron tashuvchini yetkazadi.

Ishtirokchilarni ro'yxatga olish ochiq. Marsga chiptani ushbu havola orqali oling.

Agar ushbu post muammoingizni hal qilgan bo'lsa yoki sizga shunchaki yoqqan bo'lsa, unga havolani ijtimoiy tarmoqlardagi do'stlaringiz bilan baham ko'ring.

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangizning kodiga, yaxshisi teglar orasiga joylashtirish kerak. Va yoki tegdan keyin . Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni joylashtirsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytni boshqarish paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqoridagi yuklash kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshlanishi (Aytgancha, bu umuman kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML belgilash sintaksisini o'rganing va siz matematik formulalarni veb-sahifalaringizga joylashtirishga tayyorsiz.

Yana bir yangi yil kechasi... sovuq ob-havo va deraza oynasidagi qor parchalari... Bularning barchasi meni yana... fraktallar va Volfram Alfa bu haqda nima bilishi haqida yozishga undadi. Shu munosabat bilan qiziqarli maqola bor, unda ikki o'lchovli fraktal tuzilmalarning misollari mavjud. Bu erda biz uch o'lchamli fraktallarning yanada murakkab misollarini ko'rib chiqamiz.

Fraktal vizual ravishda geometrik figura yoki jism sifatida tasvirlanishi (ta'riflanishi) mumkin (ya'ni ikkalasi ham to'plam, bu holda nuqtalar to'plami), uning tafsilotlari asl figuraning o'zi bilan bir xil shaklga ega. Ya'ni, bu o'ziga o'xshash tuzilma bo'lib, uning tafsilotlarini hisobga olsak, kattalashtirilganda, biz kattalashtirmasdan bir xil shaklni ko'ramiz. Oddiy geometrik figuraga (fraktal emas) kelsak, kattalashganda, biz asl figuraning o'zidan oddiyroq shaklga ega bo'lgan tafsilotlarni ko'ramiz. Masalan, etarlicha yuqori kattalashtirishda ellipsning bir qismi to'g'ri chiziq segmentiga o'xshaydi. Fraktallar bilan bu sodir bo'lmaydi: ulardagi har qanday o'sish bilan biz yana bir xil murakkab shaklni ko'ramiz, bu har bir o'sish bilan yana va yana takrorlanadi.

Fraktallar fanining asoschisi Benua Mandelbrot o'zining "Fraktallar va fan uchun san'at" maqolasida shunday yozgan edi: "Fraktallar umumiy shaklida bo'lgani kabi o'zlarining tafsilotlari jihatidan ham murakkab geometrik shakllardir. Ya'ni fraktal irodaning bir qismi bo'lsa. butunning o'lchamiga kattalashtirilsa, u butunga o'xshaydi, yoki aniq yoki ehtimol biroz deformatsiya bilan ko'rinadi.

Trigonometrik funktsiyalari davriy, ya'ni ma'lum vaqtdan keyin takrorlanadi. Natijada, ushbu oraliqdagi funktsiyani o'rganish va kashf etilgan xususiyatlarni boshqa barcha davrlarga kengaytirish kifoya.

Ko'rsatma

1. Agar sizga bitta trigonometrik funktsiya (sin, cos, tg, ctg, sek, kosec) mavjud bo'lgan va funksiya ichidagi burchak hech qanday songa ko'paytirilmagan va uning o'zi hech qanday songa ko'tarilmaydigan ibtidoiy ifoda berilsa. kuch - ta'rifdan foydalaning. Sin, cos, sek, cosec bo'lgan iboralar uchun davrni jasorat bilan 2P ga qo'ying va tenglamada tg, ctg bo'lsa, P. Aytaylik, y \u003d 2 sinx + 5 funktsiyasi uchun davr 2P bo'ladi. .

2. Agar trigonometrik funktsiya belgisi ostidagi x burchak qandaydir songa ko'paytirilsa, bu funktsiyaning davrini topish uchun tipik davrni shu songa bo'ling. Aytaylik, sizga y = sin 5x funksiya berilgan. Sinus uchun odatiy davr 2P bo'lib, uni 5 ga bo'lib, siz 2P / 5 ni olasiz - bu ushbu ifodaning kerakli davri.

3. Bir darajaga ko'tarilgan trigonometrik funktsiyaning davrini topish uchun kuchning tengligini baholang. Bir darajaga erishish uchun namuna davrini yarmiga qisqartiring. Aytaylik, agar sizga y \u003d 3 cos ^ 2x funksiyasi berilgan bo'lsa, u holda 2P tipik davr 2 marta kamayadi, shuning uchun davr P ga teng bo'ladi. Iltimos, tg, ctg funktsiyalari har qanday darajada P davriy ekanligini unutmang. .

4. Agar sizga 2 ta trigonometrik funktsiyaning ko'paytmasi yoki qismi bo'lgan tenglama berilsa, avval ularning barchasi uchun davrni alohida toping. Shundan so'ng, ikkala davrning butun soniga mos keladigan minimal sonni toping. y=tgx*cos5x funksiya berilgan deylik. Tangens uchun davr P, kosinus 5x uchun davr 2P/5 ga teng. Ushbu davrlarning ikkalasiga ham mos kelishi mumkin bo'lgan minimal raqam 2P, shuning uchun kerakli davr 2P.

5. Agar taklif qilingan yo'lni bajarish qiyin bo'lsa yoki natijaga shubha qilsangiz, ta'rif bo'yicha bajarishga harakat qiling. Funktsiyaning davri sifatida T ni oling, u noldan katta. Tenglamada x o'rniga (x + T) ifodani qo'ying va natijada olingan tenglikni T parametr yoki son kabi yeching. Natijada siz trigonometrik funktsiyaning qiymatini topasiz va eng kichik davrni tanlay olasiz. Aytaylik, osonlashtirish natijasida siz gunohning identifikatoriga ega bo'lasiz (T / 2) \u003d 0. U bajariladigan T ning minimal qiymati 2P bo'lib, bu vazifaning natijasi bo'ladi.

Davriy funktsiya - bu nolga teng bo'lmagan davrdan keyin o'z qiymatlarini takrorlaydigan funktsiya. Funktsiya davri - bu funktsiya argumentiga qo'shilishi funktsiya qiymatini o'zgartirmaydigan son.

Sizga kerak bo'ladi

• Boshlang'ich matematika va so'rovning boshlanishini bilish.

Ko'rsatma

1. f(x) funksiyaning davrini K soni bilan belgilaymiz. Bizning vazifamiz K ning bu qiymatini topishdir. Buning uchun f(x) funksiyani davriy funksiya ta’rifidan foydalanib, f ga tenglashtiramiz, deb tasavvur qiling. (x+K)=f(x).

2. Natijadagi tenglamani noma’lum K uchun yechamiz, go‘yo x doimiy bo‘ladi. K qiymatiga qarab, bir nechta variant bo'ladi.

3. Agar K>0 bo'lsa, bu sizning funktsiyangizning davri.Agar K=0 bo'lsa, f(x) funksiya davriy emas.Agar f(x+K)=f(x) tenglamaning yechimi mavjud bo'lmasa. nolga teng bo'lmagan har qanday K uchun bunday funktsiya aperiodik deb ataladi va uning davri ham yo'q.

Tegishli videolar

Eslatma!
Barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir va darajasi 2 dan katta bo'lgan barcha ko'p nomli funktsiyalar aperiodikdir.

Foydali maslahat
2 ta davriy funksiyadan tashkil topgan funksiya davri bu funksiyalar davrlarining eng kichik umumiy karrali hisoblanadi.

Trigonometrik tenglamalar - noma'lum argumentning trigonometrik funksiyalarini o'z ichiga olgan tenglamalar (masalan: 5sinx-3cosx =7). Ularni qanday hal qilishni o'rganish uchun siz buning uchun ba'zi usullarni bilishingiz kerak.

Ko'rsatma

1. Bunday tenglamalarni yechish 2 bosqichdan iborat.Birinchisi, tenglamani eng oddiy ko`rinishga keltirish uchun uni isloh qilish. Eng oddiy trigonometrik tenglamalar quyidagicha deyiladi: Sinx=a; cosx=a va boshqalar.

2. Ikkinchisi, olingan eng oddiy trigonometrik tenglamaning yechimidir. Bunday tenglamalarni yechishning asosiy usullari mavjud: algebraik usulda yechish. Bu usul maktabdan, algebra kursidan mashhur. Bu o'zgaruvchini almashtirish va almashtirish usuli deb ataladi. Kamaytirish formulalarini qo'llagan holda, biz o'zgartiramiz, almashtiramiz, shundan so'ng biz ildizlarni topamiz.

3. Tenglamani omillarga ajratish. Birinchidan, biz barcha atamalarni chapga o'tkazamiz va omillarga ajratamiz.

4. Tenglamani bir hil tenglamaga keltirish. Tenglamalar bir jinsli tenglamalar deyiladi, agar barcha hadlari bir xil darajada va sinusi, kosinusu bir xil burchakli bo'lsa.Uni yechish uchun quyidagilar kerak: birinchi navbatda uning barcha a'zolarini o'ng tomondan chap tomonga o'tkazish; barcha umumiy omillarni qavslardan olib tashlash; omillar va qavslarni nolga tenglashtirish; tenglashtirilgan qavslar kichikroq darajadagi bir hil tenglamani beradi, uni cos (yoki sin) ga yuqori darajaga bo'lish kerak; tan uchun olingan algebraik tenglamani yeching.

5. Keyingi yo'l - yarim burchakka borish. Aytaylik, tenglamani yeching: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Keling, yarim burchakka o'tamiz: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 gunoh? (x / 2) = 7sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , shundan so'ng biz barcha shartlarni bir qismga (aks holda o'ngga) qisqartiramiz va tenglamani echamiz.

6. Yordamchi burchak kirish. Cos(a) yoki sin(a) butun son qiymatini almashtirganimizda. "A" belgisi yordamchi burchakdir.

7. Mahsulotni summaga qayta formatlash usuli. Bu erda siz tegishli formulalarni qo'llashingiz kerak. Berilgan deylik: 2 sin x sin 3x = cos 4x.Buni chap tomonni yig‘indiga aylantirib yechamiz, ya’ni: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. Ko'p funktsiyali almashtirish deb ataladigan oxirgi usul. Ifodani o'zgartiramiz va almashtirishni qilamiz, deylik Cos(x/2)=u, shundan so'ng u parametrli tenglamani yechamiz. Umumiy miqdorni olishda biz qiymatni teskarisiga aylantiramiz.

Tegishli videolar

Agar aylanadagi nuqtalarni hisobga olsak, u holda x, x + 2p, x + 4p va hokazo nuqtalar. bir-biriga mos. Shunday qilib, trigonometrik funktsiyalari to'g'ri chiziqda vaqti-vaqti bilan ularning ma'nosini takrorlang. Agar davr mashhur bo'lsa funktsiyalari, bu davrda funktsiyani qurish va uni boshqalarda takrorlashga ruxsat beriladi.

Ko'rsatma

1. Davr f(x) = f(x+T) shunday T sondir. Davrni topish uchun argument sifatida x va x + T ni almashtirib, tegishli tenglamani yeching. Bunday holda, funktsiyalar uchun taniqli davrlar qo'llaniladi. Sinus va kosinus funksiyalari uchun davr 2p ga, tangens va kotangens uchun esa p ga teng.

2. f(x) = sin^2(10x) funksiya berilsin. sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)) ifodasini ko'rib chiqaylik. Darajani kamaytirish uchun formuladan foydalaning: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Keyin 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) yoki cos 20x = cos (20x+20T) ni oling. Kosinusning davri 2p ekanligini bilib, 20T = 2p. Demak, T = p/10. T - minimal to'g'ri davr va funktsiya 2T dan keyin va 3T dan keyin va eksa bo'ylab boshqa yo'nalishda takrorlanadi: -T, -2T va boshqalar.

Foydali maslahat
Funktsiya darajasini pasaytirish uchun formulalardan foydalaning. Agar siz ba'zi funktsiyalarning davrlari bilan ko'proq tanish bo'lsangiz, mavjud funktsiyani ma'lum bo'lganlarga qisqartirishga harakat qiling.

Juft va toq uchun funktsiyani topish funksiya grafigini tuzishga va uning xatti-harakatlarining mohiyatini tushunishga yordam beradi. Ushbu tadqiqot uchun siz "x" argumenti va "-x" argumenti uchun yozilgan berilgan funktsiyani taqqoslashingiz kerak.

Ko'rsatma

1. O'rganmoqchi bo'lgan funksiyani y=y(x) shaklida yozing.

2. Funktsiya argumentini "-x" bilan almashtiring. Ushbu argumentni funktsional ifodaga almashtiring.

3. Ifodani soddalashtiring.

4. Shunday qilib, siz "x" va "-x" argumentlari uchun yozilgan bir xil funktsiyani oldingiz. Bu ikkita yozuvga qarang.Agar y(-x)=y(x) boʻlsa, bu juft funksiya.Agar y(-x)=-y(x) boʻlsa, bu toq funksiya.Agar buni amalga oshirishning iloji boʻlmasa. y (-x)=y(x) yoki y(-x)=-y(x) funksiya haqida aytsak, u holda paritet xususiyatiga ko‘ra, bu universal shakl funksiyasidir. Ya'ni, u toq ham, juft ham emas.

5. Natijalaringizni yozing. Endi siz ulardan funksiya grafigini tuzishda yoki kelajakda funksiya xossalarini analitik qidirishda foydalanishingiz mumkin.

6. Funksiya grafigi aniqroq aniqlangan holatda ham juft va toq funksiyalar haqida gapirish mumkin. Aytaylik, grafik fizik tajriba natijasi bo‘ldi.Funksiya grafigi y o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘lsa, y(x) juft funksiya bo‘ladi.Agar funktsiya grafigi x o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘lsa, x(y) bo‘ladi. ) juft funksiyadir. x(y) y(x) ning teskari funksiyasi.Funksiya grafigi (0,0) boshiga nisbatan simmetrik bo lsa, y(x) toq funksiya bo ladi. Teskari funksiya x(y) ham toq bo'ladi.

7. Shuni esda tutish kerakki, juft va toq funktsiyalar tushunchasi funksiya sohasi bilan bevosita bog'liqdir. Aytaylik, x=5 uchun juft yoki toq funksiya mavjud bo‘lmasa, u x=-5 uchun mavjud emas, bu umumiy ko‘rinishdagi funksiya haqida aytish mumkin emas. Juft va toqni belgilashda funksiya sohasiga e'tibor bering.

8. Juft va toq funksiyalarni qidirish funksiya qiymatlari to‘plamini topish bilan bog‘liq. Juft funksiya qiymatlari to‘plamini topish uchun funksiyaning yarmini nolning o‘ng yoki chap tomonida ko‘rish kifoya. Agar x>0 uchun y(x) juft funksiya A dan B gacha qiymatlarni qabul qilsa, u x uchun bir xil qiymatlarni oladi.<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 g'alati funktsiya y(x) A dan B gacha, so'ngra x uchun qiymatlar oralig'ini oladi<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"Trigonometrik" bir vaqtlar to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchaklarning uning tomonlari uzunligiga bog'liqligi bilan belgilanadigan funktsiyalar deb atala boshlandi. Bu funksiyalarga, birinchidan, sinus va kosinus, ikkinchidan, bu funksiyalarga teskari bo‘lgan sekant va kosekant, ularning tangens va kotangent hosilalari, shuningdek, teskari funksiyalar arksinus, arkkosinus va boshqalar kiradi. Bunday funktsiyalarning "yechimi" haqida emas, balki ularni "hisoblash", ya'ni raqamli qiymatni topish haqida gapirish ijobiyroq.

Ko'rsatma

1. Agar trigonometrik funktsiyaning argumenti noma'lum bo'lsa, unda bu funktsiyalarning ta'riflari asosida uning qiymatini bilvosita usul bilan hisoblashga ruxsat beriladi. Buni amalga oshirish uchun siz uchburchak tomonlarining uzunliklarini, siz hisoblamoqchi bo'lgan burchaklaridan biri uchun trigonometrik funktsiyani bilishingiz kerak. Aytaylik, ta'rifga ko'ra, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi bu burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati. Bundan kelib chiqadiki, burchak sinusini topish uchun shu 2 tomonning uzunliklarini bilish kifoya. Shunga o'xshash ta'rifga ko'ra, o'tkir burchakning sinusi bu burchakka ulashgan oyoq uzunligining gipotenuzaning uzunligiga nisbati hisoblanadi. O'tkir burchakning tangensini qarama-qarshi oyoqning uzunligini qo'shnisining uzunligiga bo'lish yo'li bilan hisoblash mumkin va kotangens qo'shni oyoq uzunligini qarama-qarshi tomonning uzunligiga bo'lishni talab qiladi. O'tkir burchak sekantini hisoblash uchun siz gipotenuzaning uzunligini kerakli burchakka tutashgan oyoq uzunligiga nisbatini topishingiz kerak va kosekant gipotenuzaning uzunligining uzunligiga nisbati bilan aniqlanadi. qarama-qarshi oyoqdan.

2. Agar trigonometrik funktsiyaning argumenti amalga oshirilsa, unda uchburchak tomonlarining uzunliklarini bilish shart emas - qiymatlar jadvallaridan yoki trigonometrik funktsiyalar kalkulyatorlaridan foydalanishga ruxsat beriladi. Bunday kalkulyator Windows operatsion tizimining standart dasturlari qatoriga kiradi. Uni ishga tushirish uchun siz Win + R tugmalar birikmasini bosishingiz, calc buyrug'ini kiritishingiz va OK tugmasini bosishingiz mumkin. Dastur interfeysida "Ko'rish" bo'limini oching va "Muhandislik" yoki "Olim" bandini tanlang. Keyinchalik trigonometrik funktsiyaning argumentini kiritishga ruxsat beriladi. Sinus, kosinus va tangens funktsiyalarini hisoblash uchun qiymatni kiritgandan so'ng, tegishli interfeys tugmachasini bosing (sin, cos, tg) va ularning arksinus, arkkosinus va arktangensning o'zaro nisbatlarini topish uchun Inv katagiga oldindan belgi qo'ying.

3. Bundan tashqari, alternativ usullar mavjud. Ulardan biri Nigma yoki Google qidiruv tizimining saytiga o'tish va qidiruv so'rovi sifatida kerakli funktsiyani va uning argumentini (aytaylik, sin 0.47) kiritishdir. Ushbu qidiruv tizimlarida o'rnatilgan kalkulyatorlar mavjud, shuning uchun bunday so'rov yuborilgandan so'ng siz kiritgan trigonometrik funktsiyaning qiymatini olasiz.

Tegishli videolar

Maslahat 7: Trigonometrik funksiyalarning qiymatini qanday aniqlash mumkin

Trigonometrik funksiyalar dastlab toʻgʻri burchakli uchburchakdagi oʻtkir burchaklar kattaliklarining uning tomonlari uzunliklariga bogʻliqligini mavhum matematik hisoblash vositalari sifatida paydo boʻldi. Endi ular inson faoliyatining ilmiy va texnik sohalarida keng qo'llaniladi. Berilgan argumentlar bo'yicha trigonometrik funktsiyalarni utilitar hisoblash uchun turli xil vositalardan foydalanishga ruxsat beriladi - ulardan bir nechtasi quyida tavsiflanadi.

Ko'rsatma

1. Aytaylik, operatsion tizim bilan sukut bo'yicha o'rnatilgan kalkulyator dasturidan foydalaning. U "Barcha dasturlar" bo'limida joylashgan "Odatiy" bo'limidan "Utilities" papkasida "Kalkulyator" bandini tanlash orqali ochiladi. Ushbu bo'limni "Ishga tushirish" tugmasini bosish orqali operatsion tizimning asosiy menyusini ochish orqali topish mumkin. Agar siz Windows 7 versiyasidan foydalanayotgan bo'lsangiz, asosiy menyuning "Dasturlar va fayllarni aniqlash" maydoniga "Kalkulyator" so'zini ibtidoiy ravishda kiritishingiz va qidiruv natijalaridagi tegishli havolani bosishingiz mumkin.

2. Trigonometrik funktsiyani hisoblamoqchi bo'lgan burchakning qiymatini kiriting va keyin ushbu funktsiyaga mos keladigan tugmani bosing - sin, cos yoki tan. Agar siz teskari trigonometrik funksiyalar (arksinus, arkkosinus yoki arktangent) haqida tashvishlansangiz, avval Inv deb nomlangan tugmani bosing - bu kalkulyatorning boshqaruv tugmalariga tayinlangan funksiyalarni teskari qiladi.

3. OTning oldingi versiyalarida (aytaylik, Windows XP), trigonometrik funktsiyalarga kirish uchun kalkulyator menyusida "Ko'rish" bo'limini ochishingiz va "Muhandislik" qatorini afzal ko'rishingiz kerak. Bundan tashqari, dasturning eski versiyalari interfeysidagi Inv tugmasi o'rniga xuddi shu yozuvga ega bo'lgan katakcha mavjud.

4. Agar sizda Internet mavjud bo'lsa, kalkulyatorsiz ham qilishingiz mumkin. Internetda turli xil tashkil etilgan trigonometrik funktsiyalar kalkulyatorlarini taklif qiluvchi ko'plab xizmatlar mavjud. Ayniqsa, qulay variantlardan biri Nigma qidiruv tizimiga kiritilgan. Uning asosiy sahifasiga o'tib, qidiruv so'rovi maydoniga sizni hayajonlantiradigan qiymatni ibtidoiy ravishda kiriting - aytaylik, "30 daraja yoy tangensi". "Discover!" tugmasini bosgandan so'ng. qidiruv tizimi hisoblab chiqadi va hisob-kitob natijasini ko'rsatadi - 0,482347907101025.

Tegishli videolar

Trigonometriya toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlarining gipotenuzadagi oʻtkir burchaklar kattaligiga turli bogʻliqliklarini ifodalovchi funksiyalarni tushunishga moʻljallangan matematikaning boʻlimidir. Bunday funksiyalar trigonometrik deyiladi va ular bilan ishlashni osonlashtirish uchun trigonometrik funksiyalar olingan. identifikatsiyalar .

Ishlash identifikatsiyalar matematikada unga kiritilgan funksiyalar argumentlarining har qanday qiymatlari uchun qondiriladigan tenglikni bildiradi. Trigonometrik identifikatsiyalar- bu trigonometrik formulalar bilan ishlashni soddalashtirish uchun tasdiqlangan va qabul qilingan trigonometrik funksiyalarning tengliklari.Trigonometrik funktsiya - bu to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlaridan birining gipotenuzadagi o'tkir burchak kattaligiga bog'liqligining elementar funksiyasi. Ko'pincha oltita asosiy trigonometrik funktsiyadan foydalaniladi: sin (sinus), cos (kosinus), tg (tangens), ctg (kotangent), sek (sekant) va kosek (kosekant). Bu funksiyalar to'g'ridan-to'g'ri deyiladi, teskari funksiyalar ham bor, aytaylik, sinus - arksinus, kosinus - arkkosin va boshqalar. Dastlab trigonometrik funktsiyalar geometriyada o'z aksini topdi, keyin ular fanning boshqa sohalariga tarqaldi: fizika, kimyo, geografiya, optika. , ehtimollar nazariyasi , shuningdek akustika, musiqa nazariyasi, fonetika, kompyuter grafikasi va boshqalar. Hozirda bu funksiyalarsiz matematik hisob-kitoblarni tasavvur qilish qiyinroq, garchi uzoq o‘tmishda ular faqat astronomiya va arxitekturada qo‘llanilgan bo‘lsa-da.Trigonometrik. identifikatsiyalar uzun trigonometrik formulalar bilan ishlashni soddalashtirish va ularni hazm bo'ladigan shaklga keltirish uchun ishlatiladi. Oltita asosiy trigonometrik o'ziga xoslik mavjud, ular to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik funktsiyalar bilan bog'liq: tg ? = gunoh?/cos?; gunoh ^ 2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; gunoh (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d gunoh?. Bular identifikatsiyalar To'g'ri burchakli uchburchakda tomonlar va burchaklar nisbati xususiyatlaridan tasdiqlash oson: sin ? = BC/AC = b/c; chunki? = AB/AC = a/c; tg? = b/a. Birinchi identifikatsiya tg ? = gunoh?/cos? uchburchakdagi tomonlarning nisbati va gunohni cos ga bo'lishda c tomonini (gipotenuza) chiqarib tashlashdan kelib chiqadi. Xuddi shu tarzda, ctg identifikatori aniqlanadi? = cos ?/sin ?, chunki ctg ? = 1/tg ?. Pifagor teoremasi bo'yicha a^2 + b^2 = c^2. Ushbu tenglikni c ^ 2 ga bo'linadi, biz ikkinchi o'ziga xoslikni olamiz: a ^ 2 / c ^ 2 + b ^ 2 / c ^ 2 = 1 => sin ^ 2 ? + cos^2? = 1. Uchinchi va to'rtinchi identifikatsiyalar mos ravishda b^2 va a^2 ga bo'lish yo'li bilan olinadi: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/sin^ ? yoki 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / gunoh ^ 2?. Beshinchi va oltinchi asosiy identifikatsiyalar 90 ° ga teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklarining yig'indisini aniqlash orqali isbotlanadi yoki? / 2. Qiyinroq trigonometrik identifikatsiyalar: argumentlar qo‘shish formulalari, qo‘sh va uch burchak, darajani pasaytirish, funksiyalar yig‘indisi yoki mahsulotini isloh qilish, shuningdek trigonometrik almashtirish formulalari, ya’ni asosiy trigonometrik funksiyalarning yarim burchak tg ko‘rinishidagi ifodalari: sin ?= (2) * tg ? / 2) / (1 + tg ^ 2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

Minimalni topish zarurati ma'nosi matematik funktsiyalari amaliy masalalarni hal qilishda, aytaylik, iqtisodda haqiqiy qiziqish uyg'otadi. Katta ma'nosi tadbirkorlik faoliyati uchun yo'qotishlarni minimallashtirish mavjud.

Ko'rsatma

1. Minimalni topish uchun ma'nosi funktsiyalari, y(x0) tengsizlik x0 argumentining qaysi qiymatida qanoatlantirilishini aniqlash kerak? y(x), qayerda x? x0. Odatdagidek, bu muammo ma'lum bir intervalda yoki har bir qiymat oralig'ida hal qilinadi funktsiyalari, agar biri o'rnatilmagan bo'lsa. Yechimning bir tomoni aniq nuqtalarni topishdir.

2. Statsionar nuqta deyiladi ma'nosi hosila degan argument funktsiyalari nolga tushadi. Ferma teoremasiga ko'ra, agar differentsiallanuvchi funktsiya ekstremalni qabul qilsa ma'nosi bir nuqtada (bu holda, mahalliy minimum), keyin bu nuqta statsionar.

3. Eng kam ma'nosi funktsiya ko'pincha aynan shu nuqtada oladi, ammo uni har doim ham aniqlash mumkin emas. Bundan tashqari, minimal nima ekanligini aniq aytish har doim ham mumkin emas funktsiyalari yoki u cheksiz kichikni qabul qiladi ma'nosi. Keyin, odatdagidek, ular pasayganda tortishish chegarasini topadilar.

4. Minimalni aniqlash uchun ma'nosi funktsiyalari, to'rt bosqichdan iborat harakatlar ketma-ketligini bajarish kerak: ta'rif sohasini topish funktsiyalari, belgilangan nuqtalarni olish, qiymatlarni ko'rib chiqish funktsiyalari bu nuqtalarda va bo'shliqning uchlarida, minimal aniqlash.

5. Ma’lum bo‘lishicha, qandaydir y(x) funksiya chegaralari A va B nuqtalarda bo‘lgan intervalda berilgan bo‘lsin. Uning aniqlanish sohasini toping va interval uning kichik to‘plami ekanligini aniqlang.

6. Hosilini hisoblang funktsiyalari. Olingan ifodani nolga tenglang va tenglamaning ildizlarini toping. Ushbu statsionar nuqtalar intervalga to'g'ri keladimi yoki yo'qligini tekshiring. Agar yo'q bo'lsa, keyingi bosqichda ular hisobga olinmaydi.

7. Chegaralar turi uchun bo'shliqqa qarang: ochiq, yopiq, aralash yoki o'lchamsiz. Bu minimalni qanday topishingizga bog'liq ma'nosi. Aytaylik, [A, B] segmenti yopiq intervalli. Ularni funktsiyaga almashtiring va qiymatlarni hisoblang. Statsionar nuqta bilan ham xuddi shunday qiling. Eng kichik jami tanlang.

8. Ochiq va cheksiz intervallar bilan vaziyat biroz qiyinroq. Bu erda biz bir tomonlama chegaralarni izlashimiz kerak, bu har doim ham aniq natija bermaydi. Aytaylik, bitta yopiq va bitta teshilgan chegara [A, B) bo'lgan interval uchun x = A da funktsiya va x da bir tomonlama chegara y ni topish kerakmi? B-0.