Shuni ta'kidlash kerakki, kombinatorika oliy matematikaning mustaqil bo'limi (terverning bir qismi emas) va bu fan bo'yicha salmoqli darsliklar yozilgan, ularning mazmuni, ba'zan, mavhum algebradan ham oson emas. Biroq, nazariy bilimlarning kichik bir qismi biz uchun etarli bo'ladi va ushbu maqolada men oddiy kombinatoryal muammolar bilan mavzuning asoslarini tushunarli shaklda tahlil qilishga harakat qilaman. Va ko'plaringiz menga yordam berasiz ;-)

Biz nima qilmoqchimiz? Tor ma'noda kombinatorika - bu ma'lum bir to'plamdan tuzilishi mumkin bo'lgan turli xil kombinatsiyalarni hisoblash. diskret ob'ektlar. Ob'ektlar deganda har qanday ajratilgan ob'ektlar yoki tirik mavjudotlar - odamlar, hayvonlar, qo'ziqorinlar, o'simliklar, hasharotlar va boshqalar tushuniladi. Shu bilan birga, kombinatorika to'plamning bir plastinka irmik pyuresi, lehimli temir va botqoq qurbaqasidan iborat ekanligiga umuman ahamiyat bermaydi. Ushbu ob'ektlarni sanab o'tish mumkinligi juda muhim - ulardan uchtasi bor (diskretlik) va eng muhimi, ularning hech biri bir xil emas.

Biz ko'p narsalarni muhokama qildik, endi kombinatsiyalar haqida. Kombinatsiyalarning eng keng tarqalgan turlari - ob'ektlarni almashtirish, ularni to'plamdan tanlash (kombinatsiya) va taqsimlash (joylashtirish). Keling, bu qanday sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik:

Takrorlashsiz almashtirishlar, kombinatsiyalar va joylashtirishlar

Noma'lum atamalardan qo'rqmang, ayniqsa ularning ba'zilari juda yaxshi emas. Sarlavhaning dumidan boshlaylik - nima qiladi " takrorlashlar yo'q"? Bu shuni anglatadiki, ushbu bo'limda biz quyidagilardan iborat to'plamlarni ko'rib chiqamiz har xil ob'ektlar. Misol uchun, ... yo'q, men lehim va qurbaqa bilan bo'tqa taklif qilmayman, undan mazaliroq narsa bo'lsa =) Tasavvur qiling, sizning oldingizda stolda olma, nok va banan paydo bo'ldi ( agar sizda ular bo'lsa, vaziyatni haqiqatda simulyatsiya qilish mumkin). Biz mevalarni chapdan o'ngga quyidagi tartibda joylashtiramiz:

olma / nok / banan

Birinchi savol: Ularni necha xil usulda qayta tartibga solish mumkin?

Bitta kombinatsiya allaqachon yuqorida yozilgan va qolganlari bilan hech qanday muammo yo'q:

olma / banan / nok
nok / olma / banan
nok / banan / olma
banan / olma / nok
banan / nok / olma

Jami: 6 ta kombinatsiya yoki 6 ta almashtirishlar.

Yaxshi, barcha mumkin bo'lgan holatlarni sanab o'tish qiyin emas edi, lekin ko'proq ob'ektlar bo'lsa-chi? Faqat to'rt xil meva bilan kombinatsiyalar soni sezilarli darajada oshadi!

Iltimos, ma'lumotnomani oching (qo'llanmani chop etish qulay) va 2-bandda almashtirishlar soni formulasini toping.

Hech qanday qiyinchilik yo'q - 3 ta ob'ektni turli yo'llar bilan qayta tartibga solish mumkin.

Ikkinchi savol: a) bitta mevani, b) ikkita mevani, c) uchta mevani, d) kamida bitta mevani necha xil usulda tanlash mumkin?

Nima uchun tanlash kerak? Shunday qilib, biz oldingi nuqtada ishtahani ochdik - ovqatlanish uchun! =)

a) Bitta mevani uchta usulda tanlash mumkin - olma, nok yoki banan oling. Rasmiy hisob-kitoblar bo'yicha amalga oshiriladi kombinatsiyalar soni formulasi:

Bu holatda yozuvni quyidagicha tushunish kerak: "siz uchta mevadan 1 ta mevani nechta usulda tanlashingiz mumkin?"

b) Keling, ikkita mevaning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini sanab o'tamiz:

olma va nok;
olma va banan;
nok va banan.

Kombinatsiyalar sonini bir xil formula yordamida osongina tekshirish mumkin:

Kirish shunga o'xshash tarzda tushuniladi: "siz uchta mevadan 2 tasini nechta usulda tanlashingiz mumkin?"

c) Va nihoyat, uchta mevani tanlashning faqat bitta usuli bor:

Aytgancha, kombinatsiyalar soni formulasi bo'sh namuna uchun mazmunli bo'lib qoladi:
Shunday qilib, siz biron bir mevani tanlay olmaysiz - aslida hech narsa olmang va hammasi.

d) Necha yo'l bilan olishingiz mumkin kamida bitta meva? "Hech bo'lmaganda bitta" sharti bizni 1 ta meva (har qanday) yoki har qanday 2 ta meva yoki barcha 3 ta meva bilan qoniqtirganimizni anglatadi:
bu usullar yordamida siz kamida bitta meva tanlashingiz mumkin.

Kirish darsini diqqat bilan o'rgangan kitobxonlar ehtimollik nazariyasi, biz allaqachon nimanidir taxmin qildik. Ammo ortiqcha belgisining ma'nosi haqida keyinroq.

Keyingi savolga javob berish uchun menga ikkita ko'ngilli kerak... ...Xo'sh, hech kim xohlamasa, men sizni kengashga chaqiraman =)

Uchinchi savol: Dasha va Natashaga bittadan mevani nechta usulda tarqatishingiz mumkin?

Ikkita mevani tarqatish uchun siz avval ularni tanlashingiz kerak. Oldingi savolning "be" bandiga ko'ra, buni yo'llar bilan qilish mumkin, men ularni qayta yozaman:

olma va nok;
olma va banan;
nok va banan.

Ammo endi kombinatsiyalar ikki barobar ko'p bo'ladi. Masalan, birinchi meva juftligini ko'rib chiqing:
Siz Dashani olma bilan, Natashani esa nok bilan davolashingiz mumkin;
yoki aksincha - Dasha nokni oladi, Natasha esa olma oladi.

Va har bir juft meva uchun bunday almashtirish mumkin.

Raqsga borgan o'sha talabalar guruhini ko'rib chiqaylik. O'g'il va qizni nechta usulda juftlashtirish mumkin?

Yo'llar bilan siz 1 yosh yigitni tanlashingiz mumkin;
1 qizni tanlash usullari.

Shunday qilib, bir yigit Va Siz bitta qizni tanlashingiz mumkin: yo'llari.

Har bir to'plamdan 1 ta ob'ekt tanlansa, kombinatsiyalarni hisoblashning quyidagi printsipi amal qiladi: " har bir to'plamdagi ob'ekt juftlik hosil qilishi mumkin har biri bilan boshqa to'plamning ob'ekti."

Ya'ni, Oleg 13 qizning istalganini raqsga taklif qilishi mumkin, Evgeniy ham o'n uchtadan istalganini taklif qilishi mumkin, qolgan yoshlar esa xuddi shunday tanlovga ega. Jami: mumkin bo'lgan juftliklar.

Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu misolda juftlikning paydo bo'lishining "tarixi" muhim emas; ammo, agar tashabbusni hisobga oladigan bo'lsak, kombinatsiyalar sonini ikki baravar oshirish kerak, chunki 13 qizning har biri har qanday bolani raqsga taklif qilishi mumkin. Bularning barchasi muayyan vazifaning shartlariga bog'liq!

Shunga o'xshash printsip yanada murakkab kombinatsiyalar uchun amal qiladi, masalan: ikkita yosh yigitni necha usulda tanlashingiz mumkin? Va KVN skitida ishtirok etish uchun ikkita qiz bormi?

ittifoq VA kombinatsiyalarni ko'paytirish kerakligini aniq ko'rsatadi:

Rassomlarning mumkin bo'lgan guruhlari.

Boshqa so'zlar bilan aytganda, har biri bir juft o'g'il bolalar (45 noyob juftlik) bilan ishlashlari mumkin har qanday bir juft qiz (78 ta noyob juftlik). Va agar ishtirokchilar o'rtasidagi rollarni taqsimlashni hisobga olsak, bundan ham ko'proq kombinatsiyalar bo'ladi. ...Men chindan ham xohlayman, lekin sizda talabalik hayotidan nafratlanishni singdirmaslik uchun davom etishdan tiyilaman =).

Kombinatsiyalarni ko'paytirish qoidasi ko'p sonli ko'paytiruvchilarga ham tegishli:

Muammo 8

5 ga bo'linadigan nechta uch xonali sonlar bor?

Yechim: aniqlik uchun bu raqamni uchta yulduzcha bilan belgilaymiz: ***

IN yuzlab joy Siz har qanday raqamlarni (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 yoki 9) yozishingiz mumkin. Nol mos emas, chunki bu holda raqam uch xonali bo'lishni to'xtatadi.

Lekin ichida o'nlab o'rinlar("o'rtada") siz 10 ta raqamdan birini tanlashingiz mumkin: .

Shartga ko'ra, raqam 5 ga bo'linishi kerak. Agar u 5 yoki 0 bilan tugasa, raqam 5 ga bo'linadi. Shunday qilib, biz eng kichik muhim raqamdagi 2 ta raqam bilan qanoatlanamiz.

Hammasi bo'lib, bor: 5 ga bo'linadigan uch xonali sonlar.

Bunday holda, ish quyidagicha hal qilinadi: “Raqamni tanlashning 9 usuli yuzlab joy Va Raqamni tanlashning 10 usuli o'nlab o'rinlar Va 2 yo'l birlik raqami»

Yoki oddiyroq: " har biri 9 raqamdan boshlab yuzlab joy birlashtiradi har biri bilan 10 ta raqamdan iborat o'nlab o'rinlar va har biri bilan ikki raqamdan birlik raqami».

Javob: 180

Endi esa…

Ha, men 5-sonli muammo bo'yicha va'da qilingan sharhni deyarli unutib qo'ydim, unda Bor, Dima va Volodya har biriga bitta kartani turli yo'llar bilan tarqatish mumkin. Bu erda ko'paytirish bir xil ma'noga ega: kemadan 3 ta kartani olib tashlash usullari VA har birida namuna ularni yo'llar bilan qayta tartibga soling.

Va endi o'zingiz hal qiladigan muammo ... endi men qiziqroq narsani o'ylab topaman ... bu blackjackning o'sha ruscha versiyasi haqida bo'lsin:

Muammo 9

"Nuqta" o'ynalganda 2 ta kartaning nechta yutuq kombinatsiyasi mavjud?

Bilmaydiganlar uchun: yutuq kombinatsiyasi 10 + ACE (11 ball) = 21 ball va keling, ikkita eysning qozongan kombinatsiyasini ko'rib chiqaylik.

(har qanday juftlikdagi kartalarning tartibi muhim emas)

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Aytgancha, misolni ibtidoiy deb hisoblamang. Blackjack - bu kazinoni mag'lub etish imkonini beruvchi matematik asoslangan algoritm mavjud bo'lgan deyarli yagona o'yin. Qiziq bo'lganlar optimal strategiya va taktikalar haqida juda ko'p ma'lumotlarni osongina topishlari mumkin. To'g'ri, bunday ustalar tezda barcha muassasalarning qora ro'yxatiga tushishadi =)

Bir nechta jiddiy vazifalar bilan qoplangan materialni birlashtirish vaqti keldi:

Muammo 10

Vasyaning uyda 4 ta mushuki bor.

a) xonaning burchaklariga mushuklarni necha xil usulda o'tirish mumkin?
b) mushuklarni necha xil usulda sayr qilishiga ruxsat berish mumkin?
c) Vasya ikkita mushukni necha usul bilan olishi mumkin (biri chapda, ikkinchisi o'ngda)?

Keling, qaror qilaylik: birinchi navbatda, muammo bilan shug'ullanishiga yana bir bor e'tibor berishingiz kerak boshqacha ob'ektlar (mushuklar bir xil egizaklar bo'lsa ham). Bu juda muhim shart!

a) Mushuklarning sukunati. Ushbu ijroga bog'liq bir vaqtning o'zida barcha mushuklar
+ ularning joylashuvi muhim, shuning uchun bu erda almashtirishlar mavjud:
ushbu usullardan foydalanib, siz mushuklarni xonaning burchaklariga joylashtirishingiz mumkin.

Takror aytamanki, almashtirishda faqat turli xil ob'ektlar soni va ularning nisbiy pozitsiyalari muhimdir. Vasyaning kayfiyatiga qarab, u hayvonlarni divanda yarim doira shaklida, deraza tokchasida va hokazolarda joylashtirishi mumkin. – barcha holatlarda 24 ta almashtirish bo‘ladi.Qulaylik uchun qiziquvchilar mushuklarning rang-barang (masalan, oq, qora, qizil va tabby) ekanligini tasavvur qilishlari va barcha mumkin bo‘lgan kombinatsiyalarni sanab o‘tishlari mumkin.

b) Mushuklarga necha xil usulda sayr qilish mumkin?

Taxminlarga ko'ra, mushuklar faqat eshikdan sayr qilishadi va bu savol hayvonlarning soniga nisbatan befarqlikni anglatadi - 1, 2, 3 yoki barcha 4 mushuk sayrga chiqishi mumkin.

Biz barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarni hisoblaymiz:

Yo'llar bilan siz bitta mushukni (to'rttasining har qanday) sayrga chiqishiga ruxsat berishingiz mumkin;
ikkita mushukni sayr qilish uchun ruxsat berish usullari (variantlarni o'zingiz sanab o'ting);
yo'llar bilan siz uchta mushukni sayrga qo'yishingiz mumkin (to'rttadan biri uyda o'tiradi);
Shu tarzda siz barcha mushuklarni ozod qilishingiz mumkin.

Olingan qiymatlarni umumlashtirish kerakligini taxmin qilgandirsiz:
mushuklarni sayrga qo'yish usullari.

Ishqibozlar uchun men muammoning murakkab versiyasini taklif qilaman - har qanday namunadagi har qanday mushuk tasodifan tashqariga, eshikdan ham, 10-qavatdagi derazadan ham chiqishi mumkin. Kombinatsiyalarda sezilarli o'sish bo'ladi!

c) Vasya ikkita mushukni necha usul bilan olishi mumkin?

Vaziyat nafaqat 2 ta hayvonni tanlashni, balki ularni har bir qo'lga joylashtirishni ham o'z ichiga oladi:
Shu yo'llar bilan siz 2 ta mushukni olishingiz mumkin.

Ikkinchi yechim: usullar yordamida ikkita mushukni tanlashingiz mumkin Va ekish usullari har qo'lda er-xotin:

Javob: a) 24, b) 15, c) 12

Xo'sh, vijdoningizni tozalash uchun, kombinatsiyalarni ko'paytirish haqida aniqroq narsa ... Vasya qo'shimcha 5 ta mushukka ega bo'lsin =) 2 ta mushukni necha xil usulda sayrga chiqarish mumkin? Va 1 mushuk?

Ya'ni, bilan har biri bir juft mushuk ozod qilinishi mumkin har mushuk.

Mustaqil yechim uchun yana bir tugma akkordeoni:

Muammo 11

Uch yo‘lovchi 12 qavatli binoning liftiga o‘tirdi. Har kim, boshqalardan qat'i nazar, istalgan (2-qavatdan boshlab) teng ehtimollik bilan chiqishi mumkin. Qancha yo'l bilan:

1) yo'lovchilar bir qavatda tushishi mumkin (chiqish tartibi muhim emas);
2) ikki kishi bir qavatda, uchinchisi ikkinchi qavatda tushishi mumkin;
3) odamlar turli qavatlarda chiqishi mumkin;
4) yo'lovchilar liftdan chiqishi mumkinmi?

Va bu erda ular tez-tez so'rashadi, men aniqlayman: agar bir qavatda 2 yoki 3 kishi chiqsa, chiqish tartibi muhim emas. O'ylab ko'ring, birikmalarni qo'shish/ko'paytirish uchun formulalar va qoidalardan foydalaning. Qiyinchiliklar yuzaga kelganda, yo'lovchilar ismlarini aytishlari va liftdan qanday kombinatsiyalarda chiqishlari mumkinligini taxmin qilishlari foydalidir. Agar biror narsa ishlamasa, xafa bo'lishning hojati yo'q, masalan, 2-band juda hiyla-nayrang, ammo o'quvchilardan biri oddiy yechim topdi va men sizning maktublaringiz uchun yana bir bor minnatdorchilik bildiraman!

Dars oxirida batafsil sharhlar bilan to'liq yechim.

Yakuniy paragraf juda tez-tez uchraydigan kombinatsiyalarga bag'ishlangan - mening subyektiv baholashimga ko'ra, kombinatsion muammolarning taxminan 20-30 foizida:

Takrorlashlar bilan almashtirishlar, kombinatsiyalar va joylashtirishlar

Ro'yxatdagi kombinatsiya turlari ma'lumotnomaning 5-bandida keltirilgan Kombinatorikaning asosiy formulalari, ammo ularning ba'zilari birinchi o'qishda juda aniq bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, avvalo amaliy misollar bilan tanishib chiqish va shundan keyingina umumiy formulani tushunish tavsiya etiladi. Boring:

Takrorlashlar bilan almashtirishlar

"Oddiy" almashtirishlardagi kabi takroriy almashtirishlarda, bir vaqtning o'zida barcha ko'plab ob'ektlar, lekin bir narsa bor: bu to'plamda bir yoki bir nechta elementlar (ob'ektlar) takrorlanadi. Keyingi standartga javob bering:

Muammo 12

Quyidagi harflar bilan kartalarni qayta tartiblash orqali nechta turli harf birikmalarini olish mumkin: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Yechim: agar barcha harflar boshqacha bo'lsa, unda ahamiyatsiz formula qo'llanilishi kerak edi, ammo taklif qilingan kartalar to'plami uchun ba'zi manipulyatsiyalar "behuda" ishlashi aniq, masalan, agar siz ikkita kartani almashtirsangiz. Har qanday so'zda "K" "harflari bilan siz bir xil so'zni olasiz. Bundan tashqari, jismoniy jihatdan kartalar juda boshqacha bo'lishi mumkin: biri "K" harfi bilan yumaloq bo'lishi mumkin, ikkinchisi esa "K" harfi bilan chizilgan kvadrat bo'lishi mumkin. Ammo vazifaning ma'nosiga ko'ra, hatto bunday kartalar ham bir xil deb hisoblanadi, chunki shart harf birikmalari haqida so'raydi.

Hammasi juda oddiy - faqat 11 ta karta, shu jumladan xat:

K - 3 marta takrorlangan;
O - 3 marta takrorlangan;
L - 2 marta takrorlanadi;
b - 1 marta takrorlanadi;
H - 1 marta takrorlanadi;
Va - 1 marta takrorlanadi.

Tekshirish: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa.

Formulaga ko'ra takroriy almashtirishlar soni:
turli harf birikmalarini olish mumkin. Yarim milliondan ortiq!

Katta faktoriy qiymatni tezda hisoblash uchun standart Excel funktsiyasidan foydalanish qulay: istalgan katakchaga kiring =FACT(11) va bosing Kirish.

Amalda, umumiy formulani yozmaslik va qo'shimcha ravishda, birlik faktoriallarini qoldirmaslik juda maqbuldir:

Ammo takroriy xatlar haqida dastlabki sharhlar talab qilinadi!

Javob: 554400

Takroriy almashtirishlarning yana bir tipik misoli shaxmat donalarini joylashtirish muammosida uchraydi, uni omborda topish mumkin. tayyor echimlar tegishli pdf ichida. Va mustaqil yechim uchun men kamroq formulali vazifani o'ylab topdim:

Muammo 13

Aleksey sport bilan shug'ullanadi va haftada 4 kun - engil atletika, 2 kun - kuch mashqlari va 1 kun dam oladi. U o'zi uchun haftalik jadvalni necha usulda tuza oladi?

Formula bu yerda ishlamaydi, chunki u tasodifiy almashinuvlarni hisobga oladi (masalan, chorshanba kungi kuch mashqlarini payshanba kungi kuch mashqlari bilan almashtirish). Va yana - aslida, bir xil 2 ta kuch mashg'ulotlari bir-biridan juda farq qilishi mumkin, ammo vazifa kontekstida (jadval nuqtai nazaridan) ular bir xil elementlar deb hisoblanadi.

Ikki qatorli yechim va dars oxirida javob.

Takrorlashlar bilan kombinatsiyalar

Ushbu turdagi kombinatsiyaning xarakterli xususiyati shundaki, namuna bir xil ob'ektlardan iborat bo'lgan bir nechta guruhlardan olinadi.

Bugun hamma ko'p mehnat qildi, shuning uchun o'zingizni yangilash vaqti keldi:

Muammo 14

Talabalar oshxonasida xamir, cheesecakes va donutlarda kolbasa sotiladi. Beshta pirogni necha xil usulda sotib olish mumkin?

Yechim: darhol takroriy kombinatsiyalar uchun odatiy mezonga e'tibor bering - shartga ko'ra, bu tanlov uchun taklif qilinadigan ob'ektlar to'plami emas, balki har xil turlari ob'ektlar; sotuvda kamida beshta hot-dog, 5 ta cheesecakes va 5 donut borligi taxmin qilinadi. Har bir guruhdagi piroglar, albatta, har xil - chunki mutlaqo bir xil donutlarni faqat kompyuterda taqlid qilish mumkin =) Biroq, piroglarning jismoniy xususiyatlari muammoning maqsadi uchun ahamiyatli emas va hot-doglar / cheesecakes / ularning guruhlaridagi donutlar bir xil deb hisoblanadi.

Namunada nima bo'lishi mumkin? Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, namunada albatta bir xil piroglar bo'ladi (chunki biz 5 ta bo'lakni tanlaymiz va tanlash uchun 3 tur mavjud). Bu yerda har qanday lazzat uchun variantlar mavjud: 5 ta hot dog, 5 ta cheesecakes, 5 donut, 3 hot dog + 2 cheesecakes, 1 hot dog + 2 cheesecakes + 2 donuts va boshqalar.

"Oddiy" kombinatsiyalarda bo'lgani kabi, tanlovda piroglarni tanlash va joylashtirish tartibi muhim emas - siz shunchaki 5 dona tanladingiz va hammasi.

Biz formuladan foydalanamiz Takroriy kombinatsiyalar soni:
Ushbu usul yordamida siz 5 ta pirog sotib olishingiz mumkin.

Yoqimli ishtaha!

Javob: 21

Ko'p kombinatsion masalalardan qanday xulosa chiqarish mumkin?

Ba'zida eng qiyin narsa vaziyatni tushunishdir.

Mustaqil yechim uchun shunga o'xshash misol:

Muammo 15

Hamyonda juda ko'p miqdordagi 1, 2, 5 va 10 rubllik tangalar mavjud. Hamyondan uchta tangani necha usul bilan olib tashlash mumkin?

O'z-o'zini nazorat qilish uchun bir nechta oddiy savollarga javob bering:

1) Namunadagi barcha tangalar boshqacha bo'lishi mumkinmi?
2) tangalarning "eng arzon" va eng "qimmat" kombinatsiyasini ayting.

Dars oxiridagi yechim va javoblar.

Shaxsiy tajribamdan shuni aytishim mumkinki, takroriy kombinatsiyalar amalda eng kam uchraydigan mehmon bo'lib, uni quyidagi turdagi kombinatsiyalar haqida aytib bo'lmaydi:

Takrorlashlar bilan joylashtirish

Elementlardan tashkil topgan to'plamdan elementlar tanlanadi va har bir tanlovdagi elementlarning tartibi muhim ahamiyatga ega. Va hamma narsa yaxshi bo'lar edi, lekin juda kutilmagan hazil shundaki, biz asl to'plamning istalgan ob'ektini xohlagancha ko'p marta tanlashimiz mumkin. Majoziy ma'noda aytganda, "ko'pchilik kamaymaydi".

Bu qachon sodir bo'ladi? Oddiy misol - bu bir nechta diskli kombinatsiyalangan qulf, ammo texnologik o'zgarishlar tufayli uning raqamli avlodini hisobga olish ko'proq mos keladi:

Muammo 16

To'rt xonali PIN-kodlar nechta?

Yechim: aslida muammoni hal qilish uchun kombinatorika qoidalarini bilish kifoya: PIN kodning birinchi raqamini qanday qilib tanlashingiz mumkin Va yo'llar - PIN kodning ikkinchi raqami Va ko'p jihatdan - uchinchi Va bir xil raqam - to'rtinchisi. Shunday qilib, kombinatsiyalarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, to'rt xonali pin-kod quyidagi usullarda tuzilishi mumkin.

Va endi formuladan foydalaning. Shartga ko'ra, bizga raqamlar to'plami taklif etiladi, ular orasidan raqamlar tanlanadi va tartibga solinadi ma'lum bir tartibda, namunadagi raqamlar takrorlanishi mumkin (ya'ni, asl to'plamning istalgan raqami ixtiyoriy ravishda ko'p marta ishlatilishi mumkin). Takrorlashlar bilan joylashtirishlar soni formulasiga ko'ra:

Javob: 10000

Bu yerda nima xayolga keladi... ...agar bankomat PIN-kodni kiritish bo‘yicha uchinchi muvaffaqiyatsiz urinishdan keyin kartani “yeb qo‘ysa”, uni tasodifan olish imkoniyati juda past bo‘ladi.

Kombinatorikaning amaliy ma'nosi yo'qligini kim aytdi? Saytning barcha o'quvchilari uchun kognitiv vazifa:

Muammo 17

Davlat standartiga ko‘ra, avtomobil davlat raqami 3 ta raqam va 3 ta harfdan iborat. Bunday holda, uchta nolga ega bo'lgan raqam qabul qilinishi mumkin emas va harflar A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X to'plamidan tanlanadi. (faqat imlosi lotin harflariga to'g'ri keladigan kirill harflari qo'llaniladi).

Hudud uchun qancha turli avtomobil raqamlari yaratilishi mumkin?

Aytgancha, ularning ko'pi emas. Katta hududlarda bunday miqdor etarli emas va shuning uchun ular uchun RUS yozuvi uchun bir nechta kodlar mavjud.

Yechim va javob dars oxirida. Kombinatorika qoidalaridan foydalanishni unutmang ;-) ...Men nima eksklyuziv ekanligini ko'rsatmoqchi edim, lekin bu eksklyuziv emasligi ma'lum bo'ldi =) Vikipediyaga qaradim - u erda hisob-kitoblar mavjud, garchi izohlarsiz. Garchi ta'lim maqsadlarida bo'lsa-da, ehtimol uni kam odam hal qilgan.

Bizning qiziqarli darsimiz o'z nihoyasiga etdi va nihoyat shuni aytmoqchimanki, siz vaqtingizni behuda o'tkazmadingiz - chunki kombinatorik formulalar boshqa hayotiy amaliy qo'llanilishini topadi: ular turli masalalarda topiladi. ehtimollik nazariyasi,
va ichida ehtimollikni klassik aniqlashga oid masalalar- ayniqsa tez-tez =)

Barchangizga faol ishtirokingiz uchun rahmat va tez orada ko'rishguncha!

Yechimlar va javoblar:

2-topshiriq: Yechim: 4 ta kartaning barcha mumkin boʻlgan almashtirishlar sonini toping:

Nolga ega bo'lgan karta 1-o'ringa qo'yilganda, raqam uch xonali bo'ladi, shuning uchun bu kombinatsiyalarni chiqarib tashlash kerak. Nol 1-o'rinda bo'lsin, keyin pastki raqamlardagi qolgan 3 ta raqam turli yo'llar bilan o'zgartirilishi mumkin.

Eslatma : chunki Faqat bir nechta kartalar mavjud bo'lganligi sababli, bu erda barcha variantlarni sanab o'tish oson:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Shunday qilib, taklif qilingan to'plamdan biz quyidagilarni qilishimiz mumkin:
24 - 6 = 18 to'rt xonali raqamlar
Javob : 18

4-topshiriq: Yechim: usullarda siz 36 ta kartadan 3 tasini tanlashingiz mumkin. Va
2) "Eng arzon" to'plamda 3 rubl, eng "qimmat" - 3 ta o'n rubllik tanga mavjud.

Muammo 17: Yechim: ushbu usullardan foydalanib, siz avtomobil raqamining raqamli kombinatsiyasini yaratishingiz mumkin, ulardan biri (000) chiqarib tashlanishi kerak: .
ushbu usullardan foydalanib, siz avtomobil raqamining harf birikmasini yaratishingiz mumkin.
Kombinatsiyalarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, jami quyidagilar bo'lishi mumkin:
avtomobil raqamlari
(har biri raqamli kombinatsiya birlashtirilgan har biri bilan harf birikmasi).
Javob : 1726272

5-sinfda matematika darsi « Kombinatorika bilan tanishing" Dars mavzusi: Darsning maqsadi : mumkin bo'lgan variantlarni izlash orqali kombinatsion masalalarda dastlabki ko'nikmalarni shakllantirish.
Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

Variantlarni to'liq sanab o'tish usuli yordamida kombinatsion masalalarni yechish qobiliyatini rivojlantirish;

Matematik nazariyani muayyan vaziyatlarda qo'llash qobiliyatini rivojlantirish;

Talabalarni matematikaga oid gumanitar fanlarning elementlari bilan tanishtirish.

Tarbiyaviy:

Yechim usulini mustaqil tanlash va tanlovni asoslash qobiliyatini rivojlantirish;

Faqat mantiqiy fikrlashdan foydalangan holda muammolarni hal qilish qobiliyatini rivojlantirish;

Ratsional kodlash usulini tanlash qobiliyatini rivojlantirish;

Talabalarning kommunikativ va ijodiy qobiliyatlarini rivojlantirish.

Tarbiyaviy:

Bajarilgan ishning sifati va natijalari uchun mas'uliyat hissini tarbiyalash; Mehnatga ongli munosabatni shakllantirish;

Yakuniy natija uchun javobgarlikni yarating.

Uskunalar:

interaktiv doska; tarqatma materiallar (rangli chiziqlar: oq, ko'k, qizil); vazifa kartalari.

Darslar davomida.

Tashkiliy vaqt. Yangi materialni o'rganish. Amaliy qism. Reflektsiya Belgilash Uyga vazifa

Tashkiliy vaqt.

O'qituvchi: Salom bolalar! Ko'pincha hayotda siz tanlov, qaror qabul qilishingiz kerak. Buni qilish juda qiyin, chunki tanlov yo'qligi uchun emas, balki ko'plab mumkin bo'lgan variantlardan, turli usullardan, kombinatsiyalardan tanlash kerak. Va biz har doim bu tanlov optimal bo'lishini xohlaymiz. Bugun biz hal qiladigan vazifalar sizni yaratishga, g'ayrioddiy o'ylashga, dastlab nimalarni sezmasdan o'tganingizni ko'rishga yordam beradi. Va bugun biz dunyomiz matematikaga to'la ekanligiga yana bir bor ishonch hosil qilamiz va atrofimizdagi matematikani aniqlash bo'yicha tadqiqotlarimizni davom ettiramiz."Qirollik pozitsiyasi" nima ekanligini bilasizmi? Keling, shohona pozani olishga harakat qilaylik: orqa tekis, boshning mushaklari tarang emas, yuz ifodasi juda muhim: axir, siz qanday qilib hisoblashni shunchalik yaxshi bilasizki, royalti qila olmaydi. Biz miyamizni juda tez faollashtiramiz. Buning uchun qoshlar orasidagi nuqtani intensiv massaj qiling: o'ng qo'lingizning ko'rsatkich barmog'i bilan bir yo'nalishda va ikkinchisida 5 ta dumaloq harakatni bajaring. Buni 2-3 marta takrorlaymiz

Mavzuni yangilash va motivatsiya.

Keling, 1-sonli muammoni hal qilaylik, Muammo 1 . Kino kassasida to'rtta yigit turibdi. Ulardan ikkitasida yuz rubl, qolgan ikkitasida ellik rubllik banknotlar bor.(O‘qituvchi 4 nafar o‘quvchini doskaga chaqirib, ularga banknot maketlarini beradi). Kino chiptasi 50 rubl turadi. Savdo boshida kassa bo'sh.(O'qituvchi "kassir" ni chaqiradi va unga "chipta" beradi) . Hech kim o'zgarishni kutmasligi uchun yigitlar o'zlarini qanday joylashtirishlari kerak? Keling, ikkita mumkin bo'lgan echimni topishingiz mumkin bo'lgan sahnani o'ynaymiz:

50 rubl, 100 rubl, 50 rubl, 100 rubl; 50 rubl, 50 rubl, 100 rubl, 100 rubl (slayd No 2 va No 3).

Vazifa № 2 . Bir qator mamlakatlar o'zlarining milliy bayrog'i uchun turli xil rangdagi - oq, ko'k, qizil rangli uchta gorizontal chiziq shaklida bir xil kenglikdagi ramzlardan foydalanishga qaror qilishdi. Har bir davlatning o'z bayrog'i bo'lsa, qancha davlat bunday ramzlardan foydalanishi mumkin?(O'quvchilarga rangli chiziqlar (oq, ko'k, qizil) beriladi va bayroqlarning turli xil variantlarini yasash so'raladi? (Slayd № 4)O'qituvchi: Darsning keyingi bosqichiga o'tishdan oldin biroz dam olaylik. Kresloga o'tirish - dam oling, ilgichga osilgan kurtkaning pozasini oling, Ko'zlaringizni qo'shnilaringizga qarating. Tirsaklaringizni iloji boricha orqangizga torting, so'ng o'zingizni mahkam quchoqlang.

Yangi materialni o'rganish .

O'qituvchi: Shunday qilib, ushbu muammolarni hal qilishda biz barcha mumkin bo'lgan variantlarni qidirdik,yoki, odatda, bu holatlarda aytganidek, barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalar. Shuning uchun bunday masalalar kombinatoryal deyiladi. Siz hayotda mumkin bo'lgan (yoki imkonsiz) variantlarni tez-tez hisoblashingiz kerak, shuning uchun kombinatsion muammolar bilan tanishish foydali bo'ladi,Bu masalalarni yechish bilan shug‘ullanuvchi matematikaning bo‘limiga kombinatorika deyiladi.(Slayd № 5) Talabalar ta'rifni daftarlariga yozadilar:

Kombinatorika matematikaning berilgan qoidalar boʻyicha berilgan elementlarni tanlash va joylashtirish masalalarini yechishga bagʻishlangan boʻlimidir.

Kombinatoriy masalalarda keng tarqalgan savol " Qancha yo'l bilan ...?" yoki

« Qancha variant …?»

O'qituvchi : Yana bir bor bayroq muammosiga qaytaylik, uni mumkin bo'lgan variantlar ro'yxatidan foydalanib hal qilamiz: (slayd № 7) KBS KSB BSK BKS SBC SKBJavob: 6 ta variant. Shunday qilib, ushbu muammoni hal qilishda biz mumkin bo'lgan variantlarni sanab o'tish yo'lini qidirdik. InKo'pgina hollarda, rasmni - variantlarni sanab o'tish diagrammasini yaratish foydali bo'ladi. Bu, birinchidan, aniq, ikkinchidan, hamma narsani hisobga olish va hech narsani o'tkazib yubormaslik imkonini beradi.

Yechim bayrog'i

BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB variantlari.

Javob: 6 ta variant.

Har kim javobini bilishi kerak bo'lgan savol: taqdim etilgan bayroq variantlaridan qaysi biri Rossiya Federatsiyasining davlat bayrog'i.(Slayd №7)

Ma'lum bo'lishicha, nafaqat Rossiya bayrog'i bu uchta rangga ega. Bayroqlari bir xil rangga ega bo'lgan davlatlar bor.

KBS - Lyuksemburg,

Niderlandiya.

Frantsiya SKB

O'qituvchi: Bunday masalalarni mantiqiy fikrlash orqali yechish qoidasini topamiz.

Keling, rangli chiziqlar misolini ko'rib chiqaylik. Keling, oq chiziqni olaylik - uni 3 marta o'zgartirish mumkin, ko'k chiziqni oling - uni faqat 2 marta o'zgartirish mumkin, chunki joylardan biri allaqachon oq chiziq bilan ishg'ol qilingan, qizil chiziqni oling - uni faqat bir marta joylashtirish mumkin.

JAMI: 3 x 2 x 1=6

Ishning asosiy qoidasi :

Ko'paytirish qoidasi: agar kombinatsiyadagi birinchi elementni qandaydir tarzda tanlash mumkin bo'lsa, undan keyin ikkinchi elementni b usulda tanlash mumkin bo'lsa, u holda kombinatsiyalarning umumiy soni a x b ga teng bo'ladi. . (slayd № 8)

Ko'zlar uchun mashq. (slayd № 9)

"Shakllar" mashqi.

Ko'zlaringiz bilan kvadrat, doira, uchburchak, tasvirlar, rombni soat yo'nalishi bo'yicha, keyin esa soat sohasi farqli ravishda chizing.

Amaliy qism

O'qituvchi: Endi matematik masalalarga o'tamiz. (biz vazifalari bo'lgan kartalarni tarqatamiz)

Bir mashhur mushketyorning garderobida 3 ta nafis shlyapa, 4 ta ajoyib plash va 2 juft ajoyib etik bor. U qancha kostyum variantini yaratishi mumkin? (Biz uchta to'plamdan bitta elementni tanlaymiz, ya'ni biz "uch" qilamiz, ya'ni ko'paytirish qoidasiga ko'ra biz 3 4 2 = 24 kostyum variantini olamiz.)

Futbol jamoasida 11 kishi bor. Kapitan va uning o'rinbosarini tanlash kerak. Buni necha usulda qilish mumkin? (Jami 11 kishi bor, ya'ni kapitanni 11 usulda tanlash mumkin, 10 ta o'yinchi qolgan, ulardan sardor o'rinbosari saylanishi mumkin. Demak, kapitan va uning o'rinbosari juftligini 11 10 = 110 da tanlash mumkin. yo'llari.)

Agar raqamlar takrorlansa, 1, 4, 7 raqamlari yordamida nechta turli ikki xonali sonlar yasash mumkin? (Siz ikki xonali raqamni olishingiz kerak - faqat ikkita pozitsiya. Birinchi pozitsiyada siz taklif qilingan raqamlardan istalgan birini qo'yishingiz mumkin - tanlash uchun 3 ta variant, ikkinchi holatda, raqamni takrorlash imkoniyatini hisobga olgan holda, shuningdek, mavjud. Tanlash uchun 3 ta variant. Bu degani, biz 3 3 = 9 ta usulda bir juft son hosil qilamiz, ya'ni siz 9 ta raqam olasiz.

1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan birorta ham raqam takrorlanmasligi sharti bilan necha xil uch xonali sonlar yasash mumkin? (Uch xonali raqam: birinchi pozitsiya - raqamlarning 5 ta varianti, raqamlarning takrorlanishini hisobga olgan holda ikkinchi o'rin - 4 ta variant, uchinchi pozitsiya - 3 ta variant. Biz 5 4 3 = 60 raqamni olamiz.)

0, 1, 2, 3 raqamlaridan nechta turli ikki xonali sonlar yasash mumkin, agar raqamlar: a) takrorlansa; b) takrorlash mumkin emasmi? (a) Ikki xonali raqam, har qanday ko'p xonali son kabi, 0 dan boshlanmaydi, shuning uchun birinchi pozitsiyada takrorlashni hisobga olgan holda mavjud 4 ta raqamdan faqat 3 tasini, 3 ta tanlovni ikkinchi pozitsiyaga qo'yishingiz mumkin. , siz har qanday raqamlarni qo'yishingiz mumkin - tanlash uchun 4 ta variant. Shuning uchun, 3 4 = 12 raqam chiqadi; b) Birinchi pozitsiya – 3 ta variant, ikkinchi holat – 3 ta variant, chunki takrorlash istisno qilinadi. Biz 3 3 = 9 raqamni olamiz.)

Xavfsiz kod besh xil raqamdan iborat. Shifrni yaratish uchun nechta variant mavjud? (5 4 3 2 1 = 120 ta variant.) 6 ta vilkalar idishi solingan stolga 6 kishini nechta usulda joylashtirish mumkin? (6 5 4 3 2 1 = 720 ta usul.)

6 ta qurilma?(6 5 4 3 2 1 = 720 ta usul.)

(8 7 6 5 4 = 6720 ta variant.)

(Qo'llaniladigan raqamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - jami 10 ta raqam, raqam boshida 0 va 9-sonli raqamlar bundan mustasno, takrorlash, biz 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 raqamni olamiz.)

Reflektsiya

O'qituvchi: Bolalar, bizning darsimiz o'z nihoyasiga yetmoqda. Sizningcha, bugun maqsadimizga erishdikmi, nega? Darsda nima qiyin bo'ldi, u bilan qanday kurashish mumkin? O'ylab ko'ring va o'z ishingiz va ishingiz uchun baho bering, o'zingiz qo'ying, yigitlarning hech biri bu belgini ko'rmaydi, o'zingiz bilan halol bo'lishga harakat qiling. Darsda to'liq ishtirok etdingizmi? Yaxshiroq natijalarga erishish uchun nima qilish kerak?

Bundan tashqari, talabalardan 3 ta tezkor savolga javob berish so'raladi:

Bugungi darsda men... (oson, odatda, qiyin)

Men... (o'rgandim va qo'llashim mumkin, o'rgandim va qo'llash qiyin, o'rganmadim)

Darsga bo'lgan hurmatim...

Yuqoridagi savollarga javoblarni imzolashingiz shart emas, chunki ularning asosiy vazifasi o‘qituvchiga dars va uning natijalarini tahlil qilishda yordam berishdir

Xulosa qilish . Belgilash

O'qituvchi: Bugun ko'pchiligingiz yaxshi ishlaganingizdan va ko'p yangi narsalarni o'rganganingizdan juda xursandman, lekin barchangiz uyda qattiq ishlashingizni va keyingi darsda yomon baho olmasligingizni juda istardim.

7. Uyga vazifa :

1) Sinfingiz haqida muammo yarating

2) Bir qancha davlatlar oʻz milliy bayrogʻi uchun turli kenglikdagi, turli rangdagi – oq, koʻk, qizil rangli 3 ta gorizontal chiziq koʻrinishidagi ramzlardan foydalanishga qaror qildilar. Har bir davlatning o'z bayrog'i bo'lsa, qancha davlat bunday ramzlardan foydalanishi mumkin?

3) a) 1, 3, 5, 7, 9 raqamlaridan nechta ikki xonali son yasash mumkin?

b) 1, 3, 5, 7, 9 raqamlari takrorlanmasligi sharti bilan nechta ikki xonali sonlar yasalishi mumkin.

O'qituvchi : Xullas, siz bilan tanishganimdan, matematikaga qiziqqanimdan xursand bo'ldim, bu fikr va harakatlaringizda ijobiy aks etishi shubhasiz. Dars tugadi. Barchangizga rahmat. Xayr. Salomat bo'ling.

Adabiyot:

E.A.Bunimovich, V.A. Bulychev. Umumta’lim maktabi matematika kursida ehtimollik va statistika: 1-4, 5 – 8 ma’ruzalar. – M.: Pedagogika universiteti “Birinchi sentyabr”, 2006 yil.

Vilenkin N.Ya. Matematika. 5-sinf: umumiy ta’lim uchun darslik. muassasalar / N.Ya.Vilenkin va boshqalar - M.: Mnemosyna, 2009.

Smykalova E.V. 5-sinf o'quvchilari uchun matematika bo'yicha qo'shimcha boblar. SPb: SMIO. Matbuot, 2006 yil.

5-sinf. "Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004 yil.

Vazifalar (kartalar)

Bir mashhur mushketyorning garderobida 3 ta nafis shlyapa, 4 ta ajoyib plash va 2 juft ajoyib etik bor. U qancha kostyum variantini yaratishi mumkin?

Futbol jamoasida 11 kishi bor. Kapitan va uning o'rinbosarini tanlash kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?

Agar raqamlar takrorlansa, 1, 4, 7 raqamlari yordamida nechta turli ikki xonali sonlar yasash mumkin.

1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan birorta ham raqam takrorlanmasligi sharti bilan necha xil uch xonali sonlar yasash mumkin?

0, 1, 2, 3 raqamlaridan nechta turli ikki xonali sonlar yasash mumkin, agar raqamlar: a) takrorlansa; b) takrorlash mumkin emasmi?

Xavfsiz kod besh xil raqamdan iborat. Shifrni yaratish uchun nechta variant mavjud?

Qaysi stolda 6 kishini necha xil usulda o'tirish mumkin 6 ta qurilma?

Beshinchi sinfda 8 ta fan o‘rganiladi. Agar shu kuni 5 ta dars bo'lishi kerak bo'lsa va barcha darslar boshqacha bo'lsa, dushanba uchun qancha turli xil jadval variantlarini yaratish mumkin?

1. Agar siz 0 va 9 dan boshlanadigan raqamlarni chiqarib tashlasangiz, qancha yetti xonali telefon raqamlarini yaratish mumkin?

Javoblar

Biz uchta to'plamdan bitta elementni tanlaymiz, ya'ni biz "uch" qilamiz, ya'ni ko'paytirish qoidasiga ko'ra biz 3 4 2 = 24 kostyum variantini olamiz.

Hammasi bo'lib 11 kishi bor, ya'ni kapitanni 11 usulda tanlash mumkin, 10 nafar o'yinchi qoladi, ulardan sardor o'rinbosarini tanlash mumkin. Shunday qilib, bir juftlik, kapitan va uning o'rinbosari 11 10 = 110 usulda tanlanishi mumkin.

Siz ikki xonali raqamni olishingiz kerak - faqat ikkita pozitsiya. Birinchi pozitsiyada siz taklif qilingan raqamlardan istalgan birini qo'yishingiz mumkin - 3 ta tanlov, ikkinchi holatda, raqamni takrorlash imkoniyatini hisobga olgan holda, shuningdek, 3 ta tanlov mavjud. Bu shuni anglatadiki, biz 3 3 = 9 ta usulda bir juft son hosil qilamiz, ya'ni. siz 9 ta raqam olasiz.

Uch xonali raqam: birinchi pozitsiya - raqamlarning 5 ta varianti, raqamlarning takrorlanishini istisno qilgan holda ikkinchi o'rin - 4 ta variant, uchinchi pozitsiya - 3 ta variant. Biz 5 4 3 = 60 raqamni olamiz.

(a) Ikki xonali raqam, har qanday ko'p xonali son kabi, 0 dan boshlanmaydi, shuning uchun birinchi pozitsiyada takrorlashni hisobga olgan holda mavjud 4 ta raqamdan faqat 3 tasini, 3 ta tanlovni ikkinchi pozitsiyaga qo'yishingiz mumkin. , siz har qanday raqamlarni qo'yishingiz mumkin - tanlash uchun 4 ta variant. Shuning uchun, 3 4 = 12 raqam chiqadi; b) Birinchi pozitsiya – 3 ta variant, ikkinchi holat – 3 ta variant, chunki takrorlash istisno qilinadi. Biz 3 3 = 9 raqamni olamiz.

5 4 3 2 1 = 120 ta variant.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 ta usul

2. 8 7 6 5 4 = 6720 ta variant

   Amaldagi raqamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - takrorlash imkoniyatini hisobga olgan holda, raqamning boshida 0 va 9-sonli shartlar bundan mustasno, jami 10 ta raqam. , biz 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 sonni olamiz.

Ko'pgina amaliy masalalarni yechishda elementlarning kombinatsiyalaridan foydalanish, berilgan to'plamdan ma'lum xususiyatlarga ega bo'lganlarini tanlash va ularni ma'lum bir tartibda joylashtirish kerak. Bunday vazifalar deyiladi kombinatsion. Matematikaning berilgan shartlarga muvofiq elementlarni tanlash va joylashtirish masalalarini yechishga bag'ishlangan bo'limi kombinatorika deb ataladi. "Kombinatorika" atamasi lotincha so'zdan kelib chiqqan "kombinatsiya", rus tiliga tarjima qilingan "birlashtirish", "ulanish" degan ma'noni anglatadi.

Tanlangan elementlar guruhlari ulanishlar deb ataladi. Agar ulanishning barcha elementlari boshqacha bo'lsa, unda biz takrorlashsiz ulanishlarni olamiz, biz quyida ko'rib chiqamiz.

Ko'pgina kombinatsion masalalar ikkita asosiy qoida yordamida hal qilinadi - yig'indisi qoidalari va mahsulot qoidalari.

Vazifa 1.

Choy uchun hamma narsa do'konida 6 xil stakan va 4 xil likopcha mavjud. Qancha stakan va likopchalarni sotib olishingiz mumkin?

Yechim.

Biz kosani 6 usulda, likopchani esa 4 usulda tanlashimiz mumkin. Biz bir juft chashka va saucer sotib olishimiz kerak bo'lganligi sababli, bu 6 · 4 = 24 usulda amalga oshirilishi mumkin (mahsulot qoidasiga ko'ra).

Javob: 24.

Kombinatoriy masalalarni muvaffaqiyatli yechish uchun kerakli birikmalar sonini topish uchun to'g'ri formulani ham tanlash kerak. Bunga quyidagi diagramma yordam beradi.

Keling, har xil turdagi ulanishlar uchun bir nechta muammolarni takrorlashsiz hal qilishni ko'rib chiqaylik.

Vazifa 2.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 raqamlaridan yasash mumkin boʻlgan uch xonali sonlar sonini toping, agar raqamlarni raqamda takrorlash mumkin boʻlmasa.

Yechim.

Formulani tanlash uchun biz tuzadigan raqamlar uchun tartib hisobga olinishini va barcha elementlar bir vaqtning o'zida tanlanmaganligini aniqlaymiz. Bu shuni anglatadiki, bu bog‘lanish har biri 3 tadan 7 ta elementdan tashkil topgan joylashuvdir.Keling, joylashtirishlar soni uchun formuladan foydalanamiz: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 ta raqam.

Javob: 210.

Vazifa 3.

Qancha yetti xonali telefon raqamlari borki, ularning barcha raqamlari bir-biridan farq qiladi va raqam noldan boshlanmaydi?

Yechim.

Bir qarashda, bu vazifa avvalgisi bilan bir xil, ammo qiyinchilik shundaki, biz noldan boshlangan aloqalarni hisobga olmaslik kerak. Bu shuni anglatadiki, siz mavjud 10 ta raqamdan barcha etti xonali telefon raqamlarini to'ldirishingiz va natijada olingan raqamdan noldan boshlanadigan raqamlar sonini ayirishingiz kerak. Formula quyidagicha ko'rinadi:

A 10 7 – A 9 6 = 10 9 8 7 6 5 4 – 9 8 7 6 5 4 = 544,320.

Javob: 544 320.

Vazifa 4.

Tokchada 12 ta kitobni, shulardan 5 tasi she’rlar to‘plami bo‘lib, to‘plamlar yonma-yon turishi uchun nechta usulda joylashtirish mumkin?

Yechim.

Birinchidan, shartli ravishda bitta kitob sifatida 5 ta to'plamni olaylik, chunki ular bir-birining yonida turishi kerak. Kombinatsiyada tartib juda muhim va barcha elementlardan foydalanilganligi sababli, bu 8 ta elementning almashtirilishini anglatadi (7 kitob + an'anaviy 1 kitob). Ularning soni R 8. Keyinchalik, biz faqat she'rlar to'plamlarini o'zimiz bilan qayta tartibga solamiz. Buni 5 ta usulda amalga oshirish mumkin. To'plamlarni ham, boshqa kitoblarni ham tartibga solishimiz kerakligi sababli, biz mahsulot qoidasidan foydalanamiz. Shuning uchun, P 8 · P 5 = 8! · 5!. Yo'llar soni ko'p bo'ladi, shuning uchun javobni faktoriallar mahsuloti shaklida qoldirish mumkin.

Javob: 8! · 5!

Muammo 5.

Sinfda 16 o'g'il va 12 qiz. Maktab yaqinidagi hududni tozalash uchun sizga 4 o'g'il va 3 qiz kerak. Ularni sinfdagi barcha o‘quvchilardan nechta usulda tanlash mumkin?

Yechim.

Birinchidan, biz 16 nafardan 4 nafar o'g'il bolani va 12 nafardan 3 nafar qizni alohida tanlaymiz. Joylashtirish tartibi hisobga olinmaganligi sababli, mos keladigan birikmalar takrorlashsiz kombinatsiyalardir. Bir vaqtning o'zida o'g'il va qiz bolalarni tanlash zarurligini hisobga olib, biz mahsulot qoidasidan foydalanamiz. Natijada, yo'llar soni quyidagicha hisoblanadi:

C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 4)) ·((10 · 11) · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Javob: 400 400.

Demak, kombinatsion masalaning muvaffaqiyatli yechilishi uning holatini to’g’ri tahlil qilishga, tuziladigan birikmalar turini aniqlashga va ularning miqdorini hisoblash uchun mos formulani tanlashga bog’liq.

Hali ham savollaringiz bormi? Kombinator masalalarni qanday hal qilishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ko'pgina kombinatsion masalalarda bizni qiziqtiradigan variantlar sonini to'g'ridan-to'g'ri topish qiyin bo'lib chiqadi. Biroq, muammoning shartlarini biroz o'zgartirish bilan siz asl nusxadan ma'lum bir necha marta oshib ketadigan bir qator variantlarni topishingiz mumkin. Ushbu texnika deyiladi ko'p sonli hisoblash usuli.

1. KLASS so‘zining nechta anagrammasi bor?

Qiyinchilik shundaki, bu so'zda ikkita bir xil C harfi mavjud. Biz ularni vaqtincha boshqacha ko'rib chiqamiz va C 1 va C 2 ni bildiramiz. Shunda anagrammalar soni 5 ga teng bo'ladi! = 120. Ammo C 1 va C 2 harflarini qayta joylashtirish orqali bir-biridan farq qiladigan so'zlar aslida bir xil anagrammadir! Shuning uchun 120 ta anagramma bir xil juftliklarga bo'linadi, ya'ni. kerakli anagramma soni 120/2 = 60.

2. CHARADA so‘zi nechta anagrammaga ega?

Uchta A harfini har xil A 1, A 2, A 3 harflari deb hisoblasak, biz 6 ga erishamiz! anagrammalar Ammo A 1, A 2, A 3 harflarini qayta joylashtirish orqali bir-biridan yasalgan so'zlar aslida bir xil anagramdir. Chunki 3 tasi bor! A 1, A 2, A 3 harflarining almashinishi, dastlab olingan 6! Anagrammalar 3 ta guruhga bo'lingan! bir xil va turli xil anagramlar soni 6 ga teng!/3! = 120.

3. Kamida bitta juft raqamli nechta to‘rt xonali son bor?

Keling, faqat toq raqamlarni o'z ichiga olgan "keraksiz" to'rt xonali raqamlar sonini topamiz. Bunday raqamlar 5 ta 4 = 625. Ammo jami 9000 ta to'rt xonali sonlar mavjud, shuning uchun "kerakli" raqamlarning kerakli soni 9000 - 625 = 8375 ni tashkil qiladi.

1. VERESK, BALAGAN, CITYMAN so'zlari uchun anagrammalar sonini toping.
2. BAOBAB, BALLAD, QURILISH, ANAGRAM, MATEMATIKA, KOMBİNATORIKA, HIMOYA so‘zlari uchun anagrammalar sonini toping.
3. 7 ta mehmonni uchta mehmonxona xonasida necha xil usulda joylashtirishingiz mumkin: bitta, ikki va to'rt kishilik?
4. Muzlatgichda ikkita olma, uchta nok va to'rtta apelsin bor. To'qqiz kun ketma-ket har kuni Petyaga bir bo'lak meva beriladi. Buni necha usulda qilish mumkin?
5. Maktabning ettita eng yaxshi chang'ichisi orasidan shahar musobaqalarida qatnashish uchun uch kishidan iborat jamoa tanlanishi kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?
6. Imtihon oldidan professor imtihon topshiruvchilarning yarmiga yomon baho qo‘yishga va’da berdi. Imtihonga 20 nafar talaba keldi. U va'dasini necha yo'l bilan bajarishi mumkin?
7. Beshta A harfidan va uchta B harfidan koʻp boʻlmagan nechta soʻz yasalishi mumkin?
8. Shokoladli, qulupnayli va sutli muzqaymoqlar mavjud. Uchta muzqaymoqni necha xil usulda sotib olish mumkin?
9. Pitsa tayyorlashda ma'lum bir ta'mni ta'minlash uchun pishloqga turli komponentlar qo'shiladi. Billning ixtiyorida piyoz, qo'ziqorin, pomidor, qalampir va hamsi bor, bularning barchasi, uning fikricha, pishloqga qo'shilishi mumkin. Bill nechta turdagi pitsa tayyorlashi mumkin?
10. Jinoiy to‘qnashuv guvohi jinoyatchilarning davlat raqamida T, Z, U harflari hamda 3 va 7 raqamlari bo‘lgan “Mersedes” mashinasida qochib ketganini esladi (raqam avval uch harf, keyin esa uchta raqamdan iborat qatordir). . Bunday raqamlar nechta?
11. Qavariqda nechta diagonal bor n-kvadrat?
12. Qancha narsa bor? n- raqamli raqamlar?
13. Kamida ikkita bir xil raqamga ega boʻlgan nechta oʻn xonali sonlar bor?
14. Zar uch marta tashlanadi. Natijalarning barcha mumkin bo'lgan ketma-ketligi orasida oltitasi kamida bir marta aylantirilganlar mavjud. Qanchalari bor?
15. Besh xonali nechta sonning yozuvida 1 raqami bor?
16. Oq va qora qirollarni bir-biriga urmasdan shaxmat taxtasiga necha usulda joylashtirish mumkin?
17. 10800 soni nechta bo'luvchiga ega?

Mavzusida insho:

10-sinf o‘quvchisi “B” tomonidan yakunlangan

53-sonli umumta’lim maktabi

Gluxov Mixail Aleksandrovich

Naberejnye Chelni

2002 yil
Tarkib

Kombinatorika tarixidan ______________________________________________________	3
Yig'ish qoidasi ____________________________________________________________	4
	-
Mahsulot qoidalari ______________________________________________________	4
Vazifalarga misollar ____________________________________________________________	-
Kesishuvchi to'plamlar ______________________________________________________	5
Vazifalarga misollar ____________________________________________________________	-
Eyler doiralari ____________________________________________________________	-
Takroriysiz joylashtirishlar ____________________________________________	6
Vazifalarga misollar ____________________________________________________________	-
Takroriysiz almashtirishlar ________________________________________________	7
Vazifalarga misollar ____________________________________________________________	-
Takrorlashsiz kombinatsiyalar ______________________________________________________	8
Vazifalarga misollar ____________________________________________________________	-
Takrorlanmasdan joylashtirish va kombinatsiyalar____________________________	9
Vazifalarga misollar ____________________________________________________________	-
Takroriy almashtirishlar ________________________________________________	9
Vazifalarga misollar ____________________________________________________________	-
Mustaqil hal qilish uchun muammolar ________________________________	10
Bibliografiya ___________________________	11

Kombinatorika tarixidan

Kombinatorika cheklangan to'plam elementlaridan hosil bo'lishi mumkin bo'lgan har xil turdagi bog'lanishlar bilan shug'ullanadi. Kombinatorikaning ayrim elementlari Hindistonda 2-asrdayoq ma'lum bo'lgan. Miloddan avvalgi e. Nydians raqamlarni qanday hisoblashni bilishgan, ular endi "kombinatsiyalar" deb ataladi. 12-asrda. Bxaskara ba'zi turdagi birikmalar va almashtirishlarni hisoblab chiqdi. Hind olimlari birikmalarni poetikada qoʻllanilishi, qasida va sheʼriy asarlarning tuzilishini oʻrganish bilan bogʻliq holda oʻrgangan, deb hisoblanadi. Masalan, n bo‘g‘inli oyoqning urg‘uli (uzun) va urg‘usiz (qisqa) bo‘g‘inlarining mumkin bo‘lgan birikmalarini hisoblash bilan bog‘liq holda. Ilmiy fan sifatida kombinatorika 17-asrda shakllangan. Fransuz muallifi A. «Arifmetika nazariyasi va amaliyoti» (1656) kitobida ham butun bir bobni birikmalar va almashtirishlarga bagʻishlaydi.
B. Paskal “Arifmetik uchburchak haqida risola” va “Son tartiblar haqida risola”da (1665) binom koeffitsientlari haqidagi ta’limotni belgilab bergan. P.Ferma birikmalar nazariyasi bilan matematik kvadratlar va figurali sonlar o'rtasidagi bog'liqliklarni bilardi. "Kombinatorika" atamasi 1665 yilda Leybnits o'zining "Kombinatsiya san'ati to'g'risida so'z" asarini nashr etgandan so'ng qo'llanila boshlandi, bu birinchi marta kombinatsiyalar va almashtirishlar nazariyasiga ilmiy asos yaratdi. J. Bernulli birinchi marta 1713 yilda o'zining "Ars conjectandi" (bashorat san'ati) kitobining ikkinchi qismida joylashuvlarni o'rgangan. Kombinatsiyalarning zamonaviy simvolizmi faqat 19-asrda turli o'quv qo'llanmalar mualliflari tomonidan taklif qilingan.

Kombinator formulalarning barcha xilma-xilligi cheklangan to'plamlarga tegishli ikkita asosiy bayonotdan - yig'indi qoidasi va mahsulot qoidasidan kelib chiqishi mumkin.

Jamlama qoidasi

Agar chekli to‘plamlar kesishmasa, u holda X U Y (yoki) elementlari soni X to‘plam elementlari soni va Y to‘plam elementlari soni yig‘indisiga teng bo‘ladi.

Ya'ni, agar birinchi javonda X kitob, ikkinchisida Y bo'lsa, unda siz X+Y usullarida birinchi yoki ikkinchi javondan kitob tanlashingiz mumkin.

Namuna muammolar

Talaba matematikadan amaliy ishlarni bajarishi kerak. Unga algebradan 17 ta, geometriyadan 13 ta mavzudan tanlash taklif qilindi. Amaliy ish uchun bir mavzuni necha xil usulda tanlashi mumkin?

Yechish: X=17, Y=13

Yig'indi qoidasiga ko'ra X U Y=17+13=30 ta mavzu.

Pul lotereyasiga 5 ta, sport lotereyasiga 6 ta, avtomobil lotereyasiga 10 ta chipta mavjud. Sport loto yoki avtolotereyadan bitta chiptani necha xil usulda tanlash mumkin?

Yechim: Naqd pul va kiyim-kechak lotereyasi tanlovda ishtirok etmaganligi sababli, faqat 6 + 10 = 16 variant mavjud.

Mahsulot qoidasi

Agar X elementni k usulda, Y elementni m usulda tanlash mumkin bo‘lsa, u holda (X,Y) juftlikni k*m usulda tanlash mumkin.

Ya'ni, agar birinchi javonda 5 ta, ikkinchisida 10 ta kitob bo'lsa, unda siz birinchi javondan bitta kitobni va ikkinchidan birini 5 * 10 = 50 usulda tanlashingiz mumkin.

Namuna muammolar

Muqovachi 12 xil kitobni qizil, yashil va jigarrang rangda bog'lashi kerak. U buni necha usulda qila oladi?

Yechim: 12 ta kitob va 3 ta rang mavjud, ya'ni mahsulot qoidasiga ko'ra, 12 * 3 = 36 bog'lash variantlari mumkin.

Chapdan o'ngga va o'ngdan chapga bir xil o'qiladigan nechta besh xonali sonlar bor?

Yechish: Bunday raqamlarda oxirgi raqam birinchisi bilan, oxirgidan oldingi raqam esa ikkinchi raqam bilan bir xil bo'ladi. Uchinchi raqam har qanday bo'ladi. Bu shaklda ifodalanishi mumkin XYZYX, bu erda Y va Z har qanday sonlar, X esa nolga teng emas. Bu shuni anglatadiki, mahsulot qoidasiga ko'ra, chapdan o'ngga ham, o'ngdan chapga ham teng o'qilishi mumkin bo'lgan raqamlar soni 9*10*10=900 variantni tashkil qiladi.

Kesishuvchi to‘plamlar

Ammo shunday bo'ladiki, X va Y to'plamlari kesishadi, keyin ular formuladan foydalanadilar

, bu erda X va Y to'plamlar va kesishish maydoni. Namuna muammolar

20 kishi ingliz va 10 kishi nemis tilini biladi, shundan 5 nafari ingliz va nemis tilini biladi. Hammasi bo'lib nechta odam bor?

Javob: 10+20-5=25 kishi.

Eyler doiralari ko'pincha muammoni vizual hal qilish uchun ishlatiladi. Masalan:

Chet elga sayohatga ketayotgan 100 nafar sayyohdan 30 nafari nemis, 28 nafari ingliz, 42 nafari fransuz, 8 nafari bir vaqtning o‘zida ingliz va nemis tillarini, 10 nafari ingliz va fransuz, 5 nafari nemis va fransuz tillarini, 3 nafari har uchalasini biladi. sayyohlar hech qanday tilda gaplashmaydimi?

Yechim: Keling, ushbu muammoning holatini grafik tarzda ifodalaymiz. Ingliz tilini biladiganlarni doira bilan, frantsuz tilini biladiganlarni boshqa doirani, nemis tilini biladiganlarni uchinchi doira bilan belgilaymiz.

Uch nafar sayyoh ham uch tilda gaplashadi, ya'ni doiralarning umumiy qismida biz 3 raqamini kiritamiz. 10 kishi ingliz va frantsuz tillarida gaplashadi va ulardan 3 nafari nemis tilida ham gaplashadi. Binobarin, 10-3=7 kishi faqat ingliz va frantsuz tillarida gaplashadi.

Xuddi shunday, biz 8-3 = 5 kishi faqat ingliz va nemis tillarida, 5-3 = 2 sayyoh esa nemis va frantsuz tillarida gaplashishini aniqlaymiz. Biz ushbu ma'lumotlarni tegishli qismlarga kiritamiz.

Keling, qancha odam sanab o'tilgan tillardan faqat bittasida gaplashishini aniqlaylik. 30 kishi nemis tilini biladi, lekin ulardan 5+3+2=10 tasi boshqa tillarda gaplashadi, shuning uchun atigi 20 kishi nemis tilini biladi. Xuddi shunday, biz 13 kishi faqat ingliz tilida, 30 kishi esa faqat frantsuz tilida gaplashishini aniqlaymiz.

Muammoga ko'ra, bor-yo'g'i 100 nafar sayyoh bor. 20+13+30+5+7+2+3=80 sayyoh kamida bitta tilni biladi, shuning uchun 20 kishi bu tillarning hech birida gaplashmaydi.

Takrorlanmasdan joylashtirish.

Har bir raqam har xil bo'lishi uchun 6 ta raqamdan nechta telefon raqamini yasash mumkin?

Bu takrorlanmasdan joylashtirish muammosiga misol. Bu yerda 6 dan 10 ta raqam joylashtirilgan va bir xil raqamlar turli tartibda joylashgan variantlar boshqacha ko'rib chiqiladi.

Agar n ta elementdan iborat X to'plam m≤n bo'lsa, X to'plamning n ta elementi m ga takrorlanmasdan joylashish m elementdan iborat tartiblangan X to'plam deyiladi.Tartibli X to'plam m elementdan iborat.

n ta elementning barcha joylashuvi soni m bilan belgilanadi

n! - n-omil (faktoriy omil) - 1 dan istalgan n sonigacha bo'lgan natural qatordagi sonlarning ko'paytmasi. Vazifa

4 nafar o‘g‘il oltita qizdan to‘rt nafari nechta usulda raqsga tushishni so‘rashi mumkin?

Yechim: ikkita o'g'il bir vaqtning o'zida bitta qizni taklif qila olmaydi. Va bir xil qizlarning turli o'g'il bolalar bilan raqsga tushish variantlari boshqacha ko'rib chiqiladi, shuning uchun:

360 ta variant mumkin.

Takrorlashsiz almashtirishlar

m ning n ta elementi n=m boʻlganda (takroriy joylashtirishlarga qarang) x toʻplamning oʻrin almashishi deyiladi.

n ta elementning barcha almashtirishlar soni P n bilan belgilanadi.

n=m uchun amal qiladi:

Namuna muammolar

Raqamlar sonda takrorlanmasa, 0, 1, 2, 3, 4.5 raqamlaridan nechta turli olti xonali sonlar yasash mumkin?

1) Bu raqamlardan barcha almashtirishlar sonini toping: P 6 =6!=720

2) 0 raqam oldida bo'lishi mumkin emas, shuning uchun 0 oldida turgan almashtirishlar sonini bu raqamdan ayirish kerak. Va bu P 5 =5!=120.

P 6 -P 5 =720-120=600

Yaramas maymun

Ha, oyoqli Mishka

Biz kvartet o'ynashni boshladik

To‘xtang, birodarlar, to‘xtang! -

Maymun qichqiradi, - kuting!

Musiqa qanday bo'lishi kerak?

Axir, siz bunday o'tirmaysiz ...

Va bu yo'l va ular o'rindiqlarini almashtirdilar - yana musiqa yaxshi chiqmaydi.